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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CAPÍTULO 6. EL V POSTULADO DE EUCLIDES Y SUS
CONSECUENCIAS
Introducción
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Posiblemente ninguna proposición suscitó jamás una polémica tan grande, en la Geometría
Euclidiana, como el conocido V Postulado de Euclides sobre las rectas paralelas. Las críticas
surgieron desde la misma noción original que Euclides presentó sobre la definición de rectas
paralelas. Muchos matemáticos en distintas épocas y culturas presentaron “demostraciones” de
este Axioma y en consecuencia lo clasificaban como un teorema más de la teoría. De éstas
muchas presentaban problemas en la estructura lógica que en su época no fue posible identificar
y otras, con mejor suerte, resultaron ser proposiciones lógicamente equivalentes a dicho
Postulado. Este hecho se presentó desde la misma época de Euclides entre los griegos, en los
matemáticos de la cultura árabe, alcanzó el renacimiento y finalizó en el Siglo XVIII.
Se requirió de los avances en la consolidación de las teorías formales del método axiomático, de
la aceptación de los teoremas de existencia y de otras estructuras abstractas para resolver este
problema hacia mediados del siglo XIX. Siendo muchos los matemáticos que en diferentes formas
participaron en este problema, quedaron finalmente en la memoria de este evento histórico, los
nombres y las obras de Gauss, Lobachevsky y Riemann, los cuales trabajando sobre los estudios
de Jerónimo Saccheri y de la equivalencia probada por Playfair del V Postulado de Euclides con
el Postulado de la existencia única de la paralela por un punto exterior a una recta, establecen la
existencia de nuevos sistemas geométricos consistentes.
La original polémica se salda con resultados invaluables en la construcción del conocimiento
matemático como lo son entre otros: La demostración de la imposibilidad de demostrar el V
Postulado de Euclides como un teorema más de la teoría por cuanto es realmente un Axioma de
la misma.
El establecimiento de la generación de nuevas geometrías perfectamente consistentes,
cambiando el V Postulado, las que se conocen como Geometrías no Euclidianas o también como
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
la relatividad de éste Postulado, han permitido el desarrollo de modelos de aplicación
fundamentales en la Física.
Objetivos Específicos.
1. Presentar el V Postulado de Euclides en su versión
original
y demostrar su
equivalencia con el Postulado planteado por Playfair.
2. Destacar la importancia histórica y el alcance en la matemática generada por la
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proposición original de Euclides y el surgimiento de las Geometrías no Euclidianas.
3. Retomar el problema planteado en el objetivo 4 del capítulo anterior y como esta
pregunta se relaciona con el problema central de la existencia del V Postulado como un
Axioma.
4. Llamar la atención sobre la grandeza y el genio imperecedero de Euclides quien, con
los elementos disponibles en su época, pudo garantizar la existencia de este Axioma y
construir un sistema dentro de la Geometría que, posteriormente con los refinamientos
necesarios, ha sido adoptado por la Matemática como elemento vital en su estructura.
5. Mostrar los recíprocos del Teorema de los ángulos alternos internos y de sus corolarios
y precisar como resultados tan conocidos como, la suma de los ángulos interiores de un
triángulo, y otros igualmente importantes dependen del V Postulado.
6. Señalar como el Postulado de Playfair ha pasado en la práctica a ser identificado como
el Axioma de paralelismo en la Geometría Euclidiana por su sencillez y relación directa
con la relación de paralelismo.
7. Concluir que completados en su presentación todos los Axiomas en la Geometría
Euclidiana, ya es posible obtener todos los resultados conocidos en esta teoría, los cuales
se continuarán construyendo.
8. En el Anexo 2 del texto presento algunos modelos de las Geometrías no Euclidianas
para ser analizados por el estudiante.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
6.1 V POSTULADO DE EUCLIDES (V.P.E.)
Si dos rectas l y r se intersectan con una secante t y determinan con ella en el semiplano
 t , dos ángulos colaterales interiores cuya suma sea menor que 180º, entonces las dos
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rectas se intersectan en algún punto del semiplano  t . (Figura 94).
Figura 94.
O sea: Si     180 , l y r se intersectan en  t .
El quinto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene y entre muchas proposiciones equivalentes, una
de fundamental importancia, conocida como El Postulado de la Paralela única de Playfair.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
6.2 EL POSTULADO DE LA PARALELA ÚNICA DE PLAYFAIR.
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Por un punto exterior una recta pasa una paralela a la recta y sólo una.
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6.3 NOTA HISTORICA
El quinto postulado causó un trastorno considerable desde la época de los griegos. Muchos
geómetras pensaron que tal vez podría deducirse como teorema a partir de los restantes
axiomas o postulados. Euclides mismo trató de evitarlo mientras pudo, pues no lo utilizó en
sus demostraciones sino hasta que llegó a la proposición 120. Durante más de 2.000 años
fueron ofrecidas diferentes demostraciones del postulado, pero cada una se basaba en una
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suposición equivalente al mismo.
Los esfuerzos realizados, sin embargo, condujeron a que en la primera mitad del siglo XIX, se
inventara una geometría que difería radicalmente de la de Euclides. Antes de este hecho se
pensaba que existía solo una geometría posible, puesto que se daba por sentado que la
coherencia de la geometría estaba asegurada por el espacio físico al que interpretaba
plenamente y cuyo fundamento se encontraba en el mundo tal como se percibe y en el cual se
asumía que no pueden darse contradicciones. Fue después de Riemann que empezó a
plantearse la posible falta de coherencia de los sistemas de verdades contenidos en la
geometría.
La independencia del postulado de las paralelas quedó establecida cuando fué demostrada la
compatibilidad de las otras geometrías donde el V Postulado se negaba o cambiaba por otro.
Cualquier geometría cuyos axiomas contradicen alguno de los de Euclídes, es llamada no
Euclidiana. La primera de ellas que se creó es la llamada Geometría Lobachvsquiana. Gauss
(1777-1855) en Alemania, Bolyai (1802-1860) en Hungría y Lobachevsky (1793- 1856) en
Rusia, plantearon independientemente la forma de Playfair (1748-1819) del postulado,
considerando tres posibilidades: Por un punto exterior a una recta, pueden trazarse más de
una, únicamente una, o ninguna paralela a la recta. Suponiendo la infinidad de la recta el
tercer caso fue eliminado. Estableciendo una geometría compatible con la primera hipótesis,
los tres matemáticos realizaron extensos desarrollos geométricos y trigonométricos. Debido a
la prioridad de Lobachevsky en la publicación, la geometría así construida recibió su nombre.
En 1854 Riemann (1826 - 1866) demostró que si se descarta la infinitud de la recta, entonces,
con algunas ligeras modificaciones de los postulados restantes, se podría desarrollar una
geometría compatible con la tercera hipótesis. Al trabajo de Riemann se debe una
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generalización considerable del concepto de espacio, que ha encontrado aplicaciones en la
teoría física de la relatividad.
Aunque Gauss y Riemann tenían la plena convicción de que estas nuevas geometrías eran tan
coherentes como la euclidiana, fue en el año de 1868 que el matemático italiano Eugenio
Beltrami (1835-1900) demostró la plena consistencia de una geometría no euclidiana
utilizando los modelos de curvatura constante, de la seudoesfera y del interior de una esfera
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unitaria n-dimensional, llamado también modelo de Beltrami-Klein.
En el año 1900 David Hilbert logra reducir la coherencia lógica de la geometría euclidiana a
la de la aritmética. Nace el formalismo y la teoría de los sistemas formales con una clara
herencia en el procedimiento como se ha desarrollado la fundamentación de las geometrías.
El hecho de lograr que la geometría se independizara de la física, trajo como consecuencia la
independencia también de la matemática. Desde los griegos, en el Medioevo, pasando por
Kant e incluyendo al mismo Gauss, el concepto de verdad de la matemática, se fundamentaba
en el concepto de verdad del mundo real. La existencia de las geometrías no euclidianas obligó
a explorar la coherencia interna o consistencia de las matemáticas en unos fundamentos más
profundos y totalmente abstractos.
En síntesis el descubrimiento de las geometrías no euclidianas no solo liberó a la geometría de
su molde tradicional, sino que modificó considerablemente los conceptos de la matemática en
general y condujo a un estudio profundo de los fundamentos de esta materia y a un desarrollo
más amplio del método axiomático.
El desarrollo de la geometría Euclidiana, con el quinto postulado suprimido, recibe el nombre
de Geometría Absoluta, contiene las proposiciones que son comunes a las geometrías de
Euclides y de Lobachevsky.
En el anexo N°2 se describen algunos modelos de geometrías no euclidianas e invito al lector a
profundizar en este apasionante tema.
En la proposición que sigue, se demuestra la equivalencia del V.P.E. con el postulado de la
paralela única de Playfair.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
6.4 EQUIVALENCIA ENTRE EL V.P.E Y EL POSTULADO DE PLAYFAIR
TEOREMA 31.
El V.P.E. es equivalente al postulado de la paralela única de Playfair.
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Demostración.

Asumamos que se cumple el postulado de la paralela única de Playfair, es decir,
que para toda recta l y todo P  l !r tal que: P  r y r // l .
Sean l y m dos rectas dadas y t una secante tal que:
 1   2  180 º .
Vamos a probar, para tener el V.P.E., que l y m se cortan en el semiplano  t . (Ver Figura 95).
Figura 95
Es claro que 1   3  180 º .
Como 1   2  180 º , entonces  1   2   1   3   2   3 . Luego por el axioma de


construcción del ángulo,  ! BC tal que: B' Bˆ C   B' B, m  ˆ 2 . Por tanto, m // BC .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ahora B está en l; B  r y r // m . Pero por el postulado de Playfair, por B solo pasa una
paralela
a m. Por tanto, toda recta r que pase por B corta a m. Como l pasa por B y es distinta a r corta a
m.
Veamos ahora que se cortan en  t . Supongamos que se cortan en  1 . (Ver Figura 96). En el


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triángulo A B B' ,  2 es ángulo exterior del triángulo A B B' , luego, por T.  .E.,  2   3 .
Contradicción, ya que teníamos que  2   3 . Por lo tanto l y m se cortan en el semiplano  t .
Figura 96.

Supongamos ahora que es valido el V.P.E. Sea l una recta dada y P  l .
Sea t la perpendicular por P a l y r la perpendicular por P a la recta t.
Figura 97.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Por el teorema de los ángulos alternos internos, ya tenemos que r // l . Bastará con demostrar
que toda otra recta que pase por P corta a l.
Sea pues n otra recta que pasa por P, n distinta a r. Llamemos  al ángulo agudo que hace n
con t.
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Por tanto 1  90 º  90 º 90 º  180 º y por el V.P.E. n y l se cortan del lado en que se forma el
ángulo agudo.
Vamos a estudiar ahora algunas consecuencias del V.P.E. o de su equivalente, el postulado de
la paralela única de Playfair.
TEOREMA 32. Teorema de Proclo.
Si dos rectas distintas son paralelas, toda secante que intersecta a una de ellas
intersecta a la otra, siempre y cuando las tres sean coplanarias.
Demostración.
Supongamos l // r y que S corta a la recta l en un punto A.
Por tanto la recta S es distinta a la recta l. Veamos que S corta a r.
En efecto, sí S no cortara a r se tendría S // r , con S pasando por A. En conclusión
tendríamos dos rectas pasando por A (S y l) ambas paralelas a r. Luego, por el Postulado
de Playfair se tendrá que S  l . Contradicción, ya que S es distinta a l.
TEOREMA 33.
El paralelismo entre las rectas es una relación de equivalencia, o sea que es: Reflexiva,
simétrica y transitiva.
Demostración.
1. Reflexiva: Es claro que l // l .
2. Simétrica: También es claro que si l // r , entonces r // l .
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3. Transitiva: Supongamos que l // r y r // s con l, r y s todas distintas. Veamos
que l // s .
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Razonemos por reducción al absurdo.
Figura 98.
Si l // s , l y s se cortarán en A (Figura 98) y por A se tendrían dos paralelas distintas l y s a r, lo
que contradice el axioma de la paralela única.
Por tanto, l // s .
TEOREMA 34.
Si dos rectas distintas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas lo es a la otra
siempre y cuando las tres sean coplanarias.
Demostración.
Figura 99.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Supongamos l // r y sea n  l en A A  l . Es claro que n corta a l en A.
Luego por el teorema 32, n corta a r. Llamemos B el punto donde n corta a r. (Figura 99).
Veamos que CBˆ A es recto. Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que
CBˆ A no es recto.
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1. Si CBˆ A es agudo, entonces r y l harían con la secante n una pareja de ángulos
colaterales interiores de un mismo lado cuya suma sería menor que 180º y por el
V.P.E. r y l se cortarían, contradicción ya que por hipótesis l // r .
2. Si CBˆ A es obtuso, entonces C ' Bˆ A es agudo y las dos rectas se cortarían del lado de
C ' llegándose de nuevo a una contradicción. Por lo tanto, CBˆ A es recto.
COROLARIO.
Las rectas perpendiculares a dos rectas que se intersectan, todas ellas coplanarias
también se intersectan.
Demostración.
Figura 100.
Sean x, y dos rectas que se cortan en O. Tomemos A  OX y B  OY . Sean n  OX por A y
m  OY por B. (Figura 100). Demostremos que m y n se cortan. Razonemos por reducción al
absurdo.
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Si m y n no se cortaran, serían paralelas; es decir, m// n . Pero OX  n , entonces OX  m
(por teorema anterior). (1).
Ahora, por hipótesis OY  m . (2).
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En (1 ) y (2) se tienen dos rectas perpendiculares a una tercera, luego se concluye que
OX // OY , lo que es una contradicción.
Recuérdese que habíamos demostrado en el teorema 25 que "si dos rectas determinan con una
secante una pareja de ángulos A.I. congruentes, las rectas son paralelas". El reciproco de este
enunciado lo daremos en la siguiente proposición.
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6.5 TEOREMA RECÍPROCO DEL TEOREMA DE LOS ÁNGULOS ALTERNOS
INTERNOS
TEOREMA 35. Recíproco del teorema de los ángulos alternos internos.
Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ángulos alternos internos, que determinan
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con cualquier secante común son congruentes.
Demostración.
Sean y t una secante cualquiera que corta a l en B y a r en A. (Figura 101).
Sea O punto medio de AB
Figura 101.
Bajemos desde O, OH  l .
Como OH  l y l // r , entonces, OH  r .
Así que si llamamos Q al punto de encuentro de OH con r, se tendrá que O Qˆ A es recto.


Ahora: O B H  O Q A (Hip ángulo agudo). Luego OBˆ H  OAˆ Q lo que demuestra el
teorema.
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Presento ahora dos proposiciones cuya demostración la dejo al lector.
COROLARIOS.
1. Dadas dos rectas distintas y paralelas los ángulos correspondientes que
determinan con cualquier secante común son congruentes.
2. Dadas dos rectas distintas y paralelas los ángulos alternos externos que
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determinan con cualquier secante común son congruentes.
TEOREMA 36.
1.
Dos ángulos que tengan sus lados respectivamente paralelos, o son congruentes o
son suplementarios.
2.
Dos ángulos que tengan sus lados respectivamente perpendiculares, o son
congruentes o son suplementarios.
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6.6 CONGRUENCIA DE LOS SEGMENTOS OPUESTOS, DETERMINADOS
POR LA INTERSECCIÓN DE DOS PARALELAS, CON OTRAS DOS
PARALELAS.
TEOREMA 37.
Si dos rectas distintas y paralelas son intersectadas por otras dos rectas distintas y
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paralelas, los segmentos opuestos que se determinan son respectivamente
congruentes (Figura 102).
Figura 102
Demostración.
Determínese el segmento AC y demuéstrese que ∆ABC ≅ ADC.
COROLARIO 1.
Si l // r entonces, para todo punto P perteneciente a l, la distancia del punto P a r es
constante.
El valor de la constante establecida en el Corolario 1 se llama la distancia entre las
rectas paralelas l y r y se designa por d(l,r).
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COROLARIO 2.
Si tres o más rectas distintas y paralelas determinan segmentos congruentes en una
secante común, determinaran segmentos congruentes en cualquier otra secante
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común.
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6.7 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES EN UN TRIÁNGULO
TEOREMA 38.
La suma de los ángulos interiores de todo triángulo vale 180º.
Demostración.
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Sea l // AB trazada por C.
Como l // AB y BC secante, entonces:    2 .
Como l // AB y AC secante, entonces:   1 .

A
C

l
2


B
Figura 103.
Además es claro 1     2  180  . Luego:       180º .
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6.8 TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR (SEGUNDA VERSIÓN)
COROLARIO 1.
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes a el.
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Demostración.
    180º
(1)
      180º (2)
B

A

 
C
Figura 104.
De (1) y (2) se tiene que:      .
COROLARIO 2.
En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos suman 90º
COROLARIO 3.
En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°.
COROLARIO 4.
Si dos triángulos tienen dos pares, de ángulos respectivamente congruentes entonces
los otros dos ángulos son respectivamente congruentes.
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6.9 TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIÁNGULO
Demostración.
TEOREMA 39. Paralela media de un triángulo.
i)
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es
paralelo al tercer lado y tiene por medida su mitad.
Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un
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ii)
lado, dicha paralela biseca al tercer lado.
Figura 105.
i)
Sean M y N puntos medios de AC y CB respectivamente.
Demostremos que: MN // AB y que MN 
1
AB .
2
Prolonguemos MN tal que: MN  NT .


Los triángulos M N C y T N B son congruentes por L-A-L.
Luego los ángulos:
  1
(1)
  1
(2)
CM  BT
(3)
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Pero de (1), las rectas TB y CA son paralelos por hacer ángulos alternos congruentes con
la secante MT .
Determinemos AT , entonces ˆ  ˆ ' por el teorema recíprocos de los ángulos alternos
internos; y por lo tanto AMT  TAB .
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En consecuencia:
MT  AB
MTˆA  TAˆ B
(4)
(5)
Y así como N es un punto medio de MT entonces de (4) se concluye que MN  1 AB y de
2
(5) por el T.  A. I. se concluye que MN // AB .

ii) Sea el triángulo A B C , M punto medio de AC . MN // AB , por N tracemos una paralela a
AC
.
Tenemos:


M NC  T BN
ya
que:
CMˆ N  NTˆB ,
ACˆ B  BNˆ T
(por
correspondientes) y AM  NT  MC . Entonces, CN  NB .
Figura 106.
COROLARIO.
En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la
hipotenusa.
Demostración.

AM mediana del triángulo rectángulo B A C , con ángulo recto CAˆ B .
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Sea D el punto medio de AB, entonces por teorema anterior MD // CA y por lo tanto
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MDˆ B es recto.
Figura 107.

Luego el triángulo A M B es isósceles. MAˆ B  MBˆ A . De aquí concluimos que: AM  MB y
como M es punto medio de BC se tiene que: AM  BM  MC .
TEOREMA 40.
Si el pie de una mediana de un triángulo equidista de los vértices, el triángulo es
rectángulo.
Figura 108.
Demostración.
Sea AM la mediana relativa a BC y además BM  MC  AM . Demostremos que el ángulo
A es recto.

Como BM  AM , A M B es isósceles y por lo tanto:   1 .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Como MC  AM , A M C es isósceles y por lo tanto:  2   .


ˆ
m Aˆ   1   2
Luego:  1   2      180  m A . Pero
.


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ˆ
ˆ
Por tanto: m A  180  m A .

 2m A  180 º y m Aˆ  90 º .
TEOREMA 41. Relación 30°-60°-90° en un triángulo rectángulo.
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo con medida 60° (respectivamente 30°) sí y
sólo si uno de los catetos es igual a la mitad de la hipotenusa.
Demostración



Sea A B C con CAˆ B recto y m ACˆ B  60  . Ver figura 109.
Designemos por M el punto medio de la hipotenusa BC y determinemos la mediana AM , luego
AM  MC por el corolario del teorema de la Paralela Media y en el triángulo isósceles ABC,

 

m MAˆ C  m ACˆ B  60  .


Luego por la suma de los ángulos interiores en el AMC , se tiene que m AMˆ C  60  , esto
equivale a afirmar que este triángulo es equilátero y en consecuencia AM  MC  AC ,
concluyéndose que AC 
1
BC .
2
A
B
M
Figura 109.
C
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6.10 PROPIEDADES DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.
TEOREMA 42. Puntos notables del triángulo.
En todo triángulo se cumple:
1. Las bisectrices se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina
Incentro, este punto equidista de los lados del triángulo. (Incentro: Centro de la
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circunferencia inscrita en el triángulo).
2. Las medianas se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina
Baricentro (o centroide); este punto se encuentra sobre cada mediana a una
distancia de 2
3
del vértice y a 1 sobre el extremo de ésta sobre el lado
3
respectivo.
3. Las mediatrices se intersectan en un punto (no necesariamente al interior del
triángulo) que se denomina Circuncentro; este punto equidista de los vértices del
triángulo. (Circuncentro: centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo).
4. Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se intersectan en un punto (no
necesariamente al interior del triángulo) que se denomina Ortocentro.
(Posteriormente se estudiarán las propiedades asociadas a este punto como lugar
geométrico y respecto a la proporcionalidad).
Demostración de 1
Sean ABC , AK bisectriz de BAˆ C , BS bisectriz de ABˆ C . (Ver figura 110).
 
 AK intersecta al Int BC en el punto T,
por el Teorema de la barra transversal.
(1).
 
 AS intersecta al Int AT en el punto P,
por el Teorema de la barra transversal.
(2).
 Determinemos PH1  AC , PH2  AB ,
Figura 110.
PH3  BC Teorema perpendicular única
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
“bajada” desde un punto exterior. (3).

PH 1  PH 2 propiedad de la bisectriz
AT . (4).

PH2  PH3 propiedad de la bisectriz
BS . (5).
PH1  PH3 transitividad de (4) y (5).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al

(6).
 CP es bisectriz de ACˆ B , de (6)
propiedad de la bisectriz.
Figura 111.
En consecuencia P  Int ABC  , corresponde a la intersección de las tres bisectrices y
equidistan de los tres lados.
Demostración de 3.
Sean ABC , MK mediatriz de AB , NS mediatriz de BC (Ver figura 112).

MK intercepta a NS en un punto P. corolario del Teorema 34.
Figura 112.
Determinemos los segmentos PA , PB y PC . (Ver figura 113).

PA  PB propiedad de la bisectriz PM . (1).

PB  PC propiedad de la bisectriz PN . (2).
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

PA  PC transitividad de (1) y (2). (3).
M
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ci o
al
P está sobre la mediatriz de AC de (3) propiedad de la mediatriz.
Figura 113.
En consecuencia P corresponde a la intersección de las tres mediatrices y equidista de los tres
vértices.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
6.11 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas:
Consecuencias del V.P.E..
Problemas generales.
M
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al
1. En la figura t es secante a l1 y a l 2 respectivamente.
Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado.
1.1 Si ˆ y ˆ son suplementarios entonces l1 // l 2 .
1.2 Si
    180 entonces l1 // l 2 .
1.3 Si l1 // l 2 entonces ˆ  ˆ .
1.4 Si ˆ  ˆ entonces l1 // l 2 .
1.5 Si l1 // l 2 entonces ˆ  ˆ .
1.6 Si l1 // l 2 entonces ˆ  ˆ .
1.7 Si l1 // l 2 y ˆ  ˆ entonces
  .
1.8 Si l1 // l 2 y  '   ' entonces l1  t .
2. En cada una de las figuras siguientes determinar el valor de x, si es posible en función
de las hipótesis dadas. Tenga presente la coherencia y consistencia de sus
argumentaciones.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2.2
M
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2.1
2.3 PQ // BC
2.5
2.4 C está entre B y D.
2.6 C está entre B y D.
AD=AC=BC.
BC=AC.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2.7 AB=AC, AE=AD, D está entre B y C.
2.8 D es punto medio de BC
M
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E está entre A y C.
3. En el ABC , D está entre B y C, E está entre B y D; los ángulos así definidos.
A
 
B


E
 
D

C
De acuerdo con esto, la única relación verdadera es:
3.1        .
3.2        .
3.3        .
3.4            .
3.5            .
4. Demuestre que si dos rectas y una transversal forman ángulos colaterales interiores
suplementarios, dichas rectas son paralelas. Demuestre el recíproco.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5. Sobre los lados de un ángulo agudo XOˆ Y se toman segmentos OA  OB . Desde A se
baja una perpendicular AP sobre OB en P, desde B se traza BQ  OA en Q. Esas
rectas se cortan en l. Demostrar:
5.1 AP  BQ .
5.2 OP  OQ .
M
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5.3 Compara los segmentos lA , lB , lQ y lP .
5.4 Demostrar que el punto l está sobre la bisectriz del ángulo XOˆ Y y que
Ol  AB en su punto medio.
6. Demuestre que si las mediatrices de los lados de un triángulo, se intersectan en un
punto del tercer lado, el triángulo es rectángulo. Demuestre además, el recíproco de
esta proposición.
7. Demostrar que las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo
isósceles, son congruentes y que el segmento que une los pies de dichas alturas es
paralelo a la base.
8. Demuestre que las medianas de un triángulo concurren en un punto que divide cada
mediana en dos segmentos, uno de los cuales mide el doble del otro.
9. Demuestre que las rectas que contienen las alturas de un triángulo, se interceptan en
un punto.
10. Si un triángulo tiene dos medianas congruentes, entonces es isósceles.
11. Demostrar que el segmento que une los pies de las medianas correspondientes a los
lados congruentes de un triángulo isósceles, es paralelo a la base.
12. Hipótesis: A, B, C, D son colineales.
AM  BN ; CM  DN ; AB  CD .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CM  BN  0 .
Tesis:
a.
AMˆ O  MOˆ N .
b.
AM // BN ; MN // AD .
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13. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un
triángulo, determinan cuatro triángulos congruentes.
14. Demostrar que si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 30°, el
cateto opuesto a este ángulo tiene por medida la mitad de la medida de la hipotenusa.
Demuestre además el recíproco de este enunciado.
15. Se tiene que: OA=OB; P  AB , PC  OA ; PD  OB ;
AM  OB .
Demuestre que: PC  PD  AM .
Sugerencia: Trace por P la recta paralela a OB .
16. Demostrar que en todo triángulo equilátero, la suma de las distancias de un punto
interior a los tres lados del triángulo, es constante. Sugerencia: Utilice el problema
anterior.
17. Las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles forman al
intersectarse un ángulo cuya medida es tres veces la medida del ángulo del vértice.
Calcular la medida de cada ángulo del triángulo.
18. En el problema anterior considere las alturas correspondientes a los lados
congruentes del triángulo, en vez de las bisectrices.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
19. Considere: AB  AC ; P  BC . M y N son
puntos medios de BP y PC respectivamente.
DM  BP ; EN  PC ; D  AB ; E  AC .
Demuestre que:
M
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DP // AC ; PE // AB ; DAˆ P  DPˆ E .
20. Dado un triángulo equilátero ABC, sobre los lados AB , BC y CA se toman los puntos
A’, B’, C’ respectivamente, de tal manera que: AA'  BB'  CC ' 
1
AB . Demuestre que el
3
triángulo A’B’C’ es equilátero y que los lados de este triángulo son perpendiculares a
los lados del triángulo ABC.
21. Dado el triángulo ABC cualquiera, se construyen los triángulos equiláteros ABC’, ACB’,
BCA’, estando los puntos A’, B’, C’ en el exterior del triángulo ABC. Demostrar que
AA'  BB '  CC ' .
22. En un triángulo ABC se une al punto medio M de BC con los pies de las alturas H y
H’ bajadas desde B y desde C, respectivamente. Demostrar:
22.1
Si MHH' es isósceles.
22.2
Calcular sus ángulos en función de los ángulos del triángulo ABC.
22.3
AHˆ ' H  Cˆ y AHˆ H '  Bˆ .
22.4
Considerando el triángulo AHH' demuestre que el segmento que une los
pies de las alturas bajadas desde H y H’ es paralela a BC .
23. En un triángulo ABC rectángulo en A se traza la altura AH relativa a la hipotenusa y
desde H se llevan HD  AB y HE  AC . Se une D con E y se llama M el punto medio
de la hipotenusa.
23.1 Demostrar que DE  AM .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
23.2 Sea P el punto medio de AB . Demostrar que PM y la paralela a DE por B se
cortan sobre la recta AH .
24. Las bisectrices exteriores del triángulo ABC se cortan formando el triángulo EFG.
24.1 Calcule los ángulos del triángulo EFG en términos de los ángulos del triángulo
ABC.
M
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24.2 Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC pasan por E, F y G
respectivamente.
24.3 Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC son las alturas del
triángulo EFG.
25. En la figura se tiene CBˆ X y BCˆ Y son exteriores al ABC . BN y CN son sus
bisectrices respectivas. NH  AX ; NP  AY . Demostrar:



25.1 m BNˆ C  90  .
2
25.2 AB  BH  AC  CP .
25.3 N está sobre la bisectriz de BAˆ C .
26. Problema general de aplicación.
En el diagrama se muestra la ubicación de dos predios (1) y (2) demarcados por dos
líneas de fronteras CA y DB respectivamente. Estas líneas se cortan en un punto O
situado sobre la laguna. Los propietarios de estos predios se disputan la propiedad del
predio (3), situado entre ambas líneas. Después de largas discusiones han acordado
como línea demarcadora o limítrofe sobre el predio (3), aquella formada por los
puntos que equidistan de CA y DB .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
M
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Un estudiante de geometría propone la siguiente construcción para determinar la línea de
demarcación acordada entre los propietarios.
i.
T  DB .
ii.
TK // CA .
iii.
TS  TS ' y se determina SS ' .
iv.
SS '  CA  P.
v.
LM : Mediatriz de PS .
El estudiante afirma que LM satisface las condiciones pactadas por los propietarios para la
línea de demarcación.
Pregunta: Justifique si esta construcción propuesta por el estudiante es o no adecuada.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
6.12 EJERCICIOS RESUELTOS
Ilustración N° 1
En cada una de las dos figuras siguientes determinar el valor de 𝑋, en función de los términos
dados:
M
a
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al
a) Uno de los procedimientos a seguir es:
1. Determinemos 𝐶𝐵 y designemos
𝐶𝐵 ∩ 𝐴𝐷 = {𝑘}

2. 𝑋 = 𝛼 + 𝑚 (AkB) ; Teorema
desigualdad triangular (2° versión)
en ∆𝐴𝐵𝑘

3. 𝑚 (AkB) = 𝜃 + 𝛺; ¿por qué?
4. 𝑋 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛺; sustitución de 3 en 2.
b) Información dada:
i.
∆𝐴𝐵𝐶,
ii.
𝐶 está entre 𝐵 y 𝐷
iii.
𝐴 está entre 𝑇 y 𝐵
iv.
̅̅̅̅
𝐵𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅
𝐴𝐷
v.
𝑚 (B ) =50°


Calcular 𝑚 (TAD)

1. 𝑚 (CAB) =50°; de iv. consecuencia del triángulo isósceles.
2.


ACD ≅ D ; de iv. consecuencia del triángulo isósceles.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

3. 𝑚 ( ACD) =100°; Teorema suma ángulos interiores en ∆𝐴𝐵𝐶, de v. y 1.

4. 𝑚 (D ) =100°; de 2 y 3 propiedad de la medida.
5. 𝑋 = 150°; Teorema suma ángulos interiores en ∆𝐴𝐵𝐷, de v. y 4.
Observación:

M
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Aunque se tiene “aparentemente la solución para la 𝑚 (TAD) ”; este problema con la
información suministrada conlleva a una contradicción; esto es, en su estructura hay una
inconsistencia. Obsérvese que a pesar de que el procedimiento aplicado es coherente, si se

suman las medias de los ángulos interiores en el ∆𝐴𝐶𝐷, sin CAD , ésta es mayor que 180° y en
consecuencia esto es absurdo.
Quiero con este tipo de problema en particular, llamar la atención en el sentido de que el
hecho de obtener una “solución” no es condición suficiente para considerar que un problema
ha sido resuelto; es necesario además garantizar que la coherencia de los argumentos de
soporte está a la par con la consistencia de todos los resultados parciales, y en consecuencia
con el resultado final que se generan durante el proceso demostrativo.
Ilustración N° 2
Demuestre el siguiente teorema:
Una recta secante determina con las dos rectas intersectadas ángulos
interiores suplementarios si y solo si las rectas intersectadas son paralelas.
Procedo a demostrar la implicación de izquierda a derecha.
colaterales
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Hipótesis
i.
𝑡 secante a  1 y a  2
ii.



y

colaterales
interiores.
𝛼 + 𝛽 = 180°
M
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iii.
Tesis:  1 //  2 .
Demostración



1. Determinemos  , tal que  y  son alternos internos, definición de ángulos alternos
internos.
2. 𝜃 + 𝛽 = 180° ; medida de ángulos suplementarios.
3. 𝛼 + 𝛽 = 𝜃 + 𝛽 ; transitividad de iii. y 2.
4. 𝛼 = 𝜃; ley cancelativa en la suma, en 3.
5.
 1 //  2; de 4 y 1, Teorema  A.I.
Nota:
Este resultado que corresponde a un corolario del teorema de los ángulos alternos internos,
tiene múltiples aplicaciones, en particular en el Capitulo 8, específicamente en las
propiedades por equivalencia de los cuadriláteros convexos especiales.
Ilustración N° 3
Demuestre el siguiente teorema.
En todo triángulo las mediatrices se intersectan en un punto, no necesariamente en el
interior al triángulo. Este punto equidista de los vértices del triángulo y se denomina
circuncentro.
.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Hipótesis
i.
∆𝐴𝐵𝐶
ii.
̅̅̅̅.
⃡ 1 𝐾 mediatriz de 𝐴𝐵
𝑀
iii.
⃡𝑀2 𝑊 mediatriz
de
M
a
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al
̅̅̅̅ .
𝐵𝐶
Nota:
Demostraré inicialmente que las dos mediatrices se intersectan posteriormente que la tercera
mediatriz pasa por el punto de intersección de las dos primeras.
Demostración
⃡ 1 𝑘 𝜋𝐴,𝐵,𝐶 ; de ii. definición mediatriz.
̅̅̅̅; punto medio de ̅̅̅̅
1. ⃡𝑀1 𝑘𝐴𝐵
𝐴𝐵 , con 𝑀
̅̅̅̅ ; punto medio de 𝐵𝐶
̅̅̅̅ , con 𝑀
⃡ 2 𝑤 𝜋𝐴,𝐵,𝐶 ; de iii. definición mediatriz.
2. ⃡𝑀1 𝑘𝐵𝐶
⃡ 2 𝑤 = {0}; de i. 1 y 2 Corolario Si dos rectas se intersectan y cada una de ellas
3. ⃡𝑀1 𝑘 ∩ 𝑀
es perpendicular a otra recta, todas ellas coplanarias, entonces las dos últimas
también se intersectan.
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
4. Determinemos ̅̅̅̅
𝑂𝐴 , 𝑂𝐵
𝑂𝐶 ; definición segmentos.
5. ̅̅̅̅
𝑂𝐴 ≅ ̅̅̅̅
𝑂𝐵; de ii. propiedad de la
mediatriz.
̅̅̅̅ ≅ 𝑂𝐶
̅̅̅̅ ; de iii. propiedad de la
6. 𝑂𝐵
mediatriz.
̅̅̅̅ ≅ 𝑂𝐶
̅̅̅̅ ; de 5 y 6 transitividad.
7. 𝑂𝐴
8. ∆𝑂𝐴𝐶 es isósceles; de 7, definición
triángulo isósceles.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
⃡ única, 𝑂𝑍
⃡ 𝐴𝐶
⃡ ; Teorema perpendicular única “bajada”.
9. Existe 𝑂𝑍
10. ⃡𝑂𝑍 ∩ ̅̅̅̅
𝐴𝐶 = {𝑀3 }; de 9, designación.
⃡ 3 es altura en ∆𝐴𝑂𝐶 ; de 10 definición de altura.
11. 𝑂𝑀
⃡ 3 es mediatriz de 𝐴𝐶
̅̅̅̅ ; de 11 y 8; propiedades de los segmentos notables en el
12. 𝑂𝑀
triángulo isósceles.
13. Las tres mediatrices se intersectan en un mismo punto; de 3 y 12.
M
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14. 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶; de 5 y 6 propiedad de la medida.
Ilustración N°4
En un triángulo isósceles, la suma de las distancias desde un punto cualquiera del tercer lado,
a los lados congruentes, es igual a la medida de la altura asociada a uno cualquiera de los lados
congruentes.
i) ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles
̅̅̅̅
ii) ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶
iii) 𝑃𝜖 ̅̅̅̅
𝐵𝐶
Hipótesis
iv) ̅̅̅̅
𝑃𝑄 ⊥ ̅̅̅̅
𝐴𝐵
v) ̅̅̅̅
𝑃𝑆 ⊥ ̅̅̅̅
𝐴𝐶
̅̅̅̅
vi) ̅̅̅̅
𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐶
̅̅̅̅ = {𝑇}
vii) ̅̅̅̅
𝑃𝑄 ∩ 𝐵𝐻
̅̅̅̅ + 𝑃𝑆
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 𝑃𝑄
Tesis: 𝐵𝐻
Demostración.
̅̅̅̅ . V P.E.
⃡ ∥ 𝐴𝐶
1. Tracemos 𝑃𝐾
2. ⃡𝑃𝐾 intercepta a ⃡𝐵𝐻 en un punto único. ¿Por qué?
3. Designemos el punto anterior por 𝐹.
̅̅̅̅, teorema de los ángulos alternos internos de las hipótesis v) y vi).
̅̅̅̅ ∥ 𝑃𝑆
4. 𝐵𝐻
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5.
̅̅̅̅ y ⃡𝑃𝐾 ⊥ ̅̅̅̅
⃡ ⊥ 𝑃𝑆
𝑃𝐾
𝐵𝐻 . Teorema: toda perpendicular a una de dos paralelas, es
perpendicular a la otra, de 1) y las hipótesis v) y vi).
̅̅̅̅ Teorema: segmentos de paralelas entre paralelas.
̅̅̅̅ = 𝑃𝑆
6. 𝐹𝐻
7.


FPB  C Teorema: Recíproco de los ángulos alternos internos; (ángulos
correspondientes entre paralelas).


C  ABP Propiedad de triángulo isósceles, de la hipótesis ii).


M
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8.
9.
FPB  ABP transitividad entre 7 y 8.
10. ∆ 𝑄𝐵𝑃 ≅ ∆ 𝐹𝑃𝐵¿Por qué?
10' ̅̅̅̅
𝐵𝐹 ≅ ̅̅̅̅
𝑃𝑄 de 10. ¿Por qué?
11. 𝐵𝐻 = 𝐵𝐹 + 𝐹𝐻 Postulado de adición en la medida de segmentos.
12. 𝐵𝐻 = 𝑃𝑄 + 𝑃𝑆 Sustitución de 6 y 10' en 11.
Problema derivado:
Utilice el resultado anterior para demostrar el teorema siguiente que establece una propiedad
importante del triángulo equilátero. "En todo triángulo equilátero, la suma de las distancia de
un punto interior a los tres lados del triángulo es constante."
Ilustración N°5
En el ∆ 𝐴𝐵𝐶 de la figura se tiene:
̅̅̅̅ .
i) 𝑀 punto medio de 𝐵𝐶
Hipótesis
ii) ̅̅̅̅
𝐵𝐻 ⊥ ̅̅̅̅
𝐴𝐶 , ̅̅̅̅̅
𝐶𝐻′ ⊥ ̅̅̅̅
𝐴𝐵 (Alturas).
Hipótesis
Demuestre:
1. ∆ 𝑀𝐻𝐻′ es isósceles.
2. Calcule los ángulos interiores del ∆ 𝑀𝐻′𝐻 en función de los ángulos interiores
del ∆ 𝐴𝐵𝐶.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA




3. Demuestre que AH' H  BCA y AHH'  ABC .
4. Considerando el ∆ 𝐴𝐻𝐻′ demuestre que el segmento que une los pies de las alturas
bajadas desde 𝐻 y 𝐻 ′ es paralela a ̅̅̅̅
𝐵𝐶 .
M
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Demostración.
1. ∆ 𝐵𝐻′𝐶 es rectángulo, de la hipótesis ii).
̅̅̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝑀
̅̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅
2. 𝐻′𝑀
𝑀𝐶 ; de 1) y la hipótesis i). Corolario, propiedad de la mediana asociada
a la hipotenusa.
3. ∆ 𝐵𝐻𝐶 es rectángulo, de la hipótesis ii).
4.
̅̅̅̅̅
𝐻𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐵𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅
𝑀𝐶 de 3) y la hipótesis i). (Razones análogas a 2).
5.
̅̅̅̅̅̅ ≅ 𝐻𝑀
̅̅̅̅̅ transitividad de 2) a 4) y en consecuencia, ∆ 𝑀𝐻𝐻es isósceles.
𝐻′𝑀
6.
MHH'  MH' H , propiedad del triángulo isósceles de 5)
7.
Designemos: BAC   , ABC   , ACB  
8.
Por la suma de los ángulos interiores en el ∆ 𝐻𝑀𝐻′ y de 6) se tiene:











𝑚 ( HMH' ) = 180° − 𝑚 ( H' MB ) − 𝑚 ( CMH ) = 2𝛽 + 2𝛾 − 180°
= 2𝛽 + 2𝛾 − 180°
= 2𝛽 + 2𝛾 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) ¿Por qué?

𝑚 ( HMH' ) = 𝛽 + 𝛾 − 𝛼
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

9.

𝑚 ( MHH' ) = 𝑚 ( MH' H ) de 6)


10. 2𝑚 ( MHH' ) + 𝑚 ( HMH' ) = 180° suma de ángulos interiores en el ∆ 𝐻𝑀𝐻′


11. 𝑚 ( MHH' ) = 𝑚 ( MH' H ) =

𝛼+𝛽+𝛾−(𝛽+𝛾−𝛼)
𝛼2

= 𝛼 ¿Por qué?

M
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ci o
al
Esto es: 𝑚 ( MHH' ) = 𝑚 ( MH' H ) = 𝑚 ( BAC )


12. 𝑚 ( AH' H ) = 180° − 𝑚 ( MH' H ) − 𝛽 = 180° − 𝛼 − 𝛽 = 𝛾 ¿Por qué?

13. 𝑚 ( AH' H ) = 180° − (𝛼 + 𝛾) = 𝛽 ¿Por qué?


Esto es: 𝑚 ( AH' H ) = 𝛾 y 𝑚 ( AHH' ) = 𝛽 .
Es importante observar cómo se expresan estos ángulos, en términos de los ángulos
interiores del ∆ 𝐴𝐵𝐶 y su distribución relativa porque podemos utilizar el problema
resuelto hasta este punto, para dar solución a la cuarta tesis. Es una forma recursiva que
hace muy interesante este problema. Centremos la atención en el ∆ 𝐴𝐻𝐻′.
̅̅̅̅̅ y 𝐻𝑇′
̅̅̅̅̅ alturas en el ∆ 𝐴𝐻𝐻′, Si tomamos a 𝑀′ como el punto medio de
14. Sean: 𝐻′𝑇
̅̅̅̅̅
𝐻𝐻′ , puede observarse que se tienen las condiciones del problema inicial en el ∆ 𝐴𝐵𝐶
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
y podemos, en consecuencia, utilizar los resultados ya probados, lo que nos permite
concluir:


15. AT'T  AHH' ¿Por qué?


16. AT'T   ¿Por qué?
M
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̅̅̅̅̅ ∥ ̅̅̅̅
17. 𝑇′𝑇
𝐵𝐶 Corolario teorema de los ángulos alternos internos de 16.