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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
La función g x es la inversa de f x  si f g x  x . Es muy común escribir la
función inversa de f como f 1 . Así, la función inversa de f x  senx se puede
escribir como sen 1 x  . Esta función recibe el nombre de arcoseno y, también se puede
escribir como arcsenx .
Ejemplo 1.
Hallar el valor de x para el cual tan2 x  1  1 .
Para despejar una multiplicación en una igualdad se usa la división, esto es, la función
inversa. De igual manera, para poder eliminar una tangente se requiere la función
inversa de la tangente: tan1 x   arctanx  .
tan2 x  1  1
arctantan2 x  1  arctan1
2 x  1  arctan1
arctan1  1
2
45  1
x
 22 o
2
x
Una forma simple de graficar las funciones inversas es invertir la tabulación. Por
ejemplo, la función f x   cosx 
x
 2
3

2



2
0

2

3
2
2
f x   cosx 
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
La representación tabular de su función inversa es
x
f x   cos 1 x 
 2
3

2



2
0

2
1
0
-1
0
1
0
-1
0

3
1
2
2
Así, la variable independiente x toma valores en el intervalo [-1,1]. En la gráfica es
fácil observar que para un valor de x hay más de un valor de f(x), por lo tanto, para
manejarla como función se debe tomar solo una pequeña porción de los valores dado
(en color rojo), esto es, un intervalo definido para el dominio y el contradominio.
6
4
2
0
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
-4
-6
Ejemplo 2.
Buscar la representación gráfica de la función f x  arctanx.
Se inicia con la representación tabular de la función inversa, la tangente. Se elige el
  
intervalo   ,  para obtener los valores entre asíntotas verticales que coincidan
 2 2
con la ordenada al origen.
x
f x  tanx


-1
4
0
0

4
1
La representación tabular de la función arcotangente, es
f x  arctanx


4
0

4
x
-1
0
1
lo cual lleva la siguiente gráfica. Es importante destacar que lo que fueron asíntotas
verticales en la función tangente, son asíntotas horizontales en la función arcotangente.

Por lo tanto, si en la función tangente hay asíntotas verticales en x   , la función
2

arcotangente presenta asíntotas horizontales en y   . Esto implica, a su vez, que
2


Lim x  arctan x  
y que Lim x  arctan x    .
2
2
1.6
1.2
0.8
0.4
0
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-0.4
-0.8
-1.2
-1.6
Derivadas.
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Sea f x   sen 1 x . Para hallar su derivada se utiliza el concepto de la función inversa y
el Teorema de Pitágoras. Como primer paso se elimina la función inversa para llegar a
una expresión que se pueda derivar con las reglas conocidas hasta ahora.
f  sen 1 x

sen f   sen sen 1 x
sen f   x

Se derivan ambos lados de la igualdad
df
cos  f   1
dx
y se despeja la derivada de f, que es el resultado que se busca.
df
1

dx cos f 
Sin embargo, es más conveniente expresar la derivada en términos de x, por lo tanto, se
utiliza el Teorema de Pitágoras:
sen 2 f  cos 2 f  1
cos f  1  sen 2 f
Del despeje inicial, se sabe que sen f   x , entonces, cos f  1  sen 2 f  1  x 2 .
Esto se sustituye en la derivada.
df
1

dx cos f 
d
1
sen 1 x 
dx
1  x2
Utilizando la regla de la cadena, se llega a que
du
d
1
du
1
dx .
sen u 

2 dx
dx
1u
1 u2
Este camino se utiliza para encontrar las derivadas de todas las funciones
trigonométricas inversas.
Ejemplo 3.
Derivar la función f x  arc sec2 x  4 .
Dado que no se tiene la fórmula para resolver dicha derivada, el ejercicio comienza con
la obtención de ésta.
f  arc sec  x 
sec  f   x
df
sec  f tan f   1
dx
df
1

dx sec  f tan f 
pero se sabe que sec f   x y también que tan 2 f  1  sec 2 f . Por lo tanto,
tan f  sec 2 f  1
tan f  x 2  1
Sustituyendo
df
1

dx sec  f tan f 
d
1
arc sec  x  
dx
x x2  1
y generalizando con la regla de la cadena
du
d
dx
arc sec u  
2
dx
u u 1
Ahora, se quiere hacer la derivada de f x  arc sec2 x  4 . Utilizando la fórmula
anterior,
df
2

dx 2 x  4  2 x  4 2  1
df
1

dx x  2  4 x 2  16 x  15
Esto se obtuvo considerando que el argumento de la función arcosecante es 2x+4.
du
d
dx
arcsen u  
dx
1 u2
du
d
dx


arccos u  
dx
1 u2
du
d
arctanu   2 dx
dx
u 1
du
d
arc cot u    2 dx
dx
u 1
du
d
dx
arc sec u  
2
dx
u u 1
du
d
dx


arc csc u  
2
dx
u u 1
Ejemplo 4.


Derivar la función f x   arctan e 2 x  3 tanx  .
du
d
Se
sabe
que
arctanu   2 dx ,
dx
u 1
2x
2
d
2e  3 sec x 
.
arctane 2 x  3 tanx  
2
dx
e 2 x  3 tanx   1

por
lo
tanto,

Integrales.
Dado que el teorema fundamental del cálculo establece que la integral es la
antiderivada, se puede llegar a las siguientes reglas de integración.
u
arcsen    c
a
a2  u 2
du

u
2
du
1
u
 arctan    c
2
a
a
a
du
u
u a
2
2

1
u
arc sec    c
a
a
Ejemplo 5.
Resolver la integral
x
dx
x 9
2
.
Al comparar las integrales se establece que u  x , a  3 y du  dx . Por lo tanto,
1
 x
 arc sec    c
3
x2  9 3
dx
x
Ejemplo 6.
Resolver la integral

senx
25  cos 2 x
dx .
Al comparar las integrales se establece que u  cos x , a  5 y du  senxdx . Por lo
tanto,

senx
25  cos 2 x
dx  
du
 cos x 
 arcsen 
c
 5 
a2  u 2
Ejemplo 7.
ex
Resolver la integral  2 x
dx .
e 9
Al comparar las integrales se establece que u 2  e 2 x  u  e x , a  3 y du  e xdx . Por
lo tanto,
 ex
ex
1
dx

arctan

 e2 x  9
3
 3

c
