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C AP ÍTULO
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Uso de herramientas de geometría
A estas alturas del curso usted podría pensar en cómo está interactuando con su
estudiante. Por ejemplo, ¿está usted siendo un estudiante para su estudiante? ¿Está
formulando preguntas y dejando que su estudiante explique? ¿Está explicando lo
suficientemente poco, como para que su estudiante se vuelva un aprendiz y pensador
independiente? ¿Responde a preguntas que su estudiante no le ha preguntado?
Decirle demasiado al estudiante puede ser una pérdida de tiempo, porque puede no
entender; esto puede llevarle a sentirse abrumado. Se puede lograr una comprensión
a fondo cuando usted deja que su estudiante le explique el concepto o habilidad a
usted y a otros.
Resumen del contenido
En el Capítulo 3, los estudiantes usan construcciones hechas por sus propias manos
para desarrollar un sentido intuitivo de las propiedades de las formas. Esto permite
un modo distinto de comprender cómo las partes de una figura están relacionadas
con el todo. Los estudiantes aprenden a duplicar segmentos y ángulos, luego trabajan
con rectas perpendiculares y paralelas, bisectrices de ángulos y segmentos, y rectas
concurrentes. Un concepto subyacente es la determinación: ¿Qué propiedades
determinan la forma de una figura? O sea, ¿qué propiedades son necesarias, para que
estas propiedades definan una y sólo una forma? La idea de determinación es
abordada a través de construcciones geométricas.
Construcciones geométricas
Los estudiantes aprenden a duplicar segmentos y ángulos, a bisecar segmentos y
ángulos, y a construir rectas perpendiculares y paralelas. Además de aprender las
clásicas construcciones con compás y regla no graduada, los estudiantes aprenden a
utilizar patty paper, pequeños cuadrados de papel encerado generalmente utilizados
para separar las hamburguesas, como una herramienta singular para construcciones
geométricas. Usted puede pensar en las construcciones geométricas como un juego:
Intente dibujar una figura, tal como un cuadrado, utilizando solamente un compás y
una regla no graduada y sin mediciones. Las soluciones pueden aplicarse a
problemas de la vida real, tal como trazar los cimientos para un edificio, pero la
tecnología moderna ofrece métodos más simples. Trate de ayudar a que su
estudiante disfrute del juego. Por más de 2500 años, este juego les ha dado a los
estudiantes comprensión práctica de las propiedades que determinan la forma de
una figura. Una comprensión de la determinación será especialmente útil en el
estudio de la congruencia de triángulos en el Capítulo 4.
(continúa)
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Capítulo 3 • Uso de herramientas de geometría (continuación)
Problema resumen
Dibuja tres segmentos de recta en una hoja de papel utilizando sólo las herramientas
de construcción (regla no graduada sin marcas y compás), y duplícalos para
construir un triángulo, si es posible. Si tienes éxito, construye varios triángulos.
Luego construye lo que sepas construir sobre los lados y ángulos del triángulo.
¿Qué patrones ves? ¿Qué conjeturas puedes hacer? ¿Puedes justificar por qué esas
conjeturas pueden ser ciertas?
Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante:
●
●
●
●
●
●
●
¿Es realmente posible construir un triángulo con copias de estos segmentos
de recta sin tomar ninguna medida?
¿Alguna vez es imposible construir un triángulo a partir de tres
segmentos dados?
¿Qué sucede cuando construyes varios triángulos utilizando los mismos tres
segmentos? ¿Tres segmentos determinan un triángulo?
¿Qué sucede si construyes la mediatriz de cada lado del triángulo?
¿Qué sucede si construyes la bisectriz de cada ángulo del triángulo?
¿Qué sucede si marcas el punto medio de cada lado del triángulo y unes cada
punto medio con otros puntos?
¿Qué más puedes construir sobre este triángulo, y qué otros patrones ves?
Ejemplos de respuestas para el problema resumen del Capítulo 3
Siempre y cuando la suma de cualquier par de rectas sea mayor que la tercera, se
puede construir un triángulo. El construir varios triángulos a partir de los mismos
tres segmentos siempre conduce al mismo triángulo (aunque puede ser un reflejo
exacto). Entonces, siempre y cuando se pueda construir un triángulo, éste está
determinado. Una vez que se tienen tres segmentos que se pueden duplicar para
formar un triángulo, su estudiante puede usar las copias del triángulo mientras
explora. La mediatriz de cada lado puede construirse sobre una copia del triángulo
y las bisectrices de los ángulos sobre otra. Los estudiantes hallarán puntos de
concurrencia, en los cuales se intersecan tres rectas. También hallarán una relación
entre las dos partes de un segmento determinado por el punto de concurrencia
de las medianas, y relaciones entre algunos de estos puntos de concurrencia si
realizan la exploración de la recta de Euler al final del capítulo. Su estudiante puede
explorar otras relaciones.
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Capítulo 3 • Ejercicios de repaso
Nombre
Período
Fecha
y halla su mediatriz.
1. (Lecciones 3.1, 3.2) Duplica AB
A
B
2. (Lecciones 3.2, 3.3) Identifica las partes de ABC:
A
a. Mediana: ______
b. Altitud: ______
G
F
c. Segmento medio: ______
D
3. (Lecciones 3.1, 3.4) Duplica DEF y
C
E
B
D
construye la bisectriz del ángulo.
E
F
4. (Lecciones 3.5, 3.6) Construye un trapecio isósceles.
5. (Lección 3.7) Nombra cada centro.
a.
b.
c.
d.
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SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE REPASO DEL C APÍTULO 3
1. Duplicación:
Bisectriz de ángulo:
C
D
Paso 1
A
B
E
Paso 2
C
D
Paso 3
F
4.
C
Mediatriz
B
A
A
B
C
porque conecta el vértice con el
2. Mediana AE
punto medio.
porque es el segmento perpendiAltitud AD
cular desde un vértice a la recta que contiene
el lado opuesto.
B
A
porque conecta los puntos
Segmento medio FG
medios de dos lados.
D
3. Duplicación:
C
D
A
E
F
Paso 1
Paso 2
D
E
F
B
G
5. a. Ortocentro (intersección de altitudes)
b. Centroides (intersección de medianas)
c. Circuncentro (intersección de mediatrices)
d. Incentro (intersección de bisectrices de ángulos)
G
Paso 4
Paso 3
G
Paso 5
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