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Ejercicios resueltos de Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Fernando Perera Tallo
Olga María Rodríguez Rodríguez
http://bit.ly/8l8DDu
Tema 1
Equilibrio general y fallos de mercado
Ejercicio 4:
Considere una economía de intercambio puro con dos consumidores (1 y 2) y dos bienes (x e y).
Las preferencias de los consumidores vienen dadas por las siguientes funciones de utilidad:
u1 (c1x , c1y )  ln(c1x )  ln(c1y ); u 2 (c x2 , c y2 )  2 ln(c x2 )  ln(c y2 ) . La dotación de bienes de los
consumidores es como sigue: el consumidor 1 tiene una unidad de cada bien, es decir
q1x , q1y  1,1 ; el consumidor 2 tiene una unidad del bien x y tres del bien y, esto es

q
2
x
, q y2

  1,3 .
a) Determine y represente la curva de contrato de esta economía.
b) Defina y calcule el equilibrio Walrasiano, normalizando el precio del bien x a la unidad.
c) Determine el vector de precios del equilibrio Walrasiano si normalizamos el precio del
bien y a la unidad. Determine el vector de precios del equilibrio Walrasiano si
2 py
p
normalizamos de tal manera que el índice de precios x 
sea uno.
3
3
d) Suponga que el concepto de equidad en esta sociedad es tal que la equidad se maximiza
cuando la economía doméstica más pobre (la 1) está indiferente entre su cesta de
consumo y la cesta de consumo de la economía doméstica más rica. Determine la
asignación eficiente que maximizaría la equidad en esta sociedad.
e) Explique si se podría implementar esta dotación como un equilibrio Walrasiano a través
de una política redistributiva. En caso afirmativo, ¿cuál sería el vector de precios de
equilibrio?
f) Suponga que para implementar la asignación descrita en el apartado d) se pone un
impuesto/subvención de suma fija a los dos consumidores. Defina de nuevo el equilibrio
y calcule el impuesto/subvención que se le pondría a cada uno de los consumidores.
Solución:
a) Determine y represente la curva de contrato de esta economía.
Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
Para obtener la curva de contrato de esta economía debemos resolver el siguiente problema de
optimización:
Max ln c1x  ln c1y
c1x ,c1y c x2 ,c 2y
s.a : 2 ln c x2  ln c y2  uˆ 2
c1x  c x2  q 1x  q x2  q x  2
c1y  c y2  q 1y  q y2  q y  4
La función Lagrangiana correspondiente a este problema de maximización es la siguiente:
  ln c1x  ln c1y  2 (2 ln c x2  ln c y2  uˆ 2 ) x (2 c x1 c x2 ) y (4  c1y  c y2 )
Las condiciones de primer orden para solución interior son las siguientes:

1

 1 x  0 
1
c1y x
c x c x

1
1
1
  RMS x , y (c x , c y )  1 

1
c x y





0
y
1
1
c y c y


2

 2 2 x  0 
2
2c y2 x
c x
cx

2
2
2

RMS
(
c
,
c
)



x, y
x
y
2

2 1
y
c
x
  2 y  0
c1y
cy

Las anteriores condiciones de 1er orden de la función Lagrangiana indican que, para cada uno de
los consumidores de esta economía, la relación marginal de substitución entre el bien x y el bien
y tiene que ser igual al precio (sombra) relativo entre ambos bienes. A partir de estas dos
ecuaciones obtenemos la condición de eficiencia asignativa del consumo:
c1y 2c y2
RMS 1x , y (c1x , c1y )  1  2  RMS x2, y (c x2 , c y2 )
cx
cx
Sustituyendo las condiciones de factibilidad ( c1x  c x2  2 y c1y  c y2  4 ) se obtiene la curva de
contrato:
c1y 2 4  c1y
8c1x
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1


2
c

c
c

8
c

2
c
c

2
c

c
c

8
c

cy 
y
y x
x
y x
y
y x
x
c1x
2  c1x
2  c1x
Para analizar la forma de esta curva de contrato, calculemos la pendiente y la curvatura:
c1 82  c1x   8c1x
16
Pendiente: 1y 

 0 : pendiente positiva.
2
1
c x
2  c x 
2  c1x 2


Curvatura:
 2 c1y
 
c
1 2
x

32
2  c 
1 3
x
 0 : cóncava.
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2
Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
La representación gráfica de la curva de contrato, en este caso, es la siguiente:
c1y
c x2
ad
urv
ec
tr
on
a to
C
c1x
c y2
b) Defina y calcule el equilibrio Walrasiano, normalizando el precio del bien x a la unidad.
Un equilibrio Walrasiano es una asignación (c1x , c1y , c x2 , c y2 ) , llamada asignación de equilibrio, y
un vector de precios ( p x , p y ) , llamado vector de precios de equilibrio, tal que:
 Los consumidores maximizan su utilidad:
c1y
p
1
1
1
RMS x , y (c x , c y )  1  x
py
cx
(EW.1)
p x c1x  p y c1y  p x q1x  p y q1y  p x  p y
(EW.2)
RMS x2, y (c x2 , c y2 ) 
2c y2
c
2
x

px
py
(EW.3)
p x c x2  p y c y2  p x q x2  p y q y2  p x  3 p y
(EW.4)
 Los mercados se vacían:
c1x  c x2  q1x  q x2  q x  2
(EW.5)
c1y  c y2  q1y  q y2  q y  4
(EW.6)
Usando las ecuaciones (EW.1) y (EW.2) obtenemos los consumos de los bienes x e y por parte
del consumidor 1:
p
Así, (EW.1)  c1y  x c1x
py
(1)
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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
Sustituyendo (1) en la restricción presupuestaria del agente 1 (EW.2), obtenemos el consumo del
bien x por parte del consumidor 1:
px  p y
p
p x c1x  p y x c1x  p x  p y  c1x 
2 px
py
(2a)
Sustituyendo la ecuación (2a) en (1) tenemos el consumo del bien y por parte del consumidor 1:
px  p y
p px  p y
c1y  x
 c1y 
2 py
p y 2 px
(2b)
Usando las ecuaciones (EW.3) y (EW.4) se obtienen los consumos de los bienes x e y por parte
del consumidor 2, de manera análoga al caso del consumidor 1:
p
Así, (EW.3)  c y2  x c x2
2 py
(3)
Sustituyendo (3) en la restricción presupuestaria del agente 2 (EW.4), obtenemos el consumo del
bien x por parte del consumidor 2:
2 px  3 p y 
p
p
p x c x2  p y x c x2  p x  3 p y  p x c x2  x c x2  p x  3 p y  c x2 
(4a)
3
px
2 py
2
Sustituyendo la ecuación (4a) en (3) tenemos el consumo del bien y por parte del consumidor 2:
px  3 p y
p  2  p x  3 p y 
2
c y2  x 
  cy  3p
2 py 3
px
y

(4b)
Usando los consumos del bien x por parte de los dos agentes (ecuaciones 2a y 4a) en la condición
de vaciado del mercado del bien x (EW.5) y normalizando p x  1 obtenemos el precio de
equilibrio del bien y:
(EW.5) es: c1x  c x2  2
 1 py   2
7 5p
1
 
    2 p y   2   y  2  p y 
6
2
3

2 2  3
(5)
Substituyendo el precio de equilibrio del bien y en el consumo de los bienes x e y por parte de los
dos agentes (ecuaciones 2a, 2b, 4a y 4b) y teniendo en cuenta que hemos normalizado el precio
del bien x a la unidad ( p x  1 ), se obtienen c1x , c1y , c x2 , c y2 :
c1x 
1
3  c1  2 ;
x
3
2
1
3  c1  2
c1y 
y
1
2
3
1
1
1

1  3 
2
4
3
c x2  
 c x2  ;
3
1
3
c y2 
1 3
1
3  c2  2
y
1
3
Por lo tanto, el equilibrio Walrasiano viene dado por:
 2 4   1 
c1x , c1y , c x2 , c y2 ; ( p x , p y )   ,2, ,2 ; 1, 
 3 3   3 


3

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4
Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
c) Determine el vector de precios del equilibrio Walrasiano si normalizamos el precio del
bien y a la unidad. Determine el vector de precios del equilibrio Walrasiano si
2 py
p
normalizamos de tal manera que el índice de precios x 
sea uno.
3
3
- Si normalizamos el precio del bien y a la unidad, el vector de precios de equilibrio es el
siguiente:
py  1 

p y 1   p x  3   p x , p y   3,1

p x 3 
2 py
p
- Si normalizamos de tal manera que el índice de precios x 
sea uno, entonces, el vector
3
3
de precios es el siguiente:

px 2 p y

1

p
3
3
21
5
9
19 3

 x 
px  1  px  1  px   p y 
 

py 1
px 
3 33
9
5
35 5
  py 
px 3
3 
 p x , p y    9 , 3 
5 5
d) Suponga que el concepto de equidad en esta sociedad es tal que la equidad se maximiza
cuando la economía doméstica más pobre (la 1) está indiferente entre su cesta de
consumo y la cesta de consumo de la economía doméstica más rica. Determine la
asignación eficiente que maximizaría la equidad en esta sociedad.
Para determinar la asignación eficiente que maximizaría la equidad en esta sociedad (donde se ha
definido equidad de la forma que indica el enunciado), tendremos que resolver el siguiente
sistema de ecuaciones:
u 1 c1x , c1y  u 1 c x2 , c y2  ln c1x  ln c1y  ln c x2  ln c y2
(E.1)




c1x  c x2  2
(E.2)
c1y  c y2  4
(E.3)
RMS
1
x, y
(c , c )  RMS
1
x
1
y
2
x, y
(c , c ) 
2
x
2
y
c1y
c1x

2c y2
c x2
(E.4a)
Sustituyendo las restricciones de factibilidad (ecuaciones E.2 y E.3) en la ecuación (E.4a), se
obtiene la curva de contratos de esta economía, que ya habíamos calculado en el apartado a):
8c1x
.
c1y 
2  c1x
Así, el sistema de ecuaciones anterior lo podemos expresar de la siguiente manera:




u 1 c1x , c1y  u 1 c x2 , c y2  ln c1x  ln c1y  ln c x2  ln c y2
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(E.1)
5
Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
c1x  c x2  2
(E.2)
c1y  c y2  4
(E.3)
8c1x
´
c 
2  c1x
(E.4b)
Quitando logaritmos de la ecuación (E.1) y utilizando (E.2) y (E.3), se tiene:
c1x c1y  c x2 c y2  c1x c1y  2  c1x 4  c1y  c1x c1y  8  2c1y  4c1x  c1x c1y  2c1y  8  4c1x 
1
y



c1y  4  2c1x
Sustituyendo esta última expresión en (E.4b), se obtiene:
 4  16  4.1. 4  4  32
8c1x
2
2
4  2c1x 
 8  2 c1x  8c1x  c1x  4c1x  4  0  c1x 


1
2.1
2
2  cx

1
44 2
 cx  2
2
 
 




2  1  c1y  4  2 2 2  1  4  4 2  4   c1y  4 2  2

Utilizando las condiciones de factibilidad (ecuaciones E.2 y E.3), se obtiene:
c x2  2  2 2  1  c x2  2 2  2
c y2
 
 4  42  2   c
2
y

 4

2  1
Por lo tanto, la asignación eficiente que maximizaría la equidad en esta economía sería la
siguiente:
(c1x , c1y , c x2 , c y2 )  2 2  1 , 4 2  2 , 2 2  2 , 4 2  1

 
 
 

Gráficamente:
c1y
c x2
Asignaciones donde el agente
1 es indiferente entre su
dotación y la del agente 2.
22 2
4 21
42 2
2 21
c1x
c y2
e) Explique si se podría implementar esta dotación como un equilibrio Walrasiano a través
de una política redistributiva. En caso afirmativo, ¿cuál sería el vector de precios de
equilibrio?
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6
Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
Sí se podría implementar: según el Segundo Teorema de la Economía del Bienestar, cualquier
asignación eficiente en sentido de Pareto (como por ejemplo la del apartado anterior) puede ser
implementada como un equilibrio Walrasiano.
El vector de precios de equilibrio se obtendría usando la definición de equilibrio:
c1y
px
p
4 2 2
1
1
1
 RMS x , y c x , c y  1  x  RMS 1x , y 2 2  1 ,4 2  2 

py
py
cx
2 2 1









 


px 2 2  2
p
2 2 2 1


2 2 x 2 2
py
py
2 1
2 1



 1 
Normalizando p x  1   p x , p y   1,

 2 2
f) Suponga que para implementar la asignación descrita en el apartado d) se pone un
impuesto/subvención de suma fija a los dos consumidores. Defina de nuevo el equilibrio
y calcule el impuesto/subvención que se le pondría a cada uno de los consumidores.
Definición: un equilibrio Walrasiano es una asignación (c1x , c1y , c x2 , c y2 ) , llamada asignación de
equilibrio, y un vector de precios ( p x , p y ) , llamado vector de precios de equilibrio, tal que:
 Los consumidores maximizan su utilidad:
c1y
p
RMS 1x , y (c1x , c1y )  1  x
py
cx
(EW.1)’
p x c1x  p y c1y  p x q1x  p y q1y  tr 1  p x  p y  tr 1
(EW.2)’
RMS
2
x, y
(c , c ) 
2
x
2
y
2c y2
c
2
x

px
py
(EW.3)’
p x c x2  p y c y2  p x q x2  p y q y2  T 2  p x  3 p y  T 2
(EW.4)’
 Se cumple la restricción presupuestaria del gobierno:
tr 1  T 2
(EW.5)’
 Los mercados se vacían:
 c1x  c x2  q1x  q x2  q x  2
(EW.6)’
 c1y  c y2  q1y  q y2  q y  4
(EW.7)’
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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información

 
 
Ejercicios resueltos del Tema 1
 

Sabemos que (c1x , c1y , c x2 , c y2 )  2 2  1 , 4 2  2 , 2 2  2 , 4 2  1
es la asignación de
 1 
consumo de equilibrio, mientras que  p x , p y   1,
 es el vector de precios de equilibrio
 2 2
py
1
obtenidos en el apartado d). Por lo tanto,
.

px 2 2
p
De la ecuación (EW.1)’ del agente 1, obtenemos que c1y  x c1x . Sustituyendo esta expresión en
py
(EW.2)’, tenemos: c 
1
x


2 2 1 
p x  p y  tr 1
2 px
 c1x 

1  py
 tr 1  
1 
2
px

1
1

1
 tr 1   tr 1  0,303  T 2

2 2 2

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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
Ejercicio 5:
Sea una economía con dos empresas. La empresa 1 produce el bien x de acuerdo con la función
de producción: Fx Lx   Lx ; y la empresa 2 produce el bien y de acuerdo con la función de
producción: Fy L y , q x  
Ly
; donde L x y L y son, respectivamente, las cantidades
2
1  0,06q x 
utilizadas en la producción de los bienes x e y del único factor existente en la economía ( L ), del
que hay una dotación inicial de 800 unidades. El único consumidor de esta economía tiene unas
preferencias representadas por la siguiente función de utilidad: uc x , c y   ln(c x )  ln(c y ) .
a) Obtenga la expresión de la Frontera de Posibilidades de Producción (FPP) de esta
economía.
b) Calcule las cantidades de producción óptimo paretianas (OP) de esta economía.
c) Calcule las cantidades de producción correspondientes al equilibrio Walrasiano (EW).
d) ¿Coinciden las cantidades de producción óptimo paretianas y de equilibrio Walrasiano?
Explique su respuesta en términos económicos.
Solución:
a) Obtenga la expresión de la Frontera de Posibilidades de Producción (FPP) de esta
economía.
Las ecuaciones que deben satisfacerse para obtener la Frontera de Posibilidades de Producción de
esta economía son las siguientes: las funciones de producción de ambas empresas y la restricción
de dotación de factor.
Función de producción de la empresa que produce x:
Fx Lx   Lx
Función de producción de la empresa que produce y:
Ly
Fy L y , q x  
2
1  0,06q x 
Restricción de dotación de factor:
L  Lx  L y  800
Operando con estas expresiones obtenemos:
q x  Fx Lx   Lx → Lx  q x 
2
(a.1)
q y  Fy L y , q x  

Ly
1  0,06q x 
2
L y  q y  1  0,06q x 
2
2

→ q y  
2
Ly
1  0,06q x 
2
→
(a.2)
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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
Lx  L y  800
(a.3)
Sustituyendo (a.1) y (a.2) en (a.3):
q x 2  q y 2 1  0,06q x 2   800
800  q x 
2
(FPP)
ó
qy 
1  0,06q x 
2
(FPP)
b) Calcule las cantidades de producción óptimo paretianas (OP) de esta economía.
El problema de optimización que debe resolverse para obtener el Óptimo Paretiano de esta
economía es el siguiente: Maximizar la utilidad del único consumidor de la economía sujeto a la
restricción impuesta por la Frontera de Posibilidades de Producción. Esto es:
Max u (c x , c y )  ln c x   ln c y 

s. a q x   q y  1  0,06q x 
2
cx  qx
2
2
y cy  qy



 800


La función auxiliar lagrangiana del problema de optimización es la siguiente:


(q x , q y ,  )  lnq x   lnq y    (q x   q y  1  0,06q x   800)
2
2
2
Las condiciones de primer orden de máximo interior son las siguientes:



1
1
2
2
0
 2q x  2 0,06q x q y   0 
 2q x (1  0,06q y   0
q x
qx
qx
(b.1)



1
2
0
 2q y (1  0,06q x   0
q y
qy
(b.2)



2
2
2
 0  q x   q y  1  0,06q x   800

(b.3)
Despejando  de (b.1) y (b.2) y operando, tenemos:
1


qx
1
1

b.1 :  
2
2q x 1  0,06q y  
qy
qx


2
2
1
2q x 1  0,06q y 
2q y 1  0,06q x 


qy
(b.2) :  
2 
2q y 1  0,06q x  






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

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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
q x 2 1  0,06q y 2   q y 2 1  0,06q x 2   q x
Ejercicios resueltos del Tema 1
 qy
(b.4)
Sustituyendo (b.4) en (b.3), tenemos:
q x 2  q y 2 1  0,06q x 2   800  q x 2  q x 2  0,06q x 4  800 
2q x   0,06q x   800
2
4
Haciendo el cambio de variable: q x   z , tenemos:
2
0,06 z 2  2 z  800  0 . Resolviendo, tenemos:
z
z1 
 2  4  4  0,06   800  2  4  192


2  0,06
0,12
z
2

 2  14
 100
0,12
 2  14
0
0,12
Teniendo en cuenta que la producción negativa no tiene sentido económico, deshaciendo el
cambio de variable, y considerando la ecuación (b.4), tenemos que las producciones óptimo
paretianas de ambos bienes son las siguientes:
z  100  q x  z  10
 10 . Por lo que: c xOP  c OP
 10
Cantidades de producción en el OP: q xOP  q OP
y
y
Las funciones de producción de las empresas permiten obtener las cantidades de factor que
emplean cada una de ellas en la producción del bien que fabrican. Así, usando la ecuación (a.1)
del apartado a), tenemos:
2
Lx  q x   100  LOP
x  100 Cantidad de factor utilizada en la producción óptimo paretiana
del bien x.
Utilizando la ecuación (a.2) del apartado a), tenemos:


2
2
L y  q y  1  0,06q x   1001  0,06  100  700  LOP
y  700 Cantidad de factor utilizada en
la producción óptimo paretiana del bien y .
c) Calcule las cantidades de producción correspondientes al equilibrio Walrasiano
(EW).
- Resolviendo el problema de optimización para cada una de las empresas (maximización del
beneficio condicionada a la restricción tecnológica de la empresa), tenemos:

Para la empresa x:
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11
Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
Max  x  p x q x  wLx 

2
 Max  x  p x q x  wq x 
s. a q x  Lx


La condición de primer orden es:
 x
p
 p x  2wq x  0  w  x
q x
2q x
(c.1)

Para la empresa y:
Max  y  p y q y  wL y
Ly
s. a q y 
1  0,06q x 
2


2
2
 Max  y  p y q y  w q y  1  0,06q x 





La condición de primer orden es:
 y
q y


 p y  2wq y 1  0,06q x   0  w 
2

py
2q y 1  0,06q x 
2

(c.2)
Igualando (c.1) y (c.2), tenemos:
py
px
p
qx

 x 
2
2q x 2q y 1  0,06q x 
p y q y 1  0,06q x 2
(c.3)




- Resolviendo el problema de optimización del consumidor (maximizar su utilidad sujeto a su
restricción presupuestaria), tenemos:
Max u c x , c y   ln c x   ln c y 
s. a



px cx  p y c y  px qx  p y q y 

Nota: Recuerde que, en equilibrio, el gasto del consumidor tiene que ser igual al valor de la
producción.
La función auxiliar lagrangiana del problema de optimización es la siguiente:
Lc x , c y ,    lnc x   lnc y     p x c x  p y c y  p x q x  p y q y 
Las condiciones de primer orden de máximo interior son las siguientes:
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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1

1
1 
0
 p x  0   
c x
cx
c x p x 
cy
p
1
1

 x 
   

1
1 
cx px c y p y
p y cx
0
 p y  0   
c y
cy
c y p y 

 0  px cx  p y c y  px qx  p y q y  cx  qx y c y  q y

(c.4)
(c.5)
Utilizando (c.3), (c.4) y (c.5), tenemos:
px
qx


2 
p y q y 1  0,06qx  
qy
qx
2
2
2

 q y  1  0,06q x   q x  

2
q x q y 1  0,06q x 
px q y



p y qx

q y 2 1  0,06qx 2  qx 2  0








(c.6)
La asignación de equilibrio Walrasiano debe estar en la FPP:


FPP: qx   q y  1  0,06qx   800 . Con esta expresión y con (c.6) tenemos:
2
2
2
q x 2  q y 2 1  0,06q x 2   0

q x 2  q y 2 1  0,06q x 2   800
__________________________
2q x   800  q x   400
2
2
Por lo tanto, q xEW  20


Por (c.6): q y  1  0,06q x   q x   0  q y  
2
2
2
2
q x 2
400

 q yEW
2
1  0,06q x   1  24
4
Por lo tanto: c xEW  20 y c yEW  4
Las cantidades de factor utilizadas en la producción de EW de ambos bienes son:
2
 400
q x  Lx  Lx  q x   400  LEW
x
 400
q y  800  q x  LEW
y
e) ¿Coinciden las cantidades de producción óptimo paretianas y de equilibrio Walrasiano?
Explique su respuesta en términos económicos.
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Microeconomía. Equilibrio general y economía de la información
Ejercicios resueltos del Tema 1
No coinciden las cantidades de producción OP y de EW, ya que existe un efecto externo negativo
en la producción del bien x que afecta a la producción del bien y.
q y
q x
2  0,06  L y  q x

2
1  0,06q    1  0,06q  
Ly
0
2 2
2
x
x
q xOP  q xEW
q 2OP  q 2EW
10  20
10  4
Este resultado implica que el mercado competitivo está asignando ineficientemente los recursos
(hay un “fallo de mercado”), ya que está asignando más cantidad de factor productivo, L x , (400
unidades) de la que sería necesaria (100 unidades) en la producción eficiente del bien x. Lo
óptimo sería, por tanto, redistribuir las cantidades de factor, de manera que se produzca menos de
este bien x (en cuya producción se está generando un efecto externo negativo) y más del bien y.
Esto es, debería redistribuirse factor productivo, L, desde la producción del bien x hasta la
producción de bien y (concretamente 300 unidades de factor L).
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