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PRUEBAS DE HIPÓTESIS . HIPÓTESIS ESTADÍSTICA : Paramétrica Es una afirmación sobre los valores de los parámetros poblacionales desconocidos. Simple la hipótesis asigna valores únicos a los parámetros Compuesta la hipótesis asigna un rango de valores a los parámetros No Paramétrica Es una afirmación sobre alguna característica estadística de la población IDENTIFICACIÓN DE LAS HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS PARAMÉTRICAS Hipótesis nula Ho Hipótesis Alternativa H1 Es contraria a la hipótesis nula. Se plantea usando Se plantea con el parámetro de interés usando , >,< , , La probabilidad de rechazar Ho se llama nivel de significación Está relacionada con la hipótesis de investigación. Es coherente con los resultados de la muestra H 0 : H1 : 0 0 La probabilidad de aceptación de H1 es CONTRASTES: UNILATERAL Y BILATERAL La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa Bilateral H1: 20 20 Unilateral Unilateral H1: <20 H1: >20 20 20 OBSERVACIONES Verdadero estado de la población Decisión posible Ho es cierta H1 es cierta Decisión Se Rechaza Ho Error de tipo I correcta No se Rechaza Ho Decisión correcta Error de tipo II PRUEBA PARA LA MEDIA ( VAR I AN Z A P O B L AC I O N AL C O N O C I D A) Un establecimiento tambero tiene una producción media diaria de 25,8 (lt en miles). El gerente del establecimiento pretende modificar ciertas maquinarias con el objetivo de aumentar la producción. Se sabe que la dispersión general es de 0,3 ( lt en miles) y no se espera que ese valor cambie con las modificaciones. Se desea probar, con un nivel de significación del 1 %, que la producción promedio no está afectada por el cambio. Para esto, se toma una muestra de 19 observaciones y se encuentra que la nueva media es de 26,1 ( lt en miles). ESQUEMA PARA REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS Etapas: 1) Planteo de la hipótesis nula y alternativa 2) Selección del estadístico de prueba (Considerar el parámetro poblacional utilizado en 1) y los datos del problema). 3)Gráfico de la distribución del estadístico de prueba para la determinación de la región crítica con el alfa dado y la búsqueda en tabla del valor crítico. 4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico. 5) Comparación de valores. 6) Exposición de las conclusiones PRUEBA PARA LA MEDIA POBLACIONAL N O S E C O N O C E L A D I S P E R S I Ó N P O B L AC I O N AL Si la muestra proviene de una población normal Cuando se desconoce σ, se observa el tamaño de la muestra n Si n <30 La media muestral tiene distribución T, porque S no es una buena estimación de σ T x S/ n Si n ≥30 La media muestral se distribuye normalmente, porque S es una mejor estimación de σ z ~ tn 1 x S n PRUEBA PARA LA MEDIA ( VAR I AN Z A P O B L AC I O N AL D E S C O N O C I D A) Un auditor desea probar el supuesto de que el valor medio de la totalidad de las cuentas por cobrar de una empresa dada es de $260.000. Toma una muestra n = 16 cuentas por cobrar y obtiene una media muestral de $240.000, con una dispersión de $43.000. Suponga un nivel de significación del 5% para concluir si los datos muestrales dan evidencia suficiente para contradecir el supuesto del auditor. El director de la agencia de colocaciones de una universidad sostuvo que al menos 50% de los estudiantes a punto de graduarse habían cerrado un contrato de empleo para el 1º de Marzo. De una muestra aleatoria de 30 estudiantes, sólo 10 indican haber cerrado un contrato de empleo. ¿Puede rechazarse el argumento del director de la agencia al nivel de significación del 5%? PRUEBA PARA LA PROPOR CIÓN Suponga que un fabricante esta produciendo pernos de 8 mm de diámetro, y que los diámetros de estas piezas se distribuyen normalmente. Con propósitos de control de calidad, se obtuvo una muestra de 25 pernos para estimar la varianza, la cual resultó ser de 0.009 mm cuadrados. Con un nivel de significación de 0.05. ¿Se puede concluir que la varianza poblacional es menor que 0.01? Prueba de hipótesis para la varianza PRUEBA PARA LA COMPARACIÓN DE MEDIAS Cuando se conocen las varianzas, La diferencia de medias muestrales se distribuye normalmente. Se usa el estadístico Z zob x1 x2 1 2 12 n1 22 n2 Si n1 +n2 -2 ≥30 La diferencia de medias muestrales se distribuye normalmente. Se usa el estadístico Z zob x1 x2 1 2 S12 S22 n1 n2 Cuando se desconocen las varianzas pero son iguales, se observa el tamaño de cada muestra indep, que provienen de poblaciones normales Si n1 +n2 -2 <30 La diferencia de medias muestrales se distribuye según T. Se usa el estadístico T tob x1 x2 1 2 n1 1 S12 n2 1 S22 n1 n2 2 1 1 n1 n2 Se hace un test de eficiencia a 50 ingenieros industriales y 60 ingenieros químicos, obteniéndose los siguientes resultados: X 1 89 1 7 X 2 87 2 5 Para Muestras independientes Verificar con un nivel de significación del 5% si la diferencia se puede atribuir a la casualidad. PRUEBA PARA COMPA RAR MEDIAS (VARIANZAS POBLACIO NALES CONOCIDAS) Se espera que dos operadores produzcan, en promedio, el mismo número de unidades terminadas en el mismo tiempo . Los datos son los números de unidades terminadas para ambos en una semana de trabajo: Si el número de unidades terminadas Op 1 por los dos trabajadores son variables 12 14 11 18 18 18 16 17 13 16 aleatorias independientes distribuidas normalmente y las varianzas poblacionales desconocidas son iguales ¿Se puede establecer diferencia entre las medias a un nivel de significación del 0,1 ? Op 2 PRUEBA PARA COMPA RAR MEDIAS ( VARIANZAS POBLACIO NALES DESCONOCI DAS PERO IGUALES) Para Muestras independientes Se plantea una prueba para medias, para varianzas desconocidas pero iguales, de los datos se obtiene x1 14 x2 16,6 PRUEBA PARA COMPARAR MEDIAS 1) Plantear las hipótesis H0 : 1 2 ó 1 2 0 H1 : 1 2 ó 1 2 0 2) Establecer el estadístico de prueba. t x1 x2 1 2 n1 1 S12 n2 1 S22 n1 n2 2 1 1 n1 n2 ( VARIANZAS POBLACIO NALES DESCONO CIDAS PERO IGUALES) 3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico t n1 n2 2; 2 t8;0,05 1.860 4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba tob 14 16,6 0 4.2,9152 4.1,6732 1 1 552 5 5 2,6 0,728 3,572 5) Comparar el valor observado con el valor crítico tob 1,860;1,860 PRUEBA PARA COMPA RAR MEDIAS Zona de aceptación de Ho 6) Se acepta Ho, es decir, no existe evidencia muestral para afirmar que el promedio de unidades terminadas semanalmente por cada operador sea diferente. ( VARIANZAS POBLACIO NALES DESCONO CIDAS PERO IGUALES) 2 2 1) Plantear las hipótesis H0 : 1 2 2 2 H1 : 1 2 2) Establecer el estadístico de prueba 2 1 2 2 S Fob S 3) Ubicar el nivel de significación (zona de rechazo de Ho), en el gráfico de la distribución del estadístico. F n1 1,n2 1,1 2 Si n1 n2 1 F n 1, n 1, 1 2 2 5 , 0.02 PRETEST PARA COMPA RAR VARIAN ZAS 3) Hallar los valores críticos. F n1 1,n2 1; 2 F F 4,4;0,01 15,977 n1 1,n2 1,1 2 1 F 4,4;0,01 1 0,0625 15,977 4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba 2,9152 8,497 Fob 3,03 2 1,673 2,7989 5) Comparar el valor observado con el valor crítico Zona de aceptación de Ho 6) Luego las varianzas son iguales y se pueden comparar medias PRETEST PARA COMPA RAR VARIAN ZAS PRUEBA PARA LA COMPARACIÓN DE MEDIAS Cuando se conocen las varianzas, La diferencia de medias muestrales se distribuye normalmente. Se usa el estadístico Z zob x1 x2 1 2 12 n1 22 n2 Si n1 +n2 -2 ≥30 La diferencia de medias muestrales se distribuye normalmente. Se usa el estadístico Z zob x1 x2 1 2 S12 S22 n1 n2 Cuando se desconocen las varianzas pero son iguales, se observa el tamaño de cada muestra indep, que provienen de poblaciones normales Si n1 +n2 -2 <30 La diferencia de medias muestrales se distribuye según T. Se usa el estadístico T tob x1 x2 1 2 n1 1 S12 n2 1 S22 n1 n2 2 1 1 n1 n2