Download II-514 LA ORBITA DE HOHMMANN 160509

------------------------------------------------------------------------------------------------EJERCICIO 514: LA ORBITA DE TRANSFERENCIA
DE HOHMANN, O COMO VIAJAR
A OTROS PLANETAS
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OBJETIVOS
- Conocer como se puede viajar a otros planetas. Viajar a un planeta
implica saber transferir de una órbita a otra.
- Familiarizarse con la órbita de transferencia de Hohmann
- Planear un viaje a Marte
- Saber graficar una órbita
1. Introducción
¿Ha pensado alguna vez como se puede viajar a otro planeta? No
es así de obvio, porque aunque usted apunte su cohete en la dirección
de un planeta, cuando llegue allí ya no estará, y entonces usted estará
perdido en el espacio, un asunto nada agradable. Además, ¡ el espacio
es inmenso ! Así que ¿como se hace para ir de un lugar a otro en el
espacio sin perderse?: ¡ La órbita de transferencia de Hohmann !
Tarea 1. Vea la película “El Marciano” (“The Martian”). Esta película
tiene mucho que ver con mecánica celeste, y para viajar a Marte se
menciona específicamente la órbita de Hohmann. Tenga a mano papel
y lápiz, y escriba todo lo que tenga que ver con órbitas en la película.
Por ejemplo, tiempo de viaje, tiempo de comunicación, velocidades de
encuentro, etc. Una vez que usted haya calculado estas variables,
concluya si la película es científicamente correcta, o si contiene errores.
2. Planeando una misión a Marte
La NASA está pensando en mandar un navío a Marte. Vamos a
reproducir esta misión, pero en forma simplificada. La fecha de inicio de
la misión es hoy, en este momento en que está leyendo estas líneas.
Averigüe los datos orbitales de Marte. Ojo con las unidades. Estos
elementos están identificados en la Figura 1. Como la órbita es circular
solo nos interesan algunos elementos.
PARAMETRO
a = semieje mayor
[UA]
e = excentricidad
MARTE
LA TIERRA
i = inclinación
[°]
PORB = período orbital
[d]
n = movimiento medio
[°/d]
PROT = Período de rotación sobre si mismo [h]
VORB=Velocidad orbital
[km/s]
Figura 1. La órbita en el espacio. Los elementos orbitales menos la
excentricidad, e, han sido identificados. Note que muchas veces se usa
el ángulo Ω + ω para orientar la posición del perihelio respecto al punto
vernal γ, aunque no estén en el mismo plano. El ángulo Θ es la
anomalía verdadera o la longitud eclíptica del objeto si la órbita es
circular.
Su inclinación respecto a la eclíptica es diferente de cero pero
para simplificar el problema supongamos que vale i = 0º. Igualmente
coloque la excentricidad de la Tierra y del planeta igual a cero, e = 0.
Posteriormente se podría hacer una corrección para tomar en cuenta los
valores correctos de estas dos cantidades. Pero por ahora necesitamos
aprender el procedimiento.
El navío espacial parte de una órbita de aparcado alrededor de la
Tierra, y suponga que el navío ya se encuentra en esa órbita. O sea, no
la vamos a calcular. Del mismo modo la llegada significa que el navío va
a entrar a otra órbita de aparcado, pero alrededor de Marte.
El lanzamiento debe llevar al navío a la órbita cerca de Marte.
Una vez allí los cohetes pueden aumentar o disminuir la velocidad para
entrar a esa órbita de aparcado, así que usted necesita saber la
velocidad relativa entre el navío y Marte a la llegada, y eso es parte del
problema. Se aprecia que saber viajar a otros planetas implica saber
cómo cambiar de una órbita a otra.
En este problema solo consideraremos la primera parte del
problema la cual es como llegar a la órbita de Marte.
La órbita de
regreso es el problema inverso y es más fácil de resolver si se ha
resuelto la ida.
Tarea 2. Tomemos como fecha de inicio el 21 de Marzo del 2016. En
esa fecha
LONGITUD ECLIPTICA DE LA TIERRA = 0°
LONGITUD ECLIPTICA DE MARTE
= 210.5°
Con la información de arriba y usando como órbita de
transferencia una semi-elipse u órbita de Hohmann (ver Figura 2):
1) Calcule el semieje mayor de la órbita de Hohmann y su excentricidad:
2 aNAVIO = aTIERRA + aMARTE
aNAVIO =
2) Calcule el período de la órbita PORB y de ahí el tiempo de viaje
TVIAJE = PORB / 2.
3) Calcule el movimiento medio de cada planeta en su órbita. Como las
órbitas son circulares esto vale n = 360° / PORB .
4) El navio tarda en viajar hasta Marte TVIAJE . En ese tiempo se
desplaza 180° en longitud eclíptica. Calcule que ángulo se desplaza
Marte en ese tiempo, Θ1 . Entonces la posición de Marte en longitud
eclíptica es λMARTE-INIT = 180 - Θ1 . Cuando la Tierra está en longitud
eclíptica 0°, Marte tiene que estar en longitud eclíptica λMARTE-INIT para
que los dos se encuentren después de TVIAJE .
5) Ahora haga una tabla así cada 15 días:
Fecha
2016 03 21
2016 04 05
--------
No de días
a partir del
2016 03 21
0
λTIERRA
0
λMARTE
210.5
λT -- λM
210.5
5) Verifique que al momento de la llegada son iguales, sino no se
encuentran.
6) Calcule la velocidad media de Marte en su órbita, y la velocidad
del navío en el afelio, y restándolas determine la velocidad relativa
en el encuentro.
7) ¿Para entrar en órbita de aparcado de Marte, tiene que frenar el
navío o tiene que acelerarlo?
8) ¿Cuál es la mejor distancia al centro de Marte, de la órbita de
aparcado?
9) ¿Cual punto sobre la Tierra minimiza la energía de lanzamiento?
10) ¿Que hora es mejor para hacer el lanzamiento ?
11) ¿En que dirección hay que salir, Este u Oeste?
12) ¿Calcule la velocidad de lanzamiento.
13) ¿Qué sucede si el lanzamiento no es el día calculado sino el día
antes o el día después? ¿Hay una ventana de lanzamiento?
¿Que la produce?
15) Enviamos un mensaje al navío cuando está en Marte. ¿Cuánto
tiempo toma en llegar la respuesta?
16) ¿Es factible una misión tripulada o sería mejor una misión
robotizada? Considere la posibilidad de enviar una misión
robotizada para traer muestras de la tierra de Marte, a fin
de hacer pruebas de agricultura en la Tierra.
17) Dibuje la órbita de la Tierra, la órbita de Marte y la órbita de
transferencia a escala e indique los puntos claves de la misión.
18) Ahora puede responder la pregunta sobre la película de Marte.
¿Es la película fiel a los parámetros científicos, o tiene errores?
En su trabajo indique sus procedimientos y el software utilizado.
Consulte en internet detalles de este método utilizando palabras claves.
Como puede apreciar, el viajar a otros planetas necesita conocer
cómo funciona la mecánica celeste.
El problema no ha terminado
realmente, pues no hemos hablado de cómo llegar a la órbita de
aparcado,
ni cómo resolver el problema si la inclinación y la
excentricidad son diferentes de cero, ni como bajar desde la órbita de
aparcado de Marte hasta la superficie del planeta. Ni como regresar a la
Tierra una vez cumplida la misión. Ni cuanto combustible se necesita.
Ni cual es el volumen de habitabilidad dentro del navío. Ni cuanta
comida hay que almacenar. Ni cual es el número óptimo de tripulantes.
Ni cual es la potencia de los motores, etc.
Figura 2. Un esquema de la órbita de transferencia de Hohmann para el
viaje de ida. Es una semi-elipse cuyo perihelio es igual al radio de la
órbita de la Tierra, y cuyo afelio es igual al radio de la órbita de Marte.
Para familiarizarse con el problema es suficiente tomar las órbitas como
circulares. Los planetas se han desplazado durante el transcurso del
viaje. Este dibujo no está a escala.
Moraleja: Viajar a los planetas no es fácil y requiere de mucha
energía.