Download Conferencia-3-V

Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Unidad V
Funcionamiento de las redes en el campo de
la frecuencia
Conferencia 3
C. R. Lindo Carrión
1
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Objetivos
Definir el fenómeno de resonancia.
Utilizar adecuadamente las relaciones de: ancho de banda,
frecuencia de media potencia, factor de calidad y frecuencia de
resonancia, en la caracterización de las redes eléctricas conectadas
tanto en serie como en paralelo.
Contenido
5.4 Circuitos resonantes
C. R. Lindo Carrión
2
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
5.4 Circuitos Resonantes
La Figura 17 muestra dos circuitos con características de frecuencia
extremadamente importante, el circuito resonante serie y el circuito
resonante paralelo.
Para el circuito RLC serie, la impedancia de entrada es:
Z(j  )  R  j L 
C. R. Lindo Carrión
1
j C
3
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Para el circuito RLC paralelo, la admitancia de entrada es:
Y(j  )  G  j C 
1
j L
Los términos imaginarios para ambas ecuaciones anteriores serán cero
si:
1
L 
C
El valor de  que satisface esta ecuación es:
 o
1
LC
Y en este valor de  la impedancia del circuito en serie es: Z(jo) = R
Y en este valor de  la admitancia del circuito en paralelo es: Y(jo) =
G
C. R. Lindo Carrión
4
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Esta frecuencia o, a la que la impedancia del circuito en serie o la
admitancia del circuito en paralelo es puramente real, se llama
frecuencia resonante, y los circuitos mismos, en esta frecuencia, se
dice que están en resonancia.
En la resonancia, el voltaje y la corriente están en fase y, por
consiguiente, el ángulo de fase es cero y el factor de potencia es
unitario.
En el caso en serie, en la resonancia la impedancia es un mínimo y,
por consiguiente, la corriente es máxima para un voltaje dado.
La Figura 18 ilustra la respuesta de frecuencia de los circuitos RLC en
serie y en paralelo.
A bajas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado
por el término capacitivo y la admitancia del circuito en paralelo está
dominada por el término inductivo.
C. R. Lindo Carrión
5
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
A altas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado
por el término inductivo y la admitancia del circuito en paralelo está
dominada por el término capacitivo.
C. R. Lindo Carrión
6
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Resonancia Paralelo
La ganancia de corriente Isal/If del
circuito paralelo mostrado en la
Figura 19 es
I sal
1
H

If
RY
donde Y es la admitancia de los tres elementos en paralelo. Por tanto,
Y  YR  YC  YL 
1
1
1
 j C 
 
R
j L R

1 

j  C 
L 

sustituyendo Y en la ecuación de H,
H
1
1  j (C  1 / L) R
C. R. Lindo Carrión
7
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El término imaginario es igual a cero en la frecuencia de resonancia,
cuando C=1/L. La frecuencia de resonancia de un circuito
resonante en paralelo se define como la frecuencia o a la cual la
admitancia Y es no reactiva.
La frecuencia de resonancia es:
 o
1
LC
Un circuito resonante es una combinación de elementos sensibles a la
frecuencia, conectados para obtener una respuesta selectora de
frecuencia.
Para el circuito RLC en paralelo se define otro parámetro llamado
factor de calidad Q como
R
C
Q   o CR 
R
o L
L
C. R. Lindo Carrión
8
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
donde Q es un coeficiente adimensional. En esencia Q es una medida
de la capacidad de almacenamiento de energía de un circuito en
relación con su capacidad de disipación de energía. La definición de Q
es
energía máxima almacenada
Q = 2
energía disipada por ciclo
Multiplicando Q=oCR por /o, se obtiene

Q   CR
o
o
R
Q
De igual forma se multiplica Q=R/oL por o/ para obtener

L
Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de H, para obtenerla
en términos de Q y o como sigue
H
1
1  jQ( /  o   o /  )
C. R. Lindo Carrión
9
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
| H |
Por lo tanto, la magnitud es:
1  Q
1
2
( /  o   o /  )

2 1/ 2
  o 
   tan Q  
 o  
1
y la fase es
La tabla siguiente muestra la magnitud y fase de H a ciertas
frecuencias.

0
1
o
2

|H|
0
1/2
1
1/2
0

90o
45o
0o
-45o
-90o
C. R. Lindo Carrión
10
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Hay dos frecuencia 1 y 2, que corresponden a H=1/2. Examinando
la ecuación de la magnitud H, se observa que H=1/2 se presenta
cuando
2
  o 
  1
Q 

 o  
2
La ecuación anterior se puede reordenar en forma de una ecuación de
cuarto grado, en función de . Despejando los valores de interés, se
obtiene
2
1   o
o
 1 
 
1  
2Q
 2Q 
2
2  o
o
 1 
 
1  
2Q
 2Q 
C. R. Lindo Carrión
11
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El ancho de banda (B) del circuito se define como el intervalo que se
encuentra entre las dos frecuencias donde la magnitud de la ganancia
es 1/2.
El ancho de banda de un circuito selectivo en frecuencia es el intervalo
entre las frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae a 1/2
veces el valor máximo. Por tanto,
B   2  1 
o
Q
Un circuito con una Q alta tendrá un ancho de banda angosto. Por
ejemplo, si Q=100 y o=100Krad/s, entonces B=1Krad/s.
La ecuación anterior ilustra que el ancho de banda es inversamente
proporcional a Q. Por tanto, la selectividad de frecuencia del circuito
esta determinada por el valor de Q. Un circuito de Q alta tiene un
ancho de banda pequeño y, por consiguiente, el circuito es muy
selectivo.
C. R. Lindo Carrión
12
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
La manera que Q afecta la selectividad de la frecuencia de la red se
muestra en la Figura 20.
Puesto que los casos que interesan normalmente son aquellos donde
Q>10, entonces (1/2Q)2«1 y las ecuaciones de 1 y 2, se reducen a
B
1   o 
2
2  o 
C. R. Lindo Carrión
B
2
13
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Cuando Q>10, la curva de
magnitud tiene una simetría
aritmética aproximada entorno a
o, como se aprecia en la Figura
21. Independientemente de Q, la
respuesta es simétrica en una
escala logarítmica de frecuencia.
C. R. Lindo Carrión
14
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Para pequeñas desviaciones de frecuencias con respecto a o Q es
relativamente alta y definimos  como
  o 


1
o
o
donde  representa la cantidad proporcional por la que la frecuencia se
desvía de o. Entonces podemos escribir el factor (/o - o/) en
términos de  como
2
2
 o
 1  (  1)  1   2

 (  1)  


o 
 1
 1
  1
Usando «1 para pequeñas desviaciones de o,
Entonces H es
H
 o

 2
o 
1
1  j2Q
que es una aproximación válida siempre que «1.
C. R. Lindo Carrión
15
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Resonancia Serie
La ganancia de voltaje Vsal/Vf del
circuito paralelo mostrado en la
Figura 22 es
H
Vsal
R

Vf
R  j L  1 / j C
H
1
1  j ( L / R  1 /  CR)
De nuevo se observa que la relación carece de término imaginario
cuando L=1/C y la frecuencia de resonancia es
 o
1
LC
La frecuencia de resonancia de un circuito RLC en serie se define
como la frecuencia o a la cual la impedancia total se vuelve real (no
reactiva).
C. R. Lindo Carrión
16
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El factor de calidad Q para el circuito resonante en serie se define
como
o L
1
1 L
Q


R
 o CR R C
B   2  1 
Como antes, el ancho de banda del circuito es
Multiplicando Q=oL/R por /o, se obtiene
L

Q
o
R
o
Q
o
1
Q
De igual forma se multiplica Q=1/oRC por o/ para obtener

 CR
Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de H, para obtenerla
en términos de Q y o como sigue
H
1
1  jQ( /  o   o /  )
C. R. Lindo Carrión
17
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Note que esta ecuación es igual a la ecuación obtenida para el circuito
resonante en paralelo. Sin embargo, nótese que la definición del factor
de calidad para el circuito serie es diferente de la del circuito
resonante paralelo. No obstante las demás relaciones para el ancho de
banda, 2 , 1 y  son válidas para ambos circuitos.
Ejemplo
Considere la red que se muestra en la Figura 23. Determine la
frecuencia de resonancia, el voltaje a través de cada elemento en
resonancia y el valor del factor de calidad.
C. R. Lindo Carrión
18
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Solución
La frecuencia de resonancia es:
 o
1
1

 2000rad / s
LC
25m *10
A esta frecuencia de resonancia la corriente serie es:
V V 10| 0 o
I  
 5| 0 o A
Z R
2
Por tanto los voltajes de cada elemento son:
VR  (5| 0 o ) * 2  10| 0 o V
VL  j o LI  250| 90 o V
VC 
I
 250| 90 V
o
j o C
C. R. Lindo Carrión
19
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El factor de calidad es:
Q
o L
R

2000 * 25m
 25
2
Es interesante notar que los voltajes a través de la bobina y del
capacitor pueden escribirse en términos del Q como:
| VL |  o L | I |
o L
R
V f  QVf
|I|
1
| VC | 

V f  QVf
 o C  o CR
C. R. Lindo Carrión
20
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Ejemplo
Un circuito resonante en serie tiene R=2, L=1mH, C=0.1F. Calcular
o, B y Q y determinar la respuesta del circuito cuando =1.02o.
Solución
Primero determinamos la frecuencia de resonancia
1
1

 10 5 rad / s
LC
1m * 0.1
 o
El factor de calida es:
o L
10 5 *1m
Q

 50
R
2
Por lo tanto el ancho de banda es:
o
10 5
B

 2 Krad / s
Q
50
C. R. Lindo Carrión
21
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
También se desea determinar la respuesta del circuito cuando
=1.02o, es decir
  o

 0.02
o
Dado que Q=50, entonces Q=(50*0.02)=1, entonces H es:
Vsal
1
H

 0.45
Vf
1  j 2Q
La fase es:
   tan 1 (2Q )  63o
C. R. Lindo Carrión
22