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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
“
Desempeño: Capacidad de utilizar los números reales elaborando con ellos las construcciones que favorezcan
el desarrollo de procesos y habilidades de pensamiento.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: Medir y contar fueron probablemente las primeras actividades
de tipo matemático que realizó el hombre. Se necesitaron muchos siglos para que el hombre estableciera un
concepto abstracto de número. Fue Frege Gottlob (1848-1925), matemático y filósofo alemán, quien a finales
del siglo XIX asoció el concepto de número natural a la teoría de conjuntos. Los números irracionales se
atribuyen a Pitágoras (592-497 a.C.), quien definió la relación entre los catetos de un triángulo y su hipotenusa
en su famoso teorema. Más tarde, Teodoro de Cirene demostró la irracionalidad de 2 , 3 ...
Los números negativos fueron muy poco estudiados por los matemáticos de la Antigüedad, e incluso fueron
rechazados en la Edad Media. Sólo hasta el siglo XVI Thomas Harriot (1560-1621), matemático y astrónomo
inglés, usó por primera vez el signo (-) para caracterizar los números negativos.
Los números complejos fueron introducidos por el matemático italiano Rafael Bombelli (1526-1573), pero fue
Carl Friederich Gauss (1777-1855), llamado “el príncipe de las matemáticas” , el primero en dar una descripción
coherente de dichos números e interpretarlos como notación de los puntos de un plano, tal como se hace en los
textos de álgebra actuales. El sistema numérico denominado sistema de los números complejos será abordado
en grado noveno más adelante lo cual nos va a permitir resolver algunos problemas que no tienen solución
dentro del conjunto de los números reales.
Un sistema numérico es un conjunto que por tener determinadas propiedades (una
estructura algebraica) recibe un nombre específico. Una estructura algebraica es un conjunto con una o más
operaciones que satisfacen ciertas propiedades. Entre los sistemas numéricos más importantes tenemos:
SISTEMAS NUMÉRICOS:
1. NÚMEROS NATURALES:
N=
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...,
Son los números que se utilizan para contar. Se simbolizan por N y se representan así:
Se definen también como el conjunto No, llamado el conjunto de los números enteros
no negativos y representados por: No =
que este último contiene el número cero.
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,..., . Observe que la única diferencia entre N y No es
A cada número natural n, le corresponde un único número llamado el negativo de n, que
se simboliza por –n. El conjunto formado por todos los números naturales, sus negativos y el número cero, se
Z y se representa
denomina el conjunto de los números enteros; se simboliza por
así: Z
..., 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ..., Debe observarse que: N No Z
2. NÚMEROS ENTEROS:
a
donde a y b son números enteros y
b
b 0 . Los números racionales se simbolizan por Q y se representan así: Q x / p, q Z , q 0 . En este
3. NÚMEROS RACIONALES:
Un número racional es un número de la forma
conjunto podemos diferenciar dos subconjuntos:
a) El conjunto de las fracciones propiamente dichas tales como:
que pueden ser expresadas como enteros. Por ejemplo,
NOTA:
5 . Observe que: N
No
Z
Q
Una característica importante de los números racionales es que pueden ser representados por un
decimal
16
3
15
3
1 3 7
, , , etc. b) El conjunto de las fracciones
2 4 5
infinito
periódico.
Por
ejemplo,
2
7
0,2857142857 14 ... 0.285714 .De manera similar
5,33 ... 5, 3 En los dos casos anteriores, la parte que se repite se denomina el periodo y se acostumbra
a escribir el decimal con la parte periódica anotada una sola vez, colocando sobre ella una barra: 0, 285414 ó
5, 3 . A excepción de los casos como
617
50
12,3400 ó
4
5
0,800 , en los cuales se acostumbra a escribir
simplemente 12,34 ó 0,8 omitiendo el periodo, compuesto en estos casos tan sólo por la cifra cero, esto es
4
5
0,8 ; mejor que 0,80 .
UNIMINUTO NODO SAUCES
GUIA
NOMBRE DEL ESTUDIANTE:
No.
ID:
FECHA:
PROFESOR:
CARRERA:
DESEMPEÑO: Determinar si un
conjunto de números es subconjunto de
otro.
ESTUDIA EL MATERIAL.
2
4. NÚMEROS IRRACIONALES:
Cuando un número no puede ser expresado como un decimal periódico, no es un
número racional. Los números que no son racionales se denominan irracionales y se simbolizan por
QC ó
Q´' . Los números irracionales son pues decimales no periódicos o raíces no exactas de números racionales
como
2 , 3 y algunos números famosos como
ye.
denomina
el
Al conjunto formado por la unión de los números racionales y los números irracionales se le
conjunto de los números reales y se simboliza por
. Observe que:
N
Z
Q
5. NÚMEROS REALES:
No
Además, también se cumple que:
QC
6. NÚMEROS COMPLEJOS: Un Número complejo es un número de la forma
números reales e i es tal que i
representan así: C
2
= -1, esto es
a bi / a y b
,i
z
a
bi, donde a y b son
1 . Los números complejos se simbolizan por C y se
i
1
En z a bi, donde a se denomina la parte real y b se denomina la parte imaginaria. El siguiente
cuadro sinóptico nos muestra un resumen de los distintos conjuntos numéricos:
NOTA:
NÚMEROS REALES
Q
NÚMEROS RACIONALES
Q
Enteros: …, -2, -1, 0, 1, 2, …
Decimales finitos: -4,3 ; 5,73
Decimales infinitos periódicos:
83,666…, -0,8383
57,322727…, -5,2345252
Q´´
NÚMEROS IRRACIONALES
Q ´´
Decimales infinitos no periódicos:
3,141592 ...
2
1,414213562 ...
11 3,31662479 ...
0,1010010001 ...
Z
..., 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...,
NÚMEROS ENTEROS
Z
Z
..., 4 , 3 , 2 , 1
ENTEROS NEGATIVOS
Z
NÇUMEROS NATURALES
N
N
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...
7. OTROS CONJUNTOS NUMÉRICOS: Existen otros conjuntos numéricos que son importantes para la
adecuada ejecución de ciertos temas en matemáticas.
x Z / x 2k , k Z
b) Números impares = x Z / x 2k 1, k Z
a) Números pares =
c) Números primos
= x N / x puede escribirse como productosolamentede sí mismo por la unidad .
Son números primos, por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…, ya que 2 = 2x1, 3 = 3x1, etc., y no pueden escribirse
como producto de ninguna otra manera. Por el contrario, 12 no es un número primo ya que 12 = 12x1, pero
además 12 = 4x3 y 12 = 6x2; los números 1, 2, 3, 4, 6, 12 se llaman los divisores de 12.
En el caso del número 3, sólo se tienen dos divisores 1 y 3, luego un número primo se define también como un
número que admite sólo dos divisores.
Si un número no es primo se denomina compuesto. Por ejemplo, 21 y 8 son números compuestos.
ACTIVIDADES:
1. Diga a qué conjunto, de los vistos anteriormente, pertenece cada uno de los siguientes números:
a)
1
20
b)
5
5
c) 0,4701470247034704… d) 0,474747… e)
4 f) -8 g) 3 h) 2e
2. Escriba en forma decimal, resaltando el periodo de cada uno de los siguientes números:
a)
1
3
1
13
8
b)
c)
d)
e)
9
7
5
7
4
3. En cada caso diga si el número dado es primo o compuesto. En este último caso, escriba dicho número
compuesto como producto de número primos.
a) 2 b) 8 c) 162 d) 13 e) 27
4. Utilice un método apropiado para localizar el número en la recta real.
5. Escriba, si es posible, dos números irracionales cuyo producto sea un número racional.
6. Demuestre que la suma de dos números racionales es racional.
7. Halle, si es posible, los inversos aditivo y multiplicativo de los siguientes números reales.
2
c)
5
1
d) 0 e) -1
3
8) Solucione la ecuación x 5 x 2
a) 4 b)
0
9) En cada una de las siguientes premisas escriba V (verdadero) o F (falso) según corresponda; dé una razón
en cada caso:
a) Z es un subconjunto propio de Q b) El número cero tiene inverso aditivo.
1
6
d) El número
Tiene periodo cero. e) 9 es un número primo.
a
1.000
c) El inverso multiplicativo de –a es
10) Ubique sobre el plano XY, utilizando una escala apropiada, los puntos que se dan a continuación:
4,5 ;
3,2 ;
5,0 ; 4,8 ; 0,6 ;
1 3
,
;
2 4
7 ,0
11) Escriba las coordenadas de cuatro puntos cualesquiera que formen un cuadrado, si uno de los puntos es
(-5, 2). Además calcular el área y el perímetro del cuadrado.
Los problemas que aparecen a continuación tienen solución en el conjunto de los números reales.
1. Una alcancía tiene únicamente monedas de $ 500 y $ 200. Hay cuatro monedas de $ 500 más que las de $
200. ¿Cuántas monedas de $ 200 y cuántas de $ 500 hay si la alcancía tiene $ 16.000?
2. Encontrar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 135
3. De una finca de 500 hectáreas se cultivan
3
1
de hectárea en naranjas, se construye un casa en
y lo
20
10
que sobra de la finca se vende a $ 5.000.000 la hectárea. ¿Cuál es el valor de la venta?
4. Los
2
4
de la edad de Claudia son 24 años y la edad de su hermano es
de la edad de Claudia. Hallar
3
9
ambas edades.
5. Con el dinero que tiene Carlos puede comprar 20 camisas de $ 20.000 cada una. Si las suben a $ 25.000,
¿Cuántas camisas podrá comprar?
6. ¿Cuál es el número que si se multiplica por 4, a este producto se le divide por 6, luego a este cociente se le
añade 12, entonces se obtiene 12,002?
UNIMINUTO NODO SAUCES
GUIA
NOMBRE DEL ESTUDIANTE:
No.
ID:
FECHA:
PROFESOR:
CARRERA:
DESEMPEÑO: Determinar si un
conjunto de números es subconjunto de
otro.
ESTUDIA EL MATERIAL.
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DESEMPEÑO: Determinar si un
conjunto de números es subconjunto de
otro.
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