Download Introducción - Mat.USon

Universidad de Sonora
Departamento de Matemáticas
Programa de Maestría en Matemática
Educativa
Diplomado "La Enseñanza de las
Matemáticas en la
Educación Secundaria"
Material Didáctico sobre Concepciones del Álgebra
Escolar
Responsable:
Del Castillo Bojórquez Ana Guadalupe
Colaboradores:
Maricela Armenta Castro
Villalba Gutiérrez Martha Cristina
Hermosillo, Sonora. Octubre de 2006
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
Contenido:
Lección 1: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades
Actividad 1
La Torre de Números
Actividad 2
Camino a la escuela
Actividad 3
Llenando botellas
Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la resolución de
problemas
Actividad 4
Igualdad y Equivalencia
Actividad 5 Ecuaciones y Estrategias
Actividad 6 Ir y Regresar
Actividad 7 Ir y Regresar en la resolución de ecuaciones
Lección 3: El álgebra como el estudio de estructuras
Actividad 8 Estructuras Algebraicas, parte I
Actividad 9 Estructuras Algebraicas, parte II
Lectura: Usiskin, Z. (1988), Concepciones del álgebra escolar, 1988
NCTM Yearbook. Versión en inglés disponible en
http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/algebra/
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
Presentación
Estas actividades tienen como propósito promover la reflexión sobre las distintas
concepciones del álgebra escolar, como aritmética generalizada, como lenguaje, como el
estudio de métodos para la resolución de problemas, como el estudio de relaciones entre
cantidades y como el estudio de estructuras, asociando estas concepciones a los distintos
usos de la variable. Se pretende concretar mediante retos, juegos, problemas y
situaciones similares sobre búsquedas de patrones, interpretaciones gráficas, modelos
simbólicos, esquemas analógicos, etc., aquellos elementos que en la actualidad se
consideran como manifestaciones del pensamiento algebraico, aquél que incorpora como
hábitos analíticos de la mente, entre otros, habilidades para resolver problemas,
habilidades para abstraer, representar, procesar, comunicar y habilidades para razonar.
En “Los Programas de Estudio de la Educación Secundaria” (p.27) se plantea que: “La
idea central de este eje en el nivel secundario es que los alumnos desarrollen una
forma de pensamiento que les permita construir modelos matemáticos para resolver
situaciones problemáticas en diversos contextos, operar con dichos modelos e interpretar
los resultados obtenidos para contestar las preguntas que se hayan planteado
inicialmente.” ( el énfasis en negrita es nuestro).
Por tanto, hemos considerado la necesidad de promover experiencias entre los
profesores –a manera de un primer acercamiento- con aquello que podría perfilar al
álgebra en este nivel. Es decir, estas actividades, buscan la promoción del pensamiento
algebraico mediante estrategias específicas, que permitan a su vez, una producción y
comunicación libre entre los participantes a fin de reflexionar -entre ellos y con el asesorsobre las posibilidades de implementar estrategias análogas en su salón de clase, y sobre
todo, valorar las actuales visiones didácticas de las matemáticas que buscan, como lo
hemos citado en el párrafo anterior, habilitar a los estudiantes con herramientas de
pensamiento e ideas propias útiles a largo plazo y en diversos contextos, más que con
definiciones y algoritmos cuya utilidad y duración se restringe al salón de clase y hasta
que pasan los exámenes.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
Objetivos
Objetivo general de los materiales
Promover la reflexión sobre las distintas concepciones del álgebra: como
aritmética generalizada, como lenguaje, como el estudio de métodos para la
resolución de problemas, como el estudio de relaciones entre cantidades y como
el estudio de estructuras, asociando estas concepciones a los distintos usos de la
variable y a los elementos que en la actualidad se consideran manifestaciones del
pensamiento algebraico: habilidades para resolver problemas, habilidades para
abstraer, representar, procesar, comunicar y habilidades para razonar.
Objetivos específicos
1. Desarrollar estrategias que permitan descubrir patrones y formas de
expresarlos.
2. Expresar argumentos que justifiquen el ámbito y la validez de las
expresiones construidas
3. Promover la reflexión sobre las habilidades puestas en juego en el
desarrollo de las actividades, que son propias del pensamiento algebraico.
4. Explorar y reflexionar acerca del uso de la hoja electrónica como apoyo
para el desarrollo de habilidades propias del pensamiento algebraico.
Metodología
Se ha pensado en una organización del grupo en equipos de tres o cuatro personas en
donde la función del asesor se enfoque a guiar las actividades de estudio que los
participantes deberán realizar, así como intervenir eventualmente para darle forma a la
socialización de los resultados que tal estudio por equipos logre producir. En este sentido
es importante señalar el énfasis que deberá ponerse a la reflexión sobre el papel
primordial que en esas producciones tuvieron “las formas de pensar” (cómo interpretaron,
Elaboración de los Materiales:
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
de qué se valieron, qué papel jugaron las representaciones que utilizaron, cómo
validaron...)
La sesión está estructurada en nueve actividades y una lectura. Con las actividades se
espera que los profesores recorran el camino donde los distintos componentes del
pensamiento algebraico cobren sentido. Las actividades se abordan a través de
observaciones, diagramas, utilización de objetos manipulables, uso de software y
calculadora. Se sugiere además en cada sesión hacer la referencia apropiada en los
libros y materiales utilizados por los profesores en la escuela secundaria.
Las primeras tres actividades tienen como propósito concebir el álgebra como el estudio
de relaciones entre cantidades, a la vez que se reflexiona sobre el álgebra vista como
aritmética generalizada y como lenguaje, utilizando para ello el reconocimiento de
patrones y distintas representaciones (tabulares, gráficas y simbólicas). Las siguientes
cuatro actividades, se ocupan de la resolución de ecuaciones como un método para
resolver problemas, en las que la variable se concibe como una incógnita. Las actividades
9 y 10 están orientadas al estudio del álgebra como estructura, donde las propiedades
aritméticas conocidas, vistas como transparentes, cobran una nueva dimensión al ser
cuestionadas en un sistema algebraico diferente.
La lectura sirve para reforzar la reflexión y análisis de las concepciones del álgebra
escolar y el uso de variables puestos en juego a lo largo del desarrollo de las actividades.
Se recomienda que la lectura se haga en casa como tarea, para llevar a cabo la discusión
y reflexión conjunta durante el desarrollo de la sesión.
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Secuencia de
Actividades
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
Lección 1: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades
Actividad 1
La Torre de Números
1
1 2
1
1
2
1
2
2 3
3 4
3
4 5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
1
3
4
2
3
1
2
5
4
3
1
2
1
1. Hay siete filas en la torre representada arriba. ¿Cuántos bloques hay en la
séptima fila?
2. Suponga que desea construir una torre con 25 filas usando el mismo
diseño. Describa cómo podría calcular cuántos bloques se necesitarían
para la vigésima quinta fila (más larga). Puede auxiliarse con la siguiente
tabla.
Número
filas
de Número de bloques
en la fila más larga
(Contando)
Número de bloques en la
fila más larga (Haciendo
operaciones)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
25
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3. Una torre muy grande fue construida usando el mismo diseño. La fila más
larga tenía 299 ladrillos en ella. ¿Cuántas filas de ladrillos tiene la torre?
4. ¿Si alguien le dijo cuántas filas de ladrillos estaban en una torre, cómo
podría con su figura obtener el número de ladrillos en la fila más larga?
5. ¿Si alguien le dijo cuántos ladrillos estaban en la fila más larga de una
torre, cómo podría obtener cuántas filas habrían?
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Lección 1: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades
Actividad 2
Camino a la escuela
1. Esther, Daniel, María, Pablo, y Pedro recorren el mismo camino a la
escuela cada mañana. Pedro va en el carro con su papá, Esther va en
bicicleta, y María camina. Daniel y Pablo, a veces van el carro, otros días
van en bicicleta, y a veces, caminan. El siguiente mapa muestra dónde vive
cada persona.
2. La gráfica siguiente describe el viaje a la escuela del lunes pasado, de cada
uno de ellos.
a. Etiquete cada punto en la gráfica con el nombre de la persona que
representa.
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Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
b. ¿Cómo viajaron Pablo y Daniel a la escuela el lunes?
c. Describa cómo obtuvo su respuesta para (b).
d. En la gráfica, los puntos que corresponden a Esther, Pablo, y Daniel
están casi sobre una línea recta. ¿Qué le sugiere esto sobre su
modo de transporte?
3. El papá de Pedro puede conducir a 30 kph en la sección recta del camino,
pero tiene que disminuir su velocidad en las esquinas. Bosqueje una gráfica
en la figura de abajo que muestre cómo varía la velocidad del carro a lo
largo de la ruta.
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Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
Lección 1: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades
Actividad 3
Llenando botellas
1. ¿Ha observado alguna vez que cuando se están llenando botellas, al llegar
casi al tope, súbitamente el agua se empieza a derramar? ¿Por qué sucede
esto?
2. Imagine que cada una de las seis botellas que se muestran abajo, se llena
manteniendo un flujo constante. Para cada botella, elija la gráfica adecuada
que relacione la altura del agua con el volumen del agua que se ha vertido.
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
3. Para las tres gráficas que quedan sin seleccionar, muestre como sería la
botella que se llena.
4. Bosqueje la gráfica para siguiente secuencia de botellas
5. Usando estos bosquejos, explique por qué el llenado de una botella con
lados rectos e inclinados no da una recta como gráfica.
6. ¿Es posible que dos botellas distintas produzcan la misma gráfica de la
relación altura-volumen? En caso afirmativo bosquéjelas.
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
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Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la
resolución de problemas
Actividad 4
Igualdad y Equivalencia
1. Observe las siguientes expresiones. Cada una de ellas tiene un enunciado
que involucra cantidades. En cada caso, diga si el enunciado es siempre
verdadero; es verdadero sólo en algunos casos, o nunca verdadero?
Justifique su respuesta
a. 5+3=8
b. 2+14=12
c. 3+y =5
d. x+3=y
e. 3x=2x+x
f. 3x=3x+1
2. ¿Cuáles de las expresiones del punto anterior son ecuaciones?
Elaboración de los Materiales:
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
3. Encuentre la solución de las ecuaciones del punto anterior.
4. Una balanza es un buen modelo visual para representar la equivalencia de
cantidades. La siguiente figura muestra una balanza de dos bandejas con
dos pesas a la izquierda y una a la derecha, así si los pesos de la izquierda
son 10 y 21 y el de la derecha es 31, la balanza estará equilibrada.
5. Tomando como base las dos primeras balanzas de la figura siguiente,
dibuje la figura que equilibrará la tercera balanza, partiendo de que en las
tres balanzas, figuras iguales tienen el mismo peso.
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
6. ¿Cuál será figura para la balanza D, si se supone que formas iguales tienen
igual peso?
7. ¿Cuál podría ser una solución para la balanza D, suponiendo que formas
iguales tienen igual peso?
Nota: Las formas en este problema no necesariamente tienen el mismo peso que
las formas del problema anterior.
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Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
8. Para cada expresión del problema uno, dibuje una balanza que la
represente. ¿Cómo podría usar la balanza para decidir cuando una
expresión es verdadera o falsa?
a. 5+3=8
b. 2+14=12
c. 3+y =5
d. x+3=y
e. 3x=2x+x
f. 3x=3x+1
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Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la
resolución de problemas
Actividad 5
Ecuaciones y estrategias de resolución
1. Resuelva los siguientes problemas, utilizando más de una estrategia:
a. Un número y su cuarta parte suman 15, ¿cuál es el número?
b. Un número y su séptima parte suman 32, ¿cuál es el número?
c. 432n  4 / 6  8
d. 5b / 2  3  20
e. 7(n  1) / 2  14
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
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Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la
resolución de problemas
Actividad 6
Ir y Regresar
1. Realicen por parejas el siguiente algoritmo:
Elijan un número (Entrada)
Duplíquenlo
Sumen dos al resultado
Dividan el resultado por dos
Resten 7 del resultado obtenido
Multipliquen el resultado por 4 (Salida)
2. En relación con el algoritmo anterior
cuestionamientos:
a. Si la entrada es 9, ¿Cuál es la salida?
responda
a
b. Si la entrada es 10, ¿Cuál es la salida?
c. Si la entrada es n, ¿Cuál es la salida?
d. Si la salida es 28, ¿Cuál fue la entrada?
e. Si la salida es 32, ¿Cuál fue la entrada?
f. ¿Qué entrada produce una salida de 36?
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
los
siguientes
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
3. ¿Qué estrategias usaron para resolver las preguntas planteadas del inciso d al
f?
4. Describa cómo funciona el algoritmo inverso al algoritmo anterior, es decir, el
algoritmo que a partir de un resultado, regresa al dato inicial.
5. Mediante la aplicación sucesiva del primer algoritmo y su inverso se llega hacia
algo y luego se regresa. Esto es, si se aplica a un número el algoritmo original
y luego al resultado se le aplica el algoritmo inverso, ¿se regresa al número
original? Verifíquelo
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
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Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la
resolución de problemas
Actividad 7
“Ir” y “regresar” en la resolución de ecuaciones
1.
Complete el “camino de ida” de la ecuación 432n  4 / 6  8 , en el siguiente
diagrama:
n
Por 2
Menos 4
Por 3
Entre 6
Por 4
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
2.
¿Cómo será el “camino de regreso”?
ecuación:
Complete el diagrama y resuelva la
Por 2
Menos 4
Por 3
Entre 6
Por 4
8
3.
Resuelva los siguientes problemas usando “de regreso”.
a. 5b / 2  3  20
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Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
b. 7(n  1) / 2  14
c. Después de restar tres a un número, multiplicarlo por 8 y dividirlo
entre tres se obtiene como resultado 16. ¿Cuál es el número?
4. ¿Puede dar una ecuación que no pueda ser resuelta con esta estrategia?
5. Observe el patrón que se muestra enseguida. Uno de los pasos en ese
patrón requiere 112 “palillos”. ¿De cuál etapa se trata?
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
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Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
Lección 3: El álgebra como el estudio de estructuras
Actividad 8
Estructuras Algebraicas, parte I
Estudiemos ahora una aritmética donde los objetos son los dígitos de 0 a 9 y las
operaciones se realizan bajo la siguiente regla: “Se suma tomando como resultado
el dígito de las unidades” y “se multiplica tomando como resultado el dígito de las
unidades”.
El sistema se puede sintetizar en las dos tablas siguientes, donde se han ocultado
algunos de los resultados con la finalidad de que los agregue.
1. ¿Qué puede decir al observar la "forma" de las tablas?
2. ¿El sistema es conmutativo?
¿Por qué?
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Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
3. ¿Existe neutro aditivo? ¿Cuál es?
4. ¿Para cada elemento del sistema, existen opuestos? En caso afirmativo,
encuentre una regla para encontrarlos
5. ¿Es verdad que al multiplicar por 1, no cambia el resultado?
6. ¿Qué números tienen recíprocos en este sistema?
7. En la aritmética ordinaria, si el producto de dos números es cero, entonces
al menos uno de los números es cero. ¿Se cumple esto aquí? ¿Qué se
cumple en la aritmética ordinaria, que no se cumple en este nuevo sistema?
8. Encuentre, describa y explique al menos dos propiedades en cada tabla
que no haya utilizado aún.
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Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
Lección 3: El álgebra como el estudio de estructuras
Actividad 9
Estructuras Algebraicas, parte II
1. Imagine un sistema donde las “tablas de sumar y de multiplicar” se realizan
de acuerdo a las siguientes reglas:
2. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones en este nuevo sistema? Por ejemplo,
como resolvería:
a. 3x  8
b. x  4  2
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Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
3. Resuelva las siguientes ecuaciones en este sistema y argumente su
respuesta:
a. 7 x  5  9
b. 3x  7  4
c. 4x  1  9
d. 4x  1  8
4. Dé ejemplos de ecuaciones del tipo ax  b de modo que:
a. No tengan solución.
b. Tengan solución única.
c. Tengan más de una solución.
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Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
5. Describa las condiciones para que la ecuación ax  b no tenga solución,
tenga solución única, tenga más de una solución. ¿Qué tan diferente es
esta tarea comparada con resolver ecuaciones en el sistema de números
reales?
Lectura1
Concepciones del álgebra escolar y uso de variables2
¿Qué es el álgebra escolar?
El álgebra no se define fácilmente. El álgebra que se enseña en la escuela tiene
una casta bastante diferente del álgebra que se enseña a los matemáticos. Dos
matemáticos cuyos escritos han influenciado grandemente la enseñanza del
álgebra a nivel universitario, Saunders Mac Lane y Garrett Birkhoff(1967),
empiezan su Álgebra con un intento de establecer un puente entre el álgebra
escolar y el álgebra universitaria:
El álgebra empieza como el arte de manipular sumas, productos, y potencias de
números. Las reglas para estas manipulaciones son válidas para todos los
números, así que las manipulaciones pueden llevarse a cabo con letras que
representan a los números. Entonces aparece que las mismas reglas son válidas
para diferentes tipos de números…y que las reglas aplican a cosas….que no son
números en absoluto. Un sistema algebraico, tal como lo estudiaremos, es
entonces un conjunto de elementos de alguna clase en el cual las funciones como
adición y multiplicación operan, dado que esas operaciones satisfacen ciertas
reglas básicas. (P.1)
Si la primera oración de la cita anterior es pensada como aritmética, entonces la
segunda oración es álgebra escolar. Para los propósitos de este artículo,
entonces, el álgebra escolar tiene que ver con el entendimiento de “letras” (las
cuales hoy usualmente llamamos variables) y sus operaciones, y consideramos
que los estudiantes estudian álgebra cuando ellos encuentran primero variables.
Sin embargo, puesto que el concepto de variable es en si mismo multifacético,
reducir el álgebra al estudio de variables no responde la pregunta “¿Qué es el
álgebra escolar?”. Considere estas ecuaciones, las cuales tienen la misma forma,
el producto de dos números es igual a un tercero:
1. A  LW
1
Traducido y editado por: Martha Cristina Villalba, Ana Guadalupe Del Castillo y Maricela Armenta Castro.
2
Usiskin, Zalman, en 1988 NCTM Yearbook. Visitado en 2006 en
http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/algebra/
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
2. 40  5x
3. senx  cos x  tan x
1
4. 1  n 
n
5. y  kx
Cada uno de ellas da una sensación diferente. Usualmente llamamos a (1) una
fórmula, (2) una ecuación (u oración abierta) a resolver, (3) una identidad, (4) una
propiedad y (5) una ecuación de una función de variación directa (no para
resolverse). Estos nombres diferentes reflejan diferentes usos para los cuales se
aplica la idea de variable. En (1), A, L, y W representan las cantidades área,
longitud y ancho, y dan la sensación de ser conocidas. En (2) tendemos a pensar
en x como incógnita. En (3) x es el argumento de una función. La ecuación (4), a
diferencia de las otras, generaliza un patrón aritmético, y n se identifica con un
ejemplo del patrón. En (5), x es de nuevo el argumento de una función, y es el
valor, y k es una constante (o parámetro, depende cómo se use). Sólo en (5) hay
una sensación de “variabilidad” para la cual emerge el término variable. Aún así,
esa sensación no se presenta si pensamos que la ecuación representa la recta de
pendiente k que pasa por el origen.
Las concepciones de variable cambian con el tiempo. En un texto de los 1950’s
(Hart, 1951a), la palabra variable no se menciona sino hasta la discusión de
sistemas (p. 168), y entonces se describe como “un número cambiante”. La
introducción de lo que hoy llamamos variables viene mucho antes (p. 11), a través
de fórmulas, con estas crípticas oraciones: “En cada fórmula, las letras
representan números. El uso de letras para representar números es una
característica principal del álgebra” (las cursivas son de Hart). En el segundo libro
de la serie (Hart 1951b), hay una definición más formal de variable (p. 91): “Una
variable es un número literal que puede tener dos o más valores durante una
discusión particular.”
Textos modernos en la última parte de esa década tenían una concepción
diferente, representada por esta cita de May y Van Ungen (1959) como parte de
un cuidadoso análisis de este término:
Burdamente hablando, una variable es un símbolo para el cual uno sustituye
nombres para algunos objetos, usualmente un número en álgebra. Una variable
está siempre asociada con un conjunto de objetos cuyos nombres pueden ser
sustituidos por ella. Estos objetos son llamados valores de la variable. (P. 70)
Hoy la tendencia es evitar la distinción “nombre-objeto” y pensar la variable
simplemente como un símbolo por el cual algunas cosas (más precisamente,
cosas de un conjunto particular de reemplazo) pueden ser sustituidas.
La concepción de variable como “símbolo para un elemento de un conjunto de
reemplazo” parece tan natural hoy que rara vez es cuestionado. Sin embargo, no
es la única visión posible de las variables. En los inicios de este siglo, la escuela
Elaboración de los Materiales:
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Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba
Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
formalista de matemáticas consideró las variables y todos los otros símbolos
matemáticos como meras marcas en papel relacionadas unas con otras por
propiedades asumidas o derivadas que también son marcas sobre papel (Kramer
1981).
Aunque podemos considerar tal visión apropiada para filósofos pero impráctica
para los usuarios de las matemáticas, las álgebras computarizadas de hoy en día
tales como MACSYMA y muMath (ver Pavelle, Rothstein y Fitch [1981]) trabajan
con letras sin necesidad de referirse a valores numéricos. Es decir, las
computadoras de hoy en día pueden operar como los usuarios de álgebra
experimentados o no experimentados, manipulando variables ciegamente sin
ninguna preocupación o conocimiento de lo que ellas representan.
Muchos estudiantes piensan que todas las variables son letras que representan
números. Aún cuando los valores que una variable toma no son siempre números,
aún en las matemáticas del bachillerato. En geometría, las variables a menudo
representan puntos, como se ve en el uso de las variables A, B y C, cuando
escribimos “Si AB=BC, entonces el ABC es isósceles”. En lógica, las variables p
y q a menudo representan proposiciones; en análisis, la variable f a menudo
representa una función; en álgebra lineal, la variable A puede representar una
matriz, o la variable v un vector, y en álgebra superior, la variable * puede
representar una operación. El último de los ejemplos muestra que las variables no
necesitan ser representadas por letras.
Los estudiantes también tienden a creer que una variable es siempre una letra.
Esta visión es apoyada por muchos educadores, pues
y
3 x  7
3   7
son usualmente consideradas como álgebra, mientras que
3  ___  7
y
3?  7
no lo son, aún cuando el blanco y el símbolo de interrogación están, en este
contexto, pidiendo una solución de una ecuación, lógicamente equivalente a la x y
a .
Resumiendo, las variables tienen muchas posibles definiciones, referentes y
símbolos. Tratar de ajustar la idea de variable en una concepción singular
sobresimplifica la idea y a la vez distorsiona los propósitos del álgebra.
Dos asuntos fundamentales en la enseñanza del álgebra
Tal vez el principal asunto alrededor de la enseñanza del álgebra en las escuelas
hoy en día tiene que ver con el grado de habilidad que debe requerirse a los
estudiantes para llevar a cabo manipulaciones a mano. (Todos parecen reconocer
la importancia de que los estudiantes tengan algunas de estas habilidades). Un
reporte de 1977 de la NCTM-MAA, detallando lo que los estudiantes necesitan
aprender en las matemáticas del bachillerato, enfatiza la importancia de aprender
y practicar estas habilidades. Aún cuando reportes más recientes conllevan un
tono diferente:
El impulso básico en Álgebra I y II ha sido dar a los estudiantes una facilidad
técnica moderada…. En el futuro, los estudiantes (y adultos) pueden no tener que
Elaboración de los Materiales:
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Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar
hacer muchas manipulaciones algebraicas… Algunos bloques de mecanizaciones
tradicionales pueden ser acortados. (CBMS 1983, p. 4)
Un segundo asunto relacionado con el currículo del álgebra es la pregunta sobre
el papel de las funciones y el tiempo de su introducción. Actualmente, las
funciones son tratadas en la mayoría de los libros de álgebra de primer año como
un tópico relativamente significativo y por primera vez llega a ser un tópico
principal en un curso avanzado de álgebra de segundo año. Aún más, en algunos
currículos del nivel básico (e.g., CSMP 1975) las ideas sobre funciones han sido
presentadas en primer grado, y otros han discutido que las funciones deberían ser
usadas como el vehículo principal a través del cual se introducen las variables y el
álgebra.
Es claro que estos dos asuntos se relacionan con los meros propósitos de la
enseñanza y aprendizaje del álgebra, a los objetivos de la instrucción del álgebra,
a las concepciones que tenemos de este cuerpo de conocimientos. Lo que no es
obvio es que ellos se relacionan con las maneras en que las variables son
usadas. En este artículo, trato de presentar un marco para considerar estos y
otros asuntos relacionados con la enseñanza del álgebra. Mi tesis es que los
propósitos que tenemos para la enseñanza del álgebra, las concepciones que
tenemos de la materia, y los usos de las variables están inextricablemente
relacionados. Los propósitos para el álgebra están determinados por, o están
relacionados con, las diferentes concepciones del álgebra, lo cual se
correlaciona con las diferentes importancias relativas dadas a los varios usos de
las variables.
Concepción 1: Álgebra como aritmética generalizada
En esta concepción es natural pensar en las variables como generalizadoras de
patrones. Por ejemplo, 3  5.7  5.7  3 se generaliza como a  b  b  a . El patrón
3  5  15
2  5  10
1 5  5
05  0
se extiende para dar multiplicaciones por números negativos (que, en esta
concepción, es a menudo considerado álgebra, no aritmética):
 1 5  5
 2  5  10
Esta idea es generalizada para dar propiedades como
 x  y   xy
A un nivel más avanzado, la noción de variable como generalizadoras de patrones
es fundamental en la modelación matemática. Seguido encontramos relaciones
entre números que deseamos describir matemáticamente, y las variables son
herramientas excesivamente útiles en esa descripción. Por ejemplo, el record
mundial T (en segundos) para la carrera de una milla en el año Y desde 1900 es
cercanamente descrito por la ecuación
T  0.4Y  1020
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La ecuación simplemente generaliza los valores aritméticos encontrados en
muchos calendarios. En 1974, cuando el récord fue 3 minutos 51.1 segundos y no
había cambiado en siete años. Yo usé esta ecuación para predecir que en 1985 el
récord sería 3 minutos 46 segundos (Para graficas, ver Usiskin [1976] o Bushaw et
al [1980]). El récord real fue 3 minutos 46.31 segundos.
Las instrucciones clave en esta concepción del álgebra son traducir y generalizar.
Estas son habilidades importantes no solo para el álgebra sino también para la
aritmética. En un compendio de aplicaciones de la aritmética (Usiskin y Bell 1984),
Max Bell y yo concluye que es imposible estudiar la aritmética adecuadamente sin
tratar implícita o explícitamente con variables. Lo que es más fácil “el producto de
cualquier número y cero es cero” o “para toda n, n  0  0 . La superioridad de las
descripciones de relaciones entre números en el lenguaje algebraico sobre el
lenguaje natural se debe a la similitud de las dos sintaxis, las descripciones
algebraicas, se parecen a las descripciones numéricas, las del lenguaje natural no.
Un lector que tenga duda del papel de las variables podría intentar describir la
regla para multiplicar fracciones primero en lenguaje natural y después en álgebra.
Históricamente, la invención de la notación algebraica en 1564 por Francois Viéte
(1969) tuvo efectos inmediatos. Dentro de los siguientes 50 años la geometría
analitica fue inventado y llevada a una forma avanzada. Dentro de los siguientes
cien años después lo fue el Cálculo. Esto es lo poderoso del álgebra como
aritmética generalizada.
Concepción 2. Álgebra como el estudio de medios para resolver cierta clase
de problemas
Considere el siguiente problema:
Cuando se suma tres a cinco veces cierto número el resultado es 40. ¿Cuál es el
número?.
Este problema es fácilmente traducido en el lenguaje del álgebra como:
5x+3=40
Bajo la concepción del álgebra como generalizador de patrones, no hay
incógnitas. Generalizamos relaciones conocidas entre números y no tenemos,
incluso, la sensación de desconocerlos. Bajo esta concepción, el problema
anterior, está concluido, hemos encontrado el patrón general. Sin embargo, bajo la
concepción del álgebra como el estudio de los medios para resolver problemas,
apenas sólo hemos empezado.
Resolvemos con algún procedimiento, quizá sumar -3 a cada lado de la igualdad,
5x+3+ -3=40+-3
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Después simplificamos, (el número de pasos que se requieren depende del nivel
del estudiante y de la preferencia del profesor):
5x=37
Ahora resolvemos esta ecuación en alguna forma, llegando a que x=7.4. El “cierto
número” en el problema es 7.4, y el resultado puede verificarse fácilmente.
Al resolver esa clase de problemas, muchos estudiantes tienen dificultad para
pasar de la aritmética al álgebra. Mientras que la solución aritmética (“en tu
mente”) implica substraer 3 y dividir por 5, la forma algebraica 5x+3=40, implica
multiplicación por 5 y adición de 3. Esto es, al plantear la ecuación, se debe
pensar precisamente lo contrario a la forma en que se resolvería usando
aritmética.
En esta concepción del álgebra, las variables son incógnitas o constantes.
Mientras que las instrucciones clave en el uso de una variable como generalizador
de patrones son traducir y generalizar, las instrucciones clave en este uso son
simplificar y resolver. De hecho, “simplificar” y “resolver” son algunas veces dos
nombres diferentes para la misma idea: Por ejemplo, les pedimos a nuestros
estudiantes resolver x  2  5 para obtener la respuesta x=7 o x=-3. No obstante,
podríamos preguntar a los estudiantes, “Reescriba x  2  5 sin el valor absoluto”.
Podríamos entonces obtener la respuesta
equivalente.
 x  2 2
 25 , que es un enunciado
Polya (1957) escribió, “si usted no puede resolver el problema propuesto intente
resolver primero algún problema relacionado” (p. 31). Seguimos esta estrategia
literalmente al resolver muchos problemas, encontrando problemas equivalentes
con la misma solución. También simplificamos expresiones para que se puedan
ser entendidas y utilizadas más fácilmente. Insistiendo: simplificar y resolver son
más parecidos de lo que generalmente se hacen ver.
Concepción 3: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades
Cuando escribimos A=LW, la fórmula del área de un rectángulo, estamos
describiendo una relación entre tres cantidades. Aquí no hay la sensación de algo
desconocido, ya que no se está resolviendo nada. La sensación de una fórmula
como A=LW es diferente de la sensación de generalizaciones como 1  n  (1 / n) ,
aún cuando podemos pensar en la fórmula como un tipo especial de
generalización.
Mientras que la concepción del álgebra como el estudio de las relaciones puede
iniciar con fórmulas, la distinción crucial entre esta y la concepción previa, es que,
aquí, las variables varían. Hay aquí una diferencia fundamental entre las
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concepciones que se evidencia por la respuesta usual de los estudiantes a la
siguiente pregunta:
¿Qué le sucede al valor 1 / x cuando x se hace cada vez más grande?
Esta cuestión parece simple, pero es suficiente para retar a la mayoría de los
estudiantes. No nos hemos preguntado por algún valor de x, así que x no es una
incógnita. Tampoco les hemos pedido a los estudiantes traducir. Hay patrón para
generalizar, pero no es un patrón como en aritmética. (Esto es, no es apropiado
preguntar que sucede al valor 1 / 2 cuando el 2 se hace cada vez más grande!). Es
fundamentalmente un patrón algebraico. Quizá debido a su naturaleza algebraica
intrínseca, algunos Educadores Matemáticos, creen que el álgebra debería ser
inicialmente introducida a través del uso de la variable.
Por ejemplo: Fey and Good (1985) observaron lo siguiente como preguntas clave
sobre las cuales basar el estudio del álgebra:
Para una función dada f(x), encuentre
1. f(x) para x=a;
2. x tal que f(x)=a;
3. el valor de x donde ocurren los valores máximos o mínimos de f(x);
4. la razón de cambio en f cerca de x=a;
5. el valor promedio de f en el intervalo (a,b). (p.48)
Bajo esta concepción, una variable es un argumento (es decir, un valor del
dominio de una función) o un parámetro (es decir, representa un valor del cual
dependen otros valores). Solo en esta concepción toman sentido las nociones de
variable independiente y variable dependiente. Las funciones inmediatamente
empiezan a emerger por la necesidad de nombrar a los valores que dependen del
argumento o del parámetro x. La notación de función ( como en f(x)=3x+5 ), es
una idea nueva cuando los estudiantes la ven por primera vez: f(x)=3x+5 y lo
perciben distinto a y=3x+5.
A este respecto, una razón por la que y=f(x) puede confundir a los estudiantes es
porque la función f en lugar del argumento x viene a ser el parámetro,
efectivamente el uso de f(x) para denotar a una función como lo hacen Fey y Good
en la cita anterior es visto por algunos educadores como una contribución a esta
confusión.
El que las variables como argumento difieran de las variables como incógnitas se
puede evidenciar por el siguiente problema:
Encuentra una ecuación para la recta que pasa por (6,2) y tiene pendiente 11.
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La solución usual combina todos los usos de las variables discutidas hasta ahora,
quizá explicando porque algunos estudiantes tienen dificultades con ella. Vamos a
analizar la solución usual. Iniciamos destacando que los puntos de una recta están
relacionados por una ecuación de la forma y=mx+b.
Esta es tanto un patrón entre variables como una fórmula. En nuestra mente esta
es una función con x como variable de dominio y y como variable del rango, pero
los estudiantes no tienen claro cual es el argumento m, x , o b. Como patrón es
fácil entenderlo, pero en el contexto de este problema algunas cosas son
desconocidas. Todas las literales parecen ser incógnitas (particularmente x y y,
literales tradicionalmente utilizadas para esos propósitos).
Veamos ahora la solución. Ya que conocemos m, la sustituimos:
Y=11x+b
Así m es aquí una constante, no un parámetro. Ahora necesitamos encontrar b.
Entonces b ha pasado de ser parámetro a ser incógnita. Pero ¿cómo encontrar b?
Usamos una pareja de valores de las muchas parejas de valores en la relación
entre x y y. Esto es, escogemos un valor para el argumento x, para el cual
conocemos y. La sustitución de x y y puede hacerse debido a que y=mx+b
describe un patrón general entre números.
Sustituyendo:
2  11 6  b
Así que b=-64. Sin embargo, no hemos encontrado x y y, aunque tengamos
valores para ellos, debido a que no son incógnitas. Sólo hemos encontrado la
incógnita b y la sustituimos en la ecuación apropiada para obtener la respuesta
y  11x  64
Otra forma de hacer la distinción entre los diferentes usos de las variables en este
problema es usar cuantificadores. Pensamos: para toda x y y, existen m y b con
y=mx+b , se nos da el valor que existe para m y luego encontramos el valor que
exista para b, utilizando una de las tantas parejas del “para toda x y y” y así
sucesivamente. O usamos el lenguaje conjuntista equivalente: Sabemos que la
recta es {(x,y): y=mx+b} y conocemos m, y tratamos de encontrar b. En el lenguaje
de conjuntos o cuantificadores, x y y son conocidas como variables mudas debido
a que cualquier símbolo podría ser utilizado en su lugar. Es muy difícil convencer a
los estudiantes y aún a profesores que {x:3x=6}={y:3y=6}, aunque cada conjunto
sea {2}.
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Muchas personas piensan que la función f con f(x)=x+1 no es la misma que la
función g con el mismo dominio que f y con g(y)=y+1. Sólo cuando las variables
son utilizadas como argumentos pueden ser consideradas como variables mudas;
este uso especial tiende a no ser bien entendido por los estudiantes.
Concepción 4: El álgebra como el estudio de las estructuras
El estudio del álgebra en el nivel superior incluye estructuras como grupos, anillos,
dominio entero, campos y espacios vectoriales. Parece tener poca semejanza al
estudio del álgebra en el bachillerato, aunque el campo de los números reales y de
los números complejos y los distintos anillos de los polinomios subyace la teoría
del álgebra, y las propiedades de dominios enteros y grupos explican por qué
ciertas ecuaciones pueden resolverse y otras no. Reconocemos el estudio del
álgebra como el estudio de las estructuras por las propiedades atribuidas a las
operaciones sobre los números reales y polinomios. Considere el siguiente
problema:
Factorizar 3x 2  4ax  132a 2
La concepción de variable representada aquí no es la misma que en cualquiera de
las concepciones previamente discutidas. No hay función o relación; la variable no
es un argumento. Aquí no hay una ecuación que resolver, así que la variable no
está actuando como una incógnita. Tampoco hay un patrón aritmético a
generalizar.
La respuesta al problema de factorizar es 3x  22a x  6a . La respuesta podría
verificarse sustituyendo valores para x y a en el polinomio dado y en el factorizado,
pero esto casi nunca se hace. Si la factorización fuera verificada en esa forma,
podríamos argumentar que estamos generalizando aritmética.
Pero de hecho, al estudiante generalmente se le pide que lo verifique
multiplicando los binomios, es decir, usando exactamente el mismo procedimiento
extenso que se empleó inicialmente para obtener la respuesta. Es absurdo
verificarlo de esta manera en cada ocasión, pero en este tipo de problema, los
estudiantes tienden a tratar las variables como símbolos sin algún número como
referente. En la concepción del álgebra como el estudio de las estructuras, la
variable es algo más que un símbolo arbitrario.
Aquí hay un dilema sutil. Queremos que los estudiantes tengan en mente los
referentes (generalmente números reales) de las variables mientras las usan. Pero
también queremos que los estudiantes sean capaces de operar sobre las variables
sin tener siempre que acudir al nivel del referente. Por ejemplo, cuando les
pedimos a los estudiantes demuestren una identidad trigonométrica como
2sen 2 x  1  sen 4 x  cos 4 x , no queremos que el estudiante piense en el seno o
coseno de un número específico, tampoco que las piense como funciones, ni
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tampoco nos interesan como razones en triángulos. Queremos simplemente
manipular senx y cos x en una forma diferente utilizando propiedades que son tan
abstractas como la identidad que deseamos demostrar.
En este tipo de problemas, la fe se deposita en las propiedades de las variables,
en las relaciones entre x’s y y’s y n’s según sean sumandos, factores, bases o
exponentes. La variable se ha vuelto un objeto arbitrario en una estructura y se
relaciona con la certeza que le brindan las propiedades de esa estructura. Es la
visión de variable que se encuentra en el álgebra abstracta.
Se ha levantado mucha crítica en contra de la práctica en la que el “símbolo
impulsor” domina las primeras experiencias algebraicas. Le llamamos
manipulación “ciega” cuando la criticamos; habilidades “automáticas” cuando la
ensalzamos. Finalmente todos deseamos que los estudiantes tengan suficiente
facilidad para manejar los símbolos algebraicos de manera abstracta mediante las
habilidades apropiadas. La pregunta clave es, ¿qué constituye “suficiente
facilidad”?
Es irónico que las dos manifestaciones de este uso de variable –teoría y
manipulación–, frecuentemente ven como campos opuestos al establecer las
políticas para el currículo de álgebra, aquellos que están a favor de la
manipulación por un lado, y los que están a favor de la teoría por el otro. Ambos
emergen de la misma visión de variable.
Variables en ciencias computacionales
En ciencias computacionales, el álgebra toma una apariencia ligeramente distinta
de la que tiene en matemáticas. Hay a menudo una sintaxis diferente. Mientras
que en el álgebra ordinaria, x  x  2 sugiere una ecuación sin solución, en BASIC
la misma expresión comunica el reemplazo de un lugar particular de
almacenamiento en una computadora, aumentado mediante el número 2.Este uso
de la variable, ha sido identificada por Davis, Jockuch y McKnight (1978, p.33):
Las computadoras nos dan otra visión del concepto matemático básico de
variable, Desde el punto de vista de la computadora, el nombre de variable
puede pensarse como la dirección de algún registro de memoria específico,
y el valor de la variable puede considerarse como los contenidos de este
registro de memoria.
En ciencia computacional las variables a menudo se identifican como cadenas de
letras y números. Esto transmite una sensación diferente y es el resultado natural
de un escenario diferente para la variable. Las aplicaciones computacionales
tienden a involucran grandes números de variables que pueden representar
muchas clases diferentes de objetos. También las computadoras están
programadas para manipular las variables, así que no tenemos que abreviarlas
con el fin de facilitar la tarea de una manipulación ciega.
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En ciencia computacional los usos de variables cubren todos los usos que hemos
descrito para ellas. Queda todavía la generalización de la aritmética. El estudio de
los algoritmos es un estudio de procedimientos. De hecho, existen cuestiones
típicas en álgebra que se prestan, por sí mismas, a un pensamiento algorítmico:
Empiece con un número. Añádale 3. Multiplíquelo por 2. Reste 11 del
resultado...
En programación uno aprende a considerar la variable como un argumento mucho
más rápido que como se acostumbra en álgebra. Por ejemplo, con el fin de
establecer arreglos, se requiere algún tipo de notación funcional. Y finalmente,
dado que las computadoras han sido programadas para ejecutar manipulaciones
con símbolos sin ningún referente para ellas, la ciencia computacional se ha vuelto
un vehículo a través del cual los estudiantes aprenden sobre las variables (Papert
1980). Con el tiempo, a raiz de esta influencia, es probable que los estudiantes
aprenderán muchos usos de variables mucho más pronto que como lo hacen en la
actualidad.
Resumen
Las diferentes concepciones del álgebra están relacionadas con los diferentes
usos de las variables. He aquí un resumen sobre-simplificado de tales relaciones:
Concepciones de Álgebra
 Aritmética
generalizada

Medio para resolver
ciertos problemas

Estudio de relaciones

Estructura
Uso de Variables
Generalizadoras de

patrones
(traduce,
generaliza)
  Incógnitas,
constantes (resuelve,
simplifica)
 Argumentos,
parámetros
(relaciona, grafica)
 Caracteres arbitrarios
escritos
(manipula,
justifica)
Al principio de este artículo se mencionaron dos asuntos concernientes a la
instrucción algebraica. Dada la discusión anterior, ahora es posible interpretar
estos asuntos como una cuestión de relativa importancia para ser tratada a varios
niveles de estudio para diversas concepciones.
Por ejemplo, considere el asunto de las habilidades manipulativas con lápiz y
papel. En el pasado, se debían tener esas habilidades a fin de resolver problemas
y para estudiar funciones y otras relaciones. Hoy en día, con computadoras
capaces de simplificar expresiones, resolver enunciados y graficar funciones, lo
que hay que hacer con las habilidades manipulativas se torna importante para el
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álgebra cuando ésta se ve como estructura, o como el estudio de caracteres
arbitrarios en papel, o como el estudio de relaciones arbitrarias entre símbolos.
Hoy en día la visión que prevalece parece ser que éste no debiera ser el criterio
principal (y ciertamente no el único) por el cual se determina el contenido del
álgebra.
Considere el asunto del papel de las ideas de función en el estudio del álgebra. Es
otra vez un asunto de relativa importancia en la visión del álgebra como el estudio
de las relaciones entre cantidades, en la cual la manifestación predominante de la
variable es como argumento, comparada con otros papeles del álgebra; como
aritmética generalizada o como una proveedora de recursos para resolver
problemas.
Por lo tanto, algunos de los asuntos importantes en la enseñanza y el aprendizaje
del álgebra pueden cristalizarse colocándolos en el marco de concepciones y uso
de variables, concepciones que han cambiado a raíz de la explosión en los usos
de las matemáticas y la omnipresencia de computadoras.
Ya no vale la pena categorizar el álgebra solamente como aritmética generalizada,
porque es mucho más que eso. El álgebra permanece como un vehículo para
resolver ciertos problemas pero ciertamente es más que eso. Provee los
mecanismos por medio de los cuales se pueden describir y analizar relaciones. Y
es la clave para la caracterización y entendimiento de las estructuras matemáticas.
Dados estos recursos y el incremento en la matematización de la sociedad, no hay
sorpresa en que el álgebra es hoy el área principal de estudio en las matemáticas
de la escuela secundaria y esta preminencia es probable que se quede por mucho
tiempo.
Referencias:
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