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Instituto Nacional de Formación Profesional Módulo No.03 Tercera Edición Grupo primario: Matemáticas, estadísticas y afines Código: 2121009 Tegucigalpa, M.D.C. Honduras, C.A. Mayo, 2013 INSTITUTO NACIONAL DE FORMACIÓN PROFESIONAL DIVISIÓN TÉCNICO DOCENTE DEPARTAMENTO DE SERVICIOS TÉCNICOS © Copyright 2011 (INFOP-DTD) Tegucigalpa, M.D.C., Honduras Los interesados pueden reproducir parte de esta publicación a condición de que citen la fuente de origen. En lo referente a la reproducción total o traducción de dichas publicaciones, deberá dirigirse la correspondiente solicitud a INFOP, Apartado Postal 3235, Tegucigalpa, D.C. Por ser un documento didáctico, es recomendable comprender el uso de los elementos que lo integran. Coordinación general: al: Edgardo Valenzuela Torres Jefe División Técnico Docente Elaboración de contenido técnico: Amilcar Mauricio Moncada Master en Matemáticas Educativa Coordinación Misión Japonesa-INFOP: Ryozo Hayashi Asesoría y revisión metodológica: Magda Sagrario Maradiaga Coordinación técnico metodológica: Magda Sagrario Maradiaga Unidad de Material Didáctico Transcripción y diagramación: María Magdalena Sánchez Honduras.- INFOP Matemáticas Tegucigalpa: INFOP, 2013 306 p (Matemáticas: módulo instruccional, 03) ____ módulos Matemáticas. Matemáticas aplicadas. © Derechos reservados a favor del Instituto Nacional de Formación Profesional. 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS ÍNDICE Introducción ................................................................................................................ Objetivos ....................................................................................................................... 4 5 Elemento de competencia No. 01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con Números Naturales, Enteros, Racionales y Decimales .......................................................................................................... 6 Evaluación diagnóstica .............................................................................................. Contenido teórico No. 01 Operaciones básicas con números naturales, enteros, racionales y decimales................................................................................ Evaluación .................................................................................................................... Contenido teórico No. 02 Operaciones básicas utilizando cantidades de dinero............................................................................................................................. Contenido teórico No. 03 Operaciones utilizando promedios ........................ Contenido teórico No.04 Potenciación de números racionales ..................... Evaluación .................................................................................................................... 7 11 154 160 170 176 192 Elemento de competencia 02 Resolver problemas con cálculos geométricos y trigonométricos............................... 195 Contenido teórico No.05 Operaciones y conversiones de unidades de medida ..................................................................................................................... Contenido teórico No.06 Ángulos y triángulos ................................................. Contenido teórico No.07 El teorema de Pitágoras............................................ Contenido teórico No.08 Funciones trigonométricas ..................................... Evaluación .................................................................................................................... 196 211 222 227 237 Elemento de competencia 03 Resolver problemas que requieran el uso de ecuaciones y fórmulas técnicas de la ocupación .............................................................................................................. 241 Contenido teórico No. 09 El plano cartesiano .................................................... Contenido teórico No.10 Ecuaciones lineales cuadráticas .............................. Contenido teórico No.11 Operaciones con razones y proporciones............. Contenido teórico No.12 Operaciones utilizando porcentajes ...................... Contenido teórico No.13 Cálculo de tasas de producción............................... Contenido teórico No.14 Construcción de gráficas ......................................... Contenido teórico No.15 La mejor alternativa ................................................. Evaluación .................................................................................................................... Glosario ........................................................................................................................ Bibliografía ................................................................................................................... 242 245 275 281 285 288 296 298 301 306 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 3 Introducción El Instituto Nacional de Formación Profesional (INFOP) es una institución que dirige las políticas de formación profesional encaminadas al desarrollo económico y social del país para todos los sectores de la economía, proporcionando una opción de formación, capacitación y certificación para enfrentar los retos de la sociedad moderna. Su visión es ser la institución líder de Honduras en formación profesional, reconocida por sus estándares internacionales de eficacia, eficiencia y calidad, para contribuir al desarrollo del país con equidad social. Este manual es una introducción al estudio de temas de matemática que será de mucha utilidad a los estudiantes de las diferentes ocupaciones que el INFOP promueve y que está ligado a la metodología y forma de trabajo practicado por cada unidad de formación que comprende el INFOP. En él se exponen con propiedad definiciones matemáticas básicas, se desarrollan ejemplos paso a paso y se resuelven problemas aplicados al campo laboral útiles para desarrollar una forma de pensar con lógica matemática, con aplicación práctica y dando solución a variedad de problemas que requieren de análisis y uso de algoritmos matemáticos propios para desenvolverse eficazmente en el trabajo. 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS OBJETIVOS GENERALES Al finalizar el módulo los participantes serán competentes para: 1. 2. Comprender las propiedades y operaciones con números Naturales, Enteros, Fracciones y Decimales. Resolver problemas concretos de trabajo aplicando conceptos y operaciones con números. ESPECÍFICOS Al finalizar los contenidos teóricos-prácticos los participantes serán competentes en: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Efectuar operaciones básicas utilizando Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales. Efectuar operaciones y conversiones utilizando cantidades de dinero y tiempo. Calcular el promedio simple dada una lista de datos. Calcular la potencia y raíz cuadrada de un número. Convertir unidades de medida en los sistemas inglés y métrico. Definir ángulo y su medida en grados y radianes. Calcular el valor de funciones trigonométricas. Resolver problemas aplicando el Teorema de Pitágoras. Representar pares ordenados en el plano cartesiano. Resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y despejar una variable en términos de otras en fórmulas matemáticas y físicas básicas. Calcular perímetros, áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas Definir razón y proporción. Calcular el medio o extremo desconocido en la igualdad de dos razones. Calcular el tanto por ciento de una cantidad y resolver problemas con porcentajes. Calcular la tasa de producción de artículos, de costos y de ventas. Resolver problemas que implican la mejor alternativa en un problema común en el campo laboral. Representar un conjunto de datos a través de gráficos de barra, circulares y de línea. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 5 ELEMENTO DE COMPETENCIA 6 01 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y DECIMALES. Contenido teórico No.01 El conjunto de los Números Naturales (N) Contenido teórico No.02 Operaciones básicas utilizando cantidades de dinero. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS EVALUACIÓN DiagnósticA 1/4 Instrucciones Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición, luego marque la evaluación del estudiante de acuerdo al criterio que el cuadro indica. Criterios Evaluación De 0 a 10 es insatisfactorio De 11 a 16 debe mejorar De 17 a 22 es satisfactorio De 23 a 25 es avanzado 1) El punto de la gráfica: 0 a) 1 3 b) 1 2 3 3) Número mayor que a) 2 9 4) Número mayor que a) 1 3 MÓDULO No.3 b) 3 2 3 2) El punto de la gráfica: 0 a) 2 es la fracción: 4 3 c) 1 2 3 d) 7 3 es la fracción: 3 4 c) 4 5 d) 1 4 3 9 c) 4 9 d) 5 9 1 4 c) 1 5 d) 1 6 4 : 9 b) 1 : 4 b) MATEMÁTICAS 7 EVALUACIÓN DiagnósticA 5) Número menor que a) 15 6 2/4 8 : 3 b) 16 6 c) 17 6 d) 18 6 6) Divisores de 12 que son números primos: a) 1 y 12 b) 2 y 3 c) 1 y 4 d) 4 y 6 7) Divisores de 6: a) 0, 6, 12, 18 c) 1, 2, 3, 6 d) 12, 24 8) Descomposición de 24 en factores primos: a) 2 x 12 b) 4 x 6 c) 3 x 8 d) 2 x 2 x 2 x 3 9) Descomposición de 60 en factores primos: a) 2 x 5 x 6 b) 22 x 15 c) 3 x 4 x 5 d) 22 x 3 x 5 10) El mcm (15, 20) es: a) 5 b) 30 c) 40 d) 60 11) El mcm (6, 9) es: a) 3 c) 18 d) 36 12) El resultado de a) 7 18 13) El resultado de a) 8 6 9 b) 0, 12 b) 12 4 3 es: 9 9 12 b) 18 c) 7 9 d) 12 9 c) 7 6 d) 6 15 1 5 es: 3 6 b) 5 18 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS EVALUACIÓN DiagnósticA 3/4 14) El resultado de 3.2 + 5.9 es: a) 9.1 b) 8.9 c) 8.1 d) 7.9 15) El resultado de 5.6 + 2.83 es: a) 9.1 b) 8.9 c) 8.1 d) 7.9 16) El resultado de a) 1 10 17) El resultado de a) 4 0 3 1 es: 5 2 b) 2 7 5 1 es: 6 6 4 b) 6 c) 2 3 d) 4 7 c) 4 12 d) 6 6 18) El resultado de 7.13 – 5.01 es: a) 2.12 b) 2.88 c) 1.88 d) 1.12 19) El resultado de 12.3 – 5.1 es: a) 17.2 b) 13.2 c) 7.2 d) 6.2 20) El resultado de a) 8 15 21) El resultado de a) 4 21 MÓDULO No.3 2 4 es: 3 5 10 b) 12 c) 12 10 d) 15 8 c) 12 7 d) 21 4 1 4 es: 3 7 b) 7 12 MATEMÁTICAS 9 EVALUACIÓN DiagnósticA 4/4 22) El resultado de 2.4 x 1.8 es: a) 43.2 b) 40.2 c) 4.32 d) 4.02 23) El resultado de 7.2 ÷ 0.6 es: a) 120 b) 12 c) 1.2 d) 0.12 24) El suplemento de un ángulo de 600 es: a) 1500 b) 1200 c) 900 d) 300 25) El complemento de un ángulo de 550 es: a) 350 b) 450 c) 1250 d) 1350 10 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Competencia No.01 Co Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 1/144 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES Conjunto de los Números Naturales (N): Se entiende como el conjunto que sirve para contar, es decir, para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto de objetos. Se les conoce también como enteros positivos. Los números naturales son infinitos y se representa por la letra N, tiene los siguientes elementos: N = {1,2,3,4,5,...} los puntos suspensivos indican que los números naturales no tiene fin. El cero, se excluye del conjunto de los números naturales, pero para formar cantidades que incluyen ese símbolo, se le agregó el cero y se formó el Sistema de Numeración Decimal que más adelante se define. NOTA El número cero, podría traducirse como la ausencia de elementos en un conjunto, fue el número que más tardaron en descubrir las primeras civilizaciones. La idea más antigua de cero se remonta a civilizaciones como la Babilónica, China e India. Los indúes se lo enseñan a los árabes y éstos a Europa de donde llega a América. Pero es interesante que las civilizaciones Maya y Azteca en nuestro contienente usarán un símbolo para el cero independiente de Europa y Asia. Algunas representaciones que se utilizaron son las siguientes Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Cero Los números naturales son cardinales porque se usan para contar, por ejemplo: 3 láminas de asbesto, 2030 tornillos, 50 bolsas de cemento, etc. Son ordinales por que sirven para ordenar los elementos de un conjunto, por ejemplo: 1º (primero), 2º(segundo), 3º (tercero),…,16º (decimosexto), etc. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 11 1 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 2/ 144 Representación de los naturales en la recta numérica Los números Naturales se pueden representar en una recta numérica. Es una recta que se ha dividido en unidades y a cada división de le asignó un único número natural. Incluyendo el cero la representación es la siguiente: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 La flecha indica que los números son infinitos, el infinito se simboliza por . Representar en la recta numérica los siguientes conjuntos, en este caso se nombraron con las letras mayúsculas P, C: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x C = {Natural n:n es un impar entre 2 y 8} 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, se le llama así porque es un numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El sistema usa los números dígitos o guarismos de los números naturales agregándole el cero para representar cantidades. Para ilustrar el uso de las potencias de diez, veamos el ejemplo usando notación desarrollada: 14,227 = (1x10,000)+(4x1,000)+(2x100)+(7x1) = 10,000+4,000+20+7 = 14,227 12 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Competencia No.01 Co Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 3/ 144 Representaciones de los sistemas numéricos por distintas civilizaciones: a) Egipcia b) Griega: Usando el alfabeto griego en mayúsculas. Griega: Usando el alfabeto griego en minúsculas. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 13 3 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales c) Chino d) Babilónico e) Maya f) Numeración Indo-arábiga Fuente de las imágenes: http:// thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/ Otros/SISTNUM.html 14 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 4/ 144 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Competencia No.01 Co Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 5/ 144 La imagen anterior muestra el desarrollo histórico de los números dígitos de los indúes a los arábigos: Véase la lámina de derecha a izquierda, va desde el siglo VI al XVI aproximadamente. Por ejemplo del siglo X (siglo diez) al siglo XXI (siglo veintiuno) la diferencia entre los símbolos es la siguiente: Características del sistema de numeración decimal a) Sistema de base 10: Esto quiere decir que el principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada 10 unidades forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la izquierda de la primera cifra llamada: unidades. b) El sistema está constituido por: Cifras u Órdenes, Clases y Períodos Cifra u orden: Es la posición que ocupa un dígito en una cantidad Clase: Es la reunión de tres cifras u órdenes consecutivas Período: Es la reunión de dos clases consecutivas c) Posee 10 dígitos: Estos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y su combinación puede formar infinitos números. Son de origen Indo-Arábigo, es decir inventado por los Hindúes y los árabes en el siglo VI de nuestra era. El sistema de numeración decimal nos permite leer y escribir cantidades dividiéndola en periodos, clases y órdenes. En el cuadro sólo se muestran dos períodos, pero estos son infinitos. PERÍODOS DE LOS MILLONES Clase de los miles de millones CMM DMM UMM PERÍODOS DE LOS MILLARES O MILES Clase de los cientos de millones Clase de los miles Clases de las unidades CMM DM UM CM DM UM C D U Centenas de Millón Decenas de Millón Unidades de Millón Centenas de Millar Decenas de Millar Unidades de Millar Centenas Decenas Unidades MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 15 5 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 6/ 144 d) Es posicional: Cada cifra de una cantidad tiene un valor de acuerdo a la posición que ocupa en el número, a esto se le llama valor relativo. El valor de cada cifra independiente de la posición se le llama valor absoluto. Por ejemplo, en el número 2, 424: POSICIÓN UM C D U NOMBRE DE LA POSICIÓN UNIDADES DE MILLAR CENETAS DECENAS UNIDADES 2 2000 2 4 400 4 3 20 2 4 4 4 Número Valor relativo Valor absoluto Para nombrar un número se separan las cifras en clases, es decir de tres en tres, por ejemplo: CM DM UM C D U CONTENIDO DE MILLAR DECENAS DE MILLAR UNIDADES DE MILLAR CENTENAS DECENAS UNIDADES 4 7 8 0 9 1 2 3 1 4 8 2 2 9 478, 092: Cuatrocientos setenta y ocho mil, noventa y dos 12, 312: Doce mil, trescientos doce 589: Quinientos ochenta y nueve Escriba en números las siguientes cantidades: Dos millones ciento veinte y tres mil doscientos cuarenta y cinco: 2, 123, 245 Cuatro mil ciento catorce: 4, 114 Quinientos seis mil cinco: 506, 005 OPERACIONES Y PROPIEDADES CON NÚMEROS NATURALES 1) Adición de Números Naturales Definición Sean a, b dos números cualesquiera llamados sumandos, la suma de a con b dará otro número natural c y lo representaremos como: c = a + b, al resultado se le llama suma o total. 16 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Competencia No.01 Co Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 7/ 144 Para efectuar sumas nos auxiliaremos de la tabla de posiciones: a) 7,855 - 987 - 692 = 9,534 Posiciones DM Valores llevados UM C U 2 2 1 7 8 5 5 9 8 7 Sumandos SUMA O TOTAL D 9 6 9 2 5 3 4 Proceso de solución 1º Las cifras se colocan en las posiciones correspondientes: Unidades bajo unidades, decenas bajo decenas y así sucesivamente. 5 + 7 + 2 = 14, son 14 unidades, se escribe se lleva 4 y se lleva el 1 1 + 5 + 8 + 9 = 23, son 21 decenas, se escribe el 3 y se lleva el 2 2 + 8 + 9 + 6 = 25, son 25 centenas, se escribe el 5 y se lleva el 2 2 + 7 = 9, son 9 miles 2º 3º 4º 5º El resultado es nueve mil quinientos catorce unidades. No es necesario estar haciendo tablas de posiciones en cada suma, sólo deben estar bien ubicadas las cifras, por ejemplo: b) 21,143 + 49 - 602 - 8,371 = 30,165 + 2 1 1 8 3 0 6 3 1 MÓDULO No.3 4 4 0 7 6 3 9 2 1 5 El resultado es treinta mil ciento sesenta y cinco MATEMÁTICAS 17 7 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 8/ 144 Ejemplos de aplicación a) Don Carlos es soldador, lo contratan para hacer 3 portones, tiene que comprar platinas de 1” x 3” , 324 lances para el primero, 512 para el segundo y 115 para el tercero, 8 4 ¿Cuántos lances en total compró? Proceso de solución El problema se resuelve sumando los lances comprados para cada protón: + 3 5 1 9 2 1 1 5 4 2 5 1 Don Carlos compró en total 951 platinas de 1” x 3” 8 4 b) Una compañía constructora pinta 75 Km de carretera en Olancho, 54 en El Paraíso, 116 en Cortés, 91 en Ocotepeque y 44 en Comayagua, ¿Cuántos Km de carretera se pintaron? + 7 5 1 1 9 4 3 8 5 4 6 1 4 0 La compañía pintó en total 380 Km de carretera en el país. Propiedades de la Adición de Números Naturales La adición de números naturales cumple las propiedades de cierre, asociativa, conmutativa y elemento neutro. 1) De Cierre: Definición Sean a, b dos números naturales cualesquiera, el resultado de c = a + b es otro número natural. Por ejemplo: 879 + 123 = 1002, la suma da otro número natural. 2) Asociativa: Definición Sean a, b, c tres números naturales cualesquiera, se cumple que: (a+b)+c=a+(b+c). 18 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Competencia No.01 Co Contenido Teórico No.01 Por ejemplo: Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 9/ 144 (3+5)+7=3+(5+7) 8 + 7 = 3 + 12 15 = 15 3) Conmutativa Definición Sean a, b dos números naturales cualesquiera, se cumple que: a+b=b+a 11+9 = 9+11 20 = 20 Por ejemplo: 4) Elemento Neutro Definición Sean a un número natural cualesquiera, se cumple que: a+0 = 0+a = a. Por ejemplo: 123+0 = 0+123 123 = 123 EJERCICIO PRÁCTICO 1) Escriba en números las siguientes cantidades: a) Cuarenta mil doscientos diez y nueve: b) Cinco mil tres: c) Ciento seis mil once: d) Novecientos doce mil cuatrocientos treinta: e) Ciento nueve mil dos: f) Ocho millones doce mil quince: g) Doce millones ciento cuarenta mil quince: h) Un millón cincuenta: i) Novecientos catorce mil dos: j) Cuatrocientos un mil tres: MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS _______________ _______________ _______________ _______________ _______________ _______________ _______________ _______________ _______________ _______________ 9 19 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 10/ 144 2) Separe las cantidades de tres en tres y escríbalos en palabras: a) 1 015 004:____________________________________________________ b) 762: _________________________________________________________ c) 1346: ________________________________________________________ d) 905: _________________________________________________________ e) 20 034: ______________________________________________________ f) 27 450: ______________________________________________________ g) 306 014 020: _________________________________________________ h) 9 246 002: ___________________________________________________ i) 10 003: ______________________________________________________ j) 12 324: ______________________________________________________ k) 8 003 007: ___________________________________________________ l) 7 000 500: ___________________________________________________ m) 24 001 002: __________________________________________________ n) 70 234: ______________________________________________________ 3) Efectúe las siguientes sumas. a. d. g. j. 3,640+223 1,972+1,875+172 2,695+13,647 46,324+7,692+263 b. 49+1,860 e. 420+360+280 h. 4,830+2,725+38 k. 8,420+7,693+26,311 c. 14,624+1793+13 f. 790+131+26+34 i. 7,940+1,860+26,315 l. 72,535+4,311+25,318 2) Resuelva los siguientes problemas de aplicación a) Sara contó los tornillos contenidos en tres cajas y obtuvo las siguientes cantidades: 11,546; 13,114 y 8,972 respectivamente, ¿Cuántos tornillos contó? b) Un carpintero fabricó un mueble de madera y gastó en total Lps. 3,600, si quiere ganar Lps. 1,200 ¿A cuánto debe venderlo? 20 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Competencia No.01 Co Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 11/ 144 3) En la matemática también hay problemas para asombrarnos o divertirnos mentalmente un poco, los siguientes ejemplos son una muestra de eso: a) Suma curiosa: Observe que los números aparecen en secuencias del 1 al 35, y en cada línea de números los resultados son iguales, ¿podría usted escribir tres líneas más? b) El Hexágono y el cubo mágico: En cualquier dirección la suma del hexágono es 48 y en el cubo cada cara suma 18, compruébelo!! 2) Sustracción de números Naturales Definición Sean a, b dos números cualesquiera llamados minuendo y sustraendo respectivamente, la resta de a con b es otro número natural c y lo representaremos como: c = a b, con a mayor que b, al resultado se le llama diferencia. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 1 21 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales a) 7,885-562 = 7,323 Para efectuar restas nos auxiliaremos de la tabla de posiciones: Posiciones UM C D Valores prestados 7 0 7 8 5 3 8 6 2 Minuendo Sustraendo Diferencia U 5 2 3 Proceso de solución 1º 2º 3º 4º Se efectúa la resta 5 – 2 = 3 Se efectúa la resta 8 – 6 = 2 Se efectúa la resta 8 – 5 = 3 Se efectúa la resta 7 – 0 = 7 b) 5,2451,968 = 3,277 Para efectuar restas nos auxiliaremos de la tabla de posiciones: Posiciones UM Valores prestados 51 = 4 5 1 3 Minuendo Sustraendo Diferencia C D 21 = 1 41 = 3 2 4 9 6 2 7 U 5 8 7 Proceso de solución 1º 2º 3º 4º 5 – 8, como 5 es menor que 8, se le quita una decena a 4, es decir 10 unidades y se le suman a 5. Esto resulta en 15 – 8 = 7 y el 4 queda en valor de 3 3 – 6, como 3 es menor que 6, se le quita una centena a 2, o sea 10 decenas y se le suma a 3. Esto resulta en 13 – 6 = 7 y el 2 queda en valor de 1 1 – 9, como 1 es menor que 9, se le quita una unidad de millar a 5, es decir 10 centenas y se le suma a 1. Esto resulta en 11 – 9 = 2 y el 5 queda en valor de 4 Se efectúa la resta 4 – 1 = 3 El resultado es tres mil docientos setenta y siete. 22 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 12/ 144 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Competencia No.01 Co Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 13/ 144 c) La resta se efectúa sin necesidad del cuadro de posiciones, coloque bien las cifras y reste correctamente 15,103 7,513 = 7,590 - 1 5 1 0 3 7 5 1 3 7 5 9 0 Proceso de solución 1º Se efectúa la resta 3 – 3 = 0 2º 0 – 1, tomo prestado una centena, que son 10 decenas, luego 10 – 1 = 9 3º Como quedan cero en las centenas, se toma una unidad de millar, que son 10 centenas, luego: 10 – 5 = 5 4º 4 – 7, se toma una centena de millar que son 10 unidades de millar y se le suma a 4, luego: 14 – 7 = 7 5º Las centenas de millar quedan igual a cero. Ejemplos de aplicación a) Una ferretería recibió en el mes de febrero 23,350 bolsas de cemento para la venta, el inventario para el mes de diciembre de ese mismo año es de 1,545 bolsas, ¿Cuántas se han vendido? Proceso de solución Efectuar: 23,3501,545 2 3 3 5 9 1 5 4 5 2 1 8 0 5 Se vendieron 21,805 bolsas de cemento. b) Para la construcción de un muro, Doña Ana compró 2,590 bloques, al terminar la obra el albañil contó que le sobraban 175 bloques, ¿Con cuántos se construyó la pared? Proceso de solución Efectuar: 2,590 175 - 2 4 9 0 1 7 5 2 4 1 5 MÓDULO No.3 La pared se construyó con 2,415 bloques. MATEMÁTICAS 3 23 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 14/ 144 c) El Director del Instituto Central Vicente Cáceres quiere actualizar el inventario de sillas por aula que tiene para que el mobiliario esté completo para los alumnos. El dato que recibe es que hay 7684 sillas y una matrícula es de 8673 alumnos, ¿Cuántas sillas le faltan? Proceso de solución Efectuar: 8,673 7,684. - 8 6 7 3 7 6 8 4 0 9 8 9 El instituto tiene un faltante de 989 sillas. Propiedades de la Sustracción de Números Naturales La sustracción de números naturales cumple las propiedades de cierre, no es asociativa y no es conmutativa, tiene elemento neutro. 1) De Cierre: Definición Sean a, b, dos números naturales cualesquiera, a, b con a > b, el resultado de c = a - b es otro número natural. Por ejemplo: 879 123 = 756 ,la suma da 756 que es otro número natural 2) No es asociativa: Definición Sean a, b, c tres números naturales cualesquiera, en general (a - b) - c ≠ a - (b - c) Por ejemplo: (13 − 5) − 2 ≠ 13 − (5−2) 8 − 2 ≠ 13 − 3 6 ≠ 11 3) No es conmutativa Definición Sean a, b dos números naturales cualesquiera, en general: a - b≠ b - a Por ejemplo: 11 − 9 ≠ − 11 24 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Competencia No.01 Co Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 15/ 143 4) Elemento Neutro Definición Sean a un número natural cualesquiera, en general no se cumple que: a-0≠0-a≠a Por ejemplo: 123 −0 ≠0 − 123 EJERCICIO PRÁCTICO 1) Efectúe las siguientes restas a. 3,640−223 b. d. 1,972−1,875 e. g. 2,695−13,647 h. j. 46,324−7,692 k. 495−1,860 360−280 4,830−2,725 8,4207,693 c. f. i. l. 14,624−1792 790−131 7,940−7,860 72,535−44,311 2) Resuelva los siguientes problemas a) Un contratista necesita a 176 albañiles y 240 ayudantes para realizar una obra, sólo ha encontrado la mitad de los albañiles y la tercera parte de los ayudantes, ¿Cuántos albañiles y ayudantes le faltan por encontrar? b) Un tapicero necesita para laborar en el mes 350 yardas de tela, en la bodega sólo hay 180 yardas, ¿Cuántas debe comprar? 3) Igual que en la suma, en la resta hay problemas para asombrarnos o divertirnos mentalmente un poco, los siguientes ejemplos son una muestra de eso: a) Resta curiosa: Observe las dos restas dadas a continuación, examine con detalle las posiciones de las cifras en cada caso, Encuentre los valores de los números x, y. 6,823 − 3,285 = 2,538 2,961−1,692 = 1,269 x−y b) Ilusión: Cualquier persona que observe la ilustración, pensará que de las tres figuras que ahí aparecen, el hombre es el más alto. Mídalas y vea si hay diferencias. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 5 25 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 16/ 143 3) Multiplicación de Números Naturales. Definición Sean a, b dos números naturales cualesquiera llamados multiplicando y multiplicador respectivamente, la multiplicación de a con b es otro número natural c y lo representaremos como: c = a x b, al resultado se le llama producto. a) El producto como una suma: El producto de 9 x 5 puede entenderse como la suma de 9 veces 5 o de 5 veces 9: 9 5 9 9 9 9 9 45 9 se suma 5 veces 9 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 45 5 se suma 9 veces El 9 y el 5 son los factores llamados multiplicando y multiplicador, el 45 se llama producto. El siguiente ejemplo muestra lo largo que esto pudiera ser: 146 75 146 146 146 146 10,950 146 se suma 75 veces 75 146 75 75 75 75 10,950 75 se suma 146 veces El proceso de sumar es muy extenso si queremos multiplicar, por ejemplo: Por eso hay que buscar una forma más corta y eficiente de hacerlo y será necesario saber muy bien las tablas de multiplicar. Para repasarlas se llenará el siguiente cuadro, algunos valores ya aparecen, debe completar el cuadro con los valores de las multiplicaciones. x 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 11 4 2 18 3 15 4 28 5 6 36 7 21 8 72 9 90 10 30 11 12 26 2 121 24 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 17/ 143 b) El proceso de multiplicar Ejemplo 1: Efectuar 345x7 x 345 Multiplicando 7 Multiplicador 2415 Producto Proceso de solución 1º Como el multiplicador es de una cifra, se coloca bajo las unidades del 2º 3º 4º 5º multiplicando Se multiplica 7 x 5 que es 35, se copia el 5 y se lleva 3 Se multiplica 7 x 4 que es 28, luego se suma, 28 + 3 = 31, se copia el 1 y se llevan 3 Se multiplica 7 x 3 que es 21, luego se suma 21 + 3 = 24 Como ya no hay más multiplicaciones se copia el 24 Ejemplo 2: Efectuar 9,127 x 76 9 1 2 7 7 6 5 4 7 6 2 6 3 8 8 9 6 9 3 6 5 2 Proceso de solución 1º Se escribe 9127 y abajo se escribe el 76, el 6 debajo del 7 y el 7 debajo del 2 2º Se multiplica 6 x 9127, el resultado es 54,762, la cifra se escribe tal empezando por debajo del 6 3º Se multiplica 7 x 9127, el resultado es 63,889, la cifra se escribe empezando por el 6 4º El 2 se baja 5º Se efectúa 6 + 9, el resultado es 15, se copia el 5 y se lleva 1 6º Se efectúa 1 + 7 + 8, el resultado es 16, se copia el 6 y se lleva 1 7º Se efectúa 1 + 4 + 8, el resultado es 13, se escribe 3 y se lleva 1 8º Se efectúa 1 + 5 + 3, el resultado es 9, no hay que llevar 9º Se copia el 6 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 27 7 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 18/ 143 Ejemplo 3: Siguiendo el proceso anterior, verifique: 825 x 623 = 513,975 8 2 5 6 2 3 2 4 7 5 1 6 5 0 4 9 5 0 5 1 3 9 7 5 Proceso de solución 1º 2º 3º 4º Multiplique: 3 x 825 = 2475 Multiplique: 2 x 825 = 1650 Multiplique: 6 x 825 = 4950 Efectúe las sumas correspondientes Ejemplo 4: Para multiplicar por la unidad seguida de ceros, se agregan el número de ceros que tenga la unidad al otro factor. 132 x 1000 = 132,000: En este caso se copió el 132 y se le agregaron tres ceros. 100 x 498 = 49,800: En este caso se copió el 498 y se le agregaron dos ceros. 100 x 100000 = 10,000,000: En este caso se copia el 1, se copian los ceros de los factores. Ejemplos de aplicación a) Un abogado debe hacer un trámite para una empresa y debe desplazarse de Tegucigalpa hasta Ocotepeque, si cobra Lps. 8.00 por Km recorrido, ¿Cuánto recibirá de viáticos si la distancia aproximada entre las ciudades es de 354 Km? Proceso de solución 1º 354 Km de ida más la misma cantidad de regreso son: 2 x 354 = 708 Km 2º 708 Km x 8 = 5564 3º El abogado recibirá Lps. 5564 de viáticos 28 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 b) Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 19/ 143 Vea la siguiente imagen y conteste la pregunta: Son cuatro perros por cuatro patas cada perro, el resultado es: 4 x 4 = 16 patas. Ahora suponga que son 475 perros y 10 de ellos sólo tiene tres patas, ¿Cuántas patas se contarían? Proceso de solución 1º 475 x 4 = 1900 patas 2º 10 x 1 = 10 patas, porque le falta una pata a 10 perros 3º 1900 – 10 = 1890 patas que se contarían c) En la comunidad de El Bambú, donde vive Miguel, las 15 familias del lugar se organizaron para reforestar la zona, cada familia plantará 75 árboles trabajando los fines de semana de agosto, Al final del mes, ¿Cuántos árboles sembraron? El problema se resuelve multiplicando 15 x 75 = 1125 árboles, luego la comunidad sembró en total 1,125 árboles en el mes. Propiedades de la multiplicación de Números Naturales La adición de números naturales cumple las propiedades de cierre, asociativa, conmutativa, elemento absorbente y elemento neutro. 1) De Cierre Definición Sean a, b dos números naturales cualesquiera, el resultado de c = a x b es otro número natural. Por ejemplo: 879 X 123 = 108,117, el producto da otro número natural. 2) Asociativa Definición Sean a, b, c tres números naturales cualesquiera, se cumple que: (a xb) xc = a x (b xc) MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 29 9 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 3 5 7 3 5 7 Por ejemplo: 15 7 3 35 105 105 3) Conmutativa Definición Sean a, b dos números naturales cualesquiera, se cumple que: a xb = b xa Por ejemplo: 11 9 9 11 99 99 4) Elemento Neutro Definición Sean a un número natural cualesquiera, se cumple que: a x1 = 1 xa = a, es decir que todo número por uno es igual al mismo número Por ejemplo: 123 1 1123 123 123 5) Elemento Absorbente Definición Sean a un número natural cualesquiera, se cumple que: a x 0 = 0 x a = 0, es decir que todo número multiplicado por cero es igual a cero Por ejemplo: 30 3 123 0 0 123 00 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 20/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 21/ 143 EJERCICIO PRÁCTICO 1) Efectúe las siguientes restas a. d. g. j. 640 x 23 1,972 x 75 100 x 13,647 6,324 x 7,692 b. e. h. k. 95 x 860 360 x 280 30 x 300 8,420 x 7,693 c. f. i. l. 624 x 179 99 x 10000 7,940 x 7,940 535 x 44,111 2) Resuelva los siguientes problemas a) Un contratista necesita 9,600 ladrillos para la construcción de una casa, si se van a construir 76 casas del mismo tamaño, ¿Cuántos ladrillos necesitará comprar? b) Vea la siguiente imagen y conteste la pregunta: c) Un operador de sierras eléctricas corta en promedio 1250 piezas en 1 hora, si su horario de trabajo es de 8:00 a.m. a 4:00 p.m., descansando para almorzar de 12:00 m. a 1:00 p.m. ¿Cuántas piezas corta al día?, ¿Cuántas en 20 días? 3) Multiplicaciones curiosas: Haga dos líneas más de las operaciones mostradas en las figuras: 123456789 x 9 = 111111111 9 x 9 + 7 = 88 123456789 x 18 = 222222222 9 x 98 + 6 = 888 123456789 x 27 = 333333333 9 x 987 + 5 = 8888 123456789 x 36 = 444444444 9 x 9876 + 4 = 88888 123456789 x 45 = 555555555 9 x 98765 + 3 = 888888 123456789 x 54 = 666666666 9 x 987654 + 2 = 8888888 123456789 x 63 = 777777777 9 x 1 + 2 = 11 9 x 12 + 3 = 111 9 x 123 + 4 = 1111 9 x 1234 + 5 = 11111 9 x 12345 + 6 = 111111 9 x 123456 + 7 = 1111111 9 x 1234567 + 8 = 11111111 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 31 1 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 22/ 143 4) División de naturales Definición Sean a, b dos números naturales cualesquiera llamados dividendo y divisor respectivamente, con b≠ 0, la división de a con b es otro número natural c tal que a = b x c + r, donde c es el cociente y r el residuo. a) El cociente por agrupamiento Supongamos que se tiene 30 flechitas y se quieren agrupar de cinco en cinco, esto equivale a encontrar el cociente de 30 ÷ 5. Se busca el número de grupos de 5 unidades que se pueden formar con 30 unidades: 30 6 grupos 1 grupo 1 grupo 1 grupo 1 grupo 1 grupo 1 grupo Por lo tanto, 30 ÷ 5 = 6, ya que 30 = 6 x 5. Los números 30 y el 5 son los factores llamados dividendo y divisor, al 6 se le llama cociente. Como no sobró ninguna flechita por agrupar, se dice que el residuo es cero. Ahora, Se quieren repartir 35 flechitas entre 4 niños, la distribución sería la siguiente: 35 1 grupo 1 grupo 1 grupo 1 grupo 4 grupos de 7 flechitas, sobrando 3 Sobran 3 En este caso 35 = 8 x 4 + 3, esto significa que se les reparten 8 flechitas a cada niño y sobran 3, el residuo es 3. El siguiente ejemplo muestra lo largo que esto pudiera ser: 72, 000 75 1 grupo de 75 1 grupo de 75 1 grupo de 75 1 grupo de 75 960 grupos de 75 El proceso de agrupar es muy extenso si queremos dividir cantidades grandes. Es por eso que hay que buscar una forma más corta y eficiente de hacerlo, a esto se le conoce como el algoritmo de la división. El algoritmo de la división, es el proceso de dividir un número entre otro para calcular el cociente y determinar el residuo. Si el residuo es cero se dice que la división es exacta, en caso contrario se le llama inexacta. 32 3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 23/ 143 Para practicar divisiones mentalmente, llene el siguiente cuadro, algunas líneas están llenas: ÷ 60 120 180 240 300 ÷ 100 200 300 400 500 b) 1 2 3 4 5 120 60 40 30 24 5 10 20 50 100 40 20 10 4 2 ÷ 120 240 360 480 600 ÷ 36 72 108 144 180 2 4 6 8 10 180 90 60 45 36 1 2 3 4 6 144 72 48 36 24 Ejemplo 1: División por una cifra, efectuar Comprobación: Dividendo = Cociente x Divisor + Residuo 192 = 3 x 64 + 0 MÓDULO No.3 Proceso de solución 1º El divisor 3 es mayor que el 1 del dividendo 192, se toman dos cifras: 19. 2º Se busca un número que multiplicado por 3 resulte 19 o lo más cerca de 19. El número es 6, 3 x 6 = 18. 3º El 18 se le resta a 19, el resultado es 1. 4º Se baja la siguiente cifra que es 2 y se forma el número 12. 5º Se busca un número que multiplicado por 3 resulte 12 o la más cerca de 12, el número es 4, 3 x 4 = 12. 6º El 12 se le resta a 12, el resultado es 0. 7º Como ya no hay cifras del dividendo que bajar y el residuo es cero, allí termina la división. MATEMÁTICAS 33 3 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Ejemplo 2: Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales División por dos cifras: 62,253 ÷ 83 Proceso de solución El divisor 75 es mayor que el 62 del dividendo 6,225, se toman tres cifras: 622 2º Se busca un número que multiplicado por 75 resulte 622 o lo más cerca de 622. El número es 8, 75 x 8 = 600 3º El 600 se le resta a 622, el resultado es 22 4º Se baja la siguiente cifra que es 5 y se forma el número 225 5º Se busca un número que multiplicado por 75 resulte 225 o lo más cerca de 225, el número es 3, 75 x = 225 6º El 225 se le resta a 225, el resultado es 0 7º Como ya no hay cifras del dividendo que bajar y el residuo es cero, allí termina la división 1º 83 75 6225 600 225 225 000 Comprobación: 6225 = 75 x 83 + 0 Ejemplo 3: División por tres cifras: 8,375 ÷ 125 Proceso de solución 1º El divisor 125 es menor que el 837 del dividendo 8,375 2º Se busca un número que multiplicado por 125 resulte 8375 o lo más cerca de 8375. El número es 6, 125 x 6 = 750 3º El 750 se le resta a 837, el resultado es 87 4º Se baja la siguiente cifra que es 5 y se forma el número 875 5º Se busca un número que multiplicado por 125 resulte 875 o lo más cerca de 875, el número es 7, 125 x 7= 875 6º El 875 se le resta a 875, el resultado es 0 7º Como ya no hay cifras del dividendo que bajar y el residuo es cero, allí termina la división 34 3 MÓDULO No.3 67 125 8375 750 875 875 000 Comprobación: 8375 = 125 x 67 + 0 MATEMÁTICAS 24/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 3: 25/ 143 División con residuo distinto de cero: 987 ÷ 41 Proceso de solución 1º El divisor 41 es menor que el 98 del dividendo 987. 2º Se busca un número que multiplicado por 41 resulte 98 o lo más cerca de 98. El número es 2, 41 x 2 = 82. 3º El 82 se le resta a 98, el resultado es 16. 4º Se baja la siguiente cifra que es 7 y se forma el número 167. 5º Se busca un número que multiplicado por 41 resulte 167 o lo más cerca de 167, el número es 4, 41 x 4 = 164. 6º El 164 se le resta a 167, el resultado es 3. 7º Como ya no hay cifras del dividendo que bajar, allí termina la división. 24 41 987 82 167 164 003 Comprobación: 987 = 41 x 24 + 3 Ejemplos de aplicación a) Para una mejor distribución, un bodeguero reúne las bolsas grandes, medianas y pequeñas en grupos de 10 paquetes de cada tamaño. Si tiene 955 bolsas pequeñas, 1230 medianas y 642 pequeñas, ¿Cuántos grupos de cada tamaño de bolsa tendrá?, ¿Cuántas bolsas de cada tamaño le sobran? Proceso de solución 1º 955 bolsas pequeñas en grupos de 10 es: 955 ÷ 10 = 95 grupos, sobrando 5 bolsas. 2º 1230 bolsas grandes en grupos de 10 es: 1230 ÷ 10 = 123 grupos, no sobran bolsas. 3º 642 bolsas en grupos de 10 es: 642 ÷ 10 = 64 grupos, sobrando 2 bolsas. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 35 5 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 26/ 143 b) Don Carlos pagó a un carpintero Lps. 21,600 por la instalación de 18 metros cuadrados de piso de madera, ¿Cuál es el valor de cada metro cuadrado de piso instalado?, le quedan 23 metros cuadrados de piso sin instalación, ¿Cuánto le falta por gastar aun? Proceso de solución Se divide 21,600 ÷ 18, esto es 1200. El metro cuadrado de instalación de piso cuestan Lps. 1,200. 2º 1200 x 23 = 27,600. Don Carlos gastaría Lps. 27,600 en instalarle piso de madera a los 23 metros cuadrados restantes. 1º c) Un juego de divisiones: El profesor le pide a Carlos que piense en un número de tres cifras, Carlos piensa en 234. Le pide que escriba dos veces ese número así: 234234. Luego le solicita que haga las siguientes divisiones: 234234 ÷ 7 = 33462, este cociente se divide con 11 33462 ÷ 11 = 3,402, este cociente se divide con 13 3402 ÷ 13 = 234 El último cociente es el número pensado. ¿Curioso no es cierto? Repita el juego con sus compañeros de clase, se pide el número de tres cifras y se efectúan las divisiones. Si el instructor lo permite pudiera usarse calculadora para dividir rápidamente. d) Piense en un número de cuatro cifras, divida este número con 10 hasta que el residuo sea menor que el divisor. Escriba los residuos de abajo hacia arriba y observe el número que se forma. Vea el ejemplo con el número 7354 para que juegue con otros valores. 7354 4 10 735 5 10 73 3 10 7 Propiedades de la división de Números Naturales La división de números naturales cumple las propiedades de, asociativa, conmutativa, elemento absorbente y elemento neutro. No cumple la propiedad de cierre. 36 3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 27/ 143 1) No es cerrada Definición Sean a, b dos números naturales cualesquiera, el resultado de c = a ÷ b no siempre es otro número natural Por ejemplo: 879 x 23 = 23 x 38 + 5, como el residuo es 5, el cociente no es otro número natural. Si el residuo es cero, el cociente si es natural, pero esto no sucede en todos los casos. 2) No es Asociativa Definición Sean a, b, c tres números naturales cualesquiera, en general se cumple que: (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c). 80 10 2 80 10 2 Por ejemplo: 8 2 80 5 4 16 3) No es Conmutativa Definición Sean a, b dos números naturales cualesquiera, en general se cumple que: a ÷ b ≠b ÷ a Por ejemplo: 20 ÷10 ≠ 10 ÷ 20 4) Elemento Neutro por la derecha Definición Sean a un número natural cualesquiera, se cumple que: a÷1 = a, es decir que todo número dividido por uno es igual al mismo número. Pero no se cumple a la inversa, en general 1÷a≠ a Por ejemplo: 123 1 123 Sin embargo 1 ÷ 123 123 123 123 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 37 7 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 28/ 143 5) La división por cero no está definida Definición Sean a un número natural cualesquiera, la siguiente división: a÷0 No está definida, porque no existe un número natural c tal que a = 0 x c ya que todo número multiplicado por cero es igual a cero. Por ejemplo: 2345 ÷ 0 = No definida, porque no hay un número natural c tal que 2345 = 0 x c 6) La división indeterminada. Definición La división 0 ÷ 0: Este es un caso particular de la división por cero, se le denomina división indeterminada, porque como todo número por cero es igual a cero, hay infinitos valores que pudieran ser usados, eso significa que la división no se puede determinar. Si dividiéramos en una calculadora, 2345 ÷ 0 y 0 ÷ 0, veríamos en la calculadora la frase Math ERROR, eso significa que no se puede realizar la división, en una CASIO se vería así: 5) peraciones combinadas con naturales a) Sin signos de agrupación. Para ilustrar este tipo de operaciones se resolverá el siguiente problema: Un juego de azar consiste en lanzar una moneda al aire, si cae cara la persona gana Lps. 40.00 y si cae escudo la persona pierde Lps. 35.00. Para ingresar al juego la persona paga Lps. 20.00. ¿Cuánto ha ganado o perdido un jugador si en diez lanzamientos ha caído lo siguiente? Cara Escudo 38 3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 29/ 143 Proceso de solución 1. Se plantea la operación que resuelve el problema: Número de caras x 40 – Números de escudos x 35 – pago de ingreso 2. Se resuelve la operación tal como se indica paso a paso, como han caído 6 caras y 4 escudos la operación es la siguiente: 6 x 40 – 4 x 35 – 20. 3. Se resuelve la operación combinada: 6 40 4 35 20 Se efectuan las multiplicaciones Se multiplica Se multiplica 240 140 20 Se efectuan la resta Se resta 100 20 Se efectuan la resta Se resta La ganancia es 80 lempiras 80 Resultado Suponga ahora que los resultados de los lanzamientos fueron los siguientes: Cara Escudo Proceso de solución 1. En este caso la operación es: 4 x 40 – 10 x 35 – 20. 2. Se resuelve la operación combinada. 4 40 10 35 20 Se efectuan las multiplicaciones Se multiplica Se multiplica 160 20 350 Se suma lo pagado Se suma lo pagado 160 370 Se suma lo pagado La diferencia es negativa 210 MÓDULO No.3 Ha perdido 210 lempiras MATEMÁTICAS 39 9 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 El proceso para resolver operaciones de este tipo se enuncia a continuación: Regla básica Para resolver operaciones combinadas sin signos de agrupación se hace lo siguiente: 1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha. 2. Primero se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan. 3. Por último se efectúan las sumas y restas. Ejemplo 1: Efectúe 2 + 5 x 4 – 12 ÷ 2 + 7 Proceso de solución: 2 5 4 12 27 Se multiplica Se divide 2 20 6 7 Se suma 22 6 7 Se res ta 16 7 Se suma 23 Resultado Ejemplo 2: Efectúe 8 + 20 ÷ 4 – 12 + 6 x 2 – 7. Proceso de solución: 8 20 4 12 6 2 7 Se divide Se multiplica 8 5 12 12 7 Se suma 13 12 12 7 Se resta 1 12 7 Se suma 13 7 Se resta 6 Resultado 40 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 30/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 31/ 143 Ejemplo 3: Efectúe 10 + 100 ÷ 20 – 200 ÷ 10 – 10 Proceso de solución: 10 100 20 10 Se divide 10 5 10 Se suma 15 10 Se resta 5 Resultado Ejemplo 4: Efectúe 8 + 20 ÷ 4 – 12 + 6 x 2 – 7 8 20 4 12 6 2 7 Se divide Se multiplica 8 5 12 12 7 Se suma 13 12 12 7 Se resta 1 12 7 Se suma 13 7 Se resta 6 Resultado b) Con signos de agrupación. El proceso para resolver operaciones de este tipo se enuncia a continuación: Regla básica: Para resolver operaciones combinadas con signos de agrupación se hace lo siguiente: 1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha. 2. Se resuelven primero las operaciones que están en los paréntesis . 3. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan. 3. Por último se efectúan las sumas y restas. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 41 1 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 1: 4 x (12 – 8) + 5 – 3 x (7 – 5) Proceso de solución: 4 12 8 5 3 7 5 Se resta Se resta 4 4 5 3 2 Se multiplica Se multiplica 16 56 Se suma 21 6 Se resta 15 Resultado Ejemplo 2: 3 x 4 + [2 x (30 – 5 x 4)] Proceso de solución: 3 4 2 30 5 4 Se multiplica 20 3 4 2 30 Se resta 3 4 210 Se multiplica 3 4 20 Se suma 3 24 Se multiplica 72 Resultado 42 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 32/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 33/ 143 Ejemplo 3: 12 – 4 + [4 x (30 ÷ 5 – 4)] Proceso de solución: 12 4 4 30 5 4 Se divide 12 4 4 6 4 Se resta 12 4 4 2 Se multiplica 12 4 8 Se suma 12 12 Se resta 0 Resultado EJERCICIO PRÁCTICO 1) Efectúe las siguientes restas a. 640 ÷ 20 b. d. 1,972 ÷ 75 e. g. 10,608 ÷ 136 h. j. 6,324 ÷ 0 k. 95 ÷ 8 4200 ÷ 28 300 300 16,416 ÷ 36 c. f. i. l. 624 ÷ 12 9900 ÷ 100 7940 ÷ 7,940 39664 ÷ 535 2) Resuelva los siguientes problemas a) Para construir un metro cuadrado de pared de bloque se necesitan aproximadamente 13 bloques, si un albañil pegó 1,560 bloque, ¿Cuántos metros cuadrados de pared construyó? b) En la compra de 176 bolsas de cemento Doña Ana pagó Lps. 25,520.00, ¿Cuál es el costo de cada bolsa de cemento? MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 43 3 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 34/ 143 c) Pinte la siguiente figura usando los colores azul, rojo, verde y amarillo, de tal forma que dos colores no queden juntos. 44 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Competencia No.01 Co Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 35/ 143 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Breve reseña histórica de los números enteros Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad. El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles. No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India. Desde épocas remotas, 400 a. c., los chinos realizaban sus cálculos aritméticos utilizando pequeñas varillas. En la siguiente lámina se muestran los símbolos chinos del 1 al 9 que utilizaban. Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Unidades Cientos Diez Miles Dieces Miles Para representar un número alternaban el uso de estos símbolos tal como se ilustra con y tachaban la representación la representación del número 94,571: del número para los negativos, por ejemplo -806: Los números negativos y su uso Definición Los números negativos son los opuestos de los números positivos, se utilizan para representar cantidades menores que cero. El cero no tiene opuesto. Por ejemplo para poder representar cantidades tales como: temperaturas bajo cero, pérdidas en los negocios, distancias que están por debajo del nivel del mar, partículas que desaceleran y otras similares se usan los negativos. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 45 5 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 36/ 143 En la recta numérica la representación sería la siguiente: a) El opuesto de 3 es -3: -3 -2 -1 0 1 2 3 Observe que el –3 y el 3 están a la misma distancia del cero. b) El opuesto de −6 es 6. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Observe que el –6 y el 6 están a la misma distancia del cero. Ejemplos del uso de los negativos 1) 46 4 El siguiente mapa muestra el pronóstico de la temperatura de la tierra para el 30 de noviembre de 2012. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 37/ 143 La convención utilizada es que para nombrar temperatura mayores que cero se utilizan números positivos y las temperaturas menores que cero se representan con números negativos, tanto en grados Centígrados como en grados Fahrenheit. En el mapa se usan colores para representar el grado de calor o de frío. El instrumento para medir temperatura se llama termómetro, estos están hechos de mercurio, un metal líquido sensible a los cambios de temperatura. Los siguientes ejemplos nos muestran diversas temperaturas medidas con un termómetro: Tenemos las temperaturas de las siguientes ciudades: Ciudad Temperatura ayer Temperatura hoy Cambio de temperatura Lempira 26° 28° +3° (positivo 3 grados) La Esperanza 18° 15° -3° (negativo 3 grados) La Ceiba 36° 36° 0° (no hay cambios) Proceso de solución 1º Como la temperatura en Lempira va de menor a mayor, entonces: De 250 C cambia a 280 C La diferencia es de 30 2º Como la temperatura en La Esperanza va de mayor a menor, entonces: De 180 C cambia a 150 C La diferencia es de 30 3º Como la temperatura en Ceiba no cambia, entonces: De 360 C permanece en 150 C No hay cambios , la diferencia es de 00 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 47 7 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 38/ 143 En las siguientes figuras de termómetros se marcarán determinadas temperaturas, los tipos van desde los convencionales hasta los electrónicos 3) Un buzo profesional está midiendo los cambios en las corrientes internas del mar, para eso se está sumergiendo a determinadas profundidades. Ha hecho los siguientes descensos: bajo 20m y luego subió 12m, desde esa posición bajó 3m y subió 8m. Por último desde esa posición subió 2m y bajó 13m. ¿A qué profundidad se encuentra? La convención a utilizar es la siguiente: bajar = signo -, subir = signo + 48 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Competencia No.01 Co Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 39/ 143 Las posiciones mostradas son las siguientes: Proceso de solución 1º 2º 3º 4º 5º 6º Bajo 20 metros, está en la posición -20, se lee negativo 20. Subió 12m, es decir -20 + 12 = -8, está a una profundidad de 8 m. Bajo 3 m, es decir –8 + (-3) = -11 , está a 11m de profundidad. Subió 8m, es decir –11 + 8 = -3, está a 3m de profundidad. Subió 2m, es decir –3 + 2 = -1, está a 1m de profundidad. Bajo 13m, es decir –1 + (- 13 ) = -14, está a 14 metros de profundidad . Definición del conjunto de los números enteros El Conjunto de los Números Enteros (Z): Es el conjunto que está formado por la unión de los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los elementos de cada uno de estos subconjuntos es el siguiente: Enteros positivos: N+ = {1,2,3,4,5,...} El conjunto unitario cero = {0} Enteros negativos: N− = {-1, -2, -3, -4, -5,...} En símbolos se define así: N = N− U{0}UN+ Representación gráfica de enteros Para representar enteros en la recta numérica se divide la recta en unidades tal como se hizo para representar naturales, el cero divide los enteros positivos de los negativos. Los positivos van de uno en uno a la derecha del cero y los negativos van de menos uno en menos uno a la izquierda de cero. Los negativos van precedidos del signo menos. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Representación de subconjuntos de números enteros Ejemplo1: A = {−6, −1, 0, −4, 5, 7} -6 -5 -4 -3 MÓDULO No.3 -2 -1 0 1 2 MATEMÁTICAS 3 4 5 6 7 49 9 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Ejemplo 2: Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 40/ 143 B = {−6, −4, −2, 0, 2,4,6}, son los enteros pares de -6 a 6. Ejemplo 3: C = {zN: –5 z <4}, son los enteros entre -5 y 4. El símbolo significa que incluye al -5 y el símbolo < significa que no incluye al 4. El valor absoluto de números enteros Para ilustrar el concepto de valor absoluto de un número entero, supóngase que hay dos autos que parten de un mismo punto, viajan en sentido opuesto a una velocidad de 70 Km/h, eso significa que en una hora recorren 70 Km. Represente en la recta numérica la distancia recorrida de los autos después de 3 horas. La imagen nos muestra que a las 3 horas ambos autos han recorrido 210 Km, sea que lo hagan en el sentido de los números positivos o de los números negativos. Hay cantidades que son siempre positivas, como en este caso la distancia recorrida por un auto. Hay otras que también lo son, por ejemplo: el tiempo, el perímetro, el área de una figura geométrica y el volumen de los cuerpos. Definición de valor absoluto: a) De un entero positivo: Es el mismo entero positivo dado. b) De cero: Es cero. c) De un entero negativo: Es el opuesto del entero negativo dado, es decir un entero positivo. El valor absoluto de un entero a se representa por |a| 50 5 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 41/ 143 Calcule el valor absoluto de los siguientes números enteros: a) |89| = 89 Como el entero es positivo, el valor absoluto es el lmismo entero dado. b. |–356| = 356 Como el entero es negativo, el valor absoluto es el opuesto del enetero dado. c. |0| = 0 El valor abasoluto de cero es cero. d. |1,489| = 1,489 Como el entero es positivo, el valor absoluto es el mismo entero dado. e. |–233,196| = 233,196 Como el entero es negativo, el valor absoluto es el opuesto del numero dado. Operaciones con números enteros a) Adición de Números Enteros de igual signo. Regla Para sumar enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de los enteros y se copia el signo que tengan. Si los enteros son positivos, la suma es positiva. Si los enteros son negativos, la suma es negativa 1) Ejemplo de suma de negativos: (–21,143) + (–49) + (–602) + (–8,371). 2 1 1 4 3 4 9 6 0 2 8 3 7 1 3 0 1 6 MÓDULO No.3 5 Proceso de solución 1. Se ubican los números en las posiciones correctas. 2. Se suman los valores absolutos de los enteros, es decir como si fueran positivos. 3. Al resultado de la suma se le agrega el signo de los enteros, en este caso el negativo. 4. El resultado es negativo treinta mil ciento sesenta y cinco. MATEMÁTICAS 51 1 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 2) Ejemplo de suma de positivos: 123 + 321 + 45 + 97. Proceso de solución: 1. Es el mismo proceso de suma de naturales, se ubican los números en las posiciones correctas 2. Se suman los enteros positivos 3. Como los números son positivos, no es necesario agregarle el signo + al resultado 4. El resultado es positivo quinientos ochenta y seis 1 2 3 3 2 1 4 5 9 7 5 8 6 3) Ejemplo de suma de negativos: (–143) + (–89) + (–712) + (–94) 1 4 3 8 9 7 1 2 9 4 1 0 3 8 Proceso de solución: 1. Se ubican los números en las posiciones correctas 2. Se suman los valores absolutos de los enteros, es decir como si fueran positivos 3. Al resultado de la suma se le agrega el signo de los enteros, en este caso el negativo 4. El resultado es negativo mil treinta y ocho Adición de números enteros de distinto signo Regla Para sumar enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de los enteros y se copia el signo que tengan. Si los enteros son positivos, la suma es positiva. Si los enteros son negativos, la suma es negativa. 1) Ejemplo de suma de negativos: 143 + (–49). 143 49 94 52 5 Proceso de solución: 1. Se escribe primero 143, porque es el entero de mayor valor absoluto, luego se escribe – 49 porque es el de menor valor absoluto. 2. Se restan los números y la diferencia será positiva porque 143 es positivo. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 42/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 43/ 143 2) Ejemplo de suma de un negativo con un positivo: 123 + 321 + 45 + 97 4919 2456 Proceso de solución 1. Se escribe primero - 4919, porque es el entero de mayor valor absoluto, luego se escribe 2456 porque es el de menor valor absoluto. 2. Se restan los números y la diferencia será negativa porque - 4919 es negativo. 2485 3) Suma de varios positivos con varios negativos: (–143) + (–49) + (–78) + 658 + 124 Proceso de solución 1. Se suman los enteros positivos. 143 658 124 925 49 78 2. Se suman los enteros negativos. 127 3. Se restan los resultados 925 127 El resultado es setecientos noventa y ocho 798 4. Suma de varios positivos con varios negativos: (–13,456) + 10,905 + (–19,121) + (–3,456) + 11,005 Proceso de solución: 1. Se suman los enteros positivos. 10905 11005 21910 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 53 3 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 2. Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 44/ 143 13106 19121 Se suman los enteros negativos. 3456 35683 35683 3. Se restan los resultados. 21910 El resultado es negativo trece mil setecientos 13773 setenta y tres. 5) Una hormiga subía y bajaba de un árbol, si subía el número era positivo, si bajaba era negativo. Empezando desde el cero, subió 3, bajo 8, bajó 2, subió 15 y bajó 10. ¿En qué posición se encuentra? Proceso de solución: 1. Planteamiento de la operación: 3 – 8 – 2 + 15 –10. 2. Suma de positivos: 3 + 15 = 18. 3. Suma de negativos: –8 – 2 – 10 = –20. 4. Se restan los resultados: –20 + 18 = –2. 5- La hormiga está en la posición -2 Resta de enteros Definición Dados dos números enteros cualquiera a, b; se define la resta de a con b como: a – b = a + ( - b ). Después de este planteamiento la operación puede resultar en una suma de enteros de igual o de distinto signo Ejemplos de resta de enteros 1) Reste 5267 de 6184. Proceso de solución: 1. Se identifica el minuendo y el sustraendo: 6184 es el minuendo porque le antecede la palabra de, 5267 es el sustraendo porque le antecede la palabra reste. 2. Se plantea la operación como una resta: 6184 – 5267. 3. Se resuelve la operación resultante: 54 5 MÓDULO No.3 6184 5267 917 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 45/ 143 2) De – 264 reste 190. Proceso de solución 1. Se identifica el minuendo y el sustraendo: - 264 es el minuendo porque le antecede la palabra de, 190 es el sustraendo porque le antecede la palabra reste. 2. Se plantea la operación como una suma de negativos: - 264 - 190. 3. Se resuelve la operación resultante: 6184 5267 El resultado es novecientos diecisiete. 917 3) De – 1500 reste – 2800. Proceso de solución 1. Se identifica el minuendo y el sustraendo: - 1500 es el minuendo porque le antecede la palabra de, - 2800 es el sustraendo porque le antecede la palabra reste. 2. Se plantea la operación: - 1500 - ( - 2800 ), tomaremos por regla que dos signos negativos resultan en un positivo. Entonces la operación es: - 1500 + 2800. 3. Se resuelve la operación resultante: 2800 1500 El resultado es mil trecientos. 1300 4) Efectúe: – 17823 - ( - 23459 ). Proceso de solución: 1. La operación resulta en: - 17823 + 23459. 2. El resultado de la operación es: 5636. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 55 5 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 46/ 143 Multiplicación de enteros Para efectuar la multiplicación de enteros se utiliza la ley de los signos para la multiplicación, esta se define a continuación: Ley de los signos y su significado 1) + x + = +, se lee “más por más da más”, esto significa que al multiplicar dos enteros positivos, el resultado es un entero positivo. 2) - x - = +, se lee “menos por menos da más” esto significa que al multiplicar dos enteros negativos, el resultado es un entero positivo. 3) + x - = -, se lee “más por menos da menos” esto significa que al multiplicar un número positivo con uno negativo el resultado es un entero negativo. 4) - x + = -, se lee “menos por más da menos” esto significa que al multiplicar un entero negativo con uno positivo el resultado es un entero negativo. Ejemplos de multiplicación de enteros: El proceso de multiplicar. Ejemplo 1: Multiplicación de dos positivos: 345 X 7 = 2415 345 multiplicando 7 multiplicador 2415 producto Proceso de solución 1. Se multiplican los enteros. 2. Los dos enteros son positivos, según la ley de los signos el resultado será un entero positivo, es el mismo caso de multiplicación de naturales. 3. El resultado es 2,415. Ejemplo 2: Multiplicación de dos negativos: (–9,127)(–76) = 693,652 9 1 2 7 7 6 5 4 7 6 2 6 3 8 8 9 6 9 3 6 56 5 Proceso de solución: Se multiplican los enteros. Aplicando la ley de los signos el resultado es un entero positivo. 3. El resultado de la multiplicación es 693,652. 1. 2. 5 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 47/ 143 Ejemplo 3: Producto de un negativo con un positivo: –825 X 623 = 513,975. 8 2 5 6 2 3 Proceso de solución: 1. Se multiplican los enteros como si fueran positivos. 2. Aplicando la ley de los signos el resultado es un entero negativo. 1. El resultado de la multiplicación es – 513,975. 2 4 7 5 1 6 5 0 4 9 5 0 5 1 3 9 7 5 Ejemplo 4: Producto de un positivo con un negativo: 105 X (–407) = – 42,735. Proceso de solución 1. Se multiplican los enteros como si fueran positivos. 2. Aplicando la ley de los signos el resultado es un entero negativo. 3. El resultado de la multiplicación es – 42,735. 105 407 735 4200 42735 Ejemplo 5: Producto de tres enteros: (–24)(73)(102). Proceso de solución 1. Se multiplican los dos primeros enteros: (–24)(73) = –1752. 24 73 72 168 1752 2. Se multiplica: (–1752)(102). 1 7 5 2 1 0 2 3 5 1 7 5 0 4 El resultado de la multiplicación es – 178,704. 2 0 1 7 8 7 0 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 57 7 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Ejemplo 6: Producto de cuatro enteros: (–4)(12)(–7)(–19). Proceso de solución 1. Se multiplican los dos primeros enteros: (–4)(12). - 4 x 12 = - 48, por la ley de los signos el resultado es negativo. 2. Se multiplica: - 48 x ( -7 ) = 336, por la ley de los signos el resultado es positivo. 3. Se multiplica: (–336)(–19). 3 3 6 1 9 3 0 2 4 3 3 6 6 3 8 4 4. El resultado de la multiplicación es 6,384. Ejemplo 7: Producto de cuatro enteros: (10)(2)(–3)(–215). Proceso de solución: 1. Se multiplican los dos primeros enteros: (10)(2). 10 x 2 = 20, por la ley de los signos el resultado es positivo. 2. Se multiplica: (20)(–3). 20 x ( - 3 ) = - 60, por la ley de los signos el resultado es negativo. 3. Se multiplica: (–60)(215). 6 0 2 1 5 3 0 0 6 0 1 2 0 1 2 9 0 0 4. El resultado de la multiplicación es 12,900. 58 5 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 48/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 49/ 143 La división de enteros Para efectuar el cociente de enteros se utiliza la ley de los signos para la división, esta se define a continuación: Ley de los signos y su significado 1) + ÷ + = +, se lee “más entre más da más”, esto significa que al dividir dos enteros positivos, el resultado es un entero positivo. 2) - ÷ - = +, se lee “menos entre menos da más”, esto significa que al dividir dos enteros negativos, el resultado es un entero positivo. 3) + ÷ - = -, se lee “más entre menos da menos”, esto significa que al dividir un número positivo con uno negativo el resultado es un entero negativo. 4) - ÷ + = -, se lee “menos entre más da menos”, esto significa que al dividir un entero negativo con uno positivo el resultado es un entero negativo. Ejemplos de división de enteros Ejemplo 1: División por dos cifras: (–6,225)÷ (–83). 83 75 6225 600 225 225 Proceso de solución 1. Se dividen los enteros positivos. 2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es positivo. 3. El resultado es 75. 000 Ejemplo 2: División por tres cifras: 8,375 ÷ (–125). 67 125 8375 750 875 Proceso de solución 1. Se dividen los enteros como si fueran positivos. 2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es negativo. 3. El resultado es – 67. 875 000 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 59 9 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Ejemplo 3: División con residuo distinto de cero: (–1400) ÷ 41. 100 41 4100 41 00 00 Proceso de solución 1. Se dividen los enteros como si fueran positivos. 2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es negativo. 3. El resultado es – 100. 000 Ejemplo 4: División con residuo distinto de cero: (–2,987) ÷ 93. 32 93 2987 279 0197 186 Proceso de solución 1. Se dividen los enteros como si fueran positivos. 2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es negativo. 3. El resultado es – 32, sobrando 11. 011 Ejemplo 5: División con residuo distinto de cero: (10000) ÷ (–42). 238 42 10000 84 160 126 Proceso de solución 1. Se dividen los enteros como si fueran positivos. 2. Aplicando la ley de los signos, el cociente es negativo. 3. El resultado es – 238, sobrando 4. 0340 336 004 60 6 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 50/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 51/ 143 Operaciones combinadas de enteros Las reglas para resolver operaciones combinadas con enteros son las mismas que se utilizan para naturales: Regla básica Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente: 1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha. 2. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan. 3. Por último se efectúan las sumas y restas. 1. Sin signos de agrupación Ejemplo 1: Efectúe 2 – 5 x 4 – 12 ÷ 2 – 7. Proceso de solución 2 5 4 12 27 Se multiplica Se divide 2 20 6 7 Se resta 18 6 7 Se suma 24 7 Se resta 17 Resultado MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 61 1 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Ejemplo 2: Efectúe –8 + 20 ÷ 4 + 12 – 6 x 2 + 2. 8 20 4 12 6 2 2 Se divide Se multiplica 8 5 12 12 2 Se resta 3 12 12 2 Se resta 9 12 2 Se resta 3 2 Se suma 1 Resultado Ejemplo 3: Efectúe 8 + 20 x 4 – 12 + 6 x 2 – 13. 8 20 4 12 6 2 13 Se multiplica Se multiplica 8 80 12 12 13 Se suma 88 12 12 13 Se resta 76 12 13 Se suma 88 13 Se resta 75 Resultado 62 6 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 52/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Competencia No.01 Co Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 53/ 143 Ejemplo 4: Efectúe 100 ÷ 20 – 200 ÷ 10. Proceso de solución 100 20 200 10 Se divide Se divide 5 20 Se resta 15 Resultado 2. Con signos de agrupación Regla básica Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente: 1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha. 2. Se resuelven primero las operaciones que están dentro de los paréntesis. 3. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan. 4. Por último se efectúan las sumas y restas. Ejemplo 1: 4 x (–12 – 8) + 5 – 3 x (7 + 5). Proceso de solución 4 12 8 5 3 7 5 Se suma Se suma 4 20 5 312 Se multiplica Se multiplica 80 5 36 Se resta 76 36 Se suma 112 Resultado MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 63 3 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Ejemplo 2: 3 x {–4 ––} Proceso de solución 3 4 2 30 5 4 Se multiplica 3 4 2 30 20 Se resta 3 4 210 Se multiplica 3 4 20 Se suma 3 24 Se multiplica 72 Resultado Ejemplo 3: 12 – {4 – –÷} Proceso de solución 12 4 4 30 5 4 Se divide 12 4 4 6 4 Se suma 12 4 4 10 Se multiplica 12 4 40 Se resta 36 12 Se resta 24 Resultado 64 6 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 54/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 55/ 143 EJERCICIO PRÁCTICO 1) Represente en la recta numérica los siguientes subconjuntos de enteros. A 12, 3, 4, 0, 8, 15 B z : 12 z 8 C z : z es un entero par entre 11 y 11 D z : z es un entero impar entre 8 y 12 2) Calcule el opuesto de los siguientes enteros. a) c) e) 3) 4) El opuesto de 345 es: _____ El opuesto de – 10,000 es: ______ El opuesto de 13,132 es: _____ b) El opuesto de - 52 es: _____ d) El opuesto de 0 es: _____ f) El opuesto de - 910 es: _____ Calcule el valor absoluto de los siguientes enteros. a ) 24,525 _____ b) 2,327 _____ c) 802 _____ d ) 52 _____ e) 100 _____ f ) 924 _____ e) 0 _____ g ) 10 _____ Efectúe las siguientes sumas y restas de enteros. a) –32 – 67 – 58 – 90 – 32 – 45 – –13 – 68 b) 134 + 3456 + 980 – 2435 – 7686 c) –2435 + 8970 + 24354 – 65758 d) –1829 – 4566 – 9780 – 6452 – 4563 e) Reste –234 de 3454 f) De 8695 reste –23435 g) Reste –23435 de –4565 h) De –5309 reste 12324 i) 435 + 970 + 354 – 658 j) –129 – 456 –980 – 652 – 563 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 65 5 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 6) Efectúe las siguientes multiplicaciones. a) (–34)(87)(16) b) (–1)(–3)(–7)(–12)(–19) c) –14235 x 9876 d) 87 x – 10000 e) (67)(8)(–9)(3) f) (–4)(–87)(–106) g) (34)(7)(–16) h) i) j) k) l) m) n) 14235 x –76 –870 x –100 (–7)(8)(–6)(–3) –87 x (–100) (–870)(–100) (–67)(–8)(–9)(–3) (–11)(–2)(6)(–3) 7) Efectúe las siguientes divisiones. a) –9 ÷ 87 b) –12890 ÷ 120 c) 45675 ÷ (–45) d) 3654 ÷ (–96) e) –3654 ÷ 24 f) –457 ÷ –87 g) –1290 ÷ –129 h) i) j) k) l) m) n) –455675 ÷ (–450) 364 ÷ 4 4689 ÷ 63 –3654 ÷ 24 –364 ÷ (–4) 54689 ÷ (–96) –4689 ÷ 63 8) Efectúe las siguientes operaciones combinadas. a) 3 + 7 x (5 + (8 – 7 x 2)) b) (2 + 9) + (–7 –5) + 8 – 12 + (7 – 13) c) –150 + 2 x {4 + –6 + 4 x (8 + 20 ÷ (–4))} d) –35 + 3 x(3 – 4 x 24 – 7 – 5(3 – 12)) e) (645 – 657)(–7689 + 7789)(1 – 101) f) 5 + 3 – (3 + 2 x 4 – 3 – 5 x (3 – 4)) g) (–45 – 657)(–79 + 77)(102 – 101) 9) Resuelva los siguientes problemas de aplicación. 56/ 143 a) El siguiente cuadro muestra las temperaturas promedios de algunas ciudades de América, calcule el cambio de temperatura de las ciudades de un día a otro: País Ciudad Temperatura ayer Temperatura hoy Cambio de temperatura 66 6 Venezuela Caracas EE UU México Los Ángeles Distrito Federal Honduras Tegucigalpa Canadá Ottawa EE UU New York 24° 19° 38° 29° -6° 0° 32° 12° 33° 29° -2° -10° MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 57/ 143 b) Un buzo profesional está midiendo los cambios en las corrientes internas del mar, para eso se está sumergiendo a determinadas profundidades. Ha hecho los siguientes descensos: bajo 28m y luego subió 10m, desde esa posición subió 8m y subió 5m. Por último desde esa posición subió 7m y bajó 12m. ¿A qué profundidad se encuentra? c) El salario recibido por David este mes fue de Lps. 9,000.00. Los gastos que pagará para fin de mes son de: Lps. 4500.00 en casa, Lps. 234.00 en agua, Lps. 789.00 en luz, Lps. 2100.00 en alimentos, Lps. 1980.00 en otros gastos ¿Es suficiente lo que recibirá para cubrir los gastos?, ¿Cuánto le falta o cuánto le sobra a David? d) Dos autos parten de un mismo punto, viajan en sentido opuesto a una velocidad de 100 Km/h, eso significa que en una hora recorren 100 Km. Represente en la recta numérica la distancia recorrida de los autos cada hora. e) Dos autos parten de un mismo punto y avanzan en sentido contrario, el primero a 80 Km / h y el otro a 60 Km / h. ¿En cuánto tiempo están a una distancia de 240 Km uno del otro? DIVISIBILIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO Múltiplo de un número entero Supóngase que una ranita da saltos sobre una línea recta, en cada salto avanza 3 unidades. Si ubicáramos a la ranita en un número negativo cualquiera de la recta numérica, las posiciones en que la ranita caería en al saltar serían las siguientes: ..., –18, –15, –12, –9, –6, –3, 0, 3, 6, 9, 12,15,18, ... y así sucesivamente. Esta situación ilustra lo que llamamos los múltiplos de un número: Definición Dado un número entero a cualquiera, el conjunto de los múltiplos de a está formado por el producto del número a con cada uno de los elementos del conjunto de los números enteros. Este conjunto se representa por M(a). MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 67 7 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 58/ 143 Ejemplo1: Calcule los múltiplos de 6 y 22 Múltiplos de 6 6x0=0 6x1=6 6 x (–1) = –6 6 x 2 = 12 6 x (–2) ) –12 6 x 3 = 18 6 x (–3) = –18 6 x 4 )= 24 6 x (–4) = –24 M(6) = {0, ±6, ±12, ±18, ±24...} Múltiplo de 22 22 x 0 = 0 22 x 1 = 22 22 x (–1) = –22 22 x 2 = 44 22 x (–2) = –44 22 x 3 = 66 22 x (–3) = –66 22 x 4 = 88 22 x (–4) = –88 M(6) = {0, ±22, ±44, ±66, ±88...} Propiedades del conjunto de los múltiplos de un número entero Con los dos ejemplos anteriores podemos hacer algunas observaciones importantes: Los múltiplos son positivos y negativos, eso se simboliza con ±. El cero es múltiplo de todo número entero. El conjunto de los múltiplos de un número es infinito. Todo número es múltiplo de sí mismo. Es importante determinar si un número es múltiplo de otro o no, para hacerlo se enuncia la siguiente propiedad: Dado dos números enteros a, b cualquiera, a es múltiplo de b si existe un tercer número entero m tal que a = m x b. Por ejemplo: 100 es múltiplo de 25 por que existe 4 tal que 100 = 4 x 25 - 80 es múltiplo de 10 por que existe – 8 tal que – 80 = - 8 x 10 7 no es múltiplo de 23 por que no existe un entero m tal que 7 = m x 23 -30 no es múltiplo de 8 por que no existe un entero m tal que -30 = m x 8 68 6 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 59/ 143 El conjunto de los divisores de un número Para calcular los divisores de un número entero se utilizará la división de enteros. Para ilustrarlo se tiene el siguiente juego: Hay una tabla con 12 agujeros marcados en las orillas con los números del 1 al 12. Se lanza una pelota y si esta cae en número donde la división por 12 es exacta el jugador gana 10 lempiras sino pierde lo que sobra de la división. ¿En qué agujeros debe caer la pelota para ganar? Proceso de solución: 1. Divida 12 por cada número del 1 al 12 12 ÷ 1 = 12 12 ÷ 2 = 6 12 ÷ 3 = 4 12 ÷ 4 = 3 12 ÷ 5 = 2 sobrando 2 12 ÷ 6 = 6 12 ÷ 7 = 1 sobrando 5 12 ÷ 8 = 1 sobrando 4 12 ÷ 9 = 1 sobrando 3 12 ÷ 10 = 1 sobrando 2 12 ÷ 11 = 1 sobrando 1 12 ÷ 12 = 1 2. Para ganar siempre el juego la pelota debe caer en los agujeros marcados con los números 1, 2, 3, 4, 6, y 12 porque en esos números la división es exacta. Este ejemplo ilustra los divisores de un número, que se define así: Definición Dado un número entero a cualquiera, a ≠ 0, el conjunto de los divisores de a está formado por los cocientes del número a dividido con ±1, ±2, ±3, ±4, ...±a, tal que la división tenga residuo cero. Es decir, las divisiones son exactas. Este conjunto se representa por D(a). En el ejemplo anterior, D(12) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} Calcule los divisores de 20, 45, 13, 29 y 25. Proceso de solución: 1. Divida 20 por cada número del 1 al 20 y tome los cocientes donde la solución es exacta. Se hace lo mismo para 45, 13, 29 y 25. 20 ÷ 1 = 20 20 ÷ 2 = 10 20 ÷ 4 = 5 20 ÷ 10 = 2 20 ÷ 20 = 1 40 ÷ 1 = 45 45 ÷ 3 = 15 45 ÷ 5 = 9 45 ÷ 15 = 3 45 ÷ 45 = 1 MÓDULO No.3 13 ÷ 1 = 13 MATEMÁTICAS 29 ÷ 1 = 29 25 ÷ 1 = 25 69 9 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 60/ 143 2. Se han tomado solo las divisiones exactas, los divisores de esos números son: D(20) = {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20} D(45) = {±1, ±3, ±5, ±15, ±45} D(13) = {±1, ±13} D(29) = {±1, ±29} D(25) = {±1, ±5, ±25} Propiedades del conjunto de los divisores de un número entero Con los dos ejemplos anteriores podemos hacer algunas observaciones importantes: Los divisores son positivos y negativos, eso se simboliza con ±. El cero no es divisor de ningún número entero. El uno es divisor de todo número entero. El conjunto de los divisores de un número es finito. Todo número es divisor de sí mismo. Es importante determinar si un número es divisor de otro o no, para hacerlo se enuncia la siguiente propiedad: Dado dos números enteros a, b cualquiera, con el valor absoluto a mayor que valor absoluto de b, a es divisor de b si existe un tercer número entero m tal que a = m x b, es decir se determina si el número a es múltiplo del número b. Por ejemplo 10 es divisor de 50 porque existe 5 tal que 50 = 5 x 10. - 8 es divisor de 160 porque existe – 20 tal que 160 = - 20 x ( - 8 ). 7 no es divisor de 15 porque no existe un entero m tal que 15 = m x 7. -3 no es divisor de 8 porque no existe un entero m tal que 8 = m x ( - 3 ). Al número 1 y al mismo número se les llama divisores triviales. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS En los ejemplos de los divisores de un número entero se calcularon los divisores de 13 y 29: D(13) = {±1, ±13} D(29) = {±1, ±29} Los divisores de 20, 45 y 25 además de los triviales tienen otros divisores, debido a esta característica los enteros se dividen en primos y compuestos: 70 7 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 61/ 143 Número primo Son los números enteros que sólo tienen como divisores a los triviales, es decir ±1 y el mismo número. Número compuesto Son los números esteros que tienen otros divisores además de los triviales. Matemático griego llamado Eratóstenes de Cirene, (del siglo III a. C). Fuente: http//www.wikipedia.org/wiki/Eratóstenes. Este matemático encontró una forma muy ingeniosa de hallar los número primos entre 1 y 100. Las instrucciones son las siguientes: Enumere en filas de 10, los números del 1 al 100. Tache el número 1. Tache los múltiplos de 2, sin tachar el 2, si está tachado, déjelo tachado. Tache los múltiplos de 3, sin tachar el 3, si está tachado, déjelo tachado. Tache los múltiplos de 4, sin tachar el 3, si está tachado, déjelo tachado. Tache los múltiplos de 5, sin tachar el 3, si está tachado, déjelo tachado. Se sigue este proceso hasta llegar a 50. A esta tabla se le llama Tabla Criba (escrita en piedra) o de Eratóstenes, en honor al matemático que la inventó. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 71 1 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 62/ 143 En la tabla en lugar de tachar como lo indicó el matemático, se coloreó, pero el resultado es el mismo. De color verde se colorearon los múltiplos de 2, no se tachó el 2. De color azul se colorearon los múltiplos de 3, no se tachó el 3. Los múltiplos de 4 estaban todos coloreados, incluso el 4. De color anaranjado se colorearon los múltiplos de 7, no se coloreó el 7. Se continúa el proceso hasta que ya no haya números que colorear. En la tabla se ven algunos números sin colorear, estos son los números primos que hay entre el 1 y el 100. Vale destacar que el único primo par que hay es el 2. LISTA DE NÚMEROS PRIMOS DEL 1 AL 100 2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31,37, 41, 43, 47,53,59, 61, 67, 71, 73, 79,83,97 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un criterio de divisibilidad la condición que debe cumplir un número para que sea o no divisible por otro. A continuación se definen los criterios de divisibilidad más utilizados. Criterio de divisibilidad por 2 Regla Un número entero a es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par. Esto quiere decir que la cifra de las unidades del número es par y por lo tanto que el número a es múltiplo de 2. En este caso se dice que el número tiene mitad entera. Ejemplos 72 7 230 es divisible por 2, porque termina en 0, es decir la mitad de 230 es 135 -98 es divisible por 2, porque termina en 8, es decir la mitad de -98 es -49 12,346 es divisible por 2, porque termina en 6, es decir que la mitad de 12,346 es 6,173. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 63/ 143 Criterio de divisibilidad por 3 Regla Un número entero a es dividido por 3 si al sumar el valor absoluto de las cifras del número el resultado es un múltiplo de 3. Esto quiere decir que el número a es múltiplo de 3. En este caso se dice que el número tiene tercera entera. Ejemplos: 231 es divisible por 3, porque 2 + 3 + 1 = 6 que es múltiplo de 3, la tercera de 231 es 77. - 984 es divisible por 3, porque 9 + 8 + 4 = 21, que es múltiplo de 3, la tercera de -984 es - 328. 12,341 no es divisible por 3, porque 1 + 2 + 3 + 4 + 1 = 11, que no es múltiplo de 3, es decir que la tercera parte de 12,341 no es entera. - 1110 es divisible por 3, por que 1 + 1 + 1 + 0 = 3, que es múltiplo de 3, la tercera - 1110 es - 370 . Criterio de divisibilidad por 5 Regla Un número entero a es divisible por 5 si termina en cero o 5. Esto quiere decir que la cifra de las unidades del número es cero o es 5 y por lo tanto que el número a es múltiplo de 5. En este caso se dice que el número tiene quinta entera. Desarrollo de ejemplos aplicando la regla: 230 es divisible por 5, porque termina en 0, es decir la quinta de 230 es 46. -195 es divisible por 5, porque termina en 5, es decir la quinta de - 195 es -139. 12,347 no es divisible por 5, porque no termina en 5, es decir que la quinta de 12,347 no es entera. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 73 3 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Criterio de divisibilidad por 7 Regla Un número a es divisible por 7 si al separar la cifra de las unidades del enetero dado y multiplicarlo por 2, al restar el entero formado por las cifras restantes con el resultado obtenido es múltiplo de 7. Ejemplo 1: Determine si 1386 es divisible por 7. Proceso de solución 1. Se separa el 6 del número y queda 138. 2. Se multiplica: 6 x 2 = 12 . 3. Se resta: 138 – 12 = 126. 4. Verificar que 126 es múltiplo de 7: Como existe 18, tal que 126 = 18 x 7, entonces 1386 es divisible por 7. Ejemplo 2: Determine si -907 es divisible por 7. Proceso de solución: 1. Se toma el valor absoluto del número y se separa el 7 del número, queda 90. 2. Se multiplica: 7 x 2 = 14 . 3. Se resta: 90 – 14 = 76. 4. Como 76 no es múltiplo de 7, -907 no es divisible por 7. Criterio de divisibilidad por 11 Regla Un número entero a es divisible por 11 si la diferencia entre las cifras que ocupan una posición impar con las que ocupan una posición par es múltiplo de 11. Ejemplo 1: Determine si 2596 es divisible por 11. Proceso de solución: 1. Se separan las posiciones impares de las pares de izquierda a derecha: 2596 1 2 3 4 74 7 Las cifras en posiciones impares son: 2 y 9 Las cifras en posiciones impares son: 5 y 6 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 64/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 65/ 143 2. Se suma: 2 + 9 = 11 y 5 + 6 = 11 3. Se restan los resultados: 11 – 11 = 0 4. Como 0 es múltiplo de 11, el número 2596 es divisible por 11 Ejemplo 2: Determine si -10857 es divisible por 11. Proceso de solución 1. Se separan las posiciones impares de las pares de izquierda a derecha: 10857 12345 Las cifras en posiciones impares son: 1, 8 y 7 Las cifras en posiciones impares son: 0 y 5 2. Se suma: 1 + 8 + 7 = 16 y 0 + 5 = 5 3. Se restan los resultados: 16 – 5 = 11 4. Como 11 es múltiplo de 11, el número -10587 es divisible por 11 Ejemplo 2: Determine si 854 es divisible por 11. Proceso de solución 1. Se separan las posiciones impares de las pares de izquierda a derecha: 824 123 Las cifras en posiciones impares son: 8 y 4 Las cifras en posiciones impares son: 2 2. Se suma: 8 + 4 = 12 3. Se restan los resultados: 12 – 2 = 10 4. Como 10 es múltiplo de 11, el número 854 no es divisible por 11 A medida que el número primo es más grande, los criterios de divisibilidad son más complejos. Por eso para saber si un número entero es divisible por 13, 19, 23…, se vuelve más complicados, por eso se usa la división para determinar si un números es divisible o no por números primos más grandes. Ejemplos de divisibilidad por 13, 17 y 19 1274 es divisible por 13, por que 1274 ÷ 13 = 98 y el residuo es 0 1734 es divisible por 17, por que 1274 ÷ 17 = 102 y el residuo es 0 3135 es divisible por 19, por que 3135 ÷ 19 = 165 y el residuo es 0 14203 no es divisible por 13, por que 14203 ÷ 13 = 1092 y el residuo es 7 969 no es divisible ni por 7, ni por 11, ni por 13. Pero si por 17 y por 19 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 75 5 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 66/ 143 Sucede también que un número entero cualquiera puede ser divisible por varios números primos a la vez: Ejemplo 1. 300: Como termina en cero es divisible por 2 y por 5. Al sumar sus cifras: 3 + 0 + 0 = 3, resulta 3, que es múltiplo de 3, 300 es divisible por 3 . Ejemplo 2: 525 Como termina en 5 es divisible por 5. Al sumar sus cifras: 5 + 2 + 5 = 12, resulta 12, que es múltiplo de 3, luego 525 es divisible por 3. Al dividir 525 ÷ 7 = 75, el residuo es cero. Por eso 525 es divisible por 7. Aplicando los criterios de divisibilidad descritos anteriormente, en el siguiente cuadro se marcan los números por los que es divisible el entero dado: Número por el que es divisible Entero 2 455 1800 1267 93 132 4050 3 5 7 11 Descomposición de un entero en factores primos Descomponer un número entero en factores primos consiste es escribir el número en términos de productos donde los factores a multiplicar son todos números primos. Propiedad La descomposición de un entero en factores primos es única excepto por el orden. 76 7 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 67/ 143 Ejemplo 1: Ddescomponer en factores primos 340. 1. Descomposición del entero en factores primos. 340 2 340 tiene mitad , es divisible por 2 170 2 170 tiene mitad , es divisible por 2 85 5 85 es divisible por 5 17 17 17 es primo, es divisible por 17 1 2. Entero expresado en factores primos: 340 = 2 x 2 x 5 x 17 Ejemplo 2: Descomponer en factores primos 1275 1. Descomposición del entero en factores primos 2175 3 1275 tiene tercera, es divisible por 3 725 5 725 tiene, es divisible por 5 145 5 85 tiene, es divisible por 5 29 29 29 es primo, solo es divisible por 29 1 2. Entero expresado en factores primos: 1275 = 3 x 5 x 5 x 29 = 3 x 52 x 29 Ejemplo 3: descomponer en factores primos 1008 1. Descomposición del entero en factores primos 1008 2 1008 tiene mitad , es divisible por 2 504 2 504 tiene mitad , es divisible por 2 252 2 252 tiene mitad , es divisible por 2 126 2 102 tiene mitad , es divisible por 2 63 3 63 tiene tercera, es divisible por 3 21 3 21 tiene tercera, es divisible por 3 7 7 7 tiene tercera, es divisible por 7 1 2. Expresado en factores primos: 1008 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 24 x 32 x 7 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 77 7 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 68/ 143 Ejemplo 4: descomponer en factores primos 7425 1. Descomposición del entero en factores primos 7425 3 7425 tiene tercera, es divisible por 3 2475 3 2475 tiene tercera, es divisible por 3 825 3 825 tiene tercera, es divisible por 3 275 5 275 es divisible por 5 55 11 5 55 es divisible por 5 11 11 es primo, es divisible por 11 1 2. Expresado en factores primos: 1008 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 24 x 32 x 7 EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El máximo Común Divisor (mcd) Definición El Máximo Común Divisor de dos o más números, es el mayor divisor positivo común, distinto de uno, a los números dados. Se representa por mcd. Si el mayor divisor común a los números es uno, se dice que los números son primos relativos. Ejemplo 1: Para ilustrar esta definición, calcular los divisores de 20, 30 y 40 1. Se tomarán los divisores positivos a los números. D(20) = {1,2,3,4,10,20} D(30) = {1,2,3,10,30} D(40) = {1,2,4,5,8,10,20,40} 2. Los divisores comunes a los números son: 1, 2 y 10. El mcd (20, 30, 40) = 10, porque 10 es el mayor divisor común a los números dados. Ejemplo 2: Calcular los divisores de 6, 24 y 36 1. Se tomarán los divisores positivos a los números. D(6) = {1,2,3,6} D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} D(36) = {1,2,3,4,6,12,18,36} 78 7 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Competencia No.01 Co Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 69/ 143 2. Los divisores comunes a los números son: 1, 2, 3 y 6. El mcd (6, 24, 36) = 6, porque 6 es el mayor divisor común a los números dados. Ejemplo 3: Calcular los divisores de 8, 17 y 42 1. Se tomarán los divisores positivos a los números. D(8) = {1,2,4,8} D(17) = {1, 17} D(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42} 2. El único divisor común a los números es 1. El mcd (8, 17, 42) = 1, porque 1 es el mayor y único divisor común a los números dados. Cuando esto sucede se dice que los números son primos relativos. EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Definición El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números, es el menor múltiplo positivo común, distinto de cero, a los números dados. Se representa por mcm. Ejemplo 1: Para ilustrar esta definición, calcular los múltiplos de 20, 30 y 40 1. Se tomarán los múltiplos positivos a los números: M(20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260...} M(30) = {0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300...} M(40) = {0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, ...} 2. Los múltiplos comunes a los números son: 0, 120, 240; estos son infinitos pero el menor distinto de cero de ellos es 120. El mcm (20, 30, 40) = 120. Ejemplo 2: Calcular los divisores de 6, 24 y 36 1. Se tomarán los múltiplos positivos a los números. M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84...} M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...} M(36) = {0, 36, 72, 108, 144, 180, 216, ...} 2º: Los múltiplos comunes a los números son: 0 y 72, estos son infinitos pero el menor distinto de cero es 72. El mcm (6, 24, 36) = 72 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 79 9 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 70/ 143 Ejemplo 3: Calcular los divisores de 8, 12 y 6 1. Se tomarán los divisores positivos a los números. M88) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108,...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...} 2. Los múltiplos comunes a los números son 0, 24, 48, estos son infinitos pero el menor distinto de cero es 24. El mcd (8, 12, 6) = 24. El máximo Común Divisor y el Mínimo Común Múltiplo por descomposición en factores primos Regla para calcular el Máximo Común Divisor Se descomponen los números dados en factores primos, el mcd es el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Regla para calcular el Mínimo Común Múltiplo Se descomponen los números dados en factores primos, el mcm es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo 1: Calcular el mcd (20, 30, 40) y el mcm (20, 30, 40) 1. Se descomponen los números en factores primos. 20 2 10 2 5 5 1 30 2 15 3 5 5 1 40 2 20 2 10 2 5 5 1 2. Se expresan los números como el producto de los factores primos: 20 = 22 x 5 30 = 2 x 3 x 5 40 = 23 x 5 3. Se calcula el mcd (20, 30, 40) = 2 x 5 = 10, por que los factores comunes con el menor exponente son 2 y 5, su producto es 10. 4. Se calcula el mcm (20, 30, 40) = 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120, por que los factores comunes son 23 y 5. El factor no común es 3. El producto de ellos es 120. 80 8 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 71/ 143 Ejemplo 1: Calcular el mcd (150, 200) y el mcm (150, 200). 1- Se descomponen los números en factores primos de forma conjunta. 200 2 150 2 100 2 50 2 25 5 75 3 25 5 5 5 5 1 1 5 2. Se expresan los números como el producto de los factores primos: 150 = 2 x 3 x 52 200 = 23 x 52 3. Se calcula el mcd (20, 30, 40) = 2 x 52 = 2 x 25 = 50, por que los factores comunes con el menor exponente son 2 y 52, su producto es 50. 4. Se calcula el mcm (20, 30, 40) = 23 x 3 x 52 = 8 x 3 x 25 = 600, por que los factores comunes son 23 y 5. El factor no común es 3. El producto de ellos es 600. Descomposición conjunta de factores primos Ejemplo 1: Calcular el mcd (20, 30, 40) y el mcm (20, 30, 40) 1. Se descomponen los números en factores primos de forma conjunta. 20 10 5 5 5 1 30 15 15 15 5 1 40 2 2 es factor comun, todos los numeros tienen mitad 20 2 2 no es comun, solo 20 tiene mitad entera 10 2 2 no es comun, solo 10 tiene mitad entera 5 3 2 no es comun, solo 15 tiene tercera entera 5 5 5 es factor comun, todos los numeros tienen 5ta 1 2. Calcular el mcd (20, 30, 40), El mcd es el producto de los factores comunes en la descomposición conjunta. mcd (20, 30, 40) = 2 x 5 = 10 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 81 1 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 72/ 143 3. Calcular el mcm (20, 30, 40), El mcm es el producto de los factores comunes y no comunes en la descomposición conjunta. mcm (20, 30, 40) = 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120 Ejemplo 1: Calcular el mcd (150, 200) y el mcm (150, 200) 1. Se descomponen los números en factores primos de forma conjunta 150 75 75 75 25 5 1 200 2 2 es factor comun, los numeros tienen mitad 100 2 2 no es comun, solo 100 tiene mitad entera 50 2 2 no es comun, solo 50 tiene mitad entera 25 3 3 no es comun, solo 75 tiene tercera entera 25 5 5 es factor comun, los numeros tienen 5ta 5 5 5 es factor comun, los numeros tienen 5ta 1 2. Calcular el mcd (150, 200), El mcd es el producto de los factores comunes en la descomposición conjunta. mcd (150, 200) = 2 x 52 = 2 x 25 = 50 3. Calcular el mcm (150, 200), El mcm es el producto de los factores comunes y no comunes en la descomposición conjunta. mcm (20, 30, 40) = 23 x 3 x 52 = 8 x 3 x 25 = 600 82 8 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 73/ 143 EJERCICIO PRÁCTICO 1) Encuentre el conjunto de los múltiplos de los siguientes números enteros: a) c) e) g) i) M (75) = M (2344) = M (182) = M (99) = M (63) = b) d) f) h) j) M (100) = M (92) = M (314) = M (88) = M (111) = 2) Encuentre el conjunto de los divisores de los siguientes números enteros: a) c) e) g) i) D (75) = D (128) = D (92) = D (99) = D (29) = b) d) f) h) j) D (100) = D (81) = D (74) = D (67) = D (2000) = 3) Exprese los siguientes números enteros como el producto de sus factores primos e identifíquelos como primos o compuesto: a) c) e) g) i) 1000 = 234 = 97 = 625 = 875 = b) d) f) h) j) 1500 = 81 = 128 = 70 = 3000 = 4) Calcule el mínimo común múltiplo o máximo común divisor de los siguientes enteros usando descomposición en factores primos: a) c) e) g) i) mcm (12, 24, 36) = mcd (15, 40, 60) = mcm (100, 250, 400) = mcm (17, 23) = mcm (1000, 2000, 3000) b) mcd (128, 256) = d) mcm (22, 33 44) = f) mcd (4, 64, 128) = h) mcd (4, 5, 8) = j) mcd (7, 28, 56) = 5) Calcule el mínimo común múltiplo o máximo común divisor de los enteros del ejercicio 4 usando descomposición conjunta de factores primos. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 83 3 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 74/ 143 6) Aplicando criterios de divisibilidad, marque en el siguiente cuadro los números por los que es divisible cada entero dado: Entero 2 Número por el que es divisible 3 5 7 11 770 280 539 385 1250 8624 623 1848 73 924 10101 1400 33 420 1234 2310 7) Una pelota está rebotando sin parar cada 6 unidades, marque 10 puntos de la recta numérica que tocaría la pelota si se sabe que rebotó en –20. 8) Dos ranitas llamadas M y N empezaron a saltar desde el punto –5 de la recta numérica, M dando saltos de 4 en 4 y N dando saltos de 3 en 3. a) Después de 10 saltos, ¿en qué punto de la recta numérica se encuentran? b) Como M es más rápida que N, le da una ventaja de tres saltos en la salida, ¿a los cuántos saltos M alcanza N? y ¿En qué punto de la recta la alcanza? Sugerencia Para responder a las preguntas planteadas, dibuje una recta numérica y marque los puntos que las ranitas van tocando en cada salto. 84 8 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 75/ 143 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Teoría básica sobre las fracciones Definición ión de fracción a , con b 0 , tal que a no es Una fracción es un número de la forma b múltiplo de b. Si a es múltiplo de b, el número es entero. Al número a se le llama numerador y al número b se le llama denominador. NUMERADOR 17 DENOMINADOR 23 Partes de una fracción Numerador: Indica las partes que se toman de la unidad Denominador: Indica el número de partes iguales en que se divide la unidad Lectura de fracciones Ejemplo 1: Don Carlos compró para cenar una pizza gigante similar a la mostrada en la figura, ¿qué parte de la pizza se comió Don Carlos? La pizza está dividida en 8 piezas. Cada pedazo de pizza representa 1 de pizza 8 Don Carlos se ha comido 3 8 de la pizza. Ejemplo 2: En la siguiente figura Manuelito está pensando en la parte de fracción del pastel que ha tomado: El pastel está dividido en 6 pedazos. Cada pedazo del pastel representa 1 de pastel.. 6 Manuelito se va a comer 1 del pastel. 6 Fuente de la imagen: http://aulavirtual.catedra.com./5_El_numero_fraccionario.html MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 85 5 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 76/ 143 Ejemplos de números que son fracciones: 1 5 : Se lee un cuarto : Se lee cinco tercios 4 3 3 7 : Se lee tres septimos : Se lee negativo siete novenos 7 9 11 : Se lee once doceavos 12 164 : Se lee negativo ciento sesenta y cuatro ochenta y cinco avos 85 Ejemplos de números que no son fracciones: El número El número 20 4 300 25 no es fracción porque 20 es múltiplo de 4, al dividir resulta 5. no es fracción porque -300 es múltiplo de 25, al dividir resulta -12. El Conjunto de los Números Racionales Dado que hay números que son fracciones y otros que no los son, se define un conjunto llamado Números Racionales de la siguiente manera: Definición a Los Números Racionales es el conjunto de números de la forma , con b . Se representa b por la letra Q . Si a es múltiplo de b, el número es un entero, si a no es múltiplo de b, el número es una fracción. El conjunto de Números Racionales puede definirse también como la unión de los números enteros y las fracciones, simbólicamente se representa por: Q = ZUF : Los enteros unidos con las Fracciones Clasificación de las fracciones Positivas: Una fracción es positiva cuando es mayor que cero Negativas: Una fracción es negativa cuando es menor que cero 86 8 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 77/ 143 Homogéneas: Dos o más fracciones son homogéneas cuando tienen el mismo denominador. Por ejemplo: 103 6 1431 16 121 41 189 18 23 , , , , , , , , 19 19 19 19 19 19 19 19 19 Heterogéneas: Dos o más fracciones son heterogéneas cuando tienen distinto denominador. Por ejemplo: 103 88 131 16 11 41 19 181 2 , , , , , , , , 25 19 235 13 17 36 10 145 15 Propias: Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo: 13 8 143 1 12 24 89 1312 2 , , , , , , , , 25 19 235 3 17 36 100 1456 5 Impropias: Una fracción es impropia cuando el numerador es mayor que el denominador. Por ejemplo: 103 88 1431 16 121 41 189 1812 23 , , , , , , , , 25 19 235 13 107 36 100 1456 15 Número Mixto: Un número mixto es el que está formado por un entero y una fracción propia. Por ejemplo: 2 Se lee cuatro enteros dos tercios 4 3 Parte entera Fraccion propia 1 8 13 1 2 24 9 1312 2 12 , 10 , 1 , 4 , 3 , 12 , 8 ,7 , 14 2 9 35 3 7 36 100 1456 5 Fracciones decimales: Una fracción es decimal cuando el denominador de la fracción es 10. 103 88 143 16 121 1 189 18 2 , ,8 , , , 107 , , , 7 10 100 10 100 10 10 1000 100 10 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 87 7 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 78/ 143 Conversión de una fracción impropia a número mixto Ejemplo 1: Una empresa de muebles necesita comprar tablones de madera para fabricar unas mesas que un negocio encargó. El gerente necesita saber cuántos tablones debe comprar para cumplir con el pedido sin que le haga falta madera. Proceso de solución 1º: La fracción 114 16 le indica al gerente que cada pieza de madera se dividirá en 16 partes y se necesitará para el pedido 114 piezas. 2º: El gerente debe responder a la pregunta, ¿Cuántos tablones se requieren para obtener 114 piezas? Está claro que un tablón sólo le dará 16 piezas, así que para llegar a 114 efectúa la operación: 114 ÷16 = 7 sobrando 2 piezas de las 16 que se tienen. 3º: El gerente necesita comprar 8 tablones de los cuales ocupará 7 completos y del otro tablón. Esto nos da la representación mixta de la fracción: 114 7 2 . 16 16 Siguiendo el razonamiento anterior convierta las siguientes fracciones impropias a número mixto: Ejemplo 2: 33 7 Proceso de solución 1. Divida 33 con 7: 33 ÷ 7 = 4 sobrando 5 de siete partes. 2. Se expresa la fracción como número mixto: 33 4 5 7 Ejemplo 3: 7 298 15 Proceso de solución 1. Divida 298 con 15: 298 ÷ 15 = 19 sobrando 13 de quince partes. 2. Se expresa la fracción como número mixto: 88 8 298 13 19 7 15 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 79/ 143 Ejemplo 4: 784 131 Proceso de solución 1. Divida 784 con 131: 784 ÷ 131 = 5 sobrando 129 de ciento treinta y un partes. 2. Se expresa la fracción como número mixto: 784 129 5 131 131 Conversión de un número mixto en fracción impropia Ejemplo 1: Convierta a fracción impropia: 5 8 11 Proceso de solución Se efectúa la siguiente operación combinada: 5 x 8 + 11 y se copia el denominador de la fracción dada. 8 5 11 8 5 Se plantea la operacion combinada 11 11 55 8 Se plantea la suma 11 55 Fraccion impropia 11 Ejemplo 2: Convierta a fracción impropia: 14 5 9 Proceso de solución Se efectúa la siguiente operación combinada: - ( 14 x 9 + 5 ) y se copia el denominador de la fracción dada. 5 14 9 5 14 Se plantea la operacion combinada 9 11 126 8 Se plantea la suma 9 134 Fraccion impropia 9 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 89 9 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Ejemplo 3: Convierta a fracción impropia: 7 80/ 143 2 3 Proceso de solución Se efectúa la siguiente operación combinada: - ( 7 x 3 + 2 ) y se copia el denominador de la fracción dada. 2 7 3 2 7 Se plantea la operacion combinada 3 3 21 2 Se plantea la suma 3 23 Fraccion impropia 3 Forma fraccionaria de un entero a , b 0. b Ejemplo 1: Don David vende naranjas frente al INFOP, tiene en su carreta 45, al partir en dos cada una, ¿Cuántas mitades obtiene? Un número entero, aunque no es una fracción, puede expresarse de la forma Proceso de solución El problema es acerca de convertir unidades en mitades: 45 2 2 Se multiplica el entero por 1 2 2 45 2 Se plantea la multiplicacion 1 2 90 Hay 90 medios en 45 unidades 2 Ejemplo 2: Convierta 23 en cuartos Proceso de solución 23 4 4 Se multiplica el entero por 1 4 4 23 4 Se plantea la multiplicacion 1 4 92 Hay 92 cuartos en 23 unidades 4 90 9 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 81/ 143 Ejemplo 3: Convierta -9 en onceavos. Proceso de solución 9 11 11 Se multiplica el entero por 1 11 11 9 11 Se plantea la multiplicacion 111 99 Hay 99 onceavos en 9 unidades 11 Representación de fracciones en diagramas Ejemplos fracciones con regiones sombreadas de figuras geométricas A continuación se presentan una serie de figuras en las que se han sombreado unas regiones de un color más fuerte que las otras, la representación de esa parte en fracciones es la siguiente: Las otras partes de las figuras son el complemento de las partes representadas: 1 5 el complemento de la unidad es . 6 6 Esto significa que de las 6 partes en que se dividió la unidad solo se tomó una parte y no se tomaron 5 partes De De 1 3 el complemento de la unidad es 4 4 Esto significa que de las 4 partes en que se dividió la unidad solo se tomó una parte y no se tomaron 3 partes MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 91 1 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 82/ 143 3 5 el complemento de la unidad es 8 8 Esto significa que de las 8 partes en que se dividió la unidad se tomaron 5 partes y no se tomaron 5 partes. De 4 2 el complemento de la unidad es 6 6 Esto significa que de las 6 partes en que se dividió la unidad se tomaron 4 partes y no se tomaron 2 partes De Representación de fracciones propias Representar en un diagrama 5 8 Proceso de solución: Como la fracción es propia, se divide la unidad en 8 partes iguales y se toman 5. Queda una figura como lo muestra la figura. Representar en un diagrama 3 7 Proceso de solución: Como la fracción es propia, se divide la unidad en 7 partes iguales y se toman 3. Queda una figura como la siguiente: Representar en un diagrama 1 4 Proceso de solución: Como la fracción es propia, se divide la unidad en 4 partes iguales y se toma 1. Queda una figura como la siguiente. 92 9 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Representar en un diagrama 83/ 143 2 6 Proceso de solución: Como la fracción es propia, se divide la unidad en 6 partes iguales y se toman 2. Queda una figura como la siguiente: Representación de fracciones impropias 11 en un diagrama. 8 Proceso de solución Representar 11 3 1 8 8 2. Se toman dos unidades y se dividen en 8 partes iguales cada una. Se sombrean las 8 partes de la primera unidad y solo 3 de la segunda unidad. Queda una figura como se muestra a continuación. 1. Se convierte la fracción impropia a número mixto: 9 en un diagrama. 4 Proceso de solución Representar 9 1 2 4 4 2. Se toman tres unidades y se dividen en 4 partes iguales cada una. Se sombrean las 4 partes de la primera unidad, 4 partes de la segunda unidad y solo 1 de la tercera unidad. Queda una figura como la mostrada a continuación. 1. Se convierte la fracción impropia a número mixto: MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 93 3 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Representar Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 84/ 143 10 en un diagrama. 6 Proceso de solución 10 4 1 6 6 2. Se toman dos unidades y se dividen en 6 partes iguales cada una. Se sombrean las 6 partes de la primera unidad y solo 4 de la segunda unidad. Queda una figura como la mostrada a continuación 1. Se convierte la fracción impropia a número mixto: . Escriba una fracción para cada una de las siguientes figuras: Figura 1 Figura 2 94 9 Esta figura representa la fracción propia 3 10 Esta figura representa número mixto 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 1 6 El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Figura 3 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Esta figura representa la fracción propia 85/ 143 6 7 Figura 4 Esta figura representa número mixto 3 10 Figura 5 Esta figura representa al entero 2. Esta figura representa al enero MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 8 4 2 95 5 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Esta figura representa al entero 12 4 3 Esta figura representa al entero 8 2 4 Esta figura representa la fracción propia Esta figura representa la fracción propia 96 9 MÓDULO No.3 7 10 3 5 MATEMÁTICAS 86/ 143 El Elemento de Competencia No.01 Co Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 87/ 143 Representación gráfica de fracciones en la recta numérica Representación de fracciones propias Las fracciones propias positivas se grafican en la recta numérica entre 0 y 1. Las fracciones propias negativas se grafican entre -1 y 0. Ejemplo 1: Graficar en la recta numérica 3 5 Proceso de solución 3 1. La fracción 5 se grafica entre 0 y 1, se divide la unidad en 5 partes y se toman 3, del cero a la derecha. Cada parte representa 1 de la unidad. 5 2. La representación gráfica es la siguiente: 0 1 0/5 1/5 2/5 3/5 Ejemplo 2: Graficar en la recta numérica 4/5 5/5 6 8 Proceso de solución 1. La fracción 6 se grafica entre 0 y 1, se divide la unidad e 8 partes y se toman 6, del cero 8 a la derecha. Cada parte representa 1 de la unidad. 8 2. La representación gráfica es la siguiente: 0 0/8 1 1/8 2/8 MÓDULO No.3 3/8 4/8 5/8 MATEMÁTICAS 6/8 7/8 8/8 97 7 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 2: De la misma forma, graficar en la recta numérica 88/ 143 1 3 2 7 , , y 2 4 5 10 Proceso de solución 1. Se divide la unidad en las partes que indica el denominador y se toman las que indica el numerador 2. Las representaciones gráficas son las siguientes: Un medio 0 1 1 2 Tres cuartos 0 1 3 4 Dos quintos 0 1 2 5 Siete décimos 0 1 7 10 98 9 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 89/ 143 Ejemplo 4: Graficar en la recta numérica 3 y 5 8 8 Proceso de solución 3 1º: La fracción se grafica entre 0 y 1, se divide la unidad en 8 partes y se toman 3, del 8 cero a la derecha. 5 se grafica entre -1 y 0, se divide la unidad en 5 partes y se toman 2 8 partes, del cero a la izquierda. 2º: La fracción –1 0 - 5 8 3 8 1 Representación de fracciones impropias y números mixtos Las fracciones impropias y los números mixtos negativos se grafican a la izquierda de -1 y las fracciones impropias y números mixtos positivos a la derecha de 1. Ejemplos 1: Graficar 7 4 Proceso de solución 7 3 1 4 4 2. Se toma una unidad y de 1 a 2, se divide en cuatro partes y se toman 3. 3. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica. 1. Se convierte la fracción a número mixto: 0 1 MÓDULO No.3 1 3 4 2 MATEMÁTICAS 3 4 99 9 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Ejemplos 2: Graficar Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 90/ 143 12 5 12 2 2 5 5 2. Se toman dos unidades y de 2 a 3, se divide en cinco partes y se toman 2. 3. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica. 1. Se convierte la fracción a número mixto: 0 1 2 Ejemplos 3: Graficar 3 2 2 5 3 4 1 3 1. El número es mixto, solo se hace la gráfica de 3 divide en tres partes y se toma 1. 1 , toman tres unidades y de 3 a 4, se 3 2. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica. 0 1 Ejemplos 4: Graficar 2 2 3 3 1 3 4 0 3 1. El número aunque está escrito como mixto, es el entero 2. Solo se hace la gráfica en el entero 2. 2. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica 0 1 2 2 100 1 3 4 0 3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplos 4: Graficar 91/ 143 3 1 y1 2 4 Proceso de solución 3 3 1 número mixto: 1 2 2 2 2. Se toma una unidad negativa y de -1 a -2, se divide en dos partes y se toman 1. 1. Se convierte 3. Para el número mixto 1 toma 1. 1 se toma una unidad, de 1 a 2 se divide en cuatro partes y se 4 4. Se dibuja una recta dividida con las unidades que se necesitan y se grafica. -2 1 1 2 -1 0 11 1 4 2 Fracciones equivalentes Definición a c , son equivalentes si a d b c , a esta multiplicación b d a c se le llama producto cruzado. Se escribe: b d Las fracciones MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 101 01 1 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Ejemplo 1: Represente las fracciones o no equivalentes 92/ 143 1 2 4 , , y usando producto cruzado verifique si son 2 4 8 Proceso de solución 1. Representación en diagramas de las fracciones. 2. Producto cruzado de las fracciones 1 2 1 4 2 2 y , resulta que , por lo tanto las 44 2 4 3. Producto cruzado de las fracciones 2 4 28 4 4 y , resulta que , por lo tanto las 16 16 4 8 fracciones son equivalentes. fracciones son equivalentes. Ejemplo 2: Verifique si 3 2 y son o no equivalentes. 18 12 Proceso de solución Se efectúa el producto cruzado: equivalentes. 102 1 312 182 36 36 MÓDULO No.3 , por lo tanto las fracciones son MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 3: Verifique si 93/ 143 4 15 y son o no equivalentes. 3 10 Proceso de solución Se efectúa el producto cruzado: equivalentes. 4 10 3 15 , por lo tanto las fracciones no son 40 45 Ejemplo 4: En dibujo técnico es muy útil la representación de medidas usando fracciones. Se estableció la división de la pulgada en 16 partes y a partir de allí se establecieron equivalencias de medidas. Basados en la gráfica podemos encontrar fracciones equivalentes: a) 1 16 : La unidad 16 d) 3 6 8 16 g) 7 14 8 16 MÓDULO No.3 b) 1 2 2 4 c) 1 2 4 8 2 4 8 16 e) 5 10 8 16 f) 3 6 12 4 8 16 MATEMÁTICAS 103 03 3 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 94/ 143 Ampliación de fracciones La ampliación de fracciones se utiliza para obtener fracciones equivalentes de una fracción dada. Esto se hace multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número entero. Ejemplo 1: Obtenga 4 fracciones equivalentes de la fracción 4 3 Proceso de solución 1. Efectuar las multiplicaciones correspondientes, en este caso se multiplicó 4 con 3 3 4 5 6 . Los resultados son los siguientes: , , , 3 4 5 6 a) 4 3 4 3 12 3 3 3 3 9 b) 4 4 4 4 16 3 4 3 4 12 c) 4 5 4 5 20 3 5 3 5 15 d) 4 6 4 6 24 3 6 3 6 18 2. Las fracciones equivalentes son 4 8 12 16 20 3 6 9 12 15 Ejemplo 1: Obtenga 4 fracciones equivalentes de la fracción 15 8 Proceso de solución 1. Efectuar las multiplicaciones correspondientes, en este caso se multiplicó 3 4 5 6 , , , 3 4 5 6 104 1 15 con 8 Los resultados son los siguientes: a) 15 2 15 2 30 8 2 8 2 16 b) 15 3 15 3 45 8 3 8 3 24 c) 15 4 15 4 60 8 4 8 4 60 d) 15 5 15 5 75 8 5 8 5 40 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 2. Las fracciones equivalentes son: 95/ 143 15 30 45 60 75 8 16 24 32 40 Simplificación de fracciones La simplificación de fracciones es el proceso mediante el cual se obtienen fracciones equivalentes a una fracción dada, utilizando para ello los criterios de divisibilidad aplicados al numerador y denominador de la fracción. El proceso se obtiene hasta encontrar una fracción a la que ya no se le puedan aplicar criterios de divisibilidad. A esa fracción se le llama irreductible. Ejemplo 1: Simplificar 150 84 Proceso de solución 150 Ambos tienen mitad 84 75 Ambos tienen tercera 42 25 Fraccion simplificada porque no tienen divisores comunes 14 Ejemplo 2: Simplificar 30 60 Proceso de solución 30 Ambos tienen mitad 60 15 Ambos tienen tercera 30 5 Fraccion irreductible 6 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 105 05 5 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Ejemplo 3: Simplificar Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 20 54 Proceso de solución 20 Ambos tienen mitad 54 10 Fraccion simplificada 27 Ejemplo 4: Simplificar 340 250 Proceso de solución 340 Ambos tienen mitad 250 170 Ambos son divisibles por 5 125 34 Fraccion simplificada 25 Ejemplo 5: Simplificar 2450 1800 Proceso de solución 2450 Ambos tienen mitad 1800 1225 Ambos son divisibles por cinco 900 245 Ambos son divisibles por cinco 180 49 Ambos son divisibles por cinco 36 106 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 96/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Ejemplo 7: Simplificar Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 97/ 143 750 1050 Proceso de solución 750 Ambos tienen mitad 1050 375 Ambos tienen tercera 525 125 Ambos son divisibles por cinco 175 25 Ambos son divisibles por cinco 35 5 Fraccion simplificada 7 OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS RACIONALES Suma de Racionales 1. Suma de racionales con el mismo denominador Regla Para sumar fracciones con igual denominador, se copia el denominador y se suman los numeradores. Se simplifica el resultado si es posible. Proceso de solución Ejemplo 1 13 36 3 13 Sume 5 5 5 5 MÓDULO No.3 13 36 3 13 5 65 5 13 1 13 Se copia el 5 y se plantea la suma de los numeradores. Es una fracción reductible, 65 y 5 tienen quinta. Se divide. Resultado simplificado MATEMÁTICAS 107 07 7 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 2: Sume 41 6 23 4 1 13 13 13 13 13 Proceso de solución 41 6 23 4 1 Se copia el 13 y se plantea la suma 13 41 23 6 4 1 Se suman los numeradores 13 64 11 Se efectua la resta 13 53 Fraccion simplificada 13 2 7 3 7 Ejemplo 3: Sume 4 3 5 22 7 Proceso de solución 1. Se plantea la operación con fracciones propias o impropias 4 2 3 22 30 21 38 22 21 35 , recuerde que en 3 unidades hay 7 7 7 7 7 7 7 7 2. Se resuelve la operación 30 21 38 22 Se copia el 7 y se plantea la suma 7 30 21 38 22 Se suman los enteros positivos y los negativos 7 51 60 Se efectua la resta 7 9 El resultado es ireeductible 13 108 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 98/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 2. 99/ 143 Suma de racionales de distinto denominador Regla Para sumar fracciones con distinto denominador se hace lo siguiente: 1. Se calcula el mcm de los denominadores. 2. Se expresan las fracciones con un mismo denominador. 3. Se efectúan las operaciones del numerador. 4 Se simplifica el resultado si es posible. Ejemplo 1: Sume 7 11 3 4 5 2 4 3 Proceso de solución 1. Se calcula el mínimo común múltiplo: mcm (5, 2, 4, 3) = 22 x 3 x 5 = 60 5 5 4 2 3 3 22 12 5 5 1 1 3 1 13 15 1 1 1 1 2. Se convierten las fracciones a un mismo denominador: El mcm se divide con los denominadores y el resultado se multiplica por los numeradores. 60 5 7 60 2 11 60 4 3 60 3 4 Se plantean las operaciones 60 12 7 30 11 15 3 20 4 Se plantean los productos 60 84 330 45 80 Se plantean las sumas 60 539 Resultado irrductible 60 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 109 09 9 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 100/ 143 2 5 2 7 14 3 Ejemplo 2: Sume 3 Proceso de solución 1. Se calcula el mínimo común múltiplo: mcm (7, 14, 3) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 7 5 5 1 1 14 7 7 7 1 3 3 1 1 1 22 13 15 17 1 2. Se convierten las fracciones a un mismo denominador: El mcm se divide con los denominadores y el resultado se multiplica por los numeradores. 23 5 2 La fraccion mixta se convierte a impropia 7 14 3 210 7 23 210 14 5 210 3 2 Se plantea las operaciones 210 30 23 15 23 70 2 Se plantean el producto del numerador 120 690 345 140 Se efectua la resta 120 690 345 140 120 485 El resultado es reductible 120 97 resultado simplificado 24 110 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 101/ 143 3 4 1 Ejemplo 3: Sume 2 4 5 6 5 3 1. Se calcula el mínimo común múltiplo: mcm (4, 5, 3) = 22 x 3 x 5 = 60 4 2 1 1 1 5 5 5 5 1 32 32 33 15 1 2. Se convierten las fracciones a un mismo denominador: El mcm se divide con los denominadores y el resultado se multiplica por los numeradores. 11 4 6 16 4 5 1 3 60 4 11 60 5 4 60 1 60 60 3 16 Operaciones planteadas 60 240 11 300 4 60 60 180 16 Se plantean los productos 60 2640 1200 360 2880 Planteamiento de las sumas 60 1080 Se simplifica la fraccion 90 540 Se simplifica la fraccion 45 180 Se simplifica la fraccion 15 60 Se simplifica la fraccion 5 12 Se divide 1 12 Resultado MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 111 11 1 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 102/ 143 Resta de racionales Regla Para restar fracciones se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Se simplifica el resultado si es posible. Ejemplo 1: De 203 92 reste 15 15 Proceso de solución 1. Se plantea la resta: 2. 203 92 Se resta n los numeradores 15 111 La fraccion es reductible 15 37 Fraccion irreductible 5 203 92 Minuendo Sustraendo 15 15 Ejemplo 2: Reste 3 Se resuelve la operación 1 de 11 2 Proceso de solución 11 7 Minuendo Sustraendo 1 2 2. Se resuelve la operación 1. Se plantea la resta: 11 7 Se plantea la operacion, donde el mcm(1, 2) 2 1 2 2 111 2 2 7 Se plantean las operaciones 2 2 11 111 Se plantean los productos 2 22 11 Se plantea la suma 2 33 La fraccion es irreductible 2 112 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 3: Efectúe: 2 103/ 143 7 5 3 12 8 Proceso de solución 1. Se plantea la operación y se calcula el mcm de los denominadores 31 33 Los numeros mixtos se pasan a fracciones impropias 12 8 12 82 6 42 3 2 2 El mcm 12,8 23 3 8 3 24 3 13 1 1 2. Se resuelve la operación planteada: 24 12 31 24 8 33 Se plantean las operaciones 24 2 31 3 31 Se plantean los productos 24 62 93 Se plantea la resta 24 31 resultado irreductible 24 Multiplicación de racionales Regla Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Se simplifica el resultado si es posible. Simbólicamente: a c ac , b 0, d 0 b d bd MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 113 13 3 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 1: Efectúe: 7 2 5 9 Proceso de solución Se efectúa la operación y se simplifica el resultado. 72 Se plantean las multiplicaciones 5 9 14 El resultado es irreductible 45 Ejemplo 2: Efectúe: 2 7 4 3 5 4 Proceso de solución 1. Se convierten los números mixtos a fracciones impropias. 17 4 3 7 3 2 4 5 1 4 5 4 2. Se efectúa la operación. 17 4 3 Se 514 plantea la multiplicacion 204 Se simplifica 20 102 10 56 fraccion irreductible 5 114 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 104/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Competencia No.01 Co Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 105/ 143 Ejemplo 3: Efectúe: 40 20 30 12 5 4 Proceso de solución Se efectúan las multiplicaciones y se simplifica el resultado. 12 5 4 Se plantean las multiplicaciones 40 20 30 240 Se simplifica el resultado 84000 120 42000 60 21000 30 10500 15 5250 5 1750 1 Fraccion irreductible 350 Opuesto e inverso de una fracción Definición de opuesto: Dada una fracción a , con b 0 , la fracción opuesta es b a a a talque 0 b b b Definición de inverso: Dada una fracción a , con b 0, a 0 , la fracción inversa b es b talque a b 1 a b a MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 115 15 5 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 15 15 El opuesto de 15 es 15 porque 0 19 19 19 19 8 8 8 8 es porque 0 9 9 9 9 El opuesto de El inverso de 3 es 7 porque 3 7 1 7 3 7 3 El inverso de 4 es 5 porque 4 5 1 5 5 4 4 División de racionales Regla Para dividir fracciones, se multiplica el dividendo por el inverso del divisor. Se simplifica el resultado si es posible. Simbólicamente: a c a d , b 0, d 0, c 0 b d b c Ejemplo 1: Efectúe: 7 2 5 9 Proceso de solución 1. Se calcula el inverso de 116 1 2 9 que es 9 2 2. Se resuelve la operación: 7 9 Se plantea el producto 5 2 63 Se simplifica el resultado, tienen tercera 45 21 15 7 Resultado simplificado 5 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 106/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 107/ 143 Ejemplo 2: Efectúe: 2 9 5 7 Proceso de solución 1. Se plantea la operación: 2. Se calcula el inverso 9 9 qde q 1 1 17 9 7 2 9 5 1 5 3. Se resuelve la operación: 17 1 Se plantea la division como una multiplicacion 5 9 17 1 Se plantean las multiplicaciones 5 9 17 El resultado es irreductible 45 Ejemplo 3: Efectúe: 35 21 14 55 Proceso de solución 1. Se plantea la operación: 35 21 63 55 2 14 55 14 21 3. Se resuelve la operación: 2. Se calcula el inverso de 55 21 que es 21 55 63 55 Se plantea la operacion 14 21 63 55 Se plantea la multiplicacion 14 21 3465 Simplificar , los numeros tienen tercera 294 1155 Resultado simplicado 98 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 117 17 7 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 108/ 143 5 Ejemplo 4: Efectúe: 12 2 7 Proceso de solución 12 19 5 1. Se plantea la operación: 12 2 1 7 7 7 2. Se calcula el inverso de 19 que es 19 7 3. Se resuelve la operación: 12 19 Se plantea la operacion 1 7 12 7 Se plantea como una multiplicacion 1 19 12 7 Se 119 plantean las multiplicaciones 84 Resultado irreductible 19 Operaciones combinadas con fracciones Las reglas para resolver operaciones combinadas con enteros son las mismas que se utilizan para enteros: Regla básica Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente: 1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha. 2. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan. 3. Por último se efectúan las sumas y restas. 118 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 109/ 143 Sin signos de agrupación Ejemplo 1: Efectúe 1 2 5 1 3 4 2 2 3 2 3 5 Proceso de solución 1 2 5 1 3 4 2 2 3 2 3 5 Se multiplica Se divide 1 8 15 13 2 3 2 5 Se resta 13 15 13 6 2 5 Se suma 29 13 3 5 Se suma 184 15 Resultado simplificado MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 119 19 9 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Ejemplo 2: Efectúe Proceso de solución 3 1 2 1 2 2 6 4 2 3 3 5 2 3 1 2 1 2 6 4 2 3 5 3 Se divide Se multiplica 6 2 6 2 2 4 3 3 5 Se resta 1 2 6 2 2 3 3 5 Se resta 1 6 2 6 3 5 Se resta 11 2 5 6 Se resta 43 30 Resultado simplificado Ejemplo 3: Efectúe 25 1 2 100 8 2 Proceso de solución 25 1 2 100 8 2 Se divide Se divide 25 1 16 100 Se resta 621 400 Resultado simplificado 120 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 110/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 4: Efectúe 111/ 143 1 4 2 1 3 1 3 4 2 5 7 3 10 4 5 Proceso de solución 1 4 2 1 3 1 3 4 2 5 7 3 10 4 5 Se multiplica Se multiplica 1 8 1 43 1 3 2 35 3 10 4 5 Se suma Se multiplica 51 1 43 3 70 3 40 5 Se resta 83 43 3 210 40 5 Se suma 247 3 168 5 Se resta 731 840 Resultado simplificado MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 121 21 1 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Con signos de agrupación Regla básica Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente: 1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha. 2. Se resuelven primero las operaciones que están dentro de los signos de agrupación. 3. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan. 4. Por último se efectúan las sumas y restas. Ejemplo 1: 2 3 1 2 1 4 1 3 2 4 5 3 3 Proceso de solución 2 3 1 2 1 4 1 3 2 4 5 3 3 Se suma Se suma 2 5 1 2 5 3 5 3 2 4 Se multiplica Se multiplica 10 1 10 4 15 6 Se resta 17 10 12 15 Se suma 25 12 Resultado simplificado 122 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 112/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 2: 3 1 3 1 2 3 2 5 8 4 3 Ejemplo 3: Proceso de solución 3 1 3 2 3 2 5 8 12 Se resta 3 1 51 2 5 48 Se suma 3 101 2 80 Se multiplica 303 160 Resultado simplificado 2 1 4 3 4 5 3 3 5 Proceso de solución 3 1 3 1 2 3 2 5 8 4 3 Se multiplica 3 1 3 17 2 5 8 6 Se multiplica 113/ 143 2 1 4 3 4 5 3 3 5 Se divide 2 14 4 3 4 3 5 3 Se suma 2 82 3 4 3 15 Se multiplica 2 328 3 3 15 Se resta 2 283 3 15 Se resta 91 5 Resultado simplificado MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 123 23 3 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 114/ 143 Aplicaciones que se resuelven utilizando operaciones con racionales Una recomendación Para resolver problemas: a) Lea detenidamente el problema hasta que llegue a una comprensión absoluta del mismo. b) Discrimine los datos, siempre es importante saber que dato se necesita para resolver el problemas y que datos están sólo para contextualizarlo. c) Siempre haga un planteamiento del problema y resuelva correctamente las operaciones implicadas. d) Verifique que la respuesta encontrada este de acuerdo a los datos proporcionados. Ejemplo 1: Una compañía en pintar las líneas blancas en la carretera gasta un galón de pintura cada 2 Km. de Tegucigalpa a Talanga hay 52 Km, ¿Cuántos galones de pintura se gastan?, si cada galón le cuesta a la compañía Lps. 876.00, ¿Cuánto se gasta en pintura? En uso de equipo y mano de obra la compañía gasta Lps. 8,600.00 por Km de carreta pintado. Por hacer ese trabajo la compañía cobra al Estado de Honduras Lps. 17,600.00 por Km, ¿Cuánto le cuesta al Estado pintar los 52 Km de carreta y de cuánto es la ganancia de la compañía que lo hace? Proceso de solución 12. 3. Se divide 52 ÷ 2 para saber cuántos galones de pintura se necesitan. El resultado de la división es 26, que son los galones que se gastarán en pintar los 52 Km de carretera. Cada galón cuesta Lps. 876.00, se multiplica: 26 x 876 y ese el gasto en pintar la carretera, 52 x 8600 para saber el costo de pintar de la compañía y para saber lo que el Estado paga se multiplica 52 x 17,600. 4. 5. 6. 124 1 2 6 8 7 6 8 6 0 0 5 2 1 5 6 1 8 2 2 0 8 1 7 2 0 0 4 3 0 0 0 2 2 7 7 6 4 4 7 2 0 0 1 7 6 0 0 5 2 3 5 2 0 0 8 8 0 0 0 9 1 5 2 0 0 Gastos totales de la compañía: 22,776 + 447,200 = Lps. 469,976.00 El cobro que hace la compañía al estado es de Lps. 915,200.00 Ganancia de la compañía: 915,200 – 469,976 = Lps. 445,224.00 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 115/ 143 Ejemplo 2: Una ladrillera produce en un día completo de trabajo 985 ladrillos, y 450 si sólo se trabaja la mitad del día. El precio de costo es de Lps. 2.00 cada uno. Se trabaja de lunes a viernes todo el día y el sábado media jornada, ¿Cuántos ladrillos se producen en 12 semanas?, ¿Cuál es el costo de la producción en las 12 semanas? Si se vende el mil de ladrillos a Lps. 2400.00, ¿Cuál es la ganancia en la producción? MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 125 25 5 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 116/ 143 EJERCICIO PRÁCTICO 1) A continuación se le presentan una serie de figuras con una región coloreada para que escriba en el rectángulo la región que representan. Esta fracción representa Esta fracción representa Esta fracción representa Esta fracción representa 2) Convierta a número mixto las siguientes fracciones impropias. 10 8 9 f) 2 a) b) 5 6 g) c) 7 10 3 7 h) d) 12 11 i) 5 2 17 4 4 8 2 j) 5 e) 3) Convierta a fracción impropia cada una de los siguientes números mixtos. 10 8 9 f) 4 2 a) 2 b) 4 5 6 g) 1 3 7 12 h) 2 11 c) 5 7 10 5 2 17 gi ) 6 4 d) 7 4 8 2 j) 8 5 e) 5 4) Exprese en forma de fracción los siguientes enteros. a) Convierta 4 unidades a tercios. b) Convierta 3 unidades a octavos. c) Convierta 10 unidades a medios. d) Convierta 9 unidades a onceavos. e) Convierta 23 unidades a cuartos. f) Convierta 25 unidades a séptimos. 126 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 117/ 143 5) Dibuje un diagrama para cada una de las siguientes fracciones: Fracciones propias 8 10 2 f) 9 a) 5 6 7 g) 10 3 7 11 h) 12 b) 2 5 4 i) 11 c) 6 8 3 j) 8 d) e) Fracciones impropias y números mixtos 10 8 9 f) 2 a) 5 6 7 g) 3 10 b) 2 3 7 12 h) 11 5 2 17 i) 4 c) 1 4 8 2 j) 3 5 d) e) 2 6) Represente en la recta numérica cada una de las fracciones siguientes: Fracciones propias 8 10 2 f) 9 a) 5 6 7 g) 10 b) c) 3 7 h) d) 11 12 i) 2 5 4 11 e) 6 8 j) 3 8 Fracciones impropias y números mixtos 10 8 9 f) 2 a) 5 6 7 g) 3 10 3 7 12 h) 11 b) 2 5 2 17 i) 4 c) 1 d) 4 8 2 j) 2 5 e) 1 8) Efectúe las siguientes sumas y restas con fracciones: 2 1 3 3 2 1 3 5 4 7 5 2 1 21 19 8 c) 3 3 3 3 2 3 5 6 e) 3 4 6 7 1 4 g) 3 2 5 5 17 1 7 i) 4 9 2 11 a) MÓDULO No.3 1 11 34 7 24 18 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 d) 2 4 3 5 2 3 5 6 f) 3 4 6 7 1 4 h) 1 3 5 5 7 1 7 j) 3 9 2 4 b) MATEMÁTICAS 127 27 7 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 9) Efectúe las siguientes multiplicaciones con fracciones: 3 2 4 a ) 5 2 7 3 5 7 5 3 b) 3 4 5 5 c) 12 10 12 7 5 3 d) 3 4 5 7 5 3 e) 3 4 5 3 4 f ) 5 2 7 5 7 3 3 g) 3 4 5 5 h) 2 10 2 7 3 2 i) 3 4 5 1 5 3 j) 4 4 5 10) Efectúe las siguientes divisiones con fracciones: 3 2 a ) 5 7 3 7 3 b) 3 4 5 c) 12 12 7 5 d ) 10 9 4 17 8 e) 11 10 3 2 e) 2 7 3 1 3 f ) 7 3 4 1 5 g 3 2 3 3 h) 8 4 5 5 3 i ) 3 6 4 5 11) Efectúe las siguientes operaciones con fracciones: 3 2 1 a ) 7 6 5 5 3 4 11 7 3 5 b) 10 23 3 4 4 3 2 1 f ) 3 6 3 5 3 4 11 7 3 5 g) 2 23 3 4 4 5 1 1 c) 3 2 12 2 4 11 7 2 3 5 3 2 3 d) 3 3 3 5 4 4 4 5 5 5 1 1 h) 3 2 2 3 4 11 7 2 3 5 3 2 3 i) 3 3 3 5 4 4 4 5 5 1 7 3 5 2 3 e) 6 5 4 4 3 5 4 7 5 1 7 3 5 2 3 j) 6 5 4 4 3 5 4 7 5 128 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 118/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 119/ 143 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS DECIMALES FORMA DECIMAL DE UNA FRACCIÓN Lectura y escritura de números decimales Número decimal Definición Los números decimales son otra forma de representación de las fracciones, están formados por una parte entera y una parte decimal. Dependiendo del país o la zona donde se viva, la parte entera está separada de la parte decimal por un punto, una coma o un apóstrofe. La parte entera va a la izquierda del punto y la parte decimal va a la derecha del punto. 1, 234 . 987 Parte entera Punto decimal Parte decimal Para leer y escribir números decimales se recurre al Sistema de Numeración Decimal, este nombra las posiciones que están a la izquierda y a la derecha del punto decimal. PARTE DECIMAL O FRACCIONARIA MATEMÁTICAS CENTENAS TRES POSICIONES MÁS dm cm mm Cien milésimas UNIDADES DE MILLAR U Milkésimas DECENAS DE MILLAR MÓDULO No.3 D Centésimas C PRIMERAS TRES POSICIONES DECIMALES d c m Décimas UM UNIDADES DM DECENAS CM Punto Decimal • CLASE DE LAS UNIDADES CENTENAS DE MILLAR CLASE DE LOS MILES Diez milésimas PARTE ENTERA 129 29 9 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 120/ 143 Significado de la parte decimal Ejemplo 1: Una pieza de motor va dentro de otra pieza separada por 0.8 mm y lubricada por aceite para evitar la fusión de las piezas debido al calor producido por la fricción. ¿Qué significado tiene 0.8? Proceso de solución Según vemos en la tabla, el número decimal se lee cero enteros, 8 décimas. Esto quiere decir que la unidad, 1 mm (Un milímetro) en este caso, se dividió en 10 partes, cada parte mide 0.1 mm y la medida de 8 de esas partes es la separación entre una pieza y otra del motor. Para tener una idea de la pequeñísima distancia entre las piezas, ¿Qué medirá 0.1 mm? El grosor de un cabello humano es aproximadamente 0.1 mm, es decir que la distancia entre las piezas es del grosor de 8 cabellos humanos. Ejemplo 2: Pedrito lleva en sus manos a la pulpería tres monedas de 50 centavos para comprar un bombón, ¿Qué significado tiene cada moneda que Pedrito lleva? Proceso de solución La palabra centavo se deriva de la parte decimal centésima, eso quiere decir que la unidad, 1 lempira en este caso, se dividió en 100 partes y de esas se tomaron 50, que es valor de la moneda. El siguiente cuadro muestra las monedas de actual circulación en Honduras, tienen diferentes denominaciones, es decir de diferente valor cada una. En el cuadro se explica su significado decimal y fraccionario 130 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 PARTE FRACCI0NARIA DENOMINACIÓN VALOR DECIMAL 1 centavo 0.01 1 100 2 centavos 0.02 2 100 5 centavos 0.05 10 centavos 0.10 5 100 10 100 20 centavos 0.20 50 centavos 0.50 121/ 143 SIGNIFICADO El lempira se dividió en 100 partes y la moneda representa una centésima. El lempira se dividió en 100 partes y la moneda representa dos centésimas. El lempira se dividió en 100 partes y la moneda representa cinco centésimas El lempira se dividió en 100 partes y la moneda representa diez centésimas El lempira se dividió en 100 partes y la moneda representa veinte centésimas 20 100 50 100 El lempira se dividió en 100 partes y la moneda representa cincuenta centésimas Ejemplo 3: En el siguiente cuadro se da el número decimal y el nombre que recibe según el sistema de numeración decimal. Cantidad decimal Lectura del número decimal 56.934 Cincuenta y seis enteros, novecientos treinta y cuatro milésimas -345.89 Negativo trecientos cuarenta y cinco enteros, ochenta y nueve centésimas 0.00123 Cero enteros, ciento veintitrés cien milésimas -0.0012 Negativo doce diez milésimas 71,234.5602 Setenta y un mil, docientos treinta y cuatro enteros, cinco mil seiscientos dos diez milésimas Ejemplo 3: En el siguiente cuadro se da el nombre que recibe una cantidad según el sistema de numeración decimal y la representación decimal correspondiente. Lectura del número decimal Cantidad decimal Docientos catorce enteros, cuarenta y tres milésimas 214.043 Cero enteros, ciento noventa y ocho millonésimas 0.000008 Negativo sesenta y cuatro diez milésimas Cuatro millones, cien mil treinta y un enteros, nueve décimas Negativo ocho diez milésimas MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS -0.0064 4,100,031.9 -0.0008 131 31 1 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 122/ 143 Conversión de una fracción en decimal La forma decimal de una fracción se obtiene dividiendo el numerador con el denominador de la fracción. Ejemplo 1: Calcule la forma decimal de 1240 318 con tres cifras decimales. 1. La forma decimal resulta de dividir: 1240 ÷ 318. Se dividen los enteros hasta obtener tres cifras decimales después del punto. 3.899 318 1240 954 Cuando ya no hay cifras que bajar se le escribe un punto al cociente. 2860 2544 Cuando no hay cifras que bajar se agrega un cero. 03160 2544 Cuando no hay cifras que bajar se agrega un cero. 0616 2. La forma decimal de 1240 318 es 3.899, tres enteros 899 milésimas. Ejemplo 2: Calcule la forma decimal de 21 4 con dos cifras decimales. 1. La forma decimal resulta de dividir: - 21 ÷ 4. Se dividen los enteros hasta obtener dos cifras decimales después del punto. 5.25 4 21 20 10 08 020 20 00 2. La forma decimal de 132 1 21 4 Cuando ya no hay cifras que bajar se le escribe un punto al cociente. Cuando no hay cifras que bajar se agrega un cero. Cuando no hay cifras que bajar se agrega un cero. es - 5.25, negativo cinco enteros 25 centésimas. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 3: Calcule la forma decimal de 123/ 143 39 con cuatro cifras decimales. 740 Proceso de solución 1. La forma decimal resulta de dividir: - 39 ÷ 740 Se dividen los enteros hasta obtener cuatro cifras decimales después del punto. 2. El dividendo – 39 es menor que 7400, se agregan ceros al divisor hasta que el valor absoluto del dividendo sea mayor que el del divisor. Como el dividendo 39 es menor que el divisor 740, se escribe cero en el cociente y punto decimal, porque no se puede formar ningún grupo de 740 unidades con 39 unidades. Como el dividendo 390 es menor que el divisor 740, se escribe otro cero después del punto decimal, porque no se puede formar ningún grupo de 740 con 390 unidades. 0. 740 39 0.0 740 390 Se escribe cero en el dividendo. 3. Se agrega otro cero a 390 y se divide hasta obtener un cociente de cuatro cifras decimales después del punto. 0.0527 740 3900 3700 02000 1480 05200 5180 Se escribe cero en el dividendo. Como no hay cifras que bajar se agrega un cero. Como no hay cifras que bajar se agrega un cero. 0020 4º: La forma decimal de MÓDULO No.3 39 es de - 0.0527, cero enteros 527 diez milésimas. 740 MATEMÁTICAS 133 33 3 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 124/ 143 Clasificación de los números decimales Período de un número decimal Definición El período de un número decimal es la cifra o cifras que se repiten infinitamente en las décimas, es decir exactamente en el punto decimal, o en cualquier cifra después de las décimas. Los números decimales se clasifican de acuerdo a su forma decimal en: Decimales periódicos puros Definición Son los números con infinitas cifras decimales, cuyo período se repite a partir de las décimas, es decir exactamente en el punto decimal. Ejemplo 1: Calcular la expresión decimal de 2 3 Proceso de solución 1. Se divide 2 ÷ 3 0.666 30 20 18 020 18 El residuo es 2 siempre, se puede seguir agregando cero al dividendo y obteniendo el mismo residuo in initamente. 020 18 02 2º: La forma decimal de 2 es 0.666666... Como el 6 empieza a repetirse en el punto 3 decimal, se dice que es decimal periódico puro. Una forma de simbolizarlo es escribiendo un guión sobre la cifra que se repite, así: 0.66666 0.6 134 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 125/ 143 Ejemplo 2: Calcular la expresión decimal de 21 33 Proceso de solución 1. Se divide 8 ÷ 15 0.6363 33 210 198 0120 99 El residuo es 21, se puede seguir agregando cero al dividendo y obteniendo el mismo residuo in initamente. 0210 198 0120 99 021 21 es 0.636363... Como el 63 empieza a repetirse en el punto 33 decimal, se dice que es decimal periódico puro. Una forma de simbolizarlo es escribiendo 2. La forma decimal de un guión sobre la cifra que se repite, así: 0.636363 0.63 Decimales periódicos mixtos Definición Son los números con infinitas cifras decimales, cuyo período se repite en cualquier cifra después de las décimas. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 135 35 5 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 1: Calcular la expresión decimal de 126/ 143 8 15 Proceso de solución 1. Se divide 8 ÷ 15 0.5333 15 80 75 El residuo es 5, se puede seguir agregando cero al dividendo y obteniendo el mismo residuo in initamente. 050 45 050 45 05 8 es 0.53333... Como el 3 empieza a repetirse en las 15 centésimas, es decir después del punto decimal, se dice que es decimal periódico puro. 2. La forma decimal de Una forma de simbolizarlo es escribiendo un guión sobre la cifra que se repite, así: 0.53333 0.53 Ejemplo 2: Calcular la expresión decimal de Proceso de solución 1. Se divide 7 ÷ 12 0.58333 12 70 60 0100 96 7 12 El residuo es 5, se puede seguir agregando cero al dividendo y obteniendo el mismo residuo in initamente. 040 36 040 36 2. 04 7 La forma decimal de 12 es 0.583333... Como el 3 empieza a repetirse en las centésimas, es decir después del punto decimal, se dice que es decimal periódico puro. Una forma de simbolizarlo es escribiendo un guión sobre la cifra que se repite, así: 0.583333 136 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 127/ 143 Decimales exactos Definición Son los números con finitas cifras decimales, es decir el residuo de la división es cero. Ejemplo 1: Calcular la expresión decimal de Proceso de solución 1. Se divide 15 ÷ 4 15 4 3.75 4 15 12 030 28 El residuo es exacta. 0, por eso la división es 020 20 00 2. La forma decimal de 15 es 3.75 4 Ejemplo 2: Calcular la expresión decimal de Proceso de solución 16 1. Se divide 246 ÷ 16 246 16 15.375 246 16 086 80 060 48 0120 112 El residuo es exacta. 0, por eso la división es 0 080 80 00 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 137 37 7 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 2. La forma decimal de Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 246 es 15.375. 16 NOTA ESPECIAL Existen otros tipos de números que no son racionales pero que tiene una forma decimal llamada no periódica. Esto significa que no tienen cifras que se repitan periódicamente. Los griegos le llamaron inconmensurables haciendo alusión a que no se podían calcular con procedimientos de regla y compás. Hay cuatro números muy importantes en la historia de la matemática y que fueron utilizados por muchas civilizaciones antiguas, estos son los siguientes números: El número pi (π): Se llama así por la letra griega que se utilizó para representar esa constante. Representa las veces que el diámetro cabe en la circunferencia. Su uso se remonta siglos antes de Cristo: descubierto por egipcios, babilonios, chinos, griegos y otras civilizaciones. El matemático japonés Shigeru Kondo en el 2011 impuso el record de mayor cantidad de dígitos calculados al número usando súper computadoras: 10 000 000 000 000 de dígitos. Las primeras 50 cifras de su cálculo se muestran a continuación: π ≈ 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510… El número e: Fue descubierto por Jacob Bernoulli en el siglo XVII d. C. y se utiliza la letra e porque el matemático Leonard Euler lo nombró así en el siglo XVIII. Ambos matemáticos fueron suizos. Las primeras 50 cifras después del punto son las siguientes: e ≈ 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... El número de oro phi (): Se llama así porque la letra griega que se utilizó para representar la constante, se lee fi. Fue descubierto por los griegos y las primeras 50 cifras son las siguientes: ≈ 1,6180339887498948482045868343656381177203091798057… La raíz cuadrada de 2 2 : Su descubrimiento se le atribuya a los egipcios y babilonios, sin embargo la demostración formal de su existencia se debe a Pitágoras de Samos, matemático griego del siglo IV a. C. Las primeras 32 cifras del números son: 2 ≈ 1.4142135623730950488016887242097… 138 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 128/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 129/ 143 Representación gráfica de decimales Números decimales con cero en la parte entera Ejemplo 1: Graficar tres décimas, es decir 0.3 Proceso de solución 1. El decimal es positivo y la parte entera es cero, eso quiere decir que está ubicado entre 0 y 1. 2. La representación de tres décimas es la fracción propia: partes y se toman 3. 0.3 0 3 10 , se divide la unidad en 10 1 Ejemplo 2: Graficar tres décimas, es decir 0.8 Proceso de solución 1. El decimal es positivo y la parte entera es cero, eso quiere decir que está ubicado entre 0 y 1. 2. La representación de ocho décimas es la fracción propia: partes y se toman 3. 0.8 0 8 10 , se divide la unidad en 10 1 Ejemplo 3: Graficar tres décimas, es decir - 0.6 Proceso de solución 1. El decimal es positivo y la parte entera es cero, eso quiere decir que está ubicado entre 0 y 1. 2. La representación de negativo seis décimas es la fracción propia: unidad en 10 partes y se toman 6. -1 MÓDULO No.3 -0.6 MATEMÁTICAS 6 10 , se divide la 0 139 39 9 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 130/ 143 Números decimales con parte entera distinto de cero Ejemplo 1: Graficar tres décimas, es decir 2.45 Proceso de solución 1. El decimal es positivo y la parte entera es 2, eso quiere decir que está ubicado entre 2 y 3. 2. La representación de 2 enteros 45 centésimas es el número mixto: 2 45 9 45 9 2 La simplificacion de es 100 20 100 20 3. Se toman dos enteros positivos, la unidad de 2 a 3 se divide en 20 partes y se toman 9 partes. 0 1 2 2 enteros 2.45 3 45 centésimas Ejemplo 2: Graficar tres décimas, es decir -1.25 Proceso de solución 1. El decimal es positivo y la parte entera es -1, eso quiere decir que está ubicado entre -1 y -2. 2. La representación de negativo un entero 25 centésimas es el número mixto: 1 25 1 25 5 1 1 La simplificacion de es 100 4 100 20 4 3. Se toma un entero negativo, la unidad de -1 a -2 se divide en 4 partes y se toma 1 parte. -1.25 -2 -1 0 -25 centésimas -1 entero 140 1 MÓDULO No.3 1 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 131/ 143 OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS DECIMALES Y APLICACIONES Suma de números decimales de igual signo Para sumar decimales se hace lo siguiente: 1. Se colocan los números en las posiciones correspondientes de forma que el punto decimal forme una columna. Se aplican las mismas reglas que la suma y resta de enteros. 2. En la parte entera las unidades quedan bajo las unidades, decenas bajo decenas, etc. 3. En la parte decimal las décimas quedan bajo las décimas, centésimas baja las centésimas, etc. 4 El resultado se aproxima si se lo piden. Ejemplo 1 Suma de decimales positivos: 234.56 + 89.7 + 1,450.234 + 287.45 234.560 89.700 Puede completar con ceros las posiciones que falten 1450.234 287.450 2061.944 Resusltado : 2061 enteros, 944 milesimas Ejemplo 2 Suma de decimales negativos: -833.5 - 809.7 - 6,450.2 - 87.4 833.5 809.7 6450.2 87.4 8180.8 Resusltado : 8180 enteros, 8 decimas MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 141 41 1 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Suma de números decimales de diferente signo Ejemplo 1 Suma de decimales positivos: -234.5 + 84.56 + 1,450.23 - 287.1 Proceso de solución 1. Se suman los positivos. 2. Se suman los negativos. 84.56 234.5 1450.23 287.1 1534.79 521.6 3. Se restan los resultados. 1534.79 521.60 Complete con cero la posicion que falta 1013.19 1013 enteros, 19 centesimas Ejemplo 2 Suma de decimales negativos: -3.5 + 9.78 + 50.2 - 97.454 – 97 + 3 Proceso de solución 1. Se suman los positivos 2. Se suman los negativos 9.78 50.20 3.00 3.500 97.454 97.000 197.954 62.98 3. Se restan los resultados 197.954 62.980 Complete con cero la posicion que falta 134.974 134 enteros, 975 milesimas 142 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 132/ 143 El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 133/ 143 Resta de números decimales Ejemplo 1 Reste -5,833.59 de 10,879.32 Proceso de solución 1. Plantear la resta, Minuendo – Sustraendo: 10,879.32 5,833.59 10,879.32 5,833.59 2. Resolver la operación: 10879.32 5833.59 16712.91 16, 712 enteros, 91 centesimas Ejemplo 2 De 0.00345 reste 0.02341 Proceso de solución 1. Plantear la resta, Minuendo – Sustraendo: 0.00345 – 0.02341 2. Resolver la operación: 0.02341 0.00345 0.01996 Negativo cero enteros, 1996 cien milesimas Ejemplo 3 De -3.9 reste 3.91 Proceso de solución 1. Plantear la resta, Minuendo– Sustraendo: –3.9 –3.91 2. Resolver la operación: 3.90 3.91 7.81 Negativo 7enteros, 81 centesimas MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 143 43 3 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 134/ 143 Multiplicación de decimales Para multiplicar decimales se hace lo siguiente: 1. Se multiplican los números como si fueran enteros. 2. Al producto se le separan de derecha a izquierda tantos lugares como cifras decimales haya en el multiplicando y en el multiplicador. 3. En el producto de decimales se aplica la ley de los signos igual que en los enteros y las fracciones. 4. El resultado se aproxima si se lo piden. Ejemplo 1: Efectúe 7.23 x 7.4 Proceso de solución 1. Se efectúa la multiplicación como si los números fueran enteros. 7 2 3 7 4 5 2 8 9 2 5 0 6 1 3. 5 0 2. El punto pasa de derecha a izquierda 3 lugares. 5 3 5 0 2 2. Se cuentan las cifras decimales de los factores: El número 7.23 tiene dos y 7.4 tiene una. En total son 3 cifras decimales 3. Aplicando la ley de los signos, es el producto de dos números positivos, por lo tanto su producto es positivo. El resultado es: 7.23 x 7.4 = 53.502 Ejemplo 2: Efectúe -0.842 x 12.39 Proceso de solución 1. Se efectúa la multiplicación como si los números fueran enteros. 144 1 1 8 4 2 2 3 9 7 2 5 1 6 8 8 4 2 5 2 4 7 8 6 1 0 2 3 4 3 –10. 4 3 2 3 8. El punto pasa de derecha a izquierda 3 lugares. 8 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 135/ 143 2. Se cuentan las cifras decimales de los factores: El número -0.842 tiene tres y 12.39 tiene dos cifras decimales. En total son 5 cifras decimales 3. Aplicando la ley de los signos, es el producto de un número negativo con uno positivo, por lo tanto su producto es negativo. El resultado es: 4-0.842 x 12.39 = -10.43238 Ejemplo 3 Efectúe 62.92 x 1000 Proceso de solución 1. Se copia el multiplicando 62.92 y se corre el punto a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. 2. Si es necesario se completa con ceros las cifras que hagan falta. 62. 9 2 0. El punto pasa de izquierda a derecha 3 lugares 3. El resultado es 62,920: Sesenta y dos mil novecientos veinte. Ejemplo 3 Efectúe 100 x - 0.5731 Proceso de solución 1. Se copia el multiplicador - 0.5731 y se corre el punto a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. 2. Si es necesario se completa con ceros las cifras que hagan falta. –0. 5 7. 3 1 El punto pasa de izquierda a derecha 2 lugares 3. El resultado es - 57.731: Negativo cincuenta y siete enteros, 31 centésimas. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 145 45 5 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 136/ 143 División de decimales Para dividir decimales se hace lo siguiente: 1. Se cuentan las cifras decimales del dividendo y del divisor. 2. Se dividen los enteros como si fueran enteros. 3. En la división de decimales se aplica la ley de los signos igual que en los enteros y las fracciones. 4. El resultado se aproxima si se lo piden. Ejemplo 1 Efectúe: 12.4 ÷ - 3.18 hasta milésimas. Proceso de solución 1. Se comparan las cifras decimales de los factores: 12.4 ÷ - 3.18 1 cifra decimal 2 cifras decimales 2. Como el dividendo solo tiene una cifra decimal, se completa con un cero para que tenga dos cifras decimales, la división a efectuar es: 1,240 ÷ - 318. 3. Se dividen los enteros hasta obtener tres cifras decimales después del punto. 3.899 318 1240 –954 Cuando ya no hay cifras que bajar se le escribe un punto al cociente. 2860 Cuando ya no hay cifras que bajar se le agrega un cero. –2544 03160 –2544 Cuando no hay cifras que bajar se agrega un cero. 0616 4. Como es la división de un positivo con un negativo, el cociente es negativo: 12.4 ÷ - 3.18 = - 3.899, negativo 3 enteros, 899 milésimas 146 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 137/ 143 Ejemplo 2 Efectúe: 0.31 ÷ 6.4 hasta milésimas. Proceso de solución 1. Se comparan las cifras decimales de los factores: 0.31 ÷ 6.4 2 cifras decimales 1 cifra decimal 2. El dividendo tiene dos cifras decimales y el divisor una, se le agrega un cero al divisor, la división a efectuar es: 31 ÷ 640. Como el dividendo 31 es menor que el divisor 640, se escribe cero en el cociente y punto decimal, porque no se puede formar ningún grupo de 640 unidades con 39 unidades. 0. 640 310 Se escribe cero en el dividendo. Como el dividendo 31 es menor que el divisor 640, se escribe cero en el cociente y punto decimal, porque no se puede formar ningún grupo de 640 unidades con 39 unidades. 0.0 640 3100 Se escribe cero en el dividendo. 3. Se divide 31 ÷ 6400 hasta obtener tres cifras decimales después del punto. 0.0484 640 3100 2560 05400 5120 02800 2560 Se escribe cero en el dividendo. Como no hay cifras que bajar se agrega un cero. 0240 4. Como es la división de números dos números positivos, el cociente es un número positivo: 31 ÷ 6400 = 0.0484, cero enteros, 484 diez milésimas. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 147 47 7 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 138/ 143 Operaciones combinadas con números decimales Las reglas para resolver operaciones combinadas con enteros son las mismas que se utilizan para enteros y fracciones. Regla básica Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente: 1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha. 2. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan. 3. Por último se efectúan las sumas y restas. Sin signos de agrupación Ejemplo 1: Ejemplo 2: Proceso de solución Proceso de solución Efectúe: 2.3 – 5.4 x 4.2 – 12.3 ÷ 2.4 – 7.1 2.3 5.4 4.2 2.4 12.3 7.1 Se multiplica Se resta 20.38 5.125 7.1 25.505 7.1 Se resta 18.405 Resultado 8.2 10 2.5 2.1 1.2 0.6 2.45 Se divide Se divide 2.3 22.68 5.125 7.1 Se suma Efectúe –8.2 + 10 ÷ 2.5 + 1.2 – 0.6 x 2.1 + 2.45 Se multiplica 8.2 4 1.2 1.26 2.45 Se resta 1.2 4.2 1.26 2.45 Se resta 3 1.26 2 Se suma 4.26 2.45 Se resta 1.81 Resultado 148 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 Ejemplo 3 Efectúe 10.5 ÷ 2 – 20.5 ÷ 2 Proceso de solución Ejemplo 4 Efectúe 0.8 + 2 x 4.3 – 1.2 + 0.6 x 0.2 – 1.3 Proceso de solución 0.8 24.3 0.2 1.2 0.6 1.3 2 20.5 2 10.5 Se divide 139/ 143 Se multiplica Se divide Se multiplica 0.8 8.6 1.2 0.12 1.3 10.25 5.25 Se suma Se resta 9.4 1.2 0.12 1.3 5 Se resta Resultado 8.2 0.12 1.3 Se suma 8.32 1.3 Se resta 7.02 Con signos de agrupación Resultado Regla básica Para resolver operaciones combinadas con enteros se hace lo siguiente: 1. Las operaciones combinadas se resuelven de izquierda a derecha. 2. Se resuelven primero las operaciones que están dentro de los signos de agrupación. 3. Luego se resuelven las multiplicaciones o divisiones que hayan. 4. Por último se efectúan las sumas y restas. Ejemplo 1: 4.4 x (–1.2 – 0.68) + 0.55 – 3 x (7.7 + 0.56) 4.4 1.2 0.68 0.55 3 7.7 0.56 Se suma Se suma 4.4 1.88 0.55 3 8.26 Se multiplica Se multiplica Proceso de solución 8.272 0.55 24.78 Se resta 7.722 24.78 Se suma 35.502 Resultado MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 149 49 9 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Ejemplo 2 Ejemplo 3: Proceso de solución Proceso de solución 3.4 4.9 0.2 3.1 0.5 4.6 Se multiplica 1.2 2 3 2.1 0.5 0.4 Se divide 1.2 2 3 4.2 0.4 Se suma 1.2 2 3 4.6 Se multiplica 1.2 2 13.8 Se resta 15.8 1.2 3.4 x {–4.9 – [0.2 x (3.1 – 0.5 x 4.6)]} 3.4 4.9 2 3.1 2.3 Se resta 3.4 4.9 20.8 Se multiplica 3.4 1.6 4.9 Se suma 3.4 6.5 Se multiplica 22.1 1.2 – {2 – [3 x (–2.1 ÷ 0.5 + 0.4)]} Se resta 14.6 Resultado Resultado Aplicaciones que se resuelven utilizando operaciones con decimales Una recomendación Para resolver problemas: a) Lea detenidamente el problema hasta que llegue a una comprensión absoluta del mismo. b) Discrimine los datos, siempre es importante saber que dato se necesita c) d) 150 1 para resolver el problemas y que datos están sólo para contextualizarlo. Siempre haga un planteamiento del problema y resuelva correctamente las operaciones implicadas. Verifique que la respuesta encontrada este de acuerdo a los datos proporcionados. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 140/ 143 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 141/ 143 Problema 1 El dueño de un restaurante desea remodelar el área de lavado de los clientes y quiere saber el costo de la inversión. Prepare una cotización con los materiales que se necesitan para hacer el cambio del servicio y el lavamanos. Calcule el costo de la remodelación. . No. DESCRIPCIÓN CANTIDAD VALOR UNITARIO 1 Tubo de pvc de 4 plg 1m 80.65 2 Codos de 4 plg 2 25.35 3 Camisa de pvc 4 plg 2 12.45 4 Tubo de pegamento para pvc 2 ud 50.00 5 Masilla de porcelana 1 lb 30.00 6 Sanitario 1– 1254.82 7 Tubo de abasto servicio 1 84.70 8 Válvula para sanitario 1 80.00 9 Lavamanos 1 1000.00 10 Grifo 1 500.00 11 Tubo de abasto lavamanos 1 84.70 12 Válvula lavamanos 1 80.00 13 Accesorios lavamanos 1 100.00 14 Tubo de 2 plg 2m 32.50 15 Codo de plg 2 20.00 16 Reductor de 2plg a 5/4 1 15.00 17 Barra de silicón 1 58.90 18 Rollo de te lón 2 10.50 19 Bolsa de cemento 1 153.00 20 Arena ½m 150.00 21 Bolsa de arenilla rosada 1 30.00 22 Mano de obra 2 días 600.00 SUBTOTAL TOTALES PARCIALES Total MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 151 51 1 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales Contenido Teórico No.01 142/ 143 EJERCICIO PRÁCTICO 1) Convierta a decimal las siguientes fracciones, luego clasifíquelos de acuerdo a su forma decimal. a) 3 5 e) b) 4 15 4 12 f) 22 9 c) 7 11 d) g) 7 40 h) 37 6 19 27 2) Clasifique los siguientes decimales dados en periódicos puros, mixtos o exactos. a) –12.346 b) 12.55555... c) –1.29343434... d) –123.831 b) 0.0219 f) –4.173 g) 0.54191919... h) –0.658 3) Represente en la recta numérica cada una de los siguientes decimales. a) –3.3 b) 2.5 c) –3.2 d) 1.65 e) 0.7 f) –0.25 g) 2.9 h) –1.7 4) Efectúe las siguientes sumas y restas con decimales. a) –3.2 – 0.67 – 5.8 – 9.40 – 0.32 – 4.65 – 1.73 –6.98 b) 13.4 + 34.56 + 9.80 – 24.35 – 76.86 c) –2.435 + 8.970 + 24.354 – 65.758 d) –1.829 – 23.4 de 34.54 e) Reste –23.4 de 34.54 f) De 86.85 reste –2.35 g) Reste –0.435 de –0.65 h) De –53.09 reste 123.24 152 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas con Números Naturales, Enteros, Decimales y Racionales 143/143 5) Efectúe las siguientes multiplicaciones con decimales. a) (–3.4)(8.7)(0.16) b) (–1.4)(–3)(–7.5)(–0.12)(–1.9) c) –142.35 x 98.76 d) 8.7 x –10000 e) (6.7)(8)(–0.9)(3.6) 6) Efectúe las siguientes divisiones con decimales. a) (–45.6 ÷ 8.7 b) –12.89 ÷ 1.2 c) 45.6 ÷ (–0.45) d) 65.4 ÷ 2.4 e) –54.6 ÷ (–0.96) f) 234.5 ÷ 100 g) –4.5 ÷ 100 7) Efectúe las siguientes operaciones con decimales. a) (–3.1 + 7.3 x (0.5 + [8.8 – 0.7 x 2]) b) (2.6 + 0.9) + (–7.2 –5.4) + [8.6 – 1.2 + (0.7 – 1.3)] c) –1.5 + 2.3(4.6 + [–6.5 + 4.9(0.8 + 2.5 ÷ (–4.6))]) d) –3.5 + 3.5 x {0.3 –4.4 x (2.4 – 7.5 – 5.1 x (3.9 –1.2))} e) (6.4 – 6.7)(–7.6 + 7.7)(1 – 10.1) MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 153 53 3 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Evaluación 1/6| TIPO VERDADERO O FALSO Instrucciones Lea cada proposición y escriba en el espacio de la derecha una V si la proposición es cierta o una F si la proposición es falsa. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) - 345 es un número natural .......................................................................... 3,002,041 se lee 3 millones docientos mil cuarenta y uno ............................. El resultado de 3 + 2 x 8 – 10 es 30 ........................................................... 99 es un número primo ................................................................................ En el número 102,455 el valor relativo de 4 es 400...................................... Restar -250 de -315 resulta en 65 ............................................................... 155 es múltiplo de 31 .................................................................................. |–31| es -31 ............................................................................................... 867 x 10000 resulta en 867000 .................................................................. 27 es divisor de 111 ................................................................................... ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 20 ( ( ( ) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ) ) ) 11) 10 es una fracción ........................................................................................ 12) -2.016 se lee negativo dos enteros 16 milésimas ........................................... 13) El resultado de 0.5 + 2.5 x 2 – 1.5 es 4.5 ................................................... 2 14) 15 es una fracción impropia ........................................................................ 15) El número decimal 12.074 es periódico puro ................................................ 16) Restar -3.8 de -0.5 resulta en 3.3 ................................................................ 17) 3.4 x 1000 es 3400..................................................................................... 1 18) 2 4 escrito como número mixto es 94 ............................................................ 19) -73.3 ÷ 100 resulta en -0.733 .................................................................... 20) 228 simplificado es 112 ................................................................................... TIPO SELECCIÓN ÚNICA Instrucciones Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición. 1) 154 1 El resultado de la operación combinada –50 + 3 X 10 – 160 ÷ 2 es: A. 100 B. -100 C. 0 D. 450 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Evaluación 2) El valor relativo de 5 en 2501 es: A. 5 decenas B. 5000 C. 5 centenas D. 5 3) La siguiente división no está definida: A. 340 ÷ 340 B. 10 ÷ 10 C. 0 ÷ 0 D. 712 ÷ 0 El número 210 es divisible por: A. 2, 3 y 5 B. 2, 3, 5, y 7 C. 2, 5 y 7 D. 3, 5 y 7 4) 5) La descomposición en factores primos de 88 es: A. 23 x 11 B. 23 C. 11 D. 2 x 11 6) El mcd ( 2, 4, 8 ) es: A. 4 B. 2 C. 1 D. 8 7) 341 es divisible por: A. 7 B. 13 C. 19 D. 11 8) El resultado de –2 [–3 + (13 – 5 X 2)]: A. 44 B. 11 C. 12 D. 0 9) El resultado de (–1)(2)(–1)(–2)(3): A. 12 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 2/6 155 55 5 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Evaluación 3/6 B. -12 C. -9 D. 9 10) La descomposición en factores primos de 20 es: A. 22 x 5 B. 22 C. 5 D. 2 x 5 11) El resultado de la operación combinada A) 7 24 B) | 1 8 2 1 3 es: 3 2 4 7 C) 24 D) 1 8 12) La forma decimal de 3 : 11 A) B) C) D) 0.2727 -0.2727 0.27 –0.27 13) El siguiente decimal es periódico puro: A) 23.55 B) 23.85555… C) 23.5555… D) 23.5555 14) La región sombreada del diagrama A) 2 octavos B) 8 sextos C) 6 octavos D) 2 sextos representa la fracción: 15) Representación en diagrama de la fracción 2 3 : 4 A) B) C) D) | 156 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Evaluación 16) El resultado de A) 17) 2 1 3 : 3 3 4 2 9 2 9 B) 0 4/6 P A) 1 9 2 D) 9 2 1 Según la figura, la fracción que el punto P representa es: B) 2 3 C) C) 1 3 3 D) 2 3 18) El resultado de 1 5 1 3 : 4 5 5 A) 1 B) 1 2 2 C) 2 D) –2 19) El resultado de (0.2)(10)(–0.1): A) B) C) D) 0.2 -0.2 2 -2 20) –4 A) B) C) D) –3 representa a: B -4.2 -3.2 -3.8 -4.8 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 157 57 7 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Evaluación 5/6 TIPO PRÁCTICO Instrucciones Resuelva lo que se le pide en cada ejercicio o problema, haga los procedimientos correspondientes y sea ordenado al presentar su trabajo. 1) Efectúe las siguientes operaciones con enteros a. –300 –250 –410 –170 –100 b. 4500 + 1700 – 3500 –600 + 800 c. 5 + 2(7 – 14) – 9 – 3(4 x 2 –10) d. 3[–2(10 ÷ 5 – 1)) – 3] + 4 2) Calcule el mínimo común múltiplo y máximo común divisor de: a. mcd (12, 24, 36) b. mcm (15, 60) c. mcm (5, 20, 35) d. mcd (7, 23) 3) Resuelva los siguientes problemas: a) Jorge es tapicero y hace un contrato para reparar los asientos de 12 buses repartidores de churros de una empresa. Él cobra por cada asiento reparado L 1900.00 El presupuesto de gastos que él ha calculado para reparar cada bus son los siguientes: En tela Lps. 450.00, en resistol Lps. 160.00, en esponja Lps. 400.00 y en accesorios Lps. 250.00 ¿Cuál es la ganancia de Jorge al terminar el contrato? b) 4) 158 1 Para realizar una obra Enrique necesita 50 bolsas de cemento, 3 metros de grava y 4 metros de arena; compra los materiales en Ferretería “La Barata” y el costo de cada material es el siguiente: La bolsa de cemento vale Lps. 150.00, el metro de arena Lps. 250.00 y el metro de grava Lps. 300.00 a Enrique sólo le dieron Lps. 9,000.00 para pagar, ¿Le dan vuelto o le falta dinero para pagar la factura? Efectúe las siguientes operaciones con fracciones: a) –3.05 – 2.504 – 0.412 – 1.73 – 2.119 b) 7.4500 + 8.176 – 3.5 – 6.33 + 2.87 c) 5.1 + 2.3(7.5 – 14.2) – 9.4 – 3.6(4.1 x 2.1 – 10.2) d) 0.3[–0.2(10 ÷ 5 0.–1)–0.3] + 0.4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Evaluación 5) 6/6 Efectúe las siguientes operaciones con fracciones: 2 1 21 15 2 3 5 3 3 3 3 3 2 1 7 1 2 b) 4 5 3 3 3 3 3 5 1 3 1 3 c) 2 3 4 1 2 4 4 2 4 1 5 d ) 2 5 1 3 1 2 2 a) 6) Resuelva los siguientes problemas: a) Un transportista compra 4 camiones por un valor de Lps. 120,000.00 cada uno. del precio de cada camión se pagó en efectivo, del precio con cheque, la diferencia se queda a deber en 48 cuotas mensuales del mismo valor cada una. ¿Cuánto se pagó en efectivo por los 4 camiones? ¿Cuánto se pagó con cheques por los 4 camiones? ¿Cuánto se quedó a deber y cuál es el valor de cada mensualidad? b) Por la compra de 21 martillos se pagaron Lps. 1,375.50, por 25 serruchos se pagó Lps. 2,887.50 y por 40 tenazas se pagó Lps. 6,220.00 ¿Cuánto se pagó en total en la compra? y ¿Cuál es el precio de cada herramienta? MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 159 59 9 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.02 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero 1/11 DENOMINACIONES DE DINERO EN HONDURAS Breve historia del dinero Desde tiempos remotos el ser humano ideó sistemas para dar valor a las cosas y poder intercambiarlas, primero se utilizó el trueque, después el intercambio y luego surgió el dinero. Las primeras monedas que se conocen, se acuñaron en Lidia, la actual Turquía en el Siglo VII A. de C., eran de electro aleación natural de Oro y plata, ya que para todos los pueblos el oro era el metal más valioso seguido de la Plata, patrón que se trasladó a la fabricación del dinero. Durante siglos en Grecia, casi 500 Reyes y 1,400 ciudadanos, acuñaron sus propias monedas, y se estableció la costumbre de adornar cada moneda con el dibujo de su emblema local y se creó el primer sistema monetario unificado, que, con la caída del imperio se derrumbó, entonces obispos, nobles, propietarios y diversas localidades se dedicaron a acuñar monedas, esta dispersión fue habitual hasta la época de Carlo Magno, rey de Europa Occidental, reformó el sistema en el siglo VIII y devolvió el control de su emisión, al poder central. El pionero en utilizar billetes, fue el emperador mongol, Kubali Khan en el Siglo XI, para él, era el certificado de propiedad de una cantidad de monedas de oro en Europa, en sus inicios, los billetes eran certificados sobre la existencia de un depósito de oro en un banco. A finales del Siglo XVI, cuando el público empezó a usarlo para saldar deudas y realizar pagos, los bancos emitieron certificados por cantidades fijas, los primeros billetes oficiales se emitieron en 1694, por el Banco de Inglaterra, así nació un nuevo tipo de dinero, el fiduciario, a diferencia de las monedas de la época, el billete solo tenía valor representativo. Históricamente, nació primero la cédula del Banco Nacional de San Carlos 1798, segundo, la primera emisión de billetes del Banco de España 1856 y tercero, los billetes de 50 Pesetas que circularon en la república española de 1931. ¿Qué tienen en común las conchas marinas, las semillas de cacao, las piezas de ámbar, marfil o jade, las cuentas ornamentales, los clavos, la sal y el ganado vacuno? Todos éstos, y cientos de otros objetos alguna vez sirvieron como instrumentos de intercambio y medios de pago, sobre todo antes de inventarse la acuñación de monedas. Sin embargo, aun después de enraizada la cultura monetaria en los pueblos antiguos, la moneda no siempre llegó a desplazarlos totalmente. Si hoy hablamos de salario, es porque en un tiempo los soldados de la Antigua Roma recibían su paga en sal, y si usamos las palabras pecunia y pecuniario, es porque el ganado, también en Roma, se usó como medio de intercambio, y pecus, en latín, significa “ganado”. Por eso, implantada la moneda, los romanos hablaban de pecunia pesata cuando las monedas se pesaban para determinar su valor, y de pecunia numerata cuando, en una fase más avanzada, ya no había que pesarlas, pues se les asignaba un valor numérico fijo. 160 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero Contenido Teórico No.02 2/11 Primeros tipos de dineros Tipo de moneda País Arroz y pequeños utensilios Dientes de perro Guijarros de cuarzo Fichas de juego Conchas de Cauri Discos metálicos Discos de piedra caliza China Papúa – Nueva Guinea Ghana Hong Kong India Tíbet Isla Yap Lista de otros tipos de dinero usados como forma de pago de mercancías. Hierro Vino Sal Cabras Barbas de Ballena Pájaros carpinteros Mostacillas Tabaco Barra de sal cristalizada Cuero Cuchillos Arroz Cobre Ron Caballos Caparazón de Tortugas Colmillos de jabalí Plumas exóticas Ollas Herramientas Agrícolas Caparazón de caracol Oro Botes Vacas Bronce Maíz Ovejas Dientes de Delfín Plumas de pájaros Vidrio Melaza Piedras redondas Juego de cartas Plata Resina Esclavos ¿Qué es el dinero? La palabra dinero es derivada del latín denarium, era una moneda que utilizaron los romanos para realizar sus actividades comerciales. El dinero es cualquier medio de cambio generalmente aceptado para el pago de bienes y servicios y la amortización de deudas. También sirve como medida del valor para tasar el precio económico relativo de los distintos bienes y servicios. La aparición del dinero constituye uno de los grandes avances de la civilización humana en toda su historia. Precio del bien o activo: Es el número de unidades monetarias requeridas para comprar un bien o activo. Durante el periodo en que América del Norte era una colonia, es decir bajo el dominio inglés, la moneda española era un importante medio de cambio mientras que la libra esterlina británica era el patrón de medida del valor en casi toda Europa. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 161 61 1 E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.02 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero 3/11 Funciones del dinero Facilitar el intercambio de mercaderías por tratarse de un bien convencional de aceptación general y garantizada por el estado. Actuar como unidad de cuenta, es decir, expresar en determinadas unidades los valores que ya poseen las cosas. En este caso, se denomina función numeraria. Patrón monetario: Regulación de la cantidad de dinero en circulación en una economía, a través de una paridad fija con otro elemento central que lo respalda, que puede ser un metal precioso o una divisa fuerte de aceptación generalizada en el ámbito internacional para todo tipo de transacciones comerciales. Emisión de dinero Emitir dinero quiere decir imprimir e insertar dinero en el mercado. Existen dos sistemas de emisión: El de libertad: Establece que cualquier banco puede emitir dinero como una de sus funciones. Se hace con permiso del banco central. El de reglamentación: Lo autoriza el Estado de un país y reglamentado por instituciones y países del mundo que velan por que no se emita dinero que no tenga como respaldo la producción de bienes y servicios del país que quiere emitir nuevos billetes y monedas. Generalmente, la labor de emitir dinero está a cargo de los bancos centrales del mundo, de manera que éstos producen las monedas y los billetes que circulan en la economía de cada país. Unidad básica de medida del dinero hondureño El Lempira, es la unidad básica de dinero en Honduras desde principios del siglo. Unidad básica: El Lempira Múltiplos del Submúltiplos del lempira en unidades lempira en centésimas 500 1 100 2 50 5 20 10 10 20 5 50 Equivalencia en lempiras 1 0.1 100 2 0.2 100 5 0.5 100 10 0.1 100 20 0.2 100 50 0.5 100 2 162 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.02 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero 4/11 Conversiones de cantidades de dinero en múltiplos y submúltiplos Ejemplo 1 Convierta la cantidad de dinero dada al múltiplo o submúltiplo pedido CANTIDAD EN LEMPIRAS Y CONVERSIÓN PEDIDA PROCESO DE SOLUCIÓN RESULTADO 412.45 lempiras a centavos Se convierten los lempiras a centavos. 412.25 lempiras x 100 ctvs. 41,225 ctvs 41,225 centavos 1. Se convierten las monedas de 50 a centavos. 60 x 50 ctvs = 3000 ctvs 2. Se convierte el billete de 5 en centavos. Un billete de 5 = 500 centavos 60 monedas de cincuenta centavos en billetes de 5 Son 23 billetes de 1 3. Los 3,000 centavos se convierten a lempira y 45 monedas de billetes de 5. 5 lempiras 3000 ctvs 500 ctvs 1 centavo. 3000 5 150 00 Puede tachar ceros 500 5 00 150 5 30 billetes de 5 300 billetes de 5. 1. Se convierten los 2,345 centavos a lempiras. Un billete de 1 = 100 centavos 2345 centavos en billetes de 1 2. Operación a realizar 2345 ctvs 1 lempiras 100 ctvs 2345 1 100 2345 100 23.45 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Son 23 billetes de 1 lempira y 45 monedas de 1 centavo. 163 63 3 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.02 CANTIDAD EN LEMPIRAS Y CONVERSIÓN PEDIDA Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero PROCESO DE SOLUCIÓN RESULTADO 1. Se convierten las monedas de 5 a centavos. 8568 x 5 ctvs = 42,840 ctvs. 2. Se convierten las monedas a billetes de 50. Un billete de 50 = 50 x 100 ctvs = 5000 ctvs. 3. Se convierten los centavos a billetes de 50. 42,840 ctvs 8,568 monedas de 5 en billetes de 50 164 1 50 lempiras 5000 ctvs 42,840 50 2,142, 000 Puede tachar ceros 5000 5 000 2142 5 428.4 428 billetes de 50 0.4 ctvs en monedas de 5 5 0.4 ctvs 100 0.4 100 5 8 monedas de 5 MÓDULO No.3 428 billetes de 50 y 8 monedas 5 MATEMÁTICAS 5/11 El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.02 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero 6/11 EJERCICIO PRÁCTICO Haga las conversiones de los valores que a continuación se presentan. 567 monedas de 2 en billetes de 100 345 lempiras en monedas de 20 100 monedas de 10, 150 monedas de 20 en billetes de 10. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 165 65 5 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.02 Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero UNIDADES BÁSICAS DE TIEMPO Definición tiempo El Tiempo es una magnitud física fundamental con la que medimos la duración o separación de acontecimientos sujetos a cambio, puede ser medido utilizando un proceso periódico, entendiéndose como un proceso periódico lo que se repite de una manera idéntica e indefinidamente. La unidad fundamental de tiempo es el segundo. Definición de segundo Hasta el año de 1967 se le definía como la 86,400 ava parte del día solar medio, 1 partes de un día. 86,400 es el número de segundos que hay en un día es decir 86400 promedio cualquiera. La definición que usan actualmente los científicos es altamente compleja, se enuncia literalmente solo para ilustrar lo complejo que puede ser el conocimiento científico: Segundo: En el año 1967 se establece en la conferencia de pesos y medidas en París que un segundo es igual a 9,192,631,770 (Nueve mil ciento noventa y dos millones, seiscientos treinta y un mil setecientos setenta) períodos de radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio ( 133Cs ), medidos a 0 grados de temperatura Kelvin. Se representa por la letra s. La mayoría de las actividades del ser humano están regidas por el tiempo, ya que éste nos ayuda a poner en orden nuestro día. Nos indica que deberíamos estar haciendo, o cuando algo va a suceder, es como una corriente sin fin que nos transporta, trasladándonos desde el pasado, presente y luego al futuro. VALOR SUBMÚLTIPLOS SÍMBOLO NOMBRE VALOR MÚLTIPLOS SÍMBOLO NOMBRE 10-1 s ds decisegundo 101 x das decasegundo 10-2 s cs centisegundo 102 s hs hectosegundo 10 s ms milisegundo 103 s ks kilosegundo 10 s s microsegundo 106 s Ms megasegundo 10 s ns nanosegundo 109 s Gs gigasegundo 10 s ps picosegundo 1012 x Ts terasegundo 10 s fs femtosegundo 1015s Ps petasegundo 10 s as attosegundo 1018 s Es exasegundo 10 s zs septosegundo 1021 s Zs zettasegundo 10 s ys yoctosegundo 1024 s Ys yottasegundo -3 -6 -9 -12 -15 -18 -21 -24 Pre ijos comunes de unidades están en negrita. 166 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 7/11 El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.02 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero 8/11 Hay otras unidades de tiempo más conocidas, sus equivalencias se detallan en la siguiente tabla: Medida Segundos Minutos Horas Días Años de 365 días 60 1 1 60 1 1440 1 525, 600 Horas (h) 3,600 60 1 1 24 1 8760 Días (d) 86,400 1,440 24 1 1 365 Semana 604,800 10,080 168 7 1 52 Mes 2,620,800 43,680 728 28, 29, 30, 31 1 12 Bimestre 5,241,600 87,360 1,456 60, 61 1 6 Trimestre 7,862,400 131,040 2,184 90, 91, 92 1 4 Cuatrimestre 10,483,200 174,720 2,912 120, 122, 123 1 3 Semestre 15,724,800 262,080 4,368 180, 181, 182 1 2 Año (a) 31,449,600 524,160 8,736 365 Minutos (m) Año bisiesto 1 366 Lustro 1,825 5 Década 3,650 10 Siglo 36,500 100 Milenio 365,000 1000 Miríada 3,650,000 10,000 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 167 67 7 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero Contenido Teórico No.02 Conversiones de cantidades de tiempo en múltiplos y submúltiplos Ejemplo 1: Convierta la cantidad de dinero dada al múltiplo o submúltiplo pedido. Cantidad de tiempo y conversión pedida Proceso de solución Resultado Se convierten los segundos a horas 8000 s 1h Se usa que 1 h 3600 s 3600 s 80 00 1 Se tachan los ceros 36 00 80 Simplificando 36 40 18 20 Se convierte a mixto y se divide 9 2 2 2.22222... 2.2 h 9 800 segundos a horas 2.2 h 1. Se convierten los años a meses. 8 a 8.5 años a trimestres 12 m 8 12 m 96 m 1a 2. Se convierten los meses a trimestres. 32 trimestres 1 trimestre 3m 96 1 trimestres 3 32 trimestres 96 m 168 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 8/11 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero Contenido Teórico No.02 Cantidad de tiempo y conversión pedida Proceso de solución 9/11 Resultado 1. Se convierten los 0.75 milenios a meses. 475 decadas 10 a 1 decada 475 10 1 4750 a 0.75 milenios a semestres 3,000 trimestres 2. Se convierten los años a semestres. 4750 a 1 milenio 1000 a 4750 1 1000 4.75 milenios 1. Se convierten las décadas a años. 0.75 milenios 1000 a 1 milenio 0.75 1000 1 750 a 475 décadas a milenios. 4.75 milenios 2. Se convierten los años a milenios. 4 trimestres 1a 750 4 1 3, 000 trimestres 750 a MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 169 69 9 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones Básicas Utilizando Cantidades de Dinero Contenido Teórico No.02 EJERCICIO PRÁCTICO Desarrolle los siguientes ejercicios 7 lustros a semanas 3,000 horas a semanas 364 semanas a cuatrimestres 170 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 11/11 El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.03 Operaciones utilizando promedios 1/6 Definición de promedio Para ilustrar el concepto de promedio se examinará la siguiente situación: Una fábrica quiere saber si el bloque, de 15 x 25 x 40 cm de alto ancho y largo respectivamente, que fabrica tiene las mismas dimensiones en una producción de 500 bloques. Para eso toma una muestra de 5 bloques por cada 100 producidos y mide las dimensiones de los bloques. Las medidas tomadas se muestran en la tabla. a) b) c) d) Sume las 25 medidas de alto, ancho y largo. Divida cada resultado por 25, que es el valor de la muestra. El resultado obtenido es el promedio de las medidas de los bloques. Analice los resultados obtenidos bajo el siguiente criterio: Reste las medidas con los promedios obtenidos. Si la diferencia es menor que una décima, las medidas de los bloques fabricados son correctas, sino la fábrica debe hacer moldes nuevos. Grupos de bloques Primera muestra Segunda muestra Tercera muestra MÓDULO No.3 Alto en cm Ancho en cm Largo en cm 15 25 39.9 14.7 25 39.9 14.8 25 40 15.2 24.8 39.8 15 25.2 40.1 15.1 25 40 14.9 25.1 40 14.9 24.9 40.1 15 24.9 39.9 15 25.1 40 15 25 40 14.8 25 40.2 14.8 25 40.1 15.1 24.9 39.9 15 25.2 40 MATEMÁTICAS 171 71 1 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.03 Grupos de bloques Operaciones utilizando promedios Alto en cm Ancho en cm Largo en cm 15 25.1 40 14.9 25 40 14.9 24.9 40 15.1 24.9 39.9 15 25 40 15 25 40 14.9 25 40.1 14.8 24.9 40.1 15.2 24.8 39.9 15 25.1 40 374.1 624.8 999.999 Cuarta muestra Quinta muestra Sumas Proceso de solución 1. Realizar las sumas de las mediciones: Suma 1: 374.1 Suma 2: 624.8 Suma 3: 1000.2 2. Efectuar las divisiones: Sumas obtenidas entre 25 374.1 14.964 25 Promedio 2: 624.8 24.992 25 Promedio 3: 1000.2 40.008 25 3. Cálculos de las diferencias. 15 – 14.964 = 0.036 25 – 24.992 = 0.008 40 – 39.9996 = 0.0004 Promedio 1: Conclusión: Todas las diferencias son menores que una décima, por lo tanto la fábrica no debe cambiar los moldes. 172 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 2/6 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.03 Operaciones utilizando promedios 3/6 El ejemplo anterior ilustra el uso que se le da a los promedios, nos permite analizar la correspondencia que hay entre la suma de un conjunto finito de datos y el número total de datos del conjunto. Definición El promedio, llamado también la media aritmética, es la cantidad total de los valores tomados por una variable distribuida en partes iguales con cada dato tomado de la variable. La fórmula es la siguiente: promedio suma de los datos total de datos El promedio es muy utilizado en los deportes, medicina, comercio, estadística, juegos de azar, período de elecciones, pronóstico del tiempo, etc. Esta medida es usada para tomar decisiones administrativas que le permitan a los negocios crecer y así obtener mejores ganancias o hacer nuevas inversiones que favorezcan, por ejemplo: La atención al cliente, mejora en las calificaciones de los estudiantes, disminuir la deserción escolar, la producción de bienes y servicios, etc. Problemas de aplicación con promedios Ejemplo 1 José trabaja por hora en una fábrica, los salarios de José de lempiras en los últimos 6 meses son los siguientes: 6,954.55 7,142.50 8,456.92 6,789.45 7,341.65 8,234.55 ¿Cuál es el salario mensual de José en esos 6 meses? Proceso de solución 1. Sumar los 6 últimos salarios: 6 9 5 4.55 7 1 4 2.50 8 4 5 6.92 6 7 8 9.45 7 3 4 1.65 8 2 3 4.55 4 4 9 1 9.62 José ha ganado en los últimos 6 meses Lps. 44,919.62 2. Calcular el promedio dividiendo: 4 4 9 1 9.62 ÷ 6 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 173 73 3 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.03 Operaciones utilizando promedios 4/6 3. Operación a efectuar: 44919.62 ÷ 6, al comparar las cifras decimales 7486.60 600 4491962 4200 La división a realizar es: 4491962 ÷ 600 02919 2400 05196 4800 03962 3600 03620 3600 0020 El salario promedio mensual de José es de Lps. 7,486.60. Ejemplo 2 El gerente de una fábrica quiere saber cuál es el promedio, por mes y por año, de accidentes de trabajo que ocurren en sus instalaciones en los últimos cuatro años. Los distintos jefes de la fábrica envían los reportes al contador de la empresa, quien a su vez la hace llegar al gerente. La información se registra en la siguiente tabla. Calcule los promedios que el gerente solicita Mes 2009 2010 2011 2012 Sumas Promedio por mes enero 25 33 29 21 108 27 febrero 28 32 29 23 112 28 marzo 22 28 27 21 98 24.5 abril 26 34 31 20 111 27.75 mayo 25 33 29 21 108 27 junio 28 32 29 23 112 28 julio 22 28 27 21 98 24.5 agosto 25 33 29 21 108 27 septiembre 25 33 29 21 108 27 octubre 25 33 29 21 108 27 noviembre 28 32 29 23 112 28 diciembre 25 33 29 21 108 27 Sumas 304 384 346 257 1291 25.33 32 28.83 21.41 Promedio por año 174 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.03 Operaciones utilizando promedios 5/6 Proceso de solución 1. Cálculo del promedio de accidentes para enero: Se suma: 25 + 33 + 29 + 21 = 108 Se calcula el promedio: 108 ÷ 4 = 27 Hubo en promedio 27 accidentes en enero de esos años. 2. Cálculo del promedio de accidentes para 2009: Se suma: 25+28+22+26+25+28+22+25+25+25+28+25=304 Se calcula el promedio del año 2009: 304 ÷ 12 = 25.33 Hubo en promedio 25.33 accidentes en 2009, el decimal indica que hubo un poco más de 25 accidentes para ese año. 3. Siguiendo el mismo proceso comprobar que los promedios que aparecen calculados en la tabla son correctos. EJERCICIO PRÁCTICO Problemas de práctica Calcule los promedios solicitados en cada problema y responda lo que se le pide en cada uno Problema 1: Un fabricante de cosméticos adquirió una nueva máquina para llenar botellas de 3 ml (3 mililitros) de su nuevo perfume llamado “Exquisito”. Para probar la precisión de volumen que la máquina deposita en cada botella, se hizo una prueba con 24 recipientes. Los resultados de las mediciones son las siguientes: 3.01 3.03 3.01 3.03 3 2.94 3 2.94 3 3 2.98 3 3.02 3.04 3.02 3.04 2.95 2.96 2.95 2.96 2.93 3.04 2.93 3.04 Para recalibrar la máquina la diferencia entre los 3 ml que contiene cada botella y el promedio debe ser mayor a 4 centésimas, ¿Debe el fabricante del perfume recalibrar la máquina? MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 175 75 5 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.03 Operaciones utilizando promedios 6/6 Problema 2: La siguiente tabla muestra las calificaciones de 10 estudiantes en las cuatro asignaturas básicas. Solo si el promedio de calificaciones es mayor a 90 los estudiantes podrán optar a una beca escolar. Calcule los promedios y determine que estudiantes pueden o no optar a la beca. En la casilla correspondiente a OPCIÓN A BECA escriba SI o NO tiene la opción el estudiante. No. NOMBRE DEL ALUMNO ESPAÑOL ESTUDIOS SOCIALES MATEMÁTICA CIENCIAS NATURALES 1 Alejandra Cruz 89 94 95 100 2 Belinda Cáceres 92 93 90 91 3 Sonia Maradiaga 91 90 100 100 4 Abel Mendoza 78 81 94 88 5 Xiomara Torres 87 91 95 98 6 Manuel Díaz 90 87 84 91 7 María Pineda 91 91 98 100 8 Cintia Rosales 76 80 91 89 9 Alex Moncada 90 92 100 92 10 Bessy Escoto 100 97 100 98 176 1 MÓDULO No.3 PROMEDIO OPCIÓN A BECA MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 1/14 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Definición de potencia Para ilustrar el concepto de potencia se resolverá el siguiente problema: Don Carlos lleva en su camión producto a vender de Tegucigalpa a San Pedro Sula. La mercadería va distribuida de la siguiente forma: 12 cajas de calcetines, cada caja contiene a su vez 12 empaques, cada empaque contiene a su vez 12 bolsas conteniendo una docena de calcetines cada bolsa. Cada par de calcetines lo venderá a Lps. 15.00. a) ¿Cuántos pares de calcetines lleva don Carlos en su camión? b) De vender todo los pares, ¿Cuánto obtendría en la venta? Proceso de solución 1. Se Plantea el problema como una multiplicación, el resultado de la multiplicación es la cantidad de pares de calcetines transportados. Este es el caso de una caja dentro de otra caja donde cada una de ellas tiene el mismo número de elementos contenidos. 12 cajas x 12 empaques cada caja x 12 bolsas cada caja x 12 pares de calcetines cada bolsa. 2. Se multiplica 12 por sí mismo 4 veces: 12 x 12 x 12 x 12 12 12 12 12 Se multiplica 144 12 12 Se multiplica 1728 12 Se multiplica 20736 144 12 1728 12 288 144 1728 1728 20736 3456 3. Respuesta a las preguntas del problema. a) Don Carlos lleva en su camión 20,736 pares de calcetines a vender. b) Se multiplica: 20736 x 15 = 311,040. Don Carlos recibiría Lps. 311,040.00 en la venta de todos los pares de calcetines. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 177 77 7 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 2/14 El ejemplo anterior nos ilustra que podemos multiplicar repetidas veces un número, al resultado de esta multiplicación se le llama potencia. Definición Potencia es el resultado de multiplicar una cantidad, llamada base, por sí misma el número de veces que indique el exponente. Simbólicamente se expresa así: a n a a a a a b n veces a : Se llama Base n : Se llama Exponente b : Se llama Potencia Siguiendo el ejemplo anterior, se simboliza la operación de la siguiente manera: EXPONENTE 12 4 12 12 12 12 20736 4 VECES BASE POTENCIA Ejemplo 1 Expresar en forma desarrollada los siguientes productos: a ) 58 3 b) 4 6 c) 4.99 Proceso de solución Se escribe el producto de la base el número de veces que indica el exponente. d ) 100 5 4 a ) 58 e ) w7 5 5 5 5 5 5 5 5 58 Está multiplicado por si mismo 8 veces 6 3 3 3 3 3 3 3 b) 4 4 4 4 4 4 4 Está multiplicado por si mismo 6 veces c) 4.99 4.99 4.99 4.99 4.99 4.99 5 Está multiplicado por si mismo 5 veces d ) 100 100 100 100 100 4 Está multiplicado por si mismo 4 veces e) w 7 w w w w w w w Está multiplicado por si mismo 7 veces 178 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 3/14 Ejemplo 2 Exprese en forma de potencia las siguientes potencias. 2 2 2 2 2 b) 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 a) Está multiplicado por si mismo 7 veces Está multiplicado por si mismo 5 veces 1.07 1.07 1.07 1.07 c) 1111 d) Está multiplicado por si mismo 4 veces Está multiplicado por si mismo 4 veces k k k k k k e) Está multiplicado por si mismo 6 veces Proceso de solución a ) El 7 está multiplicado por si mismo 7 veces, la potencia es 7 7 2 2 b) El está multiplicado por si mismo 5 veces, la potencia es 9 9 5 c) El 1.07 está multiplicado por si mismo 5 veces, la potencia es 1.07 4 d ) El 1 está multiplicado por si mismo 5 veces, la potencia es 1 4 e) El k está multiplicado por si mismo 5 veces, la potencia es k 6 Ejemplo 3 Calcule las siguientes potencias y determine el signo de cada una de ellas 5 a) 5 3 b) 4 3 c) 2.8 2 d ) 100 3 Proceso de solución 1. 55 :Este es el caso de una base positiva elevado a un exponente positivo. Se multiplica 5 por si mismo 5 veces. 5 x 5 = 25 25 x 5 = 125 125 x 5 = 625 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3125, la potencia es 3,125 625 x 5 = 3125 2. Esto ilustra la siguiente propiedad: Regla La potencia de una base positiva con exponente positivo impar, la potencia es positiva. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 179 79 9 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Contenido Teórico No.04 Operaciones utilizando potenciación y radicación 4/14 Proceso de solución 1. 3 4 3 Es el caso de una base negativa elevado a un exponente positivo impar. 3 3 Se multiplica 4 por si mismo 3 veces, se debe aplicar ley de los signos para la multiplicación. 3 3 9 4 4 16 27 3 3 3 , la 64 4 4 4 9 3 27 16 4 64 27 potencia es 64 2. Esto ilustra la siguiente propiedad. Regla La potencia de una base negativa con exponente positivo impar, la potencia es negativa. Proceso de solución 1. (–2.8)2: Es el caso de una base negativa elevado a un exponente positivo par. Se multiplica –2.8 por si mismo 2 veces, se debe aplicar ley de los signos para la multiplicación. (–2.8)(–2.8) = 7.84, la potencia es 7.84 2. Esto ilustra la siguiente propiedad: Regla La potencia de una base positiva con exponente positivo par, la potencia es positiva. (–10)3: Aplicando las reglas anteriores, la potencia será negativa, porque la base es negativa y el exponente es impar. Se multiplica –10 por si mismo 3 veces, se debe aplicar ley de los signos para la multiplicación. (–10)(–10) = 100 (100(–10) = 1000 (–100)(–100)(–100) = –1000, la potencia es –1000 180 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 5/14 Propiedades de la potenciación La potenciación cumple ciertas propiedades que se enuncian a continuación: No. Propiedad Simbolización Significado 1 Multiplicación de potencias de igual base y diferente exponente. am an amn Se copia la base y se suman los exponentes. 2 Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente. a m b m a b m Se multiplican las bases y se copia el exponente. 3 División de potencias de igual base y diferente exponente. am an amn Se copia la base y se restan los exponentes. 4 División de potencias de distinta base e igual exponente. a m b m a b m Se dividen las bases y se copia el exponente. 5 Potencia de una potencia: Una base elevada a dos o más exponentes. a m a m n Se copia la base y se multiplican los exponentes. 6 Potencia de exponente uno. a1 a Una base elevada a exponente uno es igual a la misma base. 7 Potencia de exponente cero. a0 1 Una base elevada a exponente cero es igual a uno. 8 Potencia negativo. de MÓDULO No.3 n 1 an Es igual a inverso de la base elevado a exponente positivo. MATEMÁTICAS 181 81 1 exponente a n Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 6/14 Ejercicios utilizando las propiedades de la potenciación Ejercicio Significado 14 1 1 3 3 Resultado Se copia la base y se suman los exponentes. 9 Se multiplican las bases y se copia el exponente. 7 7 8 5 1 3 14 9 Signo de la potencia 1 3 Base positiva y exponente positivo impar = potencia + 5 40 Base negativa y exponente positivo impar = potencia - 10 5 9 10 4 10 Base negativa y exponente positivo par = potencia + 8 5 7 7 5 9 10 30 5 201 10 6 4 8 11 201 7 12.009 1 314 1456 0 345 0 7 182 1 45 9 Se copia la base y se restan los exponentes. Se dividen las bases y se copia el exponente. 30 20 6 201 30 6 201 5 201 Base negativa y exponente positivo impar = potencia + 87 Se copia la base y se multiplican los exponentes. 4 11 4 11 56 Base positiva exponente par = potencia + Una base elevada a exponente uno es igual a la misma base. 12.009 Potencia - Una base elevada a exponente cero es igual a uno 1 Potencia + Es igual a inverso de la base elevado a exponente positivo 1 7 MÓDULO No.3 45 y Base negativa y exponente positivo impar = potencia - MATEMÁTICAS Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 7/14 Simplificación de potencias utilizando las propiedades de la potenciación Aplique propiedades de la potenciación y simplifique los siguientes ejercicios. Ejercicio 1: (–8)17 (4)–6 (–8)(5)14 (–8)–12 (5)8 Proceso de solución 1. Se agrupan las potencias con igual base (–8)17 (–8)(–8)–12 = (–8)17+1+12 = (–8)18–12 = (–8)6 (5)–6 ((5)4 (5)8 = (5)–6+4+8 = (5)–6+12 = (5)6 2. Se simplifica la operación resultante (–8)6 (5)6 = (–8x5)6 = (–49)6 4 Ejercicio 2: 5 1 1 1 4 4 4 3 1 1 4 4 7 Proceso de solución 1. Se aplica la regla de multiplicación en el numerador y en denominador. 4 5 7 97 7 1 1 1 4 4 4 31 4 4 1 1 1 4 4 4 2. Se aplica la regla de la división de potencias 1 4 74 1 4 3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 183 83 3 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.04 Operaciones utilizando potenciación y radicación Aplicación que implican el uso de potencias para su solución El problema de los granos de trigo y el tablero de ajedrez Érase un rey de un país árabe que hizo un concurso para ver qué juego eran capaces de inventar sus súbditos de modo que le gustase. Uno tras otro, los juegos le aburrían al monarca, hasta que, por fin un joven le mostró un juego nuevo: el ajedrez. El rey quiso recompensarle por su juego y le dijo que le pidiese lo que quisiera. El inventor le pidió lo siguiente: en una casilla del ajedrez quería un grano de trigo, en la siguiente dos, en la siguiente cuatro, en la siguiente ocho, y así irían duplicándose los granos de trigo hasta pasar por todas las casillas del tablero. Al rey le pareció muy poco premio y así se lo hizo saber a su súbdito, quien insistió en la petición y que si se cumplía él se consideraría suficientemente recompensado. Pero el rey no sabía lo que realmente suponía el premio pedido por el ingenioso inventor, que demostró tanta imaginación creando el nuevo juego como pidiendo la recompensa ofrecida por el rey. Veamos primeramente cuántos granos de trigo pedía: 1. Los datos: el tablero tiene 8 x 8 = 64 casillas en total 2. A la primera casilla se le pone 1 grano, se va duplicando el número, sucesivamente: en la segunda casilla habría 2 granos, en la tercera 4 granos, en la cuarta habría 8, en la cuarta habría 16, etc. 3. El número de granos de trigo a partir de la segunda casilla del tablero se calculaban usando potencias de 2n donde n va desde 1 hasta 64. Casilla 1 = 1 grano Casilla 3 = 22 = 4 granos Casilla 5 = 24 = 16 granos Casilla 7 = 26 = 64 granos Casilla 2 = 21 = 2 granos Casilla 4 = 23 = 8 granos Casilla 6 = 25 = 32 granos Casilla 8 ) 27 = 128 granos Casilla 63 = 262 = ... granos Casilla 64 = 2163 = ... granos : : Si se usa una calculadora científica, el número de granos que tendría la última casilla sería de 9,223,372,036,854,775,808 granos. La suma total de granos sería de: 18,446,744,073,709,551,615 es decir (Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y uno mil seiscientos quince granos) No consta en los libros de historia si aquel país pudo producir esa cantidad de trigo durante el reinado de ese monarca. Pero cuenta la leyenda que el rey, al hacerle ver sus administradores que no podía pagar el premio, accedió a casar a su hija mayor con el joven inventor, que al cabo de los años reinó en aquel país, gracias a su imaginación y a la inteligencia demostrada al inventar el ajedrez y al pedir el premio. 184 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 8/14 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 9/14 RADICACIÓN DE RACIONALES Definición de radicación Para ilustrar el concepto de potencia se contestarán las siguientes preguntas: ¿Cuál es el número que elevado a la 3 resulta en 125? Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera: a3 = 125, hay que encontrar un número que elevado a la 3 resulte 125. Calcular la potencia: 53 = = 125. El número es 5. ¿Cuál es el número que elevado a la 2 resulta en 49? Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera: a2 = 49, hay que encontrar un número que elevado a la 2 resulte en 49. Calcular la potencia: 72 = 5 5 5 3 veces por si mismo 7 7 2 veces por si mismo = 49. El número es 7. ¿Cuál es el número que elevado a la 3 resulta en -1000? Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera: a3 = –1000, hay que encontrar un número que elevado a la 3 resulte en –1000, calcular la potencia: 10 3 10 10 10 1000 El número es –10. 3 veces por si mismo Definición La Radicación es la operación inversa a la potenciación, calcula la base que tuvo que elevarse al exponente n y resultará en la potencia. Simbólicamente: b = a si y solo si an = b, donde: b : Se llama Radicando n : Se llama índice a : Se llama raíz : Se llama símbolo radical n MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 185 85 5 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 Calcular las siguientes raíces a ) 16 4 porque 42 16 b) 121 11 porque 112 121 3 c) 3 1000 10 10 1000 porque 64 4 64 4 d) 3 64 4 porque 4 64 3 2 100 10 10 100 porque 81 9 81 9 e) f ) 3 512 8 porque 83 512 4 1 1 1 1 porque h) 125 5 5 125 g ) 32 2 porque 2 32 5 5 4 Propiedades de la radicación No. Propiedad 1. Raíz de un producto 2. Raíz de un cociente 3. Potencia de una raíz 4. Simbolización n Significado ab n a n b Es el producto de las raíces. a na ,b0 b nb Es el cociente de las raíces. n n a a m m n Es el radicando elevada a un exponente fraccionario. No es una propiedad m ab m a mb La raíz de una suma es distinta de la suma de las raíces. m a b m a m b La raíz de una resta es distinta de la resta de las raíces. 5. 186 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 10/14 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 11/14 Ejercicios utilizando las propiedades de la potenciación No. Ejercicio Resultado Es el producto de las raíces. 1. 3 3 64 3 125 64 125 45 20 Es el cociente de las raíces. 1 4 16 2. 3. 5 a7 a 4 4 1 16 1 2 Es el radicando elevada a un exponente fraccionario. 7 5 Es el producto de las raíces. 4 81 4 625 4. 4 81 625 3 25 75 Es el cociente de las raíces. 5. 3 4 3 4 3 6. 8 343 1 1 1000 1000 3 3 8 343 2 7 Es el radicando elevada a un exponente fraccionario. Es el producto de las raíces. 7. MÓDULO No.3 81 49 400 100 20 10 200 MATEMÁTICAS 187 87 7 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Contenido Teórico No.04 Operaciones utilizando potenciación y radicación 12/14 Raíces no definidas en los racionales Para ilustrar cuáles son las raíces no definidas en los racionales se contestarán siguientes preguntas: ¿Cuál es el número que elevado a la 2 resulta en 15? Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera: a2 = 15, hay que encontrar un número que elevado a la 2 resulte en 15. No hay un número tal que elevado a la 2 de 15. Por eso 15 no tiene raíz racional. ¿Cuál es el número que elevado a la 3 resulta en 100? Para contestar la pregunta debe traducirse de la siguiente manera: a3 = 100, hay que encontrar un número que elevado a la 3 resulte en 100. No hay un número racional tal que elevado a la 3 de 100. Por eso 3 100 no tiene raíz racional. Una observación importante: Todo radicando que no tenga una raíz racional es un número Irracional. Por ejemplo 15, 3 100, 2,– 21, 586, etc. ¿Cuál es el número que elevado a la 2 resulta en -100? No hay ningún número que elevado al cuadrado resulte en -100, porque la regla nos dice que todo número elevado al cuadrado tiene potencia positiva . Por lo tanto –100 no está definido en los racionales. ¿Cuál es el número que elevado a la 4 resulta en -81? No hay ningún número que elevado a la cuatro resulte en -100, por que la regla nos dice que todo número elevado a potencia par es positiva. Por lo tanto 4 –81 no está definido en los racionales. Una observación importante: Todo raíz que tenga radicando negativo e índice par, no está definida en los racionales, a este tipo de raíces se les llama imaginarias. Por ejemplo –900, 4 –1000, –2, –4, 6 –1, etc. 188 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.01 Contenido Teórico No.04 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Operaciones utilizando potenciación y radicación 13/14 Aplicaciones que implican el uso de raíces para su solución Ejemplo: Una agencia de bienes raíces pone un anuncio en el periódico promocionando la venta de un terreno de forma cuadrada que tiene 625 varas cuadradas de superficie. El anuncio también dice que el valor de la vara cuadrada es de Lps. 1,800.00. Don Javier necesita un terreno que tenga esa forma y para comprarlo tiene dos condiciones: Primero que el lado del cuadrado debe ser mayor de 20 varas y segundo el costo debe ser menor que Lps. 1,000,000.00. Conteste: a) Calcule la longitud del lado del terreno b) Calcule el precio del terreno b) ¿Puede comprar el terreno don Javier? Proceso de solución 1. La longitud del lado del terreno se calcula así: 625 = 25 Esto significa que cumple con la condición de que el terreno tenga una longitud mayor a 20 varas. 2. El precio del terreno es la siguiente: 625 1800 500000 62500 1125000 3. El precio del terreno es de Lps. 1,125,000.00. Como el precio del terreno es mayor que Lps. 1,000,000.00, no se cumple la segunda condición, por lo que se concluye que don Javier no puede comprar el terreno. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 189 89 9 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Operaciones utilizando potenciación y radicación Contenido Teórico No.04 EJERCICIO PRÁCTICO 1) Escriba en forma desarrollada las siguientes potencias 1 b) 7 a ) 38 5 c) 9.8 6 d ) 23 4 e) z10 2) Escriba como una potencia los siguientes productos 1 11 1 1 1 a) 5 5 5 5 4 4 4 4 b) Está multiplicado por si mismo 6 veces Está multiplicado por si mismo 4 veces 2.012.012.012.01 c) 111111 d) Está multiplicado por si mismo 6 veces Está multiplicado por si mismo 4 veces y y y y y e) Está multiplicado por si mismo 5 veces 3) Calcule el valor de las siguientes potencias 1 b) 2 a ) 27 5 c) 9.8 2 d ) 2 e) 1 4 10 4) Simplifique las siguientes potencias aplicando las propiedades de la potenciación. 5) Calcule las siguientes raíces a) 400 b) 900 d) 3 64 e) g) 5 32 h) 4 c) 64 125 3 49 64 f) 1 625 i) 3 4 512 1 8 6) Explique por qué las siguientes raíces no son racionales a) 190 1 40 b) 4 67 c) 6 64 125 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 14/14 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales El Elemento de Co Competencia No.01 Evaluación 1/4 TIPO VERDADERO O FALSO Instrucciones Lea cada proposición y escriba en el espacio de la derecha una V si la proposición es cierta o una F si la proposición es falsa. 1) 81 es igual a 9 ........................................................................................... ____ 2) En 200 monedas de 10 centavos hay 20 lempiras ......................................... ____ 3) de un lempira es igual a 60 centavos ......................................................... ____ 3 5 4) 3 –1 es igual a 1 ........................................................................................ ____ 5) El promedio de 30 y 32 es 33 ...................................................................... ____ 6) (–3) es igual a 9 ......................................................................................... ____ 7) (–3.0906)100, la potencia es negativa ........................................................... ____ 8) 104 es igual a 4,000 .................................................................................... ____ 9) El promedio de -20 y -30 es -25................................................................... ____ 10) 2 4 3 2 5 es igual a 2 3 9 .................................................................................... TIPO SELECCIÓN ÚNICA Instrucciones Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición. 1) El resultado de 15 12 A) 5 1 2) 6 2 1 1 es: 5 5 B) 15 9 C) 5 1 12 D) 1 5 9 En 7 lustros hay: A) 420 semanas B) 420 meses C) 420 días D) 420 años MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 191 91 1 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales E Elemento de Competencia No.01 C Evaluación 2/4 3) 21,600 segundos es igual a: A) 6 días B) 6 horas C) 6 semanas D) 6 meses 4) 40 monedas de 20 centavos en monedas de 2 centavos es igual a: A) 4 B) 40 C) 400 D) 4000 5) El resultado de 1 3 5 4 A) 203 6) 2 2 es: 2 18 El resultado de 117 A) 117 31 13 7 11 B) 3 20 B) 7 11 2 4 D) 203 5 D) 117 C) 203 es: 5 C) 117 7) Un milenio tiene 1000 años, un quinto de milenio tiene: A) 100 años B) 200 años C) 300 años D) 400 años 8) Las notas de Enrique en Ciencias son: 83, 66, 54, y 92; su promedio es de: A) 93.75 % B) 63.75 % C) 83.75 % D) 73.75 % 192 1 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 31 El Elemento de Co Competencia No.01 Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Evaluación 9) 3/4 El resultado de (–0.2)2 es: A) B) 25 1 25 C) 25 1 D) –25 10) Jaime tiene en su alcancía 583 monedas de 20 centavos, eso es igual a: A) L 116.6 B) L 216.60 C) L 1166.00 D) L 2166.00 TIPO PRÁCTICO Instrucciones Resuelva lo que se le pide en cada ejercicio o problema, haga los procedimientos correspondientes y sea ordenado al presentar su trabajo. 1) Use las reglas de los exponentes y radicales para simplificar cada operación dada: 3 3 a ) 5 23 7 8 8 d) 5 5 23 g ) 121 j) 2) 4 3 6 2 2 6 6 b) 13 13 16 81 2 5 e) 3 4 h) k) 3 2 7 5 c) 3 4 f) 100 144 625 169 i) 125 l ) 144 3 2 1 27 Efectúe las siguientes conversiones de dinero: a) 20 lempiras en monedas de 5 centavos. b) 30000 monedas de 10 centavos en billetes de 20. c) 12 billetes de 50 lempiras en billetes de 2 lempiras. d) 20 décadas en lustros. e) 259,200 segundos en días. f) año bisiesto en horas. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 193 93 3 E Elemento de Competencia No.01 C Resolver problemas que requieren operaciones básicas con números naturAles, enteros, racionales y decimales Evaluación 3) Salario que ganó Daniel en el año 2012: Enero: Lps. 7,545.00 Febrero: Lps. 7,955.00 Marzo: Lps. 8,146.00 Abril: Lps. 7,684.00 Mayo: Lps. 7,688.00 Junio: Lps. 8,144.00 4/4/ Julio: Lps. 7,562.00 Agosto: Lps. 7,842.00 Sept.: Lps. 7,545.00 Octubre: Lps. 8,163.00 Noviembre: Lps. 7,325.00 Diciembre: Lps. 7,115.00 ¿Cuál es en promedio el salario mensual de Daniel? 4) El número de taxis que transitan una calle entre las 8 y 9 de la mañana es: Día 1: 230 Día 7: 190 Día 2: 242 Día 8: 184 Día 3: 195 Día 9: 235 Día 4: 200 Día 10: 240 Día 5: 192 Día 11: 205 Día 6: 225 Día 12: 221 ¿En promedio cuántos autos pasan por esa calle a esa hora? 194 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS ELEMENTO DE COMPETENCIA 02 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Contenido teórico No.05 Operaciones y conversiones de unidades de medida. Contenido teórico No.06 Ángulos y triángulos Contenido teórico No.07 El Teorema de Pitágoras Contenido teórico No.08 Funciones trigonométricas MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 195 95 5 E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.05 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida OPERACIONES Y COVERSIONES DE UNIDADES DE MEDIDA LOS SISTEMAS DE MEDIDA La medición empírica: Un poco de historia Desde la antigüedad, se han elegido las unidades de medida de forma arbitraria. Varias de estas unidades han sido derivadas de eventos naturales y se ha tratado de que sea de fácil manejo y comprensión. Así, los cuerpos celestes proporcionaron una manera sencilla de calcular el tiempo: el día era el tiempo que transcurría de amanecer a amanecer; el mes, era el tiempo que transcurría entre una cierta fase de la luna y su recurrencia; el año, el tiempo que toma el sol pasar a través de sucesivos cambios de una posición en el ciclo a la misma posición. Las distancias cortas eran medidas por el número de pasos que tomaba cubrir la distancia y las distancias largas eran medidas por el número de días de travesía. Tazones y tazas eran utilizados para medir la capacidad de recipientes. Granos de trigo y cebada eran utilizados para medir peso de objetos de valor. Por miles de años, el trueque fue el medio de cambio, y así no fue necesario usar unidades de monedas. Ahora bien, mientras el ser humano vivía en comunidades aisladas, casi no existía comercio ni industrias y por tanto no era tan necesario establecer unidades de medida. Sin embargo, cuando comenzó a trabajar en grupos, se incrementó el comercio entre ellos y ésto indujo el establecimiento de unidades de medida que tuvieran el mismo significado para diversas comunidades. Al principio se establecían unidades para regiones de un mismo país; luego para un país entero y por último, para grupos de países. Se piensa que los romanos fueron los primeros en establecer unidades de medidas ampliamente aceptables. Sin embargo, con la caída del Imperio Romano, estas unidades fueron desechadas. Es importante destacar que el sistema métrico establecido a finales del siglo XVIII, en Francia, es utilizado casi mundialmente en ciencias e ingeniería; solo en algunos países de habla inglesa no lo utilizan para comercio. A continuación algunas unidades de medida y la costumbre de utilizar el cuerpo humano como base para elegirlas. Una de las primeras unidades de medidas de longitud fue el cubito, que fue definido como la longitud del antebrazo desde el codo hasta el extremo del dedo medio. El cubito fue utilizado por los babilonios y los egipcios, aproximadamente 2600 años antes de Cristo. El Arca de Noé, según la Biblia, fue construido con las siguientes dimensiones: 300 cubitos de longitud, 50 cubitos de ancho y 30 cubitos de alto. 196 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 1/15 El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.05 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida 2/15 Otra unidad de medida, el pie, fue utilizado por los griegos y romanos. Fue definido como 2/3 de un cubito y llega a Inglaterra al ser ésta conquistada por los romanos. El pie fue subdividido por los griegos en doce partes; cada parte al ancho de la uña del pulgar. Cada parte fue llamada por los romanos unicae y más tarde llamada por los anglosajones pulgadas. Ya que los hombres no tienen el dedo pulgar de igual ancho, el rey Eduardo II, en el siglo XIV, define la pulgada como la longitud de tres granos de maíz tomados del centro de una mazorca. Otra unidad de medida, la yarda, fue creada por los comerciantes de ropa ingleses. Al principio fue definida como la distancia del centro del pecho al extremo de los dedos de un brazo extendido (mitad de una “brazada”). El rey Enrique I, quien gobernó a Inglaterra en 1100 d. C. define la yarda legal como la distancia del extremo de su nariz al extremo del dedo pulgar de su brazo extendido. Para medir pesos, los babilonios usaban piedras seleccionadas y conservadas para ese propósito. Los egipcios y los griegos usaban semillas de trigo como la menor unidad de peso. La uniformidad de peso de las semillas de trigo hizo de este grano una buena unidad de medida. Esto induce a que más tarde se definiera la libra como 7.000 granos de trigo. Los ejemplos anteriores nos ayudan a ver como las unidades de medidas son originadas en forma arbitraria. Pero, es bueno aclarar que muchas de esas unidades de medida son utilizadas hoy día, a pesar de que ellas han sido reemplazadas por unidades de medidas más precisas. De allí, entonces la importancia de dichas unidades de medida en las actividades que realiza el ser humano en una sociedad. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 197 97 7 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Contenido Teórico No.05 El Sistema Métrico Decimal Concepto de medir Realizar mediciones es sin duda una de las actividades que realizamos con mayor frecuencia en nuestra vida. Lo que hacemos al medir, es determinar cuántas veces una unidad determinada contiene a otra. El sistema métrico decimal: El Sistema Internacional de Unidades (Système International d’Unités) y la abreviatura SI, fueron establecidos por la 11va Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) en 1960. Este sistema establece las unidades de medida estándares a utilizar para cualquier región del mundo. Las magnitudes básicas empleadas son longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa. Cada unidad básica tiene múltiplos y submúltiplos. Las siguientes tablas presentan un resumen de esas medidas. Unidades de longitud: La unidad básica es el metro, su símbolo es: m MEDIDAS DE LONGITUD SÍMBOLO Múltiplos NOMBRE Miriámetro Kilómetro Hectómetro Decámetro Submúltiplos Metro Decímetro Centímetro Milímetro mam. km. hm. dam. m EQUIVALENCIA 10 km = 10 000 m. 10 hm. = 1 000 m. 10 dam. = 100 m. 10 m. 10 dm. = 100 cm. = 1 000 mm. dm. cm. mm. 0.1 m = 10 cm. 0.01 m = 10 mm. 0.001 m. Unidades de capacidad y volumen: La unidad básica es el litro, su símbolo es: l Submúltiplos NOMBRE Metro cúbico 198 1 Decímetro cúbico Centímetro cúbico Milímetro cúbico MEDIDAS DE VOLUMEN SÍMBOLO m3 dm3 cm3 mm3 EQUIVALENCIA 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 0.001 m3 = 1000 cm3 = 1 000 000 mm3 0.001 dm3 = 1 000 mm3 0.001 cm3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 3/15 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Contenido Teórico No.05 MEDIDAS DE CAPACIDAD SÍMBOLO Múltiplos NOMBRE Mirialitro Kilolitro Hectolitro Decalitro mal. kl. hl. dal. Submúltiplos Litro l Decilitro Centilitro Mililitro 4/15 EQUIVALENCIA 10 k. = 10 000 litros 10 hl. = 1 000 litros 10 dal. = 100 litros 10 litros 10 dl. = 100 cl. = 1 000 ml. dl. cl. ml. 10.1 litro = 10 cl. 0.01 litros = 10 ml. 0.001 litros Unidades de peso: La unidad básica es el gramo, su símbolo es: g MEDIDAS DE PESO SÍMBOLO Múltiplos NOMBRE Tonelada métrica Quintal métrico miriagramo kilogramo hectogramo Decagramo Submúltiplos Gramo Decigramo Centigramo Miligramo tm. qm. mag. kg. hg. dag. g EQUIVALENCIA 10 qm. = 1 000 kg. 10 kg. 10 kg. = 10 000 g. 10 hg. = 1 000 g. 10 dag. = 100 g. 10 g. 10 dg. = 100 cg. = 1 000 mg. dg. cg. mg. 0.1 g. = 10 cg. 0.01 g. = 10 mg. 0.001 g. Medidas de tiempo MEDIDAS DE TIEMPO Milenio = 1 000 años Siglo = 100 años Década = 10 años Lustro = 5 años = 12 meses = 365 días Año MÓDULO No.3 Mes civil = 30 días Semana Día Hora Minuto MATEMÁTICAS = 7 días = 24 horas = 60 minutos = 60 segundos 199 99 9 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.05 Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Unidades de superficie: La unidad básica es el metro cuadrado, su símbolo es: m2 Múltiplos NOMBRE Miriámetro cuadrado Kilómetro cuadrado hectómetro cuadrado Decámetro cuadrado Submúltiplos Metro cuadrado Decilitro Centilitro Mililitro MEDIDAS DE SUPERFICIE SÍMBOLO EQUIVALENCIA mam2 km2 hm2 dam2 100 km2 = 100 000 000 m2 100 hm2 = 1 000 000 m2 100 dam2 = 10 000 m2 100 m2 m2 100 dm2 = 100 000 cm2 = 1000 000 mm2 dl. cl. ml. 0.1 litros = 10 cl. 0.01 litros = 10 ml. 0.001 litros El Sistema Inglés: Es el Sistema Imperial Británico para medir la longitud, volumen, capacidad, tiempo, peso, etc. No usa la convención del SI, pero se establecen equivalencia a través de conversiones de medida Unidades de longitud 1 pie = 12 pulgadas (pulg). 1 yarda (yd) = 3 pies 0 36 pulgadas 1 milla (mi) = 1,760 yardas 0 5,280 pies a) 1 pulg = 2.57 cm. b) 1 m = 3.28 pies. Unidades de capacidad a volumen 1 taza (t) = 8 onzas fluidas (oz fl) 1 pinta (pt) = 2 tazas 1 cuarto (ct) = 2 pintas 1 galón (gal) = 4 cuartos OTRAS EQUIVALENCIAS c) 1 mi = 1609 m. d) 1 kg = 2.2046 lb, pero suele usarse solo 2.2 e) 1 lb = 0.4535 kg, pero suele usarse solo 0.454 Medidas de peso 1 libra (lb) = 16 onzas (oz) 1 tonelada (T) = 2,000 libras f) 1 km = 0.6215 mi . g) 1m = 39.37 pulg. 200 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 5/15 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Contenido Teórico No.05 6/15 Conversión de unidades de medida usando el método cancelativo Las medidas definidas en cada sistema permiten establecer equivalencia entre una medida y otra, de la unidad básica hacia un múltiplo y hacia un submúltiplo, de SI al sistema inglés y del sistema inglés al SI. SUGERENCIA: 1) Primero convierta la medida dada a la unidad básica de medida correspondiente. 2) Convierta la unidad básica de medida al múltiplo o submúltiplo solicitado en el ejercicio. 3) Escriba la conversión encontrada en el mismo o diferente sistema. Ejemplos de conversiones en el SI de la unidad básica a un múltiplo Ejemplo 1: Convertir 3500 m a Km Proceso de solución 1. Para convertir los 3500 m a Km, se divide por la cantidad los 1000 m que hay en 1 km. 1 km Se cancelan las unidades iguales 3500 m 1000 m 3500 1 km 1000 35 00 Se cancelan los ceros y se divide 10 00 3.5 2. En 3,500 m hay 3.5 Km Ejemplo 2: Convertir 570 l a hl 570 l Proceso de solución 1. Para convertir los 570 l a hl, se divide por los 100 litros que hay en 1 hl 2. En 570 litros hay 5.7 hl MÓDULO No.3 1 hl Se cancelan las unidades iguales 100 l 570 1 hl 100 57 0 Se cancelan los ceros y se divide 10 0 57 10 5.7 MATEMÁTICAS 201 01 1 E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.05 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Ejemplos de conversiones en el SI de un múltiplo a la unidad básica Ejemplo 1: Convertir 93.45 hg a g Proceso de solución 1. Para convertir los 93.45 hg a g, se multiplica por los 100 g que hay en 1 hg. 93.45 hg 100 g 1 hg 93.45 100 g 9345 g 2. En 93.45 hg hay 9345 g Ejemplo 2: Convertir 47 Dl a l. 3 Proceso de solución 1. Para convertir los 47 Dl a litros se multiplica por 100. 3 47 100 l Dl 3 1 Dl 47 100 Dl 3 1 4700 fracción mixta. Dl Se Se convierte conviertea la fraccion a mixta 3 1 143 l 3 2º: En 47 Dl hay 1 3 202 2 3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 7/15 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Contenido Teórico No.05 8/15 Ejemplos de conversiones en el SI de la unidad básica a un submúltiplo Ejemplo 1: Convertir 1453.38 m a mm Proceso de solución 1. Para convertir 1453.38 m a mm se multiplica por los 100 mm que hay en 1 m 1453.38 m 100 mm 1 m 1453.38 100 mm 145338 mm 2. En 1453.38 m hay 145,338 mm. Ejemplo 2: Convertir 12 1 g a cg. 4 Proceso de solución 1 1. Para convertir 12 g a cg se multiplica por los 100 mm que hay en 1 m. 4 12 1 10 cg g Se convierteelelnúmero numero mixto a fraccion impropia Se convierte mixto a fracción impropia. 4 1 g 49 10 cg 4 1 490 ca. cg Se Se simplifi simplifica 4 245 impropia. cg Se Se convierte conviertea fracción a fraccion impropia 2 1 122 cg cg 2 2. En 12 1 1 g hay 122 cg. 2 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 203 03 3 E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.05 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Ejemplo 3: Convertir 100 litros a dl Proceso de solución 1. Para convertir los 100 l a dl, se multiplica por los 10 litros que hay en un dl. 100 l 2. En 945 Hl hay 94500 dl. 10 dl 1l 100 10 dl 1000 dl Ejemplos de conversiones en el SI de un submúltiplo la unidad básica Ejemplo 1: Convertir 94.5 cl a l. Proceso de solución 1. Para convertir los 94.5 cl a l, se multiplica por los 100 l que hay en 1 Hl. 94.5 cl 2. En 94.5 cl hay 0.945 l. 1l 100 cl 94.5 l 100 0.945 l Ejemplo 2: Convertir 890.23 mg a g Proceso de solución 1. Para convertir los 890.23 mg a g, se multiplica por los 100 l que hay en 1 Hl. 890.23 mg 2º: En 890.23 mg hay 0.89023 g. 1g 1000 mg 890.23 g 1000 0.89023 g 204 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 9/15 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Contenido Teórico No.05 10/15 Ejemplos de conversiones en el SI de un múltiplo a un submúltiplo Ejemplo 1: Convertir 145 hl a dl Proceso de solución 1. Para convertir los 145 hl a l, se multiplica por los 100 l que hay en 1 hl. 100 l 145 Hl 1 Hl 145 100 l 1450 l 2. Para convertir los 1450 l a dl, se multiplica por los 10 litros que hay en un dl. 10 dl 1450 l 1l 1450 10 dl 14500 dl 3. En 145 hl hay 14500 dl. Ejemplo 2: Convertir 3 2 km a cm. 3 Proceso de solución 1. Para convertir los 3 2 km a m, se multiplica por los 1000 m que hay en 1 km. 3 2 1000 m Se convierte número mixto a fracción impropia. 3 km Se el numero mixto a fraccion impropia 3 1 km 11 1000 l 3 111000 m 3 11000 Se convierte convierte aa fracción fraccionimpropia. impropia m Se 3 2 3666 m 3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 205 05 5 E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.05 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida 2. Para convertir los 3666 2 m a cm, se multiplica por los 100 cm hay en un m. 3 2 100 cm 3666 m 3 1 m 3. 11000 10 cm 3 11000 10 cm 3 110000 Se convierte a número mixto. cm Se convierte a numero mixto 3 2 36666 cm 3 2 2 En 3 km hay 36666 cm. 3 3 Ejemplos de conversiones en el SI de un submúltiplo a un múltiplo Ejemplo 1: Convertir 4890 dg a hg. Proceso de solución 1. Para convertir los 4890 dg a g, se divide por los 10 dg que hay 1 g. 4890 dg 2. Para convertir 489 g a hg, se divide por los 100 g que hay en en 1 hg. 1g 10 dg 489 g 1 hg 100 g 489 1 hg 100 4.89 hg 4890 1 g 10 489 g 3. En 4890 dg hay 4.89 g. 206 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 11/15 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Contenido Teórico No.05 12/15 Ejemplo 2: Convertir 5000 mm a km. Proceso de solución 1. Para convertir los 5000 mm a m, se divide por los 1000 mm que hay en 1 m. 5000 mm 2. Para convertir 5 m a Km. se divide por los 1000 m que en 1 km. 1m 1000 mm 5 m 5 000 1 m 1000 5 m 1 km 1000 m 5 1 km 1000 0.005 km 3. En 5000 mm hay 0.005 km. Ejemplos de conversiones en el Sistema Inglés Ejemplo 1: Convertir 358.5 pies a pulg. Proceso de solución 1. Para convertir 358.5 pies a pulg, se multiplica por las 12 pulg que ya en 1 pie . 358.5 pie 12 pu lg 1 pie 358.5 12 4302 pu lg 2. En 570 litros hay 5.7 hl. Ejemplo 2: Convertir 712 yd a pulg. Proceso de solución 1. Para convertir los 712 yardas a pies, se multiplica por los 3 pies que hay en una yd. 712 yd 3 pies 1 yd 712 3 yd 1 2136 pies MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 207 07 7 E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.05 2. RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Para convertir 2136 pies a pulgadas, se multiplica por las 12 pulg que hay en 1 pie. 12 pu lg 2136 pie 1 pie 2136 pu lg 3. En 712 yd hay 2136 pulg. Ejemplo 3: Convertir 2000 oz a lb. Proceso de solución 1. Para convertir las 2,000 oz a lb, se divide por las 16 oz que hay en una libra. 2000 oz 1 lb 16 oz 2000 oz 16 125 lb 2. En 2000 oz hay 125 lb. Ejemplo de conversiones del Sistema Internacional al inglés Ejemplo 1: Convertir 385 kg a oz. Proceso de solución 1. Para convertir los 385 kg a lb, se divide por los 2.2 kg que hay en 1 lb. 1 lb 385 kg 2.2 kg 2. Para convertir 175 lb a oz, se multiplica por las 16 oz que hay en 1 lb. 175 lb 175 16 oz 385 lb 2.2 175 lb En 385 kg hay 2,800 oz. 3. 208 2 16 oz 1 lb 2800 oz MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 13/15 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida Contenido Teórico No.05 14/15 Ejemplos de conversiones del sistema inglés al Sistema Internacional Ejemplo 1: Convertir 976 oz a mg. Proceso de solución 1. Convertir las 976 oz a lb, se 2. Convertir 61 lb a kg, divide por las 16 oz que hay en 1 lb. 976 oz se multiplica por los 2.2 kg que hay en 1 lb. 1 lb 16 oz 61 lb 61 0.454 kg 976 lb 16 61 lb 27.694 kg 3. Para convertir 27.694 kg a mg, 4. En 976 oz hay 27,694 mg. se multiplica por los 1000 mg que hay en 1 kg. 27.694 kg 0.454 kg 1 lb 1000 mg 1 kg 27.694 1000 g 27694 mg Ejemplo 2: Convertir 1000 pulg a cm. Proceso de solución 1, Para convertir los 1000 pulg a cm, se divide por los 2.2 kg que hay en 1 lb. 1000 pu lg 2.57 cm 1 pu lg 1000 2.57 cm 2570 cm MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 209 09 9 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.05 Operaciones y Conversiones de Unidades de Medida EJERCICIO PRÁCTICO Desarrolle las siguientes conversiones, use las equivalencias correspondientes según el sistema que se le pida. 1) 2) Usando las unidades de medida del SI. b) c) 3.90 g a cg d ) 3, 000, 000 cm a e) 45.26 ml a dl f)1 210 2 3 mm a cm 4 Usando las unidades de medida del sistema inglés. a ) 2.6 oz a lb b) 6800 pies a yd c) 39.40 goz a lb d) 3 e) 5 3) 8 hm a mm 5 a ) 260.8 kl a cl 3 pies a mi 10 1 T a oz 7 f ) 17 mi a yd Convirtiendo de un sistema a otro. a ) 926 oz a kg b) 6.8 pies a pu lg 1 c) 39 cm a mi 2 d) e) 500 yd a km f ) 70.25 dm a yd 3 T a mg 5 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 15/15 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos 1//11 ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS Definición de rayo y de ángulo En geometría existe una figura llamada rayo, es una semirrecta con un punto de inicio. El rayo puede estar apuntando en cualquier dirección en un plano, tiene un punto de inicio que se nombra con una letra mayúscula. El rayo de la figura se representa por VA A V Dos rayos pueden coincidir en su punto de inicio, si esto sucede forman un ángulo, este se define de la siguiente manera: Definición: Un ángulo es la unión de dos rayos que tienen un punto de inicio común llamado vértice. El ángulo de la figura se nombre como: A B (se lee ángulo ABC); al nombrarlo el vértice siempre va al centro. A C B Partes del ángulo Dos rayos: BA y BC. El vértice: Es el punto B donde los dos rayos coinciden Medida de un ángulo La medida de un ángulo es la abertura entre los rayos que lo forman, a esa abertura se le asigna un único número. Para medirlo en grados se usa una regla que puede ser semicircular o circular especial llamado transportador. Existen tres formas para nombrar un ángulo: En grados, en radianes y en gradientes. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 211 11 1 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos Medida en grados: Se divide la circunferencia en 360 partes, a cada parte se le llama 1 grado. Por ejemplo, lectura de los siguientes ángulos: 450: Se lee 45 grados. 1730: Se lee 173 grados. 24.90: Se lee 24 grados 9 décimas. -38.750: Se lee negativo 38 grados 75 centésimas. Proceso de medición de un ángulo en grados usando transportador Ejemplo 1: Mida con transportador el siguiente ángulo. A C B Proceso de solución 1. Se coloca el centro del transportador en el vértice A de tal forma que el número 0 grados del transportador coincida con BC. 2. Se recorre la línea curva del transportador y se busca la medida en grados donde el otro rayo del ángulo y el transportador coinciden. El número del transportador es la medida en grados del ángulo. Siguiendo la curva del transportador se mide el ángulo, en este caso es de 70°. El centro del transportador se hace coincidir con el vértice del ángulo y con un rayo. 212 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 2/11 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos 3/11 Ejemplo 1: Mida con transportador el siguiente ángulo. Q R P Proceso de solución 1. Se coloca el centro del transportador en el vértice A de tal forma que el número 0 grados del transportador coincida con PR. 2. Se recorre la línea curva del transportador y se busca la medida en grados donde el otro rayo del ángulo y el transportador coinciden. El número del transportador es la medida en grados del ángulo. Siguiendo la curva del transportador se mide el ángulo, en este caso es de 115° El centro del transportador se hace coincidir con el vértice del ángulo y con un rayo. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 213 13 3 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos 4/11 Medida en radianes: Para definir la medida de un ángulo en radianes se definirá primero ángulo central. Definición: Un ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de un círculo y los rayos son radios del círculo. R r r A r C Definición de radián: La línea curva entre los rayos que se ve en la figura se llama arco. Si la longitud del arco entre los radios es igual al radio del círculo, a eso se le llama 1 radián. La longitud del arco entre los dos rayos puede tener una longitud de múltiplos de 1 radián si es mayor que la longitud del radio del círculo y submúltiplos de1 radián si es menor que la longitud del rayo. Por ejemplo, en las dos figuras el radio del círculo y del arco entre ellos es de es de 4.40 cm, se muestran dos ángulos: hROP, hQOP. Comparando las medidas de los arcos el primero mide menos de un radián y el segundo mide más de un radián. 8,39 cm R O 4,40 cm O 4,40 cm R 26,9° 4,40 cm 2,05 cm P La medida del arco RP es 2.05 cm. Es menor que la medida del arco QP que mide 4.40 cm. Por eso el ROP que mide 26.9° es menor que un radián. 214 2 4,40 cm 4,40 cm O O 145,0° 4,40 cm P La medida del arco QP es 8.39 cm. Es mayor que la medida del arco RP que mide 4.40 cm. Por eso el QOP que mide 145.0° es menor que un radián. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos 5/11 La medida de un radián en grados Definición de círculo unitario: Es el círculo que tiene de una unidad de radio, por ejemplo: 1 cm, 1 km, 1yd, 1 m, 1 pie, etc. La siguiente figura muestra un círculo de 1 m de radio. 1m P C Sobre él construirán dos radios de 1 m, el arco que se forma entre ellos y la medida del ángulo central que se forma. Medida del arco = 1.00 m radio = 1.00 m 57.29 ° radio = 1.00 m Se observa en la figura que 1 radián = 57.290, el cálculo de ese resultado es el siguiente: 1. Se calcula la longitud de una circunferencia de radio 1 m. Se define como 2 veces el producto del radio con la constante π. C = 2πr, donde D es la longitud de la circunferencia. C = (2π)(1) C = 2π : 2 veces π MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 215 15 5 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos 2. Se establece la equivalencia: 2 3600 Una vuelta tiene 3600 2 360 Dividiendo ambos lados por 2 2 2 180 1 Este resultado quiere decir que 1 radian es igual a 180 grados. El valor aproximado en grados de un radián es: Esto nos permite convertir radianes a grados. Se enuncia de la siguiente manera: 180 180 57.29577951... 3.14156 1 radian 57.2960 aproximado a tres cifras decimales 1 Esto nos permite convertir radianes a grados. Se enuncia de la siguiente manera: Regla para convertir radianes a grados: Se multiplican los radianes por 180 , o por su aproximación decimal: 57.296. Ejemplo 1: Convertir 3 4 a grados. Proceso de solución Se multiplica 3 radianes por 180 p, luego se simplifica. 4 3 180 Se cancela el número 4 3 180 4 540 Se simplifica 4 270 2 1350 En 3 hay 1350. 4 216 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 6/11 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos 7/11 Ejemplo 2: Convertir -378.56 radianes a grados. Proceso de solución Se multiplica -378.56 radianes por la constante 57.296 -378.56 x 57.296 = - 21,689.970 En - 378.56 radianes -21,689.970 La medida de 1 grado en radianes 2. Se establece la equivalencia: 3600 2 Una vuelta tiene 3600 360 2 Dividiendo ambos lados por 360 360 360 1 180 Este resultado quiere decir que 1 grado es igual a grados. El valor aproximado en 180 radianes de un grado es: 3.14156 0.017453292... 180 180 10 0.01745 aproximado a cinco cifras decimales 1 Esto nos permite convertir grados a radianes. Se enuncia de la siguiente manera: Regla para convertir grados a radianes , o por su aproximación decimal: 0.01745. Se multiplican los grados por 180 Ejemplo 1: Convertir 3000 a radianes. Proceso de solución Se efectúa 300 Hay 5 3 180 300 180 5 3 en 3000 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 217 17 7 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos 8/11 Ejemplo 2: Convertir -99.550 a radianes. Proceso de solución Se efectúa: 99.550 180 99.55 180 99.553.1416 180 312, 74628 180 1.7374 Hay -1.7374 radianes en -99.550 Clasificación de los ángulos por su medida Agudos Obtusos B B 39,9° 121,3° A CC El ángulo es agudo porque su medida es menor de 90 grados. Rectos A C El ángulo es obtuso, porque su medida es mayor de 90 grados. El ángulo es nulo porque los rayos van en el mismo sentido, la medida es de 0 grados. B A B C El ángulo es llano porque los rayos están en sentido opuesto, la medida es de 180 grados. 90,0° B C B C 180° El ángulo es recto porque su medida es de 90 grados. 218 2 A MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos 9/11 Definición de triángulo En Geometría el triángulo es una figura muy importante y ha sido objeto de estudio por los matemáticos a lo largo de la historia, se define a continuación: Definición Un triángulo es una figura geométrica que resulta de la unión de tres segmentos que tienen tres puntos en común llamados vértices. La suma de dos lados cualquiera es siempre mayor que el tercer lado. A 88,7° 91,3° 8,58 cm 5,82 cm 54,9° B 10,47 cm 33,7° 146,3 ° C 125,1° Partes de un triángulo a) b) c) d) 3 vértices: A, B, C 3 lados: AB, BC, CA 3 ángulos internos 3 pares de ángulos externos Propiedades a) La suma de las longitudes de dos lados cualquiera es mayor que el tercer lado. Suma de las medidas de dos lados cualquiera. 1. 5.82 + 10.47 > 8.58 2. 10.47 + 8.58 > 5.82 3. 8.58 + 5.82 > 10.57 Si una de estas tres condiciones no se cumple, el triángulo no existe. b) La suma de los ángulos internos del triángulo suman 1800. Suma de los ángulos internos: 54,9° + 91,3° + 33,7° = 180,00° MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 219 19 9 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.06 c) Ángulos y Triángulos 10/11 La medida de un ángulo externo es la suma de dos ángulos internos no consecutivos. Medida de tres ángulos externos 54,9° + 91,3° = 146,26° 91,3° + 33,7° = 12,06° 54,9° + 33,7° = 88,68° Clasificación de los triángulos Según la medida de sus lados los triángulos se clasifican en: Equiláteros: Son los triángulos que sus tres lados tienen la misma medida. B Isósceles: Son los triángulos que dos de sus lados tienen la misma medida. Tienen la propiedad que los ángulos de la base tienen la misma medida. B 7,93 cm 7,93 cm 7,78 cm 7,93 cm C A 57,9° A 7,78 cm 67,9° 5,87 cm Escalenos: Son los triángulos que sus tres lados tienen distinta medida. B 11,78 cm C 5,38 cm A 220 2 7,58cm MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS C RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.06 Ángulos y Triángulos 11/11 Según la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en: Equiángulos: Son los triángulos que sus tres ángulos internos tienen la misma medida. Por esta razón podemos decir que todo triángulo equilátero es equiángulo y viceversa. Rectángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo recto. B B 60,0° 90,0° C A 60,0° 60,0° A C Obtusángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo obtuso. Acutágulo: Es el triángulo que tiene todos sus ángulo agudos. B 81,3° B 29,6° 130,0° 20,4° C A 61,9° 36,8° C A MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 221 21 1 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.07 El Teorema de Pitágoras EL TEOREMA DE PITÁGORAS Un poco de historia Pitágoras de Samos: (Cerca del 580 a. C. y 495 a. C.) Fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas y aplicadas. Por ejemplo: A la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente. Matemático griego del siglo VI a. C. Fuente: http://www.um.es/docencia/ pherrero/mathis/pitagoras/pitagor.htm No se conserva ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos, los pitagóricos, invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Enunciado del teorema Teorema de Pitágoras El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. C2 = a2 + b2 222 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 1/5 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.07 El Teorema de Pitágoras 2/5 Interpretación gráfica del teorema La figura muestra que la superficie construida sobre la hipotenusa: c2, es igual a la suma de las superficies construidas sobre los catetos, es decir a2 + b2. A partir de la fórmula para el cuadrado de la hipotenusa, se deducen las fórmulas para calcular las longitudes de la hipotenusa y de los catetos: Fórmulas para las longitudes de los lados del triángulo: a) La longitud de la hipotenusa es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. c a 2 b 2 b) La longitud de un cateto es la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del cateto conocido. a c2 b2 MÓDULO No.3 b c2 b2 MATEMÁTICAS 223 23 3 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.07 El Teorema de Pitágoras Ejercicios y problemas que se resuelven por medio del teorema de Pitágoras Ejemplo 1 Calcule el valor del lado de cada uno de los triángulos rectángulos dados a continuación: a) b) 1 3,47 cm 5,50cm 6 x Z Proceso de solución Hay que calcular el valor de z, se conoce un cateto y la hipotenusa, hay que calcular un cateto. z 5.52 3.47 2 30.25 12.04 18.21 Calcular el valor usando calculadora z 4.267 cm Proceso de solución Hay que calcular el valor de x, se conocen los catetos, hay que calcular la hipotenusa. 12 62 1 36 37 Calcular el valor usando calculadora 6.08 224 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 3/5 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.07 El Teorema de Pitágoras 4/5 Ejemplo 3 Calcule la altura x de la altura del triángulo en el hexágono. Proceso de solución z 102 52 10 100 25 10 X X 10 75 10 La altura mide 5 75 unidades Ejemplo 2 Calcule la altura en metros a la que vuela el avión. Por convención la altura es solicitada por las torres de control en pies, ¿Cuál es la altura en pies? 516.5 m 324.5m A h B Proceso de solución 1. Como en la figura el triángulo es rectángulo, se puede aplicar el teorema de Pitágoras. Se pide la altura h a la que el avión vuela. El valor desconocido es un cateto. h 516.52 324.52 h 266, 772.25 105,300.25 h 161, 472 h 401.835 m MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 225 25 5 E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.07 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Teorema de Pitágoras 2. La altura a la que vuela un avión es de 401.835 m. Deben convertirse a pies. h 401.835 m 3.28 pies 1 m h 401.835 3.28 pies h 1318.0188 pies Ejemplo 3 Un soldador necesita colocar una pieza en diagonal de un portón por la parte que da al interior de la casa. ¿Cuál es la longitud de la pieza si el largo del portón es de 1.5 m y el alto es de 2 m? longitud 1.52 22 2.25 24 6.25 6 25 Simplificando 100 625 100 25 4 6.25 m, es la longitud de la pieza 226 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 5/5 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas 1/10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Definición de las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas se derivan de las razones o cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo, estas relaciones son las siguientes: c b a a, b: se llaman catetos o lado c : se llama hipotenusa Relaciones entre los lados teniendo como referencia el ángulo : letra griega alfa, llamada argumento de la función. a. Se llama lado adyacente. b. Se llama lado opuesto. c. Se llama hipotenusa. Nombre y relaciones de las funciones trigonométricas: b Lado opuesto c Hipotenusa a Lado adyacente Coseno del ángulo : cos c Hipotenusa b Lado opuesto Tangente del ángulo :tan a Lado adyacente b Hipotenusa Secante del ángulo :sec c Lado adyacente b Hipotenusa Secante del ángulo :csc c Lado opuesto b Lado adyacente Co tan gente del ángulo :cot a Lado opuesto 1) Seno del ángulo : sen 2) 3) 4) 5) 6) Cálculo del valor de las funciones trigonométricas Ejemplo 1 Escriba las seis relaciones trigonométricas para el ángulo de 550 y 350. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 227 27 7 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas Proceso de solución Se escriben las relaciones tomando como referencia el argumento, en este caso es 550. 55 9 11 6 cos 55 11 9 tan 55 6 sen 55 11 6 35 11 9 11 sec 55 6 6 cot 55 9 csc 55 Escríbalas en este orden porque así es mejor memorizarlas 9 Ahora se escribirán las seis relaciones trigonométricas para el ángulo de 350 6 11 9 cos 35 11 6 tan 35 9 11 6 11 sec 35 9 9 cot 35 6 sen 35 csc 35 Ejemplo 2 Sea cosx0 = 4 , calcule las otras relaciones trigonométricas. 7 Proceso de solución 1. El cosx0 se define como: por y. Lado opuesto , se debe calcular el valor del otro cateto simbolizado Hipotenusa y 7 2 42 y 49 16 La longitud del lado es 33m y 33 7 y sen x 0 x° 4 228 2 4 7 7 tan x 0 4 cos x 0 33 7 csc x 0 7 33 7 4 4 cot x 0 7 sec x 0 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 2/10 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas 3/10 Ecuaciones trigonométricas elementales y uso de calculadora Para calcular el ángulo desconocido de un triángulo rectángulo se necesitan determinadas fórmulas que requieren ecuaciones trigonométricas elementales. Los cálculos deben hacerse con calculadora científica. Lista de fórmulas para calcular los ángulos para las funciones seno, coseno y tangente. 1) Si sen x = a entonces x = sen-1 a 2) Si cos x = a entonces x = cox1 a 3) Si tan x = a entonces x = a tan-1 a sin-1 D Con estas funciones se calcula el seno de un ángulo y el seno inverso. sin cos-1 E tan-1 F cos tan Con estas funciones se calcula la tangente de un ángulo y la tangente inversa. Con estas funciones se calcula conseno de un ángulo y el conseno inverso. Ejemplo 1 Calcule el valor sen45 Proceso de solución 1. Se digita el número 45 en la pantalla. La calculadora debe estar en DEG o D 2. Se presiona sin y el resultado es: 0.707106781… Ejemplo 2 Calcule el valor tan32.7 Proceso de solución 1. Se digita el número 32.7 en la pantalla. 2. Se presiona tan y el resultado es: 0.641988559… MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 229 29 9 E Elemento de Competencia No.02 C RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas Ejemplo 3 Calcule el valor cos(-0.05) Proceso de solución 1. Se digita el número -0.05 en la pantalla. 2. Se presiona cos y el resultado es: 0.999999619… Ejemplos 4 Calcule el valor del ángulo z si sen z = 0.5 Shift sin D Proceso de solución 1. Se presiona la tecla y luego la tecla sin . Esto permite que se active la función sin-1. 2. Se digita el número 0.5 en la pantalla. 3. El resultado es 0.5. Si sen z = 0.5 entonces z = sen-1 0.5 z = 30° -1 Ejemplos 5 Calcule el valor del ángulo z si tan z = 02 Shift tin F Proceso de solución 1. Se presiona la tecla y luego la tecla tan . Esto permite que se active la función tan-1. 2. Se digita el número 2 en la pantalla. 3. El resultado es Si tan z = 2 entonces z = tan-1 2 z = 63.43494882° -1 Ejemplos 6 Calcule el valor del ángulo z si cos z = 0.23. Shift cos E Proceso de solución 1. Se presiona la tecla y luego la tecla cos . Esto permite que se active la función cos-1. 2. Se digita el número 2 en la pantalla. 3. El resultado es Si cos z = -0.38 entonces z = cos-1 (-0.38) z = 112.3336827° -1 230 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 4/10 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas 5/10 Encuentre el valor del ángulo en los siguientes triángulos rectángulos. Ejemplo 1 Calcule el valor de y del triángulo. Proceso de solución 1. Se conoce un ángulo y un lado, se necesita conocer la hipotenusa. Se busca una función trigonométrica que esté definida con opuesto e hipotenusa. Esa es la función seno72.9. 2. Se calcula el valor de la variable y opuesto hipotenusa 14.12 sen72.9 y y sen72.9 14.12 14.12 y con calculadora se hace sen72.9 sen72.9 14.12 y 0.955793014 y 14.75 sen 72.9 11,12 cm y 72,9° Ejemplo 2 Calcule el valor w del triángulo. Proceso de solución 1. Se conoce un ángulo y un lado, se necesita conocer el otro lado. Se busca una función trigonométrica que esté definida con adyacente e hipotenusa. Esa es la función coseno65.7 2. Se calcula el valor de la variable wadyacente hipotenusa 6 cos 65.7 w w cos 65.7 6 6 y con calculadora se hace cos 65.7 cos 65.7 6 y 0.411514358 y 14.58 cos 65.7 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS W 65,7° 6m 231 31 1 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas Ley de senos y cosenos Para calcular valores de desconocidos de triángulos que no son rectángulos se usa la ley de senos o la ley de cosenos, la definición de estas leyes es la siguiente: Definición de triángulo oblicuángulo: Es un triángulo que no tiene ángulos rectos. Resolver un triángulo oblícuo significa encontrar las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos. Dependiendo de los datos que se tengan el triángulo se puede resolver por ley de senos o ley de cosenos. Triángulo oblícuo C b A a c Definición de ley de senos B sen sen sen a b c Condiciones para usar ley de senos: a) Se deben conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados. b) Se deben conocer dos ángulos y el lado opuesto a uno de los ángulos. Definición de ley de cosenos c 2 a 2 b 2 2ab cos , el valor de c a 2 b 2 2ab cos b 2 a 2 c 2 2ab cos , el valor de b a 2 c 2 2ab cos a 2 b 2 c 2 2ab cos , el valor de a b 2 c 2 2ab cos Condiciones para usar ley de cosenos: a) Se deben conocer dos lados y el ángulo entre ellos. b) Se deben conocer dos ángulos y el lado entre ellos. 232 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 6/10 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas 7/10 Ejemplo 1 Calcule el valor de a del siguiente triángulo: C a 4,84 m 35° 21° A b Proceso de solución 1. Se conocen dos ángulos: 210 y 350, y el un lado opuesto 4.84 al ángulo de 350 Se aplica la ley de senos y se calcula el valor de a. sen 21 sen35 se hace el cálculo de sen21, sen35 a 4.84 0.358 0.573 4.84 a 0.358 0.1185 a 0.358 0.1185a 0.358 a 0.1185 a 3.02 2. Se calcula el valor de x. x = 1800 – 210 – 350 = 1240 3. Se calcula el valor de b. sen124 sen35 se hace el cálculo de sen21, sen35 b 4.84 0.829 0.573 b 4.84 0.829 0.1185 b 0.829 0.1185 b 0.829 b 0.1185 b 6.99 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 233 33 3 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas Ejemplo 2 Calcule la distancia P de la figura P x 100 mi y 132,1° 150 mi Proceso de solución 1. Se conocen dos lados: 100 mi, 150 mi, y el ángulo 132.10 entre ellos. Se aplica la ley de cosenos y se calcula el valor de P. P 1002 1502 2 100 150 cos132.10 P 10, 000 22,500 30000 cos132.10 P 22,500 30, 000 cos132.10 P 22,500 30, 000 0.670426 P 22,500 30, 000 0.670426 P 22,500 20,112.78 P 42, 612.78 P 206.426 2. Se calcula el valor del ángulo x aplicando ley de senos. sen132.1 sen se hace el cálculo de sen132.1 206.42 150 sen 0.0036 150 0.0036 150 sen 0.54 sen sen 1 0.54 32.680 3. Se calcula el valor del ángulo y y = 1800 – 132.10 – 32.680 = 15.220 234 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 8/10 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.02 Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas 9/10 EJERCICIO PRÁCTICO 1) Encuentre el valor de las 6 relaciones trigonométricas según la figura dada tomando como referencia el ángulo x para la primera, ángulo y para la segunda. a) b) x 6 5 3 y 15 16 4 2) Se sabe que sen x 7 , dibuje el triángulo correspondiente con esos datos, encuentre el valor 10 del lado desconocido del triángulo y el valor de las otras 5 relaciones trigonométricas 2) Calcule el valor de los lados usando el teorema de Pitágoras. a) b) y 3 x 6.5 8.2 4 3) Usando ley de senos resuelva el siguiente triángulo. C y 85 m A MÓDULO No.3 x W 32° 100 m MATEMÁTICAS 235 35 5 E Elemento de Competencia No.02 C RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Contenido Teórico No.08 Funciones Trigonométricas 4) Observe las siguientes figuras, calcule el tamaño z de la escalera en el caso de la primera figura y la altura h a la que llega la escalera en la segunda figura. 5) Usando ley de cosenos resuelva el siguiente triángulo. y 92 cm 13° 140° 6) 236 2 123 cm Vea la figura y aplicando ley de cosenos calcule el ángulo x entre el castillo, la persona y la casa. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 10/10 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.01 Evaluación 1/4 TIPO VERDADERO O FALSO Instrucciones Lea cada proposición y escriba en el espacio de la derecha una V si la proposición es cierta o una F si la proposición es falsa. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) En un metro hay 1000 mm ____________________________________ En 200 km hay 200 hectómetros________________________________ Un ángulo agudo mide menos de 90 grados _______________________ En 2.5 libras hay 40 onzas_____________________________________ Dos ángulos de un triángulo suman 930, el tercer ángulo mide 2670 __________________________________________________ Un triángulo isósceles tiene los tres lados iguales __________________ Un triángulo cuyos lados miden 24, 56 y 80 m existe _______________ La cosecante se define como hipotenusa sobre lado opuesto __________ La medida de un ángulo en grados es de 300, en radianes es _______ 6 Un triángulo escaleno tiene dos lados iguales ______________________ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ TIPO SELECCIÓN ÚNICA Instrucciones Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición. 1) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 11 cm, la hipotenusa mide: a) 185 57 b) c) 185 d) 57 2) 7 9 Si sen , la cot es: a) 9 7 b) 7 9 c) 7 32 d) 32 7 3) Si cos x = 0.5 el valor del ángulo es de: a) 300 b) 600 c) 450 d) 900 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 237 37 7 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Evaluación 2/4 4) En 5 millas hay : a) 8.045 m b) 80.45 m c) 804.5 m d) 8,045 m 5) La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo mide 9 y 6 cm respectivamente, el otro cateto mide: 6) a) 45 b) 117 c) 45 d) 117 Según el triángulo 1.5 0.8 x , las relaciones trigonométricas son: 1.2 a) senx 1.5 1.5 1.2 , cos x , tan x 0.8 1.2 0.8 b) senx 0.8 1.2 0.8 , cos x , tan x 1.5 1.5 1.2 c) senx 1.2 0.8 1.2 , cos x , tan x 1.5 1.5 0.8 d) senx 1.5 1.5 1.2 , cos x , tan x 1.2 0.8 0.8 7) En 10 pies hay: a) 3.048 cm b) 30.48 cm c) 304.8 cm d) 3,048 cm 8) Según el triángulo a) seny c) 9) 238 2 0.8 y 1.2 1.5 , las relaciones trigonométricas son: 1.2 0.8 1.2 , cos y , tan y 1.5 1.5 0.8 0.8 1.2 0.8 seny , cos y , tan y 1.5 1.5 1.2 En 20 cm hay: a) 7.874 pulg b) 78.74 pulg c) 787.4 pulg d) 7,874 pulg b) d) seny 1.5 1.5 1.2 , cos y , tan y 1.2 0.8 0.8 seny 1.5 1.5 1.2 , cos y , tan y 0.8 1.2 0.8 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS El Elemento de Co Competencia No.01 Evaluación 3/4 10) En 400 gramos hay: a) 3 kg 5 b) 4 kg 5 1 kg 5 c) d) 2 kg 5 TIPO PRÁCTICO Instrucciones Resuelva lo que se le pide en cada ejercicio o problema, haga los procedimientos correspondientes y sea ordenado al presentar su trabajo. 1) Encuentre el valor de las 6 relaciones trigonométricas según la figura dada tomando como referencia el ángulo z. z 6 10 8 12 2) Se sabe que csc x , dibuje el triángulo correspondiente con esos datos, encuentre 7 el valor del lado desconocido del triángulo y el valor de las otras 5 relaciones trigonométricas. 3) Calcule el valor de a del siguiente triángulo usando el Teorema de Pitágoras. 3.5 a 7.8 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 239 39 9 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS E Elemento de Competencia No.02 C Evaluación 4) 4/4 Usando ley de senos resuelva el siguiente triángulo. C y X 65 pulg. W 40° A 5) B 90 pulg. Usando ley de cosenos resuelva el siguiente triángulo. A 100 m y 47 m 11° C 130° X B 240 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS ELEMENTO DE COMPETENCIA 03 RESOLVER PROBLEMAS CON CÁLCULOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS Contenido teórico No.09 Contenido teórico No.10 Contenido teórico No.11 Contenido teórico No.12 Contenido teórico No.13 Contenido teórico No.14 Contenido teórico No.15 MÓDULO No.3 El Plano Cartesiano. Ecuaciones lineales y cuadráticas. Operaciones con razones y proporciones. Operaciones utilizando porcentajes. Cálculo de tasas de producción. Construcción de gráficas La mejor alternativa MATEMÁTICAS 241 41 1 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.09 El Plano Cartesiano EL PLANO CARTESIANO El par ordenado y sus partes Un punto P se localiza en la recta numérica asignándole a cada punto un único número, a ese punto ubicado en una dimensión en la recta se le llama coordenada del punto. Para trabajar en un plano de dos dimensiones, el punto P está formado por dos números, primero y segundo elemento. Estos elementos de un punto se definen así: Definición Un punto P, llamado par ordenado es una expresión de la forma: P(x,y), donde. x = Es la primera componente, llamada abcisa. y = Es la segunda componente llamada ordenada. Ejemplo de puntos: P 2,3 : abcisa 2, ordenada 3 Q 1, 7 : abcisa 1, ordenada 7 R 5.6, 12.4 : abcisa 5.6, ordenada 12.4 2 1 2 1 S , : abcisa , ordenada 3 5 3 5 Definición de plano cartesiano y sus partes El plano de sistemas de coordenadas cartesianas o rectangulares, está formado por dos ejes, llamados eje x, eje y. Se le llama también plano xy, haciendo referencia a los puntos que allí se grafican. Cualquier punto P en el plano se puede localizar usando el par ordenado (x, y), estos puntos se ubicarán en los cuadrantes correspondientes del plano de acuerdo al signo de sus componentes. René Descartes, llamado también Cartesius, fue matemático y físico francés de finales del siglo XVI y principios del siglo XVII. A él se le debe la invención del plano cartesiano Fuente: http://www.wikipedia.org/Descartes 242 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 1/3 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Co Competencia No.03 Contenido Teórico No.09 El Plano Cartesiano 2/3 La siguiente imagen representa un plano cartesiano y sus partes. 3 CUADRANTE II Se ubican los puntos (x, y). x : es negativa y : es positiva -4 -3 -2 -1 CUADRANTE III Se ubican los puntos (x, y). x : es negativa y : es negativa 2 1 0 1 CUADRANTE I Se ubican los puntos (x, y). x : es positiva y : es positiva 1 2 4 x CUADRANTE IV Se ubican los puntos (x, y). x : es positiva y : es negativa -2 El plano se divide en unidades: a la derecha de cero las unidades son positivas y a la izquierda son negativas. Arriba de cero los valores de las unidades son positivas y para abajo son negativas. Si la componente ordenada y del punto es cero, la gráfica del punto estará ubicada sobre el eje x. Si la componente de la abscisa x es cero, la gráfica del punto está ubicada sobre el eje y. Utilidad del uso del plano cartesiano Son muchos los usos que el plano, desde que se inventó en el siglo XVII, ha tenido. A continuación se dan algunos usos al plano cartesiano: En las ciencias físicas para representar ciertas relaciones especiales llamadas vectores. Las municipalidades de las ciudades las usan para organizar la ciudad de forma ordenada, así encontrar la dirección de una casa o negocio no es difícil. En navegación: por vía terrestre, marítima o aérea es muy útil para ubicar autos, carros, barcos, buques, aviones, submarinos, etc. La policía y las agencias de seguridad, a través de satélites de comunicación y GPS, ubican personas y vehículos y aeronaves extraviadas. En matemática para graficar funciones y relaciones . Los ingenieros, arquitectos lo utilizan para realizar planos. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 243 43 3 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN E Elemento de Competencia No.03 C Contenido Teórico No.09 El Plano Cartesiano Grafica de puntos en el plano cartesiano Graficar en el plano cartesiano los siguientes puntos: Proceso de graficación 1. Se identifica el cuadrante o el eje donde el punto se va a graficar. 2. El punto en el plano es el lugar donde las dos coordenadas coinciden. A (–2, 3) : x = –2, y = 3, B (2, –3) : x = 2, y = –3, C (2, 3) : x = 2, y = 3, D (–2, –3) : x = –2, y = –3, E (0, 5) : x = 0, y = 5, F (5, 9) : x = 5, y = 0, G (4, 4) : x = 4, y = 4, H (–4, 4) : x = –4, y = 4, A se ubica en el segundo cuadrante. B se ubica en el cuarto cuadrante. C se ubica en el primer cuadrante. D se ubica en el tercer cuadrante. E se ubica sobre el eje positivo de y. f se ubica sobre el eje negativo de y. P se ubica en el primer cuadrante. H se ubica en el cuarto cuadrante. y E (0, 5) A(–2, 3) 5 G(4, 4) 4 3 C(2, 3) 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -11 F(5, 0) 2 3 4 5 x -2 D(–2, –3) H(–4, 4) -3 B(2, –3) -4 -5 Perímetro, área y volumen de figuras geométricas básicas El siguiente cuadro muestra las fórmulas para calcular el perímetro, área y volumen de figuras geométricas básicas Definiciones Figura geométrica: Es un conjunto de puntos en un plano, la unión de estos puntos forma una línea llamada línea poligonal Perímetro: Es la suma de las medidas de los lados de una figura geométrica 244 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 3/3 El Elemento de Co Competencia No.03 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 1/30 ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS El estudio de las ecuaciones ha sido de mucha importancia para el desarrollo del conocimiento científico, en especial por los problemas que se resuelven con estos conceptos. Las fórmulas no pudieran haberse descubierto ni los grandes inventos logrados si las ecuaciones no existieran. Por ejemplo: Las ecuaciones que se usan para edificar puentes, edificios y túneles; fabricación de autos, trenes, barcos, submarinos, naves que viajan a otros planetas, etc. Pasaron muchos siglos, para que a personas estudiosas de ciencia lograran desarrollar teorías que le permitieran resolver problemas aplicando ecuaciones. En este contenido se estudiarán dos tipos de ecuaciones: lineales y cuadráticas Definición de ecuación lineal y sus partes Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas, en el lado izquierdo de la igualdad suelen ubicarse las variables y en el lado derecho las constantes. Pueden estar definidas por una o más variables. La clasificación de las ecuaciones depende de las relaciones que entre las variables haya, así las hay polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. A continuación se definen las ecuaciones lineales: Definición de ecuación lineal o de primer grado Es una expresión de la forma ax + b = 0, donde: x: Es la variable, es decir el valor desconocido en la ecuación. a, b: Son las constantes, es decir los valores conocidos de la ecuación. Se le llama lineal porque la variable está elevada al exponente uno y al graficarse en el plano cartesiano la forma de la gráfica es una línea recta. A continuación se presentan una serie de ejemplos de ecuaciones lineales: a) 3x 5 0 d ) 4 x 1 3 2 MÓDULO No.3 2 1 3 y 3 5 8 3 2 e) y 2 y 7 3 b) MATEMÁTICAS c) 0.8 3.6 k 2.3 k 1.2 f ) 0.8 3.6 k 2.3 k 1.2 245 45 5 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Conjunto solución de una ecuación lineal La solución de una ecuación lineal es el valor de la variable que al ser sustituido en la ecuación hace que el lado izquierdo y derecho sean iguales. Se le representa por C. S. Si el valor de la variable resulta en una igualdad, se dice que ese valor satisface a la ecuación Ejemplo 1 Verifique si el valor x = 3 es solución o de la ecuación 2x – 4 = 2. Proceso de solución Se sustituye el valor dado en la ecuación: 2 3 4 2 Se multiplica 6 4 2 Se resta 2 2 Igualdad Ejemplo 2 Verifique si el valor y = -2.5 es solución o de la ecuación 2 (y –1.5) = 2y –2.5 Proceso de solución Se sustituye el valor dado en la ecuación: 2 (y –1) = 2y –2.5 2( y 1) 2 y 2.5 2 2.5 1 2 2.5 2.5 Se suma Se multiplica 2 3.5 52.5 Se resta Se multiplica 7 2.5 No es una igualdad Como no resultó en una igualdad, y = -2.5 no satisface a la ecuación. Conceptos necesarios para resolver una ecuación lineal El opuesto de un número: El opuesto de un número x, es el número – x, tal que x + ( - x ) = 0, por ejemplo: 3.5 es el opuesto de 3.5 por que 3.5 3.5 0 246 2 1 1 1 1 es el opuesto de por 0 4 4 4 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 2/30 El Elemento de Co Competencia No.03 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas El inverso de un número: El opuesto de un número x, es el número 3/30 1 , tal x que x 1 1 , por ejemplo: x 1 1 es el inverso de 3.5 por que 3.5 1 3.5 3.5 1 1 es el inverso de 4 por 4 1 4 4 Propiedad uniforme de la igualdad Si x = y entonces x + z = y + z: Si dos números son iguales y se le suma la misma cantidad a ambos lado la igualdad se mantiene. Si x = y entonces x – z = y – z: Si dos números son iguales y se le resta la misma cantidad a ambos lado la igualdad se mantiene. Si xz = yz entonces x = y, para z ≠ 0: Si dos números están multiplicados por la misma cantidad, esta cantidad se puede cancelar de la igualdad, siempre y cuando sea diferente de cero. Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma o la resta x (y+z) = xy + xz x multiplica a cada parte del paréntesis. x (y –z) = xy – xz Regla básica para resolver ecuaciones lineales Para resolver ecuaciones siga las siguientes recomendaciones. 1) Se simplifican primero las operaciones que haya en paréntesis. 2) Se realiza la transposición de términos usando las definiciones de opuesto e inverso. Los términos con variables se dejan preferiblemente en la parte izquierda de la igualdad. Si un término está sumando pasa de un lado para el otro restando. Si un término está restando pasa de un lado para el otro sumando. Si un término está multiplicando pasa de un lado para el otro dividiendo. Si un término está dividiendo pasa de un lado para el otro multiplicando. 3) Después de transponer términos se simplifica cada lado de la igualdad. 4) Verifique que el resultado obtenido es la solución a la ecuación dada. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 247 47 7 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Ejemplo 1 Resolver la ecuación: 3x – 5 = 0 Proceso de solución 3x – 5 = 0 El opuesto de –5 pasa a la derecha. 3x = 5 El 3 divide a 5 5 x= 3 5 C.S. = 3 Ejemplo 2 Resolver la ecuación: 6x – 7 = 8 + 4y Proceso de solución 6 y 7 8 4 y El opuesto de 4 y pasa a la izquierda y el opuesto de 7 pasa a la derecha 6 y 4 y 8 7 Se simplifica cada lado de la ecuación Se suma 6 4 y 15 Se resta 2 y 15 2 divide a 15 y 15 2 15 C.S . 2 248 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 4/30 El Elemento de Co Competencia No.03 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ejemplo 3 Resolver la ecuación: Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 5/30 2 1 z 3 2z 3 2 Proceso de solución 2 1 z 3 2 z El opuesto 2 z pasa a la izquierda 3 2 y el opuesto de 3 pasa a la derecha 2 1 z 2 z 3 Se simplifica cada lado de la igualdad 3 2 1 2 2 z 3 2 3 2 7 2 7 z divide a 3 3 3 3 7 2 z 3 3 14 z 9 14 C.S . 9 Ejemplo 3 2.13.2 x 2.5 3 x 1.4 Se efectua efectualalaoperación operacion el paréntesis concon el paréntesis. 2.1 3.2 x 2.1 2.5 efectuanlas lasoperaciones. operaciones 3 x 1.4 Se efectúan Resolver la ecuación: Se multiplica Se multiplica 2.1 (3.2x + 2.5) = 3x –1.4 a laaizquierda y el 6.72 x 5.25 3 x 1.4 El El opuesto opuestodede3x3pasa x pasa la izquierda opuesto de 5.25 pasa a la derecha. Proceso de solución y el opuesto de 5.25 pasa a la derecha ca. 6.72 x 3 x 1.4 5.25 Se simplifi simplifica Se Se suma 6.72 3 x 6.65 3.72 x 6.65 3.72 3.72divide dividea a–6.65. 6.65 6.65 x 3.72 x 1.78 C.S . 1.78 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 249 49 9 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Ejemplo 4 Resolver la ecuación: 3x + 11x + 7 –2x = 22 + 6x –4 Proceso de solución 3x + 11x + 7 – 2x = 22 + 6x – 4 Se simplifica cada lado de la ecuación. 3 11 2 x 7 22 4 6x Se resta Se suma 14 2 x 7 18 6 x Se resta 12 x 7 18 6 x El opuesto de 7 pasa a la derecha y el opuesto de 6 x pasa a la izquierda 12 x 6 x 18 7 Se simplifica cada lado 6 x 8 6 divide a 8 8 Se simplifica 6 4 x 3 4 C.S . 3 x Despeje de fórmulas Las reglas para resolver ecuaciones se utilizan para poder expresar una variable en función de otra, a esto se le llama despeje de fórmulas Ejemplo 1 La siguiente fórmula calcula el perímetro de un rectángulo: P = 2x + 2y, despeje para x. Proceso de solución P = 2x + 2y El opuesto de 2y pasa al lado izquierdo. P – 2y = 2x El 2 divide a P – 2y. P – 2y =x 2 250 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 6/30 El Elemento de Co Competencia No.03 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 7/30 Ejemplo 2 La siguiente fórmula se usa para calcular inversiones: f I , despeje para tí 1 i Proceso de solución I f 1 i multiplica a I 1 i I 1 i f I divide a f 1 i i f El opuesto de 1 pasa a la derecha I f 1 I Ejemplo 3 La siguiente fórmula del interés simple: i = prt, despeje para p. Proceso de solución i = prt i =p rt rt dividen a i. Ejemplo 4 La siguiente fórmula se usa para calcular el área de un trapecio A h b d , despeje para h 2 Proceso de solución h b d 2 multiplica a A 2 2 A h b d b d divide a 2 A A 2A h b d MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 251 51 1 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Ejemplo 5 La siguiente fórmula para pasar de grados Centígrados a Fahrenheit. 9 F C 32, despeje para C 5 Proceso de solución 9 F C 32 El opuesto de 32 pasa al lado izquierdo 5 9 9 F 32 C el inverso de multiplica a F 32 5 5 5 F 32 C 9 Ejemplo 6 La siguiente fórmula calcula la velocidad promedio de un vehículo: v D , despeje para t t Proceso de solución D t multiplica a v t vt D v divide a D D t v v Perímetro, área y volumen de figuras geométricas básicas El siguiente cuadro muestra las definiciones y fórmulas para calcular el perímetro, área y volumen de figuras geométricas básicas. Definiciones básicas Figura geométrica: Es un conjunto de puntos en un plano, la unión de estos puntos forma una línea llamada línea poligonal. Dimensiones de una figura: Es la medida de una figura según sea su largo, ancho y alto. Perímetro: Es la suma de las medidas de las longitudes de los lados de una figura geométrica, el perímetro es la primera dimensión de una figura y se representa por 1D. Área: Es la superficie del interior de una figura geométrica limitada por el perímetro, sus dimensiones son el largo y ancho. El área es la segunda dimensión de una figura y se representa por 2D. Volumen: Es el espacio ocupado por una figura geométrica limitada por superficies, sus dimensiones son el largo, ancho y alto. El volumen es la tercera dimensión de una figura y se representa por 3D. 252 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 8/30 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Co Competencia No.03 Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 9/30 FIGURAS EN DOS DIMENSIONES NOMBRE DE LA FIGURA REPRESENTACIÓN a Cuadrado a a PERÍMETRO: P ÁREA: A P = 4a, donde: a : Es el lado A = a2 P = 2a + 2b, donde: a : Es el ancho b : Es el largo A = ab a Rectángulo b a a b a Trapecio d c h P=a+b+c+d a,b,c,d : Son los lados h a b , donde : 2 h : Es la altura P = 4a, donde: a : Es el lado d1d 2 , donde , donde : 2 d1 , d 2 : Son Sondiagonales diagona P = a + b + c, donde: a,b,c,: Son los lados bh , donde : 2 b : Es la base h : Es la altura b a a Rombo d1 d2 a Triángulo a a h c b Círculo MÓDULO No.3 r C = 2r, donde: r : Es el radio = 3.1416 MATEMÁTICAS A A A A = r2 , donde: r : Es el radio 253 53 3 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas FIGURAS EN TRES DIMENSIONES NOMBRE DE LA FIGURA REPRESENTACIÓN Cubo VOLUMEN V = a3 , donde: a : Es el lado a a a V = a2h, donde: a: Es el lado de la base h : Es la altura h Prima de base cuadrada a a abh ,, donde: donde : 2 a : Altura Altura de de la labase base b : Es la la base base del prisma h : Es Eslalaaltura altura del p V Prisma de base triangular h a h Pirámide de base cuadrada h a V = a2 h, donde: a: Lado de la base h : Es la altura a Cono h V = r2 h, donde: r : Radio de la base h: Es la altura r Esfera 254 2 r MÓDULO No.3 4 V r 3 , donde : 3 r : Radio de la base MATEMÁTICAS 10/30 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Co Competencia No.03 Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 11/30 Utilizando las fórmulas dadas calcule lo que se le pide en cada problema: Ejemplo 1 Se construirá la terraza del piso de una casa de 12 m de largo por 9 m de ancho. ¿Cuál es el perímetro y área de la terraza? Si cada m2 de terraza tiene un costo de L 2500.00, ¿Cuál es el costo de construir la terraza? Proceso de solución 1. Perímetro, dos veces el largo más dos veces el ancho: 2(12) + 2(9) = 42 m. 2. La terraza tiene forma de rectángulo, ésta mide: 12m x 9m = 108 m2 de área. 3. Cada m2 tiene un costo de L 2,000.00, la construcción de la terraza será de: 108 m2 x 2500 = L 270,000.00. Ejemplo 2 Una pelota de fútbol para partidos oficiales en las ligas de todo el mundo debe tener una circunferencia entre 62 y 64 cm, ¿Cuánto debe medir el radio de la pelota? Proceso de solución 1. La orilla de la pelota es su circunferencia, C = 2r, despejando para el radio, resulta en que r C . 2 2. Si la circunferencia mide entre 62 y 64 cm, se sustituyen estos valores: r 62 2 3.1416 62 6.2832 r 9.87 cm r r 64 2 3.1416 64 6.2832 r 10.18 cm r El radio del balón de fútbol mide entre 9.87 y 10.18 cm MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 255 55 5 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 12/30 Ejemplo 3 Un ingeniero diseña una columna sobre una base para un edificio que soportará 25 toneladas de peso. Calcule, con las dimensiones de la figura, los metros cúbicos de concreto que necesita para construirla. Proceso de solución: 1. Volumen de la columna: (2.5 x 2 x 8) m3 = 40 m3 . 2. Volumen de la base: (1.5 x 4 x 5) m3 = 6.75 m3 . 3. Volumen total de la columna: 40 m3 + 6.75 m3 = 46.75 m3 . Ejemplo 4 Don José desea construir un barrilete para su hijo con las dimensiones que muestra la figura. Las orillas del barrilete son de bambú y la superficie de papel, todas las medidas están en cm ¿Cuál es la cantidad de bambú que se necesita para armarlo y qué superficie tendrá? Proceso de solución 1. La cantidad de bambú es la suma de todas las longitudes: (2 x 25.61) + (2 x 39.45) + (2 x 20) + 16 + 34 = 212.12, se necesitan al menos 212.12 cm de bambú . 2. Las diagonales del rombo son: d1 = 16 + 34 = 50 y d2 = 2 x 20 = 40, la superficie 50 40 2000 2 del barrilete es de: A 2 2 1000 cm Ejemplo 5 Una empresa constructora instalará sobre el techo de una fábrica un sistema de recolección de energía solar a través de 40 paneles solares de 1.5 m2. Los paneles estarán separados 50 cm entre ellos y de los bordes del techo. Cada panel cuesta L 9.000.00 ¿Cuáles son las medidas del techo? y ¿Cuál es el costo de hacer esa instalación? 256 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Co Competencia No.03 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 13/30 Proceso de solución 1. Son 40 paneles a L 9,000.00 es igual a: 40 x 9000 = L 360,000.00. 2. El largo del techo es de: 9 separaciones por 50 cm cada una es igual a 450 cm, es decir 4.5m. La longitud de los 8 paneles es de: 8 x 1.5 es igual a 12m. El largo del techo es de 4.5m + 12m = 16.5m. 3. El ancho del techo es de: 6 separaciones por 50 cm cada una es igual a 300 cm, es decir 3m. La longitud de los 5 paneles es de: 5 x 1.5 es igual a 7.5m. El ancho del techo es de 3m + 7.5m = 10.5m. 4. las longitudes del techo son 16.5m de largo por 10.5m de ancho. Aplicaciones a que se resuelven con ecuaciones lineales Simbolización de expresiones del lenguaje natural al algebraico En el siguiente cuadro se muestra la traducción que se hace de expresiones, la operación involucrada y la simbolización de la misma. Frase Sumado a Más que Incrementado en La suma de Operación involucrada Ejemplo de enunciados Simbolización algebraica Suma 7 sumado a un número 5 más que un número Un número incrementado en 3 La suma de un número y 4 x+7 x+5 x+3 x+4 Resta 6 restado de un número 7 menos de un número Un número disminuido en 5 La diferencia entre un número y 9 x–6 x–7 x–5 x–9 Multiplicado por El producto de Tantas veces un número Tanto % de un número Multiplicación Un número multiplicado por 6 El producto de un número y 4 El triple de un número menos 4 20% de un número sumado 7 6x 4x 3x – 4 0.2x + 7 Dividido por División Un número dividido por 8 x 8 El cociente de El cociente de un número con 6 x 6 Un número dividido en partes La sétima parte de un número x 7 Restado de Menos de Disminuido en La diferencia entre MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 257 57 7 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN E Elemento de Competencia No.03 C Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 14/30 Simbolización de expresiones del lenguaje simbólico al lenguaje natural a ) 2 x 5 : 5 menos que el doble de un número. b) w 11: Un número aumentado en 11. c) 3 (k 1) : El triple de la suma de un número con 1. d ) y 4 x : Un número menos el cuatruplo de otro . ( x y) e) : La mitad la suma de dos números. 2 d ) 0.4 3 x : 4 d [ecimas menos tres veces un número. ( x y) : La cuarta parte de la resta de dos números. e) 4 Recomendaciones para resolver problemas con ecuaciones: 1) 2) 3) 4) Lea detenidamente el problema luego identifique los datos para resolver el problema. Simbolice las variables de la expresión dada y forme una ecuación. Encuentre el conjunto solución de la ecuación. Verifique que el conjunto solución se relacione con el problema que se está resolviendo. Ejemplo 1 Don Matías es un carpintero, él no se acuerda de las dimensiones del tablero rectangular de la mesa que le encargaron, pero si se acuerda que el perímetro es de 10 m y que el largo tiene 2 m más que el ancho. Ayudémosle a Don Matías a calcular las dimensiones de la mesa con la información que él recuerda. Proceso de solución 1. Simbolización del problema y formulación de la ecuación: b: largo de la mesa b=a+2 Datos del problema: P = Perímetro = 10 m Fórmula del perímetro: a = ancho n h de lla m mesa 258 2 P = 2a + 2b MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Competencia No.03 Co RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 15/30 La ecuación es la siguiente: P 2a 2b b se sustituye por a 2 , P 10 P 2a 2 a 2 Usar la propiedad distributiva P 2 a 2a 4 Se suma 10 4a 4 Ecuación del problema 2. Conjunto solución de la ecuación 10 = 4a + 4. 10 4a 4 El opuesto de 4 pasa a la izquierda 10 4 4a 6 4a 4 divide a 6 6 a Se simplifica 4 3 a 1.5 m ancho 2 Como b a 2, entonces b 3 7 2 3.5 m longitud 2 2 3 7 6 14 Comprobación : P 2 2 3 7 10 2 2 2 2 Ejemplo 2 Los conductores de tractores mostrados en la figura están separados por una distancia de 500 m, el de la izquierda avanza a una velocidad de 8 m / s y el de la derecha a 10 m / s. ¿Qué tiempo y qué distancia habrá recorrido cada uno cuando se saluden? MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 259 59 9 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 16/30 Proceso de solución 1. La fórmula de la distancia es: Distancia = velocidad x tiempo. La ecuación se formula sabiendo que no importa la velocidad, el tiempo transcurrido cuando se saludan es el mismo, lo que es diferente es la distancia recorrida. La simbolización es la siguiente: D1 : Distancia del conductor de la izquierda: D1 = 8t D2 : Distancia del conductor de la izquierda: D2 = 10t T1 T2 T1 D1 = 500 - D2 T2 D2 Ecuación del problema: D1 = 500 – D2, sustituyendo: 8t = 500 – 10t 2. Conjunto solución de la ecuación: 8 t 500 10 t El opuesto de 10 t pasa a la izquierda 8 t 10t 500 Se suma 18 t 500 18 divide a 500 500 t Simplificando 18 250 t 27.77 s Tiempo que tardan en encontrarse 9 D1 8 27.77 222.22 m Recorrido del tractor izquierdo D2 10 27.77 277.77 m Recorrido del tractor derecho 260 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Competencia No.03 Co RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 17/30 Ejemplo 3 Una fábrica tiene un tanque de distribución de agua para la fabricación 2 de ladrillos, por la mañana utilizan gl del contenido del tanque y por 3 la tarde 1 gl, la parte que sobra son 500 gal, ¿Cuál es la capacidad 4 del tanque? Proceso de solución 1. Simbolización del problema: 2. Formulación de la Ecuación: x : Capacidad del tanque y : Agua sobrante 500 gl 2 x : Gasto de agua por la mañana 3 1 x : Gasto de agua por la tarde 4 Capacidad = Agua sobrante + Suma de agua gastada. x 500 2 1 x x 3 4 3. Conjunto solución de la ecuación: 2 1 x x 3 4 2 1 x 500 x x 3 4 Se suma 11 11 x 500 x El opuesto de x pasa a la izquierda 12 12 11 x x 500 12 11 1 12 x 500 Se resta 1 1 x 500 divide a 500 12 12 500 1 x 1 12 x 6000 gl Capacidad del Tanque x 500 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 261 61 1 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN E Elemento de Competencia No.03 C Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 4. Comprobación Gasto por la mañana : 2 6000 gl 4, 000 gl 3 1 6000 gl 1,500 gl 4 Capacidad 500 gl 4, 000 gl 1,500 gl 6, 000 gl Gasto por la tarde : Ejemplo 4 Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos y los ángulos opuestos tienen la misma medida. Si el ángulo mayor del paralelogramo de la figura es 20 menos que el triple del ángulo menor, determine la medida de los ángulos. y x x y 1. Simbolización: x : Medida del ángulo menor. y : Medida del ángulo mayor. Se sabe que la suma del doble de la medida del ángulo menor con el mayor es de 3600, la ecuación es: 2. Conjunto solución de la ecuación: 360 2 x 2 y 360 2 x 2(3 x 20) Se sustituye y 3 x 20 Propiedad distributiva 360 2 x 6 x 40 Se suma 360 8 x 40 El opuesto de 40 pasa a la izquierda 360 40 8 x 400 8 x 8 divide a 400 400 x 8 x 50 Valor del angulo menor 262 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 18/30 El Elemento de Competencia No.03 Co RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 19/30 Gráfica de ecuaciones lineales Para graficar una recta se sigue un proceso sencillo, éste se describe de la siguiente manera: 1) Se construye una tabla de valores: Se le dan valores a la variable independiente. Se hacen los cálculos correspondientes para la variable dependiente. 2) Se ubican los puntos en el plano cartesiano. 3) Con una regla se hace un trazo de forma que pase por todos los puntos graficados. 4) Haga una escala adecuada en el plano para graficar. Ejemplo 1 Graficar la ecuación y = 2x – 1. A x: se le llama variable independiente, a y: se le llama variable dependiente. Proceso de graficación 1. Se le dan valores a la variable dependiente para calcular los valores de la variable dependiente, preferiblemente use valores enteros. Valor de x -2 -1 0 1 2 Valor de y y = 2(–2)–1 y = 4–1 y = –5 y = 2(–1)–1 y = –2–1 y = –3 y = 2(0)–1 y = 0–1 y = –1 y = 2(1)–1 y = 2–1 y=1 y = 2(2)–1 y = 4–1 y=3 MÓDULO No.3 Par ordenado ( x, y ) Cuadrante del punto (–2, –5) Está ubicado en el III cuadrante. (–1, –3) Está ubicado en el III cuadrante. (0, –1) Está ubicado sobre el eje y. (1, 1) Está ubicado en el I cuadrante. (2, 3) Está ubicado en el I cuadrante MATEMÁTICAS 263 63 3 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN E Elemento de Competencia No.03 C Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 2. Se grafican los puntos en el plano cartesiano y se traza la gráfica. 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 Ejemplo 1 Graficar la ecuación y = –1.5 + 3.2. A x: se le llama variable independiente, a y: se le llama variable dependiente. Proceso de graficación 1. Se le dan valores a la variable dependiente para calcular los valores de la variable dependiente, preferiblemente use valores enteros. Valor de x -2 -1 0 1 2 264 2 Valor de y y = –1.5(–2)+3.2 y = 3 + 3.2 y = –6.2 y = –1.5(–1)+3.2 y = 1.5 + 3.2 y = 4.7 y = –1.5(0)+3.2 y = 0 + 3.2 y = 3.2 y = –1.5(1)+3.2 y = –1.5 + 3.2 y = 1.7 y = –1.5(2)+3.2 y = –3 + 3.2 y = 0.2 Par ordenado ( x, y ) Cuadrante del punto (–2, 6,2) Está ubicado en el II cuadrante. (–4, 4.7) Está ubicado en el II cuadrante. (0, 3.2) Está ubicado sobre el eje y. (1, 1.7) Está ubicado en el I cuadrante. (2, 0.2) Está ubicado en el I cuadrante MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 20/30 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 21/30 2. Se grafican los puntos en el plano cartesiano y se traza la gráfica. y 6 5 4 3 2 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 ECUACIONES CUADRÁTICAS Definición de ecuación cuadrática y sus partes Las ecuaciones cuadráticas modelan múltiples problemas en el mundo físico y en la matemática son muy necesarias para resolver otras ecuaciones. Se les define de la siguiente manera: Una ecuación cuadrática es de la forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0; a,b, c son números conocidos. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 265 65 5 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Solución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general Una manera de resolver una ecuación cuadrática es usando la fórmula general, ésta se define así: Al número d = b2 –4ac se le llama discriminante, de acuerdo al signo del discriminante se concluye que: b b 2 4ac 2a 2 b b 4ac x 2a 2 b b 4ac 2a Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones diferentes. Si el discriminante es cero, la ecuación tiene dos soluciones iguales. Si el discriminante es negativo la ecuación tiene dos soluciones imaginarias. Ejemplo 1 Resuelva la ecuación 2y2 –3y –2 = 0. Proceso de solución 1. Calculo del discriminante: Los valores de las constantes son a = 2, b = –3, c = –2. El discriminante es: d = (–3)2 –4(2)(–2) = 9 + 16 = 25, hay dos soluciones diferentes. 2. Cálculo de las soluciones 3 5 8 4 42 3 25 3 5 1 y el C.S . 2, 2 2 4 2 3 5 2 1 4 2 4 266 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 22/30 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 23/30 Ejemplo 2 Resuelva la ecuación w2 + w + 1 = 0 Proceso de solución 1. Cálculo del discriminante: Los valores de las constantes son a = 1, b = 1, c = 1 El discriminante es: (1)2 –4(1)(1) = 1 – 16 = –15, hay dos soluciones imaginarias por que en la raíz el radicando es negativo. 2. Cálculo de las soluciones 1 15 2 1 15 1 15 w soluciones imaginarias 2 1 2 1 15 2 Ejemplo 3 Resuelva la ecuación z2 + 2z + 1 = 0. Proceso de solución 1. Cálculo del discriminante: Los valores de las constantes son a = 1, b = 2, c = 1. El discriminante es: 22 –4(1)(1) = 4 – 4 = 0, hay dos soluciones iguales 2. Cálculo de las soluciones Ejemplo 4 1 1 0 2 2 1 0 1 0 1 z el CS 2 1 2 2 1 0 1 2 2 Resuelva la ecuación 3x2 + 2x = 0. Proceso de solución: 1. Cálculo del discriminante: Los valores de las constantes son a = 3, b = 2, c = 0. El discriminante es: 22 –4(3)(0) = 4 – 0 = 4, hay dos soluciones diferentes. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 267 67 7 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 24/30 2. Cálculo de las soluciones 2 2 0 6 2 0 2 4 2 2 2 el CS 0, z 2 3 6 3 2 2 4 2 6 3 6 Gráfica de ecuaciones cuadráticas Para graficar una recta se sigue un proceso sencillo, éste se describe de la siguiente manera: La gráfica de una ecuación cuadrática es la representación de la expresión algebraíca y = ax2 + bx + c. Pasos para graficar una ecuación cuadrática 1) Se calcula el eje de simetría, es decir, la primera componente del vértice, b con la fórmula: h 2a 2) 3) 4) 5) 6) Se encuentra la segunda componente del vértice con la fórmula: b2 k c El vértice es de la forma V(h,k). Se calcula el intercepto en el eje x: se resuelve la ecuación ax2 + bx + c = 0. 4a Se calcula el intercepto en y: es de la forma (0,c). Se construye una tabla de valores: Se le dan valores a la variable independiente. Se hacen los cálculos correspondientes para la variable dependiente. 7) Se ubican los puntos en el plano cartesiano. 8) Se hacen los trazos a mano alzada entre los puntos graficados. 9) Haga una escala adecuada en el plano para graficar. Ejemplo 1 Graficar la ecuación y = x2 – x – 6. Proceso de graficación En la ecuación los coeficientes son: a = 1, b = –1, c = –6. 1. Se calcula el eje de simetría: h 1 1 2 1 2 1 4 1 2 2. Se calcula el valor de: k 6 268 2 6 1 25 4 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 25/30 3. El vértice es V 1 , 25 4 2 4. Se calculan los Interceptos en x: Se resuelve la ecuación x2 –x–6 = 0, se calcula d = (–1)2 –4(1)(–6) = 1 + 24 = 25. x 1 25 2 1 1 5 6 2 2 3 1 5 x 2 1 5 4 2 2 2 Los Interceptos son: (3,0), (–2, 0). El intercepto en el eje y es: (0, –6). 1. Se le dan valores a la variable dependiente para calcular los valores de la variable dependiente, preferiblemente use valores enteros. Valor de x Valor de y Par ordenado ( x, y ) Cuadrante del punto (–3, 5) Está ubicado en el II cuadrante. y = (–3) – (–3) –6 y=9+2–6 y=5 y = (–2)2 – (–2) –6 y=4+2–6 y=0 y = (–1)2 – (–1) –6 y=1+1–6 y = –4 y = (0)2 – (0) –6 y=0–0–6 y = –6 y = (1)2 – (1) –6 y = 1 –1 – 6 y = –6 (–2,0) Está ubicado sobre el eje x. (–1, –4) Está ubicado en el II cuadrante. (0, –6) Está ubicado sobre el eje y. (1, –6) Está ubicado en el I cuadrante. 2 y = (2)2 – 2 – 6 y = 4 –2 6 y = –4 (2, –4) Está ubicado en el I cuadrante. 3 y = (3)2 – (3) – 6 y=9–3–6 y=0 (3, 0) Está ubicado sobre el eje x. 4 y = (4)2 – (4) –6 y = 16 – 4 – 6 y=6 (4, 6) Está ubicado en el I cuadrante. 2 -3 -2 -1 0 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 269 69 9 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN E Elemento de Competencia No.03 C Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 6 4 2 Intercepto en x -4 -3 Intercepto en x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -4 Intercepto en y -6 Vértice Ejemplo 2 Graficar la ecuación y = –x2 + 3x –2. Proceso de graficación En la ecuación los coeficientes son: a = –1, b = 3, c = –2 1. Se calcula el eje de simetría: h 3 3 2 1 2 2 2. Se calcula el valor de: k 2 3 2 9 1 4 1 270 2 4 4 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 26/30 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 27/30 3. El vértice es V 3 , 1 2 4 4. Se calculan los Interceptos en x: Se resuelve la ecuación –x2 + 3x – 2 = 0, se calcula d = 32 –4(–1)(–2) = 9 – 8 = 1 x 2 3 x 2 0, se calcula d 32 4 12 9 8 1 x 3 1 2 1 3 1 2 2 2 1 3 1 x 2 3 1 4 2 2 2 Los Interceptos son: El intercepto en el eje y es: (0, –2). 5. Se le dan valores a la variable dependiente para calcular los valores de la variable dependiente, preferiblemente use valores enteros. Valor de x Valor de y Par ordenado ( x, y ) Cuadrante del punto –1 y = (–1) + 3 (–1) –2 y=1–3–2 y = –6 (–1, –6) Está ubicado en el III cuadrante. 0 y = –(0)2 + 3 (0) –2 y = –0 – 0 –2 y = –2 (0, –2) Está ubicado sobre el eje y. 1 y = –(1)2 + 3(1) – 2 y = –1 + 3 – 2 y=0 (1, 0) Está ubicado sobre el eje x. 2 y = –(2)2 + 3(2) – 2 y = –4 + 6 – 2 y=0 (2, 0) Está ubicado sobre el eje x. 3 y = –(3)2 + 3(3) – 2 y = –9 + 9 – 2 y = –2 (3, –2) Está ubicado en el II cuadrante. 4 y = –(4)2 + 3(4) – 2 y = 16 + 12 – 2 (4, –6) Está ubicado en el IV cuadrante. 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 271 71 1 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 6. Grafica de la ecuación y Vértice Intercepto en x -2 -1 0 1 2 2 Intercepto en x 3 4 5 Intercepto en y -4 -6 -8 -10 -12 EJERCICIO PRÁCTICO 1) 272 2 Ejercicios: Simbolice las siguientes expresiones a) La suma de dos números cualquiera: b) El doble de un número disminuido en 5: c) La tercera parte de un número más la cuarta parte de otro: d) El cuadrado de la suma de dos números diferentes: e) Un número menos el doble de otro: f) La suma de tres números diferentes: g) El producto de tres números diferentes: MÓDULO No.3 ____________ ____________ ____________ ____________ ____________ ____________ ____________ MATEMÁTICAS 28/30 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 2) Exprese en palabras: a) 2x – 5 b) w + 11 c) 3 (k + 1) d) 7v + 1 e) x – 8 3) Dadas las siguientes fórmula, despeje para la variable indicada: a) P = 4x, para x g) 3m + 2n, para h b) A = la, para a h) z = x – m , para s, m, x c) A = Pq – 3 , para p s 7 i) F = mg2 , para m d) y = mx + b, para m, b 2 2 e) V = r h, para h j) A = P + PRt, para t f) z = ax + by + cw, para x 4) Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: a) 3x – 2 = 6x – 8 b) 2 – 1 7 z – 1 = 0 5 4 9 6 c) 4y – 4 + 8y = 13y – 12 + 5y d) 9k – 4 + 5(3k + 4) = 2(k – 1) – 2 e) 3 [{4(5 – 6x) + 8x} + 6] = 2(4x + 9) – 2x – 3 ( f) g) h) i) 29/30 2 (y – 1) y – 5x m + 3m (x + y) 2 ) 5) Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) m2 + 7m + 12 = 0 d) 5k2 + 8k + 1 = 0 2 b) 2x + x – 3 = 0 e) x2 – 6x + 6 = 0 2 c) x – 2x + 1 = 0 f) y2 + 6y + 9 = 0 4) Resuelva los siguientes problemas que se resuelven con ecuaciones lineales: a) El perímetro de un triángulo equilátero es de 390 m, calcule la longitud del lado del triángulo. 5) b) El perímetro de un triángulo isósceles es de 200 cm, si el lado desigual es la mitad de los otros lados, ¿Cuánto mide los otros lados?. c) El perímetro de una circunferencia es de 123.45 mm, calcule en centésimas el radio del círculo. (Use calculadora para hacer los Cálculos). Resuelva los siguientes problemas de edades y números a) Cuatro veces un número aumentado en 7 es igual a 27, ¿Cuáles son los números?. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 273 73 3 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.10 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 30/30 b) La suma de dos números es igual a 57, si el mayor excede al menor en 15, ¿Cuáles son los números?. c) Las edades entre un padre y su hijo suman 74 años, ¿Cuál es la edad de cada uno?. d) La diferencia de edades entre dos hermanos es de 7 años, ¿Qué edad tiene cada uno si la edad del mayor tiene a 3 en las decenas?. 5) e) Estela salió de su casa para la escuela caminando a una velocidad de 50 m por min, su hermano Luis salió seis minutos después que ella y caminó a 80 m por min. ¿En cuánto tiempo alcanza Luis a Estela?, si la escuela está a una distancia de 1200 m, ¿Qué tan lejos están de la escuela al momento de encontrarse?. f) La quinta parte de un poste de luz está enterrada, si la parte que está fuera de la tierra mide 12 pies, ¿Cuál es la longitud total del poste?, ¿Cuántos pies está enterrado?. Grafique en el plano cartesiano los siguientes grupos de pares ordenados: A = {(4,5), (–4, .5), (1, 0), (0, 1), (–4, 0), (0, –5), (–3, –3)} A = {(6.5, 5.6), (0.5, 1.2), (3.5, 0), (0, –3.5), (0, 0), (–1.5, –2)} A= 2,1 , –2 ,–1 , –2 ,1 , 2 ,–1 0, 1 , 2 , 0 , – 2 , 0 , 0, – 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 {( )( )( )( ), ( ) ( ) ( 6) Grafique en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones lineales a) y = x – 4 b) y = –x + 1 c) y = 2x + 1 d) y = –2x – 1 e) y = 3.5x – 2.1 f) y = –2.5x + 2.1 7) Grafique en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones cuadráticas a) y = x2 + 7x + 12 b) y = –2x2 + x – 3 c) y = x2 –2x + 1 d) y = 5x2 + 8x + 1 e) y = x2 – 6x + 6 f) y = x2 + 6x + 9 274 2 MÓDULO No.3 )( MATEMÁTICAS )} El Elemento de Competencia No.03 Co RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.11 Operaciones con Razones y Proporciones 1/6 OPERACIONES CON RAZONES Y PROPORCIONES a) Magnitudes y cantidades Definiciones Magnitudes: Son propiedades o características que poseen los cuerpos y que se pueden contar, medir, pesar o evaluar. Cantidad: Es la asignación de un valor numérico a una magnitud. Las propiedades o características de los cuerpos u objetos que hay a nuestro alrededor, pueden identificarse y clasificarse. Por ejemplo: podemos medir la altura, el ancho y grosor de un objeto; saber su peso, la cantidad de masa que tiene y el precio de compra. Estas características son usuales en el ambiente donde crecemos, son las magnitudes de las cosas que a diario vemos, tocamos, comemos, etc. Ejemplos de magnitud y cantidad Magnitud Altura en pies de un edificio Peso en libras de un vehículo Número de madres solteras en Yoro Precio de un serrucho Velocidad máxima permitida en una calle Longitud del tubo de un tubo para abastecer agua Cantidad 147.6 pies 2,880 lb 16,765 mujeres 235.00 lempiras 80 km/ h 8m La razón y sus partes Definiciones: Sean dos cantidades x, y con y ≠ 0: Razón: Es la comparación entre las cantidades x, y. Partes de una razón: x: Se llama antecedente, y: Se llama consecuente. Razón aritmética: Es la comparación entre las cantidades x, y a través de la diferencia entre ellas, simbólicamente es x – y. Razón geométrica: Es la comparación entre las cantidades x, y a través del cociente entre ellas. Simbólicamente se representa de las siguientes maneras: x ÷ y, x , x : y. En todos los casos lee “x es a y”. y Razón inversa: Sean dos cantidades x, y con x ≠ 0, y ≠ 0. Si x : y es la razón entre las cantidades entonces y : x es la razón inversa entre las cantidades. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 275 75 5 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.11 Operaciones con Razones y Proporciones Ejemplos Calcule la razón aritmética entre las siguientes cantidades: La razón aritmética entre 75 y 60 es: 75 – 60 = 15, ésto quiere decir que 75 excede a 60 en 15 unidades. La razón aritmética entre 0.98 y 0.23 es: 0.98 – 0.23 = 0.75, ésto quiere decir que 0.98 excede a 0.23 en 0.75 unidades. Calcule la razón geométrica entre las siguientes cantidades; 75 1.25 , Se lee “75 es a 60”. Se puede escribir La razón geométrica entre 75 y 60 es: 60 también: 75 : 60. El resultado de la división 1.25 quiere decir 60 cabe 1.25 veces en 75. La razón geométrica entre 0.98 y 0.23 es: 0.98 ÷ 0.23 = 4.26, ésto quiere decir que 0.23 cabe a 4.26 veces en 0.98. La razón geométrica entre 3 y 1 es: 3 1 18 9 , Se lee “ 3 es a 1 ”. Se puede 2 6 2 6 2 2 6 escribir también: 75 : 60. El resultado de la división 1.25 quiere decir 60 cabe 1.25 veces en 75 Ejemplos de razones inversas: La razón inversa de 2 : 7 es la razón 7 : 2 La razón inversa de 7 es la razón 5 . 5 7 La proporción y sus partes Definición: Sean cuatro cantidades x, y, z, w, con y ≠ 0, w ≠ 0, se llama proporción a la igualdad entre dos razones geométricas, se representa por: } z x En ambos casos se lee x es y como z es a w. = y w Partes de una proporción: x, z: Se llaman antecedentes. y, w: Se llaman consecuentes. x, w: Se llaman extremos. y, z: Se llaman medios. 276 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 2/6 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.11 Operaciones con Razones y Proporciones 3/6 Propiedad fundamental de las proporciones La igualdad entre dos razones es una proporción sólo si el producto de los medios es igual al producto de los extremos, simbólicamente: z x = y w x : y :: z : w } Son proporciones si: xw = yz A esta multiplicación también se le llama la prueba del producto cruzado. Ejemplos Verifique si las siguientes igualdades son o no proporciones: a) 2 : 7 :: 4 : 14, es una proporción porque: (2)(14) = (7)(4) 28 = 28 Por lo tanto, la igualdad es una proporción. b) –9 : –18 :: 5 : 10, es una proporción porque: (–9)(10) = (18)(–5) –90 = –90 Por lo tanto, la igualdad es una proporción. c) 3 : 1 :: 6 : 5 , es una proporción porque: 5 4 10 12 ( 53 ) (125 ) = ( 41 ) (106 ) 15 = 6 60 40 } Se simplifica. 5 = 3 20 20 1 = 3 4 20 Efectuando producto cruzado. 1 x 20 ≠ 4 x 3 20 ≠ 12 Por lo tanto, la igualdad no es una proporción. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 277 77 7 E Elemento de Competencia No.03 C Contenido Teórico No.11 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Operaciones con Razones y Proporciones Cálculo del valor desconocido de una proporción Ejemplo 1 Calcule el valor de la variable para que la expresión sea una proporción 3 6 5 : z :: : 5 10 12 Proceso de solución 1. Lo que no se conoce es un medio, se plantea el producto cruzado y se resuelve la ecuación resultante 3 5 6 z Se multiplica y se simplifica 5 12 10 15 6 z 60 10 5 3 z 20 5 1 3 3 1 z divide a 4 5 5 4 1 3 z 4 5 1 3 z 4 5 5 z Con este valor la igualdad es una proporcion 12 Ejemplo 2 Calcule el valor de la variable para que la expresión sea una proporción 11 2 :: 9 y Proceso de solución Lo que no se conoce es un extremo, se plantea el producto cruzado y se resuelve la ecuación resultante: 11 2 :: Se multiplica y se simplifica 9 y 11 y 2 9 11 y 18 18 divide a 11 11 y Con este valor la igualdad es una proporcion 18 278 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 4/6 El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.11 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Operaciones con Razones y Proporciones 5/6 Regla de tres simple Esta regla establece la proporcionalidad entre valores conocidos para calcular mediante la propiedad fundamental de la proporciones un valor desconocido Definición Sean a, b dos cantidades conocidas relacionadas proporcionalmente, un tercer valor conocido x se relaciona proporcionalmente con el valor desconocido y, las cantidades forman la proporción a : b :: x : y. El valor desconocido y se calcula usando producto cruzado. Ejemplo 1 Un albañil construye 8 m de un muro en 4 días, ¿Cuántos metros construirían 2, 3, 4 albañiles? Proceso de solución 1. Se formula la proporción: Un albañil es a 4 metros de muro, como 2 albañiles es a x metros de muro, simbólicamente se escribe: 1 : 4 :: 2 : x. 2. Lo que no se conoce es un extremo, se plantea el producto cruzado y se resuelve la ecuación. 1 2 Se plantea el producto cruzado 4 x 1x 4 2 x 8 Los 2 albañiles hacen 8 m de muro 3. Se plantean las otras dos proporciones para 3 y 4 albañiles y se haya el extremo desconocido. 1 3 Se plantea el producto cruzado 4 x 1x 4 3 x 12 Los 3 albañiles hacen 12 m de muro 1 4 Se plantea el producto cruzado 4 x 1x 4 4 x 16 Los 2 albañiles hacen 16 m de muro MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 279 79 9 E Elemento de Competencia No.03 C Contenido Teórico No.11 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Operaciones con Razones y Proporciones Ejemplo 2 Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones? 1. Se formula la proporción: 8 litros es a 2 habitaciones pintadas, como x litros es a 5 habitaciones por pintar, simbólicamente se escribe: 8 : 2 :: x : 5. 2. Lo que no se conoce es un medio, se plantea el producto cruzado y se resuelve la ecuación. 8 x Se plantea el producto cruzado 2 5 85 2 x 40 2 x 2 divide a 40 40 x 2 x 20 Se necesita 20 litros para pintar 5 habitaciones Ejemplo 3 La bandera de las Naciones Unidas tiene la forma de un rectángulo, el ancho y el largo están a una razón de 2 : 3, si el ancho es de 36 cm, ¿Cuánto mide el largo?. 1. Se formula la proporción: 2 : 3 :: 36 : x, donde x es el largo de la bandera. 2. Lo que no se conoce es un extremo, se plantea el producto cruzado y se resuelve la ecuación. 2 36 Se plantea el producto cruzado 3 x 2 x 336 2 x 108 2 divide a 108 108 x 2 x 54 El largo de la bandera es de 54 cm 280 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 6/6 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.12 Operaciones Utilizando Porcentajes 1/4 OPERACIONES UTILIZANDO PORCENTAJES El porciento de un número Para ilustrar el uso de porcentajes, se examina el siguiente ejemplo: Por cada lempira que una empresa gane en el año, 1 centavo será donado a la Cruz Roja. Si la empresa en el año ganó Lps. 655,000.00, ¿Cuánto donó a la cruz roja? Proceso de solución 1. La razón de la donación es: 1 : 100, es decir 1 centavo por cada 100, la cantidad donada es: 1 655000 100 6550 00 100 6,550 La donación es de Lps.6,550.00. Definición: La razón de 1 a 100, en símbolos: 1 : 100 o 1 , 100 se llama por ciento, es decir tomar una unidad de cada 100 unidades. Se representa por 1%. Para calcular el tanto por ciento de una cantidad se multiplica la cantidad por el porcentaje dado por 1 . 100 Ejemplo 1 Calcule el 25% de 3244. Proceso de solución Se multiplica 25 x 3244 x 25 25 1 3244 100 25 3244 100 81100 100 100 811 El 25% de 3244 es 811 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 281 81 1 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.12 Operaciones Utilizando Porcentajes Ejemplo 2 Calcule el 3.24% de -5.68. Proceso de solución Se multiplica 3.24 x (-5.68) x 3.24 1 5.68 100 1 100 3.24 5.68 100 18.4032 100 0.184032 El 3.24% de 5.68 es 0.184 Ejemplo 3 Calcule el 12% de 10 3 5 Proceso de solución 3 1 5 100 Se multiplica la cantidad 12 x10 x 12 3 10 Se simplifica 100 5 3 53 25 5 159 3 159 El 15% de 10 es 75 5 75 282 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 2/4 El Elemento de Competencia No.03 Co RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.12 Operaciones Utilizando Porcentajes 3/4 Ejemplo 4 Carlos compra una camisa en una tienda con el impuesto sobre ventas incluido, hay un rótulo que dice: Precio Lps. 240.00 con 15% de descuento. ¿Cuánto pagó por la camisa Carlos? Proceso de solución 1. Se calcula el descuento. 15 240 Se simplifica 100 15 240 100 36 00 100 36 El descuento es de Lps.36.00 2. Se calcula el valor a pagar: Precio menos descuento, 240.00 – 36.00 = 204.00, Carlos pagará Lps. 204.00 por la camisa. Ejemplo 5 A la sesión de padres de familia de un grupo de 45 alumnos asistieron 32 padres de familia. ¿Qué porcentaje de padres asistió, qué porcentaje faltó a la sesión? Proceso de solución 1. Se establece la razón entre el número de padres que asistieron y el número de alumnos de la clase. 32 : 45 2. Se efectúa la división y el resultado se multiplica por 100 32 100 45 0.7111100 71.11% A la escuela fueron el 71.11% de los padres 3. Cálculo del porcentaje de ausencia de padres: el total de padres representa el 100%, la resta 100% con el porcentaje de asistencias es el porcentaje de ausencias: 100% 71.11% = 28.89%, el 28.89% de los padres no fue a sesión. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 283 83 3 E Elemento de Competencia No.03 C Contenido Teórico No.12 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Operaciones Utilizando Porcentajes Ejemplo 6 Cecilia trabaja en una tienda que vende aparatos electrodomésticos al crédito. Tiene un sueldo fijo mensual de Lps. 2,000.00. Por el volumen de ventas que realice en el mes le dan 6.5% de comisión. En el mes de diciembre Cecilia vendió Lps. 195,000.00, calcule la comisión y el salario del mes que le corresponde. Proceso de solución 1. Se calcula la comisión. 6.5 195000 100 6.5 195000 100 12675 00 100 12675 La comisión de Cecilia es de Lps.12, 675.00. 2. Se calcula el sueldo mensual: Sueldo fijo + Comisiones = Sueldo mensual 2,000.00 + 12,675.00 = Lps.14,675.00 es lo que gana Cecilia en diciembre. 284 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 4/4 El Elemento de Competencia No.03 Co RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.13 Cálculo de Tazas de Producción 1/3 CÁLCULO DE TASAS DE PRODUCCIÓN Definición de tasa Index Mundi es una institución que lleva cuenta de los datos estadísticos más importantes en las naciones del mundo, por ejemplo tiene el registro de que Honduras hay en promedio 24.66 nacimientos por cada 1,000 habitantes. Es decir más de 24 nacimientos por cada mil habitantes en un año. Si la población total hondureña es de unos 8,200,000 habitantes y en el año hubo 202,212 nacimientos, calcule la tasa de natalidad. Nacimientos en el año 1000 Total de habitantes 202212 1000 Tasa 8200000 202212 000 8200 000 202212 8200 24.66 Tasa de natalidad Tasa de natalidad En este ejemplo se ilustra la tasa de natalidad, esta es la razón entre el número de nacimientos con la población total del país, este resultado multiplicado por 1000, por que la medición se hace cada 1000 habitantes. Si la medición es por cada 100, se multiplica la razón por 100. Definición de tasa Es la razón entre dos cantidades de eventos o fenómenos que ocurren con determinada frecuencia multiplicado por cada 100 o por cada 1000 veces que este ocurre. La tasa es un número que expresa la relación entre el número de sucesos o acontecimientos ocurridos en determinado tiempo y el número total de datos que de ese evento de tienen por cada 100 o 1000 veces. La importancia de una tasa está en que permite expresar la presencia de una situación que no puede ser medida o calculada de forma directa, como por ejemplo: el número de nacimientos o de muertes que ocurren en un país; número de personas que se casan o que se divorcian; número de personas que desaparecen, volumen de producción de mercancías para la venta, volumen de artículos vendidos, volumen de costos de producción de una fábrica, número de personas que no tienen empleo, etc. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 285 85 5 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.13 Cálculo de Tazas de Producción 2/3 Tasas de producción, costos, ventas y volumen de ventas Definiciones básicas tasa de producción = cantidad de artículos producidos de cierto tipo x 1000 total de artículos producidos tasa de ventas = cantidad de productos vendidos de cierto tipo total de productos vendidos tasa de costos = costo de producir cierto tipo de artículo total del costo de producción x 1000 x 100 Volumen de ventas: Es el resultado multiplicar la cantidad de productos vendidos por el precio de venta unitario de cada producto. Ejemplos La siguiente tabla muestra información contable de una empresa que produce artículos para el aseo, calcule lo que se le pide a continuación: Descripción del Artículos Artículos producidos Costo por unidad Escobas 12,340 L 65.00 8540 L 73.00 Trapeadores 10,170 L 70.00 7300 L 87.00 2,300 L 50.00 1800 L 62.00 24,810 L 185.00 17640 Botes de limpia pisos Totales Artículos vendidos Precio de venta Se pide: Tasa de producción de escobas 12340 1000 24810 12340000 24810 497.38 Eso quiere decir que se producen en promedio 497 escobas por cada 1000 artículos que la empresa fábrica. 286 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS El Elemento de Competencia No.03 Co RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.13 Cálculo de Tazas de Producción 3/3 Tasa de ventas trapeadores. 7300 1000 17640 7300000 17640 413.83 Eso quiere decir que se venden en promedio 413 trapeadores por cada 1000 artículos que la empresa vende. Tasa de costo botes de limpia pisos. 50 1000 185 50000 185 27.03 Eso quiere decir que el costo promedio por producir botes limpia pisos es de Lps. 27.03 por cada 100 artículos que se producen. Volumen de ventas de escobas, trapeadores y botes limpia pisos. a) Volumen de ventas trapeadores 8450 x 73 = Lps. 623.420.00 b) volumen de ventas trapeadores 7300 x 86 = Lps. 635,100.00 c) Volumen de ventas botes limpia pisos 1800 x 62 = Lps. 111,600.00 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 287 87 7 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.14 Construcción de Gráficas CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS Definición e importancia en el uso de gráficas Las gráficas de datos y los esquemas en general, son representaciones de un conjunto de datos por medio de barras, líneas, puntos, círculos, etc. Son imágenes que tienen una importancia especial ya que ellos suelen contener información valiosa para la persona que los analiza. La gráfica proporciona una mirada rápida y global de un conjunto de datos sin importar que tan grande sea esta y su uso para análisis es valioso para las empresas, secretarías del estado, universidades e institutos educativos, ministerios públicos, etc. Ejemplo de tipos de gráficos De barras simple en 3 dimensiones . Comparativo en 2 dimensiones. Circulares en 2 dimensiones. Circular en 3 dimensiones. De línea. 288 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 1/8 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.14 Construcción de Gráficas 2/8 Construcción de gráficos Ejemplo 1 El siguiente cuadro muestra el número de kilómetros de carretera pavimentadas y no pavimentadas para el año de 2007 en Honduras. Haga una gráfica de barra de los datos. Tipo de carretera Cantidad en km Pavimentadas 2600 Transitables solo en verano 9,500 Transitables todo el tiempo 7,200 Total 19,300 Proceso de graficación 1. Los datos se grafican en el primer cuadrante del plano cartesiano, en el eje x van los tipos de carreteras y en el eje y va la cantidad de km. Se dividen los ejes de forma adecuada a la cantidad de datos, 1000 en 1000 en este caso. En el eje x se escribe el tipo de datos que representa cada cantidad. Cada barra se sombrea de distinto color o sombreado. La gráfica lleva un rótulo que dice lo que las cantidades representan. 2. Gráfica de los datos Ejemplo 2 El siguiente cuadro muestra el idioma que hablan un grupo de personas que participaron en un estudio de becas Idioma MÓDULO No.3 Cantidad de hablantes Español 200 Inglés 135 Francés 98 Alemán 114 Total 547 MATEMÁTICAS 289 89 9 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.14 Construcción de Gráficas Proceso de graficación 1. Los datos se grafican en el primer cuadrante del plano cartesiano, en el eje x van los tipos de idiomas y en el eje y va la cantidad personas. Se convierten los datos a porcentajes. Se convierten los porcentajes a grados. Se grafican los grados en un círculo, se miden los grados con transportador. 2. Se convierten los datos a porcentajes, los porcentajes a grados y se grafica. Idioma Datoa a % % a grados 200 x 100 547 = 36.56% (36.56) (360) 100 13161.6 = 100 = 132° 135 135 x 100 547 = 24.68 (24.68) (360) 100 8,884.8 = 100 = 89° 98 98 x 100 547 = 17.92% (17.92) (360) 100 6,451.2 = 100 = 64° Alemán 114 114 x 100 547 = 20.84% (20.84) (360) 100 7,502.4 = 100 = 75° Total 547 100% 360° Español Inglés Francés 290 2 Cantidad de habitantes 200 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 3/8 El Elemento de Competencia No.03 Co RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.14 Construcción de Gráficas 4/8 Ejemplo 3 El siguiente cuadro muestra los ingresos de una compañía del año 2002 al 2010. Año 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Ingreso en millones 275 310 295 340 270 300 380 400 340 Proceso de graficación 1. Los datos se grafican en el primer cuadrante del plano cartesiano, en el eje x van los años y en el eje y van los ingresos. Se grafican los datos como si fueran pares ordenado: (200,275) (2003,310) (2004,295) (2005,340) (2006,270) (2007,300) (2008,380) (2009,400) (2010,340) 2. Se usa una escala adecuada para el eje y, de 100 en 100 es una buena escala. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 291 91 1 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN E Elemento de Competencia No.03 C Contenido Teórico No.14 Construcción de Gráficas EJERCICIO PRÁCTICO 1) Tabla que muestra la temperatura máxima para el mes de julio de 2001 a 2006, haga un gráfico de barra simple en 2D. Año 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Temperatura 290 280 290 300 320 350 2) El siguiente cuadro muestra el número de graduados del año 2000 al 2004 en las escuelas normales de Honduras, construya gráficos de barras comparativos y de línea tal como los ejemplos dados anteriormente. Año 2000 2001 2002 2003 2004 3) Tegucigalpa 410 470 550 600 500 Choluteca 200 300 225 200 175 El siguiente cuadro muestra el número de obreros de acuerdo con el tipo de industria en que trabajan en un municipio de Comayagua. Haga un gráfico circular en 2D. Industria Metalmecánica Construcción Textil Otras 292 2 Escuelas normales La Paz Trujillo 250 150 290 250 360 300 400 275 350 200 Cantidad de obreros 1200 1600 2320 875 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 5/8 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.14 4) Construcción de Gráficas La siguiente información muestra el número de participantes de olimpiadas en Centro América y Latinoamérica del 2004 al 2012, haga un gráfico de línea en 2D. Año 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 5) 6/8 Centroamérica 890 950 1020 1150 995 895 1060 990 1450 Latinoamérica 2340 2400 2200 1950 2500 1780 2000 2150 2800 Con la información de la tabla calcule: Tasa de producción de los trapeadores y botes de limpia pisos. Tasa de costos de escobas y botes limpia pisos. Tasa de venta de escobas y trapeadores. 6) Descripción del Artículos Artículos producidos Escobas Trapeadores Botes de limpia pisos Totales 12,340 10,170 2,300 24,810 Costo por unidad L. 65.00 L. 70.00 L. 50.00 L. 185.00 Artículos vendidos 8540 7300 1800 17640 Precio de venta L 73.00 L 87.00 L 62.00 Calcule los siguientes porcentajes: a ) El 23% de 2345.89 c) El 10% de 12000 e) El 0.25% de 0.5 MÓDULO No.3 b) El 5% de 100 12 d ) El 45% de 7 100 f ) El 4% de 12 MATEMÁTICAS 293 93 3 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.14 7) Verifique si las siguientes igualdades son o no proporciones. a ) 10 :12 :: 20 : 24 c) 4 : 3 :: 24 : 7 e) 0.2 :1.2 :: 3.5 : 0.6 8) 15 45 :: 4 12 41 82 d) :: 2 4 3 30 f ) :: 7 70 b) Calcule el valor de la variable para que la igualdad sea una proporción. a ) y : 3 :: 5 : 23 c) 5 : w :: 6 : 7 e) 0.2 :1.2 :: k : 0.6 9) Construcción de Gráficas 15 4 :: z 9 1 y d ) :: 2 4 3 6 f ) :: x 5 b) Resuelva los siguientes problemas: a) En una mezcla necesitamos 4 sacos de cal y 10 de arena, ¿Cuántos sacos de arena se necesitan para hacer una mezcla que tiene 14 sacos de cal? b) Un bus se tarda 8 horas en recorrer 320 km, si mantiene esa velocidad, ¿cuánto recorre en 12 horas? c) Un rectángulo tiene 20 m de base y 16 m de altura. Si otro rectángulo de igual área tiene 32 m de altura, ¿cuál es la altura de la base? d) Jorge gana 15% de lo que vende en nacatamales, si en el fin de semana vendió Lps. 870.00, ¿Cuánto gana de comisión? e) En el escaparate de una tienda hay un anuncio que dice: Se vende el artículo con un 45% de descuento, si el precio es de Lps. 950.00 ¿Cuánto se paga por el artículo? 294 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 7/8 El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.14 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Construcción de Gráficas 8/8 f) Para fabricar 6 libras de queso se usan 12 litros de leche. ¿Cuántas libras de queso se pueden fabricar con 60 libros de leche? g) 7 obreros firman un contrato para construir una casa en 8 meses, si trabajaran a un ritmo constante, ¿Cuántas casas construirían en 44 meses?, si el número de obreros se duplicara, ¿Cuántas casa construirían en ese tiempo? MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 295 95 5 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Contenido Teórico No.15 La Mejor Alternativa LA MEJOR ALTERNATIVA La optimización en la producción de bienes y servicios Este concepto hace referencia al mejor uso de los recursos en la fabricación de cualquier tipo de artículos o en la prestación de servicios de pintura, soldadura, construcción, reparación de enseres domésticos, etc. Se trata de aprovechar al máximo los materiales que se usan al hacer estos trabajos, de conseguir los mejores precios en las ferreterías o almacenes y de obtener la mano de obra más barata y eficaz para lograr la mayor ganancia posible en cada trabajo que se realice. Problemas que requieren la toma de decisiones en la búsqueda de mejores alternativas de solución Proyecto 1 Se va a fabricar un ropero de madera de pino y se va a pintar de color blanco. Las dimensiones están especificadas en la figura. La parte en linea punteada es el exterior del mueble y en la parte interior tiene 3 tubos para guindar ropa, 5 depósitos y dos gavetas. Su tarea consiste en hacer una lista de los materiales que se necesiten, luego cotizar los precios de los materiales por lo menos en dos ferreterías diferentes y el costo de mano de obra. ¿Cuánto costaría construir un mueble así? 296 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 1/2 El Elemento de Competencia No.03 Co Contenido Teórico No.15 RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN La Mejor Alternativa 2/2 Proyecto 2: Se va a construir y pintar una cancha de futbolito de concreto con las medidas que indica la figura. El largo es de 50m, el ancho de 30m y el grosor de 0.2m. Su tarea consiste en hacer una lista de los materiales que se necesiten, luego cotizar los precios de los materiales por lo menos en dos ferreterías diferentes y el costo de mano de obra. ¿Cuánto costaría construir una cancha así? Proyecto 3: Se van a pintar las cuatro paredes del cuarto mostrado en la figura, su tarea consiste en hacer una lista de los materiales que se necesiten, luego cotizar los precios de los materiales por lo menos en dos ferreterías diferentes y el costo de mano de obra. ¿Cuánto costaría pintar un cuarto de este tamaño? MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 297 97 7 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIERAN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Evaluación 1/3 TIPO VERDADERO O FALSO Instrucciones Lea cada proposición y escriba en el espacio de la derecha una V si la proposición es cierta o una F si la proposición es falsa. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 8 : 3 :: 24 : 9 es una proporción ................................................................. El punto ( - 6, - 3 ) está ubicado en el cuarto cuadrante.............................. El valor de x en 2 : x :: 6 : 9 es 6 ............................................................... La solución de la ecuación 12z – 5 = 7 es z = 1 ........................................ El discriminante de 2x2 – 3x + 1 = 0 es 1 ................................................. 1 3 es una proporción ............................................................................ 4 7 2 : 5 :: 6 : 15 es una proporción ................................................................. La solución de la ecuación y – 5 = 5 es y = 0............................................ El 10% de 345 es 3.45 ........................................................................... El 25% de descuento de una camisa que vale L 240.00 es L 120.00 ......... _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ TIPO SELECCIÓN ÚNICA Instrucciones Encierre en un círculo la letra que haga correcta cada proposición. 1) El conjunto solución de la ecuación es: a) x = -1 b) x = 1 c) x = 5 d) x = -5 2) Si el discriminante de una ecuación cuadrática es positivo, la ecuación tiene: a) Dos soluciones diferentes. b) Dos soluciones iguales. c) Tres soluciones diferentes. d) Tres soluciones iguales. 3) x = 2 es solución de la siguiente ecuación: a) 3x = -6 b) x-4 = -6 c) 3x = 6 d) x + 4 = -6 298 2 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIERAN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN El Elemento de Competencia No.03 Co Evaluación 2/3 4) La ecuación -2x2 - x + 1 = 9 tiene discriminante igual a: a) 7 b) - 7 c) 9 d) - 9 5) El valor de la variable en a) 2 = 12 1 3 4 w para que la igualdad sea proporción es: b) 2 = -12 c) w 1 12 d) w 1 12 6) El 12% de comisión en una venta de Lps. 23,450.00 es: a) Lps. 281.40 b) Lps. 2,814.00 c) Lps. 28.14 d) L 2.81 7) El punto (10 , - 10) está ubicado en el: a) I cuadrante b) II cuadrante c) III cuadrante d) IV cuadrante 8) El punto (0 , - 9) está ubicado en el: a) Sobre el eje positivo x b) Sobre el eje negativo x c) Sobre el eje positivo y d) Sobre el eje negativo y 9) Por una compra de Lps. 40,000.00 una persona paga 15% con cheque, él pagó: a) Lps. 6.00 b) Lps. 60.00 c) Lps. 600.00 d) Lps. 6,000.00 10) El conjunto solución de la ecuación 3x - 1 = 2x + 2 es: a) x = -1 b) x = 3 c) x = -3 d) x = 1 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 299 99 9 E Elemento de Competencia No.03 C RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIERAN EL USO DE ECUACIONES Y FÓRMULAS TÉCNICAS DE LA OCUPACIÓN Evaluación 3/3 TIPO PRÁCTICO Instrucciones Resuelva lo que se le pide en cada ejercicio o problema, haga los procedimientos correspondientes y sea ordenado al presentar su trabajo. 1) Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: a) 2.52 - 1.4 = 0.5 - 4.3w b) 3(2 - 4x) = 3x - 4 2) Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas usando fórmula general: a) x2 + 4x - 21 = 0 b) 2x2 + x - 2 = 0 3) Grafique las siguientes ecuaciones lineales: a) y = 2x - 5 b) y = -x + 4 4) Grafique las siguientes ecuaciones cuadráticas a) y = x2 + 5x + 4 b) y = x2 + x - 2 5) Con la información dada realice las siguientes gráficas: a) El siguiente cuadro muestra el número de obreros de acuerdo con el tipo de industria en que trabajan en un municipio de Intibucá. Haga un gráfico circular en 2D. Industria b) Metal mecánica 650 Construcción 1420 Textil 875 Otras 500 Tabla que muestra la temperatura máxima para el mes de noviembre de 2005 a 2010 en la ciudad de La esperanza, haga un gráfico de barra simple en 2D Año 300 3 Cantidad de obreros Temperatura 2005 180 2006 210 2007 240 2008 170 2009 180 2010 240 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Glosario 1/5 A.C. Antes de Cristo. Accidentes de trabajo Un accidente de trabajo es el que sucede al trabajador durante su jornada laboral o bien en el trayecto al trabajo o desde el trabajo a su casa. Acuñación La acuñación es la certificación de una pieza de metal u otro material (tal como cuero o porcelana) mediante un distintivo o señales sobre el mismo, siendo de un valor específico, intrínseco o de canje. Administración La Administración es la ciencia social y técnica encargada de la planificación, organización, dirección y control de los recursos (humanos, financieros, materiales, tecnológicos, el conocimiento, etc.) de una organización, con el fin de obtener el máximo beneficio posible; este beneficio puede ser económico o social, dependiendo de los fines perseguidos por la organización. Algoritmo Es un conjunto pre escrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Amortización La amortización termino económico y contable, referido al proceso de distribución en el tiempo de un valor duradero. Adicionalmente se utiliza como sinónimo de depreciación en cualquiera de sus métodos. Billetes Se llama billete (galicismo de billet) a ciertos tipos de documentos que tienen un valor; así, por ejemplo, se puede referir a «billete de lotería», «billete de ferrocarril» o al título para acceder a un recinto. En Hispanoamérica los que tienen que ver con el transporte reciben el nombre de boleto. Centavo El centavo, céntimo o centésimo (símbolo ¢) es la subdivisión de varias monedas nacionales, y su valor es la centésima parte del valor de la moneda correspondiente. Colonia Organización cooperativa de un grupo de organismos. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 301 01 1 Glosario 2/5 Conjunto En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. La cotización Documento o información que el departamento de compras usa en una negociación. Es un documento informativo que no genera registro contable. Cotización son la acción y efecto de cotizar (poner precio a algo, estimar a alguien o algo en relación con un fin, pagar una cuota) Conjunto unitario En matemáticas, un conjunto unitario, singulete o singleton es un conjunto con un único elemento. Constante Un valor fijo o conocido dentro de un conjunto de valores dados. Contextualizarlo Un artículo sin contexto es un artículo que carece de información básica que permita saber de qué se trata. Convención o sobreentendido En el lenguaje, aquello que se da por hecho. Depreciación El término depreciación se refiere, en el ámbito de la contabilidad y economía, a una reducción anual del valor de una propiedad, planta o equipo. Esta depreciación puede derivarse de tres razones principales: el desgaste debido al uso, el paso del tiempo y la obsolescencia. Losetas Losa pequeña, generalmente de cerámica, que se usa para enlosar suelos o cubrir paredes. Mercurio El mercurio o azogue, es un elemento químico de número atómico 80. Su nombre y símbolo (Hg) procede de hidrargirio, término hoy ya en desuso, que a su vez procede del latín hydrargyrum y de hydrargyrus, que a su vez proviene del griego hydrargyros (hydros = agua y argyros = plata). 302 3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Glosario 3/5 Monedas La moneda es una pieza de un material resistente, de peso y composición uniforme, normalmente de metal acuñado en forma de disco y con los distintivos elegidos por la autoridad emisora, que se emplea como medida de cambio (dinero) por su valor legal o intrínseco y como unidad de cuenta. Monopolio Un monopolio (del griego monos ‘uno’ y polein ‘vender’) es una situación de privilegio legal o fallo de mercado, en el cual existe un productor (monopolista) oferente que posee un gran poder de mercado y es el único en una industria dada que posee un producto, bien, recurso o servicio determinado y diferenciado. Muestra Pequeña cantidad de producto que se enseña o regala para darlo a conocer o promocionarlo. Nomenclatura Es la nomenclatura de mercancías del sistema aduanero común de la Unión Europea. Número de oro El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega (fi) (en minúscula) o (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional. Números irracionales En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción, de la forma m/n donde m y n son enteros, con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que no es racional. Número pi (π) Es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. Pistón de un motor Se denomina pistón a uno de los elementos básicos del motor de combustión interna. Primos relativos Dos números naturales se llaman primos relativos si el máximo común divisor entre ellos es 1. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 303 03 3 Glosario 4/5 Promedio Resultado que se obtiene al dividir la suma de varias cantidades por el número de sumandos. Rayo En matemática es la unión de una semirrecta unida con un punto de inicio y avanza en una dirección. Recalibrar Calibración es el procedimiento de comparación entre lo que indica un instrumento y lo que “debiera indicar” de acuerdo a un patrón de referencia con valor conocido. Segmentos Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales. Semirrecta El concepto de semirrecta se utiliza en geometría para identificar a cada uno de los fragmentos en que toda recta puede ser dividida por cualquiera de los puntos que la componen. Signos de agrupación Son el paréntesis, el corchete, las llaves, y el vínculo o barra usados para efectuar operaciones combinadas y escribir fórmulas matemáticas. Subconjuntos En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A “está contenido” dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B. Tabla Criba La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y N y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que N. Tasar Poner precio o valor a una cosa la persona que tiene autoridad o capacidad para ello. Temperatura La temperatura es una magnitud referida a las nociones comunes de caliente, tibio, frío que puede ser medida con un termómetro. 304 3 MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS Glosario 5/5 Termómetro El termómetro (del griegoó (termo) el cuál significa “caliente” y metro, “medir”) es un instrumento de medición de temperatura. Desde su invención ha evolucionado mucho, principalmente a partir del desarrollo de los termómetros electrónicos digitales. Teorema Es un enunciado o propiedad matemática que tiene que demostrarse Transacción comercial Una transacción es un acontecimiento comercial que se puede que es medible en unidades monetarias y está soportada en un documento, lo que le permite ser registrada en los libros contables. Trueque e intercambio Es el intercambio de objetos o servicios por otros objetos o servicios y se diferencia de la compraventa habitual en que no intermedia el dinero en líquido en la transacción. Al contrato por el cual dos personas acceden a un trueque se le denomina permuta. Vara La vara era una unidad de longitud española antigua que equivalía a 3 pies. Dado que la longitud del pie (patrón de los sistemas métricos arcaicos) variaba, la longitud de la vara oscilaba en los distintos territorios de España, entre 0,912 metros de la de Alicante y los 0,768 m de la de Teruel. Variable Es cualquier valor toma valores dentro de un conjunto finito o infinito. Viáticos Conjunto de provisiones o dinero que se le da a una persona, especialmente a un funcionario, para realizar una viaje. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS 305 05 5 Bibliografía 306 3 Álgebra elemental, Allen R. Ángel, editorial Pearson, sexta edición, México año 2007. Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica, W. Earl Swokowski, Undécima edición, editorial Thomson, México año 2006. Álgebra y trigonometría, Dennis Zill, segunda edición, editorial Mc Graw Hill, Colombia año 2000. Álgebra y trigonometría, Michael Sullivan, séptima edición, Editorial Pearson México, año 2006. Cálculo mercantil y operaciones crediticias, Refugio Román, décimo sexta edición, México año 1977. Estadística aplicada, Horacio Reyes Núñez, editorial prografip Honduras, año 2007. Matemática, José Cristóbal Alcerro, UPN FM año 2009. Matemática, Texto 7º Grado, PROMETAN, Honduras año 2007. Matemáticas Financieras, José Luis Villalobos, editorial Iberoamérica, México año 1993. Matemáticas Financieras, Lincoyan Portus Govinden, editorial Mc Graw Hill, tercera edición, México año 1990. Matemáticas, Módulo No. 01, primera edición INFOP, Honduras año 2006. Matemáticas, Texto 5º Grado, PROMETAN, Honduras año 2010. Matemáticas, Texto 6º Grado, PROMETAN, Honduras año 2010. Mecánica de Banco, JICA Honduras, Honduras año 2011. 1000 pasatiempos y juegos de inteligencia, Tomás Caillaux de la Borda, editorial Servilibro, primera edición, España año 2006. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html, tema investigado: Historia de los sistemas numéricos. http://es.wikipedia.org/wiki/Cero, tema investigado: Historia del número cero. http://www.ecobachillerato.com, tema investigado: Historia de la moneda. http://www.elrincondelvago, tema investigado: Problemas de aplicación de aritmética. http://es.wikipedia.org/wiki/aritmetica, tema investigado: Problemas de aplicación de aritmética. http://www.ecobachillerato.com, tema investigado: Sistemas métrico decimal. MÓDULO No.3 MATEMÁTICAS