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CARMEN ARRIERO VILLACORTA E ISABEL GARCÍA GARCÍA
C4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. INTRODUCCIÓN
Esta unidad va dirigida a alumnos de 4º de E.S.O. y 1º de Bachillerato.
De las funciones elementales que se estudian en esta etapa, las funciones
trigonométricas cumplen la propiedad de ser periódicas. Debido a esta propiedad, estas
funciones se utilizan como modelo matemático para el tratamiento de fenómenos periódicos. En la vida cotidiana hay muchos fenómenos que se repiten periódicamente, aunque
no son muy evidentes no por ello son menos importantes, como el movimiento de una
noria, las pedaladas de un ciclista, las mareas de los océanos, el vaivén de un péndulo,
comportamientos económicos, el sonido, algunas magnitudes físicas, la corriente eléctrica, los campos electromagnéticos, etc.
En todos estos fenómenos la función se repite periódicamente, es decir, si el periodo
es T y la función f(x) entonces se cumple que f(x+T) = f(x).
Los archivos "C4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.dfw" y "C4 ACTIVIDADES PROPUESTAS.dfw" recogen la resolución de las actividades guiadas y propuestas respectivamente.
2. ACTIVIDADES GUIADAS
2.1. Representación de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente
Define las tres funciones: f1(x):=sin(x), f2(x):=cos(x), f3(x):=tan(x).
En el estudio gráfico de las funciones trigonométricas el valor del ángulo, x, vendrá
medido en radianes.
Para representar estas funciones con Derive se debe selecciona en la ventana gráfica
un rango apropiado. Para ello, activa: Seleccionar/Rango de la gráfica/Mínimo/máximo... y completa el cuadro de la forma siguiente:
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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE
Para establecer las unidades del eje OX en función del número π, activa Opciones/Pantalla/Ejes y rellena la ficha de la siguiente forma:
Representa gráficamente la función f1(x):=sin(x)
Activa Opciones/Modo de Trazado (F3), para que el cursor pueda recorrer la curva, utilizando
las teclas de movimiento del cursor (Flechas Izquierda/Derecha). En la parte inferior de la
ventana aparecen las coordenadas del punto sobre el que está situado el cursor.
De la misma manera, representa gráficamente las funciones:
f2(x) = cos(x), f3(x) = tan(x)
2.2. Propiedades de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente
A partir de las gráficas de las funciones trigonométricas, estudia sus propiedades completando la siguiente tabla:
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Propiedades
Sen (x)
Cos (x)
Tan (x)
Periodo, T
Dominio
Recorrido
Amplitud de onda, A
Intervalos de crecimiento
Intervalos de decrecimiento
Máximos relativos
Mínimos relativos
Puntos de Corte con el eje OX
2.3. Construcción animada con Derive de la representación gráfica del seno y del coseno
de un ángulo cualquiera
El seno de un ángulo a, <AOP, es la coordenada y, ordenada del punto P, que ha
girado a radianes desde la parte positiva del eje x en una circunferencia de radio la
unidad.
Asimismo, el coseno de un ángulo a, <AOP, es la coordenada x, abscisa del punto P,
que ha girado a radianes desde la parte positiva del eje x en una circunferencia de radio
la unidad.
Para realizar esta construcción con Derive se necesita representar una circunferencia
de radio 1 y las coordenadas de un punto P cualquiera de la misma.
Por tanto, se introducen en la Ventana de Álgebra las siguientes expresiones:
Ecuación de la circunferencia
Segmento que representa la abscisa del punto P
Segmento que representa la ordenada del punto P
Radio de la circunferencia en P
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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE
A continuación se representan en la Ventana 2D cada una de las anteriores expresiones.
Hay que tener en cuenta que para que la circunferencia no aparezca deformada, las
escalas de los ejes de coordenadas deben ser iguales. Esto se consigue modificando el
rango de la gráfica que se encuentra en el menú Seleccionar/Rango de la Gráfica/Mínimo/Máximo:
Para representar los segmentos correspondientes a las coordenadas del punto P hay
que activar la barra de desplazamiento Insertar/Barra de Desplazamiento y completar la ficha
como se indica a continuación.
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2.4. Construcción animada con Derive de la representación gráfica de la tangente de un
ángulo cualquiera
La tangente de un ángulo a, <AOP, es la coordenada y, ordenada, del punto Q que
viene determinado por la intersección de la recta tangente a la circunferencia unidad en el
punto A y la recta OP.
Siguiendo los pasos del ejercicio anterior representa gráficamente la tangente de un
ángulo cualquiera en la circunferencia de radio 1.
π
2
Observa que cuando a = (2k − 1) , k ∈ Ζ la recta tangente a la circunferencia en el punto A es paralela a la recta OP y, por tanto, el punto Q no está determinado.
2.5. Estudio gráfico de la familia de funciones f(x) = sen(x - m) + n
Para el estudio gráfico con Derive de familia de funciones resulta muy útil la herramienta Barra de Desplazamiento vista en los ejercicios anteriores.
Define con Derive las funciones: f1(x):= sin(x), f(x):= sin(x - m) + n
Para el estudio de la función f(x) = sen (x - m) + n, define Barra de Desplazamiento de la
ventana gráfica con las siguientes características:
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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE
a) Desplazamientos verticales
Considera en primer lugar la familia de funciones f(x) cuando m = 0, es decir,
f(x) = sen(x) + n.
Utilizando la herramienta Barra de Desplazamiento estudia el comportamiento de las gráficas de estas funciones según sea el signo del parámetro n.
Observa que al considerar valores de n positivos la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia arriba n unidades con respecto a la función f1(x) = sen(x).
En caso contrario, cuando n toma valores negativos la gráfica de la función f(x) se
desplaza hacia abajo -n unidades con respecto a la función f1(x) = sen(x).
Por ejemplo, considera las gráficas de las funciones:
f(x) = sen(x) + 0.72
f(x) = sen(x) - 0.88
y completa la tabla siguiente:
Propiedades
f(x)=sen(x) + 0.72
f(x)=sen(x) - 0.88
Periodo, T
Recorrido
Amplitud de onda, A
Punto de corte con el eje OY
Puntos de corte con el eje OX en [0, T]
Vector de desplazamiento respecto de
la función de referencia sen(x)
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(0, -0.88)
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b) Desplazamientos horizontales. Desfases
Considera ahora la familia de funciones f(x) cuando n = 0, es decir, f(x) = sen(x - m)
Utilizando la herramienta Barra de Desplazamiento estudia el comportamiento de las gráficas de estas funciones según sea el signo del parámetro m.
Observa que al considerar valores de m positivos la gráfica de la función f(x) se desplaza a la derecha con respecto a la función f1(x) = sen(x), produciéndose un desfase de
adelanto de m radianes.
En caso contrario, cuando m toma valores negativos el desplazamiento de f(x) es
hacia la izquierda con respecto a la gráfica de la función sen(x), produciéndose un desfase
de retraso de -m radianes
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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE
Partiendo de las funciones f(x) = sen(x - 0.96) y f(x) = sen(x + 2.40) completa la siguiente tabla que resume sus características más relevantes:
Propiedades
f(x)=sen(x - 0.96)
f(x)=sen(x + 2.40)
Periodo, T
Recorrido
Amplitud de onda, A
Punto de corte con el eje OY
Puntos de corte con el eje OX en [0, T]
Vector de desplazamiento respecto de
la función de referencia sen(x)
(0.96, 0)
2.6. Estudio gráfico de la familia de funciones f(x) = h · sen (k · x)
Define con Derive las funciones: f1(x):= sin(x), f(x):= h · sen (k · x). Para el estudio de la
función f(x) = h · sen (k · x), utiliza la herramienta Barra de Desplazamiento de la ventana
gráfica con las siguientes características:
a) Cambio en la Amplitud de onda
Considera en primer lugar la familia de funciones f(x) cuando k = 1, es decir,
f(x) = h · sen (x)
Utilizando la herramienta Barra de Desplazamiento estudia el comportamiento de las gráficas de estas funciones para los distintos valores del parámetro h.
Observa que al considerar valores de h positivos la Amplitud de onda aumenta si h > 1
y se reduce si 0 < h < 1, produciéndose un cambio en el recorrido de la gráfica respecto
de sen(x).
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Para valores de h negativos se toma como referencia la función f(x) = -sen(x), opuesta
a la función sen(x), y, por tanto, con gráficas simétricas respecto del eje de abscisas. En
este caso, la Amplitud de onda aumenta si h < -1 y se reduce si -1 < h < 0, produciéndose
un cambio en el recorrido de la gráfica respecto de -sen(x).
Por ejemplo, considera las gráficas de las funciones,
f(x) = 1.80 · sen(x),
f(x) = -0.20 · sen(x)
y completa la tabla siguiente:
Propiedades
f(x) = 1.80 · sen(x)
f(x) = -0.20 · sen(x)
Periodo, T
Puntos de corte con el eje OX en [0, T]
Recorrido
Amplitud de onda, A
[-1.80, 1.80]
0.20
Función de referencia
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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE
b) Cambio en el Periodo
Considera ahora la familia de funciones f(x) cuando h = 1, es decir, f(x) = sen(k·x).
Utilizando la herramienta Barra de Desplazamiento estudia el comportamiento de las gráficas de estas funciones para los distintos valores del parámetro k.
Observa que al considerar valores de k positivos el Periodo se reduce si k > 1 y aumenta si 0 < k < 1.
Sin embargo, para valores de k negativos se toma como referencia la función
f(x) = -sen(x) = sen(-x), opuesta a la función sen(x) y, por tanto, con gráficas simétricas
respecto del eje de abscisas. En este caso, el Periodo se reduce si k < -1 y aumenta si
-1 < k < 0.
Por ejemplo, considera las gráficas de las funciones
f(x) = sen(2x)
f(x) = sen(-0.40x)
y completa la tabla siguiente:
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Propiedades
f(x) = sen(2x)
f(x) =sen(-0.40x)
Periodo, T
Puntos de corte con el eje OX en [0, T]
Recorrido
Amplitud de onda, A
Función de referencia
En general
El Periodo de las funciones del tipo f(x) = sen(k·x) es T =
2π
.
k
2.7. Estudio del Periodo, Amplitud de onda y Desfase de una sinusoide
En esta ocasión se trata de averiguar el desfase de funciones tipo seno cuyas expresiones son diferentes a las estudiadas con anterioridad.
a) Estudio gráfico de la familia de funciones f(x) = sen (k · x - m)


Como ejemplo considera la función f(x) = sen  2x -
π
 .
2
En primer lugar, representa la función. De su gráfica se deduce que el Periodo es
T = π y la Amplitud de onda es A = 1. Por lo tanto, la función de referencia de f(x) es
sen(2x).
Sin embargo, como cabría esperar por la expresión de la función, el desfase que tiene
π

π
f(x) = sen  2x -  con respecto a sen(2x) NO ES . Para comprobarlo, representa jun2
2

to a f(x) la función sen(2x).
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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE


Observa que la función f(x) = sen  2x -
π
 presenta un desfase de adelanto de 0.25 π,
2
π
respecto de la función sen(2x). Éste número se puede obtener sacando factor
4
π

común a 2 en  2x -  . Por tanto, si f(x) se expresa como el desfase se puede deducir de
2

es decir
su propia fórmula.
Para resumir las características de esta familia de funciones, completa la tabla que se
muestra a continuación:
π

f(x) = sen  2x - 
2

Propiedades
f(x) = sen (k ⋅ x − m )
Periodo, T
Recorrido
Amplitud de onda, A
Puntos de corte con el eje OX en [0, T]
Función de referencia
Vector de desplazamiento respecto de
la función de referencia
b) Estudio gráfico de otras funciones sinusoidales
Obtener la gráfica de dos funciones tipo seno y así como sus expresiones que cumplan las siguientes propiedades:
Periodo: T =
2
π
3
Amplitud de onda: A = 1
Desfase respecto de la función de referencia:
π
6
Como ayuda, en la siguiente imagen se muestran dos ejemplos de funciones que cumplen las condiciones de esta actividad.
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2.8. Una aplicación de las funciones trigonométricas: La Noria
Una Noria de feria tiene un radio de 10 metros y tarda 30 segundos en dar una vuelta
completa. Virginia se sube a la Noria. Representa la función que da la altura del cestillo
en el que se encuentra Virginia durante los 2 primeros minutos.
Solución
Para comprender mejor el enunciado de
este problema se ha realizado una simulación del movimiento de la Noria:
De los datos del problema se deducen
las siguientes características de la función
pedida:
• La altura h(t) depende de la ordenada del punto P, por lo que esta función es del tipo
seno.
• El recorrido de la función es el intervalo [0, 20], por tanto, la amplitud de onda será
A = 10.
• Como la noria tarda 30s en dar una vuelta completa, el periodo es T = 30, por lo que
k=
2π
.
30
• Cuando la noria ha dado un cuarto de vuelta, es decir, cuando han transcurrido
30
s = 7.5 s el valor del ángulo es α(t) = 0. Por tanto, esta función presenta un
4
desfase de adelanto de 7.5 respecto de la función de referencia.
De todo esto se concluye que la expresión de la función que nos da la altura a la que se
encuentra Virginia durante los dos primeros minutos es:
 2π  30 
 π  15
h(t) = 10 + 10 ⋅ sen (α(t)) = 10 + 10 ⋅ sen  t −  = 10 + 10 ⋅ sen  t −
2
30
4

 
15 
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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE
3. ACTIVIDADES PROPUESTAS
3.1. Traza la gráfica de y = 3 cos (x). Averigua la amplitud de esta función y encuentra
una expresión equivalente utilizando sen(x). Comprueba el resultado con Derive.
3.2. Amplitud y periodo
Halla la amplitud y el periodo de las funciones:
1 
2 
a) f(x) = −3 sen  x  .
b) g(x) =
1
sen (π ⋅ x ) .
4
Comprueba los resultados representando gráficamente las dos funciones
3.3. Amplitud, periodo, desplazamiento vertical y desplazamiento de fase
Observando la amplitud, el periodo y el desplazamiento de las dos funciones que
aparecen en la siguiente figura escribe sus fórmulas.
3.4. Amplitud, periodo, desplazamiento vertical y desplazamiento de fase
Halla la amplitud, el periodo, el desfase y el desplazamiento vertical con respecto a
la función de referencia de cada una de las funciones:
π
2


a) f(x) = 5 sen 3x − 
π
4
π
2
b) g(x) = 2 cos x −  + 1
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3.5. Amplitud, periodo y desplazamiento de fase. Fórmula y = h · sen (k x - m)
De las siguientes gráficas,
a) halla la amplitud, el periodo, el desplazamiento vertical y el desplazamiento de
fase.
b) Reproduce cada una de ellas con Derive, escribiendo la ecuación en la forma
y = h · sen (k x - m). Considera h y m positivos.
3.6. La respiración
El proceso rítmico de respiración consiste en intervalos alternos de inhalación y
exhalación. Por lo general, un ciclo completo tiene lugar cada 5 segundos. Si f(t) es
el volumen de aire que circula en el instante t (en litros por segundo) y si el volumen
máximo es 0.6 litros por segundo, encuentra la fórmula de la forma f(t) = a·sen (b·t)
3.7. Las mareas
Si anotas a lo largo de las distintas horas del día la variación de la profundidad del
agua en un puerto, que como sabes viene influida por las mareas, obtendrás una
gráfica parecida a la siguiente:
a) Encuentra la expresión de la función p(h) que nos da la profundidad del agua en
metros a lo largo de las distintas horas del día.
Observa a partir de la gráfica, cuánto vale el Periodo, T, la Amplitud de onda, A, el
recorrido y el desfase de la sinusoide.
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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE
b) Halla una tabla de valores (h, p(h)) para cada una de las horas del día. Representa los valores que has obtenido en la gráfica de la función p(h).
c) ¿A qué horas del día hay una profundidad de 7 m?
d) ¿Qué profundidad hay a las 14:30 horas?
3.8. Temperaturas a lo largo del día
Para simular el cambio de temperatura a lo largo de un día se utiliza la fórmula:
f(t) = a ⋅ sen (b ⋅ t + c)
siendo t el tiempo en horas y f(t) la temperatura en ºC. La medianoche corresponde
a t = 0 y en este valor f(t) es decreciente.
Averigua los valores de a, b y c, sabiendo que la temperatura máxima es de 10 ºC
y la mínima de -10 ºC se alcanza a las 4 a.m.
Representa la gráfica.
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