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SISTEMAS ELECTRÓNICOS DE
CONTROL
TEORÍA DE RESONANCIA
Introducción
Resonancia Serie
Resonancia Paralelo
6° B – ELECTRÓNICA
2011
E.E.T Nº 460 “Guillermo Lehmann”
Departamento de Electrónica
Sistemas Electrónicos de Control
1. INTRODUCCIÓN
Definimos como resonancia al comportamiento de un circuito con elementos inductivos y
capacitivos, para el cual se verifica que la tensión aplicada en los terminales del mismo circuito,
y la corriente absorbida, están en fase. La resonancia puede
puede aparecer en todo circuito que
tenga elementos L y C.
Por lo tanto existirá una resonancia serie y otra resonancia paralelo
o o en una combinación
de ambos. El fenómeno de resonancia se manifiesta para una o varias frecuencias,
dependiendo del circuito, pero
p
nunca para cualquier frecuencia. Es por ello que existe una
fuerte dependencia del comportamiento respecto de la frecuencia. Deviene de ello la gran
importancia de los circuitos sintonizados, especialmente en el campo de las comunicaciones,
en lo que hace
ace a la sintonización de señales de frecuencias definidas o al "filtrado" de señales
de frecuencias no deseadas. Genéricamente se dice que un circuito está en resonancia cuando
la tensión aplicada y la corriente están en fase, el factor de potencia resulta unitario.
2. RESONANCIA SERIE
Para un circuito serie como el dibujado, la impedancia será la siguiente:

1 

Z = R1 + j  ω ⋅ L1 −
ω
⋅
C

1 
Si trazamos el diagrama de tensiones y corrientes del circuito, se verificará que la tensión
adelantará, atrasará o estará en fase con la corriente. Esto resulta evidente de la expresión
anterior, en la cual, para algunas frecuencias se cumplirá que:
ω⋅L >
1
ω ⋅C
ω⋅L <
1
ω ⋅C
para otras frecuencias será:
En el primer caso, se comporta el circuito en forma inductiva, en el segundo, en forma
capacitiva y, además, para alguna frecuencia, se cumplirá que:
ω⋅L =
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1
ω ⋅C
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Para este caso, el circuito se encontrará en resonancia, ya que la impedancia será resistiva
pura, (tensión en fase con la corriente). Este tipo de circuito se denomina también Resonante
en Tensiones, dado que los módulos de las tensiones en los componentes reactivos, son
iguales pero opuestos en fase y se cancelan.
Debe observarse que cuándo, el circuito estará en resonancia, el circuito se comportará en
forma resistiva pura, mientras la impedancia será sólo la resistencia del circuito, y, por
consiguiente, la corriente será máxima.
máxima
2.1 FRECUENCIA
NCIA DE RESONANCIA
La frecuencia de resonancia se obtiene muy fácilmente, ya que la componente imaginaria
de la impedancia será nula, para que el circuito se comporte como resistivo puro. Para este
caso simple será:
ω0 ⋅ L =
ω 02 =
ω0 =
si,
resulta:
1
ω0 ⋅ C
1
L⋅C
1
L ⋅C
ω0 = 2 ⋅ π ⋅ f 0
f0 =
1
2 ⋅π ⋅ L ⋅C
2.2 COMPORTAMIENTO DEL CIRCUITO SEGÚN LA FRECUANCIA
Representaremos gráficamente (figura 2.1) las distintas componentes de la impedancia en
función de la frecuencia. La reactancia inductiva, XL, será pues una recta con origen en cero.
La reactancia capacitiva, XC, por su parte, será una hipérbola equilátera, es decir tendrá como
asíntota horizontal al eje de las frecuencias.
También hemos graficado en la figura, la componente imaginaria de la impedancia
impedanc del
circuito,
1 

ω ⋅ L −

ω ⋅C 

Finalmente representamos el módulo de la impedancia, es decir:
Z = R2 + X 2
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Figura 2.1.- Componentes de la impedancia en función de la frecuencia.
frecuencia
2.3 SOBRETENSIÓN Y FACTOR DE SELECTIVIDAD/CALIDAD
En los circuitos RLC serie, puede ocurrir que la tensión en los elementos reactivos sea
mayor que la tensión de alimentación. Este fenómeno se aprecia especialmente en frecuencias
cercanas a la de resonancia cuando la resistencia total es mucho menor que la reactancia del
circuito. En resonancia se cumple que:
VC = VL
Tomemos
omemos pues para el análisis cualquiera de ellas.
VL = ω ⋅ L ⋅ I , pero
I =
V
R
Pues, en resonancia se cumple que el circuito se comporta en forma resistiva pura, es decir:
Z=R
Por lo tanto, reemplazando resulta:
VL =
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ω0 ⋅ L
R
⋅V
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Donde llamaremos a:
Q0 =
VL
V
=
ω0 ⋅ L
R
=
XL
R
Factor de selectividad o simplemente Q del circuito
Mediante un desarrollo análogo se llega, para el capacitor a:
Q0 =
X
1
= C
ω0 ⋅ C ⋅ R
R
Cualquiera sea la forma de calcular el Q, en resonancia el valor será idéntico, ya que XL =
XC, para ω = ω0. El factor de mérito nos indica cuánto más grande es el valor de la reactancia
que el de la resistencia. Es conveniente que los circuitos resonantes, en general, tengan un Q
elevado, pues su comportamiento será mucho más dependiente de la frecuencia en la
vecindad de la resonancia. Esto sucederá cuando la resistencia sea pequeña.
Los circuitos prácticos
rácticos usados en sintonía en el campo de las radio frecuencias (RF), tienen
valores de Q superiores a 100 en la mayoría de los casos. El factor Q se suele llamar también
factor de sobretensión
n o también factor de calidad. Más adelante daremos una definición
definic
del Q
basada en conceptos energéticos.
2.4 ADMITANCIA CERCA DE LA RESONANCÍA
Prácticamente, la información más útil sobre el comportamiento del circuito a frecuencias
cercanas a la de resonancia, se encuentra en la parte inferior (en forma de "V"),
"V de la curva de
la impedancia en función de la frecuencia. Por lo tanto, resulta útil representar la función
inversa, es decir La admitancia.
Y=
1
Z
Además esta curva tendrá la misma forma que la corriente, si excitamos al circuito con
tensión constante, ya que::
I = V ⋅Y
También, la parte más importante se encuentra dentro de un intervalo comprendido en
±10% de f0, donde f0 es la frecuencia de resonancia, ya que a frecuencias mayores, las
variaciones son muy pequeñas. Por último, conviene explicar también que en la gráfica se toma
la frecuencia en coordenadas logarítmicas, lo cual es muy común cuando se grafican funciones
de la frecuencia, ya que el espectro de los valores es muy amplio. Además aquí se tiene la
ventaja adicional que el uso de coordenadas logarítmicas simetriza la curva respecto de la
frecuencia de resonancia. En las figuras siguientes (figuras 2.2 y 2.3), observamos las curvas
correspondientes al módulo y a la fase de la admitancia en la vecindad de la resonancia.
Vemos en ellas que para frecuencias bajas, el comportamiento es capacitivo (fase 90°). Luego,
el comportamiento capacitivo persiste pero en forma menos intensa (circuito RC),
RC hasta la
frecuencia de resonancia, donde el comportamiento es resistivo
resistiv (fase 0°).
Luego, el comportamiento se torna levemente inductivo, a medida que crece la frecuencia
respecto de la resonancia (circuito RL), hasta que a frecuencias muy altas se torna fuertemente
inductivo, circuito inductivo puro (fase -90°) .
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Refiriéndonos
nos ahora a la curva del módulo de la admitancia, se observa que a frecuencias
muy bajas, resulta que dicho módulo es muy bajo, ya que la reactancia capacitiva es muy alta.
En resonancia, el circuito presenta la impedancia mínima e igual a la resistencia, por lo que la
admitancia será máxima e igual a la conductancia.
Y = Y0 = G =
1
R
Por último, para frecuencias muy superiores a la de resonancia, la admitancia reduce su
módulo, ya que la reactancia inductiva es muy alta, con lo cual la impedancia es también alta.
Es interesante observar que si el circuito tiene una resistencia muy pequeña, la admitancia
en resonancia tiende a infinito, lo mismo que la corriente. Si las pérdidas suben, sube R y,
consecuentemente se reduce el módulo de admitancia en resonancia,
resonancia, por lo que la curva se
aplasta. Resumiendo, si el Q del circuito es elevado, la curva es más aguda, mientras que si Q
es reducido, la curva resulta menos aguda.
En lo que se refiere a la fase, la variación de la misma es mucho más rápida a valores de Q
altos. Si el factor de mérito tiende a infinito, la fase varía bruscamente, pasando de +90° a -90°.
Todo esto pone de manifiesto que a valores de Q elevados, el fenómeno de resonancia se
hace mucho más notorio que a valores bajos. Los gráficos siguientes
ntes están basados en el
circuito que sigue.
Figura 2.2.- Módulo de la admitancia.
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Figura 2.3.- Fase de la admitancia.
Veamos ahora que sucede si en el mismo circuito graficado anteriormente, adoptamos una
resistencia R1 = 5Ω,, es decir 10 veces menor que la ya usada.
Figura 2.4.2.4. Módulo de la admitancia con R1 = 5Ω.
Y con respecto a la fase, vemos que varía mucho más bruscamente, como lo habíamos
anticipado.
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Figura 2.5.- Fase de la admitancia con R1 = 5Ω.
2.5 PUNTOS DE POTENCIA MITAD
Veamos que sucede si la componente reactiva total es igual a la resistencia del circuito.
Y=
1
=
Z
1
1 

R + j ω ⋅ L −

ω ⋅C 

, pero si
ω⋅L−
1
1
= R⇒Y =
ω ⋅C
R ± jR
De manera que el módulo de la admitancia valdrá:
Y =
1
R +R
2
⇒
2
Y
Y0
=
1
2
Mientras que el ángulo de fase adoptará el siguiente valor:
 R
ϕ = arctg  ±  = arctg (± 1) = ±45°
 R
El doble signo, deviene por el hecho que tendremos el mismo valor para el comportamiento
capacitivo (frecuencias inferiores a la de resonancia) y para el comportamiento inductivo
(frecuencias superiores a la de resonancia).
La potencia disipada en el circuito será en resonancia:
P0 = I 02 ⋅ R = V 2 ⋅ Y02 ⋅ R
Para los puntos en los cuales la componente reactiva es idéntica a la resistencia del circuito,
tendremos:
2
V 2 ⋅ Y02 ⋅ R
Y 
P12 = V 2 ⋅  0  ⋅ R =
2
 2
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Vemos que la potencia vale la mitad que la correspondiente a resonancia, es decir:
P12 =
P0
2
De estas consideraciones deviene el nombre de puntos de potencia mitad.
mitad
El intervalo de frecuencias comprendido entre los puntos de potencia mitad, define lo que se
conoce como ancho de banda de 3 dB,
dB o simplemente ancho de banda.
a. Este último valor es
muy importante, ya que define la selectividad del circuito resonante, parámetro muy importante
fundamentalmente en comunicaciones
omunicaciones cuando se estudian los circuitos sintonizados,
sintonizado ya que,
en gran parte, dependerá de la selectividad, la calidad de la recepción. El concepto de ancho
de banda de 3dB, surge el hecho que la potencia en los puntos de potencia mitad, cae
justamente 3dB, lo cual puede demostrarse muy fácilmente, como sigue:
P
P12 1
1
= ⇒ 12 (dB) = 10 ⋅ log = −3(dB)
P0 2
P0
2
Gráficamente resulta:
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A continuación observamos el diagrama de fase:
Vemos que el ancho de banda del circuito es:
BW = ∆f = f 2 − f1 = 3,1KHz − 2,7 KHz = 0,4 KHz
Observándose
bservándose que el circuito es bastante selectivo, ya que el ancho de banda es sólo de
400Hz. Como veremos en el párrafo siguiente, la selectividad está íntimamente relacionada
con el valor del Q.
2.6 RELACIÓN ENTRE EL FACTOR DE CALIDAD EN RESONANCIA Y EL
ANCHO DE BANDA
Determinemos la frecuencia correspondiente a cada uno de los puntos
punto de potencia mitad.
Para f = f1, resulta:
1 − ω12 ⋅ L ⋅ C
1
− ω1 ⋅ L = R ⇒
=R
ω1 ⋅ C
ω1 ⋅ C
1 − ω12 ⋅ L ⋅ C = ω1 ⋅ C ⋅ R ⇒ ω12 ⋅ L ⋅ C + ω1 ⋅ C ⋅ R − 1 = 0
ω12 + ω1 ⋅
R
1
−
=0
L L⋅C
Se trata pues de una ecuación de segundo grado con una incógnita, de muy fácil resolución
mediante la fórmula resolvente, es decir:
ω1 = −
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R
R2
1
±
+
2
2⋅ L
L⋅C
4⋅ L
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En forma análoga podemos determinar la frecuencia f = f2, haciendo:
ω2 ⋅ L −
ω 2 ⋅ L ⋅ C −1
1
=R⇒ 2
=R
ω2 ⋅ C
ω2 ⋅ C
ω 22 ⋅ L ⋅ C − 1 = R ⋅ C ⋅ ω 2
ω 22 ⋅ L ⋅ C − ω 2 ⋅ R ⋅ C − 1 = 0
ω 22 − ω 2 ⋅
ω2 =
R
1
−
=0
L L⋅C
R
R2
1
±
+
2
2⋅ L
L⋅C
4⋅ L
Por lo tanto, el ancho de banda en término de pulsación, resulta:
∆ω = ω 2 − ω1 =
ω
ω
ω ⋅L
R
R
R
+
= ⇒ 0 = 0 = 0
= Q0
R
2⋅ L 2⋅ L L
∆ω
R
L
BW Ancho de banda; donde
BW:
Q0 =
BW = f 2 − f1
ω0
f
= 0
∆ω BW
Por lo tanto, podemos escribir:
Q0 =
ω0 ⋅ L
R
=
f
1
= 0
ω 0 ⋅ C ⋅ R BW
Aquí se observa que cuanto mayor es el factor de mérito del circuito, menor es el ancho de
banda, con lo que aumenta la selectividad. Es interesante observar que la relación anterior
provee un método
o sencillo para la medición del Q del circuito, ya que bastará determinar la
frecuencia de resonancia y las frecuencias para las cuales el ángulo de fase vale ± 45°.
El concepto de selectividad define la mayor o menor aptitud que tiene un circuito para
separar el resto de las frecuencias respecto de la de resonancia.
2.7 AUMENTO DE VOLTAJE EN RESONANCIA EN UN CIRCUITO SERIE
La caída de tensión en una bobina es:
VL = I ⋅ X L = I ⋅ ω ⋅ L
En resonancia tenemos que:
I=
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ω0 ⋅ L ⋅ V
V
= Q0 ⋅ V
, por consiguiente VL =
R
R
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De la misma manera:
VC = I ⋅ X C =
I
ω ⋅C
En resonancia tenemos que:
I=
V
V
, por consiguiente VC =
= Q0 ⋅ V
R
ω0 ⋅ C ⋅ R
Estos voltajes (VL y VC), siendo iguales y de fase opuesta, se cancelan uno a otro; sin
embargo, sus valores pueden llegar a ser superiores al de la fuente de alimentación.
alimentación Estas
sobretensiones pueden ser eliminadas eligiendo correctamente el valor de R.
3. RESONANCIA PARALELO
Para un circuito paralelo como el dibujado en la figura 3.1,
1, demostraremos la equivalencia e
identidad con el circuito de la figura 3.2
2 y determinaremos luego la impedancia.
Figura 3.1
Figura 3.2
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Para demostrar que ambos circuitos son idénticos y equivalentes, determinaremos la
admitancia [Y] de la serie R1 – L1 y del paralelo RP – LP, de ambos circuitos. Las mismas
deberán ser iguales.
Para el circuito serie, formado por R1 – L1 tenemos que:
1
.
1
1
.
Ahora, para el circuito paralelo RP – LP tenemos que:
Pero como: 1
1
1
1
1
Igualando esta ecuación,
ecuación con la ecuación que define la admitancia equivalente del circuito
serie R1 – L1 obtenemos:
1
1
. . Dos números complejos
ejos son iguales si las partes reales e imaginarias
imaginarias resultan iguales. En
efecto, los circuitos serán iguales si:
Considerando que generalmente 10. (se tendrá presente que R1 es la resistencia
óhmica del conductor). Entonces y
serán de valor despreciable frente al otro término de
la ecuación. Luego tendremos que:
≅
y ≅ o bien: Dadas estas condiciones ambos circuitos serán idénticos y equivalentes.
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3.1 FRECUENCIA DE RESONANCÍA
Como en el circuito serie, en alguna frecuencia se dará que:
. 1
. . En este caso por encontrarse ambos componentes en paralelo las corrientes por los mismos
serán iguales en módulo pero opuestas en fase. Resultando éste un circuito resonante en
corrientes. El diagrama fasorial se muestra a continuación:
De la observación del mismo encontramos que, al cancelarse las corrientes reactivas entre
sí, la corriente por la resistencia RP es igual a la corriente de la fuente. Luego la impedancia del
circuito será:
≅
3.2 SOBRECORRIENTE Y FACTOR DE SELECTIVIDAD
En los circuitos RLC paralelo, puede ocurrir que la corriente en los elementos reactivos sea
mayor que la corriente de alimentación. Este fenómeno se aprecia especialmente en
frecuencias
as cercanas a la de resonancia cuando la impedancia total es mucho mayor que la
reactancia de los componentes del circuito.
El factor de selectividad o sobreintensidad será:
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