Download Potencial Vector • ∇B(x)=0 No hay monopolos magnéticos. • ∇×B(x

Potencial Vector
~B
~ (x
• ∇
~ ) = 0 No hay monopolos magnéticos.
~ ×B
~ (x
~ (x
• ∇
~ ) = µ0J
~ ) Ley de Ampére
~ (x
~ (x
~ ) = 0, se tiene: B
~ ) = −∇Φm(x
~ ), Φm(x
~ ) satisface la ecuación de Laplace. Podemos
Si J
usar los métodos desarrollados en Electrostática para encontrar en campo magnético.
~B
~ (x
~ (x
~ ×A
~ (x
~ (x
En general:∇
~ ) = 0 implica:B
~)=∇
~ ), A
~ ) es el potencial vector.
~ ′(x
~ (x
~ (x
Transformación de gauge: A
~)=A
~ ) + ∇ψ, no cambia B
~) .
~ ×B
~ (x
~ × ∇
~ ×A
~ (x
~ (x
∇
~)=∇
~ ) = −∇2A + ∇(∇A) = µ0J
~)
Utilizando la libertad de gauge podemos fijar el gauge de Coulomb ∇A = 0. En efecto:
0 = ∇A ′ = ∇A + ∇2 ψ
∇2 ψ = −∇A tiene siempre solución para ψ
~ (x
∇2A = −µ0J
~)
En el espacio abierto:
Z
~ ′
µ
0
3 ′ J (x )
~
d x
A (x
~)=
|x
~ − ~x ′|
4π
Inducción Magnética para un anillo con corriente
Figura 1.
δ(r ′ − a)
J φ = I sen θ δ(cos θ )
a
′
′
J = −J φ sen φ ′iˆ + J φcos φ ′ jˆ
Por simetría, podemos escoger el punto de observación con φ = 0.
Z
Z
Z
′
′
µ0
′
′
′
′ ′2
′
′ δ(r − a) cos φ
A φ(r, θ) =
=
dφ dθ sen θ dr r I sen θ δ(cos θ )
|x − x ′|
4π
a
Z
µ0Ia
cos φ ′
′
=
dφ
4π
(r2 + a2 − 2ra senθ cos φ ′)1/2 4
(2 − k 2)K(k) − 2E(k)
µ0Ia
k2
4π (r 2 + a2 + 2ra senθ )1/2
4ar sen θ
k2 = 2
r + a2 + 2ra senθ
Ejercicio: Expandir el potencial vector (1) en armónicos esféricos.
(1)
,
Momento Magnético
1
~x .x
~′
1
=
+
~ | |x
|x
~ −x
~ ′| |x
~ |3
Z
Z
d3x ′ Ji(x ′) =
Z
Z
1
~x
~ i(x
A
~)=
d3x ′ Ji(x ′) + j3 d3x ′x j′ Ji(x ′)
|x
~|
|x
~I |
d3x ′{(x j′ Ji(x ′)) ,i − x j′ Ji,i(x ′)} =
d3x ′{δ j ixk′ Ji(x ′) + x j′ δkiJi(x ′)} =
Z
Z
Z
Z
dSi x j′ Ji(x ′) = 0
d3x ′{x j′ xk′ Ji(x ′)} ,i =
d3x ′{xk′ J j (x ′) + x j′ Jk(x ′)}
I
dSix j′ xk′ Ji(x ′) = 0
Z
Z
1
~ (x
d3x ′[x j′ Ji(x ′) − xi′J j (x ′)] = ε ji k d3x ′ ~x ′ × J
~ ′) k
d3x ′x j′ Ji(x ′) =
2
1
~ (x
M(x ′) = ~x ′ × J
~ ′)
2
es la magnetización.
Z
1
3 ′
′
′
~
m
~k=
d x x
~ × J (x
~ ) k
2
es el momento magnético.
µ m×x
~ (x
A
~)= 0
4π |x|3
es el potencial vector del dipolo magnético.
Fuerza y Torque
Bk(x) = Bk(0)Z+ x.∇Bk(0) + ....
Z
F = d3xJ(x) × B(x)
Z
Fi = εi jk d3xJ j (x)Bk(x) ∼
εi jk d3xJ j (x)[Bk(0) + x.∇Bk(0)] =
Z
εij k d3xJ j (x)xlBk,l(0) = −εi jkε j lnmnBk,l(0) =
(δi lδkn − δinδkl)mnBk,l(0) =
mkBk,i − miBk,k = ∇i(m.B)
Z
d3xx × (J(x) × B(x)) ∼
Z
d3xx × (J(x) × B(0))
Z
Z
Ni = εij k d3xx jεk lnJlBn(0) = (δilδ jn − δinδjl) d3xx jJlBn(0) =
Z
Z
d3xx jJiB j (0) − d3xx jJ jBi(0) =
N=
ε ji kmkB j (0) − 0 =
(m × B(0))i
Z
d3x (xk xkJ j ) ,j =
Z
Z
d3x (2x jJ j + xkxkJ j ,j ) = 2 d3xx jJ j = 0
~ =m
~ (0)
N
~ ×B
~ = −∇
~ U , U = −m
~
Energía Potencial:F
~ .B
Ecuaciones Macroscópicas
∇B = 0, B = ∇ × A
~ (x
M
~)=
X
Ni < m
~i>
i
M (x): Magnetización.
"
#
′
′
′
~
~
J (x )
µ
M (x
~ ) × (x
~ − ~x )
~ (x
A
~ ) = 0 d3x ′
+
|x
~ − ~x ′|
|x − x ′|3
4π
# Z
"
Z
′
′
~
M (x
~ ) × (x
~ − ~x )
3 ′ ~
′) × ∇
~′ 1
=
d
x
M
(x
~
d3x ′
=
|x − x ′|
|x − x ′|3
Z
1
′
~ ×M
~ (x ′)
d3x ′ ∇
|x − x ′|
#
"
Z
′
′
′
~
~
~
J (x ) + ∇ × M (x )
µ
~ (x
A
~ ) = 0 d3x ′
|x
~ − ~x ′|
4π
Z
~M (x
~ ′×M
~ (x ′).
Corriente de Magnetización efectiva:J
~ ′) = ∇
~ ×B
~ (x
~ (x
~ ×M
~ (x)
∇
~ ) = µ0 J
~ ) + µ0 ∇
~ = 1B
~ −M
~
H
µ0
~ ×H
~ (x
~ (x
∇
~)=J
~)
~ : Campo magnético
H
Para materiales diamagnéticos y paramagnéticos isotrópicos :
B = µH
µ:permeabilidad magnética.
Paramagnético: µ > µ0
Diamagnético: µ < µ0
Ferromagnético: B = F (H)
Figura 2. Histéresis
Condiciones de Borde
En una superficie S que separa las regiones 1 y 2:
~
~
B2 − B1 .n̂ = 0
~2−H
~1 =K
~
n̂ × H
n̂; normal a la superficie que apunta de 1 a 2.
~ : densidad de corriente superficial(no incluye corriente de magnetización).
K
Problemas de Contorno
1. Potencial vector, medios lineales:
~ (x
~ ×A
~ (x
B
~)=∇
~)
1 ~
~ (x
×A
~) =J
∇× ∇
µ
−∇2A + ∇(∇A) = µJ
∇2A = −µJ
∇.A = 0 gauge de Coulomb
~ =~0,H
~ = −∇
~ ΦM ,ΦM es el potencial escalar magnético.
2. J
~ .B
~ = 0, ∇2ΦM = 0
∇
3. Ferromagnetos duros:J = 0, M dado.
a) Potencial escalar:
~ = −∇
~ ΦM , ∇
~ .B
~ = 0 = µ0∇
~ H
~ +M
~
H
~ .M
~
ρM = −∇
∇2ΦM = −ρM ,
En el espacio abierto:
Z
′
~
1
1
1
∇ .M (x )
~ (x ′).∇ ′
ΦM (x
~)=−
=
=
d3x ′
d3x ′M
′
4π
|x
~ − ~x |
4π
|x
~ − ~x ′|
Z
′
Z
~ ′
1 ~
3 ′ M (x )
− ∇ d x
|x
~ −x
~ ′|
4π
Si hay una discontinuidad en la magnetización se induce una densidad superficial de
magnetización:σM = n̂.M con lo cual:
I
′
~
~ ′
1
1
3 ′ ∇ .M (x )
′ n̂.M (x )
ΦM (x
~)=−
+
=
d x
dS
4π
|x
~ − ~x ′|
4π
|x
~ − ~x ′|
Z
′
~
m.x
ΦM ∼r→∞ 4πr3 ,
m
~ =
b) Potencial vector.
R
~ (x ′)
d3x ′M
~ (x
~ ×A
~ (x
B
~)=∇
~!
)
~
B
~
~
~
~
∇ × H (x
~)=0=∇×
−M
µ0
~ ×M
~ (x
∇2A = −µ0∇
~)
Z
′
~ ′
µ0
3 ′ ∇ × M (x )
~
A (x
~)=
d x
|x
~ − ~x ′|
4π
Si hay discontinuidades en la magnetización:
Z
I
˘′
′
′
′
~
×
M
(x
)
µ
µ
∇
M
(x
)
×
n
0
0
~ (x
A
~)=
+
d3x ′
dS ′
′
|x
~ −x
~ |
|x − x ′|
4π
4π S
Esfera con magnetización uniforme
Figura 3.
~ = M0 ẑ θ(a − r), σM = n̂.M
~ = M0cos θ
M
I
~ ′
1
′ n̂.M (x )
~)=
dS
=
ΦM (x
4π
|x
~ − ~x ′|
Z
′
M0a2
′ cos θ
dΩ
4π
|x
~ − ~x ′|
l
∞
ℓ
X
X
1
1
r<
⋆
= 4π
Ylm
(θ′, φ′) Yl m(θ, φ)
′
ℓ+1
2l + 1 r>
|x−x |
l=0 m=−l
Z
′
M0a2
M0a2 r<
′ cos θ
dΩ
=
cos θ, r< = min {r, a}
2
|x
~ − ~x ′|
4π
3 r>
Figura 4.
Apantallamiento Magnético
Figura 5.
H = −∇ΦM ∇B = µ∇H = 0, ∇2ΦM = 0
~ 0 = B0ẑ
El problema tiene simetría azimutal con B
P∞ −(ℓ+1)
ℓ
1)r > b, Φ1(r, θ) = ℓ=0 Aℓr + αℓr
/1
Pℓ(cos θ), A1 = −H0, Al = 0, l =
P∞ −(ℓ+1)
ℓ
Pℓ(cos θ)
2) a < r < b, Φ2(r, θ) = ℓ=0 βℓr + γℓr
P
ℓ
3) r < a, Φ(r, θ) = ∞
ℓ=0 [ δℓr ] Pℓ(cos θ)
Condiciones de borde en r = a, b.
∂
∂
∂
∂
Φ1|r=b = Φ2|r=b ,
Φ3|r=a = Φ2|r=a
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
∂
∂
∂
∂
µ0 Φ1|r=b = µ Φ2|r=b , µ0 Φ3|r=a = µ Φ2|r=a
∂r
∂r
∂r
∂r
Todos los coeficientes con l =
/ 1 se anulan. Para l = 1 se tiene:
α1 − b3 β1 − γ1 = b3H0
2α1 + µ ′b3 β1 − 2µ ′ γ1 = −b3H0
a 3 β1 + γ 1 − a 3 δ 1 = 0
µ ′a3 β1 − 2µ ′ γ1 − a3δ1 = 0
µ
µ′ = µ .
0

α1 =
(2µ ′ + 1)(µ ′ − 1)
a3
(2µ ′ + 1)(µ ′ + 2) − 2 b3 (µ ′ − 1)2

δ1 = −

(b3 − a3)H0
9µ ′
a3
(2µ ′ + 1)(µ ′ + 2) − 2 b3 (µ ′ − 1)2

H0
Figura 6.
Para µ ≫ µ0
α1 = b3H0
δ1 = −
9 H0
→ µ ′ →∞ 0
2µ ′ 1 − a3
b3
El campo magnético puede ser muy débil para r < a.