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Introducción a la Economía de la Empresa
Tema 5. Análisis de problemas y toma de decisiones
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Introducción La modelización
Ambientes de decisión
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Criterios de decisión en contexto de incertidumbre
Criterios de decisión en contexto de incertidumbre
‐
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Certeza
Riesgo
Incertidumbre Estructurada
Incertidumbre no estructurada
Laplace
Optimista
Pesimista
Hurwicz
Savare
Probabilidad
Análisis Bayesiano
1
Introducción a la Economía de la Empresa
5.1 Introducción
La adopción de decisiones tiene tanta importancia en el ámbito empresarial
que se ha definido a la empresa como centro de decisiones voluntarias
tomadas en un entorno incierto.
En el transcurso de la historia,
historia el hombre ha tomado las decisiones basándose
en la experiencia, en la intuición, en el sentido común, y en la repetición de
fórmulas que funcionaron bien en el pasado.
D d l
Dado el creciente cambio en el entorno empresarial, la toma de decisiones i t
bi
l t
i l l t
d d ii
resulta cada vez más compleja. Por ello, como en otras áreas de la ciencia económica, la toma de decisiones se realiza en base a distintos modelos. E muchos
En
h casos la
l realidad
lid d es tan compleja
l j que, para comprenderla,
d l hay
h que
simplificarla, tomando de ellas aquellos aspectos que resultan relevantes
para el análisis de que se trate y relegando los que resultan accesorios. De
acuerdo con esto,
esto un modelo,
modelo es una representación simplificada de una
parte de la realidad.
El principal objetivo de un modelo es permitir una mejor comprensión y
d
descripción
i ió de
d la
l realidad
lid d que representa.
t Esta
E t mejor
j compresión
ió de
d la
l
realidad permite tomar mejores decisiones.
2
Introducción a la Economía de la Empresa
Un modelo económico
Supuestos:
1. En la economía hay una única empresa que produce un bien.
2. Este bien, es a la vez un bien de consumo y un bien de capital.
3. La empresa es precio aceptante en el mercado de factores y el mercado de productos. Toma,
precios y salarios como dados
4. Para producir las empresas utilizan capital y trabajo.
5. Los consumidores alquilan el capital a las empresas a un coste de r.
6. Asumimos que el objetivo de la empresa es maximizar beneficios
Beneficio  precio  producción  salario  trabajador  cos te capital  capital
Maximizar
L
B  p  q (l , k )  ( w  L)  (r  k )
B
 0;
L
p
[Ecuación 1]
q
 w  0;
L
p
q
w
L
3
Introducción a la Economía de la Empresa
Un modelo económico
Beneficio
Bmax
L (trabajo)
L*
Una solución del problema particular del modelo planteado
1.
2.
3.
Función de producción, q 
Precio de los factores: p  10,
Stock de capital: k  100
Lk
w5
4
Introducción a la Economía de la Empresa
Un modelo económico
S tit
Sustituyendo
d en [Ecuación
[E
ió 1]:
1]
p
q
w
L
10
1 100
5
2 L
5  10  5 L
L*  100
: Cantidad demandada de trabajo
Cantidad demandada de trabajo
¿Como afecta a la cantidad demandada de trabajo el establecimiento de cotizaciones a la seguridad social?
Maximizar
B  p  q (l , k )  ( w(1  SS )  L)  (r  k )
L
cpo: B
B
 0;
L
Nota: SS representa el porcentaje de cotizaciones a la seguridad social
Nota: SS representa el porcentaje de cotizaciones a la seguridad social
5
Introducción a la Economía de la Empresa
p
q
 w(1  SS )  0;
L
L
p
q
 w(1  SS )
L
Si SS=10%, ¿Cuál será ahora la cantidad demandada de trabajo por parte de la
empresa
10
1 100
 5(1  10%)
2 L
10  (1  10%) L
L*  82.6
: Cantidad demandada de trabajo
6
Introducción a la Economía de la Empresa
5.2 Ambientes de decisión
La toma de decisiones es tanto más sencilla cuanto mayor sea la información de que se
dispone. La toma de decisiones se hace más compleja cuando no sabemos con
certeza lo que va a ocurrir.
El nivel de información determina el tipo
p de ambiente de la decisión. Ambientes de
decisión:
Certeza: El ambiente de certeza es aquel en el que el decisor conoce con absoluta
seguridad
g
los estados de la naturaleza q
que van a p
presentarse.
Riesgo: Se denomina ambiente de riesgo a aquel en el que el decisor no sabe con
certeza qué estados de la naturaleza se presentarán, pero si conoce cuales pueden
presentarse y la probabilidad que tiene cada uno de ellos (por ejemplo, sabe que la
demanda puede ser de 150.000 unidades al año, con una probabilidad del 25%, o
de 75.000 con una probabilidad del 75%, y sabe que hay una probabilidad del 40%
de q
que tenga
g competencia
p
fuerte y un 60% de q
que no tenga
g competencia).
p
)
Incertidumbre estructurada. El ambiente de incertidumbre estructurada es aquel en que
se conocen los estados de la naturaleza, pero no las probabilidades asignadas a
cada uno de esos estados.
Incertidumbre no estructurada. Es aquel en el que no se conocen ni los estados de la
7
naturaleza ni las probabilidades.
Introducción a la Economía de la Empresa
5.2.1 Criterios de decisión en contextos de incertidumbre
Si la incertidumbre no estructurada, ni se puede obtener mayor información, y ha de tomarse una decisión, ésta habrá de basarse en la intuición.
Si la incertidumbre estructurada, la decisión continúa incorporando una carga de subjetividad muy elevada. Pero en este caso la toma de decisiones se puede realizar utilizando distintos criterios: 




Laplace
Optimista
Pesimista
Optimismo parcial
Mínimo Pesar (Savage)
8
Introducción a la Economía de la Empresa
Criterio de Laplace
El criterio de laplace se llama también racionalista o criterio de igual verosimilitud.
Parte del postulado de Bayes según el cual, si no se conocen las probabilidades asociadas
a cada uno de los estados de la naturaleza no hay razón para pensar que uno tenga
más probabilidades que otro por ello se calcula la media aritmética de cada una de
las decisiones que se pueden tomar y se elige aquella que le corresponda el
resultado medio más elevado.
elevado En el caso de que todos los resultados sean negativos
se elige el menos desfavorable.
TABLA 1
Decisiones
alternativas
E1
Estados de la Naturaleza
S1
S2
S3
60
50
40
E2
10
40
70
9
Introducción a la Economía de la Empresa
Criterio de Laplace
Media aritmética de la decisión E1.
E1 
60  50  40
 50
3
Media aritmética de la decisión E2.
E2 
10  40  70
 40
3
Utilizando el criterio de Laplace se tomaría la decisión E1.
10
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Criterio Optimista
Es el criterio que elegiría una persona, que pensara que cualquiera que fuese su decisión, el estado que se presentará será el más favorable. Por ello, cuando los resultados son positivos, se le denomina criterio maxi‐
Por ello, cuando los resultados son positivos, se le denomina criterio maxi
max. Para cada decisión se analizan los posibles resultados, y se toma aquella decisión que en el caso más optimista ofrezca mejores resultados.
resultados
Utilizando los datos de la tabla 1, ¿Cuál será la decisión que corresponda al criterio optimista?
Si elige E
Si
elige E1., sucederá lo más favorable (S
sucederá lo más favorable (S1) y ganará 60 u.m.
) y ganará 60 u m
Si elige E2., sucederá lo más favorable (S3) y ganará 70 u.m.
Luego con este criterio eligirá E2, 70 > 60
11
Introducción a la Economía de la Empresa
Criterio pesimista o de Wold
Es el que seguiría una persona que pensara que cualquiera que fuese su
elección, el estado de la naturaleza que se presentará será el menos
favorable.
Utilizando los datos de la tabla 1, ¿Cuál será la decisión que corresponda al
criterio pesimista?
‐ Si toma la decisión E1 ocurrirá lo menos favorable, es decir S3, y ganará
40.
‐ Si toma la decisión E2 ocurrirá lo más desfavorable, es decir S3, y ganará
10.
Bajo este criterio la decisión será E1, ya que 40>10
Cuando los resultados sean desfavorables la decisión optima será mini‐
max, la menor perdida entre las mayores pérdidas.
12
Introducción a la Economía de la Empresa
Criterio de optimismo parcial
EEste criterio constituye un compromiso entre los criterios optimista y pesimista, t it i
tit
i
t l
it i
ti i t
i it
mediante la introducción de un coeficiente de optimismo que denotamos 
por , comprendido entre 0 y 1, y de su complemento a la unidad que es el denominado coeficiente de pesimismo (1‐  ).
El mejor de los resultados de cada estrategia se pondera con el coeficiente de El
mejor de los resultados de cada estrategia se pondera con el coeficiente de
optimismo  , en tanto que el peor de los resultados se pondera con el coeficiente pesimista (1‐  ).
Utilizando los datos de la tabla 1, cuál será la decisión que corresponde al criterio á
á
ó
de optimismo parcial? (suponed que alpha vale un 60%).
Si se elige E1 lo mejor que puede ocurrir es S1 y lo peor es S3 :
Resultado:
E1    (60)  (1   )  40
13
Introducción a la Economía de la Empresa
Criterio de optimismo parcial
E1  0.6  (60)  (0.6)  40  52
Si se elige E2 lo mejor que puede ocurrir es S3 y lo peor es S1 :
Resultado: E2    (70)  (1   ) 10
E2  0.6  (70)  (1  0.6) 10  48
Si los resultados son favorables la decisión que tomaría con este criterio es E1. 1. Si los resultados fuesen desfavorables la decisión que se tomaría sería E2.
14
Introducción a la Economía de la Empresa
Criterio de mínimo pesar
Este criterio lo siguen quienes tienen aversión a arrepentirse por
equivocarse. Formalmente ha de partirse de la matriz de pesares.
Según este criterio la decisión optima es elegir el menor entre los máximos
pesares.
Construimos primero la matriz de pesares.
pesares Veamos como se construye esta
matriz.
Si elige E1 y ocurre S1, su pesar es cero, ha ocurrido lo mejor que podría
pasar dado que ha elegido E1. Si elige E2, y ocurre S1, su pesar es 50,
que se calcula como la diferencia entre lo que gana con E2, que es 10, y
lo que habría ganada si hubiese tomado la decisión E1, que es 60.
15
Introducción a la Economía de la Empresa
Criterio de mínimo pesar
S1
E1
0
E2
50
S2
S3
Si elige E1 y ocurre
oc rre S2, su
s pesar es cero,
cero ha ocurrido
oc rrido lo mejor que
q e podría pasar
dado que ha elegido E1. Si elige E2, y ocurre S2, su pesar es 10, que se calcula
como la diferencia entre lo que gana con E2, que es 40, y lo que habría
ganada si hubiese tomado la decisión E1, que es 50.
S1
S2
E1
0
0
E2
50
10
S3
16
Introducción a la Economía de la Empresa
Criterio de mínimo pesar
Si elige E
g 1 yy ocurre S3,, su pesar es 30, (70‐40). Si elige E
p
,(
)
g 2,, y ocurre S
y
p
3,, su pesar cero, ha ocurrido lo mejor dado que ha elegido E2.
M t i de
Matriz
d pesares
S1
S2
S3
E1
0
0
30
E2
50
10
0
Si toma la decisión E1, el máximo pesar es de 30. Si toma la decisión E2, el
máximo pesar es de 50.
50 Siguiendo el criterio de Savage,
Savage la decisión
óptima es tomar la decisión E1, a la que corresponde el menor entre los
máximos pesares.
17
Introducción a la Economía de la Empresa
5.2.2 Decisiones en contexto de riesgo
El estudio de decisiones en contexto de RIESGO precisa tener conocimientos básicos de probabilidad.
A continuación estudiamos algunos conceptos básicos de PROBABILIDAD
Conforme a la definición de Laplace, si de un total de n casos, todos
igualmente factibles, un suceso S puede presentarse en h de los casos,
la probabilidad de ocurrencia de un suceso S, que denotamos por P(S),
es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos
posibles.
P( S ) 
h
n
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Introducción a la Economía de la Empresa
Ejemplo 1. Lanzamiento de una moneda una vez Calcular la probabilidad de sacar una
Lanzamiento de una moneda una vez. Calcular la probabilidad de sacar una cara.
1
P( S  cara) 
2
Ejemplo 2. L
Lanzamiento de un dado. Calcular la probabilidad de sacar un seis.
i t d
d d C l l l
b bilid d d
i
P( S  sacar un seis) 
1
6
Ejemplo 3. Tenemos una cesta con 3 bolas negras y 7 bolas blancas. S= sacar una bola negra. 3
P( S  sacar una bola
b l blanca
bl
)
10
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Introducción a la Economía de la Empresa
Probabilidad de un suceso compuesto
Probabilidad
de un suceso compuesto
Sean S y T dos sucesos INDEPENDIENTES, la probabilidad de que ambos sucesos ocurran conjuntamente, que denotamos por se calcula como el P( S  T )
producto de las probabilidades marginales de S
d
d l
b bilid d
i l d S y de T.
d T
P( S  T )  P( S )  P(T )
Donde es la probabilidad de que ocurra el suceso S y es la probabilidad P(S )
P(T )
de que ocurra el suceso T.
Sean S y T dos sucesos DEPENDIENTES, la probabilidad de que ambos sucesos ocurran conjuntamente, se calcula como:
P( S  T )  P( S )  P(T / S )
P( S  T )  P(T )  P( S / T )
20
Introducción a la Economía de la Empresa
P( S / T )
: Probabilidad de qque ocurra el suceso S condicionada a qque ha
ocurrido el suceso T.
P(T / S ) : Probabilidad de que ocurra el suceso T condicionada a que ha
ocurrido el suceso S
Cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad condicionada es
igual a la probabilidad marginal.
P( S / T )  P( S )
P(T / S )  P(T )
Ejemplo 4.
Tenemos una urna con 5 bolas, 3 negras
g y 2 blancas. Sea el suceso S: “sacar
una bola negra en la primera extracción” el suceso T: “sacar una bola
negra en la segunda extracción”.
21
Introducción a la Economía de la Empresa
......continúa ejemplo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que saquemos dos bolas negras seguidas, es decir, cuál es la
¿Cuál es la probabilidad de que saquemos dos bolas negras seguidas, es decir, cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso S y el suceso T?
P( S  T ) ?????
Para calcular esta probabilidad es necesario saber si las extracciones de las bolas son con o
sin reemplazamiento ya que ello determina si ambos sucesos son o no
independientes. Analizamos los dos casos posibles.
Caso 1. NO HAY REEMPLAZAMIENTO. En este caso los dos sucesos son DEPENDIENTES y por tanto la probabilidad conjunta se calcula como:
P( S  T )  P( S ) P(T / S )
P( S )  3 / 5;
3 2 6
3
P(T / S )  2 / 4; P( S T )   

5 4 20 10
22
Introducción a la Economía de la Empresa
......continúa ejemplo 4.
Caso 2. HAY REEMPLAZAMIENTO.
En este caso los dos sucesos son INDEPENDIENTES y por tanto la
probabilidad conjunta se calcula como el producto de las probabilidades
marginales.
P( S  T )  P( S ) P(T )
3
P( S ) 
5
P((T
T) 
3
5
3 3 9
P( S T )   
5 5 25
23
Introducción a la Economía de la Empresa
Probabilidad de UNIÓN ENTRE SUCESOS.
Dados dos sucesos, S y T, la probabilidad de que ocurra o bien el suceso S o bien el suceso T viene dada por la siguiente expresión:
P( S  T )  P( S )  P(T )  P( S  T )
Ejemplo 5.
Tenemos una urna con 5 bolas, 3 negras y 2 blancas. Sea el suceso S: “sacar una bola negra en la primera extracción” el suceso T “
T: “sacar una bola negra en la segunda extracción”.
b l
l
d
ió ”
¿Cuál es la probabilidad de que saquemos una bola negra en la primera ¿Cuál
es la probabilidad de que saquemos una bola negra en la primera
extracción o que saquemos una bola negra en la segunda, es decir de que ocurra el suceso S o el suceso T?
24
Introducción a la Economía de la Empresa
......continúa ejemplo 5. Caso 1. NO HAY REEMPLAZAMIENTO. En este caso los dos sucesos son DEPENDIENTES. P( S  T )  P( S )  P(T )  P( S  T )
3 2 3 (4  3)  (5  2)  (2  3) 16 4  4 4
P( S T
T)    



5 4 10
20
20 5  4 5
Caso 2. HAY REEMPLAZAMIENTO. En este caso los dos sucesos son INDEPENDIENTES.
3 3 9 (5  3)  (5  3)  (9) 21
P( S T )   


5 5 25
25
25
25
Introducción a la Economía de la Empresa
El TEOREMA DE BAYES nos dice lo siguiente:
Tenemos una serie de sucesos disjuntos que no pueden ocurrir de
f
forma
simultánea),
i lá
) S1,
S1 S2,
S2 ....Sn,
S y dado
d d un suceso T,
T que puede
d
producirse conjuntamente con cada uno de los sucesos
anteriores, entonces la probabilidad del suceso T se puede
calcular como:
P(T )  P( S1  T )  P( S 2  T )  ...  P( S n  T )
P(T )  P( S1 ) P(T / S1 )  P( S 2 ) P(T / S 2 )  ...  P( S n ) P(T(1)
/ Sn )
Teniendo en cuenta que la probabilidad conjunta de dos sucesos se
puede calcular como el producto de probabilidades
condicionadas:
P( Si ) P(T / Si )  P(T ) P( Si / T )
Y sabiendo que:
P ( Si / T ) 
P(T / Si ) P( Si )
P(T )
26
Introducción a la Economía de la Empresa
Un ejemplo:
T=“sacar cara al lanzar una moneda”
S1=“Sacar
Sacar un uno al lazar un dado
dado”
S2=“Sacar un dos al lazar un dado”
.......
S6=
=“Sacar
Sacar un seis al lazar un dado
dado”
S1, S2, S3, S4, S5, S6: son sucesos disjuntos. Si lanzas un dado una
vez, o bien sacas un uno, o un dos, o un tres, ..etc, pero no
puedes sacar conjuntamente
p
j
un uno y un dos.
Nos preguntan: ¿cual es la probabilidad de que al tirar una moneda
salga cara?.
1 1 1
P (cara  S  1)   
2 6 12
P(cara)  P(cara  S  1)  P(cara  S  2)  ...  P(cara  S  6)
P(cara) 
1 1 1 1 1 1 1
     
12 12 12 12 12 12 2
27
Introducción a la Economía de la Empresa
Variables aleatorias
Se dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe con certeza
el valor que tomará, sino solo los valores que puede tomar (o
rango de valores en los que se puede mover) y la probabilidad
de que tome esos valores (o la probabilidad de que tome un
valor en un intervalo definido).
Hay dos tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas
Se dice que una variable aleatoria es discreta cuando el número de
valores que puede tomar es finito.
Se dice que una variable aleatoria es continua,
continua cuando esa variable
puede tomar un número infinito de valores.
La inflación, la tasa de crecimiento del consumo, la inversión y la
producción, los rendimientos de activos en bolsa, los cambios en
los tipos de interés, la duración de un determinado proceso de
producción,, el valor de las ventas,, son ejemplos
p
j p
de variables
aleatorias continuas
28
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito de valores.
Al conjunto
j
de valores q
que p
puede tomar una determinada variable aleatoria y
sus respectivas probabilidades se le denomina distribución de probabilidad.
En el ejemplo (1), la distribución de probabilidad es la siguiente
En el ejemplo (1),
la distribución de probabilidad es la siguiente
Valores
posibles
Probabilidad
0
1/16
= (1/2) (1/2) (1/2) (1/2)
1
4/16
= (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S1, S2, S3, S4
2
6/16
= (1/16)+(1/16)+(1/16)+...
3
4/16
= (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S12, S13, S14, S15
4
1/16
= (1/16)
Prob. Suceso 1(S1)
Prob. S6, S7, S8, S9, S10, S11
Prob. Suceso 16(S16)
29
Introducción a la Economía de la Empresa
La distribución de probabilidad se suele representar por medio de un
HISTOGRAMA, es decir,
d
mediante
d
rectángulos
á
l
cuyas áreas
á
son
proporcionales a los tamaños de las probabilidades que representan.
Histograma
0.40
0.375
0.35
Probab
bilidades
0.30
0.25
0.25
0.25
0.20
0.15
0.10
0.0625
0.0625
0.05
0.00
0
1
2
3
4
Valores posibles
30
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
La distribución de probabilidad de una variable nos permite conocer la
probabilidad asignada a los distintos valores que puede tomar una variable.
Además, la distribución de probabilidad nos permite conocer la probabilidad
de que una variable sea inferior a un determinado valor, P ( x  3) o,
que
tome valores en un determinado intervalo P (2  x  4) .
En el ejemplo (1),
(1) podemos conoce
conocer la p
probabilidad
obabilidad de que
q e la variable
a iable x tome
un valor menor o igual que 3:
P( x  3)  P( x  0)  P( x  1)  P( x  2)  P( x  3)
1 4 6 4 15
P( x  3)     
16 16 16 16 16
o la probabilidad de que teme un valor entre 2 y 4,
4
.
P(2  x  4)  P( x  2)  P( x  3)  P( x  4)
P(2  x  4) 
6 4 1 11
  
16 16 16 16
31
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Momentos de la distribución de Probabilidad
• Esperanza Matemática ( media, o valor esperado)
• Varianza
• Desviación típica
Esperanza matemática (E(x))
La esperanza matemática de una variable discreta, es una media ponderada de
los valores que puede tomar esa variable utilizando como coeficientes de
ponderación
ó sus probabilidades.
Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores:
{
} y sus probabilidades son {
}
x1, x2 , x3 ,..xn
La esperanza matemática se calcula como:
p1, p2 , p3 ,.. pn
E ( x)  x1 p1  x2 p2  x3 p3  ...  xn pn
32
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
El valor esperado de una variable, es el valor alrededor del cuál la variable toma
distintos valores.. Se pude decir, que es el valor de referencia que señala
donde se encuentra centrada la distribución.
Ejemplo (3)
Sean x e y dos variables aleatorias cuyas
y distribuciones de probabilidad
p
vienen
dadas en las tablas 1 y 2 respectivamente.
Tabla 2
Valores
Probabilidad
posibles
p
Tabla 1
Valores
posibles
Probabilidad
3
3/10
4
4/10
5
3/10
2
3/10
3
/
2/10
4
1/10
5
2/10
6
2/10
33
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Varianza de una variable aleatoria discreta
Es la esperanza matemática de los cuadrados de las desviaciones de los valores
posibles respecto a su media
Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores:
{ x1, x2 , x3 ,..xn
} y sus probabilidades
b bilid d son { p1, p2 , p3,.. pn }
La varianza se calcula como:
 2  ( x1  x ) 2 p1  ( x2  x ) 2 p2  ( x3  x ) 2 p3  ...  ( xn  x ) 2 pn
La desviación típica es:
  ( x1  x ) 2 p1  ( x2  x ) 2 p2  ( x3  x ) 2 p3  ...  ( xn  x ) 2 pn
34
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas
Tanto la varianza como la desviación típica nos informan sobre la distribución de probabilidad en el sentido de que nos dicen cuan
distribución de probabilidad, en el sentido de que nos dicen cuan dispersos están los datos respecto a la media.
Valores pequeños de sigma indican concentración de resultados respecto a su media. Valores grandes de sigma corresponden a distribuciones más dispersas
distribuciones más dispersas.
Cuando sigma es pequeño, puede decirse que hay una probabilidad muy elevada de que la variable tome un valor muy próximo a su valor esperado. Si sigma es grande, habrá una posibilidad elevada de que la variable se desvíe al alza o a la baja.
q
j
35
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas
Utilizando los datos del ejercicio 3, calcular:
1.
2.
3.
La esperanza matemática de x e y
La varianza de x e y
Histograma de x e y
Esperanza matemática de x e y
E ( x)  3  (3 / 10)  4  (4 / 10)  5  (5 / 10)  4
E ( y )  2  (3 / 10)  3  (2 / 10)  4  (1 / 10)  5  (2 / 10)  6  (2 / 10)  3.8
Varianza de x e y
 x2  (3  4) 2
3
6
3
4
 (4  4) 2  (5  4) 2   0.6
10
10
10 10
36
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas
 x2  (2  3.8) 2
3
2
1
2
2
 (3  3.8) 2  (4  3.8) 2  (5  3.8) 2  (6  3.8) 2  2.36
10
10
10
10
10
Histograma, x
Histograma, y
0.45
0.35
0.4
0.3
0.3
Proabilida
ad
Proabilida
ad
0.35
0.25
0.2
0.15
0.1
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 05
0.05
0
0
3
4
Valores posibles
5
2
3
4
5
6
Valores posibles
37
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad. Variables aleatorias continuas
Variables aleatorias continuas
Se dice que una variable aleatoria es continua, cuando en un rango de valores
determinado puede tomar infinitos valores.
En el caso de variables continuas, la probabilidad de que dicha variable tome un
valor concreto es infinitamente pequeña, casi cero. Por eso, en el caso de
este tipo de variables, no nos interesas tanto saber la probabilidad de que
tome un valor concreto, sino la probabilidad de que esa variable tome un
valor en un determinado intervalo o sea inferior a un cierto valor.
En el caso de variables continuas,
continuas la distribución de probabilidad o función de
densidad, nos dice cuál es la probabilidad de que la variable x sea inferior a
un determinado valor que denotamos por a.
Sea f(x) la función de densidad de la variable x. Dicha variable toma valores en
el siguiente rango de [a, b]. La probabilidad de que dicha variable tome un
valor por debajo de c, perteneciente a ese intervalo, vienen dada por:
c
P( x  c)   f ( x)dx
a
38
Introducción a la Economía de la Empresa
Una de las distribuciones de probabilidad más utilizada en la NORMAL.
Características de la NORMAL:
•
Es simétrica y tiene forma acampanada. También se llama campana de
Gauss
•
El área correspondiente a cada posible valor de la variable es infinitesimal;
es decir, que la probabilidad de que la variable tome un valor concreto es
cero.
•
La probabilidad de que la variable tome un valor comprendido en un cierto
intervalo finito,
finito es también una cantidad finita e igual al área existente bajo
la campana en ese intervalo
•
El rango de fluctuación de las variables con distribución normal es +/infinito El área total debajo de la campana vale uno.
infinito.
uno
•
La esperanza matemática de la variable habrá de encontrarse en el centro
de la distribución, y dado que esta es simétrica, y que su área total es igual
a uno, tanto el área a la izquierda de su valor esperado como el área a su
derecha vale 0.5
•
Se trata de un tipo de distribución que queda perfectamente descrita con
solo el conocimiento de su esperanza matemática o media y su varianza.
39
Introducción a la Economía de la Empresa
La distribuciones NORMAL.
-infinito
a
b
+ infinito
La probabilidad de que x tome un valor en el intervalo [a, b],
es el área rayada de la figura arriba representada, y se
calcula como:
P ( a  x  b)  P ( x  b)  P ( x  a )
b
P(a  x  b)   f ( x)dx
a
40
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad. Variables aleatorias continuas
Variables aleatorias continuas
En el caso de variables continuas también podemos construir un histograma.
Para ello dividimos el rango de valores que pude tomar la variable en distintos
segmentos y calculamos para cada uno de ellos la frecuencia relativa, es
decir, el porcentaje de datos que toma esa variable en cada segmento.
EEUU: Tasa de crecimiento del IPI
Ejemplo (1).
Tasa de crecimiento del IPI de
Estados Unidos.
50
40
Prrobabilidad
IInflación
fl ió media:
di 3.09%
3 09%
Desviación típica: 2.937
60
30
20
10
0
-6
-4
-2
0
2
4
valores posibles
6
8
10
41
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad. Variables aleatorias continuas
Variables aleatorias continuas
Ejemplo (2). Tasa de crecimiento de las ventas al por menor. Para ello dividimos el rango de valores que pude tomar la variable en
distintos segmentos y calculamos para cada uno de ellos la
frecuencia relativa, es decir, el porcentaje de datos que toma esa
variable en cada segmento
EEUU: Tasa de crecimeinto de las ventas totales
40
35
30
25
P
Probabilidad
Inflación media: 5.76%
Desviación típica: 2.13
20
15
10
5
0
-2
0
2
4
6
valores posibles
8
10
12
42
Introducción a la Economía de la Empresa
Distribución de probabilidad. Variables aleatorias continuas
Cuando una variable se distribuye normal, con esperanza
varianza,  2 , se denota de la siguiente forma:
x ~

y
N (  , )
En el caso particular en que la media es cero, y la varianza es uno,
se dice que la distribución es Normal Estándar.
La distribución de la Normal Estandarizada está tabulada (existen
unas tablas estadísticas al final del capitulo) con las que se puede
calcular la probabilidad de que la variable x tome un valor
comprendido en cualquier intervalo que se desee.
desee
43
Introducción a la Economía de la Empresa
Cómo leer la información que aparece en tabla. En el interior aparece
la probabilidad.
Tablas de
la Normal Tipificada
variable
x tome
0
1
2
3
4
un
5
6
7
0.0
0.1
0.2
Probabilidad de que la variable x tome un valor entre 0 y 0.27
0.106
0.3
0.4
0.5
0.1985
0.6
Probablidad de que la variable Probablidad
de que la variable
x tome un valor entre 0 y 1.25
0.7
0.8
tome un 0.9
1.0
0.353
1.1
1.2
1.3
Probabilidad de que la variable x tome un
variable x tome un valor entre 0 y 0.52
44
Introducción a la Economía de la Empresa
Si una variable se distribuye normal, con media  y varianza  2
podemos conocer su distribución de probabilidad tipificando la variable
podemos conocer su distribución de probabilidad tipificando la variable. Para tipificar una variable basta con restarle su media y dividir esa diferencia por la desviación típica. 
x

Se puede demostrar que la variable que hemos obtenido,  al tipificar x
tiene una media de cero y varianza igual a uno.
Sea x ~ N ( 2600, 386 )vamos a calcular la probabilidad de que dicha variable tome un valor mayor a 3206.
P( x  3206)  ????
Primero: tipificamos la variable .

x  2600
386
45
Introducción a la Economía de la Empresa
Segundo: de la expresión anterior (1) despejamos el valor de x
(2)
x  2600  386 
Tercero: planteamos la pregunta que nos hacen: P( x  3206)
(3)
Cuarto: Sustituimos en (3) el valor de x obtenido en (2):
P(2600  386   3206)  ???
P(  
3206  2600
)  ???
386
Quinto: Buscamos en las tablas de la normal estándar
P(   1.57)  1  P(  1.57)
46
Introducción a la Economía de la Empresa
Tenemos que calcular la probabilidad de que la normal estándar sea inferior a 1.57. e o a .5 .
P(   1.57)  1  P(  1.57)
En la tabla de la Normal Estándar tenemos la probabilidad de que la Normal tome un valor entre 0 y 1.57. Dicha probabilidad es de 0.4418. Sabemos además que la probabilidad de que la variable
tome un valor por debajo de 0 es igual a 0.5. Luego sabemos que la probabilidad de que
probabilidad de que
tome un valor por debajo de 1 57 es de
tome un valor por debajo de 1.57 es de 0.9418. P(  1.57)  0.5  0.4418  0.9418
P(   1.57)  1  0.9418  0.0582
Así, sabemos que la probabilidad de que la variable x tome un valor í b
l
b bilid d d
l
i bl
l
mayor a 3206 es igual a 0.0582.
47
Introducción a la Economía de la Empresa
p

Un intervalo de confianza a un nivel de significación , nos da los puntos entre los cuales la variable en cuestión tomará valores con una probabilidad igual
los cuales la variable en cuestión tomará valores con una probabilidad igual a 1   .
Para el caso anterior, vamos a construir un intervalo de confianza a un nivel de significación del 5%. Para ello, buscamos dos valores, [a, b] tales que:
P(a  x  b  1  5%
Dado que la variable x se distribuye normal, sabemos que: P(b  x  b)  P( x  b)  P( x  b)  95%
Sabemos también que la probabilidad de que x tome un valor por encima o por debajo de b es igual a 2.5%. De ello se deduce que:
P( x  b)  1  2.5%  47.5%
P(b 
x  2600
 b)  95%
386
48
Introducción a la Economía de la Empresa
p
No sabemos cuál es el valor de b. Para conocerlo, tenemos que tipificar la variable x. 
x  2600
386
Y sustituimos en la expresión anterior:
P( x  b)  1  2.5%  47.5%
P(2600  386  b)  47.5%
P(  
b  2600
)  47.5%
386
Buscamos en la tabla de la Normal estándar aquel valor que deje a la Buscamos
en la tabla de la Normal estándar aquel valor que deje a la
izquierda de la distribución el 47.5% de los datos. Dicho valor es 1.96
49
Introducción a la Economía de la Empresa
p
Buscamos en la tabla de la Normal estándar
Buscamos
en la tabla de la Normal estándar aquel valor que deje a la izquierda aquel valor que deje a la izquierda
de la distribución el 47.5% de los datos. P(   z* )  47.5%
Dicho valor es 1.96, es decir, z*  1.96
Una vez conocido podemos calcular b.
z*
z* 
b  2600
386
b  2600  386 z*
Así, el intervalo de confianza para la variable x es (1843.44, 3356.56), se ha calculado como:
(2600  (1.96  386) , 2600  (1.96  386))
50