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Sesión 4
Distribuciones Muestrales
Estadística II
Equipo Docente: Iris Gallardo ‐ Andrés Antivilo – Francisco Marro
Esperanza
k
E(x) = mx = x1 p1 + x2 p2 +.... + xk pk = ∑xi pi
i=1
Existen Elementos que permiten resumir información de una Distribución de Frecuencias
¿Ejemplos?
También existen elementos que permiten describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.
Definición: “La Esperanza (…) de una variable aleatoria discreta x como la suma de sus posibles valores x1, x2,…, xk ponderados por sus respectivas probabilidades p1, p2,…, pk” (Peña y Romo, 1997, pags. 221‐222)
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Desviación típica de una V.A.
σ X = DT ( x) =
k
2
(
x
−
m
)
∑ i x pi
i =1
EJERCICIO:
Variable Aleatoria: Lanzamiento de una moneda
n = 4
X = Número de caras al lanzar la moneda
¿Cuál es la esperanza y su D.T.?
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X =x
P(x)
xkpk
( xi − mx ) 2
0
1/16
0 (.0625)
4
.25
1
4/16
1 (0.25)
1
.25
2
6/16
2 (.375)
0
0
3
4/16
3(.25)
1
.25
4
1/16
4 (.0625)
4
.25
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( xi − mx ) 2 ⋅ pi
Distribuciones Muestrales
Una distribución muestral es una distribución de probabilidades de un estadístico muestral calculado a partir de todas las muestras posibles de tamaño n elegidas al azar en una población determinada.
OBSERVACIONES
1. Cuando la población es infinita se habla de una distribución muestral teórica. 2. Cuando la población es finita y de tamaño moderado se puede construir una distribución muestral experimental, extrayendo todas las muestras posibles de tamaño n..
CARACTERISTICAS DE INTERÉS
• Su Promedio o Media
• Su Varianza (y, por tanto, Desviación Estándar)
• Su forma (Representación Gráfica)
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Aproximación a las Distribuciones Muestrales
EJEMPLO
Estudiantes
A
B
C
D
E
Puntaje en test de C.I.
80
90
100
110
120
MEDIA (promedio) = ¿…?
100
VARIANZA = ¿…? 200
Desviación Típica = ¿…?
14,14
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PASO 1
Se extrae con reemplazo, de la población de 5 sujetos, todas las muestras
posibles de tamaño n = 2.
En este caso 52 = 25.
PUNTAJES
80
90
100
110
80
90
100
110
120
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120
PASO 2:
Calculo del estadístico MEDIA (Promedio) para cada muestra extraída
PUNTAJES
80
90
100
110
120
80
90
100
110
120
80
85
90
95
100
85
90
95
100
105
90
95
100
105
110
95
100
105
110
115
100
105
110
115
120
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PASO 3
Se realiza una lista con todos los valores distintos de las medias junto con
la probabilidad de ocurrencia de cada uno.
Medias Frecuencia
Probabilidad
Medias * Frec
80
1
1/25
80
85
2
2/25
170
90
3
3/25
270
95
4
4/25
380
100
5
5/25
500
105
4
4/25
420
110
3
3/25
330
115
2
2/25
230
120
1
1/25
120
N total = 25 Estadística II
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Suma = 2500
Distribuciones Muestrales
Características de interés de la DM de la Media (muestreo con reemplazo):
• Media:
μX
X
∑
=
• Varianza:
σ X2 =
i
Nn
2
(
X
−
μ
)
∑ i X
Nn
• Forma: El Gráfico debe permitir ver las probabilidades asociadas a cada valor de la variable.
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Distribuciones Muestrales
• Media:
• Varianza:
2500
μX = 2 = 100
5
2500
σ =
= 100
25
2
X
• Actividad: Generar el gráfico correspondiente a la DM
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Muestreo con reemplazo
Conclusión:
Si se efectúa en una población finita, se verifica que el promedio de la distribución muestral de la media es igual a la media de la población original y la varianza de la distribución muestral es igual a la varianza de la población dividida por el tamaño de la muestra (Daniel, 1988) La raíz cuadrada de la varianza se llama Error Típico de la Media
σx = σ/√n
σx = 14,14/√2 = 10
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Muestreo sin reemplazo
Si se desarrolla un muestreo sin reemplazo en una población finita se verifica que:
• La distribución de las medias es igual a la media poblacional…
•…y la Varianza es igual a
σ
2
X
⎛σ 2 ⎞ ⎛ N − n ⎞
=⎜
⎟ ⋅⎜
⎟
n
N
−
1
⎠
⎝
⎠ ⎝
Factor de corrección
•Si el tamaño de la muestra es pequeño en relación al tamaño de la población, no es preciso incorporarlo. Si n/N es ≤ 0,05 no es preciso incorporarlo
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σ
σ
⎛ 200 ⎞ ⎛ 5 − 2 ⎞
=⎜
⎟⋅⎜
⎟
−
2
5
1
⎝
⎠ ⎝
⎠
2
X
2
X
3
= 100 ⋅
4
σ X2 = 75
σX =8.66
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Forma funcional de las medias
muestrales
a.‐ Muestreo en una población normalmente distribuida
Teorema: Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n sacada de una población distribuída normalmente con media µ y varianza finita σ2 , entonces la distribución muestral de promedios está
normalmente distribuída con media µ y y varianza σ2/n
Como consecuencia de este hecho
z =
X
− μ
σ
n
X
Donde es la media de una muestra aleatoria de tamaño n sacada de una población que se distribuye normalmente con media 0 y varianza 1
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Ejercicio
El tiempo de respuesta de una v. a. ~ N con µ = 10 σ2 =9
¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 16 animales se obtenga un tiempo promedio de respuesta ≥ 11 segundos?
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b.‐ Muestreo en poblaciones que no están distribuidas normalmente.
Se obtiene una muestra grande de la población y se utiliza el teorema del límite central.
“Sin tener en cuenta la forma funcional de la población de donde se extrae la muestra, la distribución de las medias muestrales
calculadas con muestras de tamaño n extraídas de una población con media µ y varianza finita σ2 , se aproxima a una distribución normal con media µ y varianza σ2/n cuando n aumenta. Si n es grande, la distribución de las medias muestrales puede aproximarse a una distribución normal.”
Una muestra es grande si n≥30.
Luego podemos utilizar z
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Ejercicio
La ingestión media de agua es de 16 gramos y la desviación standard es 2 en una población de animales. ¿Cuál es la probabilidad de que la ingestión media de agua para una m. a. de 65 animales esté entre 15,50 y 16,25 gramos?
TLC
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c.‐ Muestreo en poblaciones finitas
Sabemos que tenemos que usar el factor de corrección para poblaciones finitas y muestreo sin reemplazo.
Ejemplo:
Una empresa emplea 1500 personas. El promedio gastado en salud fue de 25,75 euros. Y la desviación = 5,25. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 empleados arroje una media comprendida entre 25 y 27 euros?
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