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Análisis estadístico de datos muestrales
M. en A. Víctor D. Pinilla Morán
Facultad de Ingeniería, UNAM
Resumen
Representación de los datos de una muestra: tablas de frecuencias,
frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas.
Representación gráfica de dichas tablas: Histogramas y polígonos de
frecuencias. Analogías de estos polígonos con las funciones de
probabilidad según el concepto frecuentista de la probabilidad:
distribuciones empíricas de probabilidad.
Medidas de tendencia central, de dispersión de la muestra, de sesgo y
aplanamiento de la muestra, cuando los datos de ella están o no
agrupados. Analogía de estas medidas con las correspondientes a la
función de probabilidad de la variable aleatoria discreta.
1.1 La población y la muestra. Relación entre
la
probabilidad
y
la
estadística.
Clasificaciones de la estadística.
De esta definición pueden percibirse dos grandes
áreas de acción de la Estadística, la Descriptiva y
la Inferencial.
Estadística: En el lenguaje común es conocida
como un conjunto de datos. Se refiere a un
conjunto de métodos para manejar la obtención,
presentación y el análisis de observaciones
numéricas. Sus fines son: Describir al conjunto
de datos obtenidos y tomar decisiones, o bien,
realizar generalizaciones acerca de las
características
de
todas
las
posibles
observaciones bajo consideración.
Estadística Descriptiva. Se refiere a aquella
parte del estudio que incluye la obtención,
organización, presentación y descripción de la
información numérica.
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
Estadística Inferencial. Es una técnica de la
cual se obtienen generalizaciones o se toman
decisiones con base a información parcial o
incompleta
obtenida
mediante
técnicas
descriptivas.
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
1
Es necesario determinar que todas las ciencias
sin importar la disciplina tienen como
denominador común al método científico, por
ende, la Estadística al ser una herramienta
necesaria ara el método científico, forma parte
también de todas las ciencias.
Desde el punto de vista de la naturaleza de la
información manipulada, la Estadística puede
clasificarse como Paramétrica y No Paramétrica.
Estadística Paramétrica. Son todas aquellas
técnicas y herramientas estadísticas que utilizan
variables cuantitativas, es decir, medibles.
Estadística No Paramétrica. Son todas aquellas
técnicas y herramientas estadísticas que utilizan
variables cualitativas.
Desde el punto de vista del número de variables
sobre las cuales se basa el análisis matemático
respectivo, siendo la estadística univariable la
que utiliza una sola variable, mientras que la
estadística multivariable analiza dos o más
variables.
Población. Conjunto de todas las posibles
observaciones. Sinónimo de Conjunto Universal
se le define como la totalidad de todas las
posibles
mediciones
observables,
bajo
consideración en una situación dada por
determinado problema, circunstancias diferentes
implican situaciones diferentes.
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
Las Poblaciones se clasifican en función a su
cardinalidad.
Población Finita. Es aquella que incluye un
número limitado de medidas y observaciones.
Población Infinita. Es aquella que por incluir un
gran número de medidas y observaciones no es
posible determinar la cantidad de éstas.
En lo general, las características medibles de una
población son denominadas Parámetros.
Muestra. Conjunto de observaciones o medidas
tomadas a partir de una población dada, es decir,
es un subconjunto de la población. Desde luego,
la cardinalidad de la muestra depende de la
cardinalidad de la población. Las muestras deben
ser representativas para evitar un sesgo u error.
Estadísticos Muestrales1. En lo general, son las
características medibles de una muestra
El muestreo es la técnica seguida para obtener o
extraer una muestra. Su ventaja radica en que
nos permite conocer, con un grado de
aproximación aceptable, a partir de sus
características, las características propias de la
población de la cual proviene. Esto resulta
En la literatura suelen denominarse por
igual estadísticos o estadísticas a las
características de las muestras.
1
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
2
invaluable, tomando en cuenta que en la mayoría
de los casos, las características de las muestras
son desconocidas.
El sesgo es la diferencia que existe entre los
datos obtenidos a través de una muestra y los
datos reales (normalmente desconocidos)
pertenecientes a la población. Puede interpretarse
como un error absoluto entre un valor real y uno
aproximado. Cuando se denomina como sesgado
a determinado resultado se pretende establecer
que su valor es diferente al real.
Las técnicas de muestreo pueden clasificarse de
la siguiente forma:
Muestreo Estratificado. Esta técnica implica
dividir a la población en clases o grupos
denominados Estratos. Se supone que las
unidades que componen al estrato, son
relativamente homogéneas, con respecto a las
características que vayan a estudiarse. A menudo
se toma una razón de muestreo igual para todos
los estratos generalmente en proporción; a una
muestra seleccionada así, se le llama Muestra
Estratificada Proporcional. (Se estudia sólo el
estrato)
Cuando la proporción de rastreo está
directamente relacionada con la homogeneidad
es decir entre más homogéneo sea el estrato
menor será su proporción incluida en la muestra.
A una muestra obtenida de esta forma se le
denomina:
Muestra
estratificada
Desproporcionada. (De una población normal se
toma una muestra proporcional)
Muestreo
por
Conglomerados.
Este
procedimiento implica la selección de grupos
(conglomerados) a partir de la población, las
diferencias
entre
conglomerados
son
generalmente pequeñas, aunque internamente sus
unidades son heterogéneas. Cada conglomerado
es una miniatura de la población.
Muestreo Probabilístico. Es aquel en donde en
la elección de una muestra interviene el azar.
Muestreo No Probabilístico. Es aquel en donde
en la selección de una muestra no interviene el
azar.
Muestreo sistemático. Se selecciona una
muestra tomada cada k-ésima unidad de la
población a la vez, una vez que las unidades de
la población están arregladas de alguna forma. k,
es la razón del muestreo. (En el metro, preguntar
a cada 5 personas que pasan.)
Muestreo Aleatorio Simple. Cada uno de los
componentes de la muestra tienen la misma
probabilidad de ser elegido. Puede ser:
Con Reemplazo logra un número infinito
de las muestras, lo que asegura la
independencia estadística entre ellas.
Sin Reemplazo logra un número finito de
las
muestras
las
cuales
son
estadísticamente dependientes.
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
3
Representación de los datos de una
muestra. La Estadística Descriptiva se
encarga de la obtención, organización,
representación y descripción de los datos.
general se coincide que no sean tan pocos
que no resulte apropiada la agrupación de
datos ni tantos que la haga poco práctica. En
general, se recomienda que el número de
intervalos no sea ni menor de cinco ni mayor
a quince.
La obtención de los datos se logra a través de
las técnicas de muestreo, conforme al diseño
del experimento seleccionado.
Por otra parte, ciertos autores han establecido
algunas reglas matemáticas para determinar
el número de intervalos. Dos de ellas son:
1.2 Estadística descriptiva.
Como se podrá observar más adelante,
existen expresiones que permiten trabajar
con la totalidad de los datos de la muestra; al
arreglo que utiliza la totalidad de los datos se
le conoce como datos no agrupados.
Antes de la evolución tecnológica o bien,
cuando los recursos de cómputo son
limitados, trabajar con un número alto de
datos resulta complicado. Por tal motivo, se
conformó un arreglo de datos basado en
intervalos conocido como tabla de
frecuencias. Cuando se utiliza la tabla de
frecuencias se dice que se trabaja con datos
agrupados.
Ahora bien, con el avance en los recursos de
cómputo resulta ahora de lo más sencillo
trabajar con datos no agrupados, lo que evita
errores numéricos y los propios ocasionados
por el agrupamiento de los datos en las tablas
de frecuencia. No obstante, las tablas de
frecuencias son necesarias para construir las
representaciones gráficas de las muestras.
Intervalos de clase. Se refiere a los
intervalos en los cuales serán agrupados los n
datos obtenidos en el muestreo. Una tabla de
frecuencias se compone de un número finito
de intervalos continuos, todos del mismo
ancho. El número de intervalos es variable y
su elección depende de la experiencia de
quién construye la tabla. No existe consenso
por parte de los autores para determinar el
número óptimo de intervalos, pero en lo
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
Ley de Sturges: # intervalos = 1 +
3.322 Log (n)
# intervalos = n
En ambos casos, n es el número total de
datos.
Lo que resulta importante, más que
determinar el número de intervalos, es que
estos cumplan con una serie de
características:
1. Todos los intervalos deben tener el
mismo ancho.
2. Un dato sólo puede pertenecer a un
solo intervalo.
3. No debe haber intervalos vacíos.
Ilustremos lo anterior con un ejemplo.
Ejemplo. Los siguientes datos corresponden
a 80 mediciones de la longitud de un
travesaño parte de un chasis. Sus
dimensiones son en centímetros.
50.1
50.6
50.7
51.1
52.0
50.8
51.4
49.9
51.8
51.3
50.6
49.1
51.4
51.8
51.3
51.5
51.0
50.9
50.3
51.2
51.1
51.8
51.9
50.3
51.1
51.1
51.7
50.2
50.5
51.6
50.8
51.0
50.4
51.5
50.8
51.2
50.1
51.5
51.7
51.9
52.2
50.8
51.7
51.7
49.4
50.3
52.1
51.0
51.7
51.9
51.9
51.8
51.0
50.3
50.3
51.3
51.0
50.2
50.4
51.6
51.2
51.1
49.5
49.9
51.1
51.7
52.8
49.6
49.6
53.1
52.0
49.7
52.0
49.7
51.2
51.8
51.1
51.3
51.2
51.8
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
4
El primer paso para construir los intervalos de
clase consiste en ordenar los datos de menor a
mayor, sin eliminar ninguno de ellos.
49.1
49.4
49.5
49.6
49.6
49.7
49.7
49.9
49.9
50.1
50.1
50.2
50.2
50.3
50.3
50.3
50.3
50.3
50.4
50.4
50.5
50.6
50.6
50.7
50.8
50.8
50.8
50.8
50.9
51.0
51.0
51.0
51.0
51.0
51.1
51.1
51.1
51.1
51.1
51.1
51.1
51.2
51.2
51.2
51.2
51.2
51.3
51.3
51.3
51.3
51.4
51.4
51.5
51.5
51.5
51.6
51.6
51.7
51.7
51.7
51.7
51.7
51.7
51.8
51.8
51.8
51.8
51.8
51.8
51.9
51.9
51.9
51.9
52.0
52.0
52.0
52.1
52.2
52.8
53.1
Rango. Es la diferencia entre el dato mayor y el
menor.
Rango = 53.1 – 49.1 = 4.0
Número de intervalos. Es atribución del
diseñador del experimento definir el número de
intervalos con la recomendación de que no sean
ni menos de cinco ni más de quince. No obstante,
es posible utilizar como guía las siguientes
expresiones:
# intervalos = 1 + 3.322 Log (80) = 7.32
# intervalos =
n =
80 = 8.94
Se conviene en establecer ocho intervalos
Ancho del intervalo. Se define como:
menor. Para motivos de nuestro ejemplo,
comenzaremos en el dato menor.
Clase
1
2
3
4
5
6
7
8
4.0
8
Uno de estos recursos consiste en aprovechar la
uniformidad de los datos producto del diseño del
experimento. En nuestro caso, el muestreo arrojó
datos uniformes en el sentido de que todos ellos
son compuestos por dos cifras enteras y una cifra
decimal. Se puede proceder de dos formas:
1. Iniciar los intervalos un poco antes que
el dato menor, por ejemplo en 49.05. Al
establecer un límite de intervalos con
una cifra decimal más, se minimiza la
probabilidad de que algún dato coincida
con alguna frontera. Sin embargo, el dato
mayor quedará excluido del último
intervalo, por lo que se deberá aumentar
el ancho del intervalo.
= 0.5
Todos los intervalos medirán 0.5 cm de ancho.
Ahora bien, el primer intervalo puede comenzar
justo en el dato más pequeño, aunque esto no es
regla general; si al diseñador le conviene, puede
empezar con un límite inferior menor al dato
2
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
49.6
50.1
50.6
51.1
51.6
52.1
52.6
53.1
A este respecto, algunos autores en apego fiel a
la definición de intervalos expresan a los
intervalos de clase en forma de intervalos
abiertos por un extremo y cerrados por el otro (el
extremo cerrado o abierto es decisión del
diseñador)2. Sin embargo, por usos y costumbres
y pensando en las representaciones gráficas de
los datos, se utilizan algunos recursos para evitar
esta eventualidad.
Para nuestro ejemplo:
=
49.1
49.6
50.1
50.6
51.1
51.6
52.1
52.6
Puede observarse que tanto el dato menor como
el mayor son incluidos en algún intervalo; sin
embargo, se produce un conflicto ya que algunos
datos coinciden con las fronteras compartidas de
los intervalos, lo cual no satisface la segunda
característica de los intervalos de clase.
W : Ancho del Intervalo
Rango
W=
# intervalos
W
Intervalos de Clase
Límite
Límite
Inferior
Superior
Se les denomina Límites Reales de Clase.
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
5
2. Aumentar el ancho de intervalo en una
cifra decimal más que la que contienen
los datos, por ejemplo, 0.55. Debe
tomarse en cuenta que en determinado
momento, la suma de los anchos de
intervalo pueden hacer coincidir un dato.
Resulta más conveniente utilizar 0.51
Clase
1
2
3
4
5
6
7
8
Intervalos de Clase
Límite
Límite
Inferior
Superior
49.10
49.61
50.12
50.63
51.14
51.65
52.16
52.67
49.61
50.12
50.63
51.14
51.65
52.16
52.67
53.18
Marcas de clase. Son los puntos intermedios de
cada intervalo de clase.
Clase
1
2
3
4
5
6
7
8
Ti =
Lsup − Linf
Intervalos de Clase
Límite
Límite
Inferior
Superior
49.10
49.61
49.61
50.12
50.12
50.63
50.63
51.14
51.14
51.65
51.65
52.16
52.16
52.67
52.67
53.18
50.1
50.2
50.2
50.3
50.3
50.3
50.3
50.3
50.4
50.4
50.5
50.6
50.6
50.7
50.8
50.8
50.8
50.8
50.9
51.0
51.0
51.0
51.0
51.0
51.1
51.1
51.1
51.1
51.1
51.1
51.1
51.2
51.2
51.2
51.2
51.2
51.3
51.3
51.3
51.3
51.4
51.4
51.5
51.5
51.5
51.6
51.6
51.7
51.7
51.7
51.7
51.7
51.7
51.8
51.8
51.8
51.8
51.8
51.8
51.9
51.9
51.9
51.9
52.0
52.0
52.0
52.1
52.2
52.8
53.1
Naturalmente, la suma de todas las frecuencias
debe coincidir con el número total de datos (n).
Este último arreglo garantiza el cumplimiento de
las tres características de los intervalos de clase.
Ti : Marca de Clase
49.1
49.4
49.5
49.6
49.6
49.7
49.7
49.9
49.9
50.1
2
Frecuencia Relativa. Se refiere a la frecuencia
de cada una de las clases dividida entre el
número total de datos (n). De aquí se deriva la
interpretación frecuentista de la probabilidad.
F 'i : Frecuencia relativa de la i-ésima clase
F
F 'i = i
n
Comprobando el axioma de la probabilidad para
variables aleatorias discretas:
P( x) = 1 , la
Marcas de
Clase
49.36
49.87
50.38
50.89
51.40
51.91
52.42
52.93
∑
∀X
suma de todas las frecuencias relativas debe ser
la unidad.
Frecuencia Acumulada. Son los datos
acumulados desde el primer dato hasta la i-ésima
clase.
Faci : Frecuencia Acumulada de la i-ésima
clase.
Frecuencia. Es el número de datos que pertenece
a cada intervalo de clase.
Fi : Frecuencia de la i-ésima clase
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
Este concepto coincide con el particular de
Función de Distribución o Función de
Probabilidad Acumulada. Debe destacarse que la
Frecuencia Acumulada de la última clase debe
coincidir con el número total de datos (n).
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
6
Frecuencia Acumulada Relativa. En la
frecuencia acumulada de la clase i-ésima entre el
numero total de datos (n).
F ' aci : Frecuencia Acumulada Relativa
F ' aci =
Faci
n
El polígono de frecuencias es una línea
quebrada que une los puntos de intersección de la
abscisa que corresponde a la marca de clase con
la ordenada que puede ser la frecuencia o la
frecuencia relativa. El polígono se cierra con el
eje horizontal al iniciarlo en el límite inferior del
primer intervalo de clase y concluirlo en el límite
superior del última intervalo de clase.
De la misma forma, se comprueba que
P( x) = 1 ya que la frecuencia relativa de la
∑
∀X
última clase, debe ser la unidad.
La tabla completa queda de la siguiente forma:
Clase
1
2
3
4
5
6
7
8
Σ
Intervalos de Clase
Límite
Límite
Inferior
Superior
49.10
49.61
49.61
50.12
50.12
50.63
50.63
51.14
51.14
51.65
51.65
52.16
52.16
52.67
52.67
53.18
Marcas de
Clase
49.36
49.87
50.38
50.89
51.40
51.91
52.42
52.93
Esta tabla se conoce como Distribución de
Frecuencias.
Representación gráfica de la distribución de
frecuencias. Una forma muy rápida y efectiva de
interpretar la información contenida en una
distribución de frecuencias consiste en graficar
sus elementos.
Básicamente
existen
representaciones:
tres
tipos
El Histograma en una gráfica de barras o
columnas que se construye en un sistema
coordenado en cuyo eje horizontal o de abscisas
se detallan los intervalos de clase y en el eje
vertical o de ordenadas se ubican las frecuencias
o las frecuencias relativas.
Frecuencia
Frecuencia
Relativa
5
6
12
18
16
20
2
1
80
0.06
0.08
0.15
0.23
0.20
0.25
0.03
0.01
1.00
Frecuencia
Frecuencia
Acumulada
Acumulada
Relativa
5
0.06
11
0.14
23
0.29
41
0.51
57
0.71
77
0.96
79
0.99
80
1.00
Cuando un polígono se dibuja sobre un
histograma de la misma distribución, la línea
quebrada une los centros de las bases superiores
de los rectángulos del histograma.
Las ojivas de frecuencias son líneas quebradas
que se trazan por los puntos de intersección de
las coordenadas que corresponden a las marcas
de clase y sus respectivas frecuencias
acumuladas o frecuencias acumuladas relativas.
de
Histograma
Representaciones
Gráficas
Polígono de
frecuencias
Ojiva de frecuencias
Probabilidad y Estadística
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M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
7
20
18
20
16
12
15
10
5
6
2
5
1
0
49 . 1 0
49. 61
50. 12
50. 63
5 1. 14
5 1. 65
52. 16
52. 67
5 3. 18
Histograma
20
20
18
16
15
12
10
5
5
6
2
0
49.36
49.87
50.38
50.89
51.40
51.91
52.42
1
52.93
Polígono de frecuencias
100
80
60
77
79
80
51.91
52.42
52.93
57
41
40
23
20
5
0
49.36
11
49.87
50.38
50.89
51.40
Ojiva de frecuencias
Probabilidad y Estadística
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Medidas descriptivas. Estos índices permiten
caracterizar a las distribuciones de frecuencias
para poder hacer una interpretación acertada de
la misma.
representar de la mejor forma a los datos de los
cuales proviene. Esta representación puede
lograrse de varias formas.
Media Aritmética
En lo general, todas estas medidas pueden ser
calculadas para datos no agrupados y para datos
agrupados.
Cuando se datos agrupados se trata, se utiliza la
información contenida en la distribución de
frecuencias lo que realmente implica una
simplificación, ya que se considera que todos los
datos que se ubican en un mismo intervalo de
clase (frecuencia) son iguales y se ubican sobre
la marca de clase respectiva. Naturalmente, esta
simplificación origina un error en los cálculos,
mismo que no se considera significativo y que
puede reducirse utilizando intervalos de
confianza angostos.
Medidas de Tendencia Central. Son aquellas
medidas que nos proporcionan un dato que, con
ciertos matices, puede considerarse representante
de los n datos obtenidos del muestreo.
Media. Tradicionalmente se considera a la media
como un promedio aritmético de n datos. En
realidad es más que esto. La media pretende
Probabilidad y Estadística
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n
X =
Para datos no agrupados:
∑X
i =1
i
n
donde n es el número total de datos.
Para datos agrupados:
k
X=
∑F T
i
i =1
n
i
k
= ∑ F 'i Ti
i =1
Donde:
Fi es la frecuencia de la i-ésima clase
Ti es la marca de clase de la i-ésima clase
F 'i es la frecuencia relativa de la i-ésima
clase
k representa el total de clases de la
distribución
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
9
Como dato representante de una muestra, la
media aritmética presenta el problema de los
datos ubicados en los extremos de la muestra, los
más pequeños y los más grandes, que en la
generalidad suelen ser pocos, sesgan o inducen
un error en el resultado. La media aritmética
nunca debe utilizarse por sí sola para hacer
alguna conclusión sobre la muestra, resulta
conveniente acompañarla de alguna medida de
dispersión como se verá más adelante.
Media Ponderada. A diferencia del promedio
aritmético, el promedio ponderado toma en
cuenta la existencia de los elementos además de
su valor a promediar. Es decir, al tomar en
cuenta el número de elementos repetidos
minimiza la posibilidad de uno o dos datos
extremos modifiquen dramáticamente el
resultado. La media ponderada corresponde
directamente al valor esperado o esperanza
matemática estudiado en Probabilidad.
Para calcular la media ponderada de n datos
(datos no agrupados) es necesario contar todos
ellos para establecer cuantos de ellos se repiten.
En la práctica, esto implica ordenarlos, motivo
por el cual no se acostumbra su cálculo en esta
modalidad. Por otra parte, como puede
observarse, la media ponderada para datos
agrupados coincide con la media aritmética para
datos agrupados, si consideramos un punto de
vista frecuentista de la probabilidad, ya que la
frecuencia de la clase i-ésima dividida entre el
número total de datos es la probabilidad de que
un dato pertenezca a la clase respectiva, mientras
que la marca de clase representa el valor
específico del dato.
k
X=
∑F T
i
i =1
i
n
k
= ∑ F 'i Ti
i =1
Media geométrica.
En la práctica suele obtenerse a través de
logaritmos.
Log (G ) =
1
[Log ( X 1 ) + Log ( X 2 ) + Log ( X 3 ) + ... + Log ( X n )]
n
Media armónica. La media armónica de una
serie de números es el recíproco de la media
aritmética de los recíprocos de los números.
X=
1
n
1
1
∑
n i =1 X i
=
n
n
1
∑n
i =1
en la práctica se utiliza:
n
1
=
X
1
∑X
i =1
i
n
Mediana. Es el dato que divide exactamente a la
mitad a la muestra.
n impar
n par
Se muestran los dos posibles casos de la mediana
con datos no agrupados, en el primer caso la
muestra está compuesta por un número non de
observaciones. La mediana es el dato que se
encuentra exactamente a la mitad de la muestra
ordenada. (de menor a mayor por ejemplo); esto
se puede entender considerando una balanza que
contiene los datos; para que esté equilibrada debe
existir el mismo número de datos de cada lado,
por lo que la mediana será la que quede situada
en el centro de la balanza.
X = n X 1 ⋅ X 2 ⋅ X 3 ⋅ ... ⋅ X n
Probabilidad y Estadística
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M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
10
El segundo caso cuando la muestra está
compuesta por un número par de observaciones.
En este caso, la mediana es el promedio de los
dos valores centrales.
Para su cálculo como dato no agrupado es
necesario ordenar los datos en forma descendente
o ascendente y atender la siguiente regla, de
acuerdo a la naturaleza del número total de datos
n:
Si n es impar:
med = X n +1
2
Xn +Xn
Si n es par: med =
2
2
+1
2
Como puede observarse, cuando el número de
elementos es par no hay un valor que se
encuentre exactamente a la mitad de la muestra;
en este caso se pueden promediar los dos valores
más cercanos a la mitad.
Para nuestro caso, n es par e igual a 80. De tal
forma:
X 80 + X 80
med =
2
2
2
+1
=
X 40 + X 41 51.1 + 51.1
=
= 51.1
2
2
Para su cálculo como dato agrupado, la mediana
se obtiene determinando cual es la clase que
incluye a la mediana, la cual se distingue porque
tiene una frecuencia acumulada relativa mayor o
igual a 0.5 (50% de los datos).
Para obtener una expresión que permita su
cálculo, a partir de la ojiva de frecuencias
acumuladas relativas se puede aproximar su
mediana trazando una línea horizontal a partir de
la ordenada 0.5 (o 50%) hasta cortar la gráfica y
en dicho punto localizar el correspondiente en el
eje de las abscisas.
Fac
w
n
n
2
Fk
F’ack-1
Linfk
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Med
Lsupk
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11
A partir de una interpolación lineal, se utiliza la
ecuación de la recta:
y = y0 + m( x − x0 )
de acuerdo con la anterior figura:
y = 0.5
y = F ' ack −1
x = med x 0 = Liminf
m=
f 'k
w
donde:
k : Clase donde se ubica a la mediana
F ' ack : Frecuencia acumulada relativa de
la clase anterior a la en que se encuentra la
mediana
f 'k : frecuencia de la clase donde se ubica
la median
w : ancho del intervalo
Liminf : Límite inferior de la clase donde se
ubica la mediana.
Sustituyendo los valores:
0.5 = F ' ac k −1 +
f 'k
(me − Lminf )
w
para nuestro ejemplo, la clase mediana (o la que
incluye a la mediana) es la clase 4, ya que su
frecuencia acumulada relativa es de 0.51. De tal
forma:
⎛ 80
⎞
⎜ − 23 ⎟
⎟(0.51) = 51.11
med = 50.63 + ⎜ 2
⎜ 18 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Moda. Es el elemento de la muestra que más se
repite. Una muestra puede tener una o más
modas. Cuando todos los elementos de la
muestra son diferentes, no tiene sentido hablar de
ella.
Para datos no agrupados, la moda se determina
por inspección, mientras que para datos
agrupados se puede aproximar con la marca de
clase del intervalo de la clase modal, que es la
que tenga la mayor frecuencia.
En algunos casos se puede mejorar la
aproximación considerando que la moda es la
abscisa del máximo de una curva hipotética que
pasa por las marcas de clase, como se observa:
R
D1
E
S
P
D2
T
despejando:
med = Liminf
F
w
(0.5 − F ' ac k −1 )
+
f 'k
Q
No obstante, por motivos generalistas, resulta
mejor expresar a la mediana en función de
frecuencias absolutas en lugar de relativas:
X
Linf
med = Liminf
Lsup
⎛n
⎞
⎜ − Fac k −1 ⎟
⎟w
+⎜ 2
⎜
⎟
Fk
⎜
⎟
⎝
⎠
Probabilidad y Estadística
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mod
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12
Medidas de dispersión. Estas medidas reflejan
la separación o alejamiento de los elementos de
una muestra. Estas medidas deben acompañar a
las medidas de tendencia central, particularmente
a la media, para evitar los efectos que los datos
extremos tienen sobre ellas.
De acuerdo con lo anterior, se puede considerar
que la moda debe pertenecer al intervalo de clase
con máxima frecuencia, pero proporcionalmente
más cercano al intervalo adyacente que le siga en
frecuencia, de esta manera se puede plantear la
proporción (triángulos semejantes):
EP PF
=
RQ ST
⎯
⎯→
La medida de dispersión más sencilla es el
Rango, amplitud o recorrido, que como ya se
mencionó es la diferencia entre el dato mayor y
del menor.
Mod − Linf Lsup − Mod
=
D1
D2
(Mod − Linf )D2 = (Lsup − Mod )D1
Varianza. Tal y como la define la probabilidad,
la varianza de una variable aleatoria es el
segundo momento de la misma con respecto a la
media. Asimismo, se interpreta de la misma
forma, como un promedio de las distancias de
cada dato hacia la media.
Mod (D1 − D2 ) = Linf D2 + Lsup D1
Si: w = Lsup − Linf ⎯
⎯→ Lsup = Linf + w
sustituyendo
Momentos
Mod (D1 − D2 ) = Linf D2 + (Linf + w)D1
mk =
L (D + D2 ) + wD1
Mod = inf 1
D1 + D2
Mod = Linf
para
mk =
agrupados:
para
datos
1
k
Fi (Ti − X )
∑
n i =1
agrupados:
r
3
Para datos no agrupados la varianza se define
como:
donde:
∑ (X
2
−X)
n
Linf : Límite inferior de la clase modal
w : ancho del intervalo
D1 :diferencia de las frecuencias de la
σ =
2
clase modal y la premodal
D2 : diferencia de las frecuencias de la clase
modal y la postmodal
i =1
i
n
Esta fórmula puede expresarse de una forma más
sencilla a partir del desarrollo del binomio al
cuadrado:
para nuestro ejemplo, la clase modal es la
número 6. Dado lo anterior:
∑ (X
2
n
σ =
2
⎛ 4 ⎞
mod = 51.65 + ⎜
⎟(0.51) = 51.7
⎝ 4 + 18 ⎠
σ =
2
A partir de la inspección de la muestra, el dato
que más se repite es 51.1 con siete repeticiones.
no
1
∑ (X i − X )
n i =1
Momentos
⎛ D1 ⎞
⎟⎟ w
+ ⎜⎜
⎝ D1 + D2 ⎠
datos
k
n
i =1
i
−X)
=
n
n
n
i =1
i =1
∑ (X
n
i =1
∑ X i2 − 2 X ∑ X i + n X
n
2
i
− 2X i X + X
2
)
n
n
2
1 n
= ∑ X i2 − 2 X
n i =1
∑X
i =1
3 En este caso r representa el total de clases, haciendo
una distinción con k, que es el orden del momento.
Probabilidad y Estadística
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M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
13
n
i
+X
2
n
ya que X =
∑X
i =1
i
sustituyendo
n
σ2 =
1
2
2
X i2 − 2 X − X
∑
n
Desviación media. Ciertos autores opinan que
para obtener el promedio de las distancias de
cada dato con respecto a la media debe obtenerse
el valor absoluto de la distancia entre ambos
puntos y después obtenerse su promedio. De tal
forma, la desviación media (para datos no
agrupados) se define como:
n
σ2 =
n
1
2
X i2 − X
∑
n i =1
Para datos agrupados:
Desviación Media =
∑X
i =1
Utilizando esta última expresión, para nuestro
ejemplo la varianza es de:
σ 2 = 0.6564
Por otra parte, utilizando la fórmula para datos
no agrupados:
σ 2 = 0.6308
Desviación estándar. Es fácil de percibir, a
partir de un análisis dimensional, que la varianza
posee las unidades de la variable muestreada
elevada al cuadrado. Esta situación no permite
una rápida visualización o interpretación de la
dispersión de los datos.
En virtud de lo anterior, la desviación estándar es
la raíz cuadrada de la varianza:
σ = σ2
La desviación estándar también es conocida
como desviación típica o error estándar.
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
−X
n
Asimismo, algunos autores utilizan como
referencia a la mediana en lugar de la media.
n
r
1 r
2
2
σ 2 = ∑ Fi (Ti − X ) = ∑ F ' i (Ti − X )
n i =1
i =1
i
Desviación Media =
∑X
i =1
− med
i
n
Es necesario comentar que debido a las
complejidades que implica el manejo del valor
absoluto, estos conceptos no son muy socorridos.
Asimetría. Esta medida, también llamada sesgo,
tiene como finalidad mostrar hacia qué lado de le
media se ubican más datos. Corresponde al tercer
momento con respecto a la media determinar esta
situación. No obstante, en situación similar a lo
que ocurre con la varianza, el tercer momento
posee las unidades de la variable muestreada
elevada al cubo.
Con el fin de volver adimensional al tercer
momento, se define al coeficiente de asimetría
de la siguiente forma:
α3 =
(
m3
m2
=
m3
) (σ )
3
3
2 2
Este coeficiente tiene como referencia al valor
cero.
Si: α 3 = 0 La distribución es simétrica,
es decir, existe la misma cantidad de
datos a ambos lados de la media.
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
14
Esto implica que debe cumplirse la
siguiente relación:
X = med = mod
Si: α 3 < 0 La distribución es asimétrica
negativa, es decir, existen más datos a
derecha de la media.
Datos no agrupados:
α 3 = − 0.28
Datos agrupados:
α 3 = − 0.2382
Implica que se trata de una curva asimétrica
negativa. Comprobando lo anterior:
X = 51.0571 med = 51.1117
mod = 51.7423
Esto implica que debe cumplirse la
siguiente relación:
mod = med = X
mod < med < X
Si: α 3 > 0 La distribución es asimétrica
positiva, es decir, existen más datos a
izquierda de la media.
Esto implica que debe cumplirse la
siguiente relación:
X > med > mod
α3 = 0
Apuntamiento. Corresponde al cuarto momento
con respecto a la media identificar a una medida
que auxiliar directamente a las medidas de
dispersión. El apuntamiento o curtosis4 detalla lo
puntiagudo o aplastado de una distribución.
Una distribución puntiaguda implica que los
datos están más cercanos a la media lo que a su
vez arroja una varianza pequeña. En caso
contrario, una distribución aplastada implica que
los datos se alejan de la media, lo que implica
una varianza grande.
El cuarto momento con respecto a la media posee
las unidades de la variable muestreada elevadas a
la cuarta potencia. Para mejorar una posible
interpretación, se define al coeficiente de
apuntamiento o coeficiente de curtosis:
α3 > 0
α3 < 0
α4 =
m4
(m2 )
2
=
m4
(σ )
2 2
El valor de referencia de este coeficiente es tres.
Algunos autores, para homologar el uso de este
coeficiente con el de simetría, disminuyen en tres
unidades el valor obtenido y así logran que el
valor de referencia sea cero.
α4 =
m4
(m2 )
2
−3=
m4
(σ )
2 2
−3
Para nuestro ejemplo:
4
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
Kurtosis en Inglés
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
15
El lector deberá estar atento a esta situación, ya
que la gran mayoría de los programas de
computadoras realizan su comparación contra el
cero.
La interpretación es la siguiente:
Si α 4 = 0 (o tres), se trata de una
distribución mesocúrtica.
Si α 4 > 0 (o tres), se trata de una
distribución Leptocúrtica (o puntiaguda).
Si α 4 < 0 (o tres), se trata de una
distribución Platicúrtica (o aplastada).
Fractiles. Si una serie de datos que se colocan en
orden de magnitud, el valor medio (o la media
aritmética de los dos valores medios) que divide
al conjunto de datos en dos partes iguales es la
mediana. Por extensión, de esta idea se puede
pensar en aquellos valores que dividen a los
datos en cuatro partes iguales. Estos valores se
llaman primero, segundo y tercer cuartíl,
respectivamente; el segundo cuartíl corresponde
a la mediana de la distribución.
Análogamente, los valores que dividen a la
distribución en diez partes iguales se denominan
deciles, mientras que aquellos que lo hacen en
cien partes iguales se llaman percentiles.
El quinto decíl y el quincuagésimo percentil
corresponden a la mediana.
Para nuestro ejemplo:
α = − 0.1121
4
Para datos no agrupados:
Para datos agrupados: α = − 0.4986
El cálculo de los fractiles es bajo el mismo
procedimiento utilizado para la mediana.
4
⎛ n ⋅ fracción − Fac k −1 ⎞
⎟⎟ w
Fractil = Liminf + ⎜⎜
Fk
⎝
⎠
donde:
Probabilidad y Estadística
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M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
16
Liminf :
n:
fracción :
Fack −1 :
Fk :
w:
Límite inferior de la clase en que
se ubica el fractil buscado.
Total de datos de la distribución.
Porcentaje de la muestra
buscado.
Frecuencia acumulada de la clase
anterior a aquella en que se ubica
el fractil buscado.
Frecuencia de la clase en la cual
se ubica el fractil buscado.
Ancho del intervalo.
Asimismo, si se restan el tercer y primer cuartíl
estaremos acotando el 50% de la distribución,
pero centrada en torno a la mediana. A esta
distancia se le conoce como distancia
intercuartílica.
Análogamente, a la diferencia entre el noveno y
el primer decíl se le conoce como distancia
interdecílica y acta al 80% de la población
centrada en torno a la mediana.
Para el ejemplo desarrollado, los cálculos son los
siguientes:
Primer cuartíl (ubicado en la tercera clase)
El procedimiento es análogo al utilizado para
calcular la mediana. Con auxilio de la frecuencia
acumulada relativa debe ubicarse la clase en la
cual se ubica el fractil buscado.
Por ejemplo, si de desea calcular el primer cuartíl
debe ubicarse la clase que incluye a la frecuencia
acumulada relativa al 0.25 o 25%; para el tercer
cuartíl corresponde al 0.75 o 75% de la
distribución; para noveno decíl ocurre a .90 o
90%.
La fracción corresponde a la parte de la
distribución en la que se desea dividir, por
ejemplo, para la mediana o mitad de la
distribución la fracción fue
primer
cuartíl
será
1
4
1
o 0.5, para el
2
o
0.25
y
Una forma de interpretar la información que nos
entregan los fractiles consiste en ubicar los
límites que comprenden las fronteras mismas que
son los fractiles.
Por ejemplo, la mediana nos ubica a la frontera
que divide en dos partes iguales a la muestra.
Pero además implica que la primer parte de la
muestra inicia en el límite inferior de la primera
clase y concluye en la mediana, así como que la
segunda parte inicia en la mediana y concluye en
el límite superior del último intervalo de clase.
Noviembre 2009
Tercer cuartíl (ubicado en la sexta clase)
⎡ (80)(.75) − 57 ⎤
Q3 = 51.65 + ⎢
⎥⎦ (0.51) = 51.7265
20
⎣
Distancia intercuartílica: 51.7265 – 50.5025 =
1.224
Primer decíl (ubicado en la segunda clase)
así
consecutivamente.
Probabilidad y Estadística
⎡ (80 )(.25) − 11⎤
Q1 = 50.12 + ⎢
⎥⎦ (0.51) = 50.5025
12
⎣
⎡ (80(0.1) − 5) ⎤
D1 = 49.61 + ⎢
⎥⎦ (0.51) = 49.8650
6
⎣
Noveno decíl (ubicado en la sexta clase)
⎡ (80 )(0.9 ) − 57 ⎤
D9 = 51.56 + ⎢
⎥⎦ (0.51) = 52.0325
20
⎣
Distancia interdecílica: 52.0325 – 49.8650 =
2.1675
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
17
Como conclusión de este capítulo, se muestra
una tabla resumen con las medidas descriptivas
del ejemplo que se ha desarrollado a lo largo del
mismo.
Datos
no agrupados
n
Rango
Sturges
n
80
4.0
7.32
8.94
51.0625
media=
mediana=
moda=
Varianza=
0.6308
Desv. Est.=
0.7943
Asimetría=
-0.2800
Apuntamiento= -0.1121
Primer cuartil=
50.4750
Tercer cuartil=
51.7000
Primer decil=
49.9000
Noveno decil=
51.9
Datos
Agrupados
media=
mediana=
moda=
Varianza=
Desv. Est.=
Asimetría=
Apuntamiento=
Primer cuartil=
Tercer cuartil=
Primer decil=
Noveno decil=
51.0571
51.1117
51.7427
0.6564
0.8102
-0.2382
-0.4986
50.5025
51.7265
49.8650
52.0325
Bibliografía
Taro Yamane, Estadística, Editorial Harla,
México 1999.
Spiegel, Estadística Serie Schaum, Edit. Mc.
Graw Hill, México 1999.
Frontana et al, Apuntes de Probabilidad y
Estadística, Facultad de Ingeniería, México
1985
Berk & Carey, Análisis de datos con
Microsoft Excel, Edit. Thompson Learning,
México 2001
Canavos, Probabilidad y Estadística, Mc.
Graw Hill, México 1994.
Captura y Edición:
M.A. María Torres Hernández.
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009
M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
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