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Taller
1
cálculo
integral:
Integral
Indefinida.
[email protected]. UdeA. 2015-2
Profesor
Jaime
Andrés
Jaramillo.
1. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las
fórmulas básicas
(tanx1)dx
d)
 senxdx
g)
x
h)
z
(tan
z
sec
z
)
dz
sec
k)
x3 1
 x 1 dx
l)

p)

xcos
xdx
1
tan
a)
4 x 5  3x 4  6 x  3
dx b)

2x 3
3 2
4

dx c)
x


4 5
x

e)
x13x2dx
f)
cos x
 1  sen 2 x dx
i)
x1x1dx
j)
xcot
xdx
sec
m)
q)
s)

3 4
x5 3
x
x
dx

[
2
e

16

x

x
n)

2

3
1 dx
4
x24
x5
dx
dx o) 
2
3
x
x  36
3x 2  x 2  36
5x
3
1
/2
2
4
 x2 5dx
2
sen
2x
4
5
x3  dx
x
2


tan
x

cos
x

sen
x


dx
r) 


senx


]
dx
4x3ex x2
dx
t) 
6x3
5
4
2
8
x

6
x

2
x

4
x

5
x22x5
dx
dx
u) 
v) 
3
4
x
x3
2. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las
fórmulas básicas
a.
3 4
6


x

dx

5
4
3
x


3
csc
x
dx
2

cotx1
d.
9x3 x
b.  3 2 dx
3x x
e.
 4 x3  7 x 
  2 x 3 dx


c.
f.
2 x 2  3x 3 / 2  5 x
dx

9 x3/ 2
senx tan 2 x
 senx sec x 
2
dx
1 de 8
3. Encuentre f
x
)x
, f
4
0
a) f'(
b)
f ' ' ( x)  5 x 2  4 x  7, f 1  5,
3

x
)

3
x
2, f
1
1
c) f'(
2
x
f ' (1)  3
e) f ' ( x)  sec 2 x 
d)
f ' ( x)  6e x  5 cos x;
x , f 0  2
f (4)  2
f)
f ' ' (t )  2e t  3 cos t , f 0  0,
f    0
Aplicaciones de la integral indefinida
4. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto despuès de 6 años de
crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es,
aproximadamente, dh/dt =
1.5t + 5, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centìmetros. Las plantas de
semillero miden 12 centìmetros de altura cuando se plantan (t=0)
a) Determinar la altura despuès de t años.
b) ¿Que altura tienen los arbustos cuando se venden?
5. La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raiz
cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤ t ≤ 10)
esto es, dP/DT= K t . El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un
día la población ha crecido hasta 700.Estimar el tamaño de la población después de 7
días.
Aplicaciones de la integral indefinida: Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA)
6. Un conductor implicado en un accidente afirma que circulaba solamente a 50 km/h.
Cuando la policía revisa su auto, determina que si los frenos se aplicaban a 50 km/h, el
auto recorrería solamente 15m antes de detenerse. Las marcas de derrape del auto en la
escena del accidente miden 72m. Suponga que la desaceleración es constante y calcule
la velocidad con la que viajaba antes del accidente.
7. Los frenos de un automóvil se accionan cuando éste se mueve a 60 millas/hora
(exactamente 88 pies/segundo). Los frenos proporcionan una desaceleración constante
de 40 pies/segundo2. ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse?
Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA): Caída Libre
8. Cuando Alejandro arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo, con su cauchera, la
piedra alcanza una altura máxima de 400 pies. ¿Cuál era la velocidad inicial de la
piedra? (Aceleración de la gravedad: g=32pies/segundo)
2 de 8
9. Sebastián arroja una pelota de béisbol hacia arriba, desde la parte superior de un edificio
alto. La velocidad inicial de la pelota es 25 pies/segundo y golpea el suelo con una
velocidad de 153 pies/segundo. ¿Qué altura tiene el edificio?
Sustitución o cambio de variable
10. Calcule la integral usando sustitución
1
a)
y(1lny) dy
b)
e1 / t
 t 2 dt
e)
e
f)
xcsc
xdx
 cot
x
5
1exdx
i)
et
 4  e t dt
m)

2
3x
j)
6
4xx
2
c)
g)
x
3
)dx
xcos(
3

4
1
sen
x
1x
2
dx
dx
x5
dx
4
k)
(x1)
n)
 42x9x dx
x
d)
(3x2) dx
h)
 
sen 
 x
 x2 dx
l)
3x2
3x2 1dx
4

6
1
dx
2
Integración por partes
11. Calcule la integral usando integración por partes
a)
 xe dx
b)
 x cos xdx
c)
 xsenxdx
d)
e cosxdx
e)
tan 4xdx
f)
sen xdx
g)
 x csc
i)
x e
j)
(12x)senxdx
x
x
2
 3x
p)
ln2x dx
3
2
xdx
m)
x3ex
dx
h)  2
2
x 1


 5 x 2  x ln xdx
2
1

1
etanx
1
3 2x
x3
l)

 5 x cos(3x)dx
o)

lnxdx
sen
r)
 x tan
k)
1x 
n)
q)
2
dx
3/2
dx
dx
x2 25
ln2x
dx
x2
1
xdx
3 de 8
12. Calcule la integral usando integración de potencias de funciones trigonométricas
a)
e)
sen
2
x
sec
2
xdx
tan
dx
b) 
cos

3

3
tan

sec

3
3
d
f)
5
xsen
5
xdx
cos
3
c)
xdx
tanxsec
g)
csc2d
3
cot3 x
dx
d) 
csc2 x
4
h)
x

x

cos
dx


sen
3
 3

4
4
13. Calcule la integral usando sustitución trigonométrica

a)
16
x225
dx
x
b)
t
dt
2
16t2
c)

x3
1x2
tdt
dx
(1t )
d)
2 3/ 2
14. Calcule la integral usando fracciones parciales
2
sec
xdx
a. 
tan
x(tan
x)
1
5x4
dx
b.  2
2x x1

e.
1
1ex dx
i.
4 3
2
3
x

x

13
x

3
x

13
dx
3 2
 x

x

4
x

4
f.
tanxdx
4
x37
x
dx
c.  4
2
x 5
x 4
2
8
x

4
2
4
x
dx
d.  3 2
x
x
x
1
dx h.
g. 
2
x
2x2
1
1


x2
x43x22dx
15. Calcule la integral
4 de 8
a.
x34
x
10
 x2x6 dx
e.
sen
x
senx

2
csc d
f.

j.
d
 1cos
3
cos
xdx
2

i.
3
tan

sec

d
1
m.

q.
(25
x)
u.
z1

z)dz
ln(
y.

dx
x(1x)
1
2 3/2
x
23x
cot

b.
3
n.

r.
3
6xx2
dx
dx
cos
r
dr
cc. 
2
1cos
r
x
3dx
x2
d.

g.
e
1e2t dt
h.

k.
dx
2cos
x
l.

x
sen
v.
xe2 x
 (2 x  1) 2 dx
w.
cot2 z
 cscz dz
z.
9x 6x5
aa.
t
ee.
5
3
x x 1dx
2
dx
2
(lnx)2
dx
dd. 
x
kk.

2
2
63x
dx
dx
x2 4x
1
2
ydy
dt
6t 8
x2dx
49
36
x2
1 t dt
x
1x4
9t3
dx
p.

t.
(x 1)e dx
x.
dy
3(sec
y1
)
bb.
t  1t
1t2
dt
x
2
2
dt
2
2
x3ex
dx
ff.  2
(x 1)2
3
2
5
x

3
x

2
x

1
dx
hh. 
4
2
x
x
1
2

d
cos
2

sen


cos



mm.
x2
s.
ii.
3xx2
sen
2x
y 4y5dy
1
sec 2tdt, t 
dx
t

gg.
x
2
o.
dx
x24
x
8
53y
dx
c.
jj.
e2x
e2x3ex2dx
ll.
3x4
 x3 1dx
nn.
 4x
2
x5
dx
 72 x  10
16. Encuentre f
5 de 8
a)
c) f ' ( x)  ln x  3xsen2 x, f 1  1
b)




f
'(
x
)

x
6

5
x
,f
1

10
2


f
'
'
(
x
)

24
x

2
x

10
,f
1

5
,
f
'
(
1
)


3
d)
f ' ( x)  e x 4 cos x, f 4  0
g)
x
e
f'(
x
) x, f
0

1
1

e
e)
t
1


f
''(
t
)

2
e

3
cos
t
,f
0

0
,
f'(
x
)

, f
17

2
f)
x

13

f

0

2
f'(x
)2
cos
tsec
t,
h)

 
 t , f 4
2
2 3




'
'
(
x
)

senx
,f
'
0

1
,f
0

6
i) f
17. Un automóvil viaja por una carretera recta muy larga. Su aceleración es:
a)
es
m
s2
t se mide en segundos y t  0
0m/ s y su posición x es 0 m
Donde
v
a(t) 2
0.1
t
(t)3
e
b) a
m
s2
c)
a(t)5
e0.2t
m
s2
es el instante en el que inicia su recorrido cuando su velocidad
I.
II.
Determine la función velocidad v del automovil
Determine una función para la posición x del automóvil
III.
Aceleración, velocidad y posición del automóvil para
t  10 s
18. Una partícula entra a un campo magnético como se muestra en la figura con una
v 1m/ s
velocidad horizontal x
. El campo magnético afecta su movimiento,
t t
proporcionándole una velocidad vertical v y    cos  (en m/s); t es el tiempo en
4 4
segundos. Determine a que distancia del borde inferior del campo magnético sale la
partícula.
6 de 8
19. En cierto experimento, una partícula ubicada en un tubo de 5m se mueve de forma
horizontal, manteniendo una velocidad en m/s: vt   2tsen3t ,(t en segundos) durante 3
segundos.
Si la partícula al iniciar el experimento se encuentra a 2m del extremo izquierdo.
Determine la posición de la partícula un segundo después.
ALGUNAS RESPUESTAS

 3
5
/
3
32 4
1. b.

x

dx

x
16
x
c



5
x
2. b.
3
9
x

x
dx

3
x

ln
x

c
3 2

3
x

x


45

1
/
4
c.
(tan
x

1
)
dx

tan
x

c

2
7 de 8
1
/t
e
1
/t


e

c c.
t2 dt
10. b.
11. f.
4
sen
(
x

3
)
3
4
x
cos(
x

3
)
dx


c

4
1
tan
4
xdx

x
tan
4
x

ln(
1

16
x
)

c
sen
xdx

xsen
x

1

x

c
g. 

8

1

1



1
2


1
2

3
sen
2 5
13
/
2
1
/
2
3
tan
x
sec
xdx

sec
x

sec
x

c
dx

(cos
)

2
(cos
)

c
c. 

3
5
cos
12. b.
2
16

t



cc.
13. b. 
2
2
16
t
t
16

t
dt
3
x
12
3
/
2
2
dx

(
1

x
)

1

x

c

2
1

x 3
3
5
x

4
1
4
x

7
x 3
1
2
2
dx

3
ln
x

1

ln
2
x

1

c
dx

ln
x

4

ln
x

1

c
14. b. 
c. 
2
4 2
2
2
x

x

1
2
x

5
x

42


dx

x

ln
1

e
c

1

e
1
e.
15. b.
x
x
cot
d
1

sen


c
csc
 3
3
c.
3

x

1
2
x

3
3
f.
dx

3
sen

c
6
3
x

x

1
2

cos

d


2
1

cos


c
1
1
2

3
dx

ln 
c
x

2
x

2 x
t
2
t

1
t
t
2
t
1

e
dt

sen
e

e
1

e
g. e
j.
sen
2
x
k.
dx


2
cos
x

4
ln
2

cos
x

c

2

cos
x
n.
dx

x

4
x

8

2
ln
x

4
x

8

x

2

c
dx

x

4
x

c
o. 

x

4
x

8
x

4
x
x
2
w.
2
cot
z
dz

ln
csc
z

cot
z

cos
z

c

csc
z
dx1
3
x

1
dt 1t
2


1

tan

caa. 2
ln 
c
 
2

6 2
4
9
x

6
x

5
t
6
t
82t


2
2
2
x
2
x
xe
e
dx


c
v. 
2
4
(
2
x

1
)
(
2
x

1
)
z.
x

2
2
2
4
  45
2
9
3
/
2
dd.
2
3
(ln
x
)
(ln
x
)
dx


c
x
3
1
2

53
3
3
3 5
/
2

1

1
2
x

1
dx

x
x

1

(
x

1
)

c
2
tdt

t
sec
2
t

ln
2
t

4
t

1

c
ee. x
gg. sec
hh.
32
5
x

3
x

2
x

1
1
3
2

1
dx

2
ln
x


ln(
x

1
)

2
tan
x

c
4
2
x
x
2

x
1
3
59
3
4
3
2
(
x
)

2
x

x

5
x

22
x
 e. f(x
)
2x
13

2
16. b. f
(
t
)

2
sent

tan
t

4

2
3
h. f
8 de 8