Download bloque ii - Yo quiero aprobar

BLOQUE II
Geometría
3.
4.
5.
6.
7.
Razones trigonométricas
Resolución de triángulos
Geometría analítica
Lugares geométricos y cónicas
Los números complejos
3
Razones
trigonométricas
1. Razones trigonométricas o circulares
■ Piensa y calcula
En una circunferencia de radio R = 1 m, calcula mentalmente y de forma exacta la longitud de:
a) la circunferencia. b) la semicircunferencia. c) un cuarto de circunferencia. d) tres cuartos de circunferencia.
Solución:
—m
a) LCircunferencia = 2π m b) LSemicircunferencia = π m c) LCuarto de circunferencia = π/2 m d) LTres cuartos de circunferencia = 3π
2
● Aplica la teoría
que están en grados a radianes y viceversa:
a) 45°, 120°, 270°
b) π/6 rad, π/2 rad, 3π/4 rad, π rad
Solución:
a)
120º
270º
45º
45º = π/4 rad
120º = 2π/3 rad
270º = 3π/2 rad
b)
3π/4 rad π/2 rad
π/6 rad
π rad
π/6 rad = 30º
π/2 rad = 90º
3π/4 rad = 135º
π rad = 180º
2. Pasa los ángulos que están en grados a radianes y viceversa:
a) 54°
c) 1,25 rad
Solución:
a) 0,9425 rad
c) 71º 37’ 11’’
114
b) 217°
d) 2,47 rad
b) 3,7874 rad
d) 141º 31’ 14’’
3. Reduce a un ángulo menor de 360° los siguientes ángulos y escríbelos en forma general:
a) 765°
b) 2 345°
c) –540°
Solución:
a) 45º + 360º k, k ∈ ⺪
b) 185º + 360º k, k ∈ ⺪
c) 180° + 360° k, k ∈ ⺪
4. Calcula las siguientes razones trigonométricas y redondea el resultado a cuatro decimales:
a) sen 47° 35' 44"
b) cos 73° 15' 52"
c) tg 25° 5' 12"
d) sen 83° 44' 23"
Solución:
a) 0,7384
b) 0,2880
c) 0,4682
d) 0,9940
5. Calcula los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos sabiendo que:
a) sen α = 0,7634
c) tg α = 2,5
b) cos α = 0,1234
d) sen α = 0,8888
Solución:
a) α = 49º 45’ 53’’
b) α = 82º 54’ 42’’
c) α = 68º 11’ 55’’
d) α = 62º 43’ 22’’
SOLUCIONARIO
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1. Dibuja los siguientes ángulos y pasa mentalmente los
6. Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo α
del triángulo rectángulo siguiente:
6m
7. Un árbol y su sombra forman un ángulo recto. La sombra mide 7,8 m y el ángulo con el que se ve la parte superior del árbol desde el extremo de la sombra mide
47° 30'. Calcula la altura del árbol.
8m
Solución:
α
10 m
Solución:
sen α = 3/5
cos α = 4/5
tg α = 3/4
cosec α = 5/3
sec α = 5/4
cotg α = 4/3
h
47º 30'
7,8 m
h
tg 47º 30’ = —
7,8
h = 7,8 tg 47º 30’ = 8,5 m
2. Relaciones entre razones. Razones de 30°, 45° y 60°
■ Piensa y calcula
En el triángulo rectángulo e isósceles del dibujo, calcula mentalmente:
a) el ángulo α
b) tg α
1
α
x
α
x
Solución:
a) α = 45º
b) tg α = 1
● Aplica la teoría
8. La pirámide de Kefrén, de Egipto, proyecta una sombra
de 134,7 m y el ángulo que forma el suelo con la recta
que une el extremo de la sombra con la parte más alta de la pirámide es de 45°. Halla mentalmente la altura de dicha pirámide.
9. Si sen α = 0,3456, calcula mentalmente cos (90° – α)
Solución: 0,3456
10. Si cos 50° = 0,6428, calcula mentalmente sen 40°
Solución: 0,6428
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11. Sabiendo que cos α = 1/2, haz el dibujo del ángulo α y
calcula mentalmente el valor de α
Solución:
α = 60º
Solución:
Altura = 134,7 m
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
1
60º 1
2
30º
115
12. Sabiendo que sen α = 2/3, calcula cos α y tg α
Solución:
Se aplica la fórmula fundamental:
sen2 α + cos2 α = 1
—
4
√5
— + cos2 α = 1 ⇒ cos α = —
9
3
—
—
2√ 5
2 √5
tg α = sen α : cos α = — : — ⇒ tg α = —
3 3
5
√3
16. Demuestra que sen 60° = cos 30° = 2
Solución:
60º 1
2
1
30º
30º
x
13. Sabiendo que cos α = 3/5, calcula sen α y tg α
Solución:
Se aplica la fórmula fundamental:
sen2 α + cos2 α = 1
3 2
4
sen2 α + — = 1 ⇒ sen α = —
5
5
4 3
4
tg α = sen α : cos α = — : — ⇒ tg α = —
5 5
3
()
60º
x = sen 60° = cos 30°
()
1 2
x2 + —
=1
2
Despejando x se obtiene que:
—
—
√3
√3
x = — ⇒ sen 60° = cos 30° = —
2
2
14. Sabiendo que tg α = 1/2, calcula sen α y cos α
Solución:
tg2 α + 1 = sec2 α
—
—
2√ 5
1
√5
— + 1 = sec2 α ⇒ sec α = — ⇒ cos α = —
4
2
5
sen
α
tg α = —
cos α
—
—
2√ 5 1 √ 5
sen α = cos α tg α = — · — = —
5
2
5
—
√5
sen α = —
5
17. Un faro proyecta una sombra de 50 m, y el ángulo que
forma el suelo con la recta que une el extremo de la
sombra con la parte más alta del faro es de 30°. Halla la
altura del faro.
Solución:
h
30°
50 m
15. Demuestra que tg 45° = 1
tg 30° = h/50
—
√ 3 = 28,87 m
h = 50 tg 30° = 50 —
3
Solución:
45º
x
1
x
tg 45º = — = 1
x
45º
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x
116
SOLUCIONARIO
3. Generalización de las razones trigonométricas
■ Piensa y calcula
Completa la siguiente tabla escribiendo el signo de las abscisas y ordenadas en los cuatro cuadrantes:
x
y
Solución:
x
y
1er
+
2o
3er
4o
3er
–
–
4o
+
–
+
1er
+
+
2o
–
+
● Aplica la teoría
18. Un ángulo α está en el 3er cuadrante y se sabe que
sen α = – 1/2. Dibuja el ángulo y calcula mentalmente
el ángulo α, el cos α y la tg α
21. Un ángulo α está en el 2º cuadrante, y sen α = 4/5. Haz
el dibujo del ángulo α, halla el cos α y la tg α
Solución:
–α
Solución:
210º
30º
–1/2
–1/2
—
√3
cos 210° = – cos 30° = – —
2
—
3
√
tg 210° = tg 30° = —
3
19. Sustituye los puntos suspensivos por ≥ o ≤:
a) |sen α| … 1
b) |sec α| … 1
Solución:
a) |sen α| ≤ 1
18
0º
α = 210°
cos α = – 3/5
tg α = – 4/3
α
22. Un ángulo α está en el 4º cuadrante, y tg α = – 2/3. Haz
el dibujo del ángulo α, halla el sen α y el cos α
Solución:
b) |sec α| ≥ 1
360º – α
α
–2/3
20. Haz el dibujo y calcula mentalmente el seno, el coseno
—
2√13
sen α = – —
13
—
3√13
cos α = —
13
y la tangente de 225°
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Solución:
225º
45º
—
√2
sen 225° = – sen 45° = – —
2
—
√2
cos 225° = – cos 45° = – —
2
tg 225° = tg 45° = 1
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
23. Calcula las siguientes razones trigonométricas redondeando el resultado a cuatro cifras decimales:
a) sen 55° 33' 44"
b) cos 163° 25' 35"
c) tg 255° 42' 13"
d) sen 344° 33' 25"
Solución:
a) 0,8247
b) – 0,9585
c) 3,9242
d) – 0,2663
117
24. Calcula el ángulo α en grados, minutos y segundos en
los siguientes casos:
a) sen α = 0,5555 y α está en el 1er cuadrante.
b) cos α = –0,42 y α está en el 2º cuadrante.
c) tg α = 1,7 y α está en el 3er cuadrante.
d) sen α = –0,65 y α está en el 4º cuadrante.
Solución:
a) α = 33º 44’ 43’’
b) α = 114º 50’ 5’’
c) α = 239º 32’ 4’’
d) α = 319º 27’ 30’’
4. Razones de operaciones con ángulos
■ Piensa y calcula
Calcula mentalmente:
a) sen 60° + sen 30°
b) sen (60° + 30°)
Solución:
—
—
1 =—
1 + √3
√3 + —
a) —
2
2
2
b) sen 90° = 1
c) 2 · cos 45°
d) cos (2 · 45°)
—
√ 2 = √—
c) 2 · —
2
2
d) cos 90° = 0
● Aplica la teoría
25. Calcula sen 75°
Solución:
sen 75º = sen (45º + 30º) =
— —
√ 2(√ 3 + 1)
= sen 45º cos 30º + cos 45º sen 30º = ——
4
26. Calcula tg 15°
Solución:
28. Si cos α = 0,6, calcula tg α/2
Solución:
α
tg — =
2
√
√
1 – cos α
——
1 + cos α
α
1 – 0,6
tg — =
——
2
1 + 0,6
α = ±0,5
tg —
2
—
tg 45° – tg 30°
tg 15º = tg (45º – 30º) = —— = 2 – √ 3
1 + tg 45° tg 30°
Solución:
cos 2α = cos2 α – sen2 α
En primer lugar hay que calcular cos α
cos α = 0,9539
cos 2α = 0,95392 – 0,32 = 0,8199
118
Solución:
α+β
α–β
cos α – cos β = – 2 sen — sen —
2
2
cos 75° – cos 15° = – 2 sen 45° sen 30° =
—
—
2 ·—
1 = –—
√2
= – 2 √—
2 2
2
SOLUCIONARIO
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29. Calcula cos 75° – cos 15°
27. Si sen α = 0,3, calcula cos 2α
30. Si sen α = 1/3, calcula sen (α + 30°)
32. Una escalera de bomberos está apoyada sobre la fachada de una casa; la escalera mide 15 m de longitud y
el ángulo que forma la escalera con el suelo es de 75°.
Calcula la altura a la que llegará la escalera en la casa.
Solución:
sen (α + 30º) = sen α cos 30º + cos α sen 30º
En primer lugar hay que calcular cos α
—
2√ 2
cos α = —
3
—
—
—
—
3 +—
2√ 2 · —
1 =—
√ 3 + 2√ 2
1 ·√
—
sen (α + 30°) = —
3 2
3
2
6
31. Si tg α = 2/3, calcula tg (60° – α)
Solución:
tg 60° – tg α
tg(60° – α) = —— =
1 + tg 60° tg α
—
—
24 – 13√ 3
√ 3 – 2/3 = ——
= ——
—
1 + √ 3 · 2/3
3
Solución:
sen 75º = h/15
h = 15 · sen 75º = 14,49 m
5. Ecuaciones e identidades trigonométricas
■ Piensa y calcula
Observando el dibujo y sabiendo que cos α =
1
1
, cos β = – , calcula mentalmente cuánto
2
2
1
miden los ángulos α y β
Solución:
α = 60º
β
α
– 1/2 1/2
β = 120º
● Aplica la teoría
33. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras
34. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras
hacer el dibujo correspondiente:
a) sen x = 0
b) cos x = – 1
Solución:
a)
a) sen x =
√2
2
b) cos x = –
1
2
Solución:
a)
180º
0º
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hacer el dibujo correspondiente:
x1 = 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 180º + 360ºk, k ∈ ⺪
b)
135º
45º
x1 = 45º + 360ºk, k ∈⺪
x2 = 135º + 360ºk, k ∈⺪
b)
180º
–1
x = 180º + 360ºk, k ∈ ⺪
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
240º
120º
x1 = 120º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 240º + 360ºk, k ∈ ⺪
119
35. Resuelve la siguiente ecuación:
sen2
37. Resuelve la siguiente ecuación:
1 + sec2 x = 3 tg2 x
x = sen x
Solución:
sen2 x – sen x = 0 ò sen x (sen x – 1) = 0
sen x = 0, sen x = 1
Si sen x = 0
180º
0º
Solución:
1 + sec2 x = 3 tg2 x
Se aplica que: tg2 x + 1 = sec2 x
1 + tg2 x + 1 = 3 tg2 x
tg2 x = 1
tg x = ± 1
Si tg x = 1
225º
45º
x1 = 360ºk, k ∈ ⺪, x2 = 180º + 360ºk, k ∈ ⺪
Si sen x = 1
x1 = 45º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 225º + 360ºk, k ∈ ⺪
Si tg x = – 1
90º
x3 = 90º + 360ºk, k ∈ ⺪
135º
315º
36. Resuelve la siguiente ecuación:
2 cos2 x – sen x = 1
x3 = 135º + 360ºk, k ∈ ⺪
x4 = 315º + 360ºk, k ∈ ⺪
Solución:
2 cos2 x – sen x = 1
2(1 – sen2 x) – sen x = 1
2 – 2 sen2 x – sen x = 1
2 sen2 x + sen x – 1 = 0
sen x = 1/2, sen x = – 1
Si sen x = 1/2
38. Resuelve la siguiente ecuación:
cosec2 x = 2 cotg2 x
Solución:
cosec2 x = 2 cotg2 x
150º
1/2
30º
1/2
1
2cos2 x
—
=—
2
sen x
sen2 x
2 cos2 x = 1
—
√2
cos x = ± —
2
—
√2
Si cos x = —
2
x1 = 30º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 150º + 360ºk, k ∈ ⺪
Si sen x = – 1
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45º
270º
315º
–1
x3 = 270º + 360ºk, k ∈ ⺪
120
x1 = 45° + 360°k, k ∈ ⺪
x2 = 315º + 360ºk, k ∈ ⺪
SOLUCIONARIO
41. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigo-
—
√2
Si cos x = – —
2
nométricas:
a) sen x + sen y = 1 ⎧
⎨
sen x – sen y = 0 ⎩
135º
225º
b) sen2 x + cos2 y = 5/4 ⎧
⎨
sen2 x – cos2 y = 3/4 ⎩
Solución:
a) Sumando ambas ecuaciones, se obtiene:
2 sen x = 1
Si sen x = 1/2
150º
1/2
x1 = 30º + 360ºk, k ∈ ⺪
30º 1/2
x2 = 150º + 360ºk, k ∈ ⺪
x3 = 135º + 360ºk, k ∈ ⺪
x4 = 225º + 360ºk, k ∈ ⺪
39. Comprueba la siguiente identidad:
tg2 x – sen2 x = tg2 x sen2 x
Solución:
Se hacen operaciones en cada uno de los dos miembros.
En el 1er miembro:
sen2 x – sen2 x =
tg2 x – sen2 x = —
cos2 x
sen2 x – sen2 x cos2 x sen2 x(1 – cos2 x) sen4 x
= ———
= ——
=—
cos2 x
cos2 x
cos2 x
En el 2° miembro:
sen4 x
sen2 x sen2 x = —
tg2 x sen2 x = —
cos2 x
cos2 x
La representación gráfica es:
y
6
Restando de la 1a ecuación la 2ª, se obtiene:
2 sen y = 1
Si sen y = 1/2
150º
y1 = 30º + 360ºk, k ∈ ⺪
1/2
30º 1/2
y2 = 150º + 360ºk, k ∈ ⺪
b) Sumando las dos ecuaciones, se obtiene:
2sen2 x = 2
sen2 x = 1
—
sen x = √ 1 = ± 1
90º
5
Si sen x = 1
x = 90° + 360°k, k ∈ ⺪
4
3
2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
x
6
–1
–2
–3
Si sen x = – 1
x = 270° + 360°k, k ∈ ⺪
–4
–5
–6
270º
40. Comprueba la siguiente identidad:
sec2 x + cosec2 x = sec2 x cosec2 x
Solución:
Haciendo operaciones en el 1er miembro se obtiene el
2° miembro:
1 +—
1 = ——
sen2 x + cos2 x =
sec2 x + cosec2 x = —
2
2
cos x sen x sen2 x cos2 x
1
1 ·—
1 = cosec2 x sec2 x
=—
= ——
sen2 x cos2 x sen2 x cos2 x
La representación gráfica es:
y
Restando las dos ecuaciones, se obtiene:
2cos2 y = 1/2
cos2 y = 1/4
—
cos y = √1/4 = ± 1/2
Si cos y = 1/2
y1 = 60° + 360°k, k ∈ ⺪
y2 = 300° + 360°k, k ∈ ⺪
300º
60º
1/2
6
5
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
4
3
2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1
1
2
–1
–2
–3
3
4
5
x
6
Si cos y = – 1/2
y3 = 120° + 360°k, k ∈ ⺪
y4 = 240° + 360°k, k ∈ ⺪
120º
–1/2
240º
–4
–5
–6
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
121
Ejercicios y problemas
1. Razones trigonométricas o circulares
42. Dibuja los siguientes ángulos y pasa mentalmente de gra-
dos a radianes: 30°, 90°, 180°
Solución:
180º
90º
Solución:
sen α = 4/5
cos α = 3/5
tg α = 4/3
cosec α = 5/4
sec α = 5/3
cotg α = 3/4
48. Calcula las siguientes razones trigonométricas y redon-
30º = π/6 rad
90º = π/2 rad
180º = π rad
30º
43. Dibuja los siguientes ángulos y pasa mentalmente de ra-
dea el resultado a cuatro decimales:
a) sen 55° 33' 22"
b) cos 87° 5' 2"
c) tg 45° 15' 25"
d) sen 18° 11' 20"
Solución:
a) 0,8247
c) 1,0090
b) 0,0509
d) 0,3122
dianes a grados: π/3 rad, 2π/3 rad, 3π/2 rad
49. Calcula los ángulos en grados, minutos y segundos sa-
Solución:
2π/3 rad
3π/2 rad
π/3 rad = 60º
2π/3 rad = 120º
3π/2 rad = 270º
π/3 rad
biendo que:
a) sen α = 0,4444
c) tg α = 0,5
b) cos α = 0,6703
d) sen α = 0,9876
Solución:
a) α = 26º 23’ 6’’
c) α = 26º 33’ 54’’
b) α = 47º 54’ 35’’
d) α = 80º 58’ 4’’
44. Pasa de grados a radianes los siguientes ángulos:
Solución:
a) 0,8203 rad
2. Relaciones entre razones. Razones
de 30°, 45° y 60°
b) 319°
b) 5,5676 rad
45. Pasa de radianes a grados los siguientes ángulos:
a) 0,85 rad
Solución:
a) 48º 42’ 5’’
b) 1,23 rad
b) 70º 28’ 26’’
46. Reduce a un ángulo menor de 360° los siguientes ángu-
los y escríbelos en forma general:
a) 900°
b) 25 647°
de Egipto con un bastón de 1 m de altura, se sienta en
una piedra y pone el bastón vertical al suelo. Espera hasta que la sombra es igual de larga que el bastón. En ese
momento mide la longitud de la sombra de la esfinge y
obtiene 57 m. Calcula mentalmente cuánto mide de alto dicha esfinge.
x
c) –1 755°
Solución:
a) 180º + 360ºk, k ∈ ⺪
b) 87º + 360ºk, k ∈ ⺪
c) 45° + 360° k, k ∈ ⺪
47. Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo α
del triángulo rectángulo siguiente:
50. Un sabio llamado Thales de Mileto se acerca a la esfinge
57 m
1m
1m
Solución:
Altura = 57 m
51. Sabiendo que cos α = 0,7777, calcula mentalmente
sen (90° – α)
Solución:
0,7777
52. Sabiendo que sen 50° = 0,7660,calcula mentalmente cos 40°
Solución:
0,7660
122
SOLUCIONARIO
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a) 47°
53. Sabiendo que sen α = 1/2, haz el dibujo del ángulo α y
calcula mentalmente el valor de α
Solución:
3. Generalización de las razones
trigonométricas
58. Un ángulo α está en el segundo cuadrante y es tal que
1
cos α = –1/2. Dibuja el ángulo y calcula mentalmente el
ángulo α, el sen α y la tg α
30º
Solución:
α = 30º
60º
1
2
120º
60º
54. Sabiendo que sen α = 4/5, calcula cos α y tg α
Solución:
Se aplica la fórmula fundamental:
sen2 α + cos2 α = 1
16 + cos2 α = 1 ⇒ cos α = —
3
—
25
5
4
3
4
tg α = sen α : cos α = — : — ⇒ tg α = —
5 5
3
α = 120°
—
3
sen 120° = sen 60° = √—
2
—
tg 120° = – tg 60° = – √ 3
59. Sustituye los puntos suspensivos por el signo corres-
pondiente:
a) |cos α| … 1
b) |cosec α| … 1
Solución:
a) |cos α| ≤ 1
b) |cosec α| ≥ 1
55. Sabiendo que cos α = 2/5, calcula sen α y tg α
Solución:
Se aplica la fórmula fundamental:
sen2 α + cos2 α = 1
—
4 = 1 ⇒ sen α = √—
21
sen2 α + —
25
5
—
—
21 : —
2 ⇒ tg α = √—
21
tg α = sen α : cos α = √—
5 5
2
60. Haz el dibujo y calcula mentalmente seno, coseno y tan-
gente de 210°
Solución:
210º
56. Sabiendo que tg α = 5/12, calcula sen α y cos α
30º
Solución:
cos α = 12/13, sen α = 5/13
1
sen 210° = – sen 30° = – —
2
—
√3
cos 210° = – cos 30° = – —
2
—
3
√
tg 210° = tg 30° = —
3
57. Demuestra que:
a) tg 60° = cotg 30° = √3
b) tg 30° = cotg 60° =
Solución:
3
61. Un ángulo α está en el 2º cuadrante y es tal que tg α = – 2.
Haz el dibujo del ángulo α; halla sen α y cos α
Solución:
60º
1
30º
30º
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√3
1
2
3
2
2
60º
—
—
√3 1
tg 60° = sen 60° : cos 60° = —
: — = √3
2 2
—
—
3
1 :—
√ 3 = √—
tg 30° = sen 30° : cos 30° = —
2 2
3
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
α
1
123
Ejercicios y problemas
Solución:
tg2 α + 1 = sec2 α
4 + 1 = sec2 α
—
—
√5
sec α = – √ 5 ⇒ cos α = – —
5
tg α = sen α : cos α
sen α = tg α cos α
—
—
5 =—
2√ 5
—
sen α = – 2 – √
5
5
( )
4. Razones de operaciones con ángulos
65. Calcula cos 75°
Solución:
cos 75º = cos (45º + 30º) =
= cos 45º cos 30º – sen 45º sen 30º =
— —
—
— —
2 ·—
√3 – —
√2 · —
1 = ——
√ 2(√ 3 – 1)
=√
—
2
2
2 2
4
66. Calcula sen 15°
el dibujo del ángulo α; halla sen α y tg α
Solución:
α
sen2 α + cos2 α = 1
9 = 1 ⇒ sen α = – —
4
sen2 α + —
25
5
4 : –—
3 =—
4 ·—
5=—
4
tg α = sen α : cos α = – —
5
5
5 3 3
4
tg α = —
3
( )
63. Calcula las siguientes razones trigonométricas y redon-
dea el resultado a cuatro cifras decimales:
a) sen 256° 23' 5"
b) cos 12° 20' 30"
c) tg 157° 13' 10"
d) cos 325° 26' 27"
Solución:
a) – 0,9719
b) 0,9769
c) – 0,4200
d) 0,8235
64. Calcula el ángulo α en grados, minutos y segundos en los
siguientes casos:
a) sen α = 0,2020 y α está en el 1er cuadrante.
b) tg α = – 3,1415 y α está en el 2º cuadrante.
c) cos α = –0,6 y α está en el 3er cuadrante.
d) sen α = – 0,8325 y α está en el 4º cuadrante.
Solución:
a) α = 11º 39’ 14’’
b) α = 107º 39’ 26’’
c) α = 233º 7’ 48’’
d) α = 303º 38’ 37’
124
Solución:
sen 15º = sen (45º – 30º) =
= sen 45º cos 30º – cos 45º sen 30º =
— —
—
— —
2 √ 3 √ 2 1 √ 2(√ 3 – 1)
=√
— · — – — · — = ——
2
2
2 2
4
67. Sabiendo que cos α = 0,6, calcula sen 2α
Solución:
sen 2α = 2 sen α cos α
En primer lugar hay que calcular sen α:
sen α = 0,8
sen 2α = 2 · 0,8 · 0,6 = 0,96
68. Sabiendo que cos α = 0,4, calcula tg α/2
Solución:
α
tg — =
2
√
√
1 – cos α
——
1 + cos α
α
1 – 0,4
tg — =
——
2
1 + 0,4
α = ±0,6547
tg —
2
69. Calcula cos 15° + cos 75°
Solución:
α+β
α–β
cos 15° + cos 75° = 2 cos — cos — =
2
2
—
—
2
1
√
2
√
= 2 cos 45° cos (– 60°) = 2 — · — = —
2 2
2
70. Sabiendo que cos α = 0,6, calcula sen (60° – α)
Solución:
sen (60º – α) = sen 60º cos α – cos 60º sen α
En primer lugar hay que calcular sen α:
sen α = 0,8
—
1 · 0,8 = 0,1196
√ 3 · 0,6 – —
sen (60º – α) = —
2
2
SOLUCIONARIO
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62. Un ángulo α está en el 3er cuadrante, y cos α = –3/5. Haz
71. Sabiendo que tg α = 5/4, calcula tg (α – 45°)
Solución:
tg α – tg 45°
5/4 – 1
1
tg (α – 45°) = —— = —— = —
1 + tg α tg 45° 1 + 5/4 · 1 9
5. Ecuaciones e identidades
trigonométricas
74. Resuelve la siguiente ecuación: 2 cos x = sec x
Solución:
2 cos x = sec x
2 cos x = 1/cos x
2 cos2 x = 1
cos2 x = 1/2
—
√2
cos x = ± —
2
—
2
—
Si cos x = √
2
72. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-
cer el dibujo correspondiente:
a) sen x = – 1
b) cos x = 0
45º
315º
Solución:
a)
270º
x = 270º + 360ºk, k ∈ ⺪
x1 = 45º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 315º + 360ºk, k ∈ ⺪
—
√2
Si cos x = – —
2
–1
225º
135º
b)
270º
90º
x1 = 90º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 270º + 360ºk, k ∈ ⺪
73. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-
cer el dibujo correspondiente:
1
a) sen x = –
2
b) cos x =
√3
2
Solución:
a)
75. Resuelve la siguiente ecuación: 2 sen2 x + cos x = 1
Solución:
2 sen2 x + cos x = 1
Se aplica que: sen2 x = 1 – cos2 x
2(1 – cos2 x) + cos x = 1
2 – 2 cos2 x + cos x = 1
2 cos2 x – cos x – 1 = 0
—
1 ± √1 + 8 1 ± 3 8 1
cos x = —— = — = 8
4
4
– 1/2
Si cos x = 1
210º
–1/2
–1/2
330º
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
x3 = 135º + 360ºk, k ∈ ⺪
x4 = 225º + 360ºk, k ∈ ⺪
x1 = 210º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 330º + 360ºk, k ∈ ⺪
1
x1 = 360ºk, k ∈ ⺪
1
Si cos x = – —
2
b)
330º
30º
x1 = 30º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 330º + 360ºk, k ∈ ⺪
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
x2 = 120º + 360ºk, k ∈ ⺪
x3 = 240º + 360ºk, k ∈ ⺪
240º
120º
125
Ejercicios y problemas
76. Resuelve la siguiente ecuación:
78. Comprueba la siguiente identidad:
cos x + sec x = sec x (1 + cos2 x)
cos x = sen 2x
Solución:
cos x = sen 2x
cos x = 2 sen x cos x
2 sen cos x – cos x = 0
⎧ cos x = 0
cos x(2 sen x – 1) = 0 ⇒ ⎨
⎩ 2 sen x = 1 ⇒ sen x = 1/2
Si cos x = 0
90º
270º
Solución:
Se hacen operaciones en cada uno de los dos miembros.
En el 1er miembro:
1 = ——
cos2 x + 1
cos x + sec x = cos x + —
cos x
cos x
En el 2° miembro:
1 + cos2 x
sec x(1 + cos2 x) = ——
cos x
La representación gráfica es:
y
x1 = 90º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 270º + 360ºk, k ∈ ⺪
6
5
4
3
2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
x
6
–1
Si sen x = 1/2
–2
–3
–4
–5
1/2
150º
–6
30º
1/2
79. Comprueba la siguiente identidad:
tg2 x – sen2 x = sen2 x tg2 x
x3 = 30º + 360ºk, k ∈ ⺪, x4 = 150º + 360ºk, k ∈ ⺪
Solución:
Haciendo operaciones en el 1er miembro se obtiene el 2º
miembro.
sen2 x – sen2 x =
tg2 x – sen2 x = —
cos2 x
2
2
sen x – sen x cos2 x sen2 x(1 – cos2 x)
= ———
=
= ———
cos2 x
cos2 x
sen2 x sen2 x = sen2 x tg2 x
= ——
cos2 x
La representación gráfica es:
77. Resuelve la siguiente ecuación:
tg2 x + 3 = 2 sec2 x
Solución:
tg2 x + 3 = 2 sec2 x
Se aplica la fórmula: tg2 x + 1 = sec2 x
tg2 x + 3 = 2(tg2 x + 1)
tg2 x + 3 = 2 tg2 x + 2
tg2 x = 1
tg x = ± 1
y
6
5
4
3
2
1
Si tg x = 1
–6 –5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
x
6
–1
x1 = 45º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 225º + 360ºk, k ∈ ⺪
225º
–2
45º
–3
–4
–5
80. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigono-
Si tg x = – 1
x3 = 135º + 360ºk, k ∈ ⺪
x4 = 315º + 360ºk, k ∈ ⺪
126
métricas:
135º
315º
a) sen x + cos y = 3/2 ⎧
⎨
3 sen x – 2 cos y = 2 ⎩
⎧
b) sen x + cos y = 1
⎨
2
2
sen x + cos y = 1/2 ⎩
SOLUCIONARIO
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–6
Solución:
a) Se multiplica la 1ª ecuación por 2 y se suman. Se obtiene:
5 sen x = 5
sen x = 1
90º
x = 90º + 360ºk, k ∈ ⺪
Se multiplica la 1ª ecuación por 3 y se le resta la 2ª. Se
obtiene:
5 cos y = 5/2
cos y = 1/2
300º
60º
y1 = 60º + 360ºk, k ∈ ⺪
y2 = 300º + 360ºk, k ∈ ⺪
b) Haciendo: sen x = u, cos y = v, se tiene:
⎧
u+v=1
⎨
u2 + v2 = 1/2 ⎩
Resolviendo el sistema, se obtiene:
u = 1/2, v = 1/2
Luego:
sen x = 1/2
1/2
150º
81. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigono-
métricas y da las soluciones en [0, π/2]:
a) sen x · cos y = 3/4 ⎧
⎨
sen y · cos x = 1/4 ⎩
b) 4y sen x cos x = 3 ⎧
—
⎨
2y cos 2x = √3
⎩
Solución:
a) Sumando las dos ecuaciones, se tiene:
sen(x + y) = 1
Restando las dos ecuaciones, se tiene:
sen(x – y) = 1/2
De donde se tiene:
x + y = 90° ⎧
⎨
x – y = 30° ⎩
Resolviendo el sistema:
x = 60°, y = 30°
b) Como sen 2x = 2 sen x cos x, se tiene:
2y sen 2x = 3 ⎧
—
2y cos 2x = √ 3 ⎨⎩
Dividiendo la 1a ecuación entre la 2a ecuación:
—
tg 2x = √ 3 (solo se toman las soluciones de [0, π/2])
60º
2x = 60° + 360°k, k ∈ ⺪
x = 30° + 180°k, k ∈ ⺪
—
y = √3
30º
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x1 = 30º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 150º + 360ºk, k ∈ ⺪
cos y = 1/2
300º
60º
1/2
y1 = 60º + 360ºk, k ∈ ⺪
y2 = 300º + 360ºk, k ∈ ⺪
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
127
Ejercicios y problemas
Para ampliar
82. Dibuja los siguientes ángulos y pasa de grados a radianes
de modo exacto:
180°, 240°, 270°
Solución:
a)
210º
Solución:
–1/2
270º
180º
240º
180º = π rad
240º = 4π/3 rad
270º = 3π/2 rad
x1 = 210º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 330º + 360ºk, k ∈ ⺪
–1/2
330º
b)
135º
83. Dibuja los siguientes ángulos y pasa de radianes a grados
x1 = 135º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 315º + 360ºk, k ∈ ⺪
315º
de modo exacto:
5π/3 rad, 7π/4 rad, 11π/6 rad
Solución:
87. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-
5π/3 rad = 300º
7π/4 rad = 315º
11π/6 rad = 330º
cer el dibujo correspondiente:
a) tg x = √3
b) cotg x = 1
Solución:
a)
240º
60º
x1 = 60º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 240º + 360ºk, k ∈ ⺪
84. Reduce los siguientes ángulos a ángulos comprendidos
entre 0° y 360°. Escríbelos en forma general:
a) – 30°
b) – 150°
c) – 600°
d) – 2 500°
b) cotg x = 1 ⇒ tg x = 1
Solución:
a) 330º + 360ºk, k ∈ ⺪
b) 210º + 360ºk, k ∈ ⺪
c) 120º + 360ºk, k ∈ ⺪
d) 20º + 360ºk, k ∈ ⺪
225º
x1 = 45º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 225º + 360ºk, k ∈ ⺪
45º
88. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-
tre 0 rad y 2π rad. Escríbelos en forma general:
a) – 13π/2 rad
b) –83π/3 rad
Solución:
a) π/2 + 2kπ, k ∈ ⺪
b) π/3 + 2kπ, k ∈ ⺪
cer el dibujo correspondiente:
a) cosec x = 2
b) sec x = – 2
Solución:
a) cosec x = 2 ⇒ sen x = 1/2
1/2
86. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-
150º
30º
1/2
x1 = 30º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 150º + 360ºk, k ∈ ⺪
cer el dibujo correspondiente:
a) sen x = –1/2
b) tg x = –1
128
SOLUCIONARIO
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85. Reduce los siguientes ángulos a ángulos comprendidos en-
b) sec x = – 2 ⇒ cos x = – 1/2
240º
120º
Solución:
x1 = 120º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 240º + 360ºk, k ∈ ⺪
89. Calcula en radianes el menor ángulo que forman las agu-
jas de un reloj cuando marcan:
a) las 3 h en punto.
b) las 5 h en punto.
c) las 8 h en punto.
d) las 11 h en punto.
Solución:
a) π/2
c) 2π/3
—
x
7√ 2
sen 45° = — ⇒ x = 7 sen 45° = —
7
2
x
94. Deduce las fórmulas de las áreas de los siguientes polie-
dros regulares:
a) Tetraedro.
b) Octaedro.
c) Icosaedro.
Solución:
Previamente se calcula el área de un triángulo equilátero:
30º
b) 5π/6
d) π/6
h
grados las amplitudes de los siguientes arcos:
a) Arco de longitud 4 m
b) Arco de longitud 8 m
c) Arco de longitud 16 m
d) Arco de longitud 24 m
b) 90º
c) 180º
d) 270º
91. Sin utilizar la calculadora, halla:
a) sen 30° + cos 60° – tg 45°
b) tg 45° – sen 60° + cos 30°
Solución:
1 +—
1 –1=0
a) —
2 2
—
—
√3 = 1
√3 + —
b) 1 – —
2
2
92. Sin utilizar la calculadora, halla:
a) sen π/3 + cos π/6 – tg π/4
b) cos π/3 – tg π/6 + sen π/6
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x
45º
—
—
7√ 2 49
1 ·—
7√ 2 · —
Área = —
= — = 12,25 m2
2
2
2
4
Solución:
—
—
3 – 1 = √—
√3 + √
a) —
—
3–1
2
2
—
—
1 =1–—
√3
1 –—
√3 + —
b) —
2
3 2
3
93. Un triángulo rectángulo es isósceles, y la hipotenusa mide
a
60º
90. La longitud de una circunferencia mide 32 cm. Calcula en
Solución:
a) 45º
45º
7m
sen 60º = h/a ⇒ h = a sen 60º
—
h = a√
—3
2
Área de un triángulo equilátero:
—
a2√ 3
A=—
4
a) Tetraedro
—
ATetraedro = a2√ 3
b) Octaedro
—
AOctaedro = 2a2√ 3
c) Icosaedro
—
AIcosaedro = 5a2√ 3
95. Completa la siguiente tabla escribiendo el signo:
1er
2º
3er
4º
1er
2º
3er
4º
sen α
+
+
–
–
cos α
+
–
–
+
tg α
+
–
+
–
sen α
cos α
tg α
Solución:
7 m. Calcula cuánto miden los catetos y su área.
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
129
Ejercicios y problemas
96. Calcula mentalmente el valor de los siguientes ángulos:
a) sen α = 0
b) sen α = 1
c) cos α = 0
d) cos α = 1
Solución:
a) α1 = 360ºk, k ∈ ⺪
α2 = 180º + 360ºk, k ∈ ⺪
101. Sabiendo que tg α = 3/4, calcula tg (30° – α)
b) α = 90º + 360ºk, k ∈ ⺪
Solución:
c) α1 = 90º + 360ºk, k ∈ ⺪
α2 = 270º + 360ºk, k ∈ ⺪
tg 30° – tg α
tg (30° – α) = —— =
1 + tg 30° tg α
—
—
3/3
–
3/4
25√3 – 48
√
= ——
= ——
—
1 + √3/3 · 3/4
39
d) α = 360ºk, k ∈ ⺪
97. Sabiendo que sen 35° = 0,5736, representa el ángulo α de
forma aproximada y calcula mentalmente:
a) sen 145°
b) sen 215°
c) sen (– 35°)
Solución:
145º
35º
215º
325º
Solución:
cos (α + 60º) = cos α cos 60º – sen α sen 60º
En primer lugar hay que calcular sen α
—
15
—
sen α = √
4
— —
—
√3 = —
1 – 3√5
1 ·—
1 –—
√ 15 · —
cos (α + 60º) = —
4 2
4
2
8
a) 0,5736
b) – 0,5736
c) – 0,5736
102. Resuelve la siguiente ecuación:
cos 2x = 2 – 3 sen x
Solución:
cos 2x = 2 – 3 sen x
Se aplica que: cos 2x = cos2 x – sen2 x
cos2 x – sen2 x = 2 – 3 sen x
1 – sen2 x – sen2 x = 2 – 3 sen x
2 sen2 x – 3 sen x + 1 = 0
—
3±1 81
3 ± √9 – 8
sen x = —— = — = 8
4
4
1/2
Si sen x = 1
98. Sin utilizar la calculadora, halla:
90º
x1 = 90º + 360ºk, k ∈ ⺪
a) sen 330° + cos 240° – tg 150°
b) tg 120° – sen 240° + cos 315°
Solución:
—
—
3 –1
1 –—
1 +—
√ 3 = √—
a) – —
2 2
3
3
—
—
—
— √—
3 + √—
2 =—
√2 – √3
b) – √ 3 + —
2
2
2
Si sen x = 1/2
1/2
150º
30º
1/2
x2 = 30º + 360ºk, k ∈ ⺪
x3 = 150º + 360ºk, k ∈ ⺪
99. Sin utilizar la calculadora, halla:
Solución:
—
—
√3 + 1 = 1
√3 – —
a) —
2
2
—
—
—
2 = – √—
√ 2 – √—
b) – —
3 – √—
3 – √2
2
2
100. Sabiendo que cos α = 1/4, calcula cos (α + 60°)
130
103. Resuelve la siguiente ecuación: tg x = 2 sen x
Solución:
tg x = 2 sen x
sen x
— = 2 sen x
cos x
sen x = 2 sen x cos x
SOLUCIONARIO
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a) sen 2π/3 + cos 5π/6 – tg 7π/4
b) cos 5π/4 – tg 4π/3 + sen 5π/4
105. Sabiendo que sen α = 0,7523, halla el ángulo α y calcula
2 sen x cos x – sen x = 0
sen x(2 cos x – 1) = 0 ⇒
⎧ sen x = 0
⎨
⎩ 2 cos x – 1 = 0 ⇒ cos x = 1/2
Si sen x = 0
cos α y tg α. El ángulo está en el 1er cuadrante.
Solución:
α = 48º 47’ 24’’
cos α = 0,6588
tg α = 1,1419
180º
x1 = 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 180º + 360ºk, k ∈ ⺪
0º
sen α y tg α. El ángulo está en el 1er cuadrante.
Solución:
α = 76º 26’ 16’’
sen α = 0,9721
tg α = 4,1455
Si cos x = 1/2
300º
106. Sabiendo que cos α = 0,2345, halla el ángulo α y calcula
60º
x3 = 60º + 360ºk, k ∈ ⺪
x4 = 300º + 360ºk, k ∈ ⺪
107. Calcula los distintos ángulos menores de 360° en grados,
minutos y segundos, sabiendo que:
a) sen α = –0,4321
b) cos α = 0,7654
c) tg α = –3,4532
Con calculadora
104. Completa la siguiente tabla:
0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
sen
d) cos α = – 0,3333
Solución:
a) α = 205º 36’ 3’’, α = 334º 23’ 57’’
b) α = 40º 3’ 27’’, α = 319º 56’ 33’’
c) α = 106º 9’ 1’’, α = 286º 9’ 1’’
d) α = 109º 28’ 9’’, α = 250º 31’ 51’’
108. Calcula las siguientes razones trigonométricas redondean-
do el resultado a cuatro decimales:
a) sen 2,3 rad
cos
tg
b) cos 0,5 rad
A la vista del resultado de la tabla anterior, completa las siguientes frases con las palabras «crece» o «decrece»:
c) tg 4,345 rad
d) sen 5,7 rad
a) Cuando el ángulo crece de 0° a 90°, el seno…
b) Cuando el ángulo crece de 0° a 90°, el coseno…
c) Cuando el ángulo crece de 0° a 90°, la tangente…
Solución:
Solución:
Hay que poner la calculadora en modo Rad.
a) 0,7457
b) 0,8776
c) 2,5983
d) – 0,5507
0°
10°
20°
30°
40°
sen
0,0000
0,1736
0,3420
0,5000
0,6428
cos
1,0000
0,9848
0,9397
0,8660
0,7660
a cuatro decimales, sabiendo que:
a) sen α = 0,4444 en el 1er cuadrante
tg
0
0,1763
0,3640
0,5774
0,8391
b) cos α = –0,8011 en el 2º cuadrante
109. Calcula los ángulos en radianes aproximando el resultado
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c) tg α = 2 en el 3er cuadrante
50°
60°
70°
80°
90°
sen
0,7660
0,8660
0,9397
0,9848
1,0000
cos
0,6428
0,5000
0,3420
0,1736
0,0000
tg
1,1918
1,7321
2,7475
5,6713 ERROR
a) Crece.
b) Decrece.
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
c) Crece.
d) sen α = –0,7055 en el 4º cuadrante
Solución:
Hay que poner la calculadora en modo Rad.
a) 0,4605
b) 2,4999
c) 4,2487
d) 5,5001
Hay que volver a poner la calculadora en modo Deg.
131
Ejercicios y problemas
Problemas
110. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo:
C
a = 5,83 cm
x
Solución:
6,4 ⇒ x = —
6,4 = 12,04 cm
tg 28° = —
x
tg 28°
114. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo:
C
B = 31°
A
B
b=4m
Solución:
x
x ⇒ x = 5,83 sen 31º = 3 cm
sen 31º = —
5,83
A
111. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo:
B
c=9m
Solución:
tg x = 4/9 ⇒ x = 23º 57’ 45’’
C
115. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo:
C
a = 5,59 cm
x
b=7m
B = 26° 36'
x
A
B
A
Solución:
x ⇒ x = 5,59 cos 26º 36' = 5 cm
cos 26º 36' = —
5,59
112. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo:
C
B
c = 10 m
Solución:
tg x = 10/7 ⇒ x = 55º 29’’
116. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo:
C
x
b = 2,5 cm
a = 3,6 m
b=2m
B = 32°
B
x
A
Solución:
2,5 ⇒ x = —
2,5 = 4,72 cm
sen 32° = —
x
sen 32°
B
Solución:
sen x = 2/3,6 ⇒ x = 33º 44’ 56’’
113. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo:
C
117. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo:
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A
C
x
b = 6,4 cm
b = 8,4 m
a = 12 m
B = 28°
A
132
x
B
A
B
SOLUCIONARIO
Solución:
cos x = 8,4/12 ⇒ x = 45º 34’ 23’’
118. Un tramo de una carretera recta mide 150 m y asciende
12 m. Calcula el ángulo de elevación y la pendiente.
25 m
75°
Solución:
sen 75º = h/25 ⇒ h = 25 sen 75º = 24,15 m
Nº de planta: 24,15/2,5 = 9,6
Llega a la planta 10 porque pasa de la planta 9
Solución:
12 ⇒ x = 4º 35’ 19’’
sen x = —
150
Pendiente = tg 4º 35’ 19’’ = 0,08 = 8%
122. Rocío está volando una
119. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por
el origen de coordenadas O(0, 0) y por el punto A(1, 2).
Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas
con la recta.
Solución:
Y
A(1, 2)
α
O(0, 0)
cometa.Sabiendo que el
hilo que ha soltado mide 10 m y el ángulo que
forma con la horizontal
es de 74°, calcula la altura a la que se encuentra.
10 m
74°
X
Solución:
sen 74º = h/10 ⇒ h = 10 sen 74º = 9,6 m
9,6 m más la altura a la que tenga la mano Rocío.
tg α = 2 ⇒ α = 63º 26’ 6’’
123. En el siguiente triángulo rectángulo se conocen un cate120. Halla la altura de una torre eléctrica sabiendo que a una
to y la altura. Calcula los demás lados y ángulos.
distancia de 12 m de la base se ve la parte superior con
un ángulo de 55°
A
3m
2,54 m
B
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
55°
12 m
Solución:
tg 55º = h/12 ⇒ h = 12 tg 55º = 17,14 m
121. Una escalera de bomberos que mide 25 m está apoyada
sobre la fachada de un hotel y forma con el suelo un ángulo de 75°. Si cada planta del hotel mide 2,5 m de altura, ¿a qué planta llegará como máximo?
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
C
Solución:
sen B = 2,54/3 ⇒ B = 57º 51’ 3’’
C = 90º – 57º 51’ 3’’ = 32º 8’ 57’’
cos B = 3/Hipotenusa
Hipotenusa = 3/cos 57º 51’ 3’’
Hipotenusa = 5,64 m
sen B = (Cateto AC)/Hipotenusa
Cateto AC = 5,64 sen 57º 51’ 3’’ = 4,78 m
133
Ejercicios y problemas
124. Una antena de televisión que mide 15 m proyecta una
sombra de 27 m. Halla el ángulo que forma el suelo con
la recta que une el extremo de la sombra con la punta
más alta de la antena.
Solución:
tg x = 137/115 ⇒ α = 49º 59’ 22’’
128. En un triángulo rectángulo se conoce el cateto,
c = 2,5 cm, y el ángulo opuesto, C = 35°. Calcula los demás lados y ángulos.
B
a
c = 2,5 cm
35°
Solución:
tg α = 15/27 ⇒ α = 29º 3’ 17’’
b
A
125. Un faro proyecta una sombra de 50 m, y el ángulo que
forma el suelo con la recta que une el extremo de la
sombra con la parte más alta del faro es de 30°. Halla la
altura del faro.
C
Solución:
B = 90º – 35º = 55º
sen 35º = 2,5/a ⇒ a = 4,36 cm
tg 35º = 2,5/b ⇒ b = 3,57 cm
129. Calcula el área del siguiente triángulo.
2,5 cm
30°
50 m
h
47°
Solución:
tg 30º = h/50 ⇒ h = 50 tg 30º = 28,87 m
126. Calcula la apotema de un hexágono regular cuyo lado
mide 15 m
4,5 cm
Solución:
sen 47º = h/2,5 ⇒ h = 1,83 cm
1 4,5 · 1,83 = 4,12 cm2
Área = —
2
130. En el siguiente triángulo rectángulo se conocen un cate-
a
15 m
to y la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.Calcula los demás lados y ángulos.
A
Solución:
15 m
7,5 m
B
127. La pirámide de Keops de Egipto mide de alto 137 m, la
base es cuadrada y tiene de arista 230 m. Halla el ángulo
de inclinación de las caras laterales.
h = 137 m
x
a = 230 m
134
4,85 cm
—
a = √152 – 7,52 = 13 m
4,1 cm
C
Solución:
cos C = 4,1/4,85 ⇒ C = 32º 17’ 22’’
B = 90º – 32º 17’ 22’’ = 57º 42’ 38’’
sen 57º 42’ 38’’ = 4,85/Hipotenusa
Hipotenusa = 5,74 cm
tg 57º 42’ 38’’ = 4,85/(Cateto AB)
Cateto AB = 3,06 cm
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a
SOLUCIONARIO
131. En el siguiente triángulo rectángulo se conocen la altura y
la proyección de un cateto sobre la hipotenusa.Calcula los
lados y los ángulos de dicho triángulo.
A
c
b
h = 2,84 m
C
p = 1,72 m a
B
Solución:
tg C = 2,84/1,72 ⇒ C = 58º 47’ 58’’
B = 90º – 28º 47’ 58’’ = 31º 12’ 2’’
sen B = 2,84/c ⇒ c = 5,48 m
sen C = 2,84/b ⇒ b = 3,32 m
sen B = 3,32/a ⇒ a = 6,41 m
4(sen y + 1) sen y = – 1
4 sen2 y + 4 sen y + 1 = 0
(2 sen y + 1)2 = 0
2 sen y + 1 = 0
Si sen y = – 1/2
210º
y1 = 210º + 360ºk, k ∈ ⺪
y2 = 330º + 360ºk, k ∈ ⺪
–1/2
–1/2
330º
Para sen y = – 1/2 ⇒ sen x = sen y + 1 = 1/2
Si sen x = 1/2
132. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por
x1 = 30º + 360ºk, k ∈ ⺪
x2 = 150º + 360ºk, k ∈ ⺪
1/2
150º
30º
1/2
el origen de coordenadas O(0, 0) y por el punto A(–2, 1).
Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas
con dicha recta.
135. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonomé-
Solución:
tricas:
sen x – cos y = 1/2 ⎧
⎨
2 sen x cos y = 1 ⎩
Y
A(–2, 1)
α
X
O(0, 0)
tg α = – 1/2 ⇒ α = 153º 26’ 6’’
133. Calcula el ángulo de elevación de una escalera de una ca-
sa que en 4,5 m de horizontal sube 2,5 m
Solución:
Se despeja sen x en la 1ª ecuación y se sustituye en la 2ª:
sen x = 1/2 + cos y
2(1/2 + cos y) cos y = 1
2 cos2 y + cos y – 1 = 0
—
– 1 ± √1 + 8 – 1 ± 3 8 1/2
cos y = ——
= — =8
4
4
–1
Para cos y = 1/2 ⇒ sen x = 1
90º
2,5 m
300º
60º
x
4,5 m
Solución:
tg x = 2,5/4,5 ⇒ α = 29º 3’ 17’’
x = 90º + 360ºk, k ∈ ⺪
y1 = 60º + 360ºk, k ∈ ⺪, y2 = 300º + 360ºk, k ∈ ⺪
Para cos y = –1 ⇒ sen x = – 1/2
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134. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonomé-
tricas:
sen x – sen y = 1 ⎧
⎨
4 sen x sen y = – 1 ⎩
Solución:
Se despeja sen x en la 1ª ecuación y se sustituye en la 2ª:
sen x = sen y + 1
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
210º
–1/2
180º
–1/2
330º
x1 = 210º + 360ºk, k ∈ ⺪, x2 = 330º + 360ºk, k ∈ ⺪
y = 180º + 360ºk, k ∈ ⺪
135
Ejercicios y problemas
Para profundizar
136. Una cinta transportadora tiene una longitud de 10 m y
queremos que eleve la carga 3,5 m. ¿Qué ángulo de elevación hay que ponerle?
Solución:
sen α = 3,5/10 ⇒ α = 20º 29’ 14’’
tg A/2 = 3/4 ⇒ A/2 = 36º 52’ 12’’
A = 73º 44’ 24’’
B = 180º – 73º 44’ 23’’ = 106º 15’ 36’’
140. Calcula la apotema de un pentágono regular cuyo lado
mide 7 m
10 m
3,5 m
α
137. Un rectángulo mide 5 m de largo y 3 m de alto. Halla el
a
7m
ángulo que forma la diagonal con cada uno de los lados.
Solución:
B
3m
36º
a
A
5m
3,5 m
Solución:
tg A = 3/5 ⇒ A = 30º 57’ 50’’
B = 90º – 30º 57’ 50’’ = 59º 2’ 10’’
tg 36º = 3,5/a ⇒ a = 3,5/tg 36º = 4,82 m
141. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado
138. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por
mide 24 m
el origen de coordenadas O(0, 0) y por el punto A(4, 3).
Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas
con dicha recta.
24 m
Solución:
Área
Y
α
O(0, 0)
tg α = 3/4 ⇒ α = 36º 52’ 12’’
A(4, 3)
X
Solución:
h
139. Calcula los ángulos de un rombo en el que las diagona-
60º
les miden 6 m y 8 m
A
6m
24 m
sen 60º = h/24 ⇒ h = 24 sen 60º = 20,78 m
1 24 · 20,78 = 249,36 m2
A=—
2
B
8m
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142. Calcula el área de un tetraedro en el que la arista mide
6 m de longitud.
Solución:
6m
B/2
3m
A/2
4m
136
SOLUCIONARIO
Solución:
6m
h
60º
Previamente se calcula el área de un triángulo equilátero:
sen 60º = h/6 ⇒ h = 6 sen 60º
—
h = 3√ 3 m
Área de un triángulo equilátero:
—
1 · 6 · 3 √—
3 = 9√ 3 m2
A=—
2
Tetraedro:
—
—
ATetraedro = 4 · 9 √ 3 = 36 √ 3 = 62,35 m2
cos 30º = a/14 ⇒ a = 14 cos 30º
a = 12,12 cm
1 6 · 14 · 12,12 = 509,04 cm2
A=—
2
144. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por
el origen de coordenadas O(0,0) y por el punto A(–5,–5).
Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas
con dicha recta.
Solución:
Y
α
O(0, 0)
X
A(–5, –5)
143. Calcula el área de un hexágono regular cuyo lado mide
14 cm
α = 45º
145. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase por
el origen de coordenadas O(0, 0) y por el punto A(2, – 1).
Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas
con dicha recta.
Área
14 cm
Solución:
Y
α
Solución:
O(0, 0)
X
A(2, –1)
30º
a
14 cm
tg α = 1/(– 2) ⇒ α = 153º 26’ 6’’
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7 cm
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
137
Linux/Windows GeoGebra
Paso a paso
146. Dibuja un ángulo, mide su amplitud y calcula e in-
terpreta el valor del seno.
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
147. Estudia el signo de la razón trigonométrica seno se-
gún los cuadrantes.
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
Abre: www.editorial-bruno.es, elige
Matemáticas, curso y tema.
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148. Internet.
138
SOLUCIONARIO
Windows Cabri
Practica
149. Dibuja
un ángulo, mide su amplitud y calcula e interpreta el valor del coseno. Guárdalo como 149
Geometría dinámica: interactividad
Prueba la interactividad como con el seno.
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
150. Dibuja un ángulo, mide su amplitud y calcula e in-
151. Estudia
el signo de la razón trigonométrica coseno
según los cuadrantes. Guárdalo como 151
Geometría dinámica: interactividad
Prueba la interactividad como con el seno.
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
152. Estudia el signo de la razón trigonométrica tangen-
terpreta el valor de la tangente. Guárdalo como 150
te según los cuadrantes. Guárdalo como 152
Geometría dinámica: interactividad
Prueba la interactividad como con el seno.
Geometría dinámica: interactividad
Prueba la interactividad como con el seno.
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
Solución:
Resuelto en el libro del alumnado.
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Nombre de las funciones trigonométricas
sin x cos x tan x csc x sec x cot x
Cuando el arco no es solo x, hay que ponerlo entre
paréntesis; por ejemplo, sen 2x se escribe sin (2x)
Demuestra las siguientes identidades utilizando Wiris
o Derive. Primero representa gráficamente el 1er miembro y luego el 2º; se debe obtener la misma gráfica.
TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
139
Linux/Windows GeoGebra
153. (sen x + cos x)2 = 1 + sen 2x
Solución:
En ambos miembros se obtiene:
154. tg x + cotg x = sec x cosec x
Solución:
En ambos miembros se obtiene:
156. sec2 x + cosec2 x = sec2 x cosec2 x
Solución:
En ambos miembros se obtiene:
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Solución:
En ambos miembros se obtiene:
155. tg2 x – sen2 x = tg2 x sen2 x
140
SOLUCIONARIO