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Guía para el docente
Geometría
Trigonometría en el triángulo rectángulo
Guía del docente
Descripción curricular:
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Nivel: 3.° Medio
-
Subsector: Matemática
-
Unidad temática: Geometría
-
Palabras clave: trigonometría, seno, coseno, tangente, ángulo de elevación,
sombra
-
Contenidos curriculares:
-
Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio
de los sistemas de inecuaciones, de la función cuadrática, de
nociones de trigonometría en el triángulo rectángulo y de
variable aleatoria, mejorando en rigor y precisión la capacidad
de análisis, de formulación, verificación o refutación de
conjeturas.
-
Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de
problemas y el análisis de situaciones concretas.
-
Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando
sus propias capacidades.
-
Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca
respuestas a desafíos propios o que provienen de otros
ámbitos.
-
Contenidos relacionados:
-
1.º Medio:
ƒ
Demostración
de
propiedades
de
triángulos,
cuadriláteros
y
circunferencia, relacionadas con congruencia.
-
2.º Medio:
ƒ
Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en triángulos,
cuadriláteros y circunferencia, como aplicación del teorema de
Thales. Relación entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad
entre trazos. Presencia de la geometría en expresiones artísticas; por
ejemplo, la razón áurea.
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Geometría
Trigonometría en el triángulo rectángulo
-
3.º Medio:
ƒ
Demostración
de
los
teoremas
de
Euclides
relativos
a
la
proporcionalidad en el triángulo rectángulo.
ƒ
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
ƒ
Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias
inaccesibles que pueden involucrar
proporcionalidad en triángulos
rectángulos.
ƒ
Análisis y pertinencia de las soluciones. Uso de calculadora científica
para apoyar la resolución de problemas.
-
4.º medio:
ƒ
Resolución de problemas sencillos sobre áreas y volúmenes de
cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas.
Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre
cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.
Aprendizajes esperados:
-
ƒ Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad
en el triángulo rectángulo.
ƒ Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
ƒ Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias
inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos
rectángulos. Análisis y pertinencia de las soluciones. Uso de
calculadora científica para apoyar la resolución de problemas.
Aprendizajes esperados de esta actividad:
-
Relacionan los lados y ángulos de un triángulo rectángulo con la trigonometría.
-
Calculan el seno de un ángulo.
-
Calculan el coseno de un ángulo.
-
Calculan la tangente de un ángulo.
-
Reconocen los elementos que determinan el seno de un ángulo.
-
Reconocen los elementos que determinan el coseno de un ángulo.
-
Reconocen los elementos que determinan la tangente de un ángulo.
-
Analizan las soluciones del seno de un ángulo.
-
Analizan las soluciones del coseno de un ángulo.
-
Analizan las soluciones de la tangente de un ángulo.
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Geometría
Trigonometría en el triángulo rectángulo
-
Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante actividades de
organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento
lógico, mediante contenidos y actividades orientados al aprendizaje de
algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por
un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro.
-
Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad
y utilizar el conocimiento y la información.
Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl:
-
Ficha temática: “Trigonometría en el triángulo rectángulo”
-
Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM3 Geometría.
Actividades propuestas para este tema:
Proponemos la actividad, “Edificio y árbol, ¿qué altura tienen?”, relativa al estudio de
las relaciones invariantes entre los lados de un triángulo rectángulo y sus semejantes,
así como el nombre que reciben estas relaciones: seno, coseno, tangente, cotangente,
cosecante, secante.
ACTIVIDAD: Edificio y árbol, ¿qué altura tienen?
1. Mapa de contenidos tratados
Duración: 2 horas pedagógicas
Triángulo rectángulo
Cocientes invariantes
Funciones
trigonométricas
Seno
Coseno
Tangente
Secante
Cosecante
Cotangente
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Geometría
Trigonometría en el triángulo rectángulo
2. Desarrollo de la actividad:
Paso 1
Al finalizar esta introducción pídales a sus estudiantes que respondan lo que
piensan, fundamentando siempre su respuesta de manera tal que se aventuren
en sus respuestas según sus propios conocimientos, y entrégueles bibliografía
o direcciones en la red para que indaguen y corroboren sus respuestas.
Paso 2
Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego
comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible
en el portal www.educarchile.cl
Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la
Actividad. Las respuestas aparecen en azul.
Entonces:
Joaquín es un joven inquieto, y entre muchas cosas que le llaman la atención
es que cada vez que él camina, la longitud de su sombra cambia. Joaquín
quiere cerciorarse de que esto no solo sucede con él, sino con todas las cosas
que puedan generar sombra, como un edificio, una casa o un árbol.
Así, Joaquín decide hacer un esquema en el cual pueda anotar sus
conclusiones.
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Trigonometría en el triángulo rectángulo
Está un poco complicado, ya que la posición del sol va variando cada hora. Por
eso, le pregunta a su abuelo Manuel cómo se puede calcular la sombra de su
cuerpo o del edificio, sabiendo que el sol varía cada hora. Entonces, su abuelo
le explica que para ello debe conocer el ángulo de inclinación y la longitud de la
sombra que el cuerpo genera. Joaquín investiga acerca de la relación que
existe entre longitudes y ángulos.
Joaquín piensa que en un triángulo rectángulo, estableciendo algunas
relaciones entre medidas de ángulos y de longitudes de lados, tal vez pueda
hallar una medida que no pueda obtener en forma directa. Es decir, hacer una
medición indirecta. Una estrategia de esta naturaleza sería muy apropiada si lo
que se quiere medir es muy inaccesible ya sea por dificultades del terreno u
otra razón.
Para ello, Joaquín investiga más sobre la trigonometría y sus propiedades.
¿Cuántas relaciones encontrará Joaquín?, ¿en qué se basan esas relaciones?
Luego de realizar tu investigación, resuelve la siguiente actividad:
1. El ángulo de elevación del tope de un edificio es de 50° desde un punto A.
Desde ese mismo punto, el ángulo de elevación hasta el tope de una
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Trigonometría en el triángulo rectángulo
antena sobre el edificio es de 60°. Si la distancia desde el punto A hasta el
tope de la antena es de 60 m:
a) ¿Cuántos metros mide la antena? Aproxima a la unidad más cercana.
16 m
b) ¿Cuántos metros mide el edificio? Aproxima a la unidad más cercana.
36 m
c) ¿Cuántos metros tiene la distancia desde A hasta la base del edificio?
Aproxima a la unidad más cercana.
30 m
2. Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m a la misma
hora que un árbol de 21 m proyecta una sombra de 24 m
49 m
3. El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen α = 1/2.
Entonces PR mide:
a)
b)
3
c) 2
d)
3
2
e) 6
4. En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos β = cot β . Entonces el
valor de β es:
a) 0°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) Ninguna de las anteriores
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Trigonometría en el triángulo rectángulo
5. Una escalera apoya su pie a 3 m de un muro. La parte superior se apoya
justo en el borde del muro. El ángulo formado entre el piso y la escala
mide 60º. El largo de la escalera es:
a)
2 3
b)
3 2
c)
6
d) 8
e) No se puede determinar
6. Una colina mide 420 metros de altura. Se calcula que el ángulo de
elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45º. Determinar la
distancia desde A hasta la cima de la colina.
a) 420
b)
c) 840
d) 840 2
e) Ninguna de las anteriores
7. Si se calcula
a)
sen60º
, el valor que se obtiene es:
cos 30º − tg 30º
3
b) 0
c) 3
d) 1
e) Indeterminado
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Trigonometría en el triángulo rectángulo
8. Si senα =
5
, donde
13
α
es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo,
entonces el valor de cos α es:
a)
13
12
b)
12
5
c)
5
12
d)
13
5
e)
9. Si se calcula
4 sen 30º + 2 cos 45º − 2 sen 45º · tg 45º
resulta:
a) 0
b) 2
c) 2 +
2
d) 2 −
2
e) Valor irracional
10. Si se calcula
sen60º + cos 45º
cos 30º − sen45º
resulta:
a) 5 + 2 6
b) 5
c) 1
d) 0
e) Otro valor
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Trigonometría en el triángulo rectángulo
11. Si se calcula (tg 60º + cos 45º)(tg 30º − cos 30º) se obtiene:
a)
b)
c)
d)
e)
12. Cuando el Sol se encuentra a 60º sobre el horizonte, un árbol de 15 m de
alto proyecta una sombra que mide:
a) 9 m
b) 5 3 m
c) 15/2 m
d) 15 3 m
15
e) 2
3
m
13. Sí tg α = 12/5, entonces la alternativa correcta es:
a) sen α = 12
b) cos α = 5
c) cosec α = 5/4
d) sec α = 3
e) cos α = 5/13
14. El triángulo ABC de la figura es rectángulo en C, CB = 5 cm y tg β = 2,4.
¿Cuánto mide el perímetro del triángulo ABC?
a) 17 cm
b) 18 cm
c) 25 cm
d) 30 cm
e) No se puede determinar
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15. Encuentra la altura de la palmera, sabiendo que tg β = 1/4.
a) 8 m
b) 6 m
c) 3/8 m
d) 8/3 m
e) 24 m
Paso 3
Concluya la actividad con este resumen y repitiendo la pregunta inicial:
Edificio y árbol, ¿qué altura tienen?
Hábleles de la relación que existe entre las medidas de los lados de un
triángulo rectángulo y sus ángulos. O sea, para hallar una medida que no se
pueda obtener en forma directa se hace una medición indirecta. Una estrategia
de esta naturaleza es muy apropiada si lo que se quiere medir es muy
inaccesible ya sea por dificultades del terreno u otra razón. Una herramienta
que nos provee solución al problema es la tangente de un ángulo, herramienta
de la trigonometría.
Ahora que ya sabes qué relaciones pudo encontrar Joaquín y qué elementos
del triángulo rectángulo usó para sus cálculos, puedes determinar la altura de
un poste, o la sombra de éste.
Edificio y árbol, ¿qué altura tienen? Ya no será problema resolverlo.
Analicen los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos. Refuerce los
aprendizajes que presentan más problemas.
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