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C AP ÍTULO
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Introducción a la geometría
Resumen del contenido
El Capítulo 1 presenta los fundamentos y vocabulario de geometría. Aunque se
refiere a muchas formas geométricas que los estudiantes ya han visto antes, hace
hincapié en lo que se necesita para poder formular buenas definiciones. Muchas de
estas investigaciones hacen participar a los estudiantes en el proceso de redacción de
definiciones presentándoles ejemplos visuales de formas que pertenecen a un grupo
y formas que no pertenecen al grupo, llamado los no ejemplos. Este proceso hace
que los estudiantes pasen de pensar en la apariencia general de las formas hacia
pensar en sus partes y en las clases de formas, por ejemplo, pensar en lo que todos
los rectángulos tienen en común y qué los hace rectángulos. Esto establece las bases
para entender las propiedades de la formas, un nivel superior de razonamiento que
pasa a ser cada vez más importante en los capítulos posteriores.
Definiciones
Una buena definición generalmente puede formularse como “Un [término que se
trata de definir] es un/a [grupo general] que [tiene alguna característica]”. Por
ejemplo, considere la definición de triángulo.
Un triángulo es un polígono que tiene tres lados.
Para que esta definición sea clara debemos saber el significado de los términos
usados en la definición. ¿Qué significa polígono? ¿Qué significa lado de un polígono?
Todos los términos usados en una definición válida deberían ya estar previamente
definidos. Pero esto conlleva a un problema: ¿Por dónde empezamos? Debemos
ponernos de acuerdo de que algunos términos se entiendan sin ser definidos.
Entonces se pueden usar para definir la primera definición, que a su vez se puede
usar en otras definiciones. En geometría, estos términos sin definir son puntos,
recta y plano. A partir de estos términos, podemos definir otros términos, que
luego se pueden usar para definir los términos triángulo y ángulo en el ejemplo
original anterior.
Los puntos son colineares si están en la misma recta.
Un segmento de recta consiste de dos puntos (llamados extremos) y todos los
puntos comprendidos entre ellos que son colineares con los dos puntos.
Un polígono es una figura cerrada en un plano que se forma conectando segmentos
extremo con extremo (llamados vértices) con cada segmento intersecando
exactamente otros dos.
Un lado de un polígono es un segmento que conecta vértices consecutivos
del polígono.
Mientras que estas definiciones tal vez no estén descritas exactamente de la misma
forma que al principio de esta sección, la mayoría se basa en la clasificación del
término dentro de un grupo general, luego su diferenciación del grupo de acuerdo a
algunas características.
Ángulos
Además de definir ángulos, el libro habla sobre las medidas de los ángulos y les pide a
los estudiantes que escriban las definiciones de distintos tipos de ángulos (recto,
agudo, obtuso), así como pares especiales de ángulos (complementarios,
suplementarios, opuestos por el vértice, par linear).
Polígonos
El libro define polígono y le pide a los estudiantes que escriban las definiciones de
tipos especiales de polígonos (equilátero, equiángulo, regular). Los estudiantes
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(continúa)
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Capítulo 1 • Introducción a la geometría (continúa)
también definen distintos tipos de triángulos (rectángulo, agudo, obtuso, escaleno,
equilátero, isósceles) y cuadriláteros (trapecio, papalote, paralelogramo, rombo,
rectángulo, cuadrado).
Círculos
Un círculo es la serie de todos los puntos en un plano a una distancia dada desde un
punto dado. Los estudiantes repasan algunas partes del círculo (centro, radio, arco) y
definen otras partes (cuerda, diámetro, tangente).
Problema resumen
¿Qué formas geométricas contiene cada uno de estos sólidos?
Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
¿Cómo se llama cada sólido?
¿Hay partes de los sólidos que están escondidas en estos dibujos?
¿Cómo son las partes escondidas?
¿Qué partes se mencionan es este capítulo?
¿Cuáles de esas formas están contenidas en los sólidos? ¿Las puedes colorear?
¿Hay alguna de esas formas que no esté contenida en los sólidos?
¿Puedes cambiar estos sólidos a alguno que no contenga esas formas?
¿Qué relaciones geométricas se mencionan en el capítulo?
¿Cuáles de esas relaciones tienen las formas de los sólidos?
¿Qué medidas se mencionan en el capítulo?
¿Puedes tomar alguna de esas medidas en estos sólidos?
Ejemplo de respuestas
Juntas, las formas —una pirámide rectangular y un cilindro atravesado por un hoyo
cilíndrico— contienen segmentos, puntos colineares y coplanares (vértices) ángulos
agudos y rectos, triángulos, un rectángulo y círculos concéntricos. El fondo del
cilindro, el interior del hoyo cilíndrico y el triángulo de atrás en la pirámide están
escondidos y no se ven. Otros términos en el capítulo incluyen semirrecta; ángulos
opuestos por el vértice, polígonos de varios tipos, incluyendo varios cuadriláteros;
muchas rectas relacionadas con los círculos, incluyendo tangente y otros sólidos,
incluyendo cilindros, conos y esferas. Es posible hacer alguno de esos polígonos
tomando una “sección” o cortando en rebanadas la pirámide.
Las relaciones mencionadas en el capítulo incluyen bisecciones, congruente,
perpendicular, paralelo, rectas oblicuas y ángulos suplementarios y
complementarios. En las figuras pareciera que: La base de la pirámide tiene aristas
perpendiculares entre sí y aristas opuestas congruentes entre sí; las bases del cilindro
son paralelas entre sí; y si los triángulos son equiláteros o isósceles, tienen ángulos
y aristas congruentes. El dibujo tal vez no represente los verdaderos ángulos o
longitudes de los lados, pero de lo contrario podría hallar la medida de cada
ángulo con un transportador y la longitud de cada lado con una regla.
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Capítulo 1 • Ejercicios de repaso
Nombre
Período
Fecha
(Lecciones 1.1, 1.2) Identifica lo siguiente:
1. Punto medio: _______
2. Segmento: ______
3. Mediatriz: ______
4. Semirrecta: ______
5. Recta: ______
6. Ángulo: ______
A
B
E
C
F
D
7. (Lección 1.2) Marca la figura con la siguiente información:
A C
B
BC
AB
BD DC
A
D
C
(Lecciones 1.3, 1.5, 1.6, 1.7) Dibuja y rotula cuidadosamente cada figura.
8. Ángulos suplementarios ABD y DBC siendo mABD 90°
y tangente CD
9. Triángulo isósceles rectángulo 10. Círculo O con diámetro AB
11. Paralelogramo ABCD
12. (Lección 1.4) ABCDE FGHIJ. El perímetro de ABCDE es de 36 cm.
Halla estas distancias.
a. AB _______
b. HI ______
c. FJ _______
B
G
x2
C
A
H
F
7
2x
D
E
I
4x – 3
J
13. (Lección 1.8) Halla las longitudes faltantes. Haz de cuenta que todas las
aristas son perpendiculares entre sí.
a. x _______
b. y ______
2
c. z _______
x
8
y
6
4
z
14. (Lección 1.9) Crea un diagrama de Venn para mostrar las relaciones entre
los triángulos, triángulos isósceles y triángulos rectángulos.
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SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE REPASO DEL C APÍTULO 1
porque AE
ED
.
1. E es el punto medio de AD
2. Hay varios segmentos, por ejemplo AE o AD .
es la bisectriz del ángulo porque BEC 3. EC
CED.
o EC
4. Hay varias semirrectas, por ejemplo BF
5. FB
6. Hay varios ángulos, por ejemplo BEC o BED.
7.
B
A
C
D
8.
11.
C
D
A
12. Como los dos pentágonos son congruentes, ED JI 4x – 3. Las marcas en los pentágonos muestran
que BC ED. Por lo tanto, BC ED 4x – 3. El
perímetro de ABCDE (x 2) (4x 3) 7 (4x – 3) 2x 36 cm. Al resolver la x, obtienes x 3 cm. Sustituye la x con el 3 y usa el hecho de que los
lados correspondientes son congruentes para hallar
las longitudes de estos lados.
a. AB 5 cm
b. HI 7 cm
c. FJ 6 cm
D
B
A
C
B
x2
A
B
G
C
2x
10.
C
F
7
D
E
9.
H
I
4x – 3
J
13. x 4; y 4; z 6
14. Aunque es posible que un triángulo sea isósceles y
rectángulo, también es posible que sea uno sin ser lo
otro, entonces están representados por dos círculos
que se superponen.
D
Triángulos
A
O
B
Triángulos
isósceles
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Triángulos
rectángulo
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