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GRADO EN VETERINARIA
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E I.O.
2015-2016
Curso Cero Facultad de Veterinaria
Intensificación en Estadística
Pascual Fernández Hernández
1
Introducción a la función Sumatorio
Recordatorio de Combinatoria
2
Introducción a la función Sumatorio
1. Introducción.
1.1. Concepto de función sumatorio
1.2. Aplicaciones.
2. Propiedades de los sumatorios.
2.1. Propiedades elementales.
2.2. Propiedades de conmutatividad y asociatividad.
2.3. Operaciones de agrupamiento y partición.
2.4. Sumatorios de funciones de variable independiente entera.
3
Introducción a la función sumatorio.
1. Introducción.
1.1. Concepto de función sumatorio.
En muchos campos científicos y tecnológicos (y, particularmente, en
estadística) se trabaja habitualmente con una gran cantidad de datos
numéricos. Así, por ejemplo, en una explotación ganadera con una cabaña
de 10.000 vacas, la producción diaria de leche de éstas constituye una serie
de 10.000 números, indicando cada uno de ellos la producción de cada una
de las vacas.
En estadística es usual extraer información de una serie de números
(como los de la explotación citada) utilizando funciones denominadas
estadísticos, basadas en las operaciones algebraicas ordinarias: suma,
producto, raíz cuadrada, etc.
4
Uno de estos estadísticos se denomina media aritmética. La media
aritmética de los 4 números 2, 4, 8 y 6 es igual a la suma de los 4 números
dividida por 4:
Media aritmética =
2486
 5.
4
Lógicamente, la media aritmética puede obtenerse para cualquier
cantidad de datos, pero su expresión ordinaria se hace tediosamente larga
cuando el número de los datos es elevado (como en el caso de las 10000
producciones de leche) por lo que parece razonable buscar una expresión
simplificada para expresar de forma sintética la suma de todos los datos.
5
Supongamos que X es una variable numérica que puede tomar valores
en el intervalo [a, b] y que, por algún procedimiento, asignamos valores
sucesivamente a la variable.
Si llamamos x1 al primer valor, x2 al segundo, etc., la serie obtenida puede
escribirse de la siguiente forma: x1, x2, x3,....., xn-1, xn, donde n indica el total
de valores obtenidos. (En el caso de la explotación, numeradas las vacas, x1
sería la producción de leche de la primera vaca, x2 la de la segunda, y x10000
la de la última.)
Entonces, la suma de todos los números de la serie sería
T = x1 + x2+ x3+.....+ xn-1 + xn.
6
Def.1. Si llamamos xi al i-ésimo número, con i = 1, 2,..., n y utilizamos el
símbolo ∑ (sigma mayúscula), podemos escribir T de la siguiente forma
abreviada:
i n
T  x1  x 2  ....  xn1  xn   xi
i1
El último término de las igualdades anteriores se denomina sumatorio
de xi (x sub-i), desde i igual a 1 hasta i igual a n; y las expresiones situadas
bajo y sobre ∑ indican que la suma de los términos xi empieza en x1 y
termina en xn.
7
Los sumatorios se pueden representar de diferentes formas, siendo algunas
de las más frecuentes las siguientes:


in
n
i1
i1
 xi   xi  i1 x1 , cuando se quiere precisar el valor de n,
n
 x   x , cuando el valor de n se conoce por el contexto.
i
i
i
i
Un sumatorio es un operador matemático: es una función ∑ que tiene
como argumento una función de variable independiente entera xi (o, x(i)),
siendo i un número entero. Esta función xi puede venir dada por:
(a) una tabla de valores
(b) una fórmula
8
(a)
i 1
2
3
4
xi 3,5 4,8 1,7 2,2
i 4
x
i1
(b)
i 5
i 5
i1
i1
i
 x1  x 2  x3  x 4  3,5  4,8  1,7  2,2  12,2
xi = i2 + 1, para i = 1, 2, 3, 4, 5.
 xi   (i2  1)  (12  1)  (22  1)  (32  1)  (42  1)  (52  1) = 60.
9
2. Propiedades de los sumatorios.
2.1. Propiedades elementales.
1. Sumatorio de un número.
i n
(1)
 k  n.k ,
para cualquier número k, puesto que el sumatorio
i1
expresa la suma de k consigo mismo n veces.
2. En particular:
i n
(2)
0  0 ,
i1
i n
(3)
1  n .
i1
3. Producto de un número por un sumatorio.
i n
(4)
i n
 (a.xi )  a. xi
i1
i1
in
in
i1
i1
 (a.xi )  (a.x1  a.x2  ...  a.xn )  a.(x1  x2  ...  x x )  a. xi .
10
2.2. Propiedades de conmutatividad y asociatividad.
4. Propiedades conmutativas de los sumatorios.
Si
i n
i n
i1
i1
 xi y  yi son dos sumatorios con el mismo rango de valores,
1< i < n, entonces:
in
(5)
i1
(6)
in
 (x  y )   (y  x ) ,
i
i
i1
i
i
in
in
in
in
i1
i1
i1
i1
 xi   yi   yi   xi .
11
5. Propiedades asociativas de los sumatorios.
Si
i n
in
in
i1
i1
i1
 xi,  yi,  zi son tres sumatorios con el mismo rango de valores,
1< i < n, entonces:
(7)
(8)
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖 ) =
i n
i n
x  y ,
i1
i
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖 + 𝑧𝑖 ) =
i1
i
i n
i n
i n
i1
i1
i1
 x i   y i   zi .
12
13.4. Operaciones de agrupamiento y partición.
Generalizando el concepto de sumatorio que hemos venido utilizando, y
utilizando las propiedades de los apartados 2.1 y 2.2, podemos desarrollar
algunas fórmulas útiles para el cálculo abreviado de sumatorios de valor
desconocido cuando se conocen los valores de otros sumatorios que se
puedan relacionar con aquél.
Def.2. Dada la serie de números x1, x2,….., xm, xm+1….., xn-1, xn, siendo
m < n, la suma de los últimos (n-m) números de la serie recibe el nombre de
i n
sumatorio de xi desde i = m+1 hasta i = n, y se representa por
x:
im 1
i
i n
 x = xm+1 + xm+2 +…..+ xn-1 + xn.
im 1
i
13
A partir de las definiciones 1 y 2, podemos obtener la siguiente
descomposición:
i n
(9)
 xi =
i1
i m
 xi +
i1
i n
x.
im 1
i
Observemos que esta última igualdad nos permite, por una parte,
descomponer un sumatorio en la suma de otros dos sumatorios de n-1
formas distintas y, por otra, calcular el sumatorio completo si se conocen los
valores de dos de las posibles descomposiciones.
14
13.4. Sumatorios de funciones de variable independiente entera.
1. Progresiones aritméticas.
Una progresión aritmética es una serie de números a1, a2,….., an cada
uno de los cuales se obtiene del anterior sumándole una cantidad constante
d denominada razón. Los términos a1 y an reciben, respectivamente los
nombres de primer y último término de la progresión.
Dados unos valores de a1 y d, los restantes términos de la sucesión son, por
tanto
a2 = a1 + d, a3 = a2 + d, a4 = a3 + d, …, an = an-1 + d.
Sustituyendo a2 en la expresión de a3 y realizando los cálculos oportunos, se
obtiene que a3 = a1 + 2.d. Por análogo mecanismo, resulta que a4 = a1 + 3.d.
Reiterando el proceso, es posible obtener la expresión general de cualquier
término de la sucesión utilizando solamente los valores de a1 y de d:
ai = a1 + (i-1).d, para i = 1, 2, 3,..., n.
15
i n
La suma de los términos de la progresión, Sn =
a =
i1
i
a1 + a2 +…..+ an, se
obtiene sin más que aplicar las propiedades generales de los sumatorios:
i n
Sn =  ai =
i1
i n
 (a
i1
1
in
 (i  1).d)  n.a1  d. (i  1) .
i1
Mediante cálculos sencillos, de la última igualdad se obtiene la siguiente
fórmula general de la suma buscada:
i n
(12)
Sn =  ai =
i1
a1  an
.n
2
16
2. Progresiones geométricas.
Una progresión geométrica es una serie de números a1, a2,….., an cada
uno de los cuales se obtiene del anterior multiplicando este por una cantidad
constante d denominada razón.
Los términos a1 y an reciben,
respectivamente los nombres de primer y último término de la progresión.
Dados unos valores de a1 y d, los restantes términos de la sucesión son, por
tanto
a2 = a1.d, a3 = a2.d, a4 = a3.d, …….., an = an-1.d.
Sustituyendo a2 en la expresión de a3 y realizando los cálculos oportunos, se
obtiene que a3 = a1.d2. Por análogo mecanismo, resulta que a4 = a1.d3.
Reiterando el proceso, es posible obtener la expresión general de cualquier
término de la sucesión utilizando solamente los valores de a1 y de d:
ai = a1.d(i-1), para i = 1, 2, 3,..., n.
17
i n
La suma de los términos de la progresión, Sn =
a =
i1
i
a1 + a2 +…..+ an, se
obtiene sin más que aplicar las propiedades generales de los sumatorios:
i n
(13)
Sn =  ai =
i1
i n
 (a .d
i1
(i1)
1
i n
)  a1. d(i1) .
i1
Mediante cálculos sencillos, de la última igualdad se obtiene la siguiente
fórmula general de la suma buscada:
i n
(14)
Sn =  a i
i1
18
2.5. Aplicaciones.
(1) La suma de los números pares 2, 4, 6, 8, 10,…..., 98, 100, se
obtiene aplicando (12):
2 + 4 + 6 + 8 + … + 98 + 100 =
𝑎1 +𝑎𝑛
2
𝑛=
2+100
2
50 = 2550
(2) La suma de los números 31, 32, 33,....., 350 se obtiene aplicando (14):
31 + 32 + 33 +...... + 350 =
=
3.(1  350 ) 3 50
 .(3  1) .
(1  3)
2
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GRADO EN VETERINARIA
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E I.O.
2015-2016
Curso Cero Facultad de Veterinaria
Recordatorio de Combinatoria
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1. FACTORIAL DE UN NÚMERO
El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los
números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial". (Por
definición, el factorial de 0 es 1: 0!=1)
Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120
Su utilidad estriba en que se utiliza en la mayoría de las fórmulas de la
COMBINATORIA
21
2.1. NÚMEROS COMBINATORIOS
Los números combinatorios se utilizan para establecer agrupaciones en las que no
importa el orden y los elementos no se pueden repetir.
Se representan así:
Por ejemplo,
“primitiva”.
, y se lee "n sobre p".
(49 sobre 6) es el número de combinaciones posibles en la
22
2.2. CÁLCULO DE NÚMEROS COMBINATORIOS
, donde n! es el factorial de n.
Ejemplo:
(
10!
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
10
)=
=
= 10 ∙ 3 ∙ 7 = 210
6
6! 4!
6! ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
23
¿Qué es la Combinatoria?
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia
las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos
de un conjunto, formándolas y calculando su número.
Existen distintas formas de realizar
estas agrupaciones, según se repitan
los elementos o no, según se puedan
tomar todos los elementos de que
disponemos o no y si influye o no el
orden de colocación de los elementos:






Permutaciones sin repetición.
Permutaciones con repetición.
Variaciones sin repetición.
Variaciones con repetición.
Combinaciones sin repetición.
Combinaciones con repetición.
24
Una vez que se averigüe de qué tipo son, se pueden realizar los cálculos combinatorios,
para calcular cuántas agrupaciones de ese tipo hay.
SIN Repetición
CON Repetición
PERMUTACIONES
VARIACIONES
COMBINACIONES
25
A. PERMUTACIONES
Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones son aquellas formas de
agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:




Influye el orden en que se colocan.
Tomamos todos los elementos de que se disponen.
Serán Permutaciones SIN repetición cuando todos los elementos de
que disponemos son distintos.
Serán Permutaciones CON repetición si disponemos de elementos
repetidos.
26
Permutaciones SIN repetición:
Permutaciones CON repetición:
Las permutaciones sin repetición de n
elementos se definen como las distintas
formas de ordenar todos esos elementos
distintos, por lo que la única diferencia entre
ellas es el orden de colocación de sus
elementos.
Llamamos a las permutaciones con repetición
de n elementos tomados de a en a, de b en
b, de c en c, etc, cuando en los n elementos
existen elementos repetidos (un elemento
aparece a veces, otro b veces, otro c veces,
etc) verificándose que a+b+c+...=n.
El número de estas permutaciones será:
El número de estas permutaciones será:
27
B. VARIACIONES
Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto
teniendo en cuenta que:


Influye el orden en que se colocan.
Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta
tantas veces como elementos tenga la agrupación.
Existe dos tipos: variaciones sin repetición y variaciones con repetición,
cuyos símbolos son los siguientes:
28
Variaciones sin repetición:
Variaciones con repetición:
Las variaciones sin repetición de n elementos
tomados de p en p se definen como las distintas
agrupaciones formadas con p elementos distintos,
eligiéndolos de entre los n elementos de que
disponemos, considerando una variación distinta a
otra tanto si difieren en algún elemento como si
están situados en distinto orden.
Las variaciones con repetición de n elementos
tomados de p en p se definen como las distintas
agrupaciones formadas con p elementos que
pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n
elementos de que disponemos, considerando una
variación distinta a otra tanto si difieren en algún
elemento como si están situados en distinto
orden.
El número de variaciones que se pueden construir
se puede calcular mediante la fórmula:
El número de variaciones que se pueden construir
se puede calcular mediante la fórmula:
29
C. COMBINACIONES
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un
conjunto teniendo en cuenta que:


NO influye el orden en que se colocan.
Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta
tantas veces como elementos tenga la agrupación.
Existen dos tipos: combinaciones sin repetición y combinaciones con
repetición, cuyos símbolos son los siguientes:
30
Combinaciones sin repetición:
Las combinaciones sin repetición de n elementos
tomados de p en p se definen como las distintas
agrupaciones formadas con p elementos distintos,
eligiéndolos de entre los n elementos de que
disponemos, considerando una variación distinta a
otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye
el orden de colocación de sus elementos).
El número de combinaciones que se pueden
constriur se puede calcular mediante la fórmula:
Combinaciones con repetición:
Las combinaciones con repetición de n elementos
tomados de p en p se definen como las distintas
agrupaciones formadas con p elementos que pueden
repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de
que disponemos, considerando una variación distinta
a otra sólo si difieren en algún elemento, (No
influye el orden de colocación de sus elementos).
El número de combinaciones que se pueden
construir se puede calcular mediante la fórmula:
31
Esquema para averiguar o decidir si se trata de variaciones, permutaciones o
combinaciones, y si son con o sin repetición.
32
A continuación, puede intentar algunos ejemplos de problemas:






Problema
Problema
Problema
Problema
Problema
Problema
1: Reparto de medallas.
2: Placas de matrícula.
3: Formar números.
4: Ordenando libros de la biblioteca.
5: Campeonato de ajedrez.
6: Elegir una muestra para una encuesta.
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Problema 1: Reparto de medallas.
Se va celebrar la final de salto de longitud en un torneo de atletismo. Participan 8
atletas.
¿De cuántas formas pueden repartirse las tres medallas: oro, plata y bronce?
Planteamiento:
1º: Nos ponemos un ejemplo de lo que nos pide.
Si llamamos a los 8 atletas {a,b,c,d,e,f,g,h}, una posible forma de repartir las medallas es hef,
entendiendo que el oro es para h, la plata para e y el bronce para f.
Es decir, disponemos de 8 (n=8) elementos y vamos a formar agrupaciones con 3 de ellos (p=3).
2º: ¿Influye el orden en el que colocamos los elementos? SI
3º: ¿Se pueden repetir los elementos? NO
4º: ¿Usamos todos los elementos de que disponemos? NO
5º: Ahora que tenemos claras las respuestas, ya podemos hallar la solución.
Se trata de variaciones sin repetición de esos 8 elementos tomados de 3 en 3, que son 336 (formas
de repartir las medallas).
34
Problema 2: Placas de matrícula.
El sistema de matrículas de vehículos consiste en un número de 4 dígitos seguido de un
bloque de 3 letras consonantes. (Ejemplo: 0474-KTK)
a) ¿Cuántas placas hay con un determinado bloque de letras?
b) ¿Cuántas placas hay con la misma parte numérica?
c) ¿Cuántas placas se pueden formar en total con este sistema?
Planteamiento:
1º: Como vemos en el ejemplo que nos ponen, el bloque numérico consiste en formar grupos de 4
dígitos elegidos entre los 10 posibles (del 0 al 9).
El bloque de letras consiste en formar grupos de 3 letras entre las 22 consonantes.
a) Para responder a esto, veamos:
-¿Influye el orden en el que colocamos los elementos? SI
-¿Se pueden repetir los elementos? SI
-¿Usamos todos los elementos de que disponemos? NO
Ya podemos responder:
Son variaciones con repetición de 10 elementos tomados de 4 en 4, es decir: 10000.
35
b) Si observamos, el planteamiento es lo mismo que en a).
Son variaciones con repetición de 22 elementos tomados de 3 en 3, es decir: 10648.
c) Si te fijas la solución será el producto de las soluciones de los dos apartados anteriores:
10000x10648 = 106480000
36
Problema 3: Formar números.
Con los dígitos impares, ¿cuántos números de 5 cifras distintas puedes formar?
Planteamiento:
1º: Los dígitos impares son {1, 3, 5, 7, 9}.
Es decir, disponemos de 5 (n=5) elementos y vamos a formar agrupaciones con 5 de ellos (p=5).
2º: ¿Influye el orden en el que colocamos los elementos? SI
3º: ¿Se pueden repetir los elementos? NO
4º: ¿Usamos todos los elementos de que disponemos? SI
5º: Ahora que tenemos claras las respuestas, ya podemos hallar la solución.
Se trata de PERMUTACIONES sin repetición de esos 5 elementos, es decir, 5! = 120 (números).
37
Problema 4: Ordenando libros de la biblioteca.
Queremos ordenar los 7 libros que tenemos: 4 son de Matemáticas, 2 de Astronomía y
1 de Física (los de una misma materia son iguales). ¿De cuántas formas podemos
ordenarlos en el estante?
Planteamiento:
1º: Nos ponemos un ejemplo de lo que nos pide.
Si llamamos a los 7 libros {m,m,m,m,a,a,f}, una posible forma de ordenarlos es mmamfma.
Es decir, disponemos de 7 (n=7) elementos y vamos a formar agrupaciones con los 7.
2º: ¿Influye el orden en el que colocamos los elementos? SI
3º: Cada elemento se tiene que repetir tantas veces como elementos disponemos igual que él: 4 de
matemáticas (a=4), 2 de astronomía (b=2) y de física (c=3)
4º: ¿Usamos todos los elementos de que disponemos? SI
5º: Ahora que tenemos claras las respuestas, ya podemos hallar la solución.
El número de formas de ordenar esos libros es igual al número de permutaciones de esos 7 elementos
tomados de 4 en 4, de 2 en 2 y de 1 en 1, que es 105.
38
Problema 5: Campeonato de ajedrez.
En la primera ronda de un campeonato de ajedrez cada participante debe jugar contra
todos los demás una sola partida. Participan 23 jugadores. ¿Cuántas partidas se
disputarán?
Planteamiento:
1º: Se trata de formar parejas, ¿no?. Cada pareja representa una partida.
Es decir, disponemos de 23 (n=23) elementos y vamos a formar agrupaciones con 2 de ellos (p=2).
2º: ¿Influye el orden en el que colocamos los elementos? NO
3º: ¿Se pueden repetir los elementos? NO
4º: Ahora que tenemos claras las respuestas, ya podemos hallar la solución.
Son combinaciones sin repetición de 23 elementos tomados de 2 en 2, es decir: 253.
39
Problema 6: Elegir una muestra para una encuesta.
Queremos realizar una encuesta a 150 personas, pero vamos a usar una muestra de
sólo 10 personas.
¿Cuántas muestras podríamos usar?
(Nota: En Estadística las muestras se suelen usar con reemplazamiento, es decir, una persona puede
estar varias veces en la muestra)
Planteamiento:
1º: Se trata de formar grupos de 10 personas eligiéndolas entre las 150.
Es decir, disponemos de 150 (n=150) elementos y vamos a formar agrupaciones tomando 10 de ellos
(p=10).
2º: ¿Influye el orden en el que colocamos los elementos? NO
3º: ¿Se pueden repetir los elementos? SI
4º: Ahora que tenemos claras las respuestas, ya podemos hallar la solución.
Son combinaciones con repetición de 150 elementos tomados de 10 en 10, es decir: 2131920831862965
(más de dos mil billones de muestras).
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