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Phase Locked-Loop (PLL): Fundamento y aplicaciones
R. Pindado
Universitat Politècnica de Catalunya
Departament d’Enginyeria Electrònica
E.U.E.T.I.T. c/Colón,1 08222 Terrassa.
E-mail: [email protected]
Resumen: La presente ponencia introduce la terminología de los circuitos de bucle de enganche de fase
(Phase Locked-Loop: PLL) analógico. Presenta el cálculo de los márgenes de frecuencia entre los que se
produce la sintonía de un PLL y examina el comportamiento del mismo dentro y fuera de sintonía. El
trabajo finaliza con una exposición de algunas de las principales aplicaciones de los circuitos PLL.
.
1. Introducción
v d = K m ViM VoM sen (ω i t + θ i ) sen(ω o t + θ o ) =
El circuito PLL es un sistema realimentado cuyo objetivo
principal consiste en la generación de una señal de salida
con amplitud fija y frecuencia coincidente con la de
entrada, dentro de un margen determinado.
Comprende tres etapas fundamentales, véase figura 1:
● Comparador de fase (CF). Suministra una salida que
depende del valor absoluto del desfase entre las señales
de salida y de entrada. En algunos casos, esta etapa está
constituida por un multiplicador.
● Filtro pasa-bajo (PL). Destinado a la transmisión de la
componente de baja frecuencia de la salida de la etapa
anterior.
● Oscilador controlado por tensión (VCO). Genera la
tensión de salida, con frecuencia dependiente de la
tensión de salida del filtro PL.
vi
CF
ViM sen(ω
ωi t+θ
+θi )
vd
PL
vf
vo
VCO
VoM sen(ω
ωot+θ
+θo)
Fig.1. Diagrama de bloques de un circuito PLL
Cuando el PLL está fuera de sintonía, a frecuencia de señal
de entrada muy alta o bien muy baja, la tensión de salida
adopta la pulsación central (ωco)1. Existe una banda de
frecuencias (∆ωL margen de enganche, lock range) entre
las que el PLL está en sintonía, caracterizada por ωi=ω0, y
otra entre las que el circuito es capaz de sintonizar (∆ωC
margen de captura, capture range). El margen de captura
es siempre inferior al de enganche y ambos están centrados
respecto a la pulsación central [1], ver figura 2.
= K d [cos(ω o t - ω i t + θ o - θ i ) - cos(ω o t + ω i t + θ o + θ i )]
con,
Kd = Km
ω i = 2πf i
ω o = 2πf o
(1a)
La señal de salida comprende dos componentes con
pulsaciones ωo-ωi y ωo+ωi. Cuando el PLL está fuera de
sintonía (ωo≠ωi y |ωo-ωi|τ>>1) ambas se sitúan en la banda
atenuada del filtro, la tensión de salida de éste es
prácticamente nula y la pulsación de la señal de salida se
fija en ωco. Por el contrario, si el PLL está sintonizado
(ωo=ωi) una de las dos componentes anteriores es continua,
es también el valor medio de tensión de salida del filtro
(Vfm) y, a través del VCO modifica la frecuencia de la
señal de salida2. Como Vfm depende del desfase θo-θi, la
realimentación impone que, en régimen permanente las
señales de salida y entrada tengan un desfase dependiente
de la desviación de frecuencia ωo-ωco.
2. Márgenes de captura y de enganche
2.1.Margen de enganche.
Partiendo del supuesto de que el bucle está sintonizado la
salida del multiplicador es
v d = K d [cos(θ o - θ i ) - cos(2ω o t + θ o + θ i )]
(2)
Tensión que comprende dos componentes: una continua y
otra con frecuencia doble a la de entrada. Admitiendo que
esta última resulte suficientemente atenuada por el filtro, la
tensión de salida y la pulsación de oscilación del VCO son,
respectivamente:
En todo el estudio se admitirá que CF es un multiplicador;
entonces su tensión de salida es,
2
fco: Frecuencia natural o de libre oscilación (Free-running frequency)
ViM V oM
2
siendo Kd la ganancia de conversión del CF (Phase
comparator-conversion gain).
Fig.2. Márgenes de captura y de enganche
1
(1)
v d ≈ K d cos(θ e )
(3a)
ω o ≈ ω co + K v cos(θ e )
(3b)
El VCO verifica la relación ωo= ωco +K0vf siendo K0 su ganancia de
conversión (VCO conversión gain)
60
en las que θ e = θ o - θ i es el desfase entre las señales de
entrada y de salida y K v (igual a K0 Kd [2]) es la ganancia
de lazo (loop gain). Mientras el bucle esté sintonizado, la
pulsación de salida sólo puede variar entre los siguientes
límites
ω LS ≈ ω co + K v
ω LI ≈ ω co − K v
∆f L =
(4)
∆ω L
2π
vf =
Kd
ω i = ω co ±
(5)
Kv
4τ 2 K 2v + 1 + 1
2
≈ ω co ±
Kv
τ
(12)
Por tanto, las pulsaciones límite de captura son
2.2.Margen de captura.
Como el proceso de captura sucede en un régimen
transitorio, la determinación de los límites entre los que se
produce es tediosa, aunque puede recurrirse a procesos
iterativos e introducir hipótesis simplificadoras.
ω CS = ω co +
Kd
1 + (ω o - ω i ) 2 τ 2
cos (ω o t - ω i t + θ e - Φ f )
∆ω C = ω CS − ω CI = 2
Kv
τ
(13)
Kv
τ
∆f C =
∆ω C
2π
(14)
Cuando el PLL está sintonizado, la ecuación (6) degenera
en la (15a), deduciéndose (15b). La variación de la tensión
de salida del filtro y de la desviación de pulsación con el
desfase existente entre las señales de salida y entrada se
representa en la figura 2.
(6)
(6a)
Supóngase que se parte de una pulsación de entrada muy
alejada de la natural ( | ω i - ω co | τ « 1 ) de manera que el
PLL esté fuera de sintonía ( ω o ≠ ω co ) y que se varía
progresivamente ωi acercándose hacia ωco. En el momento
de la captura, en primera aproximación y como máximo, el
valor de tensión del filtro es:
Kd
ω CI = ω co −
denominado margen de captura (capture range).
con:
Φ f = arc tg (ω o - ω i )τ
Kv
τ
La captura o sintonía del PLL se realiza dentro del margen
siguiente:
La captura implica que la componente de frecuencia fo-fi
de salida del multiplicador, ver ecuaciones 1, se sitúe en la
banda pasante del filtro; por ello, su tensión de salida se
puede aproximar según las fórmulas 6. Por otra parte, el
PLL sintoniza a una frecuencia relativamente próxima a su
valor natural.
vf =
(11)
4τ 2 K 2v + 1 + 1
2
denominado margen de enganche (lock range).
vf ≈
(10)
Una nueva iteración produce los resultados (11) y (12) que
confirman la solución.
o lo que es análogo, el PLL permanece sincronizado dentro
del margen siguiente:
∆ω L = ω LS - ω LI = 2K v
4τ 2 K 2v + 1 − 1
Kv
≈ ω co ±
2
τ
1
ω i = ω co ±
τ
v f ≈ K d cos (θ e )
(15a)
ω o = ω co + K 0 v f = ω co + K v cos (θ e )
(15b)
(7)
1 + (ω o - ω i ) 2 τ 2
Por tanto, la pulsación de la tensión de salida pasa a ser,
ω o = ω co +
Kv
(8)
1 + (ω o - ω i ) 2 τ 2
o bien,
ω i − ω co =
Kv
Fig.2. Tensión de salida del filtro y desviación de pulsación en
función del desfase cuando el PLL está en sintonía.
(9)
1 + (ω co - ω i ) 2 τ 2
Dicha característica de transferencia presenta una doble
utilidad. Por una parte, determina el valor de la tensión de
salida del filtro en función del desfase entre las señales de
Haciendo uso de la aproximación 2τK v « 1 se determinan
las soluciones (10).
61
comparador de fase es continua y, por tanto, se encuentra
dentro de la banda pasante del filtro. La componente AF,
de frecuencia doble al valor de la entrada (también a la de
salida) se sitúa en la banda atenuada. En consecuencia, la
tensión de salida del filtro es prácticamente continua, con
valor dependiente del desfase θe.
entrada ya salida del PLL, ver figura 3 superior. Por otra
parte, define el desfase entre ambas señales en función de
la desviación de frecuencia cuando el PLL está
sintonizado, véase figura 3 inferior.
ωo - ωco
Kv
0
-K v
vf
Kd
0
i
Se consideran tres casos, correspondientes a sendos
valores de frecuencia de la señal de entrada incluidos en
el margen de captura. Las figuras 4 muestran algunas
formas de onda obtenidas como resultados de simulación3
durante los regímenes transitorio y permanente, a partir
de condiciones iniciales nulas.
-Kd
ωo - ωco
Kv
o-
De acuerdo con las figuras 3, el valor absoluto del
desfase θe es {inferior, igual, superior} a 90 grados según
que la desviación de frecuencia de la señal de salida con
respecto a la de libre oscilación sea {positiva, nula,
negativa}. Por otra parte, el valor medio de tensión de
salida del filtro será {positivo, nulo, negativo}, si el valor
absoluto del desfase θe es {inferior, igual, superior} a 90
grados.
vf
Kd
La tabla 2 registra los valores del desfase entre las señales
de entrada y de salida (θe) así como el valor medio de la
tensión de salida del filtro (Vfm) en los tres casos
considerados, coincidentes con los obtenidos en la
anterior figura 3.
0
-K v
0
o-
i
fi (kHz)
1
0,95
1,05
θe (º)
90
105,5
75,5
Vfm (mV)
0
-25
25
Tabla 2. Resultados del PLL en sintonía
-Kd
3.2. El PLL fuera de sintonía.
Fig.3. Doble interpretación de la característica de transferencia.
Superior: Tensión de salida del filtro en función del desfase.
Inferior: Desfase en función de la desviación de frecuencia.
Cuando el PLL está desintonizado, las dos componente
AF y BF de salida del comparador de fase se sitúan en la
banda atenuada del filtro, por lo que el valor medio de su
tensión de salida es nulo. Como consecuencia, la
frecuencia de la señal de salida se ajusta a la de libre
oscilación y, por tanto, la frecuencia de salida es
independiente de la de entrada.
3. Sintonía y desintonía del PLL
Para todos los resultados presentados en este apartado, se
utiliza un PLL con los datos expuestos en la tabla 1.
Amplitud de señales entrada y salida: ViM=VoM=5(V)
Constante de tiempo del filtro τ=10(ms).
Frecuencia de libre oscilación: fCO=1000(Hz)
Frecuencias límite de captura: fCS=1056(Hz) fCI=944(Hz)
Frecuencias límite de enganche: fLS=1200(Hz) fLI=800(Hz)
Tal proceso puede verse en las figuras 5, que muestran
resultados análogos a los del punto 2.1, correspondiendo
a dos casos de frecuencia de la señal de entrada (500 y
1500Hz) exterior al margen de captura.
4. Algunas consideraciones
Tabla 1. Datos utilizados para el PLL
El filtro pasa-bajo juega un doble papel en las prestaciones
del PLL. Por una parte, atenúa las componentes de alta
frecuencia en la salida del comparador de fase; por otra,
provee de una cierta memoria al circuito que asegura el
volver a capturar de la señal si el sistema sale de sintonía a
causa de un ruido transitorio, por ejemplo. Constituye, sin
duda, uno de los principales problemas del diseño [2].
Para la mejor comprensión de los resultados presentados,
conviene recordar que el espectro en frecuencia de la
tensión de salida del CF comprende dos componentes
cuyas frecuencias corresponden a ωo-ωi y ωo+ωi, según se
expuso en (1). Componentes que, en adelante, serán
abreviadas mediante BF y AF, respectivamente.
3.1. El PLL sintonizado.
Como se explicó en el apartado 1 de introducción, si el
PLL está en sintonía, la componente BF de salida del
3
62
Simulación realizada con TUTSIM v.6.0.
fi=1000 (Hz)
vi
vi vo
(V)
v
f
(mV)
vo
6
60
v i vo
(V)
v
f
(mV)
6
4
vo
60
vi
40
2
20
v
v
f
0
-20
-4
-6
10
15
20
2
20
25
vf
0
-2
5
40
f
0
0
4
vf
0
-2
-20
-40
-4
-40
-60
30
-6
98
t
(ms)
98,5
99
99,5
-60
100
t
(ms)
fi=950 (Hz)
vi
vi vo
(V)
v
f
(mV)
60
vo
6
v
f
(mV)
vi vo
(V)
6
vo
60
vi
4
40
4
40
2
20
2
20
0
0
0
0
v
v
f
f
-2
-20
-2
-4
-40
-4
-60
-6
-6
0
5
10
15
20
25
v
-40
98
30
t
(ms)
-20
f
98,5
99
99,5
-60
100
t
(ms)
fi=1050 (Hz)
vi
vo
vi vo
(V)
6
v
f
(mV)
60
vi vo
(V)
v
f
(mV)
6
4
40
v
v
f
0
0
-2
-20
-4
-6
5
10
15
20
40
v
20
25
60
vi
4
f
2
0
vo
f
2
20
0
0
-2
-20
-40
-4
-40
-60
-6
30
t
(ms)
98
98,5
99
99,5
Fig.4. PLL en sintonía. Tensiones de salida del filtro (vf), de entrada (vi) y salida (vo) del PLL en regímenes transitorio
(izquierda) y permanente (derecha).
63
-60
100
t
(ms)
fi=500 (Hz)
vi vo
(V)
6
vi
v
f
(mV)
vo
4
2
v
v
f
v
f
(mV)
30
vi vo
(V)
6
20
4
20
10
2
10
0
0
30
vo
vi
f
0
0
v
f
-2
-10
-2
-10
-4
-20
-4
-20
-30
-6
-6
0
5
10
97
15
t
(ms)
98
-30
100
99
t
(ms)
fi=1500 (Hz)
vi vo
(V)
6
vi
vo
4
2
v
0
v
f
(mV)
vi vo
(V)
30
6
20
4
10
2
v
f
(mV)
20
10
f
v
0
30
vo
vi
f
0
0
-2
-10
-2
-10
-4
-20
-4
-20
-30
15
t
(ms)
-6
-6
0
5
10
97
98
-30
100
t
(ms)
99
Fig.5. PLL fuera de sintonía. Tensiones de salida del filtro (vf), de entrada (vi) y salida (vo) del PLL en regímenes
transitorio (izquierda) y permanente (derecha).
5. Algunas aplicaciones del PLL.
vo
vi
(V)
A modo de ejemplo, se presentan algunas de las múltiples
aplicaciones de los circuitos de enganche de fase.
Aplicación 1. Una de las aplicaciones principales del PLL
es la detección y separación de componentes del espectro
de la señal de entrada contenidos en el margen de captura.
Por ejemplo, la tensión de entrada en el caso de la figura 6
es cuadrada con 5(V) de amplitud y frecuencia de 140(Hz)
y su séptimo armónico (980Hz y 910mV) cae dentro del
margen de captura controlando la frecuencia de la señal de
salida.
En los casos que el PLL no suministre tensión de salida
sinusoidal, triangular o cuadrada por ejemplo, el circuito
puede entrar en sintonía de una forma intempestiva o
nodeseada. Este efecto se produce para frecuencias de
entrada elevadas, al coincidir con algún armónico de la
señal de salida.
64
6
vi
vo
4
2
0
-2
-4
-6
80
85
90
95
t
(ms)
100
Fig.6. Sintonía del PLL con el séptimo armónico de una señal de
entrada cuadrada de 140 (Hz).
Aplicación 2. Constituye una aplicación interesante del
PLL el filtrado o reconstrucción de señales con altos
niveles de ruido. Por ejemplo, en la figura 7 muestra la
respuesta del circuito ante una señal de entrada de 1040
(Hz) altamente contaminada; puesto que la componente
6. Conclusiones
fundamental es la única situada dentro del margen de
captura, se produce una sintonía a su frecuencia.
Se ha explicado el funcionamiento del circuito analógico
en bucle de enganche de fase, obviando el alto grado
matemático que entraña [1-2].
v i vo
(V)
8
6
vi
Se han presentado numerosos resultados de simulación,
en condiciones de sintonía y desintonía, que avalan el
conjunto de programas desarrollado en Tutsim.
vo
4
2
Finalmente, se ha expuesto una perspectiva del amplio
conjunto de aplicaciones derivadas del empleo de los
circuitos PLL.
0
-2
-4
Referencias
-6
-8
96
97
98
99
Fig.7. El PLL ante una señal de entrada sinusoidal contaminada
de 1040 (Hz).
Aplicación 3. El fundamento de los sintetizadores de
frecuencia reside en la realimentación del circuito de un
PLL mediante un divisor de frecuencia (relación N), véase
la figura 8. Con ello se consigue la sintonía cumpliendo la
relación ϖ o = N ϖ i .
vi
CF
vd
PL
vf
VCO
ViM sen(ω
ωi t+θ
+θi )
[1]
Connelly J.A. Macromodeling with Spice. Prentice-Hall
International. 1992.
[2]
Pindado R. Electrónica analógica integrada. Introducción
al diseño mediante problemas. Marcombo. 1997.
[3]
http://www.web-ee.com/primers/primer_bottom.htm.
Artículos sobre PLL para receptores y transmisores de
HF.
[4]
http://www.radiolab.com.au Applied Radio Lbas.
Software gratuito de diseño y simulación.
[5]
www.osicom.com/notes/ddstutor.html
[6]
www.geocities.com/CapeCanaveral/5611/dds.html
[7]
www.ti.com/sc/docs/apps/logic/. Texas Instruments. Ver
digital_phase_locked_loops_plls_.html. Circuitos y notas
de aplicación.
[8]
www.chipcenter.com/onlinetools/ ChipCenter Questlik.
Notas de aplicación interactivas.
[9]
www.a-ten.com/alz/ecd.htm. Atlantis Enterprises. Amplia
referencia bibliográfica.
100 t
(ms)
vo
VoM sen(ω
ωot+θ
+θo)
Divisor de
frecuencia por N
Fig.8. Diagrama en bloques de un sintetizador de frecuencia
Aplicación 4. El PLL ofrece un amplio espectro de
aplicaciones en los campos de la desmodulación FM y la
multiplicación, división y síntesis de frecuencia. Una
aplicación típica es la modulación FSK (Frequency Shift
Keying) para la transmisión de datos mediante una
portadora que es desplazada entre dos frecuencias
preseleccionadas. El desplazamiento se consigue
controlando el VCO mediante la señal binaria de datos a
transmitir.
[10] http://www.analog.com/siteMap.html. Página de Analog
Devices. Visitar PLL Frequency Synthesizers.
[11] www.onsemi.com/pub/Collateral/MC14046B-D.PDF On
Semiconductor Hoja Técnica del circuito PLL MC 4046B.
65