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Operador nabla
~ = x̂ ∂ + ŷ ∂ + ẑ ∂
El operador nabla es:∇
∂x
∂y
∂z
Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x
~ ) por:
~ ϕ = x̂ ∂ϕ + ŷ ∂ϕ + ẑ ∂ϕ
∇
∂x
∂y
∂z
~ (x
Sea A
~ ) = Ax(x
~ )x̂ + A y(x
~ )ŷ + Az(x
~ )ẑ un campo vectoral.
~ se define por
La divergencia de A
∂Ax ∂A y ∂Az
~ .A
~ (x
∇
~)=
+
+
∂x
∂z
∂y
rotor
~ es:
El rotor de A
x̂ ŷ ẑ ∂
∂
∂
~ ×A
~ =
∇
∂x ∂y ∂z A x A y Az El laplaciano de un campo escalar ϕ(x
~ ) es la divergencia del gradiente de ϕ(x
~ ):
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
2
~
~
∇.∇ ϕ = ∇ ϕ = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
Teorema de la divergencia
Sea V un volumen encerrado por una superficie cerrada S. Tenemos que:
Z
~ .A
~=
d3x∇
V
I
~ .A
~
dS
S
~ definido en V . La expresión del lado derecho de esta ecuación
para todo campo vectorial A
~ a través de la superficie S. d S
~ es el elemento de área
se llama el flujo del campo vectorial A
infinitesimal. Su dirección la da la normal a la superficie en cada punto que, por convención
apunta hacia afuera del volumen V .
Demostremos esta identidad para un cubo de lado a:
Z
0
a
dx
Z
a
dy
0
Z
0
a
Z a Z a
∂Ax ∂A y ∂Az
+
+
dz
=
dy
dzAx |x=a
x=0 +
∂y
∂z
∂x
0
0
Z a
Z a
Z a Z a
y=a
dx
dzA y | y=0 +
dy
dxAz |z=a
z=0
0
0
0
0
Teorema de la divergencia
R
Pero
a
0
dy
R
a
0
dzAx |x=a
x=0 =
R
a
0
dy
R
a
0
dzAx(a, y, z) −
R
a
0
dy
R
a
0
dzAx(0, y, z)
~ a través de las tapas del cubo correspondientes a
Podemos ver que estos son los flujos de A
x = a y x = 0. El signo menos se debe a que la normal a la tapa en x = 0 es −x̂.
Un volumen arbitrario V lo podemos descomponer en N cubos de lado a adyacentes tal que
V = Na3. Esto es exacto para N → ∞. Veamos qué sucede si aplicamos nuestro resultado
previo para dos cubos adyacentes:
Z
V1 UV2
~ .A
~=
d3x∇
Z
~ .A
~+
d3x∇
V1
Z
~ .A
~=
d3x∇
V2
I
~ .A
~+
dS
S1
I
~ .A
~=
dS
S2
I
~ .A
~
dS
S
Notar que el flujo de A en la cara común de los dos cubos adyacentes se cancela porque las
normales se dirigen en direcciones opuestas. Sólo queda el flujo a través de las caras(S) que
rodean el volumen V1 UV2.
Teorema del Rotor(Stokes)
Sea S una superficie abierta, cuyo borde es una curva cerrada C. Entonces:
Z
~. ∇
~ ×A
~ =
dS
S
I
~
d ~x .A
C
~ definido en S. El miembro derecho de la igualdad es la circulación
para todo campo vectorial A
~ a lo largo de la curva C. C se recorre siguiendo la regla de la mano derecha:
de A
Figura 1.
Con la mano derecha tomo la normal n̂ a la superficie S en cada punto, con mi dedo pulgar
en la dirección de n̂. La curvatura de los demás dedos da la orientación de C.
Teorema del Rotor
Demostremos esta identidad para un cubo de lado a, al cual le falta la tapa en x = 0.
Z
a
dy
0
Z
a
~ ×A
~
dz ∇
0
x |x=a +
Z
a
dx
0
Z
a
~ ×A
~
dz ∇
0
y=a
y | y=0 +
Z
a
0
Z
dy
a
0
~ ×A
~
dx ∇
z=a
z |z=0
Estudiemos cada tapa por separado,
Z
a
0
Z
dx
a
0Z
0
a
Z
a
Z
a
∂A (x, a, z) ∂Ax(x, a, z)
+
=
dz − z
∂z
∂x
0
0
Z a
dz(−Az (a, a, z) + Az(0, a, z)) +
dx(Ax(x, a, a) − Ax(x, a, 0))
~ ×A
~
dz ∇
y=a
|
=
y
dx
0
La última expresión da la circulación de A a lo largo del perímetro del cuadrado y = a,
recorriendo el perímetro tal que el cubo queda a la derecha.
Aplicamos este resultado a cada tapa del cubo. Notamos que todas las tapas tienen un lado
~ en los lados comunes
común con otra tapa, excepto la tapa en x = 0. La circulación de A
se cancela de a pares debido a las orientaciones opuestas que tiene los recorridos en las dos
~ a lo largo del cuadrado que limita la tapa x = 0.
tapas. Sólo sobrevive la circulación de A
Un argumento similar al utilizado para probar el Teorema de Gauss, permite generalizar
nuestro resultado para el cubo a una superficie abierta arbitraria.
Ejemplos
Consideremos el campo eléctrico debido a una carga q en el origen. Encontrar:
1. El flujo del campo eléctrico a través de una esfera centrada en el origen de radio R.
H
H
kq
~ .n̂ dS = k q2
~ = kq r̂2 , n̂ = r̂ ,
E
dS
=
Tenemos que: E
4πR2 = 4πkq
S
S
R
R2
r
2. La divergencia del campo eléctrico:
x
y
z
~
~
∇.E = kq ∂x 3 + ∂ y 3 + ∂z 3
r r
r
1
−3
x
∂ x 3 = 3 + x 4 ∂ xr
r
r
r
x
∂ xr =
r
2
2
2
~ .E
~ = 3 − 3x + y + z = 0
∇
r3
r5
∂x
1
x
x2
= 3 −3 5
r
r3
r
r=
/0
La divergencia del campo eléctrico está concentrada en el origen.Definamos la ”función” delta
R 3
~
de Dirac: δ(x
~ ) = 0 si ~x =
/ 0 y d xδ(x
~ ) = 1, la integral cubre todo el espacio. Entonces:
~ .E
~ = 4πkqδ(x
∇
~)
Ejemplos
Encontrar
~ , para el campo eléctrico debido a una carga puntual q1 situada en ~x1.R:∇ × E
~ =~0
1. rot E
~ a lo largo de la curva definida por dos segmentos de radios y los
2. La circulación de E
arcos correspondientes. La carga q está situada en el centro de la esfera.
r2
r1
En los arcos la integral de línea se anula, dado que el campo
R r2
H
q
~
~
es
perpendicular
a
la
tangente
al
arco.
drk
E
.d
~
x
=
E
.d
~
x
=
0.
Se
tiene:
−
r
C
r2
R r2
1
q
drk r2 = 0.
r
1
Por superposición, el campo electrostático debido a un número arbitrario de cargas
H
~ .d ~x = 0 ,
~
~
puntuales satisface que ∇ × E = 0. Debido al teorema del rotor C E
para cualquier curva cerrada C. Esto significa que el campo electrostático es conservativo
y que es posible definir el potencial electrostático, como veremos posteriormente.