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GUIA DE CIRCUNFERENCIA
1) En el arco CDB de una circunferencia, D es el punto medio. Unanse los tres puntos y
demuestre que los ángulos en B y en C son iguales.
2) Tres puntos A, B y C están situados sobre una semicircunferencia, encontrándose B
entre A y C. Sí se trazan las bisectrices OM y ON de los ángulos AOB y BOC, demostrar
que MN = AC
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3) Dos arcos consecutivos suman una semicircunferencia. ¿Qué
rectas que unen el centro con los puntos medios de esos arcos?
ángulo forman las
4) Demostrar que, sí desde un punto P situado en una circunferencia se trazan las
perpendiculares a dos radios, siendo dichas perpendiculares iguales, el punto P dimidia al
arco comprendido entre los dos radios.
5) Desde un punto A situado en una circunferencia, se trazan dos cuerdas cualquiera AM
y AN. Desde otro punto B, también situado sobre la circunferencia, se trazan BM'//AM y
BN'//AN. Demostrar que MN'//M'N.
6) Demostrar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es un trapecio isóscele.
7) Demostrar que dos cuerdas que están a igual distancia del centro de una
circunferencia son iguales.
8) En una circunferencia una cuerda AB, subtiende un arco de un cuadrante. Demostrar
que sí un arco AC el doble del arco AB, entonces AC<2AB.
9) En dos puntos de un diámetro, equidistantes del centro de una circunferencia
constrúyanse las perpendiculares. Probar que las partes de las perpendiculares
comprendidas entre el diámetro y la circunferencia son iguales.
10) Sí por los extremos de una cuerda se trazan a ella las cuerdas perpendiculares y se
unen sus extremos, resulta un rectángulo.
11) Desde un punto A situado fuera de una circunferencia se traza una secante ABC de
modo que su parte exterior AB, sea igual al radio de la circunferencia. También se traza la
secante AOD que pasa por el centro O. Probar que el <COD=3<CAD.
12) Determinar el centro:
a) de una circunferencia dada.
b) de un arco de circunferencia dada.
13) S¡ desde un punto A exterior a una circunferencia, se trazan las tangentes AB y AC
demostrar que <CAB=2<OCB
14) Desde un punto A exterior a una circunferencia de centro O trazar a ella una tangente
AB, y sobre AO a partir de A aplicar AB=AC. Unir B con C y prolongar hasta cortar la
circunferencia en E. Demostrar que EO es perpendicular a OA.
15) En una circunferencia de centro O construir un ángulo inscrito cualquiera CAB; dibujar
la bisectríz de este ángulo, de modo que corte el arco interceptado por los lados en P.
Demostrar que, si por este punto se traza una paralela a uno de los lados, la parte de esta
paralela interceptada por la circunferencia, es igual al otro lado del ángulo.
16) Partiendo de las propiedades del águlo inscrito, demostrar:
a) Que en un triángulo rectángulo, la transversal de gravedad correspondiente al vértice del
ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
b) Que sí en un tri ngulo, la transversal de gravedad correspondiente a un lado, es la mitad
de ese lado, el triángulo es rectángulo.
17) Dada una circunferencia O y un punto P exterior a ella, trazar desde P, una tangente
PA y una secante PB. Unir el punto de tangencia A con los extremos B y C de la cuerda
interceptada por la circunferencia sobre la secante. Trazando la bisectríz del <CAB hasta
que corte la secante en D, se obtiene PD=PA.
18) Dada una cuerda AB de una circunferencia, se traza una tangente en A. Demostrar
que el punto medio del arco comprendido por la cuerda, es equidistante de ésta y de la
tangente.
19) Se dá un ángulo inscrito en una circunferencia, MN que une los puntos medios de los
arcos subtendidos por cada uno de los lados del ángulo corta a dichos lados en D y en E,
respectivamente. Demostrar que el tri ngulo DEA es isóscele.
20) Demostrar que en un triángulo rectángulo en C, el pié de la altura CH y los puntos
medios de los tres lados pertenecen a una misma circunferencia. Determinar el centro y el
radio de la circunferencia.
21) Desde un punto M situado sobre una circunferencia parten una cuerda MN y una
tangente MT=MN. Se une T con N cuya prolongación corta la circunferencia en A.
Demostrar que el triángulo MTA es isóscele.
22) Demostrar que el ángulo formado por una tangente y una secante que parten del
mismo punto tiene por medida la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus
lados.
23) El ángulo que forman dos tangentes que parten de un punto a una circunferencia es
igual a 60º. Probar que el triángulo formado por la tangente y la cuerda que une los puntos
de tangencia es equilátero.
24) El ángulo que forman dos tangentes que parten de un mismo punto a una
circunferencia mide 47º. ¿Cuánto mide el arco menor comprendido entre las tangentes
(en grados)?.
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25) Sobre un trazo de 4 cm. construir un arco capaz de:
a) 60º
b) 120º
26) Demostrar que el triángulo que tiene dos simetrales iguales es isóscele.
27) En un triángulo, las tres simetrales forman tres
concurrencia. Demostrar que el triángulo es equilátero.
ángulos iguales en el punto de
28) Demostrar que las tres simetrales de un triángulo ABC son las alturas del nuevo
triángulo, que se obtiene al unir sus puntos medios.
29) Sí desde un punto cualquiera P situado en el interior de un triángulo equilátero, se
trazan perpendiculares a los lados, demostrar que la suma de estas perpendiculares es
igual a la altura del triángulo.
30) Demostrar que una altura de un triángulo, es menor que la semisuma de los lados
adyacentes.
31) Dado un triángulo ABC. Unir el punto medio M de AB con los piés D y E de las alturas
ha y hb.
a) Demostrar que el triángulo MDE es isóscele.
b) Calcular sus ángulos en función de los ángulos interiores.
32) Demostrar que al unir los piés de las tres alturas de un triángulo ABC, se forma un
nuevo triángulo que tiene por bisectrices las alturas del primero.
33) Demostrar que un tri ngulo ABC que tiene dos transversales de gravedad iguales es
isóscele.
34) En un triangulo rectángulo ABC, cuyo ángulo recto está en C y el ángulo en A mide
36º, se trazan hc y tc. Desde el pié H de la altura hc, se trazan las perpendiculares a los
catetos CA y CB, de las cuales cortan a éstos respectivamente, en D y en E. Unir D con E
y demostrar que DE es perpendicular a tc.
35) Dado un tri ngulo ABC, trazar la bisectríz de a, hasta su intersección en E con la
bisectríz del ángulo exterior adyacente a a.
Demostrar que el ángulo en E = c
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36) Dado un paralelogramo ABCD, se une el vértice A con el punto medio M del lado DC.
La recta AM corta la diagonal BD en E. Demostrar que ED=BD
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