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SGUICTG001TG32-A17V1
Un asunto de buen criterio
SECCIÓN: EXPERIMENTANDO
Actividad 1
1. Reflexiona con tu profesor las siguientes preguntas y luego responde:
• ¿Cómo son los ángulos interiores de los triángulos ADE y ACB?
- Para ambos triángulos, los ángulos en C y en D son rectos.
- El ángulo en A es congruente, ya que lo comparten ambos triángulos.
- Dado que DE y CB son paralelas, los ángulos interiores son congruentes.
- Se concluye que los ángulos en E y B son congruentes, ya que si los otros dos ángulos
ya son iguales este también será congruente.
¿Qué relación existe entre los lados de los triángulos ADE y ACB?
Dado que los triángulos comparten el ángulo en A, entonces los lados AD y AC; DE y
CB; AE y AB, tienen las mismas posiciones relativas dentro de los triángulos.
Si te aseguran que estos triángulos, teóricamente, se les denomina semejantes, ¿cómo lo
explicarías con tu palabras?
Son triángulos similares, que comparten los mismos ángulos.
2. Determina si la información entregada es suficiente para determinar que los
triángulos son semejantes.
Según la figura 1, ambos triángulos tienen un ángulo de igual medida. ¿Esta
información es suficiente para determinar que son semejantes? Justifique su respuesta.
Esta información no es suficiente, ya que los dos ángulos faltantes se pueden distribuir
en distintas proporciones. Por otro lado, no se tiene información de los lados de los
triángulos.
Según la figura 2, ambos triángulos tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
¿Esta información es suficiente para determinar que son semejantes? Justifique su
respuesta.
Esta información es suficiente, ya que como la suma de los ángulos interiores de un
triángulo es 180º, basta con saber que dos de ellos son congruentes para que el tercero
también lo sea.
Según la figura 3, ambos triángulos tienen un ángulo de igual medida y un lado
conocido. ¿Esta información es suficiente para determinar que son semejantes?
Justifique su respuesta.
Esta información no es suficiente, ya que al igual que en la figura 1, no se puede
asegurar que los ángulos faltantes se distribuyan de la misma manera, es decir, no
necesariamente son congruentes. Con respecto a los lados, estos están en la razón 1 : 2,
pero no se puede asegurar que esta razón sea la misma para el resto de los lados de los
triángulos.
Según la figura 4, ambos triángulos tienen dos pares de lados respectivamente
proporcionales, y un ángulo correspondiente congruente ¿Esta información es suficiente
para determinar que son semejantes? ¿Son lados homólogos los que se muestran en la
figura? Justifique su respuesta.
Esta información es suficiente, ya que al tener dos lados en proporción (en este caso 1:3,
considerando el orden de la figura), el tercer lado de ambos triángulos también será
proporcional, ya que el ángulo que está entre los lados dados es congruente.
Según la figura 5, ambos triángulos tienen dos pares de lados, respectivamente
proporcionales. ¿Esta información es suficiente para determinar que son semejantes?
Justifique su respuesta.
Esta información no es suficiente, ya que no se tiene información sobre los ángulos, lo
que produce que no necesariamente todos los lados estén en la misma proporción.
Según la figura 6, ambos triángulos tienen tres pares de lados, respectivamente
proporcionales. ¿Esta información es suficiente para determinar que son semejantes?
Esta información es suficiente, ya que si los tres lados están en igual proporción implica
que sus ángulos interiores son congruentes. Es decir, se puede deducir que un triángulo
es la “amplificación” del otro.
3.
AB es homólogo al lado DF, BC es homólogo al lado EF y AC es homólogo al lado DE.
1
La constante de proporcionalidad de los lados homólogos es , considerando
3
ΔABC ~ ΔDFE.
4. De acuerdo a lo experimentado, se puede concluir que la información mínima para
poder determinar que dos triángulos son semejantes son las siguientes:



Al menos dos ángulos interiores respectivamente congruentes (AA)
Dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo que estos forman,
congruente (LAL)
Tres lados respectivamente proporcionales (LLL)
5. ¿Solo se puede estudiar semejanza en triángulos? Observa las siguientes figuras y
concluye cuáles son las condiciones para establecer esta relación.
No, también se puede dar con otras figuras.
Las condiciones necesarias son


Ángulos respectivos congruentes.
Lados homólogos proporcionales.
Actividad 2
1. ¿Qué entiendes por el concepto de congruencia? ¿En qué se diferencia con el
concepto de semejanza?
La congruencia es equivalencia, es decir, dos figuras exactamente iguales, a
diferencia de la semejanza en que las figuras son proporcionales.
2. ¿Qué se podría decir de los lados y los ángulos interiores de cada triángulo?
Tanto lados como ángulos tienen igual medida que sus respectivos.
3. Utilizando los criterios de semejanza, ¿qué cambios le realizarías para asegurar
la congruencia?
Los lados deben tener la misma medida para que exista congruencia.
4. Escribe los criterios de congruencia más comunes y descríbelos.
Los criterios ahora son
 Dos ángulos interiores respectivamente congruentes y el lado entre ellos de igual
medida (ALA)
 Dos lados respectivamente congruentes y el ángulo que estos forman,
congruente (LAL)
 Tres lados respectivamente congruentes (LLL)
5. Realice un esquema donde contrastes las diferencias entre los conceptos de
semejanza y congruencia.
Semejanza
Congruencia
Una figura es la “ampliación de la
otra”
Ambas figuras son idénticas
SECCIÓN: PRACTICANDO
I.
1) Notamos que ambos triángulos tienen un ángulo recto y otro que mide α, por lo tanto,
y bajo el criterio AA, ∆ABC∆EDF. Es en este orden, ya que el ángulo que se encuentra
en A es el mismo que está en E, el que está en B es el mismo que está en D y el que está
en C es el mismo que está en F.
2) Como los lados del triángulo ABC son 6, 8 y 10 (perímetro 24), y los del triángulo
EDF son 9, 12 y 15 (perímetro 36), entonces la razón en la que se encuentran los lados
es 2 : 3, la misma en la que se encuentran los perímetros (24 : 36 = 2 : 3). Las alturas,
respectivamente, son 4,8 y 7,2, por lo que también están en la razón 2 : 3. El resto de los
elementos secundarios también están en la razón 2 : 3. Calculando las áreas, resulta
9  12
68
A1 =
= 24 y A2 =
= 54, notamos que se encuentran en la razón 4 : 9, siendo
2
2
el cuadrado de la razón de los lados.
3) Dado dos o más triángulos semejantes, siempre la razón en la que se encuentran los
perímetros y elementos secundarios es la misma razón en la que se encuentran los lados.
Por otra parte, las áreas se encuentran en el cuadrado de la razón de los lados. Es decir:
Razón Lados = Razón Perímetros = Razón Elementos Secundarios
Razón Áreas = (Razón Lados)2
II.
1. La alternativa correcta es C.
Como QNMMRP y NMQPMR, entonces por el criterio AA, se cumple que Δ
MNQ Δ MRP. Luego, los lados homólogos son proporcionales, lo que en este caso se
plantea
QN MN MQ


. Por lo tanto:
RP RM MP
R
A) Falsa, ya que
MN RM

MQ MP
MP RP
MP RM


B) Falsa, ya que
o
MQ QN
MQ MN
C) Verdadera.
Q
β
M

β
N
P
D) Falsa, ya que
RM MN

RP QN
E) Falsa, ya que
QN MQ MN MQ
o


RM MP
RP MP
2. La alternativa correcta es D.
A) Sí es semejante, por el criterio LLA.
B) Sí es semejante, por el criterio AA.
C) Sí es semejante, por el criterio LLL.
D) No es semejante, ya que los lados no son respectivamente proporcionales con el
original.
E) Sí es semejante, por el criterio LAL.
3. La alternativa correcta esE.
Como el triángulo PRU es isósceles en U y Δ PRU Δ SQR, entonces
RPU URPRQSQSR. Luego, por el criterio AA, se cumple que
Δ PRU Δ QRT.
Dado que PQ = 1 y QR = 2, entonces PR = (1 + 2) = 3. Luego, la razón de semejanza
2
del Δ QRT con respecto al Δ PRU es
. Como los triángulos PRU y SQR son
3
congruentes, entonces se cumple que Δ SQR  Δ QRT.
La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de
Área QRT  2 
4
   .
semejanza entre los triángulos. Entonces
9
Área SQR  3 
2
4. La alternativa correcta es A.
El área del cuadrado ABCD es igual a (6·6) = 36 cm².
Dado que H es punto medio del segmento DA y el segmento HE es perpendicular al DA,
entonces el punto E está a 3 cm de distancia del segmento DC. Luego, el área del
63
triángulo DEC es
 9 cm2.
2
Entonces, el Δ FGC tiene un área de 9 cm², pues es congruente al Δ DEC.
Luego, el área de la parte sombreada se calcula mediante la diferencia entre el área del
cuadrado y los dos triángulos, es decir, 36 – 9 – 9 = 18 cm².