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09. PSICOLOGÍA EXPERIMENTAL
09.02. ESTADÍSTICA
09.02.02 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
APLICADA AL ESTUDIO DE
UNA SOLA VARIABLE
sujeto de la media, mientras que las típicas
nos dicen cuántas desviaciones típicas se
separa la puntuación de la media.
PREGUNTAS REPRESENTATIVAS
ORIENTACIONES
Tema en el que se abordan los distintos estadísticos utilizados en el estudio de una sola
variable, desde funciones que nos permiten
saber el valor medio de la distribución, hasta
conocer la posición de una puntuación con respecto a su grupo, o distintos tipos de puntuación. Dentro de la estadística descriptiva, este
tema es de uno de los que más preguntas ha
suscitado en el examen PIR. Es importante
conocer las características de cada uno de los
estadísticos, así como los valores que toman
dichos estadísticos cuando se aplica una transformación lineal sobre la variable.
ASPECTOS ESENCIALES
089. Considerando una variable nominal, la medida descriptiva que tiene sentido es:
1)
2)
3)
4)
5)
La marca de clase.
La dispersión relativa.
La media y la varianza.
La moda.
El coeficiente de variación.
PIR 05, RC 4 (también en PIR 94 −036−, PIR 04 −089−).
111. Se tiene una variable Xi, con un número de personas
en la muestra igual a n, y se genera una nueva variable Yi
a partir de los valores de Xi, siendo: Yi = 2Xi + 3, se conoce la media de Xi (que es X ). ¿Cuánto vale la media de
la variable Yi (Y) ?:
1)
2)
3)
4)
5)
Y
Y
Y
Y
Y
= 2X .
= 2n X .
= 2X + 3 .
= X+3 .
= 2n X + 3n .
PIR 01, RC 3 (también en PIR 01 −120−).
1.
2.
3.
4.
Los estadísticos de tendencia central se
utilizan para saber el valor medio de la distribución, y la utilización de uno u otro dependerá del nivel de medida de la variable.
Los estadísticos de posición nos dan información acerca de la posición relativa de
una puntuación con respecto al grupo que
procede.
Los estadísticos de variabilidad nos hablan
de lo dispersos que están los datos en la
distribución, es decir, la distancia que existe entre las distintas puntuaciones.
Las distintas puntuaciones nos permiten
interpretar la información de formas diferentes. Así, la puntuación diferencial nos
informa sobre los puntos que separan al
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047. Si el CI de un individuo es 95 y ocupa el percentil 30
consideramos que:
1) El 95% de los sujetos se encuentra por encima
del valor.
2) El 70% de los sujetos supera el CI 95.
3) El 30% de los sujetos supera el CI.
4) El 5% de los sujetos se encuentra por debajo del
valor 30.
5) Ninguna alternativa es correcta.
PIR 03, RC 2 (también en PIR 95 −87−, PIR 96 −35−).
082. Para comparar la dispersión de variables que corresponden a poblaciones extremadamente desiguales podemos utilizar:
1) La varianza.
2) La cuasivarianza.
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3) La amplitud intercuartil.
4) La mediana.
5) El coeficiente de variación.
PIR 05, RC 5 (también en PIR 94 −35−, PIR 03 −46−, PIR
96 -36-, PIR 98 −44−).
077. En una distribución de frecuencias, ¿cómo denominamos al número de veces que se repite en la muestra un
determinado valor de la variable o cualquier otro valor
inferior?:
1)
2)
3)
4)
5)
Proporción.
Frecuencia absoluta acumulada.
Porcentaje acumulado.
Frecuencia absoluta.
Frecuencia relativa acumulada.
PIR 13, RC 2.
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UNA SOLA VARIABLE
1. Introducción
2. Organización de los datos
2.1. Concepto y tipos de variable
2.2. Modalidades y clases
2.3. Distribución de frecuencias
2.4. Diagrama de tallo y hojas
2.5. Representación gráfica de la variabilidad:
Diagrama de caja y bigotes
3. Estadísticos de tendencia central
3.1. Media aritmética
3.2. Mediana
3.3. Moda
3.4. Media, mediana, moda y asimetría
3.5. Apuntamiento o curtosis
4. Estadísticos de posición: los cuantiles
4.1. Cuartiles
4.2. Deciles
4.3. Percentiles
5. Estadísticos de variabilidad y dispersión
5.1. Desviación media
5.2. La varianza
5.3. Amplitud total
5.4. Amplitud semi-intercuartil
5.5. Coeficiente de variación
6. Puntuaciones directas, diferenciales y típicas
6.1. Puntuación directa
6.2. Puntuación diferencial
6.3. Puntuación típica
6.4. Otras transformaciones de las puntuaciones
6.5. Interpretación de puntuaciones directas,
diferenciales y típicas
6.6. La curva normal
1. INTRODUCCIÓN
Comenzaremos el estudio de la estadística descriptiva
planteando la organización y presentación de los datos
referidos a una única variable.
A continuación, repasaremos los principales estadísticos
de tendencia central: media, moda, mediana.
Posteriormente haremos lo mismo con los estadísticos de
dispersión o variabilidad: amplitud, varianza, desviación, etc.
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Por último, abordaremos las distintas expresiones que
puede tomar una puntuación: directa, diferencial y típica.
Adelantaremos también algunas ideas acerca de la distribución más común en psicología: la curva normal.
2. ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS
En el tema introductorio comentamos que la primera tarea
de la estadística descriptiva es la recogida de datos; en la
medida que esta tarea exige conocimientos de probabilidad, alteramos el orden y abordamos la organización de
los mismos.
2.1. CONCEPTO Y TIPOS DE VARIABLE
Una variable no es más que una característica (peso, sexo,
longitud, inteligencia, velocidad, número de ensayos, etc.)
que puede manifestarse al menos bajo dos modalidades.
Si una característica no puede manifestarse más que bajo
una sola modalidad consideraremos que la misma es una
constante.
Las variables pueden clasificarse según la escala o nivel
de medida que se les pueda aplicar, esto es, según las
operaciones que con los números atribuidos a sus modalidades se puedan realizar:
Variable cualitativa
Es toda aquella característica que sóIo puede ser considerada a nivel nominal. Como ejemplos podemos citar: sexo,
grupo sanguíneo, nacionalidad, lugar de residencia, profesión, etc. Con los números que se atribuyen a las distintas
modalidades de cada una de las anteriores características
sóIo se pueden verificar relaciones de igualdad-desigualdad. La representación gráfica de las variables cualitativas se realiza con un diagrama de barras, con rectángulos separados de igual base y alturas proporcionales a las
frecuencias (proporciones, porcentajes) correspondientes.
Otras representaciones gráficas posibles son ciclogramas,
pictogramas, diagramas de sectores... El fin de todas ellas
es representar de modo intuitivo las frecuencias de cada
una de las modalidades o clases de modalidades. En este
caso, en el diagrama de barras las modalidades pueden
ser colocadas en cualquier orden porque representan
distintos aspectos, no ordenados, de una característica.
Variable cuasi-cuantitativa
Es aquella característica que puede alcanzar un nivel de
medida ordinal, como máximo. Como ejemplos tenemos:
nivel cultural, clase social, grado académico, etc. Los nú-
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meros atribuidos a sus modalidades sólo muestran relaciones de igualdad-desigualdad y orden. La representación
gráfica más típica de las variables cuasi-cuantitativas es
también el diagrama de barras; sin embargo, en este caso
las clases ya deben ser colocadas según un orden determinado pues representan aspectos ordenados de una
característica.
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Gráfico de barras
Variable cuantitativa
Es toda característica que puede considerarse como mínimo a nivel de intervalos (PIR 00, 12). Como ejemplos:
altura, peso, edad, inteligencia, fuerza física, número de
hijos, extroversión, creatividad, etc. Con los números que
se atribuyen a las modalidades son posibles algunas operaciones aritméticas.
Gráfico de sectores
En las variables cuantitativas es posible distinguir dos
tipos:
• Cuantitativa discreta:
No es posible una modalidad intermedia entre dos modalidades determinadas: uno tiene dos o tres hijos, pero no 2,5
hijos. Cuando se Ianza un dado, son posibles resultados
enteros del 1 al 6, jamás un resultado del tipo 3,3.
• Cuantitativa continua:
Histograma y polígono de frecuencias
Es una característica que admite una modalidad intermedia
entre dos cualesquiera. Una persona puede pesar 60 kg.,
pero también 60,3 Kg., o bien 60,78 kg. Si existen limitaciones a los valores intermedios proceden más del instrumento de medida (sensibilidad de la báscula en este caso)
que de Ia variable en sí. Otros ejemplos serían la fuerza
física, la longitud, la inteligencia, la extraversión o el tiempo
que tarda un paciente en abandonar el hábito tabáquico
(PIR 12, 16), etc.
La representación gráfica de estas variables se realiza
mediante histogramas y polígonos de frecuencias (acumuladas o no acumuladas). En el histograma, se levantan
rectángulos consecutivos cuya base se corresponde con la
amplitud de los intervalos y cuya altura (y área) es proporcional a la frecuencia (proporción o porcentaje) del intervalo correspondiente. Si los rectángulos no tienen la misma
amplitud, el área de cada rectángulo es proporcional a la
correspondiente frecuencia pero no así la altura; sin embargo, este caso no suele ser habitual porque normalmente se emplean intervalos de la misma amplitud.
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Pictograma
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una de ellas. La suma de todas las frecuencias nos Ileva al
“n” total de la muestra.
2.2. MODALIDADES Y CLASES
Las variables pueden contener un número elevado de
modalidades; por ejemplo en el caso de la variable “peso”
definida sobre un conjunto amplio de individuos puede dar
lugar a un número elevado de modalidades o pesos (aunque algunos individuos coincidan en el peso). En estos
casos es más práctico agrupar las modalidades en clases.
Cada clase abarcaría un número determinado de modalidades; en nuestro ejemplo una clase contendría las modalidades o pesos de 50 a 59 kg, la siguiente de 60 a 69 kg,
etc. Las clases deben ser mutuamente exclusivas, de
modo que ninguna modalidad pueda pertenecer a más de
una, y exhaustivas, con el fin de que toda modalidad posible pertenezca necesariamente a alguna clase.
En la siguiente columna nos encontramos con las Proporciones (o frecuencias relativas) de cada clase, obtenidas
por el cociente entre la frecuencia absoluta de cada clase y
el número total de observaciones (en todas las clases). La
suma de todas las proporciones será igual a uno. Ej.: 1/10
= 0,1.
En la última columna se registran los Porcentajes de cada
clase, que resultan de multiplicar la proporción o frecuencia
relativa de cada clase por 100. El total del porcentaje
siempre es 100, obviamente. Ej.: 0,1 x 100 = 10.
Para representar esa exclusividad se utilizan paréntesis y
corchetes. Así, si el intervalo comienza con un paréntesis
implica que el dato que sigue al paréntesis no corresponde
a ese intervalo, mientras que si le acompaña un corchete
sí que lo hará.
El conjunto de los anteriores índices (frecuencias, proporciones o porcentajes) junto con sus respectivas clases o
sus correspondientes números asignados, conforman una
distribución de frecuencias. Ésta puede expresarse en el
cuadro representado o bien mediante un Diagrama de
barras o un Pictograma.
Por ejemplo, en el intervalo (50-60], el 50 no entraría en
este intervalo, mientras que sí que lo haría el 60.
2.3.1. Frecuencia, proporción y porcentajes acumulados
2.3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Además de los anteriores índices suele emplearse la Frecuencia acumulada (con sus respectivas proporciones
acumuladas y porcentajes acumulados). Este índice se
emplea con las variables cuasi-cuantitativas (nivel ordinal)
y con las cuantitativas.
Supongamos que encuestamos a una muestra de 10 sujetos acerca de su afiliación política, posteriormente las
distintas modalidades (en este caso partidos políticos a los
que pertenecen) las agrupamos en tres clases (Izquierda,
Centro y Derecha). En este ejemplo la variable es cualitativa y por tanto situada a un nivel de medida nominal.
Tras recoger los datos procedemos a organizarlos del
siguiente modo:
Frecuencia
(fa)
Proporción
(p)
Porcentaje
Izquierda
Centro
Derecha
1
5
4
0,1
0,5
0,4
10
50
40
TOTALES
10
1,0
100
AFILIACIÓN
En la primera columna tenemos las tres clases en las que
hemos agrupado las modalidades; al ser una variable a
nivel nominal no importa en qué orden se organicen las
clases, el resultado sería el mismo si se alterase su presentación.
En la siguiente columna figuran las Frecuencias (también
denominadas Frecuencias absolutas) de cada clase, esto
es, el número de observaciones contenidas dentro de cada
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Supongamos que investigamos la distribución de frecuencias de la característica o variable “clase social” en una
muestra de 50 estudiantes de psicología de un centro
universitario. Tras la recogida de datos organizamos las
distintas modalidades en cuatro clases: alta, media alta,
media media, media baja y baja. Como es una variable
de nivel ordinal (son verificables entre las modalidades las
relaciones de igualdad-desigualdad y orden) al asignarles
números debe respetarse el orden. En la siguiente tabla
recogemos la distribución de frecuencias obtenida:
CLASE
SOCIAL
Frec.
Prop.
Porc.
Fr.
ac.
Prop.
ac.
Porc.
ac.
Alta (5)
Media alta (4)
Media media (3)
Media baja (2)
Baja (1)
4
6
20
12
8
0,08
0,12
0,40
0,24
0,16
8
12
40
24
16
50
46
40
20
8
1,00
0,92
0,80
0,40
0,16
100
92
80
40
16
TOTALES
50
1,00
100
La Frecuencia acumulada de la clase baja es su Frecuencia absoluta; la Frecuencia acumulada de la clase media
baja se forma sumando la Frecuencia absoluta de la clase
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baja y de la media baja (ej.: 8 + 12 = 20); la Frecuencia
acumulada de la clase media media es el resultado de
sumar las Frecuencias absolutas de las clases baja, media
baja y media media. El resto de las Frecuencias acumuladas se obtiene del mismo modo, tal que la Frecuencia acumulada de la clase superior coincide con el número total de
observaciones de la muestra o sumatorio de las frecuencias
absolutas. Por lo tanto, llamaremos Frecuencia Absoluta
Acumulada al número de veces que se repite en la muestra un determinado valor o cualquier otro valor inferior (PIR
13, 77). Mientras que la Frecuencia Relativa Acumulada
(o Proporción acumulada) de un determinado valor, sería
el cociente entre su Frecuencia Absoluta Acumulada y el
tamaño de la muestra.
Hemos de tener en cuenta que la Proporción acumulada
de la clase superior igual a 1, y el Porcentaje acumulado
igual a 100.
2.3.2. Distribución de frecuencias en variables cuantitativas continuas
El tiempo es una variable cuantitativa continua, pues admite siempre modalidades intermedias entre dos modalidades cualesquiera. No obstante, como sucede con otras
muchas variables de este tipo, la realidad obliga a considerar un número finito de posibles modalidades, consecuencia de los instrumentos de medida. Si tenemos un cronómetro cuya unidad de medida más pequeña es la centésima parte de un segundo, y lo utilizo para medir los tiempos
de reacción en una tarea, las medidas obtenidas serán
siempre del tipo 0,56; 0,57; 0,58; etc. Aunque el tiempo es
una variable continua, nuestro instrumento la convierte en
discreta pues no permite distinguir modalidades entre 0,56
y 0,57, por ejemplo.
Sin embargo existe un modo de guardar la continuidad de
una variable, pues podemos suponer que cada valor discreto representa a todos los infinitos valores situados media unidad de medida a su izquierda y media unidad a su
derecha. Como se puede observar en el dibujo, la modalidad 0,57 segundos es convertida en una clase que contiene todas las infinitas modalidades que van desde 0,565
sgs. hasta 0,575 sgs. Y lo mismo podemos decir del resto
de los tiempos.
intervalo
elemental
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Cada una de estas clases se define como intervalo elemental; en el caso de la clase o intervalo representado por
0,57, diremos que el valor 0,565 es el límite exacto inferior de dicho intervalo, siendo 0,575 el límite exacto superior. Obviamente, estos valores serán a su vez los límites correspondientes de los intervalos superior e inferior.
El intervalo elemental siempre lleva asociada una amplitud
equivalente a la unidad (media unidad por debajo y media
unidad por encima). Ahora bien, el intervalo compuesto (o
intervalo sin más) se compone de varios intervalos elementales consecutivos.
Supongamos que tras un examen la nota más baja es 2 y
la más alta 10. Podríamos definir intervalos elementales (1,
2, 3, …, etc.) o bien agrupar varios intervalos elementales
para formar un número menor de intervalos compuestos;
en este caso cogemos tres:
 1,5-4,5 (Comprende los intervalos elementales 2, 3 y 4).
 4,5-7,5 (Intervalos elementales 5, 6 y 7).
 7,5-10,5 (Intervalos elementales 8, 9 y 10).
Los tres intervalos representados figuran con sus límites
exactos inferiores y superiores, ahora bien, es posible
nombrarlos de otro modo, a saber:
 2-4.
 5-7.
 8-10.
En una distribución de frecuencias los intervalos aparecen
de este modo, siendo estos límites denominados límites
aparentes.
Por amplitud de un intervalo se entiende la diferencia
entre su límite exacto superior y su límite exacto inferior
(en nuestro último ejemplo la amplitud del intervalo 2-4, así
como Ia del resto, es de tres unidades, pues: 4,5 − 1,5 =
3). El punto medio de cada intervalo es la media aritmética de sus dos límites exactos (en nuestro último ejemplo el
punto medio del intervalo 2-4 es tres unidades, pues: 1,5 +
4,5/2 = 3).
La amplitud total de una serie de valores numéricos es la
diferencia entre el límite exacto superior del intervalo máximo y el límite exacto inferior del intervalo mínimo; en
nuestro ejemplo la amplitud total es: 10,5 − 1,5 = 9.
Cuando agrupamos una serie de datos en intervalos estamos haciendo más manejable la información, al reducir el
número de categorías o modalidades, sin embargo tam-
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bién distorsionamos el conjunto de los datos, pues, por
ejemplo, todas las calificaciones de los alumnos que comprendan desde el 1,5 hasta el 4,5 se registrarán bajo el
intervalo 2-4, y a efectos de cálculo estadístico, se consideran equivalentes a su punto medio, esto es, la puntuación 3.
2.4. DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS
El diagrama o gráfico de tallo y hojas es una alternativa a
la representación gráfica de distribuciones de frecuencias
que sirve también para resumir y exponer conjuntos de
datos de una variable cuantitativa. Fue ideado por Tukey
(1977) en el contexto del enfoque denominado análisis
exploratorio de datos.
Aunque no es exactamente una representación gráfica,
sino una construcción utilizada para la descripción de variables cuantitativas (discretas o continuas), representa la
particularidad de permitir visualizar globalmente la distribución de frecuencias manteniendo la individualidad de los
datos.
De este modo, los pasos a seguir son los siguientes:
− Se identifican los valores máximo y mínimo observados.
− Se toma una decisión acerca del número más apropiado
de tallos distintos (en general, un número de tallos entre 5
y 20 suele ser apropiado).
− Se listan todos los tallos distintos en una columna, ordenados de forma creciente de arriba hacia abajo.
− Se escribe cada hoja junto al tallo que le corresponda,
preferiblemente ordenados según su valor.
Las ventajas del Diagrama de tallo y hojas son:
a) Permite identificar cada puntuación individual.
b) Ofrece simultáneamente tanto un listado de puntuaciones como un dibujo de la distribución (si tumbamos el
diagrama obtenemos una especie de histograma).
c) Es más fácil de modificar para obtener un dibujo con un
nivel de detalle distinto de la distribución ya que contiene
los valores de cada observación.
d) Pueden representarse dos conjuntos de datos simultáneamente en el mismo diagrama, con lo que se facilita la
comparación.
e) Permite identificar datos atípicos.
Veámoslo con un ejemplo. El diagrama de tallo y hojas
representa las edades de una muestra de pacientes que
fueron hospitalizados por presentar un brote psicótico por
primera vez.
La amplitud tomada para el tallo es de diez, por lo que en
la línea de tallos tenemos las decenas y en las hojas, las
unidades.
Edad ingreso hospitalario
Para su obtención, se redondearán los datos a dos o tres
cifras significativas, tomándose como tallos la primera o
dos primeras cifras de cada dato y como hojas las últimas
cifras de cada dato. A continuación, separados por un
punto, se dispondrán los tallos a la izquierda y las hojas a
la derecha del tallo correspondiente. De esta manera cada
tallo, que se representa una sola vez, define una clase y el
número de hojas representa la frecuencia de dicha clase.
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Frecuencia
8
3
3
2
0
1
Tallo y Hojas
2 . 02344556
3 . 225
4 . 688
5 . 18
6.
7.6
Así, vemos en este gráfico que hay 8 personas que han
tenido el primer brote psicótico que requirió ingreso hospitalarios con veintitantos años, 3 con treinta y tantos, 3 con
cuarenta y tantos… Además, podremos observar que un
sujeto tuvo este primer brote psicótico con 20, otro con 22,
otro con 23, dos con 24, dos con 25 y uno con 26. Así
podríamos hacer con todas las frecuencias.
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El gráfico de tallo y hojas nos sirve, igual que el diagrama
de caja, para identificar la presencia de valores atípicos.
Obsérvese que, a la luz de estas distribuciones del ejemplo, podríamos plantearnos si es posible que una persona
presente un primer brote más allá de los 60 años y qué
hacer con esos casos.
2.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA VARIABILIDAD: DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTES
La técnica desarrollada por Tukey denominada caja y
bigotes (box and whiskers), también conocida como diagrama o gráfico de caja (boxplot), es una representación
gráfica que transmite de una manera directa y simple la
variabilidad observada en un conjunto de valores. Para la
construcción de esta representación, se calculan previamente la mediana, los cuartiles Q1 y Q3 (PIR 02, 171) y los
valores extremos LI y LS, siendo LI (límite inferior) la menor observación mayor o igual que [Q1 – 1,5 (Q3 − Q1 )] y
LS (límite superior) la mayor observación menor o igual
que [Q3 + 1,5 (Q3 − Q1 )]. Las observaciones que caen
fuera del intervalo (LI, LS) se consideran datos atípicos.
Para la representación gráfica se marcan señales de tal
forma que las distancias entre ellas sean proporcionales a
las distancias entre la puntuación máxima, la mínima y los
tres cuartiles. Con los tres cuartiles se forma una especie
de ficha de dominó (la caja), cuya longitud se corresponde
con el recorrido intercuartílico. Aunque en el gráfico que
sirve como ejemplo la mediana se encuentra en el medio
de la caja, no tendría que ser obligatoriamente así, ya que
podemos encontrárnosla en cualquier punto dentro de la
caja. Podemos observar que: si la mediana está en la parte
inferior de la caja, entonces los datos son asimétricos
positivos; si la mediana se aproxima a la parte superior de
la caja diremos que la distribución es asimétrica negativa.
A los lados se añaden dos prolongaciones (los bigotes)
que se corresponden con 1,5 veces la longitud de la caja.
Los valores que se distancian entre 1,5 y 3 longitudes de
caja se denominan outliers. A los valores que se distancian
3 longitudes o más se les conoce como extremos (extreme) (PIR 11, 257).
Así, observando este tipo de gráficos podemos determinar
la tendencia central (mediana), la variabilidad de los datos
(longitud de la caja), identificar la posible presencia de
observaciones atípicas (valores extremos y outliers) y
valorar la asimetría (según la posición de la mediana respecto a la caja.
3. ESTADÍSTICOS DE TENDENCIA
CENTRAL
Los estadísticos de tendencia central indican cuál es la
puntuación global de un grupo de puntuaciones.
3.1. MEDIA ARITMÉTICA
Si tenemos n valores numéricos, la media aritmética viene
definida por su suma dividida por el número de valores:
X = x1 + x 2 +  + x n
/n = Σx /n
i
En el caso de que los datos estén agrupados en intervalos
Ia fórmula varía:
X = n1x1 + n2 x 2 +  + nr x r
/n + n
1
2
+  + nr = Σ nj x j
/n
n1 ... nr = Número de observaciones o frecuencia absoluta
en cada uno de los intervalos.
X1 ... Xr = Puntos medios de cada uno de los intervalos.
n = Número total de observaciones.
Ej.: 4, 6, 5, 8, 3; X = 26 5 = 5,2
El valor de la media aritmética calculado a partir de un
conjunto de valores numéricos no agrupados en intervalos
diferirá generalmente si se calcula agrupando los misrnos
datos en intervalos. Solamente coincidirán ambas medias
si el agrupamiento en intervalos se realiza definiendo intervalos elementales (intervalos de amplitud unidad).
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La media aritmética es un estadístico de tendencia central
apropiado para variables cuantitativas (nivel de medida
de intervalos o superior).
3.1.1. Propiedades de la media aritmética
• La suma de las diferencias de n puntuaciones respecto a
su media vale cero:
Σ (X i − X) = (X1 − X) + (X 2 − X) +  + (X n − X) = 0
• Si a un conjunto de valores numéricos (con un nivel de
medida de intervalos o superior) le aplicamos una transformación admisible del tipo: (Y = aX + b), la media aritmética sufrirá idéntica transformación (PIR 01, 111, 120):
X
Y = aX + b
X1
aX1 + b
X2
aX2 + b
X3
aX3 + b
X
Y = aX + b
Con un ejemplo lo veremos fácilmente:
Además de la media aritmética, que es generalmente a la
que nos referiremos cuando hablemos de media sin especificar, existen otros tipos de medias. A continuación presentaremos las principales:
Medias robustas: son aquellas que se ven menos afectadas por los datos atípicos.
• Media recortada: excluir en el cálculo un porcentaje
de los casos extremos de la distribución.
• Media winsorizada: en lugar de excluir un porcentaje
de casos extremos, se sustituyen estos por el valor inmediatamente superior o inferior a ese porcentaje de
valores.
• Media central: es el promedio de la parte central de
la distribución.
Trimedia (o mediana recortada): índice ponderado que
utilizada los tres cuartiles para su cálculo.
X TRI = (Q1 + 2Q2 + Q3 )/4
X
Y = 2X + 3
1
5
2
7
3
9
X =2
Y =7
Meda: mediana de las desviaciones absolutas de la mediana. En el intervalo mediana +/− meda se encuentra, al
menos, el 50% de las observaciones.
MEDA = Mdn |xi − Mdn|
• La media puede considerarse el “centro de gravedad” de
una distribución de frecuencias, esto es, si representamos
una distribución de frecuencias mediante un histograma, Ia
media será aquel punto en el eje de abscisas que permitiría mantener en equilibrio la distribución.
• La media no es el estadístico más apropiado cuando la
distribución es muy asimétrica, esto es, cuando existen
una o muy pocas puntuaciones en uno de sus extremos,
ya que es muy sensible a las variaciones de los datos.
• Si tenemos r grupos con n1, n2, ..., nr puntuaciones cada
uno, y siendo X1 , X 2 , ..., X r sus correspondientes medias, entonces Ia media del conjunto de n puntuaciones es
la siguiente:
/
X = (n1X1 + n2 X 2 +  + nr X r ) n
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3.1.2. Clases de medias
Media ponderada:
Es una media aritmética calculada sobre puntuaciones a
las que el investigador otorga pesos específicos. En su
fórmula, en el numerador se suman las puntuaciones,
multiplicadas cada una de ellas por su peso específico. En
el denominador figura la suma de los pesos de todas las
puntuaciones:
/
X = (n1X1 + n2 X 2 +  + nr X r ) (n1 + n2 +  + nr )
Medias aritméticas generalizadas:
Dentro de lo que se denomina “medias aritméticas generalizadas” se incluyen la media geométrica, la media armónica y la media cuadrática. Su nombre hace referencia al
hecho de que haciendo alguna transformación sobre estas
medias aritméticas generalizadas podríamos llegar a la
media aritmética.
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09.02. ESTADÍSTICA
137
• Media geométrica:
• Media cuadrática:
La media geométrica de n valores es la raíz enésima
del producto de esos n valores:
La media cuadrática de n valores es la raíz cuadrada
de la media aritmética de los cuadrados de esos n valores. Expresado matemáticamente sería:
X g = n (X1) (X 2 )  (Xn )
Si los datos estuvieran agrupados en intervalos la fórmula sería la siguiente:
Xg =
n
(X 1 )n1 (X 2 )n2  (X n )nr
La media geométrica es un valor tal que su logaritmo
es igual a la media aritmética de los datos. La media
geométrica se usa con más frecuencia que la aritmética
en investigaciones sobre promedios de tiempos o de
razones (PIR 04, 90).
2
1
+ (X 2 )2 +  + (X n )2
}/n
Para datos agrupados en intervalos:
Xc =
n1, n2, ..., nr = número de observaciones o valores en
cada intervalo.
X1 ... Xr = Puntos medios de cada uno de los intervalos.
n = Número total de observaciones.
{ (X )
Xc =
{ n (X )
2
1
1
+ n2 (X 2 )2 +  + nr (X r )2
} /n
n1, n2, ..., nr = Número de observaciones o valores en
cada intervalo.
X1 ... Xr = Puntos medios de cada uno de los intervalos.
n = Número total de observaciones.
La media cuadrática es un valor tal que su cuadrado es
igual a la media aritmética de los cuadrados de los datos. Esta media se utilizará, por ejemplo, en los cálculos necesarios en el ANOVA.
• Media armónica:
3.2. MEDIANA
La media armónica de n valores es el recíproco de la
media aritmética de los recíprocos de esos n valores. Si
nos fijamos en la fórmula, la definición resulta más sencilla:
La mediana es el punto o valor numérico que deja por
debajo el 50% de las observaciones. Es un estadístico de
tendencia central (aunque también de posición) que admite
ser calculado para variables cuantitativas discretas e incluso para cuasi-cuantitativas, no obstante lo más frecuente
es que se utilice en variables cuantitativas continuas.
/
/
X a = 1 (1/ X1 + 1/ X 2 +  + 1/ X n ) n
Si los datos estuviesen agrupados en intervalos:
/
/
X a = 1 (n1 / X1 + n2 / X 2 +  + nr / X r ) n
n1, n2, ... nr = Número de observaciones o valores en
cada intervalo.
X1 ... Xr = Puntos medios de cada uno de los intervalos.
n = Número total de observaciones.
La media armónica es un valor tal que su recíproco es
igual a la media aritmética de los recíprocos de los datos. Se suele emplear en cálculos en los que la variable
pone en relación diferentes unidades de medida, como
por ejemplo la velocidad (espacio/tiempo), siendo estas
variables muy comunes en estudios de psicofísica, por
ejemplo.
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Su cálculo varía en función de si los datos se agrupan en
intervalos o no.
3.2.1. Cálculo de la mediana en datos no agrupados
en intervalos
En primer lugar tenemos que ordenar todas las puntuaciones de menor a mayor, para a continuación proceder del
siguiente modo según que el número de observaciones
sea par o impar:
Número impar de observaciones:
Ej.: 3, 2, 6, 8, 1. Ordenados: 1, 2, 3, 6, 8.
La mediana es la puntuación u observación que ocupa el
lugar central.
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09.02. ESTADÍSTICA
(
Número par de observaciones:
/ )
Md = L i + ((n / 2) − nb ) nd I
Ej.: 3, 2, 6, 8, 1, 9. Ordenado: 1, 2, 3, 6, 8, 9.
(3 + 6)/2 = 4,5.
La mediana es la media aritmética de las puntuaciones
correspondientes a las dos observaciones que ocupan los
lugares centrales.
3.2.2. Cálculo de la mediana en datos agrupados en
intervalos
Supongamos que tenemos una muestra de 72 alumnos y
sus correspondientes puntuaciones en un examen tipo test
(la puntuación más baja obtenida ha sido de 10 y la más
alta de 34); a continuación elaboramos una distribución de
frecuencias agrupando los datos en intervalos y registrando en cada uno de ellos la frecuencia absoluta o número
de alumnos que han obtenido una puntuación correspondiente a dicho intervalo:
PUNTUACIONES
FRECUENCIA
30-34
25-29
20-24
15-19
10-14
8
18
20
16
10
72
Antes de aplicar la fórmula del cálculo de la mediana hay
que localizar el intervalo crítico. Como la mediana es la
puntuación que deja por debajo y por encima el 50% de
observaciones, y dado que el n de observaciones en nuestro ejemplo es de 72, la mediana se corresponderá aquí
con la puntuación que deje por debajo y por encima 36
observaciones. El intervalo crítico es entonces aquél que
contenga dicha puntuación; si nos fijamos en la distribución
la puntuación 14 (límite aparente superior del primer intervalo) deja por debajo sólo 10 observaciones, por lo tanto la
mediana no puede estar en él. En el siguiente intervalo el
límite aparente superior deja por debajo (16 + 10) = 26
observaciones, luego tampoco puede contener la mediana.
El límite aparente del intervalo superior sin embargo se
pasa, pues deja por debajo (10 + 16 + 20) = 46 observaciones. Es precisamente en el intervalo 20-24 (o más exactamente 19,5-24,5 si lo expresamos con los límites exactos) donde se encuentra la mediana, la puntuación que
deja por debajo y por encima 36 observaciones.
Una vez localizado el intervalo crítico empleamos la siguiente fórmula para localizar la mediana:
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Li = Límite exacto inferior del intervalo crítico (19,5).
(n/2) = Mitad o 50% de las observaciones (72/2).
nb = Número de observaciones bajo el intervalo crítico (26).
nd = Número de observaciones dentro del intervalo crítico
(20).
I = Amplitud del intervalo crítico (5).
Md = Mediana (en nuestro ejemplo corresponde a la puntuación 22).
La mediana puede obtenerse mediante la misma fórmula
pero utilizando el límite exacto superior del intervalo crítico
en lugar del inferior, y el número de observaciones por
encima del intervalo crítico en vez del número de observaciones bajo el intervalo.
3.2.3. Propiedades de la mediana
• La suma de las diferencias, en valor absoluto, de n puntuaciones respecto a su mediana es igual o menor que la
suma de las diferencias, en valor absoluto, de esas puntuaciones respecto a cualquier otro valor.
• La mediana es menos sensible que la media a las variaciones de cada una de las puntuaciones. En algunos casos
puede quedar invariable, cosa que en muchas ocasiones
no sucede con la media (basta que varíe una sola de las
puntuaciones para que ésta varíe).
• La mediana es un punto tal que la vertical levantada
sobre el mismo, divide el área total del histograma en dos
áreas con idéntica superficie. Es importante precisar que la
mediana no tiene porqué coincidir con la media. Cuando la
distribución es muy asimétrica es preferible como estadístico de tendencia central a la media.
• Dados r grupos con sus correspondientes medianas, la
mediana del grupo total es igual o mayor que la mediana
mínima e igual o menor que la máxima.
3.3. MODA
La definición de la moda varía según que la variable sobre la
que se defina se encuentre a un nivel de medida de intervalos o razón, ordinal o nominal (PIR 04, 89; PIR 05, 89).
Además, se distingue de la media y la mediana en que no
necesariamente es única, pues en una distribución pueden
existir dos o más modas, si a varios valores o categorías les
corresponda una idéntica frecuencia máxima. En el caso de
que solo haya una moda, hablaremos de distribuciones
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09.02. ESTADÍSTICA
139
unimodales, mientras que si existe más de una moda, estaremos ante distribuciones multimodales.
3.3.1. La moda a nivel de intervalos o razón
• Datos no agrupados:
Es la puntuación a la que corresponde frecuencia máxima,
esto es, la puntuación que más se repite.
Ej.: 2, 4, 8, 2, 6. Moda: 2.
• Datos agrupados en intervalos:
Es el punto medio del intervalo al que corresponde frecuencia máxima. Considerando como ejemplo la distribución de frecuencias citada en el epígrafe de la mediana, en
ésta la moda es la puntuación 22, pues es el punto medio
del intervalo (20-24), al que corresponde la frecuencia
máxima (20 observaciones).
* En las distribuciones asimétricas positivas encontraremos más
frecuencia de valores bajos.
Una distribución será asimétrica negativa cuando la cola
de la distribución vaya hacia la izquierda. En este caso
ocurrirá al contrario, y nos encontraremos antes el valor
medio de la distribución que el valor que deja por debajo
de sí al 50% de los datos. Dicho de otra manera, la mediana será mayor que la media (PIR 02, 160; PIR 03, 48).
3.3.2. La moda a nivel ordinal
Es la categoría o el valor ordinal al que corresponde la
frecuencia máxima. En el epígrafe 2.3.1 presentábamos un
ejemplo de distribución de frecuencias en una variable de
nivel ordinal (clase social). En dicha distribución la moda
es la categoría media media o valor numérico 3, pues le
corresponde la frecuencia más alta de toda la distribución
(20 observaciones o sujetos pertenecen a dicha clase).
3.3.3. La moda a nivel nominal
Es muy similar a la moda a nivel ordinal, pues se trata de
la modalidad o categoría nominal a la que corresponda la
frecuencia máxima. En el ejemplo de distribución de frecuencias del apartado 2.3 (afiliación política), con una
variable a nivel nominal, la moda se corresponde con la
categoría nominal centro.
3.4. MEDIA, MEDIANA, MODA Y ASIMETRÍA
Si la distribución es simétrica media y mediana coincidirán
en el mismo valor, y también con la moda (si es unimodal)
tal y como ocurre en la curva normal (PIR 14, 227).
Una distribución será asimétrica positiva cuando la cola de
la distribución vaya hacia la derecha. En este caso, la
mediana será menor que la media, ya que es más probable que encontremos antes el valor que deje por debajo al
50% de la muestra que el valor medio de la distribución.
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* En las distribuciones asimétricas negativas existirá más frecuencia de valores altos.
3.5. APUNTAMIENTO O CURTOSIS
La curtosis se refiere al apuntamiento o aplanamiento
de la gráfica, lo que tiene su origen en que las frecuencias
de la moda y las de los valores próximos a ella superen en
mayor o menor grado las correspondientes a los restantes
valores de la variable. Por ello, las medidas de apuntamiento o curtosis tienen significado válido sólo en el caso
de distribuciones con simetría o ligera asimetría y unimodales, tratando de medir la mayor o menor cantidad de
datos que se encuentran próximos a la moda:
− Si hay gran cantidad de datos agrupados en torno a la
moda (frecuencias altas para valores próximos a la moda),
la gráfica será muy apuntada en esa zona, y se dice que
es de tipo leptocúrtico:
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09.02. ESTADÍSTICA
los sujetos se distribuyen por un amplio intervalo de valores y el número de sujetos en torno a la moda sería solo
ligeramente superior al resto de valores (distribución platicúrtica) (PIR 12, 19).
El grado de apuntamiento de una distribución estadística
puede calcularse mediante determinados estadísticos, uno
de los cuales es el coeficiente de apuntamiento de Fisher, según el cual:
− Si la cantidad de datos próximos a la moda es sólo moderadamente alta con relación a las demás frecuencias,
entonces se dice que la gráfica es de tipo mesocúrtico
(ej.: curva normal):
− Un valor 0 o muy próximo a 0 implica una distribución de
tipo mesocúrtico.
− Un valor positivo implica una distribución de tipo leptocúrtico (PIR 05, 83).
− Un valor negativo implica una distribución de tipo platicúrtico.
La fórmula es la siguiente:
Coeficiente de apuntamiento de Fisher =
 (xi − x)4 ⋅ n − 3
Ap =
N ⋅ S4
siendo: Ap: coeficiente de apuntamiento
S4: desviación típica elevada a 4
xi: valor cualquiera (“i”) de la distribución o marca
de clase del intervalo (valor central del intervalo)
x: media total
ni: frecuencia correspondiente al valor “xi”
N: muestra total
− Si la cantidad de datos agrupados en torno a la moda es
sólo ligeramente superior al resto de los valores, la gráfica
tiende más al aplanamiento que al apuntamiento y se dice
que es de tipo platicúrtico:
Cuando en una distribución existe mínima variabilidad
significa que los sujetos se mueven todos en un intervalo
de valores muy pequeño. Esto, en otras palabras, significa
que muchos de los sujetos se agrupan en torno a la moda
(distribución leptocúrtica). Si la variabilidad es muy grande,
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4. ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN:
LOS CUANTILES
Los estadísticos de posición nos indican la situación o
posición de una puntuación o valor numérico con respecto
al grupo del que procede. Aunque los estadísticos de tendencia central son considerados también estadísticos de
posición, los cuantiles son un ejemplo más paradigmático
de este tipo de medidas. Los cuantiles son valores que
permiten estudiar la posición relativa de un individuo en
una variable (PIR 03, 43). Se pueden definir también como
un conjunto de K puntos que permiten dividir la distribución
en K+1 partes iguales. Los más conocidos son los cuartiles, los deciles y, muy especialmente, los centiles o percentiles. Todos ellos constituyen una escala ordinal, sin
unidad de medida constante, y, por tanto, no se da igualdad de diferencia (es decir, la distancia entre el centil 98 y
el 99 no es la misma que la distancia entre el 50 y el 51), y
en general las distancias son mayores en los extremos de
la distribución que en el centro (PIR 03, 69; PIR 04, 83;
PIR 05, 92). Por ejemplo, si estamos ante una distribución
normal de CI, entre el centil 50 y 53 habrá un 3% de la
muestra, al igual que entre el centil 96 y 99. La diferencia
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está en que el centil 50 se corresponde con la puntuación
100, y el 53 con la puntuación 101. En cambio, con valores
extremos, la diferencia entre puntuaciones puede ser mucho mayor (la puntuación que ocupa el centil 96 es 127,
mientras que el centil 99 es 134).
141
En este sentido el percentil “J”, será, genéricamente, aquella puntuación que deje por debajo de sí a J% de observaciones (PIR 02, 154; PIR 08, 192). Por ejemplo, el percentil
15 (P15) será la puntuación que deja por debajo del sí al
15% de los datos.
El percentil ya no es necesariamente un índice de tendencia central, pues por ejemplo el percentil 5 se encuentra
alejado de la mediana por definición. Sí lo es, sin embargo
de posición, pues nos indica qué proporción de observaciones se encuentran por encima y por debajo de una
puntuación dada. Si obtenemos en un examen una calificación de 7 y queremos compararnos con el rendimiento
de los demás alumnos, un modo eficaz puede ser identificar el percentil que corresponde a la puntuación 7. Si éste
es elevado, entenderemos que un gran porcentaje de
sujetos ha obtenido notas inferiores a la nuestra. Si por el
contrario es bajo, concluiremos que la mayoría de los sujetos ha obtenido calificaciones por encima de 7.
100
Pc:50
101
Pc:53
Dif. en puntos = 1
Dif. en percentil = 3
127
Pc:96
134
Pc:99
Dif. en puntos = 7
Dif. en percentil = 3
4.1. CUARTILES
Son tres valores (si echamos mano de la definición de
cuantil, estaríamos hablando de K valores) de la variable
que dividen a la distribución en cuatro partes iguales (siguiendo con la definición general, K+1 partes iguales),
cada una de las cuales supone un 25% del total (PIR 01,
112). Se simbolizan por las letras Q1 Q2 y Q3, y se corresponden con los percentiles P25, P50 (= Mdn) y P75 respectivamente.
4.2. DECILES
Son nueve valores de la variable que dividen la distribución
en diez partes iguales de modo que cada parte será una
décima o un 10% del total. Se emplea para designarlos el
símbolo DK (K = 1, 2 .... 9). El D5 equivale al Q2 y por tanto
a la mediana.
4.3. PERCENTILES
Si se ha comprendido el significado de la mediana, será
sencillo entender lo que significa un percentil, pues la mediana se puede considerar como un percentil 50, esto es,
aquella puntuación que deja por debajo y por encima el
cincuenta por ciento de las observaciones.
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El modo de calcularlo es similar al que empleábamos a la
hora de obtener la mediana, pues la fórmula es muy similar
(proponemos la que se emplea en el cálculo del percentil
para datos agrupados en intervalos):
/


PJ = L i +  ((Jn / 100) − nb ) nd  I
Recurramos al ejemplo de distribución que utilizamos en el
cálculo de la mediana para datos agrupados; nos proponemos ahora calcular el Percentil 60, esto es, aquella
calificación que deje por debajo el 60% de las observaciones, o dicho de otra manera, el que deje por encima de sí
el 40% de los datos (PIR 03, 47). Lo primero que tenemos
que hacer es identificar el intervalo crítico, aquél que contiene dicha calificación. El número total de observaciones
es de 72, de modo que el 60% de observaciones es:
(72 · 60) / 100 = 43,2
El percentil 60 será por tanto una puntuación que deje por
debajo de sí 43,2 observaciones. El límite inferior del intervalo (20-24) deja por debajo de sí 26 observaciones, el
límite superior de este intervalo deja 46; por lo tanto es
éste el intervalo crítico que contiene el Percentil 60 (en
este tipo de cálculos es cuando resulta útil un índice como
Ia frecuencia acumulada o el porcentaje acumulado). A
continuación sólo queda aplicar la fórmula:
Li = Límite exacto inferior del intervalo crítico (19,5).
(Jn/100) = Número de observaciones que corresponden al
60% (43,2).
nb = Número de observaciones bajo el intervalo crítico (26).
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09.02. ESTADÍSTICA
142
nd = Número de observaciones dentro del intervalo crítico
(20).
I = Amplitud del intervalo crítico (5).
P60 = En nuestro ejemplo corresponde a la calificación
23,8. Esta calificación deja por debajo el 60 por ciento de
las observaciones. Desde un punto de vista gráfico significa que en el histograma de esta distribución, la vertical
levantada sobre el Percentil 60 divide la distribución en dos
áreas, siendo una de ellas equivalente al 60% de la superficie total y la otra al 40%.
Podemos concluir que el valor de la mediana coincidirá con
el del cuartil 2, el del decil 5 y el del percentil 50, para un
mismo conjunto de datos y también son ciertas otras igualdades, entre ellas por ejemplo: (PIR 13, 78)
5.2. LA VARIANZA (Sx2)
En la Desviación Media evitábamos que la suma de las
diferencias de las puntuaciones respecto a la media fuera
cero, utilizando sólo el valor absoluto de dichas diferencias.
Otro modo de obtener un índice de dispersión es elevar al
cuadrado estas diferencias, con lo cual se anula el signo
de cada diferencia. De este modo nace la varianza, conocida mediante el símbolo S2 cuando hace referencia a una
muestra (estadístico) y como σ2 cuando alude a la población (parámetro).
Expresado matemáticamente la varianza de n puntuaciones sería:
2
Si en los anteriores apartados nos dedicamos a analizar
los estadísticos de tendencia central y posición, a continuación vamos a centrarnos en aquéllos que hacen referencia a la variabilidad.
Los estadísticos de variabilidad nos informan acerca de si
las puntuaciones se encuentran muy próximas entre sí
o muy dispersas. De este modo, es posible encontrar dos
grupos de puntuaciones con idéntica media, pero con
diferente variabilidad o dispersión. La variabilidad nunca
puede ser negativa, siempre será ≥ 0.
5.1. DESVIACIÓN MEDIA (DM)
Es la media de las diferencias, en valor absoluto (de Io
contrario sería cero el resultado), de las puntuaciones
respecto a su media aritmética. Expresado matemáticamente:
(X
1
− X + X 2 − X +  + Xn − X
) /n = Σ X
i
−X
/
n
En el caso de tener que calcular la Desviación Media para
datos agrupados en intervalos la fórmula sería la siguiente:
DM = Σnj X j − X
/n
nj = Número de observaciones en el intervalo “j” (o frecuencia absoluta).
Xj = Punto medio del intervalo “j”.
n = Número total de observaciones.
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2
/
2
2
n = Σ (Xi − X)
/
n
De esta fórmula se pueden derivar otras expresiones equivalentes que permiten un cálculo más sencillo y rápido:
5. ESTADÍSTICOS DE VARIABILIDAD
Y DISPERSIÓN
DM =
2
Sx = ((X − X) + (X2 − X) +  + (Xn − X)
1
Decil 1 = centil 10
Cuartil 1 = percentil 25

S2x =  Σ X i2


/ n  − X
2
Cuando los datos se presentan agrupados en intervalos las
tres fórmulas se modifican ligeramente:
S2x = Σ nj (X j − X)2
/n
/
S2x = Σ nj X 2j (n − X 2 )
/
S2x = (n Σ nj X 2j − (Σ nj X j )2 ) n2
nj = Número de observaciones en el intervalo “j” (o frecuencia absoluta).
Xj = Punto medio del intervalo “j”.
n = Número total de observaciones.
Cuanto mayor sea la variabilidad o dispersión de las puntuaciones, mayor será la varianza. Generalmente la varianza es un valor numérico muy elevado, por lo que se
prefiere expresarla como Desviación típica o estándar
(Sx). Ésta no es más que la raíz cuadrada de la varianza:
Sx =
S2x
La varianza es un índice de dispersión adecuado cuando la
variable se encuentra a nivel de medida de intervalos como
mínimo, y cuando la distribución de la misma no es demasiado asimétrica, si así fuera es más apropiado un índice
como la Amplitud Semi-intercuartil.
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09.02. ESTADÍSTICA
Sy = a S x
La Cuasivarianza se define:
n
S2c
 (X i − X)2
=
i =1
n−1
143
n
=
S2
n−1 x
Es semejante a la Varianza, excepto que la división es por
n − 1 (tamaño de la muestra) y no por N (tamaño del grupo
de datos). Este estadístico es apropiado para obtener
estimaciones de la Varianza de la población en el análisis
inferencial de datos.
5.2.1. Propiedades de la Varianza y la Desviación típica
• El valor de la varianza y de la desviación típica siempre
será mayor o igual que cero.
• Cuando a una variable (X) le aplicamos una transformación admisible (Ver epígrafe de V. Cuantitativas), la varianza de las nuevas puntuaciones es el resultado del producto
de la primitiva varianza por el cuadrado de la pendiente (la
constante que multiplica a la variable):
Xi
Yi = aXi + b
X1
X2
·
·
·
·
·
·
Xn
Y1 = aX1 + b
Y2 = aX2 + b
·
·
·
·
·
·
Yn = aXn + b
X
Y = aX + b
S2x
S2y = a 2S2x
Por ejemplo,
Xi
Yi = 2Xi + 3
1
5
2
7
3
9
X =2
Y =7
2
x
S2y = 22 · 0,7 = 2,7
S = 0,7
Si tomamos el mismo ejemplo que en el caso de la varianza, la desviación de Xi sería 0.82, mientras que la de Y
sería 2 · 0,82 = 1,64.
• Si a un conjunto de puntuaciones le sumamos una constante, la varianza y la desviación típica de las nuevas puntuaciones será igual que la varianza y la desviación típica
de las originales, pues al añadir una constante lo que se ha
hecho es trasladar todas las puntuaciones una misma
distancia, sin alterar la posición relativa que tienen todas
entre sí, con lo cual la dispersión permanece inalterada.
• La varianza y la desviación típica de una distribución se
modifican con que cambie una sola de las puntuaciones de
dicha distribución. La razón es que estos índices de dispersión dependen de la media, y ésta se altera con cualquier modificación en las puntuaciones que la constituyen.
• La desviación típica viene expresada en las mismas
unidades que los datos. Si tenemos una distribución cuyas
puntuaciones expresan distancia en metros, la desviación
típica nos vendrá dada en metros. No así con la varianza,
que en este caso vendrá expresada en metros cuadrados.
• La varianza total de un grupo de puntuaciones, cuando
se conocen los tamaños, las medias y las varianzas de
varios subgrupos hechos a partir del grupo total, mutuamente exclusivos y exhaustivos, puede obtenerse sumando la media (ponderada) de las varianzas y la varianza
(ponderada) de las medias (PIR 03, 44). Es decir:
S2T = [(∑ nj S2j ) / ∑ nj] + [∑ nj (x j − x T )2 / ∑ nj]
• El porcentaje de puntuaciones que quedan entre la media
+/− k desviaciones típicas es, como mínimo el [1 − (1/k2) x
100] de las observaciones. Esta propiedad es conocida
como desigualdad de Tchebychev ya que recoge el hecho de que las distancias menores hasta la media son más
frecuentes que las distancias mayores.
Aplicando la fórmula obtenemos que como mínimo entre la
media +/− dos desviaciones típicas se encuentran el 75%
de la muestra, y entre tres se encuentra al menos el 88,9%
de los datos sea cual sea el tipo de distribución. En el caso
concreto de la curva normal, se dan los siguientes datos
(PIR 12, 69):
Como la desviación típica es el resultado de la raíz cuadrada de la varianza, en el caso de una transformación
admisible, la desviación típica de las nuevas puntuaciones
será:
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09. PSICOLOGÍA EXPERIMENTAL
09.02. ESTADÍSTICA
ASI = (P75 − P25 )/2 = (Q3 − Q1)/2
5.4.1. Propiedades de Ia Amplitud Semi-intercuartil
5.3. AMPLITUD TOTAL
Es la diferencia entre la puntuación máxima y la mínima.
Aunque también puede venir expresada como la diferencia
entre la puntuación máxima y la mínima más una unidad,
en el caso de que se consideren las puntuaciones como
intervalos elementales.
Por ejemplo, dadas las siguientes puntuaciones:
20, 32, 50, 61, 73
La amplitud total puede ser la diferencia entre la puntuación máxima (73) y la mínima (20), esto es: 53; aunque
también es válido considerar las puntuaciones como intervalos elementales de amplitud una unidad y entonces
calcular la amplitud total restando los límites exactos: Límite exacto superior de la puntuación máxima − Límite exacto inferior de la puntuación mínima: (73,5 − 19,5 = 54).
En el caso de que las puntuaciones se agrupen en intervalos (esto es, en intervalos compuestos o de más de una
unidad de amplitud), la amplitud total será la diferencia
entre el punto medio del intervalo máximo y el punto medio
del intervalo mínimo. Ahora bien, aquí la amplitud total
también puede calcularse mediante la diferencia entre el
límite exacto superior del intervalo máximo y el límite exacto inferior del intervalo mínimo.
Una de las características de la amplitud total como índice
de dispersión es que si las puntuaciones máxima y mínima
permanecen constantes pero varían las intermedias, ésta
no variará pero sí lo harán la varianza y la desviación media. La amplitud total también se conoce como recorrido o
rango.
5.4. AMPLITUD SEMI-INTERCUARTIL
Es la mitad de la distancia (de ahí lo de semi-intercuartil)
entre el tercer cuartil y el primer cuartil, esto es, entre el
percentil 75 y el percentil 25. Para hallarlo utilizamos el
50% central de los datos (PIR 05, 84), y lo dividimos por la
mitad. Expresado matemáticamente:
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• En distribuciones muy asimétricas es preferible a la varianza o a la desviación típica.
• Se aplica solo en variables definidas a nivel ordinal o
superior.
• Es menos sensible que la varianza y que la desviación
típica a la variación de los datos.
5.5. COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Cuando se trata de comparar la dispersión o variabilidad
de dos conjuntos de datos, los anteriores índices son problemáticos en dos sentidos:
1. Si comparamos las variabilidades de dos variables distintas, definidas sobre un grupo de sujetos, sus respectivas
desviaciones típicas vendrán expresadas cada una en
unidades de medida diferentes (por ejemplo: peso en kilos y
altura en metros), con lo cual no será posible compararlas.
2. Otra dificultad surge cuando aún siendo la misma variable, los dos conjuntos cuyas variabilidades queremos comparar poseen medias muy diferentes (PIR 03, 46; PIR 05,
82). La desviación típica del peso de un grupo de recién
nacidos puede ser de 0,5 Kg., mientras que la de un grupo
de niños de primero de Educación Primaria bien pudiera
estar en torno a 5 Kg. ¿Cuál de los dos grupos tiene mayor
variabilidad? No podemos saberlo mediante la desviación
típica.
Para soslayar estas dificultades dividimos las desviaciones
típicas de los grupos que queremos comparar por sus
respectivas medias. La fórmula, entonces, del Coeficiente
de Variabilidad es la siguiente:
CV = Sx
/X
Se aplicaría por tanto dicha fórmula a cada una de las variables, y los resultados sí se podrían comparar, ya que eliminamos la unidad de medida de cada una de las variables (el
CV tiene su propia unidad de medida).
Con frecuencia el CV se expresa multiplicando el cociente
por 100:
CV = (Sx
/ X) 100
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09.02. ESTADÍSTICA
145
5.5.1. Propiedades del Coeficiente de Variación
6.3. PUNTUACIÓN TÍPICA
• Si a cada una de las puntuaciones de un conjunto se les
suma una cantidad positiva, el CV disminuirá, pues la
desviación típica se mantendrá constante, pero la media
aumentará en esa cantidad. Por tanto el cociente disminuirá ya que la media constituye su denominador. Por el contrario si se lleva a cabo una resta, el CV aumentará.
Se obtiene dividiendo la puntuación diferencial por la desviación típica. Este tipo de puntuaciones se representa en
estadística por la letra latina minúscula (z).
• Si a cada una de las puntuaciones de un conjunto se las
multiplica por una constante positiva el CV no se alterará,
pues el numerador (la desviación típica) y el denominador
(la media) quedarán multiplicados por la misma cantidad.
La puntuación típica nos indica cuántas desviaciones típicas se separa el sujeto de la media de la muestra a la que
pertenece, por lo que es la calificación estándar más elemental y útil (PIR 04, 92). Así, una puntuación típica de 2
quiere decir que el sujeto se encuentra dos desviaciones
típicas por encima de la media (PIR 01, 127), mientras que
una puntuación típica de -2 significa que está dos desviaciones típicas por debajo de la media.
• El CV podría ser teóricamente negativo, pues la media es
en algunos casos un valor negativo. No obstante, por definición, se tomará el valor absoluto, pues ningún estadístico
de dispersión tiene sentido como valor negativo.
6. PUNTUACIONES DIRECTAS,
DIFERENCIALES Y TÍPICAS
6.1. PUNTUACIÓN DIRECTA
Es la puntuación que resulta de aplicar la escala de medida correspondiente a una variable. Hasta ahora todos los
ejemplos que hemos presentado se han basado en este
tipo de puntuaciones. En Estadística se representan por
letras mayúsculas latinas. Una puntuación expresada en
su forma directa no nos permite conocerla en relación al
resto de las puntuaciones.
6.2. PUNTUACIÓN DIFERENCIAL
Es la puntuación directa menos la media. En Estadística
suele representarse por una letra latina minúscula. Esta
transformación a puntuaciones diferenciales sí que permite
conocer cómo se encuentra una puntuación respecto a las
demás, ya que si la puntuación diferencial que se obtiene
es positiva, entonces la puntuación directa que ha originado la diferencial se encuentra por encima de la media; si
por el contrario es negativa, la puntuación directa estará
bajo la media. Si la puntuación diferencial fuese cero, significaría que puntuación directa y media coinciden.
xi = X − X
Así, si un sujeto obtiene una puntuación diferencial de 2,
significará que se encuentra dos puntos por encima de la
media, mientras que si tiene una puntuación diferencial de
−2 significará que el sujeto está 2 puntos por debajo de
dicha media.
zi = x i
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x
6.3.1. Propiedades de las puntuaciones diferenciales y
típicas
• La media de las puntuaciones diferenciales es cero (PIR
01, 113). La transformación de puntuaciones directas a
diferenciales es una transformación admisible aplicada
sobre todas y cada una de las puntuaciones de un conjunto. Si tenemos en cuenta las propiedades que expusimos
acerca de la media, tenemos que la media de las puntuaciones diferenciales es:
Xi
xi = Xi − X
X1
x1 = X1 − X
x2 = X2 − X
X2
·
·
·
·
·
·
X
·
·
·
·
·
·
xn = Xn − X
x = X + ( − X) = 0
X
• Basándonos en las propiedades de la varianza y la desviación típica (varianza y desviación de puntuaciones obtenidas por transformaciones admisibles) tendremos que la
desviación típica de las puntuaciones diferenciales es
equivalente al producto del cuadrado de la pendiente por la
desviación típica de las puntuaciones directas; como la
pendiente es (1) la desviación típica de las puntuaciones
diferenciales es igual a la desviación típica de las puntuaclones directas de las cuales proceden.
SX
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/S
Sx = (1) SX
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09.02. ESTADÍSTICA
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• La media de las puntuaciones típicas es cero (PIR 01,
114; PIR 05, 91). Una puntuación típica es también el
resultado de una transformación admisible, con lo que la
media puede calcularse del mismo modo que en el caso de
las puntuaciones diferenciales. Como la media de las puntuaciones diferenciales es cero, por consiguiente la de las
típicas también lo será:
/S
= x /S
= x /S
xi
zi = x i
x
x1
z1
x
x2
z2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
xn
zn = x i
x =0
z = (1/ Sx ) x + 0 = 0
i
i
/S
x
x
• Aplicando otra vez las propiedades de la varianza y la
desviación típica para transformaciones admisibles, encontramos que la desviación típica de las puntuaciones típicas
es igual a la unidad (PIR 02, 163), al igual que su varianza
(PIR 01, 121):
Sx
Sz = (1/ Sx) Sx = 1
• Si multiplicamos las puntuaciones típicas por una constante A y sumamos a esos productos otra constante B, las
nuevas puntuaciones tendrán como media a B y como
desviación típica a A .
6.4. OTRAS TRANSFORMACIONES DE LAS PUNTUACIONES
La transformación a puntuaciones típicas representa la
transformación lineal de las puntuaciones más común. No
supone una alteración de la distribución original de las
puntuaciones, ya que la respeta: si la distribución original
era normal, permanece así después de la transformación;
si por el contrario era sesgada positiva o negativamente,
platicúrtica o multimodal, estas características también se
mantienen después de la transformación.
6.4.1. Puntuaciones típicas derivadas o transformadas
Una vez realizada la transformación a puntuaciones típicas, éstas pueden transformarse de nuevo linealmente a
una nueva escala con media y desviación típica fijadas por
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el usuario del test. Si a un conjunto de puntuaciones típicas
les aplicamos una transformación lineal admisible, obtendremos un segundo tipo de puntuaciones que se denominan “puntuaciones típicas derivadas” o transformadas.
La transformación aplicada es la siguiente:
T= z ST + T
Al tratarse de una transformación lineal, respeta la distribución original en la que estaban las puntuaciones directas.
El usuario del test puede fijar arbitrariamente la media y la
desviación típica deseadas; sin embargo hay una serie de
escalas lineales derivadas de amplio uso. Por ejemplo, de
este procedimiento se derivan las puntuaciones T como
una transformación lineal de las puntuaciones típicas, en la
que la media es 50 y la desviación típica 10. Las puntuaciones de CI, asimismo, suelen tener una media 100 y una
desviación típica de 15 o 16 (PIR 03, 52; PIR 04, 93).
6.4.2. Transformaciones no lineales
Además de las transformaciones lineales, pueden realizarse transformaciones no lineales sobre las puntuaciones.
Estas transformaciones no lineales sí alteran la forma de
las distribuciones originales.
Una de estas transformaciones serían los rangos percentiles, escala muy utilizada para comunicar los resultados
de los tests normativos a los no expertos. Ya que las escalas de percentiles son una transformación no lineal de la
distribución original. En diferentes regiones de la escala de
puntuaciones directas una diferencia de un punto puede
corresponder a diferencias distintas en la escala de rangos
percentiles. Su distribución es desigual (sobre todo en los
extremos); por ello no deben realizarse cálculos aritméticos
ni estadísticos tales como medias o comparaciones de
grupos con puntuaciones en escala de rangos percentiles
(ni compararlas si se han obtenido en diferentes pruebas)
(PIR 11, 57).
La segunda transformación no lineal posible es la normalización. Las distribuciones de las puntuaciones directas y
sus transformaciones lineales dependen de ciertas características del instrumento de medida empleado y por ello
suele ser conveniente transformar la escala a algún otro
sistema de puntuaciones o de unidades independiente de
las características del instrumento de medida particular
utilizado y, en cierto sentido, igualmente espaciadas: la
distribución normal. Esta normalización es especialmente
aconsejable si conocemos que el rasgo psicológico medido
se distribuye normalmente en la población. Las puntuaciones típicas normalizadas diferirán de las típicas linea-
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09.02. ESTADÍSTICA
les más o menos, según la desviación de la normalidad de
la distribución original. Estas puntuaciones típicas normalizadas se basan en los percentiles: a partir del percentil
correspondiente a una puntuación, se obtiene la puntuación z correspondiente en la distribución normal. Por ejemplo, si en una determinada distribución de puntuaciones, la
puntuación 7 supone un percentil 40 ya que deja por debajo de sí el 40% de los datos, habrá que buscar la puntuación típica normal que se corresponda con una p = 0,40,
que es zn = −0,25. Y así se irán transformando todas las
puntuaciones.
Basándonos en las puntuaciones típicas normalizadas
pueden realizarse nuevas transformaciones lineales fijando
previamente la media y la desviación típica de la escala
deseada, obteniendo así puntuaciones típicas normalizadas derivadas. Entre las escalas normalizadas derivadas más comunes se encuentra la Escala de eneatipos o
estaninos. Los eneatipos o estaninos (cuyo nombre procede de la adaptación al castellano de los términos “standard nine”) son una transformación lineal de puntuaciones
típicas normalizadas, con una media 5 y una desviación
típica aproximada de 2, tal que:
Eneatipo = 2 zn + 5
Esta escala sólo admite valores enteros entre 1 y 9, y tiene
porcentajes preasignados basados en la distribución normal, divididos en intervalos con amplitud correspondiente a
½ desviación típica, excepto los dos extremos que son
abiertos.
6.5. INTERPRETACIÓN DE PUNTUACIONES DIRECTAS, DIFERENCIALES Y TÍPICAS
Una persona obtiene una calificación en un examen tipo
test de 40 puntos (puntuación directa). Apenas podemos
decir nada de esta persona en relación a su grupo de referencia (por ejemplo sus compañeros de examen). Ahora
bien, si calculamos la media y restamos a la puntuación
directa esta última, obtenemos una puntuación diferencial.
Supongamos que la media es 30, entonces la puntuación
diferencial de este alumno será de 10; al ser positiva nos
informa de que nuestro alumno tiene una calificación que
es superior a la media de sus compañeros (en concreto 10
puntos superior). Ahora bien, ¿es muy superior a la media
o sólo ligeramente superior? Si la mayoría de sus compañeros se desvían de la media en 10 o más puntos (hay una
alta variabilidad), el “mérito” de este alumno es modesto.
Por el contrario, si la mayoría se sitúan en torno a la media
(poca variabilidad), entonces este alumno se ha destacado
mucho respecto al grupo. La puntuación típica nos permite
un juicio objetivo sobre cuánto se aparta una puntuación
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147
respecto de la media en relación al resto de puntuaciones.
Si en nuestro ejemplo la desviación típica del grupo fuese
10, la puntuación típica de nuestro alumno sería (10/10 =
1), lo cual significa que este alumno se sitúa respecto a
sus compañeros a una desviación típica (o a una unidad
típica) por encima de la media.
El uso de puntuaciones típicas también tiene otras ventajas. Supongamos que el anterior examen lo hemos pasado
a dos grupos de alumnos muy distintos. Ambos obtienen
medias y desviaciones típicas muy diferentes entre sí, con
lo que resultaría muy difícil comparar las puntuaciones de
los dos grupos. Un modo de solucionarlo es expresar las
puntuaciones de ambos grupos en puntuaciones típicas.
En la medida que la media de puntuaciones típicas vale
cero y la desviación típica de las mismas uno, tendremos
dos distribuciones con idéntica media y desviación, lo cual
facilitará la comparación. Por otra parte, la unidad típica es
un número abstracto sin los problemas de unidad de medida que dificultan la comparación entre diferentes características.
De lo anterior no se debe deducir necesariamente que dos
puntuaciones típicas, cada una de un grupo distinto, signifiquen exactamente lo mismo, pues detrás de cada una de
ellas habrá puntuaciones directas posiblemente distintas y
percentiles diferentes (cada una podrá dejar por debajo
distintos porcentajes de sujetos). No obstante, en psicología, ocurre que la mayoría de las características se distribuyen normalmente (las representaciones gráficas de las
distribucionos de frecuencias se asemejan a la curva normal o Campana de Gauss), de modo que cuando transformamos en típicas las puntuaciones de dos grupos, podemos considerar que, a idénticas puntuaciones típicas, se
corresponden idénticos porcentajes de observaciones por
debajo o por encima de las mismas.
6.6. LA CURVA NORMAL
Aunque hablaremos más detenidamente de ella cuando
tratemos la Estadística Inferencial, merece la pena destacar algunos aspectos de la distribución más habitual que
aparece en los tratados de psicología.
Si construimos un test de inteligencia y lo aplicamos a una
población de sujetos, lo más probable es que la distribución de las puntuaciones directas obtenidas en el test por
dicha población adquiera, en su representación gráfica, la
forma de Ia “campana de Gauss” o curva normal. Toda
distribución normal tiene las siguientes características
básicas:
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09. PSICOLOGÍA EXPERIMENTAL
09.02. ESTADÍSTICA
• Tiene un único punto máximo, para X = μ (media poblacional).
• Tiene dos puntos de inflexión:
X=μ−σ
X=μ+σ
• Se acerca asintóticamente al eje de abscisas, esto es se
acerca más y más a ese eje, tanto por la derecha como por
la izquierda, sin llegar a tocarlo en ningún punto finito.
• La distribución normal se caracteriza por ser simétrica
respecto al eje vertical que pasa por la media. Su mediana
divide su representación gráfica de modo que una de las
áreas es reflejo de la otra, como si la mediana fuese un
espejo. En toda distribución simétrica la mediana y la media coinciden (PIR 02, 166). En el caso de la curva normal
la mediana y la media coinciden además con la moda, por
ser ésta una distribución unimodal.
Normal
Si a continuación transformamos las puntuaciones directas
de esta población en puntuaciones típicas tendremos de
nuevo otra curva normal, pero en este caso sabemos que
la media valdrá cero y la desviación típica la unidad. Esta
curva se llama normal tipificada. Por otro lado, la mayor
parte del rango de la distribución se encontrará comprendida entre las puntuaciones típicas (−3) y (+3), en concreto
el 99,74% del área contenida bajo la curva.
Normal tipificada
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