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MATEMATICA
Guía teórico-Práctica
Unidad 26
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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Es el número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.
¿Qué es un "múltiplo"?
Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo
multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar.
Aquí tienes ejemplos:
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...
Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...
¿Qué es un "múltiplo común"?
Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos
listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.
Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos
comunes son los que están en las dos listas:
Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...
Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...
¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos
comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)
¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el
los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.
menor de
Calcular el mínimo común múltiplo
En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres
uno que coincida.
Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20,
2
..., así:
Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que
coincide es el 15. Respuesta: 15
Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.
Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8
Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....
Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!)
ENCUENTRA EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE………..
a)
b)
c)
d)
e)
2, 8 y 16
4,6 y 9
5, 6 y 9
5y7
4, 7, 14 y 28
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
En una excursión escolar a un museo van 20 alumnos de una clase y 30 de otra. Los profesores y
profesoras quieren formar grupos con los alumnos de cada clase, todos con el mismo número de
alumnos y el máximo posible de ellos en cada grupo. ¿Cuántos se podrán formar sin que sobre
ninguno?
Con los 20 alumnos de la primera clase se pueden hacer:






de 1 alumno: 20 grupos;
de 2 alumnos: 10 grupos;
de 4 alumnos: 5 grupos;
de 5 alumnos: 4 grupos;
de 10 alumnos: 2 grupos;
de 20 alumnos: 1 grupo.
Con los 30 alumnos de la segunda clase se pueden hacer:

de 1 alumno: 30 grupos;
3







de 2 alumnos: 15 grupos;
de 3 alumnos: 10 grupos;
de 5 alumnos: 6 grupos;
de 6 alumnos: 5 grupos;
de 10 alumnos: 3 grupos;
de 15 alumnos: 2 grupos;
de 30 alumnos: 1 grupo.
Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
Los divisores de 30 son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.
20 y 30 tienen cuatro divisores comunes: 1, 2, 5 y 10. El mayor de ellos es 10.
Los grupos iguales de mayor número de alumnos que se pueden formar son de 10 alumnos: serían
2 grupos de la primera clase y 3 de la segunda. En este caso, 10 es el máximo común divisor de
20 y 30.
El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de sus divisores comunes.
Se escribe abreviadamente: m.c.d., o también M.C.D.
Cálculo del máximo común divisor de dos números
Para obtener el máximo común divisor de dos números naturales, por ejemplo de 12 y 8, seguimos
los siguientes pasos:
1. Hallamos los divisores de uno de los números, por ejemplo del 12; para ello lo dividimos entre
todos los números naturales comprendidos entre 1 y 12, ambos incluidos:
Los divisores de 12 son aquellos que al dividir han dado resto cero, es decir: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
2. Hallamos los divisores del otro número, el 8, dividiéndolo entre todos los números naturales
comprendidos entre 1 y 8, ambos incluidos:
4
Los divisores de 8 son aquellos que al dividir han dado resto cero, es decir: 1, 2, 4 y 8.
3. Comparamos los divisores de ambos números, 12 y 8, y vemos los que tienen en común: 1, 2 y
4.
El mayor de ellos es 4. Por tanto: m.c.d. (12, 8) = 4
SI QUIERES, PUEDES SEGUIR LOS MISMOS PASOS Y PRACTICAR HALLANDO:
a) m.c.d. (2, 5)
b) m.c.d. (4, 6)
c) m.c.d. (10, 15)
d) m.c.d. (9, 21)
POTENCIACIÓN
La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es
una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se
escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se
multiplica por sí misma. Por ejemplo:
En general:
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no
está definido (ver en Cero). Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la
idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.
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Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir
que la potencia pasa con exponente positivo.
Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la
cantidad de ceros en el resultado. El resto de la bases, para sacar el resultado el número se
multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente.
Definición general de exponente
Número o expresión algebraica que denota la potencia a que se ha de elevar otro número u otra
expresión, y se coloca en su parte superior a la derecha.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una
potencia. Estas son:
-
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
si se cumple que
-
Potencia de exponente 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base
Ejemplo:
-
Producto de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma base y se suman los
exponentes.
Ejemplo:
-
División de potencias de igual base
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La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la
resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los exponentes.
-
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación
de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. así se obtiene
esta potencia
-
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con
respecto a la suma ni a la resta.
Es distributiva con respecto a la multiplicación y división:
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:
-
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que
base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.
En general:
-
Propiedad asociativa
La propiedad asociativa no se cumple para la potenciación.
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-
Potencia de exponente fraccionario
Es una potencia que tiene su exponente en forma de fracción no es irreductible, y en la que se
cumple que
-
Potencia de exponente negativo
Una potencia que tenga exponente negativo se cambia el número por su inverso, pero ahora con
exponente positivo a − b = 1 / ab
Es decir: 4 − 2 = 1 / 42 = 1 / 16 = 0.0625
RESUELVE APLICANDO PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN….
a) (22)1 =
b) 3-2 : 34 =
c) 41. 43. 4-2 =
d) 30 =
e) 71 =
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación,
puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
Ejemplo:

=
-
.
Raíz de un producto
La raíz cuadrada de un producto a · b es igual al producto de la raíz cuadrada de "a"
por la raíz cuadrada de "b"
8
=
Pero si multiplicamos a · b dentro del radical, el resultado será el mismo:
-
Raíz de un cociente
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del
denominador, así:

=
Ejemplo:

=
Cuando esta propiedad se realiza con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente
racional, aunque sí cuando se hace con variables.

=
-
Potencia de una raíz
Para elevar una raíz a una potencia, se conserva el índice y es elevado sólo la cantidad subradical.

=
.
9
Ejemplo:

=
-
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad
subradical.
=
Ejemplo:
=
RESUELVE APLICANDO PROPIEDADES DE LA RADICACION........
a)
x
b)
:
c)
√
=
=
=
RESUELVE EJERCICIOS COMBINADOS APLICANDO PROPIEDADES DE LA
POTENCIACION….
a) (
=
b) 24 : 22 : 29 : 27 =
c) 214. 2-11 – (-2)15. (-2)-13 =
d) (25)3: (24)3- (24)0 =
e) -2 + 25 : 24 – 2 =
f)
(-4)2 : (-4)1 + 42 =
g) (6 – 2)2 : ( -8 + 12)3 =
h) 4-1 . (1/4)2 =
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