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TEOREMA DEL TRIÁNGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA Teorema Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia, con dos de sus vértices en los extremos del diámetro y el tercero sobre algún otro punto de la semicircunferencia, es un triángulo rectángulo. A continuación daremos algunas demostraciones de este teorema. Demostración 1. Sea ACB un triángulo inscrito en una semicircunferencia de radio r y centro D y sean A, C y B sus vértices, con A y B en los extremos del diámetro y C sobre la semicircunferencia, como se indica en la figura , al trazar el radio DC, se forman dos triángulos isósceles, el triángulo ACD, de lados iguales AD = r y CD = r, y el triángulo DCB, de lados iguales CD = r y DB = r. Por ser isósceles estos triángulos, los ángulos en sus bases serán iguales los cuales hemos denotado con  en el primer caso y con  en el segundo, ahora bien, puesto que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180°, se tiene que, para el triángulo ACB, 2  2   180
    90
Y por lo tanto ACB      90 Con lo cual queda demostrado el teorema. Demostración 2. Consideremos la semicircunferencia superior y  r 2  x 2 , centrada en el origen de coordenadas, en un sistema cartesiano, y sea C(x,y), AE = a y EB = b , demostremos primero que y  EC , es la media geométrica de a y b, esto es que EC  ab En efecto, como ab
 r y b  r  x , entonces 2
a  ( r  x )  2r
axr
arx
Y como C(x,y) está sobre la semicircunferencia y  r 2  x 2  ( r  x )( r  x )  ab Teniendo esto en cuenta, vemos que tan  
ab
a
ab
b
y tan  
Y por lo tanto tan(   ) 
tan   tan 

1  tan  tan 

1 

ab ab
1 1
ab (  )
a b
 ab  ab   0
ab   ab  1  ab


ab
a  b 
Lo cual implica que     90 y por lo tanto ACB  90 Demostración 3. En el sistema cartesiano vemos que los lados AC y CB, del triángulo inscrito, tienen las siguientes longitudes d1  d ( A, C ) 
x  r
2
 y2
y
d 2  d (C , B) 
x  r
2
 y 2 y el tercer lado, situado sobre el diámetro, obviamente, tiene longitud d 3  d ( A, B)  2r Empleando la ley de cosenos para el ángulo ACB , que llamaremos  , se tiene  d3 
2
 ( d1 ) 2  ( d 2 ) 2  2( d1 )( d 2 ) cos  2
2
2
(d1 ) 2  (d 2 ) 2  (d3 ) 2  x  r   y   x  r   y  4r

2(d1 )(d 2 )
2d1d 2
2
cos  
2
x 2  2rx  r 2  r 2  x 2  x 2  2rx  r 2  r 2  x 2  4r 2

2d1d 2

0
0
2d1d 2
Lo cual implica que   ACB  90 Demostración 4. De nuevo consideremos la semicircunferencia superior y  r 2  x 2 , centrada en el origen, siendo C(x,y), A(‐r,0) y B(r,0) los vértices del triángulo ACB, de acuerdo a la fórmula de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos dados, m 
diferencia de ordenadas
, las diferencia de abscisas
pendientes de los lados AC y BC serán mAC 
y
,
xr
mBC 
y
xr
Siendo su producto  mAC  mBC   
y  y 
y2
y2


 1 

2
2
 y2
 x  r  x  r  x  r
De manera que, por ser las pendientes recíprocas y de signo contrario, los lados AC y BC son perpendiculares y por lo tanto el ángulo que forman ACB  90 Leonardo Sáenz Baez 15 de julio de 2012 La siguiente demostración nos fue proporcionada por el Dr. Salvador Hacha Daza.
Demostración de Teorema:
Similar a 3
C ( x, y )
A( r , 0)
(0, 0)
B (  r , 0)
Como punto (x, y) está sobre un círculo, con centro en el origen:
x2  y 2  r 2
Distancias
d AC  ( x  r ) 2  y 2
dCB  (r  x)2  y 2
d AB  (r  r ) 2  0 2  2 r
Suma del cuadrado de las distancias:
2
2
d AC
 dCB
 ( x  r ) 2  y 2  (r  x) 2  y 2
2
 x 2  2 xr  r 2  y 2  r 2  2 xr  x 2  y 2  2( x 2  y 2 )  2r 2  4r 2  d AB
Por el teorema de Pitágoras se tiene un triángulo rectángulo; con catetos d AC y d CB ,
hipotenusa d AB
Salvador Acha Daza
Julio 2012