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TRATAMIENTO ESTADÍSTICO
DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS
- Tipos de datos
- Distribución de frecuencias
- Representación de frecuencias
DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS
- Medidas de posición
- Medidas de dispersión
NÚMEROS ÍNDICES
- Índices simples
- Índices complejos
- Cálculo de tasas de variación
DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA:
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
INFERENCIA
ESTADÍSTICA
(situación de
incertidumbre)
CÁLCULO DE PROBABILIDAD
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA:
DESCRIPCIÓN DE UN CONJUNTO DE SUCESOS YA ACAECIDOS (suceso = concreción de un
fenómeno)
Tipos de datos
Población = conjunto de personas o cosas sobre las que se realiza una investigación
Unidad estadística o elemento: Cada componente de la población
- Simples ( constituidas por un solo objeto)
- Compuestas (constituidas por más de un objeto)
Tamaño de la población: Nº de elementos que constituyen la población
- Finita: nº finito de elementos ( p. Ej; nº de hoteles de Madrid)
- Infinita: nº infinito de elementos (p. Ej; temperatura)
Caracteres
Cualidades o rasgos comunes que presentan los elementos de una población. Cada uno de estos caracteres
pueden presentar dos o más situaciones diferentes posibles, que reciben el nombre de modalidades o
categorías
- Caracteres cualitativos o atributos ( sexo)
- Caracteres cuantitativos o variables (edad)
o Variables discretas: nº finito de valores ( ej: nº de hijos)
o Variables continuas: nº infinito de valores (ej: edades, tiempo, altura)
1
MÉTODO ESTADÍSTICO
FENÓMENO
CONCRECIÓN DEL FENÓMENO
Naturaleza cuantitativa
VARIABLE
X, Y, Z
Naturaleza cualitativa
DATO o VALOR
X1 , X2 , X3 ,.....Xn
VARIABLE
X, Y, Z
MODALIDAD
EJEMPLO:
TIEMPO QUE UTILIZA PARA LLEGAR A TRABAJAR....................Variable continua
EDAD DE UNA PERSONA.....................................................................Variable continua
PERIÓDICO QUE LEE.............................................................................Atributo
Nº DE CIGARROS QUE FUMA AL DÍA................................................Variable discreta
CLASIFICAR UN LOTE DE ACEPTABLA A DEFECTUOSO.............Atributo
Distribución de frecuencias
Conjunto de valores que ha tomado una variable con su frecuencia correspondiente y el nº de veces que se
repite.
Distribuciones tipo I: reducido nº de observaciones y reducido nº de valores distintos (x1, x2, ....xn)
Ej: nº hijos de 6 familias: 0,1,1,2,2, 3
Distribuciones tipo II: nº elevado de observaciones y reducido nº de valores distintos
(x1, n1) (x2, n2)....(xn, nn)
Ej : Empresa con 100 empleados. Nº de hijos
Nº hijos Empleados
0
40
1
30
2
10
3
15
4
5
valores variable nº repeticiones
Distribuciones de tipo III:
nº elevado de observaciones y nº de valores distintos de la variable grande
Li – 1 = extremo inferior
Intervalos (Li – 1 – Li)
Determinar el nº de intervalos a considerar: Entre 5 y 20 intervalos
Seleccionar los límites de cada intervalo
Rango o recorrido de la variable (Re): mayor valor – menor valor
Amplitud (Ci) = Li – Li – 1)
Recorrido (Re) = nº intervalos x amplitud (Ci)
Ci = Re / nº intervalos
Ej : Preguntamos a 60 personas, el nº de desplazamientos que realizan al cabo de un mes a un centro
comercial y se obtienen los siguientes resultados.
213458226532343
285613285324134
876432611122476
435261762538462
2
Elaborar un atabla estadística con datos agrupados en 3 intervalos:
Re = 8 – 1 = 7; Ci = 7 / 3 = 2,3 ≈ 3
Intervalos Nº de personas
( 0 – 3)
30
(3 – 6)
22
( 6 – 9)
8
Total
60
Los intervalos están abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha excepto el 1º intervalo que está
cerrado por las dos.
Marca de clase: Punto medio del intervalo Xi = Li + Li-1 = 1’5, 4’5, 7’5
2
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Frecuencia absoluta
Nº de veces que se repite cada valor de una variable (xj)
n1 + n2 + .......+ ni + ......+ nn = N (frecuencia total)
Frecuencia relativa (fi)
Cociente entre frecuencia absoluta y nº total de datos fi = ni
N
n1 + n2 + .......+ ni + ......+ nn = N = 1
N
N
N
N N
Frecuencia absoluta acumulada (Ni)
Nº de datos igual al considerado e inferiores a él, una vez ordenados de menor a mayor
Frecuencia relativa acumulada (Fj)
Cociente entre la frecuencia acumulada y el nº total de datos Fj = Ni
N
Ejemplo: Tabla de distribución de frecuencias tipo II
Población: Personas que trabajan en un departamento
Variable: Edad (años)
Valores observados: 21, 22, 24, 22, 21, 24,23, 21, 24, 23
Edad Repetición
Frecuencia
absoluta
xi
ni
21
3
22
2
23
2
24
3
10
Frecuencia Frecuencia Frecuencia
relativa
Absoluta Relativa
acumulada Acumulada
Fi = niN
Ni
Fi =Ni / N
0,3
3
0,3
0,2
5
0,5
0,2
7
0.7
0,3
10
1
1
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
REPRESENTACIÓN FENÓMENOS CUALITATIVOS (Atributos)
- Diagramas sectoriales o de pastel
Divide un círculo en sectores según las modalidades del atributo. El área de cada sector es proporcional
al nº de unidades que posee esa modalidad.
- Diagramas de rectángulos o barras
Representa tantos rectángulos como modalidades tenga el atributo. La altura de cada uno es igual a la
frecuencia absoluta de cada modalidad. También se puede usar para la frecuencia relativa.
- Cartogramas
Representación de los datos en un mapa cuando se estudian los valores de una variable en el espacio
(ciudades, provincia, regiones...).
- Pictogramas
Representa una figura alusiva al atributo cuyo tamaño se corresponde con la frecuencia del atributo
3
REPRESENTACIÓN FENÓMENOS CUANTITATIVOS
DISTRIBUCIONES DISCRETAS o NO AGRUPADAS
- Diagrama de barras
Abscisa: valor de la variable
Ordenada: frecuencia absoluta o relativa
- Diagrama en escalera
Abscisa: valor variable
Ordenada: frecuencia acumulada. También frecuencia relativa acumulada
DISTRIBUCIONES AGRUPADAS o VARIABLES
- Histogramas: Se levanta sobre cada intervalo un rectángulo, de área proporcional a la frecuencia
absoluta de ese intervalo. Siempre intervalos de igual amplitud.
-
Polígono de frecuencias (no acumuladas): Se forma al unir los puntos medios de cada intervalo
(marca de clase). Si la amplitud de los intervalos son desiguales, las alturas de los rectángulos
d = densidad de frecuencia
son: di = ni / ci
-
Polígono acumulado o de frecuencias acumuladas: Representa las frecuencias acumuladas. En el
extremo superior de cada intervalo se levanta una ordenada igual a la frecuencia absoluta
correspondiente y se unen. P. Ej; 30 observaciones con valor igual o menor a 3.
También se puede con (Fi) frecuencias relativas acumuladas.
DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS (ii)
MEDIDAS DE POSICIÓN
Las medidas de posición son promedios y pueden ser de tendencia central o no.
Tendencia central
- Media aritmética
Suma de los valores de las variables dividido por el nº total de datos
x = Σni=1 xini
N
Propiedades:
La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto a la media es 0.
La media aritmética queda afectada por los cambios de origen
La media aritmética queda afectada por los cambios de escala
Ventajas:
Sencilla de calcular
Es única
En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución
Inconvenientes: Puede dar lugar a conclusiones falsas si la variable presenta valores anormalmente
extremos.
- Media Aritmética ponderada
Cuando se asocia a los valores de la variable (x1, x2, ....xn) ciertos pesos ( w1, w2,...wn) que dependen
de la importancia de dichos valores. _
X = w1 x1 + w2 x2 +…+ wn xn
w1 + w2 +...+ wn
Ejemplo: De una empresa que opera en 4 provincias , se cono ce la siguiente información:
Provincia Productividad Nº de empleados
Por empleado
Barcelona 0,75
50
Tarragona 0,60
90
Lérida
0,90
150
Gerona
0,85
42
Calcular la productividad media por empleado de la empresa:
_
X = 0,75 x 50 + 0,6 x 90 + 0,9 x 150 + 0,85 x 42 = 0,79
50 + 90 + 150 + 42
4
- Media geométrica
Es la raíz N – ésima del producto de los N valores de la distribución G = √NXn1 . Xn2..........Xnn
Ventajas:
Es única
En su cálculo intervienen todos los valores de la variable
Inconvenientes: Cálculo complicado
Gran influencia de los números pequeños
En ocasiones queda indeterminada (algún valor 0, valor negativo puede dar lugar a un
número imaginario)
-
Media armónica
Es la inversa de la media aritmética de los valores recíprocos de la variable. Sirve para promediar
variables expresadas en productividades, rendimientos. Unidades producidas / Unidad de
producto. El valor 0 o próximo a él no vale
H = N / ∑ni=1 UUni
xi
Ventajas:
Es única y a veces puede ser más representativa
En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución
Inconvenientes:
Cálculo complicado
No es aconsejable su empleo en distribuciones en que existan valores muy
pequeños
No está determinada en distribuciones con valores 0
RELACIÓN ENTRE LOS TRES PROMEDIOS
_
H≤G≤X
-
H = armónica
_
G = geométrica X = aritmética
Mediana
Valor de la variable que, ordenada la distribución, de menor a mayor, deja a su izquierda el
mismo nº de frecuencias (datos u observaciones)que a su derecha. Se usa para promedios de
rentas, salarios, etc.
Es aquel valor de xi correspondiente a la frecuencia cumulada N / 2. Si son impares, el del
centro. Si son pares hay 2 o se hace la media de los 2.
Propiedades:
Ventajas:
Inconvenientes:
La mediana se ve afectada por los cambios de origen y escala
Fácil de calcular
Sólo influyen en ella los valores centrales de la distribución. Se puede calcular
aún desconociendo los valores extremos de la distribución, siempre que se
tenga información de sus frecuencias.
No intervienen todos los valores de la variable (cuando todos los valores son
conocidos)
Ejemplo 1. Calcular el valor mediano
Ni = frecuencia cumulada
Xi ni Ni
1 1 1
3 3 4
5 7 11
7 3 14
9 6 20
20
N/2 = 10; Me = 5
Tipo II
5
Ejemplo 2. Calcular el valor mediano
Li-1 – Li = intervalos en la frecuencia cumulada;
Li-1 – Li
(0-2)
(2-4)
(4-6)
(6-8)
(8-10)
Me = Li-1 + N/2 – Ni-1 . Ci
ni
ni
14
16
28
24
18
Tipo III
ni = frecuencia de intervalos
Ni
14
30
58
82
100
N/ 2 = 100/2 = 50
Me = 4 + 50 – 30 . 2 = 5,43
28
-
Moda
Es el valor de la variable que más veces se repite, y por tanto al que le corresponde la mayor
frecuencia absoluta. No es única (unimodal, bimodal o multimodal). Para representaciones de
tipo I y II.
Ventajas:
Sencillez
Inconvenientes:
No intervienen todos los valores de la distribución
Ejemplo 1. Calcular el valor modal
Xi ni
12 1
13 8
16 3
18 2
20 8
Distribución bimodal: el mismo valor en dos observaciones
Ejemplo 2: En el caso de distribuciones tipo III. Si los intervalos son de igual amplitud
Mo = Li-1 + ni+1 . Ci
ni-1 + ni+1
Li-1 – Li
(0-25)
(25-50)
(50-75)
(75-100)
ni
20
40
100
60
Mo = 50 + 60 . 25 = 65
40 + 60
Si los intervalos son de distinta amplitud. Considerar las densidades de frecuencia
Mo = Li-1 + di+1 . Ci
di-1 + di+1
Li-1 - Li
(0-25)
(25-50)
(50-100)
(100-150)
(150-200)
ni
20
140
180
40
20
400
ci
25
25
50
50
50
di
0,8
5,6
3,6
0,8
0,4
di = ni / ci
Intervalo modal
Mo = 25 + 3,6
. 25 = 45,5
0,8 + 3,6
* En las distribuciones de frecuencias normal (acampanadas y simétricas con respecto a la media), la
media aritmética la mediana y la moda coinciden
6
MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES.
CUANTILES.
Aquellos valores que dividen a la distribución en intervalos, de forma de cada uno de ellos tenga la misma
frecuencia (comprendan el mismo número de valores).
Es el valor que ocupa el lugar (r / k)*N (nº total de datos) de la distribución, considerando la frecuencia
acumulada. La fórmula es igual que la de la mediana pero en vez de N / 2 ....r/k .N
Suele utilizarse para el cálculo de salarios, rentas, etc..
Los más útiles:
Cuartiles: 3 valores de la distribución que la dividen en 4 partes iguales. k =4 r = 1, 2, 3
Deciles: 9 puntos que dividen a la distribución en 10 partes iguales. k = 10 r = 1, 2, ....9
Percentiles: 99 puntos que dividen a la distribución en 100 partes iguales. k = 100 r = 1, 2,....99
Ejemplo: calcular los 3 cuartiles de la siguiente distribución de frecuencias.
Xi
0
10
20
30
40
ni
2
4
7
5
2
20
Ni
2
6
13
18
20
Q1/4 = 10
Q2/4 = 20
Q3/4 = 30
N/4 = 5
2N/4 = 10
3N/4 = 15
MEDIDAS DE DISPERSIÓN.
Las medidas de dispersión sirven para medir el grado de esparcimiento de los datos de una distribución.
Mide la representatividad de un promedio.
ABSOLUTAS.
Recorrido o rango.
Varianza.
Desviación típica.
Recorrido intercuartílico.
Desviación media.
RELATIVAS.
Coeficiente de apertura.
Recorrido relativo.
Coeficiente de variación de Pearson.
Recorridos semiintercuartílico.
Índice de dispersión respecto a la mediana.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS.
Recorrido, rango o campo de variación.
Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la variable.
Re = Max xi (Valor máximo de observaciones) - Min xi (valor mínimo de observaciones)
Es sencillo de calcular, pero no usa todos los valores de la distribución y puede dar lugar a conclusiones
falsas.
7
Varianza.
Indica la dispersión de los datos con respecto a la media. A cada observación se descuenta la media.
Es la media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los valores de la variable con respecto a su
media aritmética.
S2 = Σni=1 (xi – x-)2 . ni = Σni=1 ni xi2 - x- 2
N
N
Mide el grado de representatividad de la media. A mayor varianza, mayor variabilidad y menor
representatividad de la media. Lo más pequeña posible.
Propiedades.
Es siempre positiva o nula.
No le afectan los cambios de origen (por ejemplo sumar una constante). Xi, = xi + k
S2, = S2
,
Le afectan los cambios de escala (si multiplico por una constante). Xi = k2 S2
Inconvenientes.
Sus unidades de medida no coinciden con las del fenómeno de estudio (están al cuadrado).
DESVIACIÓN TÍPICA o STÁNDAR.
Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Lo más pequeña posible. S = + √S2
Propiedades.
Tiene la misma unidad que la variable y las mismas propiedades que la varianza.
RECORRIDO INTERCUARTÍLICO.
Diferencia entre el tercero y el primer cuartil. Ri = Q3 – Q1
DESVIACIÓN ABSOLUTA MEDIA.
Es la media aritmética de las desviaciones, en valor absoluto, de los valores de la variable respecto a la
media.
Dx- = ∑ │xi – x- │ni / N
DME = ∑ni=1 │xi - Me│ ni / N
mínima
Ejemplo los gastos el transporte al día de 200 personas son:
Xi ni
100 20
_
S2 = 57 . 100
300 40
x = 530
500 60
700 50
S = + √ 57 . 100 = 7, 55
900 30
MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVAS.
Permiten establecer comparaciones entre distribuciones heterogéneas.
Son adimensionales y no vienen afectadas por los cambios de escala de la variable.
A menor coeficiente, mayor representatividad del promedio correspondiente.
Coeficiente de apertura.
Cociente entre el mayor y el menor valor de la variable.
Ventajas.
Fácil de calcular.
CA = max (xi)
Min (xi)
Inconvenientes.
Sólo tiene en cuenta los valores extremos.
No puede aplicarse cuando el mínimo valor es 0. Queda afectado por los cambios de origen.
8
Recorrido relativo.
Cociente entre recorrido de la variable y su media aritmética.
Cuantas veces contiene el recorrido de la variable a la media.
Interesa pequeño.
Propiedades.
Queda afectado por los cambios de origen.
No puede usarse si la media es 0.
Rr = Re
x-
Coeficiente de variación de Pearson.
Cociente entre la desviación típica y la media.
Cuanto más cercano a 0, la dispersión es más pequeña y más representativa es la media.
CV = S . 100
x-
Propiedades.
Es adimensional.
Tiene en cuenta todos los valores de la distribución.
Se ve afectado por los cambios de origen.
Recorrido semiintercuartílico.
Rsi = Q3 – Q1
No está afectado por los cambios de origen.
Índice de dispersión mediana.
Q3 + Q1
VME = DME = ∑ni=1 │xi - Me│. ni
Me
Me . N
*El recorrido semiintercuartílico y el índice de dispersión mediana se deben aplicar cuando se utiliza la
mediana como promedio.
Ejemplo: las empresas pertenecientes a un determinado sector presenta de siguiente tamaño.
Tamaño de la empresa
(0-2)
(2-4)
(4-6)
(6-8)
(8-10)
Nº de empresas
110
200
90
75
25
¿Cuál es el número medio de empleados por empresa?.
¿Cuál es el tipo de empresa más frecuente?.
Si sólo existían ayudas para el 50% de las empresas, y éstas se atendieran por empresas de mayor a menor
tamaño, ¿cuántos empleados tendría que tener una empresa para acceder a las ayudas?.
Se supone que a cada empresa sólo le puede corresponder una ayuda.
¿Es representativo el número medio de empleados por empresa?.
Si el coeficiente de variación de Pearson de otros sector es 1,8 ¿cuál de los dos sectores presenta menor
variabilidad?.
Li-1 – Li ni
xi xini X2ini Ni
(0-2)
110
1 110 110 110
(2-4)
200
3 600 1800 310
(4-6)
90
5 450 2250 400
(6-8)
75
7 525 3675 475
(8-10) 25
9 225 2025 500
N = 500
1910 9860
9
El número medio de empleados por empresa es.
_
x = ∑ni=1xini = 1910 = 3,82
N
500
El tipo de empresa más frecuente es el valor modal; el intervalo modal es (2 - 4). ni = 200
Ci = 2
Mo = Li-1 + ni+1 . Ci + 90
. 2 = 2,9
110 +90
ni-1 + ni+1
Para determinar el número de empleados que ha de tener una empresa para que estuviera incluido en el
50% de las que tienen ayuda, calculamos la mediana. N / 2 = 250. El intervalo mediano es (2 - 4).
Me = Li-1 + N/2 – Ni-1 . Ci = 2 + 250 – 110 . 2 = 3,4
200
ni
Para ver si es representativo el número medio de empleados de la empresa, calculamos la desviación
típica.
S2 = ∑ni=1 nixi2 - x –2 = 9860 – (3,82)2 = 5,127
N
500
S = + √S2 = √5,1276 = 2,26
Para comparar con el otro sector calculamos el coeficiente de variación.
CV = S = 2,26 = 0,59
x- 3,82
Presenta una menor variabilidad que el segundo sector considerado, ya que era de 1,8.
NÚMEROS ÍNDICES.
NÚMERO ÍNDICE.
Medida estadística que pone en comparación una magnitud o variable en dos situaciones distintas, una de
las cuales se considera base o referencia.
Índices temporales: las situaciones las determina el tiempo
Ejemplo IPC, IPRI ( precios industriales), IPI (producción industrial)
Índices espaciales o territoriales: las situaciones las determina el área geográfica o territorio.
Ejemplo. Paridades del poder adquisitivo. PPA
ÍNDICES SIMPLES.
Hacen referencia a elementos individuales que no permiten su desagregación en variedades menores.
Ventajas: permiten unir variables que tienen distintas unidades de medida: ejemplo, precio de distintos
alimentos.
Itj = Xtj
X0j
Xtj =Valor de la variable X en el periodo t, para el elemento i.
X0j = Valor de la variable X en el periodo 0, para el elemento i.
Itj = Índice en el periodo t del elemento i.
Según el tipo de variable analizada existen tres tipos fundamentales de índices:
Índices de precios (IPC, IPRI). Índice de cantidad (IPI). Índices de valor (índice de ventas, de comercio)
10
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ÍNDICES
Existencia.
Homogeneidad. Independencia de las unidades de medida.
Identidad. Si coincide el valor inicial con el final. Si t = 0 I = 1
Reversibilidad. Si el origen y el final coincide. La inicial de uno y el final de otro. I0t = 1 / It0
Proporcionalidad. Si una variable se suma una constante, los índices recogen ese cambio.
Xit = Xit + KXit
Ij’ = (1 + k)Ij
Ejemplo se dispone de la siguiente información de vehículos matriculados (anuario y de 1997).
1993
1994
1995
1996
turismos
775.461 938.971 870.497 968.363
motocicletas 50.734 35.150 34.684 31.217
Calcular los números índices simples de cada modalidad, tomando como base el año 1993.
1993 1994 1995 1996
turismos
100 121,08 112,25 124,87
motocicletas 100 69,28 68,36 61,53
Referencia = valor de 1994 / valor de 1993
ÍNDICES COMPLEJOS.
Indicador de la variación experimentada por un grupo de magnitudes simples
Índices simples.
Índice complejo.
Agregación.
El principal problema que resuelven los números índices es el de la heteromensurabilidad.
Los factores a considerar para calcular un índice complejo son.
Fórmula empleada según el tipo de agregación.
Ponderación o peso que se debe dar a cada componente o índices simple.
Ponderaciones
It = f ( Iit , Wi)
Fórmulas según el tipo de agregación.
Media aritmética índices simples.
Media geométrica del índices simples.
Media armónica de índices simples.
_
I = I1 + I2 + ... + Ii + …+ In = ∑I=1N Ii
N
N
IG = √n I1 . I2 . … Ii . …IN = √n ∏Ni=1 Ii
IH =
N
1/I1 + 1/I2 +...1/Ii + …+ 1/IN
= N
∑Ni=1 1/Ii
11
Media agregativa de índices simples. Suma las observaciones en el momento
IA = X1t + X2t +...+Xit + …+ XNt = ∑Ni=1 Xit
X10 + X20 +…+Xi0+…+XN0 ∑Ni=1 Xi0
Si se tiene en cuenta la importancia relativa de cada índice simple dentro del conjunto:
Indices complejos ponderados.
Ponderaciones: W1, W2, ,,, Wi, ,,, WN
Índice media aritmética ponderada.
I* = I1 W1 + I2 W2+...+Ii Wi+…+In Wn = ∑Ni=1 Ii Wi
W1 + W2 + …. + Wi +…+ Wn ∑Ni=1 Wi
Índice media geométrica ponderado.
IG * =
√∑ W
i
i
I1 W1 .... Ii Wi… IN WN = ∑Ni=1 Wi
√∏
N
i =1
IiWi
Índice media armónica ponderado.
I*H = W1 + …+ Wi +…+ WN
1/I1 W1 +…+1/Ii Wi+…+1/IN
Índice media agregativa ponderado.
= ∑I=1N Wi
∑I=1N Wi / Ii
I*A = X1t W1+...+Xit Wi+…+X NtWN =
X10 W1+…+Xi0 Wi+…+XN0 WN
∑I=1N Xit Wi
∑I=1N Xi0 Wi
Cálculo de tasas de variación de índices
La variación de un índice entre 2 situaciones t y t’, con t’< t es:
Vt,t’i = Iti It’I . 100 = [Iti - 1] . 100
It’i
12