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Construyendo con Geogebra
II Jornadas sobre Geogebra en Andalucía Abril 2011 Actividades para el Taller: ³Construyendo con *HRJHEUD´ EVA 0$COSTA GAVILÁN Mª TRINIDAD CASTILLO CARA Mª ÁNGELES MARTÍN TAPIAS Cuadernillo de actividades
2
ÍNDICE
1. MEDIATRIZ Y BISECTRIZ
2. ÁNGULOS
3. ÁNGULOS DE POLÍGONOS
4. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
5. TEOREMAS RELACIONADOS CON LOS TRIÁNGULOS
6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
7. LA CIRCUNFERENCIA
8. MOVIMIENTOS Y TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
9. FRISOS Y MOSAICOS
1
2
MEDIATRIZ Y BISECTRIZ
x
LaMediatriz:
LaMediatrizdeunsegmentoeslarectaperpendicularalsegmentoensupunto
medio.
ActividadesconGeogebra:
x
Construyelamediatriz,mdeunsegmentoABmanualmente.Noutiliceselbotón
mediatriz. Mueve el punto A y B, ¿qué propiedad cumplen los puntos de m, con
respectoaellos?
x
Dibuja dos segmentos AB y BC (que se corten en B). Construye sus respectivas
mediatricesycompruebaquesecortanenunpuntoD.RazonaqueDequidistade
A,ByC.
Actividadesparaelaula:
¿En qué punto de una vía férrea hay que situar una estación, de modo que se
encuentrealamismadistanciadelospueblosAyB?
1.
3
x
LaBisectriz:
LaBisectrizdeunánguloesunasemirrectaquedividealánguloenotrosdos
ángulosiguales.Lospuntosdelabisectrizequidistandelosladosdelángulo.
ActividadesconGeogebra:
x
Realizalaconstrucciónanterior:Construyelabisectriz,bdedossemirrectasrys.
(manualmente, no utilices el botón bisectriz). Señala un punto D en b. Traza las
perpendicularesDEyDFrespectoderys.Compruebaque DE = DF ¿Haypuntos
delabisectrizquenoesténalamismadistanciadeloslados?¿Porqué?
x
En un ángulo cualquiera, construye una circunferencia de4 cm. de radio que sea
tangente a los dos lados del ángulo (solo toque en un punto a cada lado del
ángulo).
Actividadesparaelaula:
En el ángulo Aˆ 80º 42c 56cc , trazamos su bisectriz, ¿cuánto mide cada ángulo
resultante?
1.
4
ÁNGULOS
x
Clasificacióndelosángulos:
Unánguloesrecto,cuandomide90°
Unánguloesllano,cuandomide180°
Unánguloesagudocuandoesmenorqueunorecto,cuandoesmayorsellama
obtuso.
Unánguloesconvexocuandoesmenorqueunollano,cuandoesmayorsellama
cóncavo.
ActividadesconGeogebra:
Mueve el deslizador y comprueba cómo se denomina cada ángulo dada su
amplitud.
x
Actividadesparaelaula:
A la vista de la construcción anterior, indica de que tipo son cada uno de los
ángulossiguientes:140°,35°,100°,270°,85°y350°.
1.
5
x
Relacionesángulares:
Dosángulossoncomplementarioscuandosusumaesunorecto,90°.Son
suplementarioscuandosusumaesunollano,180°
Dosángulossonconsecutivoscuandotienenelmismovérticeyunladocomún.
Dosángulossonadyacentescuandosonconsecutivosysuplementarios.
Dosángulossonopuestosporelvérticecuandotienenelmismovérticeylosladosde
unosonsemirrectasopuestasalosdelotro.
ActividadesconGeogebra:
x
SimueveselpuntoPverásdistintosparesdeánguloscomplementarios.¿Cuándo
unánguloesigualasucomplementario?
x
Hazunaconstrucciónsimilardondesemuestrenángulossuplementarios.¿Cuándo
unánguloesigualasusuplementario?
Actividadesparaelaula:
Indicaloscomplementariosdelosángulossiguientes:10°,35°,45°y85°
2.
Indicalossuplementariosdelosángulossiguientes:140°,35°,100°y85°
6
1.
x
Ángulosqueseformanalcortardosrectasparalelasporunasecante:
Sidosrectasparalelassecortanporunarectasecanteaéstas,seformanocho
ángulos,muchosdeloscualesigualesentresí.
ActividadesconGeogebra:
x
Simueveslosdeslizadorescomprobarásquealgunosángulossonigualesentresí.
¿Porquémotivo?
x
Realiza una construcción similar que demuestre gráficamente que los
suplementariosdelosánguloscoloreadostambiénsoniguales.
Actividadesparaelaula:
1.
Calculalamedidadelosángulosdesconocidos:
7
ÁNGULOS DE POLÍGONOS
x
Propiedaddelasumadelosángulosinterioresdeuntriángulo:
Teorema:
Lasumadelosángulosinterioresdeuntriánguloesiguala180°.
Algebraicamente:
Disponiendolosángulosdeltriánguloenformaconsecutivaseobtieneunángulollano.
8
Corolarios:
x
Entodotriángulo,cadaánguloesiguala180ºmenoslasumadelosotros
dosángulos.
x
Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos
restantessonagudos.
x
Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son
iguales.
Actividadcongeogebra:
Construyeuntriángulorectánguloycompruebaquelasumadesusánguloses
180°
Actividadesparaelaula:
1.
ˆ
Si conocemos dos ángulos de un triángulo Aˆ 36º y B=48º
, ¿cuánto
podemosdecirquemideelángulo Ĉ ?
2.
Si en un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 36°, ¿cuánto medirá el
ángulodesigual?
3.
Determinaelvalordexsilosángulosinterioresdeuntriángulosonx,2xy3x.
9
x
Propiedaddelasumadelosángulosexterioresdeuntriángulo:
Teorema:
Entodotriángulo,cualquieránguloexteriorcoincideconlasumadelosinterioresno
adyacentes.
Algebraicamente:
Disponiendolosángulosdeltriánguloenformaconsecutivaseobtieneunángulollano.
10
ActividadconGeogebra:
Construye un triángulo ABC, rectángulo en A y comprueba que el ángulo
exteriorenBcoincideconlasumadelosinterioresnoadyacentes.
Actividadesparaelaula:
1.
Calculalamedidadetodoslosángulosdelsiguientetriánguloisósceles:
2.
Enuntriánguloisósceles,elánguloexteriordelvérticemide70°.¿Cuántomiden
losángulosinterioresdelabase?
3.
Encuentraelvalordex:
11
x
Ángulosinternosenunpolígono:
Lasumadelosángulosdecualquiercuadriláteroes360°
ActividadesconGeogebra:
x
¿Esposibleconstruiruncuadriláteroconunúnicoángulorecto?¿Ycondos?¿Ycon
tres?
x
Demuestraquelasumadelosángulosinternosdeuntriánguloes180°.¿Cuálesel
valordelasumadelosángulosinternosdeunpolígonocualquieradenlados?
Actividadesparaelaula:
1.
12
Uncuadriláterotieneunángulorecto,otromide 96º 11c 15cc yotro 76º 3cc .¿Cuánto
mideelcuartoángulo?
x
Ángulosexternosdeunpolígono:
Unánguloexterioroánguloexternoeselánguloformadoporunladodeun
polígonoylaprolongacióndelladoadyacente.
ActividadesconGeogebra:
x
Realizalamismademostraciónparaunhexágono.
x
Razonaqueocurreentrelosángulosexterioreseinterioresdeunpolígono,¿qué
relaciónangularlosune?
x
Engeneral,¿cuántomidelasumadelosángulosexterioresdecualquierpolígono?
Actividadesparaelaula:
1. Calculalamedidadelosángulosdesconocidos:
13
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Lamediatrizdeunladodeltriánguloeslarectaperpendicularaél,quepasaporel
puntomedio.
ActividadesconGeogebra:
Lastresmediatricesdelosladosdeuntriángulosecortanenunpunto,circuncentro,
queequidistadelostresvérticesyqueeselcentrodelacircunferenciacircunscrita
deltriángulo.
ActividadesconGeogebra:
14
ActividadconGeogebra:
Lastresbisectricesdeuntriángulosecortanenunpunto,incentro,queequidistade
lostresladosdeltriánguloyqueeselcentrodelacircunferenciainscrita.Construyela
circunferenciainscritaauntriángulo.
Actividadesparaelaula:
1. Construye la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices A ( 0 , 0 ) ,
B ( 3 , 1 ) ,C(5,7).
2. CalculaeláreadeltriánguloABCdelafigura,sabiendoquelacircunferenciaes
deradio4.
3. Lasalturasdeuntriángulosonlaslongitudesdelossegmentosquepasanpor
los vértices del triángulo y son perpendiculares a los lados opuestos o a sus
prolongaciones. Las tres alturas se cortan en un punto llamado Ortocentro.
DibujaconGeogebrauntriánguloycompruebaquelastresalturassecortanen
elOrtocentro.
4. Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice del
triánguloyelpuntomediodelladoopuestoadichovértice.Lastresmedianas
deuntriángulosecortanenelbaricentroocentrodegravedaddeltriángulo.
DibujaconGeogebrauntriánguloycompruebaquelastresmedianassecortan
enelbaricentro.
15
TEOREMAS RELACIONADOS CON LOS TRIÁNGULOS
x
TeoremadePitágoras:
TeoremadePitágoras:Enuntriángulorectángulo,dehipotenusaaycatetosbyc,se
cumpleque:
a2=b2+c2
Congeogebra:
ActividadconGeogebra:
ElTeoremadePitágorasesbastanteútilparaclasificartriángulos.
Recuerdalasiguienteclasificacióndetriángulos:
x a2=b2+c2,eltriánguloesrectángulo
x a2<b2+c2,eltriánguloesacutángulo
x a2>b2+c2,eltriánguloesobtusángulo
Diseña una actividad con Geogebra que te permita clasificar triángulos
utilizandoelTeoremadePitágoras.
16
Actividadesparaelaula:
1. DibujaconGeogebrauntriángulorectánguloycompletaelsiguientetexto:
Los lados del triángulo miden respectivamente
Los dos lados más cortos se llaman
llama
,
y
y el más largo se
.Vemos que se cumple el Teorema de
Laigualdadnuméricaqueseobservaes:
más
elevado al
.
.
elevadoalcuadrado
, es igual que
elevado al
.
Perotambiénsepuedevercomounarelacióngeométrica.Eláreadel
dibujado sobre el lado
dibujadosobreellado
cuadradodellado
sumado con el área del
mideigualqueel
del
.
2. Utiliza una construcción de Geogebra para hallar las longitudes de los lados
señaladosconletras:
3. Uncuadradotieneunadiagonaldeunalongitudde16cm.¿Cuálessuárea?
17
x
Otrosteoremasdeltriángulo:
Teoremadelaaltura:Elproductodelosdoscatetos,deuntriángulorectángulo,
coincideconelproductodelahipotenusaporlaalturasobreella
ConGeogebra:
ActividadconGeogebra:
HazunaconstrucciónconGeogebraparaprobarelTeoremadelCateto:
TeoremadelCateto:Elcuadradodeuncatetoesigualalproductodelahipotenusa
porlaproyeccióndelcatetosobrelahipotenusa.
18
Actividadesparaelaula:
1. Calculaeláreasombreadaenlafigurasiguiente:
2. ¿AquédistanciadeAestásituadoelpuntoMsisesabequeladistanciaentreE
yCesde8cm.,entreCyAesde5cm.yentreDyCesde2cm.?
B
D
E
C
A
M
TeoremadeTales:Unaseriederectasparalelasquecortanadosrectasconcurrentes
determinanenunadeellassegmentosproporcionalesaloscorrespondientes
determinadosenlaotra.Yalrevés,silossegmentossonproporcionales,lasrectas
sonparalelas
ConGeogebra:
19
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Con Geogebra podemos calcular áreas simplemente utilizando la herramienta área o
bienutilizandolacuadrícula.Inclusopodemoscalcularáreasdeimágenes.
Peronosvamosadedicaraalgomásprofundo,lademostracióndelasrelacionesentre
áreasdefigurasatravésdeGeogebra.
x
EláreadeunRomboeslamitadqueladelrectánguloenelqueestáinscrito:
ActividadesconGeogebra:
1. Compruebaquealsuprimir,enunparalelogramo,eltriángulodelaizquierday
ponerloaladerecha,seobtieneunrectángulo.Luegopodemosconcluirqueel
áreadeunparalelogramocualquiera,coincideconeláreadelrectánguloque
seforma
2. Sinembargo,elperímetronoguardarelaciónconelárea.Demuestraquehay
muchosparalelogramosconlosmismoslados,portanto,conigualperímetro,
perocondistintaárea.
20
x
Eláreadeuntriánguloeslamitaddeladeunparalelogramo:
ActividadesconGeogebra:
1. Compruebaqueeláreadeltrapecioeslamismaqueeláreadelparalelogramo
debaselasumadelasbasesdeltrapecioydealturalamitad.
2. Calculaeláreadelaspistasdelinstituto.
3. Calculaeláreadelasiguientefigura
21
x
El área de un polígono regular se aproxima al área del círculo en el que está
inscrito,amedidaquecreceelnúmerodelados:
22
LA CIRCUNFERENCIA
x
Construccióndelacircunferencia:
Teorema1:Circunferenciaquepasapordospuntos
EllugargeométricodelcentrodelascircunferenciasquepasanpordospuntosAyB
eslamediatrizdelsegmentoAB.
Geométricamente:
Teorema2:Circunferenciaquepasaportrespuntos
Portrespuntosdelplanonoalineadospasaunaysólounacircunferencia.
Corolario:
Doscircunferenciasdistintaspuedencortarse,alosumo,endospuntos.
ActividadesconGeogebra:
x
Demuestraelteorema2.¿Quiénesesacircunferencia?
(Indicación:trespuntosnoalineadosformanuntriángulo)
23
x
PosiciónrelativaRecta––Circunferencia:
Larectapuedesertangente.Secortanenunúnicopunto
Larectapuedesersecante.Secortanendospuntos.
Larectapuedeserexterior.Nosecortanenningúnpunto.
ActividadesconGeogebra:
ConstruyeenGeogebraunacircunferenciayunarectas.Dibujaunradioypintael
segmento t que representa la distancia más corta desde el centro de la
circunferenciaalarectas,¿quéánguloformanlasrectassyt?
Muestra la distancia del radio y del segmento que une el centro de la
circunferenciaylainterseccióndesyt.Muevelarectaydescriberazonadamente
larelaciónentreesasdistanciasylaposicióndelarectaylacircunferencia.
x
Apartirdeaquírazonaelteoremasiguiente.
Teorema:
SeanunarectasyunacircunferenciaC,concentroenOyradior,enelplano.Larecta
sestangenteaCsiysólosiesperpendicularalradioenelpuntodetangenciaA.
24
x
Posiciónrelativaentredoscircunferencias:
Doscircunferenciaspuedenser:
Secantes,sisecortanendospuntos.
Tangentes,silohacenenunsolopunto.Estatangenciapuedeserinterioroexterior.
Concéntricas,sitienenigualcentroperodistintoradio.
ActividadesconGeogebra:
x
Construyedoscircunferencias.Dibujasusradiosypintaelsegmentoqueunelos
centros d. Muestra la distancia del radio y del segmento que une los centros.
Muevelascircunferenciasydescriberazonadamentelarelaciónentrelasdistancias
delosradiosyladelsegmentoqueuneloscentros.
Teorema:
SeandoscircunferenciassecantesenAyB.Entonces,elsegmentoqueunesus
vértices,estáenlamediatrizdeAB.
Corolarios:
1)Endoscircunferenciassecantes,ladistanciaentreloscentrosesmenorquelasuma
delosradiosymayorqueladiferenciadelosmismos
2)Endoscircunferenciastangentes,elpuntodetangenciaestáenlalíneaqueunelos
centros.
ActividadesconGeogebra:
x
JustificarazonadamenteloscorolariosanterioresconGeogebra
25
x
Ángulosenunacircunferencia:
Ángulocentraleselquetienesuvérticeenelcentrodelacircunferencia.Losqueno
tienenelvérticeenelcentro,sellamanexcéntricos,ypuedenser:interiores,
exterioresyperiféricos.Dentrodelosperiféricosencontramos:
x
Ánguloinscritoeselquetienesuvérticesobrelacircunferenciaysusladosson
doscuerdas.
x
ÁnguloSemiinscritoaquélcuyovérticeestásituadoenlacircunferenciayque
tieneporladosunacuerdayunarectatangentealacircunferencia.
Teoremas:
1.
Lamedidadeunánguloinscritoenunacircunferenciaeslamitaddelarco
comprendidoentresuslados
2.
Lamedidadeunángulosemiinscritoeslamitaddelángulocentral
correspondientealarcocomprendidoentresuslados
3.
Lamedidadeunángulointeriordeunacircunferenciaeslasemisumaentreel
arcocomprendidoentresusladosyelarcocomprendidoentrelaprolongaciónde
ellos
4.
Lamedidadelánguloexterioresigualalasemidiferenciaentrelosarcos
comprendidosentresuslados
26
Teorema:(Ánguloinscritoenunasemicircunferencia)
Todoángulocuyovérticeestésituadoenunacircunferenciaycuyosladospasenpor
losextremosdeundiámetro,esrecto.
ActividadesconGeogebra:
x
SobreunacircunferenciadecentroOsemarcantrespuntoscualesquieraABC.¿De
quétipoeseseángulo?¿CuántomediráconrespectoalcentralAOC?.
SiACesundiámetrodelacircunferencia,¿CómoeselánguloABC?
x
DadounsegmentoAB,determinaellugargeométricodelospuntosdelplanoP,
quecumplenqueelánguloAPBesrecto
Actividadesparaelaula:
1. Tenemos un triángulo inscrito en
semicircunferenciacomomuestralafigura.
una
p 40 º halla los siguientes
Sabiendo que el arco AC
n n n
n , CAB
n, n
ángulos: CBA
ACB CBA , CAB , ACB 2. Hallaelvalordelosseisángulosseñaladosenlafigura:
27
SeaunsegmentoAB,sedenominaarcocapazdeABparaunánguloĮallugar
ˆ
D .
geométricodelospuntosdelplanoM,talesque AMB
Casosparticulares.
x
x
x
Elarcocapazdeunángulorecto,construidosobreelsegmentoesuna
semicircunferenciadediámetroAB.
ˆ cuyosladospasanpor
EllugargeométricodelvérticeAdeunángulorecto BAC
dospuntosfijosByCeslacircunferenciadediámetroBC.
Untriángulorectánguloesinscriptibleenunasemicircunferenciacuyodiámetro
sealahipotenusadeltriángulo,osea,Į<90º
ActividadesconGeogebra:
x
28
Realizaalgunodeloscasosparticularesanteriores.
MOVIMIENTOS Y TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
x
Traslación:
Traslación(sindeslizadores)___________________________________________
Traslacióndeunobjeto:
Traslacióndeunaimagen:
Actividadcongeogebra:
G
Construyeunpentágonoregularytrasládalomedianteelvector u (10, 0) Traslación(condeslizadores)__________________________________________
Traslacióndeunobjeto(condeslizador):
Traslacióndeunaimagen(condeslizador):
29
Actividadcongeogebra:
G
Construyeunpolígonode6ladosytrasládalomedianteelvector u 12,15 utilizando
undeslizador.
Actividadesparaelaula:
G
Inserta una imagen de un animal. Trasládalo mediante el vector u 10,15 .
Experimenta con la figura (arrastrando los vértices del polígono) y describe lo que
observas:
30
x
Compara las dos imágenes: forma, posición, tamaño, orientación, ... ¿qué
tienenencomúnyquélesdiferencia?
x
¿Quérelaciónhayentreelvectorylasdosfiguras?
x
Simetrías:
Simetríacentral_____________________________________________________
Lasimetríacentral,engeometría,esunatransformaciónenlaqueacadapuntosele
asociaotropunto,quedebecumplirlassiguientescondiciones:
a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de
simetría.
b) Elpunto,suimagenyelcentrodesimetríapertenecenaunamismarecta.
SimetríacentraldelpuntoA.
SimetríacentraldeltriánguloABC,
respectodelpuntoO.
ActividadconGeogebra:
Construyeunpolígonoirregularde5ladosytrazasusimétricorespectodeunpunto
cualquiera,O.
31
Simetríaaxial_____________________________________________________
La simetría axial es el movimiento que transforma todos los puntos de un objeto en
otroidéntico,tomandocomoreferenciaunejedesimetría.Esdecir,enunasimetría
axialacadapuntodeunafiguraseleasociaotropuntollamadoimagen,quecumple
conlassiguientescondiciones:
a) Ladistanciadeunpuntoysuimagenalejedesimetría,eslamisma.
b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de
simetría.
SimetríaaxialdelpuntoA.
Simetríaaxialdeuntriángulo.
En una simetría axial permanecen invariantes sus propiedades geométricas (ángulos,
forma,tamaño,posición,alturas,bisectrices……)aunquenoelsentidodelosángulos.
ActividadconGeogebra:
Deseamosembaldosarunsuelocontriángulosequiláteros.Utilizalassimetríasaxiales
paraconseguirlo.
32
Composicióndesimetrías_________________________________________________
x Siseaplicalamismasimetríadosveces,seobtieneunaidentidad.
x Siseaplicandossimetríasrespectodeejesparalelos,seobtieneunatraslación
cuyodesplazamientoeseldobledeladistanciaentredichosejes.
x SiseaplicandossimetríasrespectodeejesquesecortanenO,seobtieneun
giroconcentroenO,cuyoánguloeseldobledelqueformandichosejes.
Actividadesparaelaula:
1. Dibuja un pentágono de vértices A(2,2), B(Ͳ2,8), C(Ͳ10,0), D(Ͳ4,Ͳ4) y E(0,Ͳ2).
Construyesuimagensimétricarespectoalpunto(0,0).¿Cuáleslaimagendel
puntoC?
Construye su imagen simétrica respecto a la bisectriz del primer y tercer
cuadrante.¿CuálesahoralaimagendelpuntoC?
2. Se quiere embaldosar un patio con figuras geométricas planas iguales
(triángulos, cuadriláteros, figuras compuestas,……). Intenta construir un patrón
quetepermitaembaldosarlosindejarhuecosenblanco.
33
x
Giros:
Girosindeslizador__________________________________________________
UngirodecentroOyánguloɲesunmovimientoqueacadapuntodelplanoB,lehace
corresponderotropuntodelplanoB',deformaqueladistanciadeOaBeslamisma
queladistanciadeOaB'yelánguloformadoporlossegmentosOByOB'valeɲ.Al
puntoB'sedenominahomólogodeB.
ActividadconGeogebra:
Construyelas4aspasdeunmolinoutilizandogiros.
Girocondeslizador__________________________________________________
Sepuedeañadirundeslizadorquenospermitagirardeformagradualunafigura.
ParaellohayqueañadirenlabarradeentradaRota[polígono,D,C]
34
ActividadconGeogebra:
Construyeunpentágonoregularyhazlogirarconundeslizadorsobresucentro
Actividadesparaelaula:
1. Construyeunhexágonoregularyhazlogirarsobresucentroconunángulode
giro D (entre 0 y 360 grados). Observa su comportamiento y contesta a las
siguientespreguntas:
a) ¿Encuántasocasiones,yparaquéángulosdegiro,lafiguragiradacoincide
conladepartida?
b) Setratadeunafiguraconsimetríadegiro,¿dequéorden?
c) Ademásdesimetríadegiro,¿tienelafigurainicialalgúnejedesimetría?
2. En muchos de los logotipos de las marcasy empresas podemos encontrarnos
con formas creadas aplicando giros. ¿Podrías encontrar el centro y ángulo de
girodelossiguienteslogotipos?
35
x
Homotecias:
Homotecia_________________________________________________________
SellamahomoteciadecentroOyrazónk(distintodecero)alatransformaciónque
hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=kͼOA.
Sik>0sellamahomoteciadirectaysik<0sellamahomoteciainversa.
ActividadconGeogebra:
ConstruyeelpentágonodevérticesA(1,2),B(3,2),C(3,3),D(2,4)yE(1,3).Aplícaleuna
homoteciacuyofactordeescalasea2ycentrodehomoteciaelpuntoF(1,0)
Homoteciacondeslizador____________________________________________
Podemosutilizarundeslizadorquenoscambielefactordeescala:
36
Actividadesparaelaula:
1. ConstruyeenGeogebrauncuadriláterocomoelsiguiente:
a) Aplícaleunahomoteciaderazón2ycentrocualquierpuntoqueelijas.
b) ¿CuáleslarazónentreOA’’yOA?
c) ¿Quérelaciónexisteentrelamedidadelosladosdeambospolígonos?
d) ¿Cómosonlosángulosdelasdosfiguras?
e) ¿Quérelaciónexisteentrelosperímetrosdeambasfiguras?
f) ¿Quérelaciónexisteentrelasáreasdeambasfiguras?
37
FRISOS Y MOSAICOS
x
Frisos:
DadaunaregiónR,sellamaCUBRIMIENTODELAREGIÓNRaunconjuntodefiguras
geométricasquesepuedencolocardetalmaneraquetodopuntodelaregiónR
perteneceaunaysólounadedichasfiguras.
Losfrisossoncubrimientosderegionesdelongitudinfinitaperodeanchurafinita.Por
ellolasúnicasisometríasquepuedenformarpartedeellosson:
•
lastraslacionesdevectorparaleloalosbordesdelaregión.
•
losgirosde180ºcuyocentroequidistadelosbordesdelaregión.
•
lassimetríascuyoejeeslarectaqueequidistadelosbordesdelaregiónoes
perpendicularadicharecta.
•
lassimetríasendeslizamientocuyoejeeslarectaqueequidistadelosbordes
delaregión.
FormasdeConstruirFrisos_________________________________________________
ActividadesconGeogebra:
x
Existen siete formas de construir un friso con los movimientos que hemos
comentado,dibujauntriánguloconGeogebrayrealizalosotros5tiposdefrisos.
x
Creaundeslizadorparaqueaparezcanlasfigurasenelejercicioanterior.
Actividadesparaelaula:
1. EnlasiguientecenefaquepuedesencontrarenlaAlhambrabuscacualeselpatrón
mínimoderepetición,márcaloydiquemovimientosaplicas.
38
x
MosaicosRegularesySemiͲregulares:
Sellamamosaicoatodocubrimientodelplanomediantepiezasllamadasteselasque
nopuedensuperponerse,nipuedendejarhuecossinrecubrir.
Portantolosángulosqueconcurrenenunvérticedebendesumar360grados.
Hay3tipos:
•
•
•
Regulares
SemiͲregulares
Otros
Enlosmosaicosregularesseutilizacomomotivomínimounúnicopolígonoregular.
Sóloesposibleconstruir3mosaicosutilizandocomoteselaunpolígonoregular.
ActividadesconGeogebra:
Aquítenemosdosdelasformasdecubrirelplanoconpolígonosregulares:
ActividadesconGeogebra:
x
Construyeelcubrimientodelplanoconelhexágono.
Actividadesparaelaula:
1. Paracubrirelsuelodelaclaseconlasmismaslosasconformadepolígonoregular,
sólo podemos usar losas de tres formas distintas. ¿Qué polígonos podrán ser estas
losas?¿Porquénopodemosusarotrospolígonosregulares?
39
EnlosmosaicossemiͲregulares,elmotivomínimoson2omáspolígonosregulares
diferentes,siemprequesusladoscoincidan.Lacondiciónaverificaresquelos
ángulosqueconfluyanencadavérticesumen360º.
Solamenteexisten8mosaicosconestascaracterísticas.
EstosmosaicossemiͲregularessonlossiguientes:
Estaseríaunadelasformasdecubrirelplanoconestosmosaicos:
ActividadesconGeogebra:
x
Construye uno de los anteriores cubrimientos del plano con mosaicos semiͲ
regulares.
Actividadesparaelaula:
1. HazunmosaicosemiͲregularaescalaparacubrirelsuelodeunahabitaciónde5x8
metros
40
x
MosaicosenlaAlhambra:
Pezvolador_____________________________________________________________
ActividadconGeogebra:
Crealatesela““pezvolador””conayudadeGeogebra
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Hueso____________________________________________________________
Sepuedeañadirundeslizadorquenospermitagirardeformagradualunafigura.
ActividadconGeogebra:
Construyelatesela““hueso””conayudadeGeogebra
ActividadconGeogebra
Construyeunaviónnazaríyunmosaicollenodeestasteselas.
Esinteresantecreardeslizadoresparacrearlaconstruccióndeformagradual
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MosaicosdeEscher(Ampliación):
EnloscuadrosygrabadosdeEscher,unadelascaracterísticasmásrelevantesesla
utilizacióndelaparticiónperiódicadelplano.Consisteenrecubrirelplanoconla
mismapieza,queserepitedeformaconstante,sindejarhuecos.
ConstrucciónReptilesdeEscher(conplantilla)________________________________
El objetivo es encontrar la estructura de una pieza que tras una sucesión de
movimientosgeométricosrelleneporcompletoelplano.
ActividadconGeogebra:
CrealateseladelamariposadeEscherconayudadeunaplantilla.
ActividadconGeogebra:
Construyelaanteriorconstrucciónsinelusodelaplantilla,sepuedeusardeguíala
imagensiguiente
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AplicacióndelacreacióndeHerramientas.
ActividadesconGeogebra:
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Resultamuy útil en laconstrucción de mosaicos contar con una herramienta que
construyasegmentoscirculares,creadichaherramienta.
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Aplicaestaherramientaparalaconstruccióndecualquieradelosdosmosaicosque
podemosencontrarenlaAlhambra
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