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MATEMÁTICA
Unidad 5
UTILICEMOS LA
TRIGONOMETRÍA
Objetivos de la Unidad:
Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades y
ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar
y explicar el comportamiento de fenómenos escolares y sociales.
55
Funciones trigonométricas
a partir del
utilizando
Círculo trigonométrico
Números reales
utilizando
sus
Ángulos de
referencia
Signos de las
variables
Características
Gráficos
son
determinando
Ángulos
cuadrantales
Desfase
Amplitud
Dominio
Período
Descripción del proyecto
Mediante funciones trigonométricas se determina la altura de la marea sobre su
nivel medio.
Rango
Lección 1
Quinta Unidad
El círculo trigonométrico y funciones de
ángulos Cuadrantales
Motivación
Pedro y Juan trotan sobre una pista circular.
B
Agarrados de una cuerda que los une al centro de la
pista.
Pedro recorre círculo y cuarto, Juan recorre un
cuarto de círculo.
¿Puedes decir cuál es en grados el ángulo generado
por la cuerda de Pedro?
¿Cuál es en radianes el ángulo generado por la cuerda
de Juan?
A
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al
movimiento de las agujas del reloj.
Indicadores de logro
Deducirás y calcularás con interés las funciones trigonométricas de
ángulos cuadrantales.
nal
rmi
o te
Construirás con interés y precisión el círculo unitario.
Determinarás y explicarás, con seguridad, las funciones trigonométricas
en el círculo trigonométrico a partir del punto (x, y).
Lad
Signo de los ángulos
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al
movimiento de las agujas del reloj.
Lado inicial
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del
movimiento de las agujas del reloj.
Lad
o te
Lad
rmi
rmi
nal
o te
nal
Lado inicial
Lado inicial
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del
movimientolos
de las
agujas delpueden
reloj. ser positivos o negativos. El lado desde el cual
En trigonometría,
ángulos
Lad
comienza a medirse un ángulo se llama lado inicial y el lado donde finaliza la medición se
llama lado terminal del ángulo.
nal
rmi
o te
Si la rotación del lado inicial
al lado terminal se efectúa en sentido contrario de las agujas del
Lado inicial
reloj, el ángulo es positivo.
El ángulo es negativo en caso contrario, o sea, cuando la rotación se efectúa en el sentido de
las agujas del reloj.
Segundo Año - Matemática 57
UNIDAD 5
Ángulo de referencia
El ángulo de referencia de θ denotado por, θ’ es el menor
ángulo cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.
y
d)
y
x
θ
θ1
x
Ejemplo 1
Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia
de: a) 75º b) 120º c) 210º d) 315º
Solución
y
a)
θ = 75
x
En general si θ está
en el cuadrante I,
θ = θ’
y
b)
θ 1 =180 −120
=60
θ =120
x
En general si θ está
en el cuadrante II,
θ’ = 180º – θ
θ =210
x
1
θ = 210 −180
= 30
Ubicación de θ en Ángulo de referencia
los cuadrantes
θ’ es igual a
I
θ
II
180 0 – θ
III
θ – 180 0
IV
360 0 – θ
El ángulo θ se mide desde la parte positiva del eje x,
hasta el lado terminal de θ. El ángulo de referencia
θ’ siempre se define con respecto al eje x, nunca con
respecto al eje y.
Ángulos coterminales o equivalentes
Retomando la pregunta planteada al inicio de la lección:
¿Puedes decir cuál es el ángulo descrito por la cuerda
de Pedro?
Tienes que en ese instante, Pedro ha descrito un ángulo
de 360° + 90° = 450°. Juan un ángulo de 90°. Observa
que ambos están en el punto B. Los ángulos 90° y 450°
son ejemplos de ángulos llamados coterminales.
En general, tienes que si dos ángulos poseen el
mismo lado inicial y el mismo lado terminal, se
llaman coterminales.
Para determinar los ángulos coterminales de un ángulo,
sumas o restas una o más veces 360º a dicho ángulo.
Puedes ver que un ángulo posee un infinito número de
ángulos coterminales o equivalentes:
y
c)
Si θ está en el
cuadrante IV,
θ’ = 360º – θ
θ 1 =360 −315
= 45
Si θ está en el
cuadrante III,
θ’ = θ – 180º
58 Matemática - Segundo Año
θ = θ ± n 360º, n = 0, 1, 2, 3, 4,…..
Si el lado terminal coincide con uno de los ejes de
coordenadas, el ángulo se llama cuadrantal: 90º, 180º,
270º, y 360º son ángulos cuadrantales.
UNIDAD 5
Ejemplo 2
y
Encuentra cuatro ángulos coterminales de 100º
P(X;Y)
Solución:
a) 100º = 100º+ 360º = 460º
b) 100º = 100º + 2(360º) = 820º
c) 100º = 100º – 360º = – 260º
d) 100º = 100º – 2(360º) = – 620º
Ejemplo 3
d
θ
x
x
Ejemplo 4
Simplifica el ángulo θ = 5248º
Determina en forma gráfica las funciones de
a) 135º
b) 210º
Solución:
Solución
Comienzas averiguando cuántas veces contiene el
ángulo θ a 360º. Para ello divides: 5248 entre 360 y la
parte entera que es 14 es el nº de veces que contiene
a 360.
a) El ángulo de 135º posee un ángulo de referencia igual
a 180º – 135º = 45º. Luego, el triángulo de referencia es
de 45º.
Luego, como 5248 contiene 14 veces a 360º, al ángulo
5248 le restas 14 veces 360º.
En la figura de la derecha se representa la situación,
donde: x = –1, y = 1; d = 2
y
5248º – 14 (360º)
5248º – 5040º = 208º
(-1,1)
1
Concluyes entonces que las dos formas más simples o
valores canónicos de θ, son 208º y 208º – 360º = – 152º
Definición de las funciones
trigonométricas de cualquier ángulo
2
x
135
45
-1
Sea θ un ángulo en posición normal o estándar:
Su vértice coincide con el origen del sistema de
coordenadas, y su lado inicial coincide con el eje
x positivo.
b) El ángulo de referencia es 210º – 180º = 30º.
Si llamamos distancia al valor del segmento OP; abscisa,
al valor x; ordenada, al valor y, las funciones de θ se
definen así:
y
ordenada
x
abscisa
sen θ =
= cos θ =
=
distancia
d
distancia d
y
ordenada
x
abscisa
tan θ =
=
cot θ =
=
abscisa
x
y
ordenada
d
distancia
distancia d
csc θ =
=
sec θ =
=
y
ordenada
abscisa
x
Con estos valores defines las funciones de 210º
Luego, el triángulo de referencia es 30º, donde:
x = − 3 ; y = –1; d = 2
y
210
x
30
2
-1
P (- 3,-1 )
Segundo Año - Matemática 59
UNIDAD 5
1
Actividad
1.Copia en tu cuaderno y traza el ángulo de referencia θ’ del ángulo θ.
y
y
150º
y
220º
θ
x
x
x
2.Encuentra dos ángulos positivos y dos negativos que son coterminales o equivalentes a 75º.
3.Halla los dos ángulos equivalentes de θ = 3500º entre 0º y 360º y represéntalos en el plano cartesiano.
4.Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia y determina su valor si:
θ = 45º
c) θ = 3500º
b) θ = 150º
d) θ = 300º
5.La rueda delantera de una bicicleta tiene un diámetro de
40 cm, y la trasera 60 cm ¿Qué ángulo gira la rueda delantera cuando la trasera gira 8 radianes?
a)
6.Determina gráficamente las funciones de
a)
150º
b) 300º
c) 225º
Círculo trigonométrico o unitario
El círculo trigonométrico es aquel que tiene por radio la
unidad.
y
(0,1)
r=1
(-1,0)
P(x,y)
(1,0)
(0,-1)
x2 + y2 = r2, x2 + y2 = 12, x2 + y2 = 1
60 Matemática - Segundo Año
x
En el círculo trigonométrico, las funciones de ángulos
son más sencillas de manejar y obtener, debido a que el
valor “d” es el radio de la circunferencia y es igual a 1. Así
d = r = 1.
1
1
y
y
=
=
=y
4. csc θ =
1. sen θ =
y
sen θ
d
1
2. cos θ =
x
x
= =x
d
1
5. sec θ =
1
1
=
x
cos θ
3. tan θ =
y
sen θ
=
x
cos θ
6. cot θ =
x
cos θ
=
y
sen θ
UNIDAD 5
Nota que, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la
abscisa x cada vez se hace más pequeña: tiende a cero.
y
P(x,y)
Además, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la
ordenada “y” cada vez se hace más grande: tiende a uno.
1
θ
x
Mediante él, puedes calcular con buena aproximación
las funciones de un ángulo.
y
(0,1)
P(0.8, 0.6)
225
(-1,0)
37
(1,0) x
Cuando θ = 90º tienes que x = 0; y = 1; r = 1
Luego:
sen 90 º = y = 1
cos 90 º = x = 0
sen 90 º
tan 90 º =
cos 90 º
cos 90 º
cot 90 º =
sen 90 º
1
sec 90 º =
cos 90 º
1
csc 90 º =
sen 90 º
1
0
0
=
1
1
=
0
1
=
1
=
= ∞ (infinito)
=0
= ∞ (infinito)
=1
y
Q(-0.7, -0.7)
(0,1)
(0,-1)
sen 37º = 0.6
cos 37º = 0.8
sen 225º = –0.7
cos 225º = –0.7
90
x
Comprueba los siguientes resultados en tu calculadora.
sen 37º = 0.601815
cos 37º = 0.7986355
sen 225º = –0.7071068
cos 225º = –0.7071068
Funciones de ángulos cuadrantales
Los ángulos cuadrantales son aquellos cuyos lados
coinciden con alguna semirrecta del eje x o del eje y.
Éstos son: 90º, 180º, 270º y 360º ó 0º.
Si el ángulo continúa aumentando, llegas a 180º, 270º y
360º, ángulos cuyas coordenadas (x, y) representan las
funciones trigonométricas (cos θ, sen θ)
y
y
(0,1)
(0,1)
(-1,0)
(-1,0)
(1,0)
θ
180
(1,0)
x
x
(0,-1)
Segundo Año - Matemática 61
UNIDAD 5
x = –1; y = 0; r = 1. Para 180º
x = 1; y = 0; r = 1. Para 360º
Luego
sen 180 º = y = 0
cos 180 º = x = − 1
sen 180 º
tan 180 º =
cos 180 º
cos 180 º
cot 180 º =
sen 180 º
1
sec 180 º =
cos 180 º
1
csc 180 º =
sen 180 º
Luego
sen 360 º = y = 0
cos 360 º = x = 1
0
tan 360 º = = 0
1
1
1
csc 360 º =
= =∞
sen 360 º 0
1
1
= =1
sec 360 º =
cos 360 º 1
1
cot 360 º = = ∞
0
0
=0
−1
−1
=
= −∞
0
1
= −1
=
−1
1
=
=∞
0
=
y
y
(0,1)
(0,1)
(-1,0)
(1,0)
(-1,0)
(1,0)
x
360
270
(0,-1)
(0,-1)
x = 0; y = –1; r = 1. Para 270º
Luego
sen 270 º = y = − 1
cos 270 º = x = 0
sen 270 º −1
tan 270 º =
=
= −∞
0
cos 270 º
0
cos 270 º
=
= 0
cot 270 º =
senn 270 º −1
1
1
sec 270 º =
= =∞
cos 270 º 0
1
1
csc 270 º =
=
= −1
−1
sen 270 º
En las funciones trigonométricas +∞ ó –∞ te indica que
la función es indeterminada.
62 Matemática - Segundo Año
x
Ejemplo 5
Un cuerpo de 100 kg pende de dos cuerdas, que forman
con la horizontal, ángulos de 30 ° y 60° como se muestra
en la figura. ¿Puedes calcular la tensión en cada una de
las cuerdas?
A
30º
60º
ToA
B
ToB
0
100 kg
UNIDAD 5
Solución:
A
30º
60º
ToA
ToB
0
B
y
30º
(0,1)
P
60º
90º
(1,0)
ToA
P
=
Sen 30 º Sen 90 º
P sen 30 º 100 Kg × 0.5
ToA =
=
= 50kg
Sen 90 º
1
ToB
P
=
Sen 60° Sen 90°
P sen 60° 100 Kg × 8.7
= 87 Kg
=
1
Sen 90°
La tensión de la cuerda A es = 50 kg
La tensión de la cuerda B es = 87 kg
Punto de apoyo
→
Ya sabes que ∑ F = 0 , por lo cual éstas forman
un triángulo y se aplica la siguiente igualdad
ToA
ToB
P
=
=
Sen 30 º Sen 60 º Sen 90 º
(0,-1)
180º
100 kg
ToB =
2
Actividad
Prolongando la tensión ToA para formar un triángulo de
fuerzas tendremos:
x
360º = 0
270º
(0-1)
1.Basándote en las coordenadas del círculo trigonométrico
correspondiente a 0º, 90º, 180º, 270º y 360º = 0º, determina
por simple inspección el valor de:
sen 0º
i) tan 0º
b) sen 90º
j) tan 90º
c) sen 180º
k) tan180º
d) sen 270º
l) tan 270º
e) cos 0º
m) cot 0º
f) cos 90º
n) cot 90º
g) cos 180º
0) cot 180º
h) cos 270º
p) cot 270º
2.Un cuerpo de 200 lb. pende de dos cuerdas que forman
ángulos de 50° y 40° con la horizontal. Calcula la tensión a la
que está sometida cada cuerda.
a)
Resumen
Un ángulo positivo se mide desde su lado inicial hasta su lado terminal, en sentido contrario al movimiento de
las agujas del reloj. Es negativo si se mide en sentido horario.
Ángulo de referencia de un ángulo es aquel cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.
Ángulos coterminales o equivalentes son aquellos que tienen el mismo lado inicial y terminal.
Círculo trigonométrico es aquel cuyo radio mide uno.
Las funciones de 90º, 180º, 270º y 360º están determinadas por sus coordenadas: (0, 1), (–1, 0), (0, –1) y (1, 0)
respectivamente. El ángulo de 0º es igual al ángulo de 360º.
Segundo Año - Matemática 63
UNIDAD 5
Autocomprobación
1
El ángulo equivalente a 400º es
a) – 40º
b) 80º
c) 40º
d) 320º
3
El valor de cos 180º es
a) θ
b) –1
c) ∞
d) ninguna de las anteriores
2
El valor de tan 150º es
4
¿Cuál de las siguientes funciones trigonométricas es
indeterminada?
a) cos 90º
b) tan 90º
c) cot 90º
d) csc 90º
1
3
a)
−
b)
− 3
c)
−
3
3
d) a y c son correctos
Soluciones
1. c.
2. d.
3. b.
4. b.
LAS MAREAS Y ÁNGULOS CUADRANTALES
Las funciones trigonométricas de los ángulos
cuadrantales (90º, 180º, 270º y 360º ó 0º ) son
de gran importancia en el gráfico de funciones
y en el análisis de otros fenómenos como las
mareas, el sonido, etc.
Así una representación gráfica de las
mareas es :
0
12
24
tiempo (h)
64 Matemática - Segundo Año
Lección 2
Quinta Unidad
Gráfico de la función seno
Motivación
La naturaleza y todo lo que ella comprende: mareas,
clima, estaciones, reproducción de los animales,
cosechas, etc., se rigen por ciclos biológicos o ritmos.
Estos ciclos han existido desde el principio de la
vida en el planeta. Se ha demostrado histórica y
estadísticamente que la naturaleza humana sigue una
variedad de ritmos que realizan ciclos a diferentes
frecuencias. En el caso de los seres vivos estos ritmos
se denominan biorritmos, y existen diferentes
biorritmos que afectan nuestro comportamiento en
distintas maneras. En el caso de los humanos, se ha
comprobado estadísticamente que la energía física
se comporta cíclicamente en períodos de 23 días
(mitades de 11 días y medio), la energía emotiva en
períodos 28 días (mitades de 14 días) y la energía
intelectual en 33 días (mitades de 16 días y medio).
Otro ejemplo de fenómeno cíclico es la corriente
alterna. Considera lo siguiente: un generador de
corriente alterna, mide la potencia eléctrica por la
expresión siguiente: I = 30 sen120t, donde: t es el
tiempo en segundos.
Podrías calcular ¿Cuál es la amplitud y el
periodo? ¿Cuál es la frecuencia de la corriente?
Es decir, ¿Cuántos ciclos se completan en 1
segundo?
Indicadores de logro
Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de la función seno.
Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de la
función seno.
Determinarás con perseverancia la periodicidad en la función seno.
Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma:
y = a sen [b(x + c)] + d, y = a cos [b(x + c)] + d determinando su período
con seguridad.
Definición de las funciones trigonométricas de números reales
Para resolver el problema anterior, estudiarás
previamente algunos conceptos. El valor de una función
trigonométrica de un número real “t” es el valor de un
ángulo de “t” radianes.
Así, “sen 3” se interpreta como seno del número real 3 o
como el seno de un ángulo de 3 radianes. Obviamente,
sen 3 ≠ sen 30
Concluyes entonces, que los valores de las funciones
trigonométricas de números reales, éstos representan
radianes.
Para hallar los valores de funciones trigonométricas de
números reales mediante calculadora, usas el modo en
radianes. O sea que:
Para graficar una función trigonométrica, el ángulo debe
estar expresado en radianes.
Recuerda que en tercer ciclo, estudiaste como convertir
grados a radianes y viceversa. Para ello llegaste a las
siguientes equivalencias.
Segundo Año - Matemática 65
UNIDAD 5
2 π rad = 360º
Ejemplo 1
360 º
Despejando 1 radián: 1 rad =
2π
Convierte: a)
Solución:
Para convertir radianes a grados,
multiplicas por 360º y divides
entre 2π
Despejando 1 grado: 2πrad = 360º, 1º =
2 π rad
360
π rad a grados; b) 150º a radianes
3
360 º 2
;
2π
3
π rad =
2 π  360 º 

 = 120 º
3  2π 
2 π rad
5
 2 π rad 
; 150 º = 150 º 
= π rad

 360 º 
360 º
6
En lo posible se expresará el ángulo en radianes en
términos de π.
b) 1º =
Para convertir grados a radianes,
multiplicas por 2π y divides entre
360º.
1
=
a) 1 rad
2
Actividad
Completa en tu cuaderno por simple inspección los cuadros siguientes:
a)
θ ( rad )
0
θ ( grados )
0
θ ( rad )
0
θ ( grados )
0
π
4
450
π
2
3
π
4
π
5
π
4
3
π
2
π
3
450
2
π
3
π
4
π
3
5
π
3
2π
7
π
4
2π
b)
Gráfico de y = sen x
Grafica la función y = sen x, donde x es un número real.
y
Debes encontrar los pares ordenados de números
reales (x, y) que cumplan con la expresión y = sen x.
Una manera de hallar dichos pares es mediante la
calculadora científica. Así halla los valores del rango
asociados con valores del dominio. Por ejemplo, si x = 0
tienes: y = sen 0 = 0.
(0,1)
P(cos x, sen x)
1
(-1,0)
Así, el par (0, 0) pertenece a la función.
(0,-1)
66 Matemática - Segundo Año
x
(1,0)
x
UNIDAD 5
Sin embargo el proceso de graficar y = sen x puede
simplificarse al observar como varía el punto
(cos x, sen x) cuando se mueve alrededor del círculo
trigonométrico o unitario.
y
1
1.71
0
Para graficar y = sen x en el intervalo [0, 2], usa los
resultados de la figura de la par, complementándolos con
π
valores de ángulos múltiplos de tomados de la tabla
4
que completaste.
0 ( rad )
0
y = sen x
0
π
4
1.71
π
2
1
0.5π
π
1.5π
2π
x
-1.71
-1
3
π
4
1.71
5
π
4
–1.71
π
0
3
π
2
–1
7
π
4
–1.71
2π
0
Ejemplo 2
Completa el resultado de las siguientes funciones trigonométricas. Sugerencia: observa el círculo trigonométrico.
a)
 π
sen  −  =
 4
b)
π
sen  −  =
 6
y
y
 2 2
, 

 2 2 
-1
7
π
4
−
π
4
1
x
-1
11
π
4
−
 2
2

,− 
2 
 2
 π
 π

Sen  −  = Sen  − + 2π 
 4
 4

7 
= Sen  π 
4 
= −
2
2
⎛ 3 1⎞
, ⎟
⎜
⎝ 2 2⎠
π
6
1
x
⎛ 3 1⎞
,− ⎟
⎜
⎝ 2 2⎠
π
π
Sen  −  = Sen  − + 2π 
 6
 6

 11 
= Sen  π 
6 
1
= −
2
2
π
Observa que: Sen   =
,
 4
2
1
π
Observa que: Sen   = ,
 6
2
π
π
luego Sen  −  = − Sen  
 4
 4
 π
π
luego Sen  −  = − Sen  
 6
 6
Segundo Año - Matemática 67
UNIDAD 5
c)
y
 π
 π

Sen  −  = Sen  − + 2 π 
 3
 3

⎛1 3⎞
⎜ , ⎟
⎝2 2 ⎠
5 
= Sen  π 
3 
-1
1
=
π
−
3
π
Observa que: Sen   =
 3
d)
⎛1
3⎞
⎜ ,− ⎟
⎝2 2 ⎠
y
3
3
Sen  − π  = Sen  − π + 2π 
 2 
 2

(0,1)
π
= Sen  
 2
3
π
2
-1
1
=
−
3
Observa que: Sen 
2
x
π  =

x
π
2
(0,-1)
 4 
4 
Sen  − π  y Sen  π 
 3 
3 
¿Qué puedes observar o concluir de los resultados
anteriores?
La función y = sen x es una función
impar, porque cumple:
sen (–x) = –sen x
e) Encuentra
Como estudiaste en la lección anterior, para un ángulo dado x, si se le suma un múltiplo entero de 360º ó 2π radianes.
Así el nuevo ángulo coincide con el ángulo dado x, para cualquier número real x y para cualquier entero n.
Se tiene: sen (x + 2πn) = sen x, con n = 1, 2, 3,…
Las funciones con este comportamiento repetitivo se llaman funciones periódicas.
La parte de la gráfica de la función seno correspondiente
a 0 < x < 2π es un ciclo. A veces nos referimos a un ciclo
como una onda senoidal.
Como la función es periódica con período 2π, para
completar la gráfica de y = sen x sólo necesitamos repetir
la gráfica hecha para [0, 2π], hacia la izquierda y hacia la
derecha en intervalos de 2π.
y
1
-4π
-3π
-2π
-1π
0
x
0
1π
2π
3π
4π
-1
Puedes ver que la función está definida para cualquier valor de x, por lo tanto, Df = R. Como la función adquiere valores entre –1
y 1, entonces, Rf = [–1, 1]
68 Matemática - Segundo Año
UNIDAD 5
Amplitud, período y desfase
Comencemos con una comparación de los gráficos y = sen x, y = A sen x.
y
A
y=Senx
1
0
y=A Senx
0 0.25π
0.5π 0.75π
π
1.25π 1.50π 1.75π
2π
x
Como el máximo valor de sen x es 1, el máximo valor de A sen x es A. ¿Cuál es el rango de esta
función? El valor A se llama amplitud de la onda seno: multiplica el valor de sen x por A.
En tu cuaderno grafica la función y = 2senx. ¿Cuál es la amplitud? ¿Cuál es la amplitud de
y =
1
sen x ? ¿Cuál es el rango de cada una de ellas?
3
Como la onda seno, se completa en el intervalo [0, 2π], ese intervalo es el período p de y = sen x.
En tu cuaderno grafica la onda y = sen 2x ¿Cuál es el período? En el gráfico de y = sen 2x
2π
observas que la onda se repite 2 veces en el intervalo [0, 2π] por lo cual p =
=π.
2
Es decir, la onda y = sen 2x se
completa en [0, π].
y
En general, si y = sen Bx,
el período está dado por
p=
2π
B
π
2π
x
2π
B
Segundo Año - Matemática 69
UNIDAD 5
Ejemplo 3
y
Grafica, sin tabular, la función y = 3 sen 4x. Compara el
gráfico con la función y = sen x.
y=Sen x
1
Solución:
0.5
y
3
y=3 Sen 4x
x
0
-0.5π
0.5π
π
1.5π
2π
2
1
-0.5
x
0.5π
π
1.5π
2π
-1
⎛ π⎞
y =Sen ⎜ x + ⎟
2⎠
⎝
El gráfico anterior muestra una onda senoidal
desplazada a la izquierda del origen una cantidad igual
Puedes ver que la amplitud es A = 3; además,
2π
2π
π.
p=
=
=
B
4
2
Esto significa que la curva y = 3 sen 4x se completa en
π
π
el intervalo  0 ,  . O sea que el intervalo  0 , 
 2
 2
cabe 4 veces en [0, 2π].
Ahora ya puedes resolver la situación planteada al inicio
de la lección. Como I= 30 sen120t, entonces la amplitud
2π
π
.
es 30, y el periodo es
=
120
60
Como la frecuencia es el inverso del período, ésta es
60
= 19.11 ciclos por segundo.
igual a
π
aC =
π
2
derecha. ¿Cuál es el valor de B en estos ejemplos?
B es el coeficiente de x.
Observa que sucede si B ≠ 1.
En general, al graficar la función y = A sen (Bx + C),
cuando Bx + C = 0, x = −
x =
2π −C
y cuando Bx + C = 2π,
B
C
En forma gráfica:
B
.
y
A
0
Desfase de la onda Seno
70 Matemática - Segundo Año
C
. En este caso el desfase “d” es −
B
-0.5π
π

Observa el gráfico de la función y = sen  x + 

2
¿De qué valor de x parte la función anterior?
π
Si ésta hubiera sido y = sen  x + 

4
¿De qué valor de x partiría?
. Si C es negativo, el desplazamiento es a la
x
0
0.5π
π
2π
-A 2π
B
Como puedes observar, en la función y = A sen (Bx + C),
la amplitud es A, el período
d = −
C
B
2π
B
y el desfase es
UNIDAD 5
2
y
y = 2sen(2x +π )
1.Grafica sin tabular las siguientes funciones.
2
y=Sen x
1
0
-0.5π
0
0.5π
π
1.5π
2π
x
-1
-2
C = π B = 2
A=2
y
2
y=Sen x
1
0
-0.5π
0
0.5π
π
1.5π
2π
x
-1
-2
y=2 Sen(3x+2)
C = 2 B = 3
3
A=2
x
0
0.5π
π
1.5π
2π
-1
y=3 Sen(2x+4)
-2
-3
C = 4 B = 2
π

2.Dada la función y = 4 sen  2 x −  determina.
4
a) La amplitud
b) El período
c) El desfase
1
3.Un peso de 6 lb., que cuelga de un resorte se estira de pie
3
por debajo de la posición de equilibrio y después se suelta.
La distancia “y” en que el peso se desplaza de su punto de
equilibrio con respecto al tiempo t en segundos, está dada
1
por y = sen 8 t .
3
Determina la amplitud y el periodo de la función y grafícala
para el intervalo 0 ≤ t ≤ π.
Resumen
y=Sen x
1
0
y = sen x
b) y = sen 3x
c) y = 3 sen 2x
π

d) y = 3 sen  2 x − 

2
a)
y
2
-0.5π
Actividad
A=3
Observa como en cada una de estas gráficas el desfase es
C
2π
.
− y el nuevo período es
B
B
La función seno está dada, en su forma más
simple, por la expresión y = sen x.
El gráfico que resulta se llama onda seno u onda
senoidal. Ésta se repite cada 2 π rad, por lo que su
período es 2π. Su dominio son todos los números
reales y su rango es el intervalo [–1, 1].
En su forma general, la función seno está dada por
la expresión y = A sen (Bx + C), donde A es la
C
2π
el período p y − el desfase d.
amplitud,
B
B
Segundo Año - Matemática 71
UNIDAD 5
Autocomprobación
3
El rango de y = 3 sen 2x es:
4
4
a)
[– 1, 1]
b) [– 2, 2]
Diez centímetros cuadrados equivalen a:
c) [– 3,2 3]
a) 1 m
d) [0, 2π] 2
b) 0.01 m
c) 0.10 m 2
d) 0.0010 m 2
2
El10,000
períodomde
equivalen
la función
a y = 2 sen (3x + π) es:
a) 1 km2
a)b) 32 km2
c) 1 dam 2
b)d) 21 hm 2
c)
d)
3π
2
2π
3
El desfase de la función y = 2 sen (3x + π) es:
π
−
Para convertir
cm2 a dam2:
3
b)a)
2Multiplicas por 100
b) Divides entre 100
2π
c)c) Divides entre 1 000,000
3
d) Multiplicas
por 1 000,000
a)
d)
2. c.
3. d.
2
2
La unidad
amplitud
básica
de ladefunción
superficiey =del4 sen
SI es:3x es:
2
a)
a) El3km
2
b)
b) El–cm
3
2
c)
c) El4m
d) El hm 2
d) – 4
3
1. c.
1
Soluciones
4. a.
ONDA SENO Y ACTIVIDAD CARDÍACA
Cuando la actividad cardíaca se traduce a
imágenes mediante el electrocardiógrafo,
que es el aparato usado para hacer
electrocardiogramas, se obtiene un patrón
repetitivo como el de la gráfica. Este
comportamiento repetitivo es característico
de las funciones trigonométricas, y puede
analizarse mediante éstas.
Este es el principio de los electrocardiógrafos y
de los monitores cardíacos. Estos últimos son
aparatos que sirven para dar seguimiento a
pacientes graves o en procesos de recuperación.
72 Matemática - Segundo Año
Lección 3
Quinta Unidad
Gráfico de las funciones
cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x
Motivación
E
n una playa del litoral salvadoreño, la marea sube
1.8 m a partir de cierta línea paralela a la costa y luego
de 12 horas baja 1.8 m a partir de la misma línea.
Con estos datos puedes construir el gráfico que
relaciona la altura de la marea y el tiempo.
Indicadores de logro
Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de las seis funciones
trigonométricas.
Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de las seis
funciones trigonométricas.
Determinarás con perseverancia la periodicidad en las funciones
trigonométricas.
Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma:
y = A cos (Bx +C) determinando su período con seguridad.
Gráfico de y = cos x
y
(0,1)
(-1,0)
P(cos x, sen x)
(1,0)
x
0
y = cos x
1
π
2
0
3
π
2
0
π
–1
2π
1
x
1.5
(0,-1)
Para graficar y = cos x procedes de forma similar a la
función seno: sólo observas como varía
P(a, b) = (cos x, sen x) en el círculo trigonométrico.
y
1
0.5
0
-0.25π -0.5 0
x
0.25π
0.5π
0.75π
π
1.25π
1.5π
2π
2.5π
-1
-1.5
Segundo Año - Matemática 73
UNIDAD 5
y
1
-5π
-4π
-3π
-2π
0
-π
0
Como el desfase es positivo, significa que el
desplazamiento es hacia la derecha. Luego, el gráfico es:
y=Cos x
π
2π
y
3π
4π
x
5π
-1
P=
1
y = cos x es una función par, ya que para cualquier valor
de x se cumple que: cos (–x) = cos x. Por ejemplo,
cos (–π) = cos π
0.5
Observa que el período es: 2π, que Df = R y Rf = [–1, 1]
Al igual que en la función seno, la parte de la gráfica de la
función coseno que corresponde a 0 ≤ x < 2 es un ciclo
llamado onda cosenoidal.
x
0
-0.25π
-0.5π
0
0.25π
π

La función y = cos x equivale a sen  x +  .

2
Al igual que la función seno para: y = A cos (Bx + C), A es
la amplitud,
2π
es el período y −
B
C
B
es el desfase.
0.75π
-1
d=
π
4
Ahora ya puedes graficar la función planteada al inicio
de esta lección. Grafícala en tu cuaderno. Compárala
con la siguiente:
y 15
10
5
0
-5
-10
-15
tiempo (h)
2
4
6
8
10
12
Gráfico de y = tan x y y = cot x
Ejemplo 1
Grafica la función y =
Solución
Amplitud: A =
Período: p =
Desfase: −
0.5π
-0.5
Puedes ver que el trazado de su gráfico es similar al de la
onda senoidal.
En la gráfica del coseno se observa que la onda π
cosenoidal es igual a la onda senoidal desplazada rad
2
π

a la izquierda, es decir: y = cos x = sen  x + 

2
π
2
1
2
cos ( 4 x − π )
Observa como varía el valor de la tangente para
diversos valores de un ángulo ubicado en el círculo
trigonométrico.
y
(0,1)
1
2
2π
B
(-a,a)
=
2π
π
=
4
2
 −π  π
= −  =
 4 
B
4
(a,a)
(-1,0)
(1,0)
C
(-a,-a)
(a,-a)
(0,-1)
74 Matemática - Segundo Año
x
x
UNIDAD 5
Para valores positivos de un ángulo múltiplos
de
π
4
tan x
0
0
a
4
a
π π
2  =
 4
2
1
4
π
4  =π
 4
5
4
π
3
π
6  = π
 4
2
7
4
π
π
8  = 2 π
 4
0
a
−a
a
0
1
tan 0 =
=∞
−
π
−a
 −3 
= +1
tan  π  =
 4 
−a
3
= −∞
− π
= −1
− π
4
tan ( −π ) =
0
=0
−1
a
−5 
tan 
π =
= −1
 4 
−a
5
4
1
−3 
tan  π  = = ∞
 2 
0
3
2
a
−7 
tan  π  = = 1
 4 
a
7
4
= 0
= 0
1
−1
 −π 
tan   =
= −∞
 2 
0
2
− π
0
−a
 π
tan  −  =
= −1
 4
a
4
= 1
−a
radianes, tienes
tan x
π
–π
−a
0
−
= 0
−1
−1
=1
− π
0
4
0
= −1
−a
π
x rad
=0
1
π
π
de −
radianes, tienes
x (rad)
3
Para valores negativos de un ángulo múltiplos
tan ( −2 π ) =
–2π
0
1
= 0
En el cuadro anterior puedes ver que y = tan θ es una función impar, ya que
tan (–θ) = –tan θ. Los resultados que dan ∞ nos indican asíntotas representadas en la
siguiente figura.
y
1
-1
x
π
2
3π
2
Segundo Año - Matemática 75
UNIDAD 5
b
Al estudiar el comportamiento de tan x = en el
a
− π , π 
intervalo  2 2  , puedes ver que cuando x se


π
aproxima a por la izquierda, a se aproxima a cero
Gráfico de y = tan x
y
y=Tan x
6
4
2
mediante valores positivos, mientras que b se aproxima
b
crece indefinidamente; es decir,
a
tiende a infinito. Por otro lado, cuando x se aproxima
a 1. O sea, tan x =
−
π
2
2
-2.5π
-2π
-1.5π
-π
-0.5π
que tan x =
b
a
decrece indefinidamente, o sea, tan x
tiende a –∞. Esto se muestra en el siguiente gráfico.
y
4
2
1
1
0
0.5π
π
1.5π
2π
x
2.5π
-4
-6
En este gráfico observas las siguientes características:
El período es π
Dominio: Todos los números reales excepto los
π
múltiplos de + π k , k entero.
2
Rango:  .
Función impar y simétrica con respecto al origen.
π
Discontinua en + π k ; k entero.
2
Función creciente entre las asíntotas.
3
Asíntota
vertical
0
-2
por la derecha, a se aproxima a cero por medio de
valores positivos y b se aproxima a – 1. Esto significa
0
x
0
-1
-2
-3
Asíntota
vertical
-4
Si procedes de la misma manera para los intervalos entre
otras asíntotas, se ve que la función tangente es periódica
con período π. Por lo tanto, para completar la gráfica de
y = tan x sólo se necesita repetir la gráfica de la figura,
sobre intervalos de longitud π tanto a la izquierda como
a la derecha del intervalo inicial para extender la gráfica
hasta donde se desee. Graficando en base a los valores
anteriores, tendremos:
76 Matemática - Segundo Año
1
, para graficar y = cot x
tan x
simplemente se toman los valores recíprocos de los
valores de las ordenadas de la gráfica de y = tan x en la
figura. Observa la gráfica. En el intervalo [0, π] cuando x
se aproxima a cero por la derecha, y tiende al infinito.
Como cot x =
-1
4
y
2
0
-2
0
π
x
UNIDAD 5
Cuando x se aproxima a π por la izquierda y tiende
a menos infinito. Esta situación se da en todos los
intervalos múltiplos de π. Luego al graficar y = cot x
desde –2π hasta 2π obtienes:
Gráfico de y = sec x
2 y
1.5
Gráfico de y = cot x
1
-2.5π
y
y=Cot x
-2π
-1.5π
-π
-0.5π
6
0.5
0
-0.5
0
0.5π
π
1.5π
-1
2π
x
2.5π
y=sec x = 1
Cos x
-1.5
4
y=Cos x
-2
2
-2.5π
-2π
-1.5π
-π
-0.5π
0
0
0.5π
π
1.5π
2π
x
2.5π
Características de y = sec x
-2
Período: 2π
-4
Dominio: Todos los números reales excepto
-6
Características de y = cot x
π
2
+ k π , k entero
Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[
Período: π
Función par (simétrica con respecto al eje y)
Dominio: Todos los números reales excepto kπ, con
k entero.
Discontinua: en
Rango:  .
π
2
+ k π , k entero
Gráfico de y = csc x
Función impar y decreciente entre las asíntotas.
2 y
1.5
Discontinua en kπ, k entero
De la misma manera que se obtuvo la gráfica de y = cot x
al tomar los valores recíprocos de las coordenadas en la
gráfica de y = tan x, haces
1
1
csc x =
y sec x =
sen x
cos x
π π 3
Observa que cos x = 0, si x vale − , , π , etc.. .
2 2 2
Luego, la gráfica de sec x debe tener asíntotas verticales
en esos puntos. Además, cuando cos x crece o decrece en
un intervalo sec x hace exactamente lo contrario.
Para obtener las gráficas de y = csc x e y = sec x tomas los
recíprocos de las ordenadas de las gráficas de y = sen x e
y = cos x, respectivamente.
y=Csc x = 1
Sen x
y=Sen x
1
-2.5π
-2π
-1.5π
-π
-0.5π
0.5
0
-0.5
0
0.5π
π
1.5π
2π
x
2.5π
-1
-1.5
-2
Características de y = csc x
Período: 2π
Dominio: Todos los números reales excepto kπ,
k entero
Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[
Función impar (simétrica con respecto a π/2)
Segundo Año - Matemática 77
UNIDAD 5
1
Actividad
La figura siguiente será muy útil en muchos de los problemas de este ejercicio.
b
a b
P(cos x, sen x)
1
(0,1)
R=
sen x
x rad
(-1,0)
x unidades
(1,0)
a
cos x
(0,-1)
1.Completa la siguiente tabla, en tu cuaderno.
Valor en x
Función
π
0
sen x
cos x
tan x
cot x
sec x
csc x
3π
π
2
2
0
0
0
2π
No esta definida
–1
2.Considera P(a, b) = (cos x, sen x) sobre el círculo trigonométrico o unitario (observa la figura anterior) y
completa en tu cuaderno la tabla siguiente, ( significa crecimiento y significa decrecimiento):
x varia de
π
0a
Función
x varia de
π
aπ
2
+
–
x varia de
πa
2
+
–
+
x varia de
3π
3π
2
2
–
+
a2π
–
y = sen x = b
y = cos x = a
y = tan x = b/a
y = cot x = a/b
Significa que: y = sen x π
En 0 ,  es positiva y creciente
 2 
 3 
En π , π  es positiva y creciente
 2 
π
En  , π  es positiva y decreciente
 2 
3
¿Cómo es y = sen x en  π , 2π  ? Muy bien, negativa y creciente
 2

78 Matemática - Segundo Año
UNIDAD 5
Resumen
El gráfico de la función coseno se llama onda cosenoidal. Sus elementos
principales son: amplitud, período y desfase. Como la función coseno u
onda cosenoidal equivale a la función seno adelantada π/2 radianes, sus
características son iguales a la onda senoidal. Ambas funciones son continuas y
periódicas.
Los gráficos de las otras cuatro funciones presentan características especiales, y
son discontinuas.
Segundo Año - Matemática 79
UNIDAD 5
Autocomprobación
a)a)El km
2 2
2
b)
b)El cm
π
3
La10,000
función
= tan x esa creciente en el intervalo:
m2 yequivalen
a) 1 km2
5π
a)b) 2km
− 2
2
c)c)El m
–3
d) El hm 2
d) 3
El período de la función anterior es:
Diez centímetros cuadrados equivalen a:
a) 2
a) 1 m2
b) π
b) 0.01 m 2
π
2
c)c) 0.10 m
2
d) 0.0010 m 2
3
3. d.
d)
4
d)
Todas las anteriores
2
Para
a dam2:de y = sec x se parte del
Paraconvertir
construircmel gráfico
a)
Multiplicas
por 100
inverso
de la función.
b)
a) Divides
sen x entre 100
c) Divides entre 1 000,000
b) cos x
d) Multiplicas por 1 000,000
c) tan x
d) csc x
2. b.
2
2
3π

 2 , − 2 
c) 1 dam 2
 − 32π , − π 
b)d) 1hm
2 
 2
π π
c)  − , 
 2 2 
1. d.
1
LaLaunidad
amplitud
básicadedela superficie
función ydel
= 3SIcoses:(2x + π) es:
Soluciones
4. b.
VIBRACIONES MUSICALES
Las funciones trigonométricas tienen mucha
aplicación en el movimiento vibratorio oscilatorio.
Por ejemplo en el movimiento de una partícula
en una cuerda de guitarra a la que se ha hecho
vibrar o en un resorte que se ha comprimido y
luego se pone a oscilar.
De acuerdo a la vibración del instrumento
musical, así es el sonido emitido por éstos.
Además hay que hacer notar que la misma
vibración en dos instrumentos musicales
diferentes como guitarra y violín pueden producir
sonidos diferentes.
80 Matemática - Segundo Año
Lección 4
Quinta Unidad
Identidades trigonométricas
Motivación
U
n ingeniero civil está diseñando la curva de una
intersección. Las dos autopistas se cruzan formando
un ángulo θ. El borde de la autopista debe unirse
con dos puntos A y B por medio de un arco de
circunferencia tangente a las autopistas en esos dos
puntos. El ingeniero necesita determinar la relación
entre el radio del arco r, la distancia “d” de A y B desde
la intersección y el ángulo BCA. Observa el dibujo
en donde se muestra que A y B son los puntos de
tangencia de la circunferencia con las autopistas.
P
r
r
B
d
A
θ
d C
Indicadores de logro
Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas
recíprocas, con seguridad y confianza.
Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas de
cociente, con seguridad y confianza.
Deducirás, explicarás y aplicarás las identidades pitagóricas, con seguridad
y confianza.
Transformarás una expresión trigonométrica a una que contenga
solamente seno y coseno, con precisión.
Verificarás las identidades trigonométricas aplicando las recíprocas, las de
cociente y las pitagóricas, con interés.
Resolverás problemas utilizando identidades trigonométricas, mostrando
respeto a la opinión de los demás.
Identidades trigonométricas fundamentales
¿Cómo haces para comprobar que son idénticos?
Por definición de las razones trigonométricas tienes:
h
y
d) csc θ =
a)sen θ =
y
h
b)cos
θ =
c)tan θ
En matemática el concepto de “identidad” equivale a
“igualdad”. Así, la ecuación (x – 5 )(x + 5) = x2 – 25,
es una identidad, ya que es cierta para todo valor de x.
Esto lo puedes comprobar dándole a x los valores en los
números reales que desees. En esta lección estudiarás las
principales identidades trigonométricas.
=
h
x
e) sec θ =
x
h
x
y
f) cot θ =
y
x
h
y
θ
x
Segundo Año - Matemática 81
UNIDAD 5
Esta última expresión es equivalente a:
1 + cot 2 θ = csc 2 θ ( 7 )
¿Cómo son las razones que aparecen a la par?
Puedes ver que:
1
1
csc θ =
sen θ =
(1)
csc θ
sen θ
1
1
sec θ =
cos θ =
( 2)
sec θ
cos θ
1
1
tan θ =
cot θ =
(3)
cot θ
tan θ
Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre
cos2 θ, obtienes:
sen 2 θ
cos 2 θ
1
+
= 2
2
2
cos θ
cos θ
cos θ
2
tan
θ
+
1
=
sec 2 θ ( 8 )
Es decir:
Éstas son las funciones recíprocas.
Además del círculo unitario tienes: sen θ = y, cos θ = x
entonces:
x
cos θ
y
sen θ
( 5)
tan θ =
=
( 4 ) cot θ = =
y
sen θ
x
cos θ
Éstas son las funciones de cociente.
Recuerda que el círculo trigonométrico está constituido
por todos los puntos P(x, y), tales que su distancia al
origen es la unidad, esto es x 2 + y 2 = 1 . Además se
indicó que para todo ángulo θ, existe un único punto en
el círculo trigonométrico que le corresponde.
Considera un ángulo θ cualquiera y sea P(x, y), el punto
del círculo unitario que le corresponde, entonces se
tiene que x2+ y2 = 1, pues las expresiones en ambos
lados de la igualdad son positivos; como en el círculo
trigonométrico sen θ = y, cos θ = x, se tiene:
sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ( 6 )
y
P(cos θ, sen θ)
θ
x
A las relaciones (6), (7) y (8) se les denomina,
identidades trigonométricas pitagóricas:
sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ( 6 )
1 + cot 2 θ = csc 2 θ ( 7 )
tan 2 θ + 1 = sec 2 θ ( 8 )
En tu cuaderno, prueba la identidad
sen 2 θ + cos 2 θ = 1 para θ = 30º
O sea, sen 2 30º + cos 2 30º = 1
En resumen, hasta aquí tienes ocho relaciones
trigonométricas de suma importancia que reciben
el nombre de Identidades Trigonométricas
Fundamentales:
Recíprocas
De cociente
Pitagóricas
2
2
1
sen θ sen θ + cos θ = 1
cos θ tan θ =
cos θ
1
1 + cot 2 θ = csc 2 θ
csc θ =
sen θ
cos θ
cot θ =
1
sen θ
cot θ =
tan 2 θ + 1 = sec 2 θ
tan θ
sec θ =
Otras identidades trigonométricas
De la relación anterior se obtienen otras dos identidades:
sen 2 θ = 1 − cos 2 θ y cos 2 θ = 1 − sen 2 θ .
Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre
sen 2 θ
1
cos 2 θ
2
=
sen θ, obtienes: 2 +
2
sen θ
sen θ
sen 2 θ
82 Matemática - Segundo Año
Los procedimientos algebraicos básicos y las relaciones
trigonométricas fundamentales son, las herramientas
principales para simplificar expresiones trigonométricas,
verificar identidades trigonométricas o resolver
ecuaciones trigonométricas. Estos tres ejercicios típicos
son importantes porque la mayoría de los problemas de
aplicación de la trigonometría requieren la resolución de
al menos uno de ellos.
UNIDAD 5
Ejemplo 1
Simplifica la expresión trigonométrica cos θ sec θ .
Solución:
Utiliza una identidad trigonométrica de manera que la expresión original se transforme
en otra más simple. Recuerda que:
1
, sustituyendo esta identidad en la expresión original tienes:
sec θ =
cosθ
cos θ
1
cos θ sec θ = cos θ .
=
= 1 De manera que cos θ sec θ = 1
cos θ
cos θ
Ejemplo 2
Simplifica la expresión trigonométrica
Solución:
csc x
sec x
1
1
y sec x =
; sustituyes en la expresión original y
cos x
sen x
1
csc x
cos x
obtienes:
= sen x =
= cot x de manera que es válida la igualdad
1
sec x
sen x
cos x
csc x
= cot x
sec x
En el siguiente ejemplo, el procedimiento de simplificación es más extenso, sin
embargo las herramientas que se utilizan son las mismas.
Sabes que csc x =
Ejemplo 3
2
Simplifica la expresión trigonométrica ( sen θ + cos θ ) − 1
cot θ − sen θ cos θ
Segundo Año - Matemática 83
UNIDAD 5
Solución:
( sen θ + cos θ )2 − 1 sen 2 θ + 2 sen θ cos θ + cos 2 θ − 1
=
cos θ
cot θ − sen θ cos θ
− sen θ cos θ
sen θ
sen 2θ + cos 2 θ ) + 2 sen θ cos θ − 1
(
=
cos θ
− sen θ cos θ
sen θ
1 + 2 sen θ cos θ − 1
=
cos θ − sen 2θ cos θ
sen θ
( 2 sen θ cos θ ) sen θ
=
cos θ − sen 2θ cos θ
2 sen 2θ cos θ
=
cos θ − sen 2θ cos θ
2 sen 2θ cos θ
=
cos θ (1 − sen 2θ )
2 sen 2 θ
cos 2 θ
2
( sen θ + cosθ )2 − 1  sen θ 
= 2
= 2( tan θ )2
 cos θ 
cot θ − sen θ cos θ
=
Efectúas el producto notable en el numerador y
cos θ
.
sustituyes en el denominador cot θ por
sen θ
Sustituyes en el numerador a sen2 θ + cos2 θ por 1 y
en el denominador efectúas la diferencia.
Reduces términos semejantes en el numerador de
la fracción compleja y efectúas el producto de los
extremos y medios.
Multiplicas en el numerador y denominador
por sen θ
Factorizas en el denominador aplicando
factor común.
Cancelas el factor cos θ y sustituyes 1– sen2 θ por
cos2 θ
Simplificas cos θ y sustituyes 1 – sen2 θ
Sustituyes
sen θ
por tan θ
cos θ
( sen θ + cos θ )2 − 1
es igual a la expresión 2 tan2 θ.
cot θ − sen θ cos θ
Otra aplicación de las relaciones trigonométricas es la verificación de las identidades. Una
identidad es una igualdad que se cumple para todo valor en el dominio de las funciones
involucradas. Para verificar las identidades lo más frecuente es iniciar con un lado de la
igualdad y, mediante un procedimiento algebraico válido, transformarlo en la expresión del
otro lado.
Por tanto, verificas que la expresión
Ejemplo 4
Verifica la identidad trigonométrica tan θ cot θ = 1
Solución:
Puedes simplificar el lado izquierdo de la igualdad hasta obtener la expresión del lado
derecho.
sen θ
cos θ
tan θ cot θ = 1 Sustituyes tan θ =
y cot θ =
cos θ
sen θ
sen θ cos θ
⋅
= 1 Cancelas los factores iguales
cos θ sen θ
1 = 1 Obtienes que la igualdad se cumple
La identidad ha sido verificada.
84 Matemática - Segundo Año
UNIDAD 5
Ejemplo 5
Verifica la identidad trigonométrica cos A tan A = sen A
Solución:
cos A tan A = sen A
cos A
sen A
= sen A
cos A
sen A = sen A
Ejemplo 6
Sustituyes tan A =
sen A
cos A
Cancelas el factor cos A
Se verifica la identidad
Verifica la identidad trigonométrica cot x cos x + sen x = csc x.
Solución:
cot x cos x + sen x = csc x
Sustituyes cot x =
cos x
sen x
cos x
Multiplicas
⋅ cos x + sen x = cscc x
sen x
cos 2 x
+ sen x = csc x
Efectuas la suma
sen x
cos 2 x + sen 2 x
= csc x
Sustituyes cos 2 x + sen 2 x = 1
sen x
1
1
Sustituyes
= csc x
= csc x
sen x
sen x
Se verifica la identidad
csc x = csc x
Ahora observa cómo se resuelve el problema planteado al inicio de esta lección.
De la figura ∠BCA + θ = 180 º . Luego ∠BCA = 180 º − θ . Además, PA ⊥ AC , ya que
el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Luego, PC bisecta a
1
180 º − θ
θ
∠BCA =
= 90 º −
∠BCA , por lo que ∠PCA =
2
2
2
r
Como el triángulo PAC es rectángulo, ya que ∠A = 90 º tan ∠PCA = , de donde
d
r
d =
tan ∠PCA
d = r cot ∠PCA
θ
d = r cot  90 º − 

2
θ
θ
θ

Y como cot  90 º −  = tan , entonces d = r tan

2
2
2
Una aplicación de esta identidad es:
Dos autopistas se encuentran a un ángulo de 34°. El bordillo debe unirse a los puntos A y B
localizados a 45 pies del comienzo de la intersección.
Segundo Año - Matemática 85
UNIDAD 5
a) Aproxima el radio del arco que une A y B.
b) Determina la longitud del arco.
P
Solución:
Considera la fórmula que acabas de encontrar:
θ
d = r tan en este ejemplo, d =45 pies y θ = 34º.
2
d
Debes determinar r, r =
θ
tan
2
45 pies
r =
 147.19 pies ( se lee aproximadamente )
34 º
tan
2
Fórmulas para la suma y la diferencia
de ángulos
Además de las relaciones trigonométricas ya
mencionadas, existen algunas expresiones que involucran
la suma o diferencia de ángulos: sen(α + β), cos(α + β),
tan(α + β), sen(α – β), cos(α – β) y tan(α – β). Para ello es
necesario conocer las equivalencias de estas expresiones.
Considera los ángulos α y β, tales que el ángulo α + β
se representa en posición estándar en la figura dada. Se
consideran los ángulos, α, β y α + β en el I cuadrante,
pero el resultado es válido para cualquier α y β. Para este
ángulo (α + β), se puede seleccionar cualquier punto P
sobre su lado terminal de B y a Q sobre el lado terminal de
α, tales que PQ ⊥ OQ . Además considera PM ⊥ OX ,
QN ⊥ OX . Sea el punto R en PM tal que QR ⊥ PM .
Como en los ángulos NOQ y MPQ son ángulos agudos
de lados perpendiculares, de acuerdo con la construcción,
se concluye que: mfNOQ = mfMPQ = α. Recuerda que
en notación de ángulos, m significa medida y f significa
ángulo.
Observa la figura y de acuerdo con ella, analiza la
siguiente justificación:
Como PM = PR + RM y RM = QN
PM
PR + QN
PR
QN
sen ( α + β ) =
=
=
+
OP
OP
OP
OP
PR . PQ
QN . OQ
=
+
OP . PQ
OP . OQ
PR . PQ
QN . OQ
+
=
PQ . OP
OQ . OP
86 Matemática - Segundo Año
Q
R
β
α
M
N
Es decir sen (α + β) = sen α . cos β + cos α . sen β.
Para encontrar la expresión para sen(α – β), se procede de
la siguiente forma:
sen (α − β ) = sen α + ( − β ) 
= cos α . sen ( − β ) + sen α . cos ( − β )
= − cos α . sen β + sen α . cos β
= sen α . cos β − cos α . sen β
Esto, debido a que sen (–x) = – sen x, cos (–x) = cos x.
Entonces: sen(α – β) = sen α . cos β – cos α . sen β
En forma análoga se puede obtener la expresión para
cos(α + β) y para cos(α – β).
cos(α + β) = cos α . cos β – sen α . sen β
cos(α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β
Ejemplo 7
 7π 
Calcula el valor exacto de sen  
 12 
Solución:
Recuerda que, hasta ahora, sólo se conoce el valor exacto
π π π π
de las funciones trigonométricas para , , , ,
3 4 6 2
7π
en términos de ellos,
por lo tanto debe expresarse
12
π
π
7π
=
. Utilizando la fórmula del seno
como +
4
3
12
para la suma de ángulos obtienes:
7π
sen  
 12 
π
π
= sen  + 
4
3
π
π
π
π
= sen   . cos   + cos   sen  
 3
 4
 4
 3
UNIDAD 5
Ahora sustituyes los valores que ya conoces para las
diferentes funciones trigonométricas y simplificas la
expresión:
2 1
2 3
2
6
2 + 6
. +
.
=
+
=
de
2 2
2 2
4
4
4
 7π 
donde el valor exacto de sen   es
 12 
2 +
4
6
.
5π
Por lo tanto, tan   = 2 +
 12 
3
1.Usando identidades trigonométricas determina:
Ejemplo 8
sen 75º
2
b) cos π rad
3
Calcula el valor exacto de cos 15º
c)
a)
Solución:
En igual forma, se expresa 15º en términos de ángulos
cuyos valores para las funciones trigonométricas se
conozcan: 15º = 45º – 30º
cos 15º = cos (45º – 30º) = cos45º cos30º + sen45º sen30º
Se sustituyen los valores de las diferentes funciones
trigonométricas y se simplifica la expresión:
2 1
2 3
2
6
2 + 6
. +
.
=
+
=
2 2
2 2
4
4
4
Ejemplo 9
tan
5
π rad
6
2.Comprueba para valores de ángulos internos α, β, γ de un
triángulo no rectángulo, que
,
para calcular esos valores, se aplican las identidades.
Resumen
Estas son las identidades que has estudiado en esta
lección
1
1
o csc θ =
1. sen θ =
csc θ
sen θ
 5π 
Calcula el valor exacto de tan  
 12 
2. cos θ =
5π
En la misma forma, se descompone
en términos
12
π π
5π
π
π
=
+ , luego se utiliza la
de y como
6 4
12
6
4
fórmula para la suma de ángulos para la tangente y se
obtiene:
π
π
tan   + tan  
 6
 4
π
π
 5π 
tan   = tan  +  =
 12 
6
4  1 − tan  π  .tan  π 
 6  4
al sustituir los valores de las funciones trigonométricas y
simplificar la expresión obtienes:
1
1
o cot θ =
cot θ
tan θ
4. sen 2θ + cos 2 θ = 1
Solución:
3
+1
3+
3
=
3
3−
.1
1−
3
3
6 3 + 12
=
=2+
3
6
1
Actividad
3
1
1
o sec θ =
se c θ
cos θ
3. tan θ =
5. tan 2 θ + 1 = sec 2 θ
6. 1 + cot 2 θ = csc 2 θ
7. sen (α + β ) = sen α . cos β + cos α . sen β
8. sen (α − β ) = sen α . cos β − cos α . sen β
9. cos (α + β ) = cos α . cos β − sen α . sen β
10. cos (α − β ) = cos α . cos β + sen α . sen β
tan α tan β
11. tan(α + β ) =
1 − tan α tan β
Segundo Año - Matemática 87
UNIDAD 5
Autocomprobación
cos 60º = 0.5
π
b) sen
=1
2
sen θ
c) tan θ =
cos θ
3
d) cot θ =
5
a)
3
3
El valor de sen π + cos 2 π es:
4
4
a) 0
b) 1
c) 0.71
d) 0.87
3
4
La expresión cos 75º equivale a:
cos( 90º – 15º)
b) cos(90º + 15º)
c) 1
d) 0
a)
Al escribir tan x cos x únicamente en términos de
sen θ, resulta:
a)
sen2 x
b)
1
sen x
c)
sen x
d)
1
sen 2 x
2
2. b.
3. a.
2
Un ejemplo de identidad trigonométrica es:
1. c.
1
Soluciones
4. c.
POTENCIA DE UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA
Las aplicaciones de las identidades
trigonométricas se dan en muchas áreas del
conocimiento. Por ejemplo, en un circuito de
corriente alterna con reactancia, la potencia es:
P = Vmáx Imáx cos θ t sen θ t
Mediante identidades trigonométricas se
V max Im ax
sen 2ω t
demuestra que: P =
2
Donde:
P = potencia
V = voltaje
I = intensidad de la corriente
88 Matemática - Segundo Año
Lección 5
Quinta Unidad
Ecuaciones trigonométricas
Motivación
E
n un taller de mecánica industrial, se desea fabricar
una pieza como la que aparece a la derecha.
¿Cuáles deben ser los valores del ángulo θ para que la
pieza tenga las medidas que se indican?
1
Este problema sugiere la ecuación sen θ =
2
¿qué valores de θ cumplen con esta ecuación?
θ
2
En esta lección aprenderás a calcular los valores del
ángulo que satisfacen ecuaciones con funciones
trigonométricas.
1
Indicadores de logro
Identificarás, resolverás y explicarás, con seguridad y confianza, ecuaciones
trigonométricas de una sola función.
Resolverás problemas, con perseverancia, utilizando ecuaciones
trigonométricas.
¿Qué es una ecuación trigonométrica?
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene
funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.
Si la ecuación trigonométrica es verdadera para
todo valor posible de los ángulos, se llama identidad
trigonométrica.
Por ejemplo la ecuación sen2 θ + cos2 θ = 1 es una
identidad, ya que, como lo puedes comprobar, es cierta
para todo valor del ángulo θ.
Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se
llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos
valores del ángulo.
1
Por ejemplo, la ecuación sen θ = , es una ecuación
2
condicional: es cierta para los valores
5π
π
rad ,
θ = 30 º = rad y θ = 150 º =
6
6
en el intervalo [0, 2π]
Compruébalo en tu cuaderno.
Al conjunto de números reales que satisfacen la
ecuación se denomina conjunto solución, el cual se
denota por S. Así para el ejemplo anterior,
π 5
S =
, π en [0, 2π].
6 6
Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad
de que la incógnita está relacionada con un ángulo.
Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes,
sin embargo, las soluciones, como números reales que
son, se expresarán en radianes, salvo que en el ejemplo o
ejercicio se especifique lo contrario.
{ }
Los métodos para resolver una ecuación trigonométrica
son similares a los utilizados para resolver ecuaciones
algebraicas. Igual que en la verificación de identidades
trigonométricas, con frecuencia se requerirá el uso de
algunas propiedades trigonométricas fundamentales.
En la solución de una ecuación de este tipo se debe
tomar en cuenta la periodicidad de las funciones
trigonométricas.
Segundo Año - Matemática 89
UNIDAD 5
Es muy importante recalcar que al resolver una ecuación
trigonométrica, es suficiente encontrar sus soluciones entre
0 y 2π. Luego, de acuerdo con el período de la respectiva
función, basta sumar a estas soluciones múltiplos de π ó 2π,
según corresponda al período de las funciones que contiene
la ecuación, para obtener las demás soluciones.
y
-1
5
π
3
π
3
1
Ejemplo 1
x
Resuelve la ecuación 2cos θ – 1 = 0
Ejemplo 2
2
2
Resuelve la ecuación tan θ = – 1 en [0, 2π]
1
3
θ
θ
1
Solución:
Para resolver la ecuación tan θ = – 1, lo primero que debes
notar es que las soluciones que se buscan se ubican en el
segundo y cuarto cuadrante, pues la tangente es negativa en
esos dos cuadrantes. De los triángulos básicos se sabe que
π
π
corresponde al ángulo de
tan
= 1 y por ello θ =
1
Solución:
4
4
Al despejar el valor de cos θ de la ecuación, se tiene:
1
2
1
¿Para qué valores de θ, el coseno de θ es igual a ? De
2
referencia para las soluciones.
los triángulos básicos de las funciones trigonométricas, o por
θ =
cos θ =
calculadora, obtienes: cos
π
1
π
= , es decir, θ =
es
3
2
3
La solución cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante
y tiene ángulo de referencia
π
π
3π . Falta encontrar el ángulo
es π −
=
4
4
4
que se encuentra en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de
π
π
7π
, este es 2π −
.
=
4
4
4
solución de la ecuación dada. Además, como la función cos x
es positiva en el primero y en el cuarto cuadrante, y
referencia es
θ =
Así, el conjunto solución de la ecuación tan θ = – 1 en el
π
pertenece al primer cuadrante, la ecuación
3
tiene otra solución en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de
π
, esta solución sería
3
5π
π
θ = 2π −
=
3
3
intervalo [0, 2π[ es S =
referencia es
90 Matemática - Segundo Año
}
2
1
2
π
5π
yθ =
; es decir, el
3
3
conjunto solución de la ecuación es: S =
3π 7π
,
4 4
y
Con esto, las únicas soluciones de la ecuación cos θ =
en el intervalo [0, 2π], son θ =
{
{ }
π 5π
,
3 3
0
3
π
4
0
7
π
4
θ
UNIDAD 5
Ejemplo 3
Solución:
Resuelve la ecuación 2 sen θ +
3 =0
Solución:
3
2
Para resolver esta ecuación, primero debes notar que las
soluciones que se buscan se ubican en el tercer y cuarto
cuadrante, pues sen x es negativa en esos cuadrantes. De
la tabla de valores para las funciones trigonométricas,
π
π
3
y por ello θ = corresponde
sabes que sen =
3
3
2
al ángulo de referencia. La solución cuyo lado terminal
está en el tercer cuadrante con este ángulo de referencia
π
4π
. Falta encontrar el ángulo que se
es π +
=
3
3
encuentra en el cuarto cuadrante con ese mismo
π
5π
.
ángulo de referencia, este es 2π −
=
3
3
Así, las soluciones de la ecuación 2 sen θ + 3 = 0 , en
5π
4π
yθ =
.
el intervalo [0, 2π], son θ =
3
3
El conjunto solución de la ecuación dada es:
4π 5π
S =
,
3 3
Al despejar sen θ de la ecuación, se tiene: sen θ = −
{
La ecuación dada es equivalente a la ecuación
sen θ tan θ – sen θ = 0. Factorizando obtienes:
sen θ(tan θ – 1) = 0
Las soluciones de esta ecuación corresponden a las
soluciones de las ecuaciones
sen θ = 0 y tan θ – 1 = 0.
Las soluciones de sen θ = 0, en el intervalo[0, 2π] son
θ=0yθ=π
Para resolver la ecuación tan θ = 1, se obtiene primero
π
en el
la solución θ =
4
primer cuadrante, y como la tangente es positiva en
el primer y tercer cuadrante, falta encontrar el ángulo
que se encuentra en el tercer cuadrante cuyo ángulo
π
de referencia es , este es π + π = 5π
4
4
4
Así, las soluciones de la ecuación tan θ = 1, en el intervalo
π
5π
[0, 2π] son
y
4
4
}
y
y
2
-1
1
0
−
π
4
0
3
2
π
4
π
3
5
π
3
5
π
4
2π
1
x
θ
Ejemplo 4
Resuelve la ecuación sen θ tan θ = sen θ en el intervalo
[0, 2π]
En conclusión, el conjunto solución de la ecuación
dada se obtiene de la unión de las soluciones de las dos
ecuaciones anteriores, es decir,
π 5π
S = 0, π , ,
4 4
{
}
Segundo Año - Matemática 91
UNIDAD 5
¿Cómo encuentras una solución sin restricciones?
El hecho de poner un intervalo donde deben estar las soluciones es una restricción
sobre ellas; el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 sin poner restricciones es
sin duda, S = {– 2, 2}; sin embargo, el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 en el
intervalo ]– ∞, 0] es S = {– 2}.
Observa que, como la función sen x, tiene período 2π y la función tan x tiene período π,
el conjunto solución del ejemplo anterior si no se pide la solución restringida al
π
intervalo [0, 2π], es S = k π , + k π , con k ∈ Z .
4
Nota además que en este conjunto solución encuentras incluidas las soluciones
π 5π
, que se obtienen dando a k los valores de 0 y 1.
particulares 0, π , ,
4 4
{
}
Ejemplo 5
Halla el conjunto solución de la ecuación cos2 θ = cos2θ
Solución:
¿Recuerdas la identidad trigonométrica cos 2 θ = 2 cos2θ – 1?
Sustituyes cos 2 θ en la ecuación y tienes:
cos 2 θ = 2 cos 2 θ – 1
cos 2 θ − 2 cos 2 θ + 1 = 0
1 − coss 2 θ = 0
(1 − cos θ ) (1 + cos θ ) = 0
1 − cos θ = 0 , 1 + cos θ = 0
cos θ = 1 ,
θ =0,
cos θ = − 1
θ =π
Igualas a cero
Reduces términos semejantes
Descompones en factores
Igualas a cero cada factor
Despejas cos θ
Resuelves para θ
Todas las soluciones de la ecuación dada corresponden a los ángulos coterminales a
θ = 0 y a θ = π, que se pueden escribir como el conjunto solución S ={kπ, con k ∈ Z}.
Ejemplo 6
Resuelve la ecuación 2 sen ( 4θ ) − 1 = 0 , en el intervalo[0, 2π].
Solución:
Despejas el valor de sen (4θ) de la ecuación, y tienes: sen ( 4θ ) =
1
?
¿Cuál es el ángulo x tal que sen x =
2
Se cumple para x =
92 Matemática - Segundo Año
π
3π
+ 2k π , y x =
+ 2k π .
4
4
1
.
2
UNIDAD 5
Sustituyes x = (4θ) y obtienes 4θ =
π
3π
+ 2k π y 4θ =
+ 2k π
4
4
π
kπ
kπ
3π
yθ =
+
+
16
2
16
2
Si tomas los valores para k = 0, 1, 2, 3, las soluciones son:
π 3π 9π 11π 17π 19π 25π 27π que corresponden a los ángulos en
,
,
,
,
,
,
,
16 16 16 16 16 16 16 16
[0, 2π[. Compruébalo en tu cuaderno.
2π
π
Fíjate que en el ejemplo anterior la función sen4θ tiene un período de
= ,y
4
2
así, la función completa 4 períodos en el intervalo [0, 2π]. En cada período se tienen 2
soluciones y como son 4 períodos, se obtienen 8 soluciones en total.
Al dividir por 4 los valores de θ son: θ =
Ejemplo 7
Resuelve 3 sen θ = 2 cos2 θ. Expresa la solución en grados y radianes.
Solución:
Al usar la identidad fundamental cos2 θ = 1 – sen2 θ, la ecuación dada se transforma en la
ecuación: 3 sen θ = 2(1 – sen2 θ) = 2 – 2 sen2 θ. Así, 3 sen θ = 2 – 2 sen2 θ.
Resuelves esta ecuación y tienes:
2 sen 2θ + 3 sen θ − 2 = 0
Transpponiendo terminos
−3 ± 32 − 4 ( 2 )( −2 )
Fórmula cuadrática para despejar seen θ
2( 2 )
1
−3 ± 5
sen θ =
luego sen θ = y sen θ = − 2
4
2
sen θ =
1
Para resolver la ecuación sen θ = buscas el ángulo
2
π
de referencia, el cual es ó 30º, y trasladas este
6
ángulo a los cuadrantes donde la función sen x es positiva (I y II).
π
5π
Así, las soluciones en [0º, 360º[ son θ =
= 30 º θ =
= 150 º
6
6
La ecuación sen θ = – 2 no tiene soluciones pues el
sen x sólo toma valores entre – 1 y 1 y por ello, ningún valor θ cumple con la ecuación
sen θ = – 2.
El conjunto solución es S = π + 2 k π ; 5π + 2 k π , con k ∈ Z que expresado
6
6
en grados corresponde al conjunto {30º + 360º k; 150º + 360º k, con k ∈ Z}
{
}
Segundo Año - Matemática 93
UNIDAD 5
Ejemplo 8
Resuelve la ecuación sen 2θ cos θ+ sen θ cos 2 θ = 0
Solución:
Usas las fórmulas del ángulo doble:
sen 2 θ = 2 sen θ cos θ y cos 2 θ = cos2 θ – sen2 θ
La ecuación dada es equivalente a:
(2sen θ cos θ) cos θ + sen θ (cos2 θ – sen2 θ) = 0
Factorizando obtienes la ecuación:
sen θ (2 cos2 θ + cos2 θ – sen2 θ) = 0
La cual es equivalente a sen θ (3 cos2 θ – sen2 θ) = 0.
Al usar la fórmula sen2 θ = 1 – cos2 θ, la última ecuación se
transforma en la ecuación sen θ (4 cos2 θ – 1) = 0. Luego
sen θ = 0 ó 4 cos2 θ – 1 = 0
2π
( t − 79 ) la ecuación anterior se
365
1
escribe como sen θ = − el ángulo de referencia
2
π
y las soluciones buscadas están en el tercer y
es
6
cuarto cuadrante (pues el seno es negativo es estos
cuadrantes)
Si se llama θ =
La solución en el tercer cuadrante es
π
7π
y la solución en el cuarto
θ =π +
=
6
6
π 11π
, estos dos valores
cuadrante es θ = 2π −
=
6
6
corresponden a las soluciones en [0, 2π[. De esta manera,
se deben determinar los valores t tales que:
2π
2π
7π
11π
( t − 79 ) =
ó
( t − 79 ) =
365
6
365
6
Por último, se procede a resolver las dos ecuaciones.
Resuélvelas en tu cuaderno.
y
Ejemplo 9
En una ciudad, el número de horas de claridad D(t) en
cierto período del año se aproxima mediante la ecuación
 2π

D ( t ) = 3 sen 
( t − 79 ) + 12 , en donde t está
 365

en días y t = 0 corresponde al día 1 de enero. ¿Cuáles días
del año tienen exactamente 10.5 horas de claridad?
7
π
6
π
6
11
π
6
t
π
6
Solución:
Para responder a la pregunta planteada necesitas resolver
la ecuación:
 2π

3 sen 
( t − 79 ) + 12 = 10.5
 365

 2π
( t − 79 ) = −1.5
3 sen 
 365

Al dividir entre 3, esta ecuación resulta equivalente a la
ecuación:
1
 2π

sen 
( t − 79 ) = −
 365

2
94 Matemática - Segundo Año
y
330º
210º
30º
30º
t
UNIDAD 5
La ecuación
2π
7π
( t − 79 ) = es equivalente a la
365
6
ecuación t − 79 =
7π ( 365 )
; si simplificas y luego
6( 2π )
despejas el valor de t =
La ecuación
2555
+ 79 ≈ 292
12
despejar el valor de t obtienes:
t =
4015
+ 79 ≈ 414
12
El día 292 corresponde al 19 de octubre, el día
414 – 365 = 49 del año, que corresponde al 18 de febrero.
¿Por qué no se considera la segunda de las respuestas?
2π
11π
es equivalente a la
( t − 79 ) =
365
6
ecuación t − 79 =
1
11π ( 365 )
; al simplificar y luego
6( 2π )
Actividad
1.Determina las soluciones de la ecuación cos x = −
2
2
.
2.Determina las soluciones de las ecuaciones:
1
a) sen x = − ; b) tan θ = 1 en el intervalo [–π, π]
2
3.Encuentra las soluciones de la ecuación csc x = –14.07 en el intervalo [0, 2 π [
4.Resuelve la ecuación sen2x = sen x en el intervalo [0, 2 π [
Resumen
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.
Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para
algunos valores del ángulo.
Para resolver una ecuación trigonométrica se usan los mismos principios que en una ecuación algebraica. Al
conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S.
Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo.
Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales
que son, se expresan en radianes, salvo que se especifique lo contrario. A veces, es necesario aplicar alguna
identidad que permita despejar la variable de interés.
Segundo Año - Matemática 95
UNIDAD 5
Autocomprobación
a)
{0.62 , 2.10} c)
b)
{
{ }
d)
{1.31 , 2.63}
}
π 7
, π 4 4
π 7π
,
6 6
2
Al resolver cos 4 x =
, las soluciones para x
2
son:
b)
c)
d)
{11.25 , 191.25 }
{180 , 191.25 }
{11.25 , 150.8 }
{45 , 315 }




Al resolver 2cos θ = 0, la solución para θ es:
a)
b)
4


{ }
π 3
, π 2 2
{π , 0} c)
d)
{ }
{ }
π π
,
2 4
π 3
, π
4 4
La solución de 2cos x = 3 es
a)

3. a.
a)

3
b)
{ }
{
2. a.
2
Al resolver 3tan x = 3, las soluciones para x son:
π 5 , π
3 3
c)
π 11
, π 6 6
d)
}
{ }
{ }
π 3
, π
4 4
π 3
, π
2 2
1. c.
1
Soluciones
4. b.
DESPLAZAMIENTO DE UN PISTÓN
Al igual que las identidades, las ecuaciones
trigonométricas se aplican en casi todas
las áreas del conocimiento. Por ejemplo,
el desplazamiento de un pistón puede
determinarse al sustituir los valores de π y t en
la ecuación d = sen π t + cos π t.
En dicha ecuación tenemos:
d = desplazamiento
π = velocidad angular
t = tiempo
96 Matemática - Segundo Año
Solucionario
Lección 1
Actividad 1: 2. 75 + 360 = 435º
75 – 360 = – 285º
4. b) 180º – 150º = 30º
75 + 2(360) = 795º
75 – 3(360) = –1005º
d) 360º – 300º = 60º
Actividad 2: 1. a) sen 0º = 0
j) tan 90º = ∞
Lección 2:
Actividad 1:
b) sen 90º = 1
o) cot 180º = –∞
π
3π
rad = 90º;
rad = 135º ; π rad = 180º, etc.
2
4
y
Actividad 2: 1. a)
3
2
1
x
0
0
-0.25π
0.5π
π
1.5π
2π
-1
-2
-3
y
d)
3
2
1
0
x
0
0.25π
0.75π
1.25π
1.75π
2.25π
-1
-2
-3
2. a) A = 4
b)
2π
=π
2
c)
−π
−C
π
= 4 = −
B
2
8
Segundo Año - Matemática 97
Solucionario
Lección 4
Actividad 1:
b) Desarrollando cos
2π
asi:
3
π π
π
π
π
π
cos 2 = cos  +  = cos cos – sen sen
3
3
3
3
3
3
5
π asi:
6
5π
π
π
tan
= tan  + 

6
2
3
 tan π   tan π 
 2 3
=
π
π
1 −  tan   tan 
 2 3
c) Desarrollando tan
Lección 5
2
está asociado con un triángulo de referencia de
2
45º en el 2º y 3º cuadrante. Luego, las soluciones para x son
3π 5π
,
4 4
π
2. b) Como tan θ = 1, este valor corresponde a θ = rad y
4
7π
rad, pero como este último valor cae fuera del
4
3
intervalo [–π, π], no forma parte de la solución, − π 4
también es solución.
Actividad 1: 1. cos x = −
4. sen 2x = sen x; pero sen 2x = 2 sen x cos x, por lo que
2 sen x cos x = sen x; por lo que 2 sen x cos x – sen x = 0
y al factorizar: sen x (2 cos x – 1) = 0. Luego, sen x = 0,
1
lo que nos da x = 0, π, y 2 cos x – 1 = 0 nos da cos x =
2
lo que implica x =
98 Matemática - Segundo Año
π 5π
π 5π
, por lo que x = 0, π, ,
,
3 3
3 3
Proyecto
La cooperativa pesquera de la playa El Cuco, con el apoyo del Servicio
Meteorológico, determina que la marea sobre su nivel medio está dada por la
expresión y = 2.1 cos 0.45 t, donde y está dado en metros y t en horas, para fines de
hacerse a la mar, los pescadores están interesados en averiguar:
a)La altura de la marea a las 9:30 a.m y a las 2:50 p.m.
b)A qué horas la altura sobre el nivel medio es de 2.5 m
c)Trazar dos periodos de la gráfica.
Ayúdale a los pescadores a resolver esta situación.
Nota: considera t = 0 a las 6:00 a.m por lo que se comienza con 2.1 metros, ya que
y = 2.1 cos(0.45)(0) = 2.1 cos 0 = 2.1
Segundo Año - Matemática 99
Recursos
BARNETT, Raymond, Álgebra y trigonometría. Editorial Mc Graw Hill,
tercera edición, Colombia, 1990
FLEMING, Walter y Varberg, Dale. Álgebra y trigonometría con geometría
analítica. Editorial Prentice Hall, tercera edición, México, 1991
JURGENSEN, Ray; Donnelly, Alfred y Dolciani, Mary, Geometría moderna.
Editorial Publicaciones Cultural, tercera reimpresión, México, 1972
http://www.youtube.com/watch?v=pslHAPjZNv0
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sinusoidal
100 Matemática - Segundo Año
UNIDAD 5
Colofón
Segundo Año - Matemática 101
UNIDAD 5
102 Matemática - Segundo Año