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Módulo 4 Propuestas didácticas para el contenido de cambio y
relación
Presentación
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Resultados de aprendizaje
Al final del módulo, el participante será capaz de:
1. Analizar el álgebra como una generalización de la aritmética y reflexionar sobre sus
implicaciones pedagógicas.
2. Distinguir la enorme importancia que tiene la representación gráfica de las expresiones
algebraicas y reflexionar sobre sus implicaciones educativas.
3. Identificar el impacto que tiene la traducción de un problema verbal a su forma algebraica
y reflexionar sobre sus implicaciones educativas.
4. Examinar las particularidades del proceso de matematización aplicado al álgebra en seis
etapas.
5. Usar reactivos PISA y ENLACE para aplicar estas ideas.
Mapa conceptual
Temario
Tema 1. El álgebra como una generalización de la aritmética.
Tema 2. El álgebra como representación gráfica de variaciones funcionales
Tema 3. El álgebra como herramienta para la solución de problemas en el proceso de
matematización.
Tema 4. El álgebra en ENLACE y PISA.
Conclusión
Tema 1. El álgebra como una generalización de la aritmética.
En nuestro diario vivir con los números y el entendimiento de las reglas lógicas
que los estructuran encontramos cosas de radical importancia que el uso frecuente
los ha vuelto autoevidentes. Por ejemplo, pocos tendrían problemas aceptando que:
2(4) = 4(2)
… o que 2 + 4 = 4 + 2
Difícilmente encontraremos en matemáticas una palabra más importante que ésta.
Desafortunadamente es poco usada en nuestra práctica docente y pocos alumnos pueden
explicar lo que significa.
Es lógico que iniciemos con la pregunta que nos ocupará aquí en este módulo.
Ahora bien, supongamos que Rosa, nuestra alumna, va a resolver las siguientes
ecuaciones:
Nótese que Rosa está aplicando un procedimiento para dar respuesta a una afirmación
muy complicada:
Si no supiéramos álgebra sería extraordinariamente difícil encontrar la comprobación de tal
afirmación simplemente usando nuestros recursos de cálculo mental. Podemos decir que
para la mayoría de nosotros sería imposible lograr encontrar el valor de x que satisface tal
ecuación sin la herramienta de trabajo que da el álgebra.
Buscando entender la lógica del álgebra es que presentamos una serie de axiomas evidentes
por sí mismos con sus nombres y un ejemplo en una tabla.
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El rasgo más sorprendente del álgebra es que toda su complejidad se reduce a seguir
sistemáticamente estas reglas básicas donde cada una de ellas es cierta y no podemos
encontrar en ellas ningún punto de duda.
En honor al rigor matemático lo anteriormente dicho no es del todo verdadero pues los
matemáticos dudan si expresiones tan verdaderas en la vida cotidiana como 1 + 1 = 2 son
verdaderas en sistemas matemáticos diferentes. Sin embargo para nuestros propósitos
podemos decir que lo enunciado en las propiedades anteriores es verdadero.
Veamos entonces cómo la ecuación que resolvió nuestra alumna Rosa tan rápidamente en el
ejemplo anterior no es más que una aplicación sistemática de ideas que son absolutamente
ciertas y que al aplicarlas obtenemos resultados ciertos cuya respuesta nos era desconocida.
Teniendo la siguiente ecuación, apliquemos los axiomas para llegar a su solución:
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Es de esta manera que aplicando lo que sabemos de la aritmética se logra resolver algo que
resulta casi imposible para la mente humana sin tales métodos.
Veamos ahora otro ejemplo, aplicando los mismos principios para resolver sistemas de
ecuaciones.
Teniendo las siguientes ecuaciones:
2x + 3y = 4
x + y=6
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Ahora juguemos un poco. Usemos este simple ejemplo para ilustrar el poder de abstracción
del álgebra como herramienta mental para manipular situaciones complejas.
Casi todos hemos jugado este famoso acertijo y generalmente nos hemos quedado
sorprendidos de su resultado.
Veamos cómo realizar el ejercicio anterior.
Haremos este juego con dos alumnos “Ana sin álgebra” y “Rosa con álgebra”
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Veamos otro ejemplo:
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Ya que vimos el álgebra como una generalización de la aritmética, veremos a continuación
en el siguiente tema el álgebra como representación gráfica de variaciones funcionales.
Tema 2. El álgebra como representación gráfica de variaciones
funcionales
Descartes hizo que nos percatáramos que esas expresiones algebraicas nacidas de un
pensamiento generalizador de la aritmética tenían un referente gráfico en lo que justamente
se llamó “Plano Cartesiano” para honrar su nombre.
Hay una infinidad de situaciones que representan relaciones funcionales.
Utilicemos una situación muy simple para iniciar.
Dar respuesta a esta situación es muy simple y puede quedar resumida en una tabla como la
siguiente:
Esto es aritmética, pero una vez que se entiende que el álgebra es una generalización de la
aritmética entonces observamos una regla de relación entre las dos cantidades que dice que
… y ya que el álgebra usa símbolos es posible expresar esto simplemente como:
Todo ello para producir una gráfica del tipo:
Entonces llegar a una expresión gráfica a partir de una expresión matemática es producto de
un largo proceso que empezó con la aritmética. El origen de todo el pensamiento matemático
desde lo más simple a lo más complejo reside en la aritmética aun cuando con la práctica
automatizamos muchas de las operaciones descritas y pareciera que los pasos no existen.
Analicemos ahora un caso más complicado.
Utilizaremos nuevamente uno de los problemas del módulo 2:
Sigamos los pasos que ya vimos anteriormente y que se presentan a continuación:
1. Aritmetización
Podemos iniciar el problema pensando con números y hacer varios tanteos para ver qué
sucede con el problema:
Supongamos: Edad de Antonio ahora = 10 años
En consecuencia:
¿En tres años, es la edad de Juan dos veces la de Antonio?: No. La suposición estuvo
equivocada.
El proceso podría continuarse en forma azarosa si se quisiera hasta dar con la solución.
2. Simbolización
Revisamos nuevamente la situación planteada:
Para hacer el proceso más simple simbolizamos:
A = edad de Antonio ahora
J = edad de Juan ahora
Ahora, con estos símbolos será más fácil organizar la información.
3. Organización de la información
El proceso obviamente resulta complejo, pero tiene una lógica perfecta por lo que si
continuamos haciendo tanteos tendremos en algún momento el resultado.
Hacer tanteos sin un organizador de la información que nos muestre la tendencia de los
datos puede ser poco fructífero. Para hacer el proceso más simple simbolizamos:
A = edad de Antonio ahora
J = edad de Juan ahora
… y con esta simbolización organizamos…
El proceso fue complicado pero a la larga efectivo. Sabemos finalmente en la resolución del
problema que:
En el proceso de cálculo sabíamos que íbamos por buen camino pues la diferencia de años
se hacía cada vez más pequeña con cada tanteo. El problema fue resuelto pero ¡a qué costo!
Y podemos anticipar que en una gran cantidad de situaciones tales métodos van a estar
seriamente limitados o será simplemente imposible usarlos.
Sin embargo tal ejercicio del uso de los números no fue inútil, definitivamente nos dio los
elementos para un entendimiento profundo del problema y así nos preparó para movernos a
un nivel más alto de abstracción: la algebratización.
4. Algebratización
En nuestro esfuerzo por generar números que nos indicaran dónde podría estar la respuesta
descubrimos patrones que relacionan las variables del problema pero que para ayudar a la
mente a manejarlos deben traducirse de las palabras al álgebra.
Veamos cómo hacerlo:
El problema queda reducido entonces a un par de ecuaciones:
J – 3 = 3 (A – 3)
J + 3 = 2 (A + 3)
Lo cual puede ser expresado como:
J = 3A – 6
J = 2A + 3
… y resuelto a través de:
3A – 6 = 2A + 3
Para finalmente concluir que
A = 9 y J = 21
5. Graficidad
Nuevamente revisamos la situación planteada:
Por medio del álgebra concluimos que la solución al problema anterior es:
A = 9 y J = 21
Una manera de conjuntar todos estos resultados numéricos y algebraicos está dada por el
uso de un plano cartesiano. Si estas dos ecuaciones se colocan en la gráfica tendríamos:
Nunca está demás promover que los alumnos hagan todo este proceso cuando trabajan con
el álgebra. En la rutina de la clase los maestros frecuentemente nos engarzamos en la
resolución de problemas por medio de expresiones algebraicas por el problema mismo sin
proveer al alumno la oportunidad de sentir esa expresión desde diferentes ángulos de
representación mental.
En general no podemos estar haciendo este trabajo numérico o gráfico para cada problema
que resolvamos, pero sí debemos hacerlo con suficiente frecuencia para que el alumno no
olvide que detrás de cada expresión algebraica está un número que nos permite observar
cómo se comporta la expresión en situaciones muy especificas y hay también una expresión
gráfica que nos permite ver globalmente la expresión algebraica con todas sus características
y tendencias y que dentro de estas dos características es necesaria la simbolización y la
organización de la información.
A continuación veremos el álgebra como herramienta para la solución de problemas en el
proceso de matematización.
Tema 3. El álgebra como herramienta para la solución de problemas en el
proceso de matematización
En esencia lo que se intenta reflejar en nuestros nuevos planes de estudio es que si hemos
de aprender matemáticas es porque ellas nos permiten dar respuesta a muchas situaciones
problemáticas de la vida real, no porque sean simplemente objetos interesantes de estudio
en sí mismos.
La vida real sin embargo no viene en matemáticas directamente sino que tienen que ser
rescatadas, excavadas como si fuera oro dentro de una mina.
En el problema anterior:
Todo quedó reducido a un sistema de ecuaciones simples:
J – 3 = 3 (A – 3)
J + 3 = 2 (A + 3)
Entonces para resolverse el problema tuvo que sufrir una transformación que hizo que
aquello que estaba dado con palabras se expresara con álgebra.
En esta transformación lleva varios pasos, en la cual nos vamos a concentrar ahora:
Veamos a continuación cómo identificar estas etapas con otro ejemplo.
1. Comprender el problema
¿Cómo resolverían sus alumnos este problema? Tómese al menos 15 minutos para
realizarlo.
Muy bien… a continuación vamos a reflexionar sobre él.
En una primera lectura notamos que dentro de todas estas palabras hay cantidades ocultas
que son útiles o no son útiles en la resolución del problema:
Si un autobús que viaja entre 2 ciudades incrementara su velocidad usual en 10 kilómetros
por hora haría el viaje en ½ hora menos que el tiempo que usualmente toma. Sin embargo
si su velocidad se disminuye en 10 kilómetros por hora el viaje tomaría 1 hora más.
Encuentre la velocidad del autobús y la distancia que separa las ciudades.
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Para lograr tal fin tenemos que ir capturando los significados de cada frase del problema ya
sea leyendo explícitamente o leyendo entre líneas.
2. Encontrar el hecho matemático dominante del problema.
Nuestro conocimiento previo nos conecta con la famosa fórmula
(V = d/t)
Entendemos que el objetivo del problema es encontrar la velocidad y la distancia a las que
usualmente viaja el autobús.
3. Aplicar este hecho matemático en las condiciones específicas
del problema hasta lograr un modelo matemático del mismo.
Para lograr un modelo matemático tenemos que pensar en las diversas situaciones que se
pueden presentar. Veámoslas a continuación.
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Con todo esto hemos logrado algo muy importante. Tenemos un modelo matemático de la
situación dado por las ecuaciones:
Lo anterior no es un sistema de ecuaciones simple de resolver, pero esto ya es menos
importante al proceso de resolución de problemas, particularmente en estos tiempos donde la
tecnología nos permite resolver complejos sistemas algebraicos con un clic.
Definitivamente saber operar “a mano” con los
siendo importante pero tal cosa es secundaria
sistemas algebraicos de postulados verbales.
precisamente en esta habilidad, no tanto en
algebraicos ya dados.
sistemas y expresiones algebraicas sigue
al compararla con la habilidad de extraer
La creatividad matemática se demuestra
encontrar soluciones exactas a sistemas
Hasta el momento vamos en la tercera de las 6 etapas para transformar un problema en una
expresión algebraica. Recapitulemos:
Primero leímos el problema y comprendimos lo que nos pedía. No teníamos idea sobre
cómo podíamos resolverlo, pero eso no nos limitó en nuestra búsqueda por la solución.
Simplemente buscamos la manera de representar el problema adecuadamente, entender
cuáles eran las piezas de información ya dadas por el problema y cuáles eran los objetivos
del problema.
Posteriormente entendimos que la representación del problema tenía que venir de una
situación fundamental que relaciona velocidad, distancia y tiempo y que con sus
particularidades tenía que aplicar en las tres situaciones mostradas.
Por último vimos que expresando cada situación dentro del concepto general de que v = d/t
encontramos un modelo matemático que representa el problema.
Ahora es momento de resolver el modelo matemático en la etapa 4. Veamos a continuación
como funciona.
4. Resolver el modelo matemático
En este punto de nuestra etapa de solución de problemas ya estamos seguros que podemos
resolver el problema. Luce un poco complicado pero esto es completamente secundario a lo
que hemos logrado. Ahora nuestras dificultades son mucho más técnicas que creativas y no
hemos de tener problemas para resolverlo aun cuando sea tal vez un poco largo el proceso.
Existen una infinidad de caminos que nos pueden llevar al resultado correcto. ¿Cuál elegiría
el maestro Ramiro? Aquí seguiremos el siguiente.
Tenemos las siguientes ecuaciones:
Transformado la fracción de la ecuación 2:
Sumando esta ecuación con la ecuación 3:
Ya que v = d/t
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por los denominadores:
Moviendo un término a la izquierda y factorizando 2(t+1):
Efectuando operaciones:
Por lo tanto:
t = 2 horas
Substituyendo en la ecuación 3:
Multiplicando por el mínimo común múltiplo (6):
3d – 60 = 2d
De donde
d = 60 kilómetros
5. Comprobar que la respuesta satisface las condiciones del
problema
Tenemos que realizar otro paso de gran importancia que frecuentemente tendemos a ignorar
al trabajar con nuestros alumnos en el salón de clases. Tenemos que estar seguros que
nuestra respuesta satisface las condiciones planteadas por el problema:
Como podemos ver, nuestro problema se ha resuelto de manera correcta.
6. La comprensión global del problema
Una vez resuelto el problema un plano cartesiano puede ayudarnos a comprenderlo en
forma global.
Las ecuaciones 2 y 3 son ecuaciones en tres variables lo cual es extraordinariamente difícil
de graficar en dos dimensiones.
Utilizando la condición de que v = d/t podemos fácilmente transformar las ecuaciones a:
¿Qué clase de ecuaciones son estas?
observemos el resultado.
Pongamos estas funciones en un graficador y
Resulta que son parábolas.
Demuestre que estas ecuaciones se transforman en:
d = 20t2 – 10t
d = 10t2 + 10t
El que las ecuaciones graficadas hayan resultado ser parábolas no deja de ser paradójico.
Tenemos un autobús moviendose a cierta velocidad constante, luego a una velocidad mayor
pero también constante y finalmente a una velocidad menor pero también constante.
¿Por qué sus gráficas parabólicas distancia contra tiempo muestran que la velocidad no es
constante? ¿qué es lo que pasa?
La herramienta matemática nos ha dado un poder insospechado. Ha transformado el
problema a un problema de velocidad variable cuya velocidad promedio es:
v + 10
o
v – 10
Es decir, si en cada punto de la curva marcada en rojo estimáramos su pendiente y
sacáramos el promedio de velocidades, la velocidad sería v + 10. Si lo hicieramos de igual
manera en la curva azul la velocidad sería v – 10.
¿Quién pudo haber sospechado que tal cosa pasaría? Muy pocos. Inclusive tal giro del
problema hubiera pasado inadvertido a un matemático profesional si no se hubiera
propuestoa analizar el problema en todas sus facetas.
Las matemáticas son constantemente una caja de sorpresas. Nos hacen dar cuenta de
cosas que no imaginábamos como si tuvieran ellas mismas vida propia. En la resolución de
este problema todo brotó de nuestras manos y sin embargo nos admiramos de lo que
inadvertidamente creamos.
Con esto terminamos las 6 etapas en la resolución de un problema algebraico.
No se pretende que un análisis como el anterior sea parte de la vida regular del salón de
clases ya que no se cubriría el currículo, pero insistimos eque deben ser parte de la vida
académica en algunos momentos importantes del año escolar.
Tema 4. El álgebra en ENLACE y PISA
En general las expectativas algebraicas de ENLACE y PISA no son tan altas como lo que se
ha estudiado en este módulo.
Si intencionadamente hemos aumentado el nivel de análisis es para mostrar al maestro tres
ideas principales:
Veamos a continuación dos ejemplos de problemas de dificultad alta de ENLACE 2008.
Haz clic en el botón para ver los ejemplos de Álgebra Enlace.
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Con respecto a PISA, observamos problemas de mayor complejidad porque no son
típicamente problemas que para su solución necesiten una manipulación algebraica de
ecuaciones o expresiones matemáticas aunque de alguna manera la simbolización sigue
estando presente.
El punto aquí es generalmente describir cómo cambia una cantidad con respecto a otra,
algo que todas las funciones algebraicas representan. PISA trata de evitar lo que es común
y trillado y reta a los alumnos a resolver problemas novedosos donde hay que pensar
gráficamente más que algebratizar el problema.
La gráfica adquiere entonces predominio sobre la manipulación algebraica y eso hace
interesantes a estos problemas y definitivamente representan niveles de comprensión mucho
más profundos.
Presentamos para su estudio cuatro problemas PISA sobre este tema:
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Estos problemas han sido cuidadosamente analizados bajo la misma filosofía que usamos en
el módulo anterior. PISA demanda pedagógicamente de sus maestros en el salón de clases
la creación de un contexto para la práctica sistemática del análisis gráfico de las funciones
que se vayan enseñando según el plan curricular, esto con el propósito de que sus alumnos
resuelvan los reactivos exitosamente.
Realizaremos una práctica extensa con estos reactivos PISA y ENLACE en las actividades
de aprendizaje.
Conclusión
En este módulo hemos aprendido a mirar el álgebra como una herramienta que al
generalizar los resultados de la aritmética nos permite resolver situaciones complejas que de
otra manera sería muy difícil o imposible de realizar. Una aplicación sistemática de las
propiedades de los números y de las propiedades de igualdades aritméticas nos permite ir
manipulando expresiones algebraicas para que ellas adquieran formas más simples o en el
caso de las ecuaciones para irlas reduciendo a tal punto que produzcan las respuestas que
buscamos. Así hemos visto ejemplos concretos sobre cómo el uso sistemático de
propiedades evidentes en sí mismas -como las propiedades asociativas y distributivas de los
números y otras aquí descritas- resuelven ecuaciones o reducen expresiones algebraicas.
Además, hemos aprendido a mirar a las expresiones algebraicas a sabiendas que tienen dos
caras de gran importancia: una simbólica y la otra gráfica.
Como era de esperarse, detrás de todo proceso algebraico y simbólico y de la construcción
de un sistema coordenado cartesiano existe un proceso numérico, que si bien ya tenemos
mucha práctica podríamos obviarlo pero que en muchos casos su aplicación explícita
promueve una comprensión más profunda de la situación, como lo vimos en el problema de
las edades.
Finalmente al aplicar el proceso de matematización a la solución de problemas algebraicos
observamos que un aspecto crucial de ellos es la traducción del problema de una lengua
natural (como el español) a una lengua artificial (como las matemáticas). Este cambiar de
oraciones por ecuaciones es tal vez la actividad más importante de los seis pasos descritos
en la tercera parte de este módulo.
Con el material visto en este módulo nos hemos adentrado en el estudio de un aprendizaje
significativo de las matemáticas. Aprendimos en el módulo 1 lo que era un proceso de
matematización, en el módulo 2 vimos sus procesos, en el módulo 3 nos dimos cuenta que
todo el edificio matemático reside en el concepto de número, en el módulo 4 nos dimos
cuenta que una generalización de las propiedades aritméticas produce el álgebra y en el
módulo 5 veremos cómo el proceso de matematización se presenta en formas geométricas
apoyado por supuesto por un sistema numérico y un sistema algebraico.
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14,
15
y
16]