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 2009 Innovación Educativa Ricardo Villafaña Figueroa CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE Ejemplos de Geometría Euclidiana y Geometría Analítica utilizando Maple como lenguaje de Cálculo Simbólico. Orientación a la enseñanza media superior. 2 Contenido Triángulos ............................................................................................................................................ 3 Centroide ......................................................................................................................................... 3 Recta .................................................................................................................................................... 4 Ecuación de la recta dada dos puntos ............................................................................................. 4 Intersección entre dos rectas .......................................................................................................... 6 Distancia de un punto a una recta .................................................................................................. 7 Ecuaciones de líneas paralelas ........................................................................................................ 8 Ecuaciones de líneas perpendiculares .......................................................................................... 10 Ángulo entre dos rectas ................................................................................................................ 12 Aplicaciones ................................................................................................................................... 13 La Circunferencia ............................................................................................................................... 19 Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio ............................ 19 La ecuación de la circunferencia dados tres puntos ..................................................................... 20 La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro .............................. 22 Aplicaciones ................................................................................................................................... 25 La Parábola ........................................................................................................................................ 31 Propiedades de la parábola dada su ecuación .............................................................................. 31 Encontrar la ecuación de la parábola dados su foco y su vértice ................................................. 33 Encontrar la ecuación de la parábola dados su directriz y su foco ............................................... 36 La Elipse ............................................................................................................................................. 39 Propiedades de la elipse dada su ecuación ................................................................................... 39 Definir una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje menor ............................................. 41 Definir una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje mayor ............................................. 43 Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 3 TRIÁNGULOS Centroide Ejemplo Calcular el centroide de un triángulo definido por los siguientes tres puntos: A (‐4, 0), B (3,4), C (4, 1). Solución Cargar la biblioteca de funciones geométricas: Definir los tres puntos del triángulo con la función point: Definir el triángulo con los tres puntos definidos utilizando la función triangle: Calcular el centroide: Calcular las coordenadas del centroide con la función coordinates: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 4 Graficar el triángulo y su centroide con la función draw: RECTA Ecuación de la recta dada dos puntos Ejemplo Encontrar a ecuación la recta que une los puntos A (0, 0) y B (5,5). Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo los dos puntos dados con la función point: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 5 Definiendo la línea con los puntos dados con la función line: Obteniendo la ecuación pedida con función Equation: Detalles de la ecuación calculada con la función detail: Dibujar la gráfica con la función draw: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 6 Intersección entre dos rectas Ejemplo Encontrar la intersección de las rectas 5
2
1
0 y 5
0. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo las rectas dadas: Encontrando la intersección entre las dos rectas con la función intersection y guardando el resultado en la variable Int: Con la función coordinates encontramos las coordinadas del punto buscado: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 7 Dibujando las rectas: Distancia de un punto a una recta Ejemplo Encontrar la distancia del punto P (5,5) a la recta x
y
0. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 8 Definiendo el punto dado con la función point: Definiendo la línea de la ecuación dada con la función line: Encontrando la distancia del punto Pa la recta con la función distance: Ecuaciones de líneas paralelas Ejemplo Encontrar la ecuación de la línea que pasa por el punto P (2, 2) y es paralela a la recta 0. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el punto P con la función point: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 9 Definiendo la línea l con la función line: Encontrando la ecuación paralela a la línea l con la función ParalleLine y llamándola lp: El detalle de la línea encontrada es el siguiente: Comprobando si las dos líneas l y lp son paralelas con la función AreParallel: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 10 Dibujando las líneas y el punto: Ecuaciones de líneas perpendiculares Ejemplo Encontrar la ecuación de la línea que pasa por el punto P (2, 2) y es perpendicular a la recta x y 0. Graficar la recta dada y su línea perpendicular encontrada. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el punto P con la función point: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 11 Definiendo la línea l con la función line: Encontrando la ecuación paralela a la línea l con la función PerpendicularLine y llamándola lp2: El detalle de la línea encontrada es el siguiente: Comprobando si las dos líneas l y lp2 son paralelas con la función ArePerpendicular: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 12 Dibujando las líneas y el punto: Ángulo entre dos rectas Ejemplo Encontrar el ángulo entre las rectas x
y
0 y x
y
0. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo las dos rectas con la función line: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 13 Encontrando el ángulo entre las dos rectas dada con la función FindAngle: Aplicaciones Ejemplo Desde el punto C (0,7) trazar dos rectas CA y CB, que forman un ángulo de 45 grados con la recta cuya ecuación es 10 4 12. Solución Reiniciar todas las variables: Cargar la biblioteca de geometría: Definir la ecuación, y el punto dados: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 14 Graficar la ecuación y el punto para visualizar el problema en esta etapa. Obtener la pendiente de la ecuación obtenida l1 y almacenarla en la variable m1: Convertir el ángulo dado de 45 grados en radianes para su uso en el cálculo de las pendientes: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 15 Calcular la pendiente m2 a partir de la fórmula para encontrar el ángulo entre dos rectas dadas y almacenar el resultado obtenido en m2: Definir una función general f0 para obtener la ecuación de una recta dada su pendiente y un punto: Sustituimos el valor de la pendiente m2 y el valor del punto C (0, 7) en la fórmula general f0 definida anteriormente y obtenemos la ecuación de la primera recta pedida. La función f2 obtenida la convertimos en un objeto reconocido por el paquete de graficación llamándole CA. Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 16 Graficamos los objetos encontrados hasta el momento: la línea dada l1, el punto C (0, 7) y la nueva recta CA. Seguimos el mismo procedimiento para obtener la ecuación de la segunda recta. Encontramos el ángulo m3 entre las rectas: Obtenemos la ecuación y la representación de la segunda recta: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 17 Encontrar el ángulo entre las tres rectas. Ángulo entre las rectas una y dos: Ángulo entre las rectas una y tres: Ángulo entre las recta dos y tres: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 18 Calculas las intersecciones entre las tres rectas. Rectas uno y dos: Rectas uno y tres: Rectas dos y tres: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 19 LA CIRCUNFERENCIA Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio Ejemplo Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en A (‐1, 5) y radio 7. Solución Inicio de variables y carga de bibliotecas: Definimos la circunferencia C a partir del punto y radio dados con la función circle: Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation: Los detalles de la ecuación encontrada los obtenemos con la función detail: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 20 Dibujar el punto y la circunferencia: La ecuación de la circunferencia dados tres puntos Ejemplo Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (‐1, 4), B (1,‐ 2), C(5,2). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud de su radio y su área. Solución Inicio de variables y carga de bibliotecas: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 21 Definimos la circunferencia C a partir de los tres puntos dados con la función circle: Encontramos la ecuación: Encontramos las coordenadas del centro y la longitud del radio con la función detail: Las coordenadas del centro también podemos encontrarlas con las funciones center y coordinates: La longitud del radio la encontramos con la función radius: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 22 El área del círculo se calcula con la función area: Dibujamos los tres puntos y la circunferencia: La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro Ejemplo Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyos puntos finales de su diámetro son A(0,0), B (5, 0). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud del radio, dibujar la gráfica de la circunferencia dada y calcular su área. Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 23 Solución Iniciamos variables: Cargamos la biblioteca de geometría: Definimos la circunferencia C a partir de los dos puntos dados (la función circle asume que los puntos dados son los extremos del diámetro): Encontramos la ecuación: Detalles de la ecuación encontrada: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 24 Encontrado el centro y sus coordenadas: Encontrando el radio de la circunferencia: Dibujamos la gráfica de la circunferencia Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 25 Calculamos el área del círculo: Aplicaciones Ejemplo Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3 cuyo centro está sobre las rectas 5 7 0 y 4 9 0. 4 4
0 y Solución Inicio de variables y carga de bibliotecas: Definimos las ecuaciones dadas: Determinamos las coordenadas del centro con la función intersection: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 26 Para calcular el radio de la circunferencia usamos la función distance en su forma de punto y línea: Definimos la ecuación de la circunferencia con la función circle en su forma centro ‐ radio: Determinamos la ecuación de la circunferencia y de las líneas: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 27 Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 28 Ejemplo Deducir una(s) ecuación(es) del o de los círculos de radio 4, cuyo centro está en la recta 4 3 7 0 y es o son tangentes a 3 4 34 0. Solución Inicio de variables y carga de bibliotecas: Para encontrar las coordenadas del centro vamos a considerar que la ecuación de la circunferencia debe satisfacer las tres condiciones dada: (1) El radio dado: (2) Un punto cualquiera (h, k) que pase por la circunferencia debe también satisfacer a la recta que pasa por el centro: (3) La tercera condición viene dada por la distancia que existe entre el radio y la recta tangente dada. Definimos primero la recta tangente en función de (h, k): Y luego definimos la ecuación de la distancia en función de la línea obtenida el radio dado:
Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 29 Resolvemos el par de ecuaciones encontradas con la función solve: El par de ecuaciones nos da dos pares de valores para encontrar las ecuaciones de los círculos: Primer círculo: Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation: Segundo círculo: Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation: Graficamos las circunferencias encontradas, la línea que pasa por el centro y la línea tangente. Definimos la línea del centro para graficarla: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 30 Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 31 LA PARÁBOLA Propiedades de la parábola dada su ecuación Ejemplo Encontrar para la parábola 2 25 las coordenadas del foco, las coordenadas del vértice y la ecuación de la directriz. Dibujar la gráfica de la ecuación encontrada. Solución Reinicializamos variables y cargamos la biblioteca de geometría: Definimos la parábola p con la función parabola: Las coordenadas del foco las encontramos con la función focus y sus coordenadas correspondientes con la función coordinates: Las coordenadas del vértice las encontramos con la función vertex y la función coordinates: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 32 La ecuación de la directriz la encontramos con las funciones directrix y Equation: La función detail muestra los detalles de la parábola encontrada: Para graficar utilizamos el paquete plots que permite graficar funciones implícitas, como es el caso de la función de la directriz. Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 33 Graficar: Encontrar la ecuación de la parábola dados su foco y su vértice Ejemplo Encontrar la ecuación de la parábola con vértice (0, 0) y foco( 1/2, 0), encontrar la ecuación de su directriz. Graficar la ecuación y su directriz encontrada. Solución Definimos los puntos del vértice y del foco: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 34 Encontramos la ecuación de la parábola con la función parabola (observe el uso de los corchetes en la definición del vértice y del foco): Encontramos la ecuación pedida con la función Equation: y la almacenamos en la variable pl para su uso posterior: Encontrando la ecuación de la directriz: Detalles de la ecuación encontrada: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 35 Graficar la ecuación y su directriz: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 36 Encontrar la ecuación de la parábola dados su directriz y su foco Ejemplo Encontrar la ecuación de la parábola cuya directriz es y , 0 . Graficar la ecuación y su directriz encontrada. Solución Reinicializar variables y cargar la biblioteca de geometría: Definimos los puntos del foco: Definimos la línea de la directriz: Encontramos la ecuación de la parábola con los parámetros de foco y directriz: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 37 Detalles de la ecuación encontrada: Definimos las ecuaciones de la parábola y la directriz para facilitar su graficación: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 38 Graficamos las ecuaciones implícitamente con la función implicitplot: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 39 LA ELIPSE Propiedades de la elipse dada su ecuación Ejemplo Encontrar el centro, los focos, la longitud del eje mayor y la longitud del eje menor de la siguiente elipse 2 4 4 0. Solución Cargamos la biblioteca con las funciones de geometría: Definimos la elipse e1 con la función ellipse: Encontramos el centro y sus coordenadas correspondientes con las funciones center y coordinates respectivamente: Encontramos sus focos con la función foci: Encontramos las coordinadas de los focos es a través de la función map: Encontramos las longitudes del eje mayor y el eje menor de la elipse: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 40 Detalles de la ecuación: Dibujamos la gráfica de la ecuación con la función draw: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 41 Definir una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje menor Ejemplo Dada la elipse con focos 1 4, 0 y 2 4, 0 y la longitud de su eje menor = 6, encontrar la ecuación, las coordenadas de su centro, la longitud del eje mayor y representar la ecuación en su forma ordinaria. Solución Cargamos la biblioteca con las funciones de geometría: Encontrar la ecuación de la elipse en su forma foco y la longitud del eje menor: Ecuación de la elipse: Focos de la elipse: Longitudes de los ejes: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 42 La ecuación de la hipérbola encontrada se puede convertir a su forma ordinaria igualándola a uno de la siguiente manera: Seleccionamos el término independiente de la ecuación: Calculamos la forma ordinaria de la ecuación: Detalles de la ecuación encontrada: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 43 Gráfica de la ecuación: Definir una elipse a partir de sus focos y la longitud del eje mayor Ejemplo Dada la elipse con focos y la longitud de su eje mayor = 10, encontrar la ecuación, las coordenadas de su centro, la longitud del eje menor y representar la ecuación en su forma ordinaria. Solución Encontrar la ecuación de la elipse en su forma foco y la longitud del eje mayor: Ecuación de la elipse: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 44 Focos de la elipse: Longitudes de los ejes: La ecuación de la hipérbola encontrada se puede convertir a su forma ordinaria igualándola a uno de la siguiente manera: Seleccionamos el término independiente de la ecuación: Calculamos la forma ordinaria de la ecuación: Detalles de la elipse encontrada: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa 45 Gráfica de la ecuación: Material desarrollado con Maple Ricardo Villafaña Figueroa