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Cap 9 Sec 9.1 – 9.3


Una sucesión infinita es una función cuyo
dominio es el conjunto de los enteros
positivos.
Podemos denotar una sucesión como una
lista
a1 , a2 , a3 , … an , …
◦ Donde cada ak es un término de la sucesión y k
indica la posición del término en la sucesión.

La sucesión también se puede denotar como
un todo, describiendo una fórmula para el
término enésimo usando {an} .
EJEMPLO
1) 2,4,6,8,10, …
2) an  3n  1
Sucesiones Infinitas
1
DOMIINIO:
n
an
Alcance:
3
2
6
3
9
4
12
5…
EL DOMINIO SE COMPONE
DE LA POSICIÓN RELATIVA
DE CADA TÉRMINO.
EL ALCANCE SE
COMPONE DE LOS
15 … TÉRMINOS DE LA
SUCESIÓN.
La regla o ecuación de la sucesión anterior es
an = 3n,
donde an representa el enésimo término de la sucesión.
La forma enumerada de la sucesión se obtiene escribiendo los
términos de la sucesión
3, 6, 9, 12, 15 …
EJEMPLO
Escribe los primeros seis términos de la
sucesión:
an = 2n + 3.
Solución
a 1 = 2(1) + 3 = 5
Primer término
a 2 = 2(2) + 3 = 7
Segundo término
a 3 = 2(3) + 3 = 9
Tercer término
a 4 = 2(4) + 3 = 11
Cuarto término
a 5 = 2(5) + 3 = 13
Quinto término
a 6 = 2(6) + 3 = 15
Sexto término
EJEMPLO
Escribe los primeros seis términos de la
sucesión,
f (n) = (–2) n – 1 .
Solución
f (1) = (–2) 1 – 1 = 1
f (2) = (–2) 2 – 1 = –2
1er término
2ndo término
f (3) = (–2) 3 – 1 = 4
3ro término
f (4) = (–2) 4 – 1 = – 8
4to término
f (5) = (–2) 5 – 1 = 16
5to término
f (6) = (–2) 6 – 1 = – 32
6to término
Si los términos de una sucesión tienen un patrón
determinado entonces, podemos escribir el enésimo
término de la sucesión y su ecuación.
EJEMPLO Describe el patrón de la sucesión, escribiendo la
ecuación del enésimo término de la sucesión
Solución
1 1
1 1
− , ,− , ,…
3 9 27 81
n
términos
términos

1
2
1 ,
3
1 ,
1 ,

9
27
1
1 ,

3
3
2
1 ,

3
4
3
1 ,

3
5
 1
243
1
81
1

3
4
1

3
5
1
La ecuación del enésimo término es an = 
3
n
EJEMPLO
Describe el patrón de la sucesión, escribe la ecuación del
enésimo término de la sucesión. 2, 6, 12 , 20,….
Solución
1
2
3
4
5
términos
2
6
12
20
30
Rescribe
términos
1(2)
2(3)
3(4)
4(5)
5(6)
1(1 +1)
2(2 +1)
3(3 +1)
4(4 +1)
5(5 +1)
n
La ecuación del enésimo término es
f (n) = n (n+1).
Gráfica de una sucesión
Se puede graficar una sucesión representando
• en el eje horizontal, los números enteros
positivos (el dominio)
• los términos en el eje vertical (el alcance).
EJEMPLO
Trazar la gráfica de:
an = n2
Traza los puntos (1, 1),
(2, 4), (3, 9), . . . , (10,
100).
108
106
104
102
100
98
96
94
92
90
88
86
84
82
80
78
76
74
72
70
68
66
64
62
60
58
56
54
52
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
an
Series 1
(10,100
(9,81)
(8,64)
(7,49)
(6,36)
(5,25)
(4,16)
(3,9)
(1,1)
(2,4)
2
x
4
6
8
10


Grafiquemos la sucesión
Grafiquemos los pares
ordenados
n
n,
n1
para n = 1, 2, 3, …

n
n/(n+1)
1
1/2
2
3
2/3
3/4
4
4/5
10
10/11


Podemos definir una sucesión recursivamente
si declaramos…
◦ el primer término de la sucesión, a1 , y
◦ una regla para obtener cualquier término ak+1
partiendo del término anterior, ak , siempre y
cuando k ≥ 1 .

Estudiando los patrones que surgen en los
términos sucesivos, muchas veces podemos
construir una fórmula general para la
sucesión partiendo de la definición recursiva.
Ejemplo: Definimos
◦ a1 = 3 , y
◦ ak+1 = 2ak .
Los primeros términos de la sucesión an :
Una forma general sería,
Sumatorias y series
• La suma de todos los términos de una sucesión se
conoce como una sumatoria o una serie.
• Una sumatoria puede ser finita o infinita.
• Si la sumatoria es finita la conocemos como una suma
parcial.
• Si la sumatoria es infinita se conoce como la serie de
la sucesión.
Sucesión
Sucesión infinita
3, 6, 9, 12, 15
3, 6, 9, 12, 15, . . .
Suma parcial
Serie infinita
3 + 6 + 9 + 12 + 15
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + . . .
...

Representamos la suma de los primeros m
términos de la sucesión con el símbolo de
sumatoria.
Leemos: la suma desde k igual a 1 hasta
m de a sub k.
EJEMPLO
Escribe la serie usando la notación sigma.
5 + 10 + 15 + . . . + 100
Solución
Note que el primer término es 5 (1), el segundo es 5 (2),
el tercero es 5 (3), y el último es 5 (20). Por lo tanto los
términos se generan con la fórmula
de la serie se pueden escribir como:
an = 5n donde n = 1, 2, 3, . . . , 20
20
La sumatoria es
 5n.
n=1
4

Sea
4
2
𝑘
𝑖=1
ak = k2(k – 3), determinar
𝑘2 𝑘 − 3
𝑖=1
𝑘−3 =
= 12 1 − 3 + 22 2 − 3 + 32 3 − 3 + 42 4 − 3
= −2 − 4 + 0 + 16
=10
EJEMPLO
Escribe la serie en notación de sumatoria (sigma).
1 2 3 4
+ + + +⋯
2 3 4 5
Solución
Note que para cada término, el denominador de la
fracción es 1 más que el numerador. Por lo tanto, los
términos de la serie se pueden escribir como:
k
ak =
donde k = 1, 2, 3, 4 . . .
k+1

La serie se escribe como

k=1
k
k+1
.
FÓRMULAS DE SUMATORIAS
n
1
2
1 =n
i=1
n
i=
i=1
3
n

i2=
i=1
4
Suma de n veces 1 .
n
 i3=
i=1
n (n + 1)
2
suma de los números
naturales desde 1 hasta n .
n (n + 1)(2 n + 1)
6
n2 (n + 1)2
4
suma de los cuadrados de
los números naturales
desde 1 hasta n .
suma de los cubos de los
números naturales desde
1 hasta n .
EJEMPLO Uso de Fórmulas de Sumatorias
¿Cuántas chinas habrá en una pirámide cuadrada
de diez capas de altura?
Solución
El diagrama de abajo muestra las primeras tres capas
de la pirámide.Sea an el número de chinas en la capa n.
n
1
an 1 = 1 2
2
4=22
3
9=32
Podemos observar que en cada etapa la
cantidad de chinas se puede determinar con
la fórmula an = n 2
Solución -continuación
Entonces, sabemos que el enésimo término de la
sucesión es an = n 2, donde n = 1, 2, 3, …10
10
 n 2 = 12+ 22 + . . . + 102
n= 1
= 10(10 + 1)(2
6
10(11)(21)
=
6
=
•
10 + 1)
385
Habrán 385 chinas en la piramide.
EJEMPLOS Determinar el siguiente término.
1) 𝑎𝑛 = {6, 12,20, 30,42, … }
𝑎𝑛 = {6, (6 + 6), (6 + 6 + 8), (6 + 6 + 8 + 10), (6 + 6 + 8 + 10 + 12), … }
El siguiente término es 56.
2) 𝑎𝑛 = {3, 6, 10, 15, 21, … }
𝑎𝑛 = {3, 3 + 3 , 3 + 3 + 4 , 3 + 3 + 4 + 5 , (3 + 3 + 4 + 5 + 6), … }
El siguiente término es 28.
3) 𝑎𝑛 = {0, 1, 1, 2, 3, 5, … }
𝑎𝑛 = {0, 1, (0 + 1), (1 + 2), (3 + 2), , … }
El siguiente término es 8.
4) 𝑎𝑛 = {4, 11, 30, 85, … }
𝑎𝑛 = {(1 + 3), (2 + 32), (3 + 33), (4 + 34), … }
El siguiente término es 248.
Una sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , … es una sucesión
aritmética si existe un número real d tal que
para cada entero positivo k,
𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑑
El número 𝑑 = 𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 se conoce como la
diferencia común de la sucesión.
EJEMPLO
diferencia común
diferencia común
Muestre que la sucesión que se ofrece a
continuación es una sucesión aritmética y
determine su diferencia común.
Solución
Si 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2 , entonces para cada entero k,
Por lo tanto la sucesión es una sucesión aritmética
y su diferencia común es 3.

El término enésimo, an , de una sucesión
aritmética con una diferencia común d está
dado por
an = a1 + (n – 1)d .
EJEMPLO

Hallar el una fórmula para el término enésimo
diferencia común
an = a1 + (n – 1)d
an =-3 + (n – 1)5
an =-3 + 5n – 5
an =-8 + 5n
o an =5n - 8
EJEMPLO
Hallar el una fórmula para el término
enésimo
diferencia común
an = a1 + (n – 1)d
an =17 + (n – 1)(-7)
an =17 - 7n + 7
an =24 - 7n
EJEMPLO Los primeros tres términos de una sucesión
aritmética son: 20, 16.5, y 13. Hallar 𝒂𝟏𝟓 .
◦ Primeramente hallamos d:
 d = a2 – a1 = 16.5 – 20 = –3.5 .
◦ Luego, usamos la fórmula dada con n = 15
a15 = 20 + (15 – 1)(–3.5) = 20 – 49 = –29 .
Si el cuarto término de una sucesión aritmética es
5 y el noveno término es 20, determinar 𝑎1 𝑦 𝑎20
Solución
Como hay 4 términos entre 𝑎4 𝑦 𝑎9 , la sucesión es
aritmética, podemos razonar que tenemos que
sumar la diferencia común 5 veces para llegar de
𝑎4 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑎9 ,
a20 = a1 + (n– 1)d
a
=
a
+
(
n
–
1)
d
4
1
𝑎9 - 𝑎4 =5d
a20 = - 4 + (20– 1)3
5 = a1 + (4 – 1)3
20 – 5 = 5d
a20 = - 4 + (19)3
5 = a1 + 9
15 = 5d
a20 = - 4 + 57
5 - 9= a1
a20= 53
a1= - 4
d=3
Una sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , … es una sucesión
geométrica si 𝑎1 ≠ 0, y si existe r ≠ 0 tal que para
cada entero positivo k,
𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 𝑟
El número r=
𝑎𝑘+1
𝑎𝑘
se conoce como la razón común
de la sucesión.
Ejemplo: Hallar la razón común.
r=
−12
6
=
24
−12
=
−48
24
= −4


El término enésimo, an , de una sucesión
geométrica con una razón común r está dado
por
an = a1r(n–1) .
Ejemplo: El primer término de una sucesión
geométrica es 3 y la razón común es –½ ;
hallar
◦ los primeros 5 términos
◦ el término enésimo

Solución
◦ Si multiplicamos a1 = 3 por r = –½ repetidamente,
entonces los primeros 5 términos son
1
2
1
−
2
1
−
2
◦ a2 = 3 −
◦ a3 = 3
◦ a4 = 3
=−
1
2
1
−
2
−
3
2
3
4
1
−
2
=
3
8
= − … etc.
3 3 3 3
3,  , ,  , .
2 4 8 16
◦ La fórmula general la obtenemos usando
an = a1r
(n–1)
an = 3
1 (n–1)
−
2

El tercer término de una sucesión geométrica
es 5 y el sexto término es -40. Hallar una
fórmula explícita para 𝑎𝑛 .
𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒂𝒛ó𝒏
𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒓:
𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐,
𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂𝟏 :
𝑎1 𝑟 5 −40
=
2
𝑎1 𝑟
5
𝑟 3 = −8
3
𝑟 = −8
𝑟 = −2
La fórmula explícita
an = a 1r
(n–1)
an =
5
(−2) (n–1)
4

Los siguientes teoremas dan una fórmula
para 𝑆𝑛 , la suma parcial enésima, de
sucesiones aritméticas y geométricas:
◦ la suma parcial n-ésima, de una sucesión aritmética
es
◦ la suma parcial n-ésima, de una sucesión
geométrica es

Hallar la suma de los primeros 20 términos de:
𝑎𝑛 = 4, 6, 8, 10, ...
Solución
𝑎𝑛 es una sucesión aritmética con una diferencia
común de 2.
Para encontrar la suma, necesitamos saber el último
término
Ahora estamos listos para hallar la suma:

Hallar la suma de los primeros 5 términos de:
𝑏𝑛 = 1 , 0.3 , 0.09 , …
Solución
Si b1 = 1, r = 0.3 , y n = 5

Evaluar la serie representado por
14
1 − 3𝑘
Solución
1
1 − 3𝑘 es una serie aritmética, la diferencia común es
1 − 3 𝑘 + 1 − 1 − 3𝑘 =
1 − 3𝑘 − 3 − 1 + 3𝑘 =
= −3
Queremos sumar -2 + (-5)+ (-8) +…+ (-41)
14(−2 − 41) 14(−43)
=
𝑠𝑛 =
2
2
= −301

Si 𝑟 < 1, entonces la serie geométrica
infinita 𝑎1 + 𝑎1 𝑟 + 𝑎1 𝑟 2 + ⋯ + 𝑎1 𝑟 𝑛−1 + ⋯
tiene una suma dada por
𝑎1
𝑆=
1−𝑟
Expresar 5.427 como un número racional
Solución




El número 5.427 es equivalente en número decimal
a 5.4272727…
5.4272727… es equivalente a
Comenzando en el segundo término la serie
0.027+0.00027+0.0000027… es geométrica con
𝑎1 = 0.027 y r = 0.01
Expresar 5.427 como un número racional
Solución



La suma de esta serie infinita es
𝑎1
0.027
0.027
27
3
𝑆=
1 − 𝑟 = 1 − .01 = 0.99 = 990 = 110
5.427 como un número racional es
3
594
3
597
5.4 +
=
+
=
110
110 110
110