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La demostración
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La demostración en matemáticas (geometría)
Tal vez los alumnos y alumnas hayan demostrado, en alguna ocasión, alguna fórmula o alguna propiedad matemática, o hayan contemplado su demostración. Como sabemos, para ellos, el proceso no es muy sencillo.
En las próximas páginas se va a analizar en qué consiste una propiedad matemática
y cuáles son las características de una demostración.
Además, se ofrece una demostración sencilla de una propiedad de naturaleza geométrica y se recomienda, como actividad, el demostrar algunas otras.
Aunque se han escogido ejemplos especialmente sencillos y bonitos, esta parte de
demostración puede que solo resulte útil a aquellos estudiantes que sean algo aficionados a las matemáticas o que se esfuercen considerablemente en entenderla y practicarla a fondo.
Unidad 11. La semejanza y sus aplicaciones
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Propiedades matemáticas
Las matemáticas están plagadas de propiedades, es decir, relaciones entre distintos
elementos que se verifican en casos perfectamente determinados. A veces se las llama leyes y, otras veces, teoremas. A continuación ponemos algunas.
I.
II.
III.
IV.
a n · b n = (a · b) n
Si dos números son múltiplos de n, entonces su suma también lo es.
Los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de sus extremos.
Teorema de Pitágoras
Si a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y b, c son sus catetos,
entonces se verifica que a 2 = b2 + c2.
Todas las propiedades matemáticas tienen una estructura similar:
HIPÓTESIS
CONDICIONES PREVIAS
TESIS
ò
CONCLUSIÓN
Veamos, como ejemplo, cómo se enunciarían las propiedades II y III de arriba según esta estructura:
A y B son múltiplos de n
P es un punto de la mediatriz de
AB (es decir, la perpendicular
desde P a AB corta al segmento
en su punto medio).
ò
ò
A + B es múltiplo de n
— —
PA = PB
En muchos casos, la propiedad se confunde con la tesis. Es el caso I.
En esta propiedad la hipótesis podría ser:
a y b son números racionales y n es un número natural.
El símbolo ò , que se lee implica, significa que lo que hay a su derecha es consecuencia lógica (se deduce) de lo que hay a su izquierda. La constatación de este hecho, es decir, la cadena de argumentos por la cual se ve que de la hipótesis se deduce la tesis, es lo que se llama demostración de la propiedad.
Actividad
1. Enuncia las propiedades I y IV mediante la estructura HIPÓTESIS ò
Unidad 11. La semejanza y sus aplicaciones
TESIS.
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En qué consiste una demostración
Veamos algunas demostraciones para analizar sus características.
Demostración de la propiedad I
an · bn = (a · a · … · a) · (b · b · … · b) = (a · b) · (a · b) · … · (a · b) = (a · b)n
14243 14243 1444442444443
n veces
n veces
n veces
En cada transformación se ha aplicado una propiedad. En la primera y en la tercera
se ha tenido en cuenta, sencillamente, la definición de potencia. Pero en la segunda,
para romper paréntesis y reagrupar, se aplican las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación.
Demostración del teorema de Pitágoras
b
b
c
c
a
b
a
b
c
b
a
b2
c
a2
b
b
b
c
c2
a
c
b
Esta demostración ya la habrás visto en algún libro de texto, observando que si en
cada uno de los cuadros grandes suprimimos cuatro triángulos, quedan áreas iguales.
Sin embargo, para probar que el área que queda a la derecha es a2 tendríamos que
estar seguros de que el ángulo señalado con una flecha es de 90°. Esto se demuestra
viendo que los otros dos contiguos a y b suman 90° porque a + b + 90° = 180°.
En esta demostración se ha tenido en cuenta que la suma de los ángulos de un
triángulo es 180°.
En general, para efectuar una demostración hemos de hacer una serie de razonamientos que permitan ver que siempre que ocurre lo que dice la hipótesis tiene que
ocurrir lo que afirma la tesis. En esos razonamientos se utilizan definiciones y otras
propiedades que ya se dan por sabidas.
En las próximas páginas vas a encontrar varias propiedades matemáticas (de aritmética, álgebra, geometría y estadística). Las demostraciones se efectúan meticulosamente. Se pretende que las comprendas y apliques caminos parecidos para demostrar las que se te proponen más adelante.
Es muy importante que siempre tengas muy claro cuál es la hipótesis, cuál la tesis y
qué propiedad aplicas en cada paso de tu argumentación.
Actividad
1. Intenta demostrar las propiedades II y III.
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Demostración de propiedades geométricas
Propiedad de las medianas
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto (el baricentro).
Vamos a demostrarlo en dos etapas.
• Primera propiedad
El punto P en el que se cortan dos medianas divide a estas en dos segmentos, uno de los cuales
es doble que el otro:
—
—
—
—
PA = 2 · PA'
PB = 2 · PB'
C
A'
B'
P
B
A
Demostración
B'A' es la paralela media a AB en el triángulo CAB.
1
Por tanto, B'A'//AB y B'A' = AB.
2
C
Tomamos M y N, puntos medios de PA y
PB, respectivamente. MN es la paralela media
B'
de AB en el triángulo PAB.
1
A
Por tanto, MN//AB y MN = AB.
2
A'
P
N
M
B
Hemos probado que B'A' y MN son iguales y paralelos. Por tanto B'A'NM es un
paralelogramo.
Por ser A'B'MN paralelogramo, sus diagonales
se cortan en su punto medio.
— —
— —
PM = PA'
PN = PB'
—
—
—
—
Por tanto: PA = 2 PA' , PB = 2PB'
• Segunda propiedad
Las tres medianas se cortan en un punto.
C
A'
B'
P
A
M
N
B
Actividades
1. Repite la demostración anterior justificando cada paso e identificando las propiedades que se utilizan (por ejemplo: el segmento que une los puntos medios de
los lados de un triángulo es paralelo al otro lado –paralela media– y su longitud es
la mitad).
2. Demuestra la segunda propiedad (las tres medianas se cortan en un punto) teniendo en cuenta que la tercera mediana corta a cada una de las anteriores en
un punto que cumple la primera propiedad.
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Ángulo inscrito en una circunferencia
P
Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es,
necesariamente, recto.
B
O
A
Reformulamos el enunciado.
HIPÓTESIS
TESIS
P está en una semicircunferencia de diámetro AB
B
O
β
α
B
O
Por ser isósceles, el triángulo AOP tiene iguales los ángulos
Aˆ = P̂ = a.
Análogamente, en BOP es P̂ = B̂ = b.
P
Como los ángulos de un triángulo suman 180°, tenemos:
α+β
β
A
Como OA, OB y OP son radios de una circunferencia, son
iguales entre sí.
Por tanto, los triángulos AOP y BOP son isósceles.
P
α β
A
APB = 90°
Trazamos el radio OP.
P
A
ò
B
a + (a + b) + b = 180° ò a + b = 90°
α
Es esto lo que queríamos demostrar.
Para hacer esta demostración hemos tenido que hacer uso de dos propiedades:
• Si un triángulo tiene dos lados iguales, entonces sus ángulos opuestos también son
iguales.
• La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
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Actividades
Demuestra las siguientes propiedades:
P
1. Repite la demostración anterior justificando cada paso.
α
O
2. Observa la figura de la derecha. Demuesta que si PM
es un diámetro entonces b = 2a.
β
N
M
3. Demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Indicación: traza por uno de los vértices una recta paralela al lado opuesto. Observa los ángulos que se forman.
4. r es la bisectriz de Aˆ y s la bisectriz de B̂.
r y s se cortan en I; PQ pasa por I y es
paralela a AB.
Demuestra que PQ = AP + QB.
A
Indicación: Prueba que 1̂ = 2̂ y 2̂ = 3̂.
P
ˆ3
I
r
2̂
Q
s
1̂
B
1. Si el área de un triángulo rectángulo es la cuarta parte del cuadrado de la
hipotenusa, entonces el triángulo es isósceles.
Ayuda: El área de un triángulo rectángulo de catetos b y c es b · c .
2
2. a, b, c son los lados opuestos a los vértices A, B , C, respectivamente.
P
A
—
Prueba que AP = b + c – a .
2
R
B
Q
C
Ayuda: Las tangentes trazadas desde un punto a una circunferencia son iguales.
3. En un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es también bisectriz del
ángulo que forman la altura y la mediana trazada desde ese vértice.
Ayuda: Razona que son iguales los tres ángulos designados en la figura por a.
De esta igualdad se deduce que b es bisectriz del ángulo formado por h y m.
α
α
h b m
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α