Download 1 Sabiendo que x es un ángulo del primer cuadrante tal que tg(x)=2

F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
1
Sabiendo que x es un ángulo del primer cuadrante tal que tg(x)=2, halla:
a) sen(4x)
b) tg(2x+180º)
Solución:
Si tg(x)
2
1
cos(x)
1
2
5
1 tg (x)
sen(4 x)
sen(4 x)
sen(2 2 x)
4
2
1
5
5
5
b) tg(2 x 180º )
2
4
5
24
25
2 tg(x)
tg(2 x)
1 tg (x)
5
4 sen(x) cos(x) cos 2 (x) sen 2 (x)
0,96
4
1 4
2
2
2
1 tg (x)
2 sen(2 x)cos(2 x)
1
tg(x)
; sen(x)
4
3
1,3333...
Calcula las razones seno y coseno de los siguientes ángulos:
a) A = /8
b) B = 75º
Solución:
a) El ángulo A = /8, es el ángulo mitad de x = /4
-
sen(A)
cos(A)
x
sen
2
x
cos
2
2
2
2
2
1
1 cos(x)
2
2
2
1
1 cos(x)
2
2
2
0,3826...
2
2
2
2
0,9238...
b) El ángulo de 75º = 45º + 30º
3
-
sen(75º )
sen(45º 30º )
sen(45º ) cos(30º ) cos(45º ) sen(30º )
2
2
3
2
2 1
2 2
6
-
cos(75º )
cos(45º 30º )
cos(45º ) cos(30º ) sen(45º ) sen(30º )
2
2
3
2
2 1
2 2
6
Sabiendo que cos(a)
0,6 y 0
a
2
, halla las razones trigonométricas del ángulo x
1
2
4
2
4
2
0,9659...
0,2588...
2a .
.d o
m
o
.c
a)
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
Si cos(a) 0,6
-
sen
-
cos
-
tg
2
2
cos(2 a)
cos 2 (a) sen 2 (a)
2a
sen(2 a)
2 sen(a) cos(a)
sen
-
-
4
cotg
sec
cos
2
2
cosec
1 0,36
2a
2a
2
1 cos2 (a)
sen(a)
2a
2
2a
2
1
2a
tg
1
cos
2
1
0,96
2a
1
2a
sen
2
2a
0,36 0,64
2 0,8 0,6
0,28
0,96
3,4286
1,0417
1
0,28
3,5714
precisión de segundos.
2cos(210º )cos(x)
Solución:
Expresando la suma de cosenos del primer miembro como un producto, se tiene:
2 cos(7 x)cos(x)
2 cos(210º ) cos(x)
2 cos(x) cos(7 x) cos(210º )
0
que equivale a resolver dos ecuaciones:
cos(x)
0
x
90º
x
270º
cos(7 x) cos(210º )
5
0
m
0,8
Resuelve la siguiente ecuación, calculando sólo aquellas soluciones tales que 0º
cos(8x) cos(6x)
c u -tr a c k
0,2917
1
0,2917
2a
2
2a
2
0,28
0,96
.d o
o
.c
Solución:
-
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
7x
210º
x
30º
7x
150º
x
21º25'43"
Demuestra que los tres ángulos a, b y c de un triángulo cualquiera verifican la igualdad:
tg(a) + tg(b) + tg(c) = tg(a)tg(b)tg(c)
2
x <360º con una
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
tg(a b)
tg(180º c)
tg(a b)
.d o
o
.c
Solución:
Los tres ángulos de un triángulo suman 180º, por tanto: a + b + c = 180º
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
a + b = 180º - c, se tiene:
tg(c)
Desarrollando el primer miembro, se tiene:
tg(a) tg(b)
1 tg(a) tg(b)
tg(c)
tg(a) tg(b)
tg(c) 1 tg(a) tg(b)
Operando el segundo miembro y pasando adecuadamente de miembro, se tiene:
tg(a) tg(b) tg(c)
6
tg(a) tg(b) tg(c)
Demuestra la igualdad:
sen(5a) sen(a)
sen(3a) sen(a)
1 2cos(2a)
Solución:
Expresando la suma y la diferencia de senos del numerador y denominador como un producto, se tiene:
sen(5 a) sen(a)
sen(3 a) sen(a)
2 sen(3 a) cos(2 a)
2 cos(2 a) sen(a)
sen(3 a)
sen(a)
sen(a) cos(2 a) cos(a) sen(2 a)
sen(a)
Desarrollando el seno del ángulo doble, se tiene:
sen(5 a) sen(a)
sen(3 a) sen(a)
cos(2 a)
2 sen(a) cos 2 (a)
sen(a)
cos(2 a) 2 cos 2 (a)
cos 2 (a) sen 2 (a) 2 cos 2 (a)
Por tanto:
sen(5 a) sen(a)
sen(3 a) sen(a)
7
1 sen 2 (a) sen 2 (a) 2 cos 2 (a)
1 2 cos 2 (a) sen 2 (a)
1 2 cos(2 a)
Demuestra que para todo ángulo se verifica:
tg
4
a
tg
4
a
2tg(2a)
Solución:
En efecto, basta con desarrollar el primer miembro. Por abreviar la notación, sea t = tg(a), siendo tg( /4)=1, se
tiene:
tg
4
a
tg
4
a
1 t
1 t
1 t
1 t
(1 t)2
(1 t)2
1 t
1 2 t t 2 (1 2 t t 2 )
2
Restituyendo en esa expresión la variable t en función de tg(a), se tiene:
tg
4
a
tg
4
a
4 tg(a)
1 tg2 (a)
2 tg(2 a)
3
1 t
2
4t
1 t2
.c