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MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Estadística y Probabilidades Es importante retomar el estudio del cálculo de probabilidades repasando los siguientes aspectos: 1) Toda probabilidad varía entre 0 y 1 (tomando ambos extremos). 2) Si la probabilidad es 0 el evento es imposible. 3) Si la probabilidad es 1 el evento es seguro. 4) Si los eventos son equiprobables, la probabilidad se calcula utilizando la Regla de Laplace: P(A) = número de casos favorables a A número total de casos El cálculo de probabilidades puede requerir algunas técnicas de recuento tales como el diagrama de árbol o la distribución de frecuencias, que te recomendamos revisar. Después de calcular las probabilidades de algunos eventos simples, se comienza con el cálculo de probabilidades de eventos compuestos. Con respecto a este último punto, se sugiere comenzar aclarándoles la diferencia entre la conjunción “y” y la disyunción “o”, entre un “o” que es incluyente o que es excluyente, y entre el “o” utilizado coloquialmente y el “o” utilizado en enunciados matemáticos. Por ejemplo, al resolver el problema: “Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par o un múltiplo de 3?”, se debe considerar un resultado común y no hay que eliminarlo, ya que este “o” no es excluyente. Habitualmente, en una conversación informal el “o” se entiende en el sentido excluyente, como por ejemplo: “haré una cosa o la otra”, donde se supone que hará cualquiera de las actividades pero no ambas, por lo que no tiene el mismo sentido que el “o” analizado anteriormente. 1 El cálculo de probabilidades para la PSU no necesita técnicas de la combinatoria como arreglos, combinaciones o permutaciones, pero puede ser útil explicar el principio multiplicativo para advertir el porqué del principio de la multiplicación de probabilidades para eventos independientes, tal como se sugirió en el módulo anterior. Con respecto a la Ley de los grandes números, existen applet en Internet que nos permiten simular experimentos una gran cantidad de veces. La idea es que los estudiantes aprecien cómo la frecuencia relativa se va acercando a la probabilidad a “priori” determinada por la Ley de Laplace. Para ello se recomienda visitar el sitio: http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capit ulo1/C1m1t14.htm Después de haber tratado todos los contenidos anteriores, se recomienda comenzar con el cálculo de probabilidad condicionada. Recordemos que la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ocurrió el evento B se calcula mediante la siguiente expresión: P(A / B) = P(A ∩ B) . P(B) Las actividades para el tratamiento de este contenido deben realizarse en problemas contextualizados donde la ocurrencia del evento “A” puede que esté condicionada a la ocurrencia del evento “B”. 2 Actividad sugerida Aprendizaje esperado: • Resuelven problemas que involucran condicionada en situaciones sencillas. el cálculo de probabilidad Ejemplo: La probabilidad de que un vehículo choque dado que llueve es 0,6 y la probabilidad de que choque y que esté lloviendo es 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva? Solución: Durante el desarrollo de esta actividad, se recomienda supervisar si el estudiante interpreta correctamente las probabilidades. Según el enunciado se debe llegar a: “Ch”: evento “el vehículo choca”. “Cl”: evento “está lloviendo”. P(Ch/Ll) = 0,6 P(Ch Ll) = 0,2. Por la fórmula de probabilidad condicionada: P(Ch / Ll) = 0, 6 = P(Ch ∩ Ll) P(Ll) 0,2 P(Ll) De lo que se deduce que la probabilidad de que llueva es 1/3. Se sugiere dar una pareja distinta de datos, para que el estudiante adquiera una mayor seguridad en el tema. 3 Sitios sugeridos Para probabilidad condicionada (materia y ejercicios), se recomienda el sitio: http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_15.html Un applet para trabajar con probabilidad condicionada, se encuentra en el sitio: http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capit ulo1/C1m1t7.htm Presentaciones Power Point Relación entre probabilidad y frecuencia relativa. Probabilidad Condicionada: http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93089.html Mendel y la probabilidad. Probabilidad condicionada: http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-95087.html 4 Mapa conceptual 5