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Eje temático: Geometría
Contenidos: Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo - Teorema
de Euclides - Teorema de Pitágoras
Nivel: 3° Medio
Triángulo rectángulo
1. Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo
En el ∆ABC rectángulo en C, los tres triángulos son semejantes porque sus
ángulos correspondientes son congruentes; por lo tanto, recordando
Teoremas de Thales, los lados homólogos son proporcionales. Al realizar las
proporciones, Euclides demuestra relaciones importantes entre los trazos a, b,
c, h, p y q.
Se pueden establecer las siguientes semejanzas:
1) ∆AHC : ∆ACB (son semejantes por criterio A,A)
CAH
CAB (tienen ángulo común)
AHC
ACB (son ángulos rectos)
De esta semejanza, se obtienen las siguientes proporciones:
2) ∆BHC : ∆BCA (son semejantes por criterio A,A)
CBH
ABC (tienen ángulo común)
BHC
BCA (son ángulos rectos)
De esta semejanza, se tiene:
3) ∆AHC : ∆CHB (son semejantes por criterio A,A)
CAH
ACH)
BCH
(porque
BCH = 90º -
ACH
y
CAH = 90º -
BHC
BCA (son ángulos rectos)
De aquí se obtienen las proporciones:
De las razones anteriores se determinan las siguientes relaciones entre los
trazos del triángulo rectángulo en C y su altura hc que corresponden al
Teorema de Euclides.
De 1):
De 2):
De 3):
2. Teorema de Euclides
2.1 Teorema de Euclides referente al cateto
El cuadrado de un cateto equivale al producto del cateto por la proyección de
él sobre la hipotenusa.
b2 = qc
a2 = pc
Ejemplos: Si a = 20 y p = 12, entonces: 202 = 12· c. Luego c = 400 : 12 Î c
= 33,3
Si q = 8 y c = 18, entonces: b2 = 8· 18. Luego b2 = 144 Î b = 12
2.2 Teorema de Euclides referente a la altura
El cuadrado de la altura equivale al producto de las proyecciones de los catetos
sobre la hipotenusa.
h2 = p· q
Ejemplos: Si h = 4 y p = 8, entonces: 42 = 8· q. Luego q = 16 : 8 Î q = 2
Si p = 12 y q = 27, entonces: h2 = 12· 27. Luego h2 = 324 Î h =
18
Además de los teoremas anteriores, se puede obtener una importante relación
para determinar la altura a través de los lados del triángulo rectángulo:
Del punto 2, tenemos que:
, por lo tanto
La altura equivale al producto de los catetos dividido por la hipotenusa.
Ejemplo: Si los catetos miden 30 cm. y 40 cm, entonces por Teorema de
Pitágoras
(30)2 + (40)2 = c2, luego: 900 + 1.600 = c2 Îc2 = 2.500 Î c = 50
La altura hc de este triángulo medirá (30· 40) : 50 Î hc = 24 cm.
Ejemplo:
En el ejercicio anterior se pueden calcular p y q
a2 = c· p, entonces 302 = 50· p. Luego p = 900 : 50 Î p = 18
b2 = c· q, entonces 402 = 50· q. Luego q = 1600 : 50 Î q = 32
Recuerda que c = p + q. En efecto 50 = 18 + 32
3. Teorema de Pitágoras
El cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los
catetos.
c2 = a2 + b2
Podemos demostrar este teorema utilizando los teoremas anteriores, como
veremos a continuación:
Por Euclides tenemos que a2 = p· c y b2 = q· c, entonces:
2
a
a2
a2
a2
+
+
+
+
2
b
b2
b2
b2
=
=
=
=
a2 + b2 = p· c + q · c
c· (p + q); pero p + q = c. Si reemplazamos obtenemos:
c· (p +q)
c· c
c2
3.1 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
1. Diagonal de un cuadrado
La diagonal de un cuadrado equivale al producto del lado por
Demostración: Utilizando el Teorema de Pitágoras:
d2 = a2 + a2
d2 = 2a2
/
Ejemplos: La diagonal de un cuadrado de lado 1.
d2 = 12 + 12
d2 = 2
/
d=
La diagonal de un cuadrado de lado 3.
d2 = 32 + 32
d2 = 2· 32
d = 3·
/
2. Diagonal principal de un paralelepípedo
La diagonal principal PQ de un paralelepípedo de lados a, b y c es igual a
Demostración: La diagonal de la cara de lados b y c está dada por
Se forma un triángulo rectángulo de lados
, a y PQ, donde:
luego:
3. Altura de un triángulo equilátero
La altura de un triángulo equilátero equivale a la mitad del lado por
.
Demostración: Según la figura, por tratarse de un triángulo equilátero la altura
cae en el punto medio del lado opuesto. Ocupando el teorema de Pitágoras:
Ejemplo: En la figura, el polígono es un hexágono regular cuyo lado mide 12
cm. ¿Cuánto mide la superficie sombreada?
Cada uno de los triángulos sombreados corresponde a un triángulo equilátero
de lado 12 cm.
La altura de cada triángulo es 12·
El área de cada triángulo es:
⎛ 12 × 12 2 ⎞
b×h
⎟ = 72 2
⎯
⎯→⎜⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
Pero como son 3 triángulos sombreados, el área será 3· 72
, es decir, 216