Download Apuntes y ejercicios de física de 2º de bachillerato

© Almudena de la Fuente, 2016
ÍNDICE
TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1. Campo gravitatorio. Intensidad del campo gravitatorio
3
2. Movimiento orbital de satélites y planetas
6
3. Estudio energético del campo gravitatorio
8
TEMA 2: INTERACCIÓN ELECTRICA
1. Campo eléctrico
17
2. Estudio energético del campo eléctrico
22
3. Movimiento de cargas en el campo eléctrico
26
4. Flujo eléctrico. Teorema de Gauss
30
5. Comparación entre los campos gravitatorio y eléctrico
33
TEMA 3: INTERACCIÓN MAGNÉTICA. ELECTROMAGNETISMO
1. Campo magnético. Fuerza magnética
34
2. Ley de Ampère. Campo magnético creado por corrientes eléctricas
39
3. Inducción electromagnética
45
TEMA 4: ONDAS
1. Concepto de onda. Clasificación y magnitudes que las caracterizan
53
2. Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales
54
3. Energía e intensidad de una onda
61
4. Fenómenos ondulatorios: reflexión, refracción, difracción e interferencias
62
5. Ondas sonoras
65
6. Ondas electromagnéticas
69
TEMA 5: ÓPTICA GEOMÉTRICA
1. Reflexión y refracción de la luz
72
2. Formación de imágenes en espejos
76
3. Formación de imágenes en lentes
81
4. El ojo humano. Defectos visuales
85
5. Instrumentos ópticos
87
TEMA 6: FÍSICA DEL SIGLO XX
1. Física cuántica
90
2. Física nuclear
96
3. Física relativista
103
Constantes físicas utilizadas
107
2
TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1. Campo gravitatorio. Intensidad del campo gravitatorio.
La ley de la Gravitación Universal, enunciada por Isaac Newton en 1666, afirma que
"dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerza que es
directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que existe entre sus centros".


m m
F12 = F21 = G 1 2 2
r
m1

F12  fuerza que ejerce m1 sobre m2 (N)

F21  fuerza que ejerce m2 sobre m1 (N)
G = constante de gravitación universal = 6,67·10-11Nm2/kg2
m1, m2 = masas que se atraen (kg)
r = distancia del centro de m1 al centro de m2 (m)
r
m2
La fuerza gravitatoria es una fuerza central, es decir, tiene una dirección radial partiendo
de un centro fijo y su valor solo depende de la distancia a ese centro.
Como consecuencia de la fuerza gravitatoria, todo cuerpo material produce una perturbación en el espacio que le rodea denominada campo gravitatorio. Se llama campo gravitatorio a la región del espacio que rodea a una masa en la que se manifiesta la atracción
gravitatoria.
El campo gravitatorio se puede representar mediante líneas de fuerza que indican la trayectoria que seguiría una partícula dejada en un
punto del campo gravitatorio.
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que se ejerce sobre la
unidad de masa situada en dicho punto.

g = (intensidad del) campo gravitatorio (N/kg)
⃗F⃗
M
o aceleración de la gravedad (m/s2)
⃗⃗= → g  G 2
g
m
r
M = masa que genera el campo gravitatorio (kg)
r = distancia del centro de M al punto P (m)

M
Vectorialmente: g  G 2 u
r


 r
siendo u  = vector unitario en el mismo sentido que r
r
y r⃗ el vector de posición de P respecto al centro de M.
P
⃗⃗=
Si r⃗⃗=(xP ,yP )-(xM ,yM )=(a,b)=ai⃗+bj⃗ → u
M
r
ai⃗+bj⃗
√a2 +b2
También puede determinarse el vector unitario a partir del
ángulo α que forma con el semieje x positivo:
⃗⃗= cos α ⃗i+ sen α ⃗j
u
3
Ejemplo: Una masa puntual de 24 kg se encuentra situada en el punto (3,6) del plano
XY, estando las coordenadas expresadas en m. Expresar vectorialmente el campo gravitatorio en el punto (15,15).




(12,9 )
r = (15,15) - (3,6) = (12,9)
u=
= 0,8 i + 0,6 j
12 2 + 9 2





24
g = 6,67·10 11·
·(0,8 i + 0,6 j ) = 5,7·10 12 i + 4,3·10 12 j (N/kg)
( 122 + 92 )2
Si en una región del espacio hay varias masas, el campo gravitatorio resultante es la
suma vectorial de los campos creados por cada una de las masas (principio de superposición).
Ejemplo: Dos masas puntuales de 5·106 kg y 6·106 kg se encuentran a 30 km y 50 km
de distancia respectivamente de un punto P, como indica la figura. Calcular el vector
campo gravitatorio en el punto P.

M1=5·106 kg

5·10 6
13
g1  6,67·10 11·
·(

j
)

3
,
7
·
10
j
(
N
/
kg
)
30000 2
30 km
6



11 6·10
13
g2  6,67·10
·( i )  1,6·10
i (N/kg)
P
50000 2


 

M2=6·106 kg
g  g1  g2  1,6·10 13 i  3,7·10 13 j (N/kg)
50 km

g  (1,6·1013 )2  (3,7·1013 )2  4·1013 N/kg
La caída de los cuerpos y el movimiento orbital son dos manifestaciones de la existencia
de campos gravitatorios. Si un cuerpo cae sin velocidad inicial, se produce un movimiento vertical de caída libre con aceleración g; si parte con una velocidad horizontal, el
movimiento será parabólico; si su velocidad inicial es suficientemente elevada la aceleración de la gravedad actuará como aceleración centrípeta o normal dando lugar a
un movimiento circular uniforme en torno a la masa que crea el campo.
_____________________________________________________________________
1. Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan
posiciones fijas separadas una distancia
de 2 m, según indica la figura. Calcular
el campo gravitatorio en el punto A equidistante de las dos masas anteriores y a
una distancia de 1 m de la línea que las
une (AB = 1 m).
Dato: G

Solución: -9,43·10-10 j (N/kg)
A
M
B
M
2. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices
de un cuadrado de lado igual a 2 m.
a) Representar vectorialmente los campos gravitatorios que crean las cuatro masas
en el centro de cada lado del cuadrado.
b) Calcular el módulo del campo gravitatorio en uno de dichos puntos
Dato: G
Solución: 1,43·10-10 N/kg
3. La masa del Sol es 333183 veces mayor que la de la Tierra y la distancia que separa
sus centros es de 1,5·108 km. Determinar si existe algún punto a lo largo de la línea
que los une en el que se anule el campo gravitatorio. En caso afirmativo, calcular su
distancia a la Tierra.
Solución: 2,6·108 m
4
Relación entre fuerza gravitatoria y campo gravitatorio
Si en un punto del campo gravitatorio se sitúa una masa m, la fuerza ejercida por M
sobre m vendrá dada por:


Fg = m·g
La fuerza gravitatoria se identifica con el peso cuando un cuerpo está en la cercanía de
la superficie de la Tierra u otro planeta. El peso aparente de un cuerpo es la fuerza que
ejerce dicho cuerpo sobre la superficie de apoyo que coincide con el valor de la fuerza
normal (fuerza que ejerce dicha superficie sobre el cuerpo que se apoya en ella). En un
sistema no inercial (acelerado) el valor de la normal no coincide con el peso, por lo que
el peso aparente será distinto del peso real (N – P = m·a). El fenómeno de ingravidez
se experimenta cuando la aceleración del sistema es igual a g (caída libre), de forma
que N = 0.
Ejemplo: Un planeta esférico tiene una densidad media de 5·103 kg/m3 y un radio de
4000 km. Determinar la intensidad del campo gravitatorio en su superficie y el peso de
una persona de 70 kg situada en la superficie de dicho planeta.
4
V = ·π·(4·106)3 =2,7·1020 m3; M= 5·103·2,7·1020 = 1,35·1024 kg
3
1,35·1024
g  6,67·10 11
 5,6 N/kg
( 4·106 )2
P = F = m·g = 70·5,6 = 392 N
Campo gravitatorio terrestre
Sabiendo que la masa de la Tierra es MT = 5,98·1024 kg y el radio terrestre es RT = 6370
km, puede determinarse el valor del campo gravitatorio (o aceleración de la gravedad)
en la superficie de la Tierra.
5,98·1024
M
 9,8 m/s2
g = G· T2  6,67·1011
(6,37·106 )2
RT
Al aumentar la altura sobre la superficie terrestre, disminuye g. La aceleración de la
gravedad a una altura h vendrá dada por:
g' = G·
MT
(R T  h) 2
Ejemplo: Determinar la relación entre la aceleración de la gravedad en la superficie
terrestre y la aceleración de la gravedad a una altura igual al doble del radio terrestre.
M
G T2
RT
(3R T )2
g


9
2
MT
g'
R
T
G
(R T  2R T )2
4. Calcular:
a) La densidad media del planeta Mercurio, sabiendo que posee un radio de 2440
km y una intensidad de campo gravitatorio en su superficie de 3,7 N·kg-1.
b) La altura para la cual el valor de la intensidad de campo gravitatorio será la cuarta
parte de su valor en la superficie.
Solución: a) 5,42·103 kg/m3; b) 2440 km
Dato: G
5
5. La Estación Espacial Internacional (ISS) gira alrededor de la Tierra en una órbita
prácticamente circular a una distancia de 413 km de su superficie.
a) Calcular el valor del campo gravitatorio a dicha altura.
b) Calcular el valor de la aceleración normal o centrípeta de la ISS.
c) Explicar razonadamente porque los astronautas que se encuentra en la ISS
experimentan ingravidez.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 8,67 N/kg; b) 8,67 m/s2
6. Un cuerpo de masa 100 kg está situado en la superficie de la Tierra.
a) Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo constante la masa de esta,
¿cuál sería el peso del cuerpo?
b) Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo constante su densidad media,
¿cuál sería en ese caso el peso del objeto?
Dato: g
Solución: a) 245 N; b) 1960 N
7. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la
superficie de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie
terrestre y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,27 RT (siendo RT el radio
terrestre), calcular la relación entre las densidades medias ρ Luna / ρ Tierra.
Solución: 0,617
2. Movimiento orbital de satélites y planetas
El movimiento orbital de un planeta o satélite puede ser circular uniforme o elíptico.
En el caso de los movimientos circulares, el módulo de la velocidad no varía (aT = 0) y
solo existe una aceleración normal o centrípeta (aN) que coincide con g. Si el movimiento
es elíptico, el módulo de la velocidad aumenta cuando el planeta o satélite se acerca a
la masa M que crea el campo (2ª ley de Kepler), por lo que la aceleración tendrá una
componente tangencial (aT) y una componente normal (aN).
m
M
r
Si m gira con MCU: aN =
; o, como v = ω·r: aN =
= ω2·r
Se puede determinar la velocidad lineal: G
v=
ω2·r  ω =
(ω =
O su velocidad angular: G
)
A partir de las ecuaciones también puede determinarse la masa M que genera el campo
gravitatorio a partir de la velocidad orbital y el radio de la órbita. De este modo, al estudiar
distintas galaxias se ha comprobado que la masa total de dichas galaxias calculada con
los datos orbitales de las estrellas que giran en torno a su centro es muy superior a la
que correspondería a la parte visible de dichas galaxias (cálculo de la masa a partir del
brillo de la galaxia). Este hecho pone de manifiesto la existencia de una elevada proporción de materia oscura a la que correspondería esa diferencia de masa, pero que, al
no interaccionar con la luz u otro tipo de radiaciones, no puede ser detectada. Del mismo
modo, los datos rotacionales de la Vía Láctea y las señales electromagnéticas procedentes de su centro indican la posible existencia de un agujero negro central que proporcionaría un intensísimo campo gravitatorio.
6
Ejemplo: Se ha calculado la velocidad teórica de una estrella a partir de la masa visible
de su galaxia. Al medir experimentalmente la velocidad de dicha estrella se obtiene una
velocidad tres veces superior. ¿Qué porcentaje de materia oscura hay en dicha galaxia?
v
v'
√G
=
√G
M
r
Mvisible
r
=√
M
Mvisible
=3 → M = 9Mvisible → %materia oscura =
M-Mvisible
M
·100 = 88,9 %
Satélites de órbita terrestre
En función del radio de su órbita, los satélites artificiales que orbitan alrededor de la
Tierra se clasifican en:
-
Satélites geoestacionarios o GEO: giran con un periodo de 24 h, de forma que se
encuentran siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre a una altura
aproximada de 36.000 km. Se utilizan principalmente como satélites meteorológicos
y de telecomunicaciones. Tienen una amplia cobertura, pero su elevada distancia a
la superficie terrestre supone un coste considerable para su puesta en órbita, la
necesidad de amplificar mucho las señales y un cierto retardo en la comunicación.
-
Satélites LEO (Low Earth Orbit) o de órbita baja: giran a una altura inferior a 2000
km. Si la altura es muy baja, experimentan un rápido decaimiento debido al rozamiento con la atmósfera, por lo que no suelen situarse por debajo de 300 km. Sus
principales ventajas son el menor coste de su puesta en órbita y la mayor intensidad
y rapidez de las señales enviadas. Debido a la cercanía a la superficie terrestre se
emplean mucho en telefonía móvil, estudios geológicos, como satélites espía, estaciones espaciales, etc. Su principal desventaja es su bajo periodo de rotación (entre 1,5 y 2 horas) que obliga a situar un número muy elevado de satélites en una
estrecha franja para poder contar con cobertura continua, con el consiguiente aumento de basura espacial y riesgo de colisiones. Para frenar la proliferación de
basura espacial, todos los satélites de órbita baja llevan combustible para no chocar
con fragmentos y para que al final de su vida útil vayan descendiendo hasta la órbita
terrestre y se desintegren.
-
Satélites MEO (Medium Earth Orbit) o de órbita media: se encuentran en alturas
comprendidas entre 10000 y 30000 km, para evitar la interacción con los cinturones
de Van Allen (regiones con partículas de alta energía atrapadas por el campo magnético terrestre) situados por encima y por debajo de dicha franja. Se emplean sobre
todo como satélites de posicionamiento, como GPS (24 satélites con un periodo de
12 horas) y Gallileo (Unión Europea). Su coste es más bajo que el de los geoestacionarios y proporcionan mayor cobertura que los LEO.
Ejemplo: ¿A qué altura sobre la superficie terrestre debe situarse un satélite de comunicaciones, situado en una órbita ecuatorial, para ser geoestacionario?
2π
T = 24 h = 86400 s; ω 
 7,27·10-5 rad/s
86400
-11
6,67·10 ·
5,98·1024
r2
= (7,27·10-5)2·r  r = 3 6,67·10 11
5,98·10 24
= 4,225·107 m
(7,27·10 5 )2
h = 4,225·107 - 6,37·106 =3,59·107 m
8. La Estación Espacial Internacional (ISS) gira alrededor de la Tierra a una distancia
media de 413 km de su superficie. Suponiendo que la órbita es circular, determinar:
a) Su periodo de rotación expresado en minutos.
b) El número de vueltas que da alrededor de la Tierra al cabo de un día.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 92,6 min; b) 15,55 vueltas
7
9. Un cuerpo esférico de densidad uniforme presenta una aceleración de la gravedad
sobre su superficie de 125 m·s-2 y la longitud de su circunferencia ecuatorial mide
1,885·106 km.
a) Determinar la masa de dicho cuerpo.
b) Si un objeto describe una órbita circular concéntrica con el cuerpo esférico y un
periodo de 12 h, ¿cuál será el radio de dicha órbita?
Dato: G
Solución: a) 1,69·1029 kg; b) 8,11·108 m
10. Júpiter tiene aproximadamente una masa 320 veces mayor que la de la Tierra y un
volumen 1320 veces superior al de la Tierra. Determinar:
a) A qué altura sobre la superficie de Júpiter debería encontrarse un satélite en
órbita circular en torno a este planeta para que tuviera un periodo de 9 h 50 min.
b) La velocidad del satélite en dicha órbita.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 8,94·107 m; b) 2,82·104 m/s
11. Un planeta de igual masa que la Tierra, describe una órbita circular de radio R, de
un año terrestre de duración, alrededor de una estrella de masa M tres veces superior a la del Sol.
a) Obtener la expresión que relaciona el radio R de la órbita del planeta con su
periodo de revolución T, la constante de la gravitación universal G, y la masa M
de la estrella alrededor de la cual orbita.
b) Calcular el cociente entre los radios de las órbitas del planeta y de la Tierra.
Solución: b) 1,44
12. La sonda espacial Mars Odissey describe una órbita circular en torno a Marte a una
altura sobre su superficie de 400 km. Sabiendo que un satélite de Marte describe
órbitas circulares de 9390 km de radio y tarda en cada una de ellas 7,7 h, calcular.
a) El tiempo que tardará la sonda espacial en dar una vuelta completa.
b) La masa de Marte y la aceleración de la gravedad en su superficie.
Datos: G, RM = 3390 km
Solución: a) 1,97 h; b) 6,38·1023 kg; 3,7 m/s2
13. Sabiendo que el periodo de revolución lunar es de 27,32 días y que el radio de la
órbita es r = 3,84·108 m. A partir de los datos del problema calcular:
a) La constante de gravitación universal, G.
b) Si un satélite se sitúa entre la Tierra y la Luna a una distancia de la Tierra de r/4,
¿Cuál es la relación entre los campos gravitatorios debidos a la Tierra y a la
Luna?
Datos: MT, RT, ML = 7,35·1022 kg, RL = 1,74·106 m
Solución: a) 6,7·10-11 N·m2/kg2; b) 732
14. Titania, satélite del planeta Urano, describe una órbita circular en torno al planeta.
Las aceleraciones de la gravedad en las superficies de Urano y de Titania son
gU = 8,69 m s-2 y gt = 0,37 m s-2, respectivamente. Un haz de luz emitido desde la
superficie de Urano tarda 1,366 s en llegar a la superficie de Titania. Determinar:
a) El radio de la órbita de Titania alrededor de Urano (distancia entre los centros de
ambos cuerpos).
b) El tiempo que tarda Titania en dar una vuelta completa alrededor de Urano, expresado en días terrestres.
Datos: G, c, MU = 8,69·1025 kg, Mt = 3,53·1021kg
Solución: a) 4,36·108 m; b) 8,71 días
15. Un satélite LEO y un satélite MEO giran en torno a la Tierra.
a) Explicar razonadamente cuál tendrá mayor velocidad y cuál tendrá mayor periodo.
b) Deducir la relación entre sus periodos si rMEO = 3rLEO.
Solución: b) 5,2
8
3. Estudio energético del campo gravitatorio
La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, ya que la energía cinética que pierde
un cuerpo al desplazarse en sentido contrario a dicha fuerza, queda almacenada en el
cuerpo y vuelve a recuperarse cuando este regresa a la posición inicial. Por ello se dice
que el campo gravitatorio es un campo conservativo.
B
Al ir de A a B, la fuerza gravitatoria va en contra del desplazamiento:
⃗F⃗
W A→B < 0 → EcB – EcA < 0 (se pierde energía cinética)
1
2
Al ir de A a B, la fuerza gravitatoria va en contra del desplazamiento:
⃗F⃗
A
W B→A > 0 → EcA – EcB > 0 (se recupera la energía cinética perdida)
Por tanto, para la fuerza gravitatoria y el resto de las fuerzas conservativas se cumple
A
que:
- El trabajo realizado a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo:
WA→B→A = W A→B + W B→A = 0
- El trabajo realizado entre dos puntos es independiente de la trayectoria, solo depende
de los puntos inicial y final:
WA→B (trayectoria 1) = − W B→A (trayectoria 2) → W A→B (trayectoria 1) = W A→B (trayectoria 2)
Todas las fuerzas centrales (elástica, eléctrica, gravitatoria, etc.) son conservativas. Por
el contrario, un ejemplo de fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento, ya que
tanto al ir de A a B como al volver de B a A el trabajo de la fuerza de rozamiento es
negativo (fuerza opuesta al desplazamiento), por lo que el cuerpo regresará al origen
con menor energía cinética que la que tenía al principio (W A→B→A = W A→B + W B→A < 0).
Energía potencial gravitatoria
La energía potencial es la energía almacenada en un cuerpo que puede recuperarse
íntegramente como energía cinética cuando el cuerpo regresa a la posición inicial si las
fuerzas que actúan a lo largo del desplazamiento son conservativas. Por tanto, es una
energía asociada a la posición del cuerpo que puede definirse para toda fuerza conservativa. Matemáticamente, para toda fuerza conservativa se verifica que el trabajo realizado es opuesto a la variación de energía potencial:
Wcons = −ΔEp = EpA −EpB
Para calcular la energía potencial gravitatoria en una posición r, primero hay que calcular
el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para ir de A a B. Como la fuerza gravitatoria
varia a lo largo del desplazamiento, el trabajo se calcula mediante una integral:
B
B
WA→B =∫A F·dr = ∫A (-G
Mm
)dr
r2
Mm
rB
=G
−G
Mm
rA
= EpA – EpB
M·m
+ c; si tomamos c = 0 →
r
M·m
r
La energía potencial depende del punto elegido como origen de energías potenciales
(Ep = 0), ya que c puede tener cualquier valor. Al tomar c = 0, el origen de energías
potenciales estará en el infinito. Para cualquier valor real de r, la energía potencial gravitatoria será negativa.
Ep
r
Por tanto: Ep =  G
9
Ep =  G
Ejemplo: Calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al desplazar un cuerpo
de 500 kg de masa desde la superficie terrestre hasta 1000 km de altura.
W cons = EpA −EpB = −G
Mm
rA
Mm
+G
rB
= −6,67·10
5,98·1024 ·500
-11
6,37·106
5,98·1024 ·500
-11
+ 6,67·10
6,37·106 +106
= 2,71·1010 - 3,13·1010 = -4,2·109 J
La expresión Ep = mgh es válida para calcular la energía potencial gravitatoria terrestre
cuando las variaciones de g pueden considerarse despreciables (h < RT/100 → g ≈ cte).
En ese caso, el origen de energía potencial no está en el infinito, sino en la superficie
terrestre (h = 0 → Ep = 0), por lo que el valor de la energía potencial en cada punto será
distinto que el calculado con la expresión general, pero la variación de energía potencial
no variará.
Potencial gravitatorio
El potencial gravitatorio en un punto (Vg) es la energía potencial que adquiere la unidad
de masa situada en dicho punto.
Vg =
Ep
m

Vg = potencial gravitatorio en un punto. Unidad: J/kg
Vg =
Por tanto, el potencial gravitatorio solo depende de la distancia al centro de la masa que
crea el campo y todos los puntos que equidistan de dicho centro tienen el mismo potencial
y forman superficies equipotenciales:
Las superficies esféricas 1, 2 y 3 son superficies equipotenciales y están formadas por todos los puntos que tienen un
mismo potencial gravitatorio, siendo Vg1>Vg2>Vg3.
Las líneas de fuerza del campo son siempre perpendiculares
a las superficies equipotenciales y su sentido coincide con la
disminución del potencial.
El trabajo realizado al desplazar un cuerpo a lo largo de una
superficie equipotencial es siempre nulo, ya que, al no variar
el potencial, la energía potencial tampoco varía.
1 2 3
Si en una región del espacio hay varias masas, el potencial gravitatorio resultante es la
suma escalar de los potenciales creados por cada una de las masas.
Ejemplo: Sabiendo que el radio de la órbita lunar es r = 3,84·108 m, calcular el potencial
gravitatorio en un punto situado entre la Tierra y la Luna (ML = 7,27·1022 kg) a una distancia del centro de la Luna de r/4.
5,98·1024
Vg= -6,67·10-11 3
8
·3,84·10
7,27·1022
- 6,67·10-11 1
4
·3,84·108
= -1,38·106 – 5,05·104 = -1,43·104 J/kg
4
La energía potencial gravitatoria de una masa m y el trabajo conservativo necesario para
desplazarla de A a B, pueden expresarse en función del potencial gravitatorio:
Energía potencial gravitatoria:
Ep = m·Vg
Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (conservativo):
10
W = m·(VgA - VgB)
16. Llamando Vo al potencial gravitatorio en la superficie terrestre determinar en función
del radio de la Tierra la altura a la cual el potencial gravitatorio es Vo/2.
Solución: RT
17. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices
de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcular el potencial gravitatorio creado por las
cuatro masas en el centro del cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales.
Dato: G
Solución: -1,135·10-9 J/kg
18. La masa del Sol es 333183 veces mayor que la de la Tierra y la distancia que separa
sus centros es de 1,5·108 km.
a) ¿Existe algún punto a lo largo de la línea que los une en el que se igualen los
potenciales gravitatorios debidos al Sol y a la Tierra? En caso afirmativo, calcular
su distancia a la Tierra.
b) ¿Existe algún punto a lo largo de la línea que los une en el que se anule el potencial gravitatorio? En caso afirmativo, calcular su distancia a la Tierra.
Solución: a) 450,2 km
19. Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan posiciones
fijas separadas una distancia de 2 m, según indica
la figura. El punto A es equidistante de las dos masas anteriores y está a una distancia de 1 m de la
línea que las une (AB = 1 m). Calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar una
masa de 1 kg desde A hasta B.
Dato: G
Solución: 7,81·10-10 J
A
M
B
M
Energía mecánica orbital
Cuando un satélite o planeta gira con MCU, su energía cinética es constante, ya que su
velocidad depende del radio que también es constante. Por ello, su energía cinética
puede expresarse en función del radio de la órbita:
2
1
1 
M
M·m
2
Ec = m·v  m G   G
2
2 
r 
2r
La energía mecánica (E) es la suma de las energías cinética y potencial:
Mm
M·m
M·m
M·m
=G
G
E= -G
2r
2r
r
2r
Como el radio no varía, la energía mecánica permanece constante. Por tanto, se cumple
el principio de conservación de la energía mecánica, que se verifica siempre que las
fuerzas que actúan son conservativas.
E = Ec + Ep = G
Si la órbita es elíptica al variar la distancia a la masa M la energía potencial varía a lo
largo de la trayectoria. Por otro lado, según la 2ª ley de Kepler y el principio de conservación del momento angular (m·v·r = constante) la velocidad será mayor cuanto menor
sea m, por lo que la energía cinética también variará. Sin embargo, según el principio
de conservación de la energía mecánica, esta será constante. Se puede demostrar que
en este caso la energía mecánica es inversamente proporcional a semieje mayor de la
elipse:
a
a
E= -G
Mm
2a
11
a = semieje mayor =
rafelio + rperihelio
2
20. a) Deducir la expresión de la energía cinética de un satélite en órbita circular alrededor de un planeta en función del radio de la órbita y de las masas del satélite
y del planeta.
b) Demostrar que la energía mecánica del satélite es la mitad de su energía potencial.
21. Dos satélites artificiales de igual masa se hallan en órbitas circulares de radios r 1 y
r2 (r1  r2) alrededor de la Tierra. Determinar cuál de los dos tendrá:
a) Mayor energía potencial gravitatoria.
b) Mayor energía cinética.
c) Mayor energía mecánica.
22. Una nave espacial de 800 kg de masa realiza una órbita circular de 6000 km de radio
alrededor de un planeta. Sabiendo que la energía mecánica de la nave es
– 3,27· 108 J, determinar:
a) La masa del planeta.
b) La velocidad angular de la nave en su órbita.
Dato: G
Solución: a) 7,35·1022 kg; b) 1,5·10-4 rad/s
23. Un asteroide está situado en una órbita circular alrededor de una estrella y tiene una
energía total de -1010 J. Determinar:
a) La relación que existe entre las energías potencial y cinética del asteroide.
b) Los valores de ambas energías potencial y cinética.
Solución: a) -2; b) -2·1010 J; 1010 J
24. Un satélite artificial de 500 kg que describe una órbita circular alrededor de la Tierra
se mueve con una velocidad de 6,5 km/s. Calcular:
a) La energía mecánica del satélite.
b) La altura sobre la superficie de la Tierra a la que se encuentra.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) -1,06·1010 J; b) 3,07·106 m
25. Un planeta orbita alrededor de una estrella de masa M. La masa del planeta es
1024 kg y su órbita es circular de radio 108 km y periodo de 3 años terrestres. Determinar:
a) La masa M de la estrella.
b) La energía mecánica del planeta.
c) La velocidad angular de un segundo planeta que describiese una órbita circular
de radio igual a 2 r alrededor de la estrella.
Datos: G
Solución: a) 6,6·1028 kg; b) -2,2·1031 J; c) 2,34·10-8 rad/s
26. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. En esta órbita
la energía mecánica del satélite es -4,5·109 J y su velocidad es 7610 m s-1. Calcular:
a) La masa del satélite.
b) El periodo de la órbita y la altura a la que se encuentra el satélite.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 155 kg b) 5686 s; 5,17·105 m.
27. Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gravedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar:
a) La velocidad del satélite.
b) Su energía mecánica.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 6640 m/s; b) –4,43·109 J
12
28. Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al
Sol es de 6,99·1010 m, y su velocidad orbital es de 3,88·104 m/s, siendo su distancia
al Sol en el perihelio de 4,60·1010 m.
a) Calcular las energías potencial, cinética y mecánica de Mercurio en el perihelio.
b) A partir de las energías calculadas en el apartado anterior, decir cuáles aumentarán o disminuirán en el afelio.
Datos: G; MM = 3,1·1023 kg; MS= 1,99·1030 kg
Solución: a) -8,94·1032 J; 5,39·1032 J; -3,55·1032 J
Principio de conservación de la energía mecánica
Cuando un cuerpo se desplaza de un punto A a un punto B sometido a la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa) en ausencia de otras fuerzas (no conservativas) se verifica
el principio de conservación de la energía:
EcA + EpA = EcB + EpB 
M·m
1
M·m 1
2
2
mv A  G
 mv B  G
2
rA
2
rB
Esta expresión solo puede aplicarse cuando a lo largo del movimiento solo actúa la
fuerza gravitatoria. Si hay rozamiento o fuerzas exteriores, se producirá una variación
de la energía mecánica por el trabajo realizado por dichas fuerzas.
Ejemplo: Se deja caer un cuerpo desde una altura de 400 km sobre la superficie terrestre. Determinar, despreciando el rozamiento, la velocidad del cuerpo al llegar a la superficie terrestre.
 6,67·10 11
24
1
5,98·10 24 ·m
2
11 5,98·10 ·m
m
·
v

6
,
67
·
10
 v = 2720 m/s

6,37·10 6
6,37·10 6  4·10 5 2
29. Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con
una velocidad inicial de 5000 m/s. Si se desprecia el rozamiento, calcular:
a) Su velocidad cuando se encuentra a 500 km de altura.
b) La altura máxima que alcanza.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 4·103 m/s; b) 1,6·106 m
30. Desde un punto de la superficie terrestre se lanza verticalmente hacia arriba un objeto de 100 kg que llega hasta una altura de 300 km. Determinar, despreciando el
rozamiento:
a) La velocidad de lanzamiento.
b) La energía potencial del objeto a esa altura.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 2324 m/s; b) -5,98·109 J
31. Un cierto planeta esférico tiene una masa de 1,25·1023 kg y un radio R = 1,5·106 m.
Desde su superficie se lanza verticalmente hacia arriba un objeto, el cual alcanza
una altura máxima de R/2. Despreciando rozamientos, determinar:
a) La velocidad con que fue lanzado el objeto.
b) La aceleración de la gravedad en el punto más alto alcanzado por el objeto.
Dato: G
Solución: a) 1,92·103 m/s; b) 1,65 m/s2
13
32. Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal
manera que alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de
500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcular:
a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento.
b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra,
cuando su velocidad se ha reducido en un 10% con respecto a su velocidad de
lanzamiento.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 3016 m/s; b) 6,46·106 m
33. Un satélite de masa m gira alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular a
una altura de 2·104 km sobre su superficie.
a) Calcular la velocidad orbital del satélite alrededor de la Tierra.
b) Suponer que la velocidad del satélite se anula repentina e instantáneamente y
éste empieza a caer sobre la Tierra. Calcular la velocidad con la que llegaría el
satélite a la superficie de la misma.
Datos: G, MT, RT
Solución: 3,89·103 m/s; b) 9,75·103 m/s
Velocidad de escape
Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima con la que debe ser lanzado un
cuerpo para escapar de la atracción gravitatoria.
Para determinar la velocidad de escape se aplica el principio de conservación de la
energía, teniendo en cuenta que cuando el cuerpo escapa de la atracción gravitatoria
(en el infinito) su energía potencial se anula. Además, para alcanzar dicho punto su
velocidad final debe ser como mínimo 0, por lo que se asigna a la posición final una
energía cinética nula.
EcA + EpA = Ec + Ep  EcA + EpA = 0 
2GM
1
M·m
mv 2  G
0v=
r
2
r
Ejemplo: Determinar la velocidad de escape desde la superficie terrestre (Datos: g, RT).
ve =
2GMT
RT
MT
Como g = G
2
RT
→ GMT = gR2T
Por tanto: ve = 2gR T = 2·9,8·6,37·10 6 = 1,12·104 m/s
34. Dos planetas, A y B, tienen la misma densidad. El planeta A tiene un radio de 3500
km y el planeta B un radio de 3000 km. Calcular:
a) La relación que existe entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie de
cada planeta.
b) La relación entre las velocidades de escape en cada planeta.
Solución: a) 7/6 ; b) 7/6
35. Un planeta esférico tiene una masa igual a 27 veces la masa de la Tierra, y la velocidad de escape para cuerpos situados cerca de su superficie es tres veces la velocidad de escape terrestre. Determinar:
a) La relación entre los radios del planeta y de la Tierra.
b) La relación entre las intensidades de la gravedad en puntos de la superficie del
planeta y de la Tierra.
Solución: a) 3; b) 3
14
36. La aceleración de la gravedad en la Luna es 0,166 veces la aceleración de la gravedad en la Tierra y el radio de la Luna es 0,273 veces el radio de la Tierra. Despreciando la influencia de la Tierra y utilizando exclusivamente los datos aportados, determinar:
a) La velocidad de escape de un cohete que abandona la Luna desde su superficie.
b) El radio de la órbita circular que describe un satélite en torno a la Luna si su
velocidad es de 1,5 km/s.
Datos: G; MT; RT
Solución: a) 2,38·103 m/s; b) 2,2·106 m
37. El radio de uno de los asteroides, de forma esférica, perteneciente a los anillos de
Saturno es de 5 km. Suponiendo que la densidad de dicho asteroide es uniforme y
de valor 5,5 g cm-3, calcular:
a) La aceleración de la gravedad en su superficie.
b) La velocidad de escape desde la superficie del asteroide.
Solución: a) 1,15·10-3 m/s2; b) 3,39 m/s
_____________________________________________________________________
Lanzamiento de satélites artificiales
Para situar un satélite en órbita, primero se lleva a la altura
deseada mediante una lanzadera espacial y, a continuación, se
lanza con una velocidad horizontal. Para que el satélite orbite en
torno al planeta, esta velocidad tiene que estar comprendida entre el valor de la velocidad orbital con MCU y la velocidad de
escape:
- Si v = √G
- Si √G
M
r
M
r
Mm
, el satélite gira con MCU y su energía mecánica es E = -G 2r .
M
< v < √G 2r, el satélite describe una elipse cuya excentricidad aumenta al auMm
mentar la velocidad inicial. Su energía mecánica es E = -G
2a
(mayor que con MCU).
M
- Si v = √G 2r , el satélite escapa del campo gravitatorio describiendo una parábola y su
energía mecánica es E = 0.
M
- Si v > √G 2r , el satélite escapa del campo gravitatorio describiendo una hipérbola y su
energía mecánica es E > 0.
38. Con una lanzadera espacial, se sitúa un satélite a una altura igual al radio terrestre.
Determinar el tipo de trayectoria que describirá y el signo de su energía mecánica si:
a) Su velocidad inicial es de 6500 m/s.
b) Su velocidad inicial es de 8000 m/s.
Datos: G, MT, RT
15
Trabajo de fuerzas exteriores en el campo gravitatorio
Cuando un cuerpo se desplaza en el campo gravitatorio por efecto de una fuerza exterior, el trabajo realizado por dicha fuerza (o energía suministrada) es igual a la variación
de la energía mecánica del cuerpo.
Wext = ΔE = EB – EA = (EcB + EpB) – (EcA + EpA)
Ejemplo: Un satélite de 500 kg de masa gira en órbita circular alrededor de la Tierra a
una altura de 1000 km desde la superficie terrestre. Calcular:
a) Energía necesaria para poner en órbita el satélite partiendo desde el reposo en la
superficie terrestre.
b) Energía necesaria para cambiar a otra órbita circular a 2000 km de altura.
a) Inicialmente el satélite solo tiene energía potencial. Al situarse en la órbita tendrá
energía cinética y potencial (energía mecánica orbital).
5,98·1024 ·500
5,98·10 24 ·500
-11
ΔE = EB – EpA = -6,67·10-11
+
6,67·10
=
2·(6,37·106 + 106 )
6,37·10 6
= - 1,35·1010 + 3,13·1010 = 2,45·1010 J
b) Tanto en la órbita inicial como en la final, el satélite tendrá energía cinética y potencial.
5,98·1024 ·500
5,98·1024 ·500
-11
ΔE = EB – EA = -6,67·10-11
+
6,67·10
=
2·(6,37·106 + 2·106 )
2·(6,37·106 + 106 )
= - 1,19·1010 + 1,35·1010 = 1,6·109 J
39. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a) Un objeto de masa m1 necesita una velocidad de escape de la Tierra el doble de
la que necesita otro objeto de masa m2= m1/2.
b) Se precisa realizar el doble de trabajo para colocar en una misma órbita un satélite de masa m1 que para otro satélite de masa m2= m1/2, lanzados desde la
superficie de la Tierra.
40. Se quiere situar un satélite de masa, m = 103 kg, a una altura h = RT, respecto de la
superficie de la Tierra. Determine:
a) La energía cinética mínima requerida para situar el satélite a la altura h = RT.
b) La energía cinética adicional requerida para que se mantenga en órbita circular a
dicha altura.
Datos: G, RT, MT
Solución: a) 3,13·1010 J; b) 1,565·1010 J
41. Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra
con una velocidad de 7,5 km/s. Calcular:
a) El radio de la órbita.
b) La energía que habría que suministrar a este satélite para que cambiara su órbita
a otra con el doble de radio.
Datos: G, MT , RT
Solución: a) 7,09·106 m; b) 1,41·109 J
42. En la superficie de un planeta esférico, de radio 2RT (RT = radio de la Tierra), la
aceleración de la gravedad es idéntica a la que se mide en la superficie terrestre.
a) Determinar la masa del planeta en función de la masa de la Tierra.
b) Comparar las energías mínimas necesarias para situar un objeto a una altura
h = RT, desde la superficie de la Tierra y desde la superficie de dicho planeta.
Solución: a) MP = 4MT; b) WP = 2W T
16
43. Se ha descubierto un planeta esférico de 4100 km de radio y con una aceleración de
la gravedad en su superficie de 7,2 m·s-2.
a) Calcular la masa del planeta.
b) Calcular la energía mínima necesaria que hay que comunicar a un objeto de
3 kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y situarlo a 1000 km
de altura de la superficie, en una órbita circular en torno al mismo.
Dato: G
Solución: a)1,81·1024 kg; b) 5,28·107 J
44. Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular de radio 5/2 RT alrededor
de la Tierra. Determinar:
a) El trabajo que hay que realizar para llevar al satélite desde la órbita circular de
radio 5/2 RT a otra órbita circular de radio 5RT y mantenerlo en dicha órbita.
b) El periodo de rotación del satélite en la órbita de radio 5RT.
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 2,5·109 J; b) 5,65·104 s
45. Una sonda espacial de masa m = 1000 kg se encuentra situada en una órbita circular
alrededor de la Tierra de radio r = 2,26·RT, siendo RT el radio de la Tierra.
a) Calcular la velocidad de la sonda en esa órbita.
b) ¿Cuánto vale su energía potencial?
c) ¿Qué energía hay que comunicar a la sonda para alejarla desde dicha órbita
hasta el infinito?
Datos: G, MT, RT
Solución: a) 5263 m/s; b) -2,77·1010 J; c) 1,38·1010 J
Caos determinista
Todos los movimientos orbitales estudiados hacen referencia a la interacción entre dos
cuerpos (Sol-planeta, planeta-satélite...). Normalmente se considera que uno de los
cuerpos tiene una masa muy elevada, M, y que solamente el otro cuerpo, de masa m,
es móvil, de forma que se pueden estudiar las trayectorias con ecuaciones matemáticas
conocidas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola).
El problema de tres cuerpos o más que interaccionan entre sí (estrella-planeta-satélite,
dos estrellas y un planeta, asteroides…) no es resoluble en general por métodos matemáticos, ya que se generan trayectorias muy complejas que solo pueden reproducirse
mediante programas informáticos. En estos casos, una pequeña variación de las condiciones iniciales da lugar a un cambio muy significativo a largo plazo que hace que la
evolución de estos sistemas sea en la práctica impredecible. Esta situación se conoce
como caos determinista, lo que implica un comportamiento que, a pesar de estar basado
en leyes matemáticas precisas, es demasiado complejo para poder predecirlo.
En el sistema solar, si se tiene en cuenta la pequeña influencia de unos planetas sobre
otros, en el transcurso de un tiempo suficientemente grande estas interacciones se retroalimentan y las órbitas empiezan a alejarse de las trayectorias previstas pudiendo
llegar a chocar entre sí o a impactar con el Sol.
En la siguiente simulación pueden observarse las trayectorias descritas por distintos
sistemas complejos:
http://phet.colorado.edu/sims/my-solar-system/my-solar-system_es.html
Se puede observar que, al alterar ligeramente las condiciones iniciales, las trayectorias
de los distintos cuerpos acaban siendo aparentemente caóticas.
17
TEMA 2. INTERACCIÓN ELECTRICA
1. Campo eléctrico
Toda la materia está constituida por cargas eléctricas: positivas (en los protones) y negativas (en los electrones), de forma que las cargas del mismo signo se repelen y las de
distinto signo se atraen. La unidad de carga eléctrica en el sistema internacional es el
culombio (C). Se dice que la carga está cuantizada, ya que la carga de cualquier cuerpo
es un múltiplo de carga elemental, e = 1,6 10-19 C, siendo la carga del protón +e y la del
electrón -e. Los fenómenos de electrización se deben a la pérdida o ganancia de electrones que altera el equilibrio entre cargas positivas y negativas.
La ley que rige la interacción entre cargas eléctricas o ley de Coulomb fue enunciada
por el físico francés Charles Coulomb en 1785 y afirma que: "La fuerza de atracción o
repulsión entre dos cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de dichas
cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa".
Cargas de signo opuesto


q1q2
F12  F21  K 2
r

F12 = fuerza que ejerce q1 sobre q2 (N)

F21 = fuerza que ejerce q2 sobre q1 (N)
q1
q2
q1, q2 =cargas que se atraen (C)
Cargas del mismo signo
r = distancia de q1 a q2 (m)
K = cte. de Coulomb = 9·109 Nm2/C2 (en el aire o el vacío)
1
Se puede expresar como: K=
4πε o
εo = cte. dieléctrica del vacío = 8,85·10-12 C2/Nm2
q1
q2
La fuerza eléctrica es una fuerza central, es decir, tiene una dirección radial partiendo de
un centro fijo y su valor solo depende de la distancia a ese centro.
Como consecuencia de la fuerza eléctrica, cualquier carga produce una perturbación en el
espacio que le rodea denominada campo eléctrico. Se llama campo eléctrico a la región
del espacio que rodea a una o más cargas en la que se manifiestan atracciones o repulsiones eléctricas. Se representa mediante líneas de fuerza que indican la trayectoria de
una carga positiva en cada punto del campo eléctrico.
+
Campo creado
por una carga
positiva
_
Campo creado
por una carga
negativa
+
_
+
+
+
+
+
+
+
-
Campo creado por
Campo creado por dos cargas
dos
láminas cargadas
de signo opuesto
de
signo opuesto
(dipolo eléctrico)
(condensador)
18
La intensidad del campo eléctrico mide la fuerza por unidad de carga positiva en un
punto.

= (intensidad del) campo eléctrico en un punto P (N/C)
E

q
E K 2
q = carga que genera el campo eléctrico (C)
r
r = distancia de q al punto P (m)
P
P
q +
-
q
Vectorialmente:
--

 r

u  = vector unitario en el mismo sentido que r
r
r⃗ = vector de posición de P respecto a q

q
EK 2u
r
ai⃗+bj⃗
⃗⃗=
Si r⃗⃗= (xP ,yP )- (xq ,yq ) = (a,b)= ai⃗+bj⃗ → u
√a2 +b2
También puede determinarse el vector unitario a partir del ángulo α que forma ⃗r⃗con el
semieje x positivo:
⃗⃗= cos α ⃗i+ sen α ⃗j
u
Si en una región del espacio hay varias cargas, el campo eléctrico resultante es la suma
vectorial de los campos creados por cada una de las cargas (principio de superposición).
Ejemplo: Dos cargas eléctricas de 3 μC y -4 μC, se encuentran situadas en los puntos
(0,0) y (10,0) respectivamente, Determinar el vector campo eléctrico en el punto (5,5).

E1

E2
q1
q2








(5,5) _ (0,0)
u1 =
= 0,71i + 0,71 j o u1 = cos 45 i + sen45 j = 0,71i + 0,71 j
52 + 52








(5,5) _ (10,0) _
u2 =
= 0,71i + 0,71 j o u2 = cos 135 i + sen 135 j = _ 0,71i + 0,71 j
52 + 52




3·10 6
E1  9·10 9 ·
·(
0
,
71
i

0
,
71
j
)

383
i

383
j (N / C)
( 50 )2




 4·10 6
E 2  9·10 9 ·
·(0,71i  0,71j)  511 i  511 j (N / C)
2
( 50 )

 




E  E1  E 2  (383  511) i  (383  511) j = 894 i -128 j (N/C)
Si en el punto P se sitúa una carga q', la fuerza ejercida por q sobre q' vendrá dada por:
19


F  q'·E

F = fuerza ejercida sobre la carga situada en el punto P (N)

E = (intensidad del) campo eléctrico en el punto P (N/C)
q’ = carga situada en el punto P (C)
Ejemplo: Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X, q1 = -2 μC en el punto (1,0) y
q2 =+4 μC en el punto (-2,0). Si se coloca en el origen una carga q = 0,4 μC determinar
la fuerza ejercida sobre ella por las cargas q1 y q2. 

E2
q2
E1=9·109 ·
E1
q1
-6
-2·10-6
9 4·10
·(i)
=
18000
i
(N/C)
E
=
9·10
·
· i = 9000 i (N/C)
;
2
(1)2
(2)2
E = 18000 i + 9000 i = 27000 i (N/C)
F = 0,4·10-6 (27000 i) = 1,08·10-2 i (N)
1. Dos cargas puntuales de -3 μC y +3 μC se encuentran situadas en el plano XY, en
los puntos (-1,0) y (1,0) respectivamente. Determinar el vector campo eléctrico:
a) En el punto de coordenadas (10,0).
b) En el punto de coordenadas (0,10).
Dato: K


Solución: a) 110,2 i N/C; b) -53,3 i N/C
2. Dos cargas puntuales q1 y q2 están situadas en el eje X separadas por una distancia
de 20 cm y se repelen con una fuerza de 2 N. Si la suma de las dos cargas es igual
a 6 µC, calcular:
a) El valor de las cargas q1 y q2.
b) El vector campo eléctrico en el punto medio de la recta que une ambas cargas.
Dato: K

Solución: a) 3.33·10-6 C; 2,67·10-6 C; b) 6·105 i N/C
3. Dos cargas de 2 nC se sitúan en los vértices de la base de un triángulo equilátero
de lado 2 cm que se encuentra situada sobre el eje de abscisas. El punto medio de
la base está en el origen de coordenadas y el vértice superior en el semieje positivo
de ordenadas. Determinar:
a) El campo eléctrico creado por las cargas en el vértice libre.
b) La fuerza que las cargas positivas ejercerían sobre una carga de -2 nC situada
en el vértice libre del triángulo.
Dato: K
Solución: a) 7,79·104 j (N/C); b) -1,56·10-4 j (N)
4. Tres cargas puntuales de valores q1 = +3 nC, q2= -5 nC y q3 = +4 nC están situadas,
respectivamente, en los puntos de coordenadas (0,3), (4,3) y (4,0) del plano XY. Si
las coordenadas están expresadas en metros, determinar:
a) La intensidad de campo eléctrico resultante en el origen de coordenadas.
b) La fuerza ejercida sobre una carga q = 1 nC que se sitúa en el origen de coordenadas.
Dato: K




Solución: a)  0,81i  1,92 j (N/C); b)  8,1·10 10 i  1,92·10 9 j (N)
20
5. Dos cargas eléctricas positivas de 3·10-6 C están situadas en los puntos A(0,2) y
B(0,-2). Otras dos cargas iguales Q están localizadas en los puntos C(4,2)
y D(4,
2). Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es E =4·103 i N/C
y que todas las coordenadas estén expresadas en metros, determinar el valor numérico y el signo de las cargas Q.
Dato: K
Solución: -5·10-6 C
6. Tres cargas Q1 = 2 C, Q2 = 2 C y Q3 están situadas en los vértices de un triángulo
cuyas coordenadas (expresadas en m) son: Q1:(1,0); Q2:(-1,0); Q3:(0,2). Sabiendo
que el campo eléctrico en el punto (0,1) es nulo, Determinar el valor de Q3.
Dato: K
Solución: 1,41·10-6 C
7. Se tienen tres cargas situadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas (en cm) son: A (0,2); B (- 3 ,-1); C( 3 ,-1). Sabiendo que las cargas situadas en los puntos B y C son idénticas e iguales a 2μC y que el campo eléctrico en el
punto (0,0) es nulo, determinar el valor y el signo de la carga situada en A.
Dato: K
Solución: 2·10-6 C
En la recta que une dos cargas puntuales siempre existe un punto en el que el campo
eléctrico total es nulo. La posición de este punto depende del signo de dichas cargas y
del valor absoluto de estas.
- Si las cargas son del mismo signo, el campo eléctrico se anulará en un punto situado
entre ambas cargas, más próximo a la carga que sea menor en valor absoluto.
q1
P


E1 = E 2
q2
(lq1l > lq2l)
- Si las cargas son del signo opuesto, el campo eléctrico se anulará en un punto situado
fuera del segmento que une ambas cargas, más próximo a la carga que sea menor
en valor absoluto.
q1
q2
P
(lq1l > lq2l)
Ejemplo: Dos cargas de 20 μC y -5 μC se encuentran en los puntos (-1,0) y (2,0) respectivamente. Determinar el punto donde el campo eléctrico es nulo.
q1 (-1,0)
q2 (2,0)
P
(x,0)
6
6
r1 = (x,0) – (-1,0) = (x+1,0)
r2 = (x,0) – (2,0) = (x-2,0)
20·10


9 5·10
E1  E 2 ; 9·109 ( x + 1)2 = 9·10 ( x _ 2)2 ; 4(x−2)2 = (x+1)2; 2(x−2)= (x+1 )
El campo se anula en el punto (5,0)
21
x1 = 5
x2 = 1
8. Dos cargas puntuales, q1 = 3 µC y q2 = 9 µC, se encuentran situadas en los puntos
(0,0) cm y (8,0) cm. Determinar el punto del eje X en el que la intensidad del campo
eléctrico es nula.
Solución: (2.93,0)
9. Dos cargas puntuales de 1C y -2 C se encuentran fijas en los puntos (0,0) y (3,0)
respectivamente. Determinar el punto del eje X en el que el campo eléctrico es nulo.
Solución: (-7.24,0)
_____________________________________________________________________
2. Estudio energético del campo eléctrico
La fuerza eléctrica, como todas las fuerzas centrales, es una fuerza conservativa. Por
tanto, cuando una carga se desplaza en sentido opuesto a la fuerza eléctrica, almacena
energía en forma de energía potencial.
Al tratarse de una fuerza conservativa, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para
trasladar una carga de un punto a otro del campo eléctrico es opuesto a la variación de
energía potencial eléctrica.
B
B
WA→B =∫A F·dr = ∫A (K
Por tanto: Ep = K
q1 q2
r2
q1 q2
)dr = -K
rB
+K
q1 q2
rA
q1·q2
+ c; si tomamos c = 0 
r
= EpA – EpB
Ep = K
q1·q2
r
Esto supone tomar el origen de energías potenciales eléctricas (Ep = 0) en el infinito.
Para cualquier valor real de r, si las cargas son del mismo signo, Ep0, y si son de signo
opuesto, Ep 0.
Cargas del mismo signo
Cargas de signo opuesto
Ep
Ep
r
r
Potencial eléctrico
El potencial eléctrico en un punto (V) es la energía potencial que adquiere la unidad de
carga positiva situada en dicho punto.
Si q' = 1 C  Ep = V 
(Unidad: voltio, V = J/C)
Por tanto, el potencial eléctrico solo depende de la carga que crea el campo y todos los
puntos que equidistan de dicha carga tienen el mismo potencial y forman, al igual que en
el campo gravitatorio, superficies equipotenciales:
123
Las superficies esféricas 1, 2 y 3 son superficies equipotenciales
y están formadas por todos los puntos que tienen un mismo potencial eléctrico, siendo V1>V2>V3.
Las líneas de fuerza del campo son siempre perpendiculares a
las superficies equipotenciales y su sentido coincide con la disminución del potencial.
22
El potencial en un punto del campo creado por varias cargas puntuales es la suma escalar
de los potenciales debidos a cada una de las cargas en dicho punto.
q1
r1
r2
P
r3
q2
q3
Ejemplo: Dos cargas eléctricas de 3 μC y -4 μC, se encuentran situadas en los puntos
(0,0) y (10,0) respectivamente, Determinar el potencial eléctrico en el punto (5,5).
r1 = r2 =
5 2  5 2  7,07 m
V1  9·10 9
3·10 6
 4·10 6
 3,82·10 3 V ; V2  9·10 9
 5,09·10 3 V
7,07
7,07
V = 3,82·103 V - 5,09·103 = -1,27·103 V
Como el potencial eléctrico representa la energía potencial por unidad de carga, la relación entre la energía potencial eléctrica de una carga situada en un punto del campo
eléctrico y el potencial en dicho punto viene dado por:
Ep = q'·V
V = potencial en un punto del campo eléctrico (V)
q' = carga situada en dicho punto (C)
Ejemplo: Tres cargas puntuales q1 = -2 μC, q2 = 4 μC y q3 = 5 μC se encuentran situadas
respectivamente en los puntos (0,0), (0,1) y (1,0). Calcular la energía potencial de q3.
_
V = 9·109 ·
2·10-6
4·10-6
+ 9·109
= 7,46·103 V
1
2
Ep = 5·10-6 · 7.46.103 = 0,0373 J
10. Tres cargas iguales, cada una de 1µC, están situadas en los vértices de un triángulo
equilátero de 10 cm de lado. Calcular:
a) La energía potencial electrostática de cualquiera de las cargas.
b) El potencial eléctrico en el punto medio de cualquier lado.
Dato: K
Solución: a) 0,02 J; b) 4,64·105 V
11. En el plano XY se sitúan tres cargas puntuales iguales de 2 μC en los puntos
P1(1,-1) mm, P2(-1,-1) mm y P3(-1,1) mm. Determinar el valor que debe tener una
carga situada en P4 (1,1) mm para que:
a) El campo eléctrico se anule en el punto (0,0) mm. En esas condiciones, ¿cuál
será el potencial eléctrico en dicho punto?
b) El potencial eléctrico se anule en el punto (0,0) mm. En esas condiciones, ¿cuál
será el vector de campo eléctrico en dicho punto?
Dato: K
Solución: a) 2 μC; 5,1·107 V; b) -6 μC; 12,7 i + 12,7 j (N/C)
23
12. Dos cargas puntuales q1 = 2 mC y q2 = - 4 mC están colocadas en el plano XY en
las posiciones (-1,0) m y (3,0) m, respectivamente:
a) Determinar en qué punto del segmento que une las cargas el potencial eléctrico
es cero.
b) Determinar el campo eléctrico creado por las cargas en ese punto.
Dato: K
Solución: a) (1/3,0); b) 1,52·107 i N/C
13. Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posición
(1,0), y otra de valor Q2 en (-1,0). Sabiendo que todas las distancias están expresadas en metros, determinar en los dos casos siguientes:
a) Los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo eléctrico en el punto (0,1)

sea el vector E = 2·105 j (N/C).
b) La relación entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial eléctrico en el punto
(2,0) sea cero.
Dato: K
Solución: a) 3,14·10-5 C; b) -1/3
14. Tres cargas puntuales de valores q1 = +3 nC, q2= -5 nC y q3 = +4 nC están situadas,
respectivamente, en los puntos de coordenadas (0,3), (4,3) y (4,0) del plano XY. Si
las coordenadas están expresadas en metros, determinar:
a) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas.
b) La energía potencial de la carga q3.
Dato: K
Solución: a) 9 V; b) 3,6·10-8 J
Trabajo en el campo eléctrico
El trabajo necesario para desplazar una carga q' de un punto A a un punto B del campo
eléctrico, sin alterar su velocidad, es igual a la variación de su energía potencial.
W ext = EpB - EpA = q'VB -q'VA;
Wext = q' (VB - VA)
Si el trabajo se realiza en contra del campo, W 0, y si es a favor del campo, W0.
El trabajo realizado por el campo eléctrico en dicho proceso es igual en valor absoluto
pero con signo opuesto.
Ejemplo: Dos cargas eléctricas de 3 μC y -4 μC, se encuentran situadas en los puntos
(0,0) y (10,0) respectivamente. Determinar el trabajo necesario para trasladar una carga
de -1μC del punto A(5,5) al punto B(5,0).
r1A = r2A =
5 2  5 2  7,07 m
3·10 6
 4·10 6
 3,82·10 3 V ; V2 A  9·10 9
 5,09·10 3 V
7,07
7,07
VA = 3,82·103 V - 5,09·103 = -1,27·103 V
3·10 6
 4·10 6
V2 B  9·10 9
 5,4·10 3 V ; V2 B  9·10 9
 7,2·10 3 V
5
5
VB = 5,4·103 V - 7,2·103 = -1,8·103 V
V1A  9·10 9
W = -1·10-6·(-1,8·103 + 1,27·103) = 5,3·10-4 J
24
15. Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado. Dos
cargas iguales positivas de 2 μC están en A y B.
a) ¿Cuál es el potencial en el punto C?
b) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5 μC desde el
infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas?
c) Responder al apartado anterior b) si la carga situada en B se sustituye por una
carga de -2 μC.
Dato: K
Solución: a) 18000 V; b) 0,09 J; c) 0.
16. Dos cargas fijas Q1 = +12,5 nC y Q2 = -2,7 nC se encuentran situadas en los puntos
del plano XY de coordenadas (2,0) y (-2,0) respectivamente. Si todas las coordenadas están expresadas en metros, calcular:
a) El potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A (-2,3).
b) El campo eléctrico creado por Q1 y Q2 en el punto A.
c) El trabajo necesario para trasladar un ion de carga negativa igual a -2e del punto
A al punto B, siendo B (2,3), indicando si es a favor o en contra del campo.
d) La aceleración que experimenta el ion (m = 3,15·10-26 kg) cuando se encuentra
en el punto A.
Dato: K, e

Solución: a) 14,4 V; b) -3,6 i (N/C); c) -5,84·10-18 J; d) 3,65·107 m/s2
17. Dos cargas puntuales iguales, de valor 2·10-6 C, están situadas respectivamente en
los puntos (0,8) y (6,0). Si las coordenadas están expresadas en metros, determinar:
a) La intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas (0,0).
b) El trabajo que es necesario realizar, para llevar una carga q = 3·10-6 C desde el
punto P (3,4), punto medio del segmento que une ambas cargas, hasta el origen
de coordenadas.
Dato: K


Solución: a)  500 i  281,25 j (N/C); b) -5,85·10-3 J
18. Una carga puntual, q = 3 µC, se encuentra situada en el origen
de coordenadas, tal y como se muestra en la figura. Una segunda carga q1 = 1 µC se encuentra inicialmente en el punto
P1(1,0) m y, recorriendo la espiral de la figura, llega al punto
P2(0,2) m. Determinar:
a) La diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2.
b) El trabajo realizado para llevar la carga q1 del punto P1 al P2.
Dato: K
Solución: a) -13500 V; b) -0,0135 J
Relación entre campo eléctrico y diferencia de potencial
El trabajo realizado por el campo eléctrico puede determinarse a partir de dicho campo
por medio de una integral:
B ⃗⃗
B
⃗⃗⃗·dr⃗ = q' ∫B E
⃗⃗⃗·dr⃗
Wint = ∫A F
·dr⃗ = ∫A q'·E
A
Por otro lado, si se conoce la diferencia de potencial, también puede calcularse el trabajo
realizado por el campo:
Wint = - W ext = -q’·(VB – VA)
Por tanto:
B
B
-q’·(VB – VA) = q' ∫A ⃗⃗⃗
E·dr⃗  VB – VA = − ∫A ⃗⃗⃗
E·dr⃗
25
En los casos en los que el campo eléctrico es uniforme, es decir, su valor no depende
de la posición (como el creado por una lámina cargada), el campo eléctrico sale fuera
de la integral y la diferencia de potencial puede calcularse mediante un producto escalar:
ΔV = diferencia de potencial
E = campo eléctrico uniforme
ΔV = −E·r·cos α
Δr = desplazamiento de A a B
α = ángulo que forma el campo
con el desplazamiento
Ejemplo: Un electrón se desplaza 1 mm entre dos puntos de un campo eléctrico uniforme de 600 N/C de intensidad. Determinar la diferencia de potencial existente entre
dichos puntos.

⃗⃗⃗·∆r⃗ 
Si E = cte  VB – VA = −E
El electrón (carga -) se desplazará en el sentido opuesto al campo eléctrico (α = 180º)
V = -E·Δr·cos α = - 600·0,001·cos 180 = 0,6 V
_____________________________________________________________________
19. a) ¿Puede existir diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de una región
en la cual la intensidad de campo eléctrico es nula?
b) ¿Puede existir potencial eléctrico en un punto de una región en la cual la intensidad de campo eléctrico es nula?
Razonar las respuestas.
20. Una partícula cargada se mueve en la dirección y sentido de un campo eléctrico.
a) Si su carga es positiva ¿aumentará, disminuirá o se mantendrá constante su
energía potencial?
b) Si su carga es negativa ¿aumentará, disminuirá o se mantendrá constante su
energía potencial?
Razonar las respuestas.
_____________________________________________________________________
3. Movimiento de cargas en el campo eléctrico
Toda carga situada en un campo eléctrico adquiere una aceleración cuyo sentido depende del signo de la carga. Para determinar la velocidad que adquiere una carga que
se desplaza por efecto de un campo eléctrico, pueden seguirse dos métodos:
a) Método dinámico: se aplica la 2ª ley de Newton para determinar la aceleración.
⃗⃗⃗


 q·E
q· E = m· a → a =
m
- Si el campo eléctrico es uniforme y tiene la misma dirección que la velocidad inicial
de la carga (o esta parte del reposo), se puede determinar su velocidad o su posición
final mediante las ecuaciones del MRUA.
v = v o + at
1
x = x o + v o t + at 2
2
q+
v disminuye
v aumenta
q+
v2 – vo2 = 2a (x ‒ xo)
Los aceleradores lineales de partículas constan básicamente de dos láminas cargadas de signo opuesto (cuya polaridad puede invertirse periódicamente) que generan un campo eléctrico uniforme de muy elevada intensidad, de forma que las partículas aceleradas llegan a alcanzar grandes velocidades. Se utilizan principalmente
para producir reacciones nucleares o como etapa previa antes de introducir las partículas en un acelerador circular, que combina campos eléctricos y magnéticos.
26
Ejemplo: Un electrón atraviesa un campo eléctrico uniforme de 600 N/C de intensidad.
Calcular la velocidad del electrón después de recorrer 1 mm, si:
a) Parte del reposo.
b) Parte con una velocidad inicial de 106 m/s en el mismo sentido que el campo.
c) Parte con una velocidad inicial de 106 m/s en sentido opuesto al campo.
Suponemos que el campo eléctrico tiene el sentido del eje x+.
q·E = m.a → -1,6·10-19 ·600 = 9,1·10-31·a; a = -1,05·1014 m/s2 (Sentido x-)
a) Debido a la aceleración negativa, el electrón se desplazará en el sentido negativo del
eje x (xo = 0, x = -0,001 m).
v2 – vo2 = 2a (x ‒ xo) → v2 = 2·(-1,05·1014)·(-0,001); v = -4,58·105 m/s
b) El electrón se desplaza inicialmente en el sentido positivo de x (xo = 0, x = 0,001 m)
y, debido a la aceleración negativa, irá frenando.
v2 – vo2 = 2a (x ‒ xo) → v2‒ (106)2 = 2·(-1,05·1014)·(0,001); v = 8,88·105 m/s
c) El electrón se desplaza inicialmente en el sentido negativo de x (xo = 0, x = -0,001 m)
y, debido a la aceleración negativa, irá acelerando.
v2 – vo2 = 2a (x ‒ xo) → v2‒ (-106)2 = 2·(-1,05·1014)·(-0,001); v = 1,1·106 m/s
- Si el campo eléctrico es uniforme y es perpendicular a la velocidad inicial de la carga,
se puede determinar su velocidad o su posición final mediante las ecuaciones del tiro
horizontal.
Eje x: vx = vo; x = xo + vxt
1
q+
Eje y: vy = at; y = yo + at2
2
Ejemplo: Un electrón que lleva una velocidad inicial de 106 m/s en el sentido positivo
del eje x, atraviesa un campo eléctrico uniforme de 600 N/C de intensidad en el sentido
positivo del eje y. Si el electrón recorre 1 mm horizontalmente, calcular su velocidad final
y la distancia que recorre verticalmente.
q·E = m.a → -1,6·10-19 ·600 = 9,1·10-31·a; a = -1,05·1014 m/s2 (Sentido y-)
x = xo + vxt → 0,001 = 106 t; t= 10-9 s
vy = at → vy = -1,05·1014·10-9 = -1,05·105 m/s; v = √(106 )2 +(-1,05·105 )2 =1,005·105 m/s
1
1
2
2
y = yo + at2 = (-1,05·1014 ).(10-9 )2= 5,25·10-5 m
b) Método energético: Se aplica el principio de conservación de la energía.
Ec = -q·V
EcA + EpA = EcB + EpB; Ec = -Ep →
La velocidad final puede despejarse a partir del valor de la energía cinética. Este
método puede aplicarse aunque el campo eléctrico no sea uniforme, calculando previamente la diferencia de potencial. Si E = cte, la diferencia de potencial se puede
determinar a partir de su relación con el campo eléctrico (ΔV = -E·Δr·cos α).
27
Según esta relación, para acelerar (ΔEc > 0) una carga positiva (q > 0) se precisa una
diferencia de potencial negativa (ΔV < 0), mientras que para acelerar una carga negativa
(q < 0) se precisa una diferencia de potencial positiva (ΔV > 0).
La relación entre energía cinética y diferencia de potencial permite definir una unidad de
energía que se aplica muy frecuentemente a cálculos con átomos o partículas subatómicas: el electronvoltio (eV). Un electronvoltio es la energía que adquiere un electrón
al ser sometido a una diferencia de potencial de un voltio. Por tanto:
1 eV = -q·ΔV = 1,6·10-19 ·1 = 1,6·10-19 J
Ejemplo: Un electrón atraviesa un campo eléctrico uniforme de 600 N/C de intensidad.
Calcular (por el método energético) la velocidad del electrón después de recorrer 1 mm,
si:
a) Parte del reposo.
b) Parte con una velocidad inicial de 106 m/s en el mismo sentido que el campo.
c) Parte con una velocidad inicial de 106 m/s en sentido opuesto al campo.
a) El electrón (carga -) se desplazará en el sentido opuesto al campo eléctrico (α = 180º)
V = -E·Δr·cos α = - 600·0,001·cos 180 = 0,6 V
EcB – EcA = -q·ΔV →
1
9,1·10
2
31
·v 2 - 0 = 1,6·10-19·0,6 → v = -4,58·105 m/s
b) El electrón se desplaza en el mismo sentido que el campo eléctrico (α = 0º)
V = -E·Δr·cos α = - 600·0,001·cos 0 = -0,6 V
1
1
9,1·10-31·v2– 9,1·10-31·(106)2 = 1,6·10-19·(-0,6) → v = -8,88·105 m/s
2
2
c) El electrón se desplaza en sentido opuesto al campo eléctrico (α = 180º) → V = 0,6 V
1
1
9,1·10-31·v2– 9,1·10-31·(106)2 = 1,6·10-19·0,6 → v = 1,1·106 m/s
2
2
Ejemplo: Dos partículas alfa (m = 6,8·10-27 kg; q = 3,2·10-19 C) se encuentran separadas
10 cm. Si se envía una de las partículas hacia la otra con una velocidad inicial de
10 m/s, determinar la velocidad de la partícula cuando se encuentren a 1 cm de distancia.
VA = 9·109·
3,2·10-19
=
0,1
2,88·10-8 V; VB = 9·109·
3,2·10-19
=
0,01
2,88·10-7 V
1
1
6,8·10-27·v2– 6,8·10-27·102 = -3,2·10-19·(2,88·10-7- 2,88·10-8) → v = 8,69 m/s
2
2
_____________________________________________________________________
21. Un electrón se propaga en el plano XY con velocidad vo constante de 100 m·s-1 en
el sentido negativo del eje X. Cuando el electrón cruza el plano x = 0 se adentra en
una región del espacio donde existe un campo eléctrico uniforme de 8·10-9 N·C-1 en
el sentido negativo del eje X, tal y como se indica en la figura.
a) Calcular la fuerza ejercida sobre el electrón, así como
la aceleración que éste experimenta.
b) Describir el tipo de movimiento que seguirá el electrón
una vez se haya introducido en esa región del espacio.
Determinar el espacio total que recorrerá el electrón en
el campo eléctrico y su velocidad final.
Dato: e

Solución: a) 1,28.10-27 i N; 1407 i m/s2; b) 7,1 m; 100 i m/s
28
22. Un electrón atraviesa un campo eléctrico uniforme de 2,0·104 N/C de intensidad, con
una velocidad inicial vo = 3,0·107 m/s paralela a las líneas del campo y de sentido
contrario a éstas.

E
vo
1 cm
Determinar:
a) Diferencia de potencial existente entre los puntos de entrada y salida del campo.
b) ¿Cuál de los dos puntos tendrá mayor potencial? ¿En cuál tendrá el electrón
mayor energía potencial?
c) Trabajo realizado por el campo a lo largo de dicho desplazamiento expresado en
J y eV.
d) Velocidad del electrón a la salida del campo.
Datos: me, e
Solución: a) 200 V; c) 3,2·10-17 J; 200 eV; d) 3,115·107 m/s


23. Un electrón que se mueve con una velocidad v  2·10 6 i m/s penetra en una región
en la que existe un campo eléctrico uniforme. Debido a la acción del campo, la velocidad del electrón se anula cuando éste ha recorrido 90 cm. Calcular, despreciando
los efectos de la fuerza gravitatoria:
a) Módulo, dirección y sentido del campo eléctrico existente en dicha región.
b) Trabajo realizado por el campo eléctrico en el proceso de frenado del electrón.
Datos: me, e

Solución: a) 12,6 i (N/C); b) -1,81·10-18 J
24. Un protón (mp=1,67·10-27 kg, qp=1,60·10-19 C) y una partícula alfa (m=4mp, q= 2qp)
parten del reposo del mismo punto de un campo eléctrico uniforme E = 200 N/C y
recorren una distancia de 4 cm. En esa posición:
a) ¿Qué partícula tiene mayor energía cinética, y cuál es su valor?
b) ¿Qué partícula se mueve con mayor velocidad, y cuál es su valor?
Solución: a) 2,56·10-18 J; b) 3,9·104 m/s
25. Un electrón, con velocidad inicial 3·105 m/s dirigida en el sentido positivo del eje X,
penetra en una región donde existe un campo eléctrico uniforme y constante de valor
6·10-6 N/C dirigido en el sentido positivo del eje Y. Determinar:
a) El vector velocidad del electrón al cabo de 1 segundo.
b) La diferencia de potencial existente entre la posición inicial y la posición final del
electrón.
Datos: me, e


Solución: a) 3·105 i -1,05·106 j (m/s); b) 3,175 V
26. Un protón se encuentra situado en el origen de coordenadas del plano XY. Un electrón, inicialmente en reposo, está situado en el punto (2,0). Por efecto del campo
eléctrico creado por el protón (supuesto inmóvil), el electrón se acelera. Estando
todas las coordenadas expresadas en m, calcular:
a) El campo eléctrico y el potencial creado por el protón en el punto (2,0).
b) La velocidad del electrón en la posición (1,0).
Datos: K, me, e 
Solución: a) 360 i N/C; 7,2·10-4 V; b) 1,59·104 m/s
29
27. Una carga q = +1·10-6 C se encuentra en el vacío.
a) Calcular el campo eléctrico y el potencial en un punto situado a 40 cm de q.
b) Si se envía una partícula de masa m = 3·10-12 kg, con la misma carga +q y
velocidad inicial vo = 1·105 m s-1 dirigida hacia la primera carga desde una posición muy lejana, determinar la distancia a la que se parará dicha partícula.
Dato: K
Solución: a) 56250 N/C; 22500 V; b) 60 cm
_____________________________________________________________________
4. Flujo eléctrico. Teorema de Gauss
Se denomina flujo eléctrico al número de líneas de fuerza del campo eléctrico que atraviesan una superficie.
S
El flujo eléctrico (Φ) depende de:
- La intensidad del campo eléctrico, ya que cuanto mayor sea, más juntas están las
líneas.
- La superficie atravesada por el campo.
- El ángulo que forman las líneas del campo con el vector superficie (vector perpendicular a la superficie). El flujo es máximo cuando el campo atraviesa perpendicularmente la superficie (α = 0 →cos α = 1→ Φ = E·S) y es nulo cuando el campo es
paralelo a la superficie (α = 90º → cos α = 0 → Φ = 0).
Por tanto, para un campo eléctrico constante, el flujo eléctrico viene dado por:

Φ = E·S· cos α
Unidad: N·m2/C o V·m
O bien: Φ = E·S
Teorema de Gauss
El teorema de Gauss permite el cálculo directo del flujo eléctrico a través de superficies
cerradas. Si aplicamos la definición al cálculo del flujo creado por una carga puntual a
través de una superficie esférica cuyo centro coincide con la carga:
q
Φ = K 2·4πr2 = 4πKq
r
+
S'
Este resultado puede generalizarse a cualquier superficie
cerrada S', ya que el número de líneas que la atraviesan
es el mismo independientemente de su forma.
S
Si dentro de la superficie existen varias cargas, el flujo total es igual a la suma de los
flujos individuales, por tanto:
Σqint = cargas en el interior
Φ = Φ1 + Φ2 +... = 4πKq1 + 4πKq2 +...
Φ = 4πKΣqint
de la superficie
30
Si se expresa en función de la constante dieléctrica (εo =
1
):
4πK
∑qint
Φ=
εo
Esta fórmula constituye el enunciado del teorema de Gauss: "El flujo total que atraviesa
una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma de las cargas eléctricas encerrada
en su interior dividida por la constante dieléctrica".
Cálculo de campos eléctricos a partir del teorema de Gauss
El teorema de Gauss permite el cálculo del campo eléctrico creado por distribuciones
continuas de carga. Para ello hay que elegir una superficie en la cual el campo eléctrico
tenga un valor constante.
a) Campo creado por una esfera cargada
Φ = E·S·cos0 = E·4πr2
Φ = 4πKΣqint = 4πKQ
E·4πr2 = 4πKQ 
S
E =K
Q
Q
r2
El campo creado en el exterior de una esfera cargada es
igual que el de una carga puntual del mismo valor situada
en el centro de la esfera. Este resultado es independiente
de que la esfera sea hueca o maciza.
Si la esfera está hueca o es conductora, las cargas se distribuyen en su superficie. Aplicando el teorema de Gauss se deduce que el campo eléctrico en su interior es nulo.
S
Φ = 4πKΣqint = 0  E·S = 0  E = 0
Φ =0
Esfera hueca o
conductora
El efecto por el cual las cargas eléctricas se distribuyen siempre por la superficie de un
conductor (independientemente de su forma), de manera que el campo eléctrico en su
interior es nulo, se conoce como jaula de Faraday. Debido a este efecto, el interior de
conductor se encuentra protegido de las descargas eléctricas y aislado de radiaciones
electromagnéticas. Esto explica que el interior de los aviones no se vea afectado por los
rayos eléctricos; también es la causa del mal funcionamiento de los dispositivos móviles
en determinados edificios, ascensores, etc.
b) Campo creado por una lámina cargada
Suponemos una lámina cargada de superficie A con densidad de carga superficial σ = Q/A (C/m2).
Φ = E·2A
Q σ·A
=
εo
εo
σ·A
E·2A =

εo
Φ=
E
σ
2ε o
El campo creado por una lámina cargada es uniforme, es decir, no depende de la
distancia a la lámina.
31
28. a) Enunciar el teorema de Gauss y escribir su expresión matemática.
b) Utilizar dicho teorema para deducir la expresión matemática del campo eléctrico en un punto del espacio debido a una carga puntual.
29. Una superficie esférica de radio R tiene una carga eléctrica Q distribuida uniformemente en ella.
a) Deducir la expresión del módulo del vector campo eléctrico en un punto situado
en el exterior a dicha superficie haciendo uso del teorema de Gauss.
b) ¿Cuál es la razón entre los módulos de los vectores campo eléctrico en dos puntos situados a las distancias del centro de la esfera r1 = 2 R y r2= 3 R?
Solución: b) 9/4
30. Una carga de +10 nC se distribuye homogéneamente en la región que delimitan dos
esferas concéntricas de radios r1 = 2 cm y r2 = 4 cm. Utilizando el teorema de Gauss,
calcular:
a) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 6 cm del centro de las esferas.
b) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 1 cm del centro de las esferas.
Dato: εo
Solución: a) 25000 N/C; b) 0
31. Un plano situado en el plano XY está cargado con una densidad superficial de carga
σ =  μC·cm-2. Determinar:
a) El vector campo eléctrico a ambos lados del plano, a una distancia d = 5 cm del
mismo.
b) El trabajo requerido para llevar una carga q = 5 μC desde un punto que dista
5 cm del plano a otro que está a una distancia de 15 cm al mismo lado del plano.
Dato: o
Solución: a) 5,65·108 k N/C; b) -282,5 J
32. En el plano x = 0 existe una distribución superficial infinita de carga cuya densidad
superficial de carga es σ1 = +10- 6 C/m2.
a) Empleando el teorema de Gauss determinar el campo eléctrico generado por
esta distribución de carga en los puntos del espacio de coordenadas (1,0,0) y
(-1,0,0).
Una segunda distribución superficial infinita de carga de densidad superficial σ2 se
sitúa en el plano x = 3.
b) Empleando el teorema de Gauss determinar el valor de σ2 para que el campo
eléctrico resultante de ambas distribuciones superficiales de carga en el punto
(-2,0,0) sea E = +104 i N /C.
Dato: εo


Solución: a) 5,65·104 i N/C; -5,65·104 i N/C; b) -1,18·10-6 C/m2
32
5. Comparación entre los campos gravitatorio y eléctrico
Campo gravitatorio
Campo eléctrico
Son fuerzas centrales (dirigidas hacia el centro del cuerpo que genera el campo)
Son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia
Fuerzas de atracción
Fuerzas de atracción y de repulsión
Afecta a todos los cuerpos
Afecta solo a cuerpos cargados
Su constante es universal
Su constante depende del medio
Debido al reducido valor de la
constante G, solo se manifiesta para
masas muy grandes
La constante K en el vacío es unas 1020
veces mayor que G, por lo que su intensidad suele ser muy elevada
Las líneas del campo siempre van
hacia la masa que lo crea (sumidero).
Las líneas del campo salen de las
cargas positivas (fuentes) y entran en
las negativas (sumideros)
Son campos conservativos (el trabajo para desplazar una masa o carga desde
un punto hasta otro no depende del camino seguido), por lo que llevan asociada
una energía potencial
La energía potencial siempre es
negativa (tomando el infinito como
origen de energías potenciales)
La energía potencial puede ser positiva
o negativa (tomando el infinito como
origen de energías potenciales)
33
TEMA 3: INTERACCIÓN MAGNÉTICA. ELECTROMAGNETISMO
1. Campo magnético. Fuerza magnética
El magnetismo es la propiedad que poseen algunas sustancias de atraer metales como
hierro, cobalto y níquel. Se llama imán a un objeto que posee magnetismo. Todo imán
posee dos polos, Norte y Sur, por analogía con los polos magnéticos de la Tierra; los
polos iguales se repelen y los polos distintos se atraen. Los polos de un imán no pueden
separarse, no hay monopolos magnéticos, sino dipolos.
Se llama campo magnético a la región del espacio en la que aparecen fuerzas magnéticas. Las líneas de fuerza de un imán son cerradas y salen del polo Norte y entran por
el polo Sur.
N
S
En cada punto de un campo
 magnético se puede definir un vector campo magnético
o inducción magnética, B , tangente a las líneas del campo. Su unidad es la Tesla (T).
En realidad, toda carga en movimiento y, por tanto, toda corriente eléctrica, genera
un campo magnético a su alrededor. Cada electrón genera un débil campo magnético
(spin), pero en la mayoría de las sustancias estos campos magnéticos se anulan mutuamente al estar orientados al azar; en un imán los campos magnéticos están orientados en el mismo sentido.
Fuerza magnética sobre cargas en movimiento

La fuerza ejercida
por un campo magnético B sobre una carga q que se mueve con

velocidad v viene dada por:

 
F = q·( v × B)
El sentido del producto vectorial puede determinarse
 
por la “regla del tornillo”, de modo que el vector
v B

es perpendicular al plano formado por v y B y su sentido
es el
 del avance de un tornillo que gira de

v hacia B.
Si la carga es positiva,
sentido que
tiene el mismo
Si la carga es negativa,
opuesto a
El módulo de la fuerza magnética viene dado por:
34
tiene sentido


α = ángulo formado por v y B


v
El movimiento de la carga
dependerá
de
la
dirección
de
respecto
a
:
B


- Si v es paralela a B , la fuerza es nula, y la partícula se moverá con movimiento
rectilíneo uniforme.


- Si v es perpendicular a B , la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad de la
carga y actúa como fuerza centrípeta, de forma que la carga describirá un movi

miento circular uniforme en el plano formado por v y F .
F  q·v·B.sen 
F = m·aN
 r=
r
r


- Si v forma un ángulo cualquiera con B , se producirá un movimiento helicoidal por la acción conjunta de la fuerza centrípeta y el avance de la partícula en la dirección del campo magnético.
Ejemplo:
región en la que existe un campo magnético

 Un electrón penetra en una

B = -2 i (T) con una velocidad de v = -4·105 k (m/s). Determinar la fuerza ejercida
sobre el electrón y el radio de su trayectoria. Representar su trayectoria.
-19
⃗⃗ = q(v
⃗⃗⃗) = -1,6·10
⃗⃗×B
F
⃗i
⃗j
⃗⃗k
-13⃗
0 -4·105 | = 1,28·10 j (N)
-2 0
0
|0

B

F
( 4·10 5 ) 2
1,28·10 -13  9,1·10 31·
r
r = 1,13·10-6 m
 
v B

v
Las principales aplicaciones de la fuerza magnética son el ciclotrón y el espectrógrafo
de masas:
-
El ciclotrón es un acelerador circular de partículas
que combina la acción de un campo eléctrico alterno
con un campo magnético uniforme. Consta dos cámaras semicirculares o Ds que se encuentran en el
interior de un campo magnético perpendicular a
ellas. El campo magnético hace que las partículas
describan una semicircunferencia en el interior de
cada D, de donde pasan a una zona de campo eléctrico, que las acelera hasta la otra D, en la cual, al
tener mayor velocidad, describirán una semicircunferencia de mayor radio antes de volver a ser aceleradas por el campo eléctrico, que habrá cambiado su
polaridad.
35
campo eléctrico alterno
de alta frecuencia
fuente de partículas
haz de partículas
a alta velocidad
Se llama frecuencia ciclotrónica a la frecuencia con la que oscila el campo eléctrico
cambiando su polaridad, que coincide con la frecuencia del movimiento circular de
las partículas; solo depende de la carga y la masa de las partículas y del valor del
campo magnético, por lo que permanece constante durante todo el proceso.
La principal ventaja del ciclotrón respecto a los aceleradores lineales de partículas es
que permite que las partículas alcancen grandes velocidades sin necesidad de utilizar
campos eléctricos muy intensos y con un tamaño mucho más reducido.
Ejemplo: En un ciclotrón, los protones describen una circunferencia de 0,4 m de radio
justo antes de emerger. La frecuencia ciclotrónica es de 107 Hz. Calcular el campo magnético utilizado y la velocidad de los protones cuando salen del acelerador.
ω = 2πf = 2π107 = 6,28·107 rad/s
F = m·aN → qωrB = mω2r → B =
1,7·10-27 ·6,28·107
1,6·10-19
= 0,667 T
v = ωr = 6,28·107·0,4 = 2,51·107 m/s
- El espectrógrafo de masas consiste en un tubo
en el que se introduce una muestra en estado
gaseoso del elemento a analizar. En su interior,
una fuerte descarga produce la ionización del
gas, y los iones formados son acelerados por un
campo eléctrico y desviados por un campo magnético, haciendo que describan un arco de circunferencia. Esto permite separar los distintos
isótopos que forman el elemento, ya que los radios de sus trayectorias son directamente proporcionales a sus masas.
muestra
descarga
campo
eléctrico
campo magnético
Detector
Ejemplo: En un espectrógrafo de masas un ion con carga +e se acelera con una
diferencia de potencial de 3000 V y, a continuación, se somete a un campo magnético
de 0,2 T describiendo una trayectoria de 13´67 cm de radio. Calcular la masa del ion.
1
ΔEc = -q·ΔV → mv2 = -1,6·10-19·(-3000) → v = √
v2
lql·v·B = m
r
2
9,6·10-16
m
→ lql·B·r = m·v → 1,6·10-19·0,2·0,1367 = m √
9,6·10-16
m
= 1,99·10-26 kg
La fuerza de Lorentz expresa la fuerza total que se ejerce sobre una carga en una
región donde hay campo eléctrico y magnético:
⃗F⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ + q(v
⃗⃗⃗)
⃗⃗×B
Fe + ⃗F⃗m = qE
En ocasiones, interesa que las fuerzas eléctrica y magnética se anulen mutuamente, de
forma que la partícula no se desvíe. En este caso, se cumple que:




 
 
Fe = - Fm → q E = -q ( v × B ) → E = - ( v × B )
Ejemplo: Determinar el campo eléctrico que hay queaplicara un electrón que penetra
en
 en la que existe un campo magnético B = -2 i (T) con una velocidad de
 una región
v = -4·105 k (m/s) para que no se desvíe.







 
Fe = - Fm → q E = -q ( v × B ) → E = -(-4·105 k ) × (-2 i ) = -8·105 j (N/C)
36
1. a) ¿Puede ser cero la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula cargada
que se mueve en el seno de un campo magnético?
b) ¿Puede ser cero la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada que se mueve
en el seno de un campo eléctrico?

2. Una partícula cargada penetra
 con velocidad v en una región en la que existe un
campo magnético uniforme B . Determinar la expresión de la fuerza ejercida sobre
la partícula en los siguientes casos:




a) La carga es negativa v = vo j y B = B o k





b) La carga es positiva v  v o ( j + k ) y B = B o j .
3. La figura representa una región en la que existe un campo magnético uniforme B,
cuyas líneas de campo son perpendiculares al plano del papel y salen hacia fuera
del mismo. Si entran sucesivamente tres partículas con la misma velocidad v, y describe cada una de ellas la trayectoria que se muestra en la figura:
a) ¿Cuál es el signo de la carga de
• • • • • • • • • • 1• • •
cada una de las partículas?
• • • • • • • • • • • • •
b) ¿En cuál de ellas es mayor el valor
• • • • • • • • • • • • •
2
absoluto de la relación carga-masa
• • • • • • • • • • • • •
(q/m)?
• • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • •
• • 3• • • • • • • • • • •
4. Un electrón que se mueve con velocidad v = 5·103 m/s en el sentido positivo del eje
X entra en una región del espacio donde hay un campo magnético uniforme
B = 10-2 T dirigido en el sentido positivo del eje Z.
a) Calcular la fuerza F que actúa sobre el electrón.
b) Determinar el radio de la órbita circular que describirá el electrón.
c) ¿Cuál es la velocidad angular del electrón?
d) Determinar la energía del electrón antes y después de penetrar en la región del
campo magnético.
Datos: e, me

Solución: a) 8·10-18 j N/C; b) 2,85·10-6 m; c) 1,75·109 rad/s; d) 1,14·10-23 J
5. En un instante
determinado un electrón que se mueve con una velocidad


4
v = 4·10
i m/

 s penetra en una región en la que existe un campo magnético de
valor B = -0,8 j T. Determinar:
a) El módulo, la dirección y el sentido de la aceleración adquirida por el electrón en
ese instante, efectuando un esquema gráfico en la explicación.
b) La energía cinética del electrón y el radio de la trayectoria que describiría el electrón al moverse en el campo, justificando la respuesta.
Datos: e, me

Solución: a) 5,63·1015 k m/s2; b) 7,28·10-22 J; 2,84·10-7 m


6. Una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme B = - 0,2 i T,
describiendo una circunferencia en un plano perpendicular
a la dirección
del campo


-7
6
magnético con periodo de 3,2·10 s, y velocidad de v = 3,8·10 k m/s. Determinar:
a) La relación carga/masa de la partícula.
b) Sabiendo que la partícula describe una circunferencia en sentido horario, deducir, utilizando un esquema, el signo de la carga.
Solución: a) 9,8·107 C/kg
37
7. Dos partículas idénticas A y B, de cargas 3,2·10-19 C y masas 6,4·10-27 kg,semueven
en una región donde existe un campo magnético uniforme de valor Bo  i  j (T). En


un instante dado, la partícula A se mueve con velocidad v A  103 i  103 j (m·s-1) y la


partícula B con velocidad vB  103 i - 103 j (m·s-1).
a)
b)
Calcular, en ese instante, la fuerza que actúa sobre cada partícula.
Una de ellas realiza un movimiento circular; calcular el radio de la trayectoria que
describe y la frecuencia
angular del movimiento.

–16
Solución: a) -6,4.10 k (N); b) 2·10-5 m; 7,1·107 rad/s
8. Un protón y un electrón se mueven en un campo magnético uniforme B. Si la velocidad del electrón es 8 veces mayor que la del protón y ambas son perpendiculares a
las líneas del campo magnético, deducir la relación numérica existente entre:
a) Los radios de las órbitas que describen.
b) Los periodos orbitales de las mismas.
Dato: Se considera que la masa del protón es 1836 veces la masa del electrón.
Solución: a) 229,5; b) 1836
9. a) Determinar la masa de un ion de potasio, K+, si cuando penetra con una velocidad
v = 8·104 i m/s en un campo magnético uniforme de intensidad B = 0,1k T describe una trayectoria circular de 65 cm de diámetro.
b) Determinar el módulo, dirección y sentido del campo eléctrico que hay que aplicar
en esa región para que el ion no se desvíe.
Dato: e
Solución: a) 6,5·10-26 kg; b) 8·103 ⃗j
10. Un protón, acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial de 4·10-6 V, se
desplaza en el sentido positivo
 del eje Y en una región en la que existe un campo
magnético uniforme de -0,5 i (T). Determinar:
a) La velocidad que adquiere el protón.
b) El radio de la trayectoria circular que sigue el protón dentro de esa región.
c) El módulo, dirección y sentido de un campo eléctrico que, aplicado en la misma
región del espacio, haga que el protón no se desvíe
Datos: mp, e
Solución: a) 27,4 m/s; b) 5,8·10-7 m; c) -13,7 k (N/C)


3
-1
11. En
 una región del espacio hay un campo eléctrico E  4·10 j (N·C ) y otro magnético
B  0,5 i (T). Si un protón penetra en esa región con una velocidad perpendicular al
campo magnético:
a) ¿Cuál debe ser la velocidad del protón para que al atravesar esa región no se
desvíe?
b) Si se cancela el campo eléctrico ¿qué tipo de trayectoria describirá el protón?,
¿cuál será el radio de su trayectoria? Determinar el trabajo realizado por la
fuerza que soporta el protón y la energía cinética con la que el protón describe
esa trayectoria.
Datos: mp, e

Solución: a) -8·103 k (m/s); b) 1,67·10-4 m; 0; 5,34·10-20 J
38
12. En una región del espacio existe un campo eléctrico de 3·105 N·C-1 en el sentido
positivo del eje Z y un campo magnético de 0,6 T en el sentido positivo del eje X.
a) Un protón se mueve en el sentido positivo del eje Y. Dibujar un esquema de las
fuerzas que actúan sobre él y determinar qué velocidad deberá tener para que
no sea desviado de su trayectoria.
b) Si en la misma región del espacio un electrón se moviera en el sentido positivo
del eje Y con una velocidad de 103 m/s, ¿en qué sentido sería desviado?
Dato: e
Solución: a) 5 ·105 m/s; b) Sentido negativo eje Z
_____________________________________________________________________
Fuerza magnética sobre corrientes eléctricas
Una corriente eléctrica consiste en un flujo de electrones. Por tanto, si el conductor se
encuentra en el interior de un campo magnético, cada uno de dichos electrones está
sometido a una fuerza magnética. La resultante de dichas fuerzas, es la fuerza magnética que actúa sobre el conductor.
Sabiendo que la intensidad de corriente I = q/t y que el espacio recorrido por los electrones es la longitud del conductor l= v·t:
F = IqI·v·B·sen α = I·t·v·sen α = I·l·sen α 
⃗⃗ = I·(l⃗xB
⃗⃗)
F
⃗l representa el vector longitud, cuyo módulo coincide con la longitud del conductor, y
cuyos sentido y dirección coinciden con los de la corriente.
Cuando un circuito se introduce en el seno de un campo magnético, se originan fuerzas
de sentido opuesto en los lados paralelos del circuito, lo que produce su rotación (motor
eléctrico).
Ejemplo: Un hilo conductor de 20 cm de longitud por el que circula una corriente de
4 A en el sentido positivo del eje Y, se encuentra en un campo de 5 T en el sentido
negativo del eje Z. Determinar la fuerza magnética sobre el conductor.
⃗⃗k
⃗i
j⃗
⃗⃗ = I(l⃗×B
⃗⃗) = 4· |0 0,2 -0| = -4i⃗ (N)
F
0 0 -5
2. Ley de Ampère. Campos magnéticos creados por corrientes eléctricas
Al estudiar los campos gravitatorio y eléctrico se vio que ambos campos son conservativos, ya que el trabajo realizado por la fuerza (gravitatoria o electrostática) a lo largo de
una trayectoria cerrada es nulo.
De forma más general, se puede afirmar que la condición necesaria y suficiente para
que un campo sea conservativo es que su circulación a lo largo de una trayectoria
cerrada sea nula. La circulación de un vector se define matemáticamente como su integral respecto al desplazamiento a lo largo de una línea. Se puede comprobar que en los
campos gravitatorio y eléctrico cumplen esta condición:
⃗⃗
F
m
⃗⃗·dr⃗ = ∮ ·dr⃗ =
Para el campo gravitatorio: C = ∮ g
⃗⃗
F
Para el campo eléctrico: C = ∮ ⃗⃗⃗
E·dr⃗ = ∮ q ·dr⃗ =
W
=
m
W
=
q
0
0
Sin embargo, en el caso del campo magnético, la circulación del campo magnético a lo
largo de una trayectoria cerrada no es nula, por lo que el campo magnético no es
conservativo y no es posible definir una energía potencial magnética. Según la ley de
Ampère, “la circulación del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada es
directamente proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa el área encerrada
por dicha línea”.
39
μo = 4π·10-7 T·m/A
(permeabilidad magnética del vacío)
= intensidad
de el
la desplazamiento,
corriente (A)
Si B es constante a lo largo de la línea y forma un Iángulo
nulo con
se obtiene la siguiente expresión:
Para el campo magnético:
B·l = μo ·I
⃗⃗⃗·dr⃗ = μ ·I
C = ∮B
o
⃗⃗⃗
l = longitud de la línea a lo largo de la cual actúa B
La ley de Ampére para el campo magnético es equivalente al teorema de Gauss para el
campo eléctrico, ya que permite calcular el campo magnético creado por distintos elementos de corriente eligiendo una línea cerrada a lo largo de la cual el valor del campo
magnético sea constante.
Campos magnéticos creados por corrientes eléctricas
a) Corrientes rectilíneas: Una corriente rectilínea crea un campo magnético a su alrededor cuyas líneas de fuerza son circunferencias concéntricas con el conductor en el
plano perpendicular a este. El sentido de dichas líneas viene dado por la "regla de la
mano derecha": al coger el conductor con la mano derecha, si el dedo pulgar apunta
en el sentido de la corriente, el resto de la mano rodeará al conductor en el sentido
de las líneas del campo.
El vector
es tangente en
cada punto a las líneas del
campo.
Aplicando la ley de Ampère a lo largo de una circunferencia de radio r:
B·2πr = μo ·I →
B=
μo I
2π r
Vectorialmente:
 μ I 
B = o uT
2π r



donde u T = vector unitario tangente a la línea de campo ( u T  u r )
Ejemplo: Por un alambre rectilíneo situado a lo largo del eje Z circula una corriente de
4 A en el sentido negativo de dicho eje. Determinar el campo magnético en los puntos:
a) (0,10,0) cm
b) (8,6,0) cm
Y
a)
= ⃗i
I
X
40
Y
b)

B
I
X



 



8 i + 6j
ur =
= 0,8 i + 0,6 j ; u T = 0,6 i _ 0,8 j
82 + 62
_


 4π·10 7 ·4
_ 
_ 
B=
(0,6 i _ 0,8 j ) = 4,8·10 6 i _ 6,4·10 6 j (T)
2π·0,1
_____________________________________________________________________
13. Por un alambre largo y rectilíneo situado a lo largo del eje X circula una corriente de
2 A en el sentido positivo de dicho eje.
a) Dibujar las líneas del campo creado por esta corriente.
b) Determinar el campo magnético en el punto (0,2,0) cm.
Si un electrón se mueve paralelo al alambre con velocidad 105 m/s en el mismo
sentido que la corriente y a una distancia de 2 cm de éste:
c) Dibujar y calcular la fuerza que actúa sobre el electrón cuando pasa por el punto
(0,2,0) cm.
Datos: μo, e


Solución: b) 2·10-5 k (T); c) 3,2·10-19 j (N)
14. Por un hilo conductor rectilíneo y de gran longitud circula una corriente de 12 A. El
hilo está situado en el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo.
Un electrón se encuentra situado en el eje Y en el punto P de coordenadas
(0, 20, 0) expresadas en centímetros. Determinar el vector aceleración del electrón
en los siguientes casos:
a) El electrón se encuentra en reposo en la posición indicada.
b) Su velocidad es de 1 m/s según la dirección positiva del eje Y.
c) Su velocidad es de 1m/s según la dirección positiva del eje Z.
d) Su velocidad es de 1m/s según la dirección negativa del eje X.
Datos: μo, me, e


Solución: a) 0; b) -2,11·106 k (m/s2); c) 2,11·106 j (m/s2); d) 0
15. Por dos conductores rectos, paralelos e indefinidos circulan corrientes de 12 A en
sentido opuesto. La distancia entre ambos es de 50 cm. Determinar el campo magnético resultante en:
a) Un punto P equidistante de ambos conductores y en su mismo plano.
b) Un punto Q situado 50 cm a la derecha del segundo conductor.
Dato: μo
Solución: a) 1,92·10-5 T; b) 2,4·10-6 T
16. Por dos hilos conductores rectos, paralelos y de gran longitud, separados una distancia de 10 cm, circulan dos corrientes de intensidades 2 A y 4 A respectivamente
en sentidos opuestos. En un punto P del plano que definen los conductores, equidistante de ambos, se introduce un electrón con una velocidad de 4·104 m/s paralela y
del mismo sentido que la corriente de 2 A. Determinar:
a) El campo magnético en el punto P.
b) La fuerza magnética que se ejerce sobre el electrón situado en P.
Datos: μo, e
Solución: a) 2,4·10-5 T; b) 1,5·10-19 N
41
17. Dos conductores rectilíneos paralelos al eje Z, cortan al eje X en los puntos (0,0,0) y
(3,0,0). Por el primer conductor circula una corriente de 10 A en el sentido positivo
del eje Z y por el segundo conductor circula una corriente de 5 A. Determinar el punto
del eje X en el que el campo magnético se anula si:
a) La corriente en el segundo conductor circula en el sentido positivo del eje Z.
b) La corriente en el segundo conductor circula en el sentido negativo del eje Z.
Solución: a) (2,0,0); b) (6,0,0)
18. Por un hilo conductor rectilíneo e infinitamente largo, situado sobre el eje X, circula
una corriente eléctrica en el sentido positivo del eje X. El valor del campo magnético
producido por dicha corriente es de 3·10-5 T en el punto P (0, -dP, 0), y es de 4·10-5
T en el punto Q (0, +dQ, 0). Sabiendo que dP+dQ=7 cm, determinar:
a) La intensidad que circula por el hilo conductor.
b) Módulo, dirección y sentido del campo magnético producido por dicha corriente
en el punto de coordenadas (0, 6 cm, 0).
Las cantidades dP y dQ son positivas.
Dato: μo

Solución: a) 6 A; b) 2·10-5 k (T)
19. Dos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos, perpendiculares al plano XY, pasan por
los puntos A(80,0) y B(0,60), estando las coordenadas expresadas en centímetros. Las corrientes circulan por ambos conductores en el
mismo sentido, siendo el valor de la corriente I1
de 6 A. sabiendo que I2  I1 y que el valor del
campo magnético en el punto P, punto medio de
la recta que une ambos conductores, es de
12·10-7 T, determinar:
a) El valor de la corriente I2.
b) El vector campo magnético en el origen de
coordenadas O.
Datos: μo


Solución: a) 9 A; b) 3·10-6 i - 1,5·10-6 j (T)
B
I2
P
I1
O
A
20. Tres hilos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos, se disponen como se
muestra en la figura (perpendiculares al plano del papel pasando por los vértices de
un triángulo rectángulo). La intensidad de corriente que circula por todos ellos es la
misma, I = 25 A, aunque el sentido de la corriente en el hilo C es opuesto al de los
otros dos hilos. Determinar:
a) El campo magnético en el punto P, punto medio del
segmento AC.
b) La fuerza que actúa sobre una carga positiva
Q=1,6·10-19 C si se encuentra en el punto P moviéndose con una velocidad de 106 m/s perpendicular al plano del papel y con sentido hacia fuera.
Datos: μo


Solución: a) 5·10-5 i + 1,5·10-4 j (T)


b) -2,4·10-17 i + 8·10-18 j (N)
42
Si suponemos dos corrientes rectilíneas y paralelas, cada una de ellas genera en campo
magnético en la región donde se encuentra la otra corriente, lo que da lugar a sendas
fuerzas magnéticas de igual dirección, pero sentido opuesto.
I1
I2
I1
⃗⃗⃗
B1
⃗F⃗21
⃗⃗⃗
B2
⃗F⃗12
⃗⃗⃗
B2
⃗F⃗21 ⃗F⃗12
⃗⃗⃗
B1
I2
Corrientes de sentido opuesto
Corrientes del mismo sentido
Para un segmento de longitud l de cada conductor, ambas fuerzas tendrán el mismo
módulo:
μo I2
F12 = F21 = I1·l·B2 = I1·l·
2πr
=
μo I1 I2
2πr
·l
Por tanto, la fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes paralelas vendrá dada
por:
F
l
=
μo I1 I2
2πr
Esta ecuación permite definir el Amperio (A) como la intensidad de corriente que deben
tener dos conductores paralelos situados en el vacío a un metro de distancia para producir una fuerza igual a 2·10-7 N por metro de longitud.
Ejemplo: Dos conductores rectilíneos paralelos al eje Z, cortan al eje Y en los puntos
(0,0,0) y (0,3,0). Por el primer conductor circula una corriente de 10 A en el sentido
positivo del eje Z y por el segundo conductor circula una corriente de 5 A en el sentido
negativo del eje Z. Determinar el vector fuerza por unidad de longitud que ejerce el primer conductor sobre el segundo.
3,33·10-6 (N/m)
3,33·10-6
(N/m)
21. Dos conductores rectilíneos e indefinidos, paralelos, por los que circulan corrientes
de igual intensidad, I, están separados una distancia de 0,12 m y se repelen con una
fuerza por unidad de longitud de 6·10-9 N·m-1.
a) Efectuar un esquema gráfico en el que se dibuje el campo magnético, la fuerza que
actúa sobre cada conductor y el sentido de la corriente en cada uno de ellos.
b) Determinar el valor de la intensidad de corriente I, que circula por cada conductor.
Dato: μo
Solución: b) 0,06 A
22. Dos conductores rectilíneos, paralelos y de longitud infinita, separados una distancia
de 30 cm están recorridos por corrientes eléctricas de igual intensidad de 2 A.
a) Determinar la intensidad del campo magnético generado por los dos conductores
en el punto medio de la línea que los une, en el caso de que las corrientes tengan
sentidos contrarios.
43
b) Determinar el módulo de la fuerza por unidad de longitud que se ejercen entre si
estos conductores.
Datos: μo
Solución: 5'33·10-6 T; b 2,66 ·10-6 N/m
23. Tres hilos conductores infinitos y paralelos pasan por los vértices de un cuadrado de
50 cm de lado como se indica en la figura. Las tres corrientes I1, I2 e I3 circulan hacia
dentro del papel.
a) Si I1 = I2 = I3 = 10 mA, determinar el campo magnético
en el vértice A del cuadrado.
b) Si I1 = 0, I2 = 5 mA e I3 = 10 mA, determinar la fuerza
por unidad de longitud entre los hilos recorridos por las
corrientes.
Dato: o


Solución: a) 6·10-9 i - 6·10-9 j ; b) 2·10-11 N
24. Dos conductores rectilíneos muy largos, paralelos entre sí y al eje Z, cortan al eje Y
en los puntos (0,1,0) y (0,-2,0). El sentido de la corriente en el primer conductor es
el positivo del eje Z y el opuesto en el segundo conductor. Si la intensidad de la
corriente es de 10 A en ambos conductores, calcular:
a) El vector campo magnético en el origen de coordenadas.
b) El vector fuerza sobre un conductor de 20 cm de longitud situado en el eje Z por
el que circula una corriente de 5 A en el sentido positivo del eje.
Dato: μo


Solución: a) 3·10-6 i (T); b) 3·10-6 j (N)
25. Un hilo conductor rectilíneo de longitud infinita está situado en el eje Z y transporta
una corriente de 20 A en el sentido positivo de dicho eje. Un segundo hilo conductor,
también infinitamente largo y paralelo al anterior, corta al eje X en el punto de coordenada x = 10 cm. Determinar:
a) La intensidad y el sentido de la corriente en el segundo hilo, sabiendo que el
campo magnético resultante en el punto del eje X de coordenada x = 2 cm es
nulo.
b) La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada conductor, explicando
cuál es su dirección y sentido.
Dato: μo


Solución: a) 80 A; b) 3,2·10-3 i (N); -3,2·10-3 i (N)
26. Tres hilos conductores rectilíneos y paralelos, infinitamente largos, pasan por los
vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado, según se indica en la figura.
Por cada uno de los conductores circula una corriente de 25 A en el mismo sentido,
hacia fuera del plano del papel. Calcular:
a) El campo magnético resultante en un punto del
conductor C3 debido a los otros dos conductoC3
res. Especificar la dirección del vector campo
magnético.
b) La fuerza resultante por unidad de longitud
ejercida sobre el conductor C3. Especificar la
dirección del vector fuerza.
Dato: μo

C2

C1
Solución: a) -8,66x10-5 i (T); b) -2,16x10-3 j (N/m)
44
b) Corrientes circulares: Una corriente circular (espira) crea un campo magnético en su
centro perpendicular al plano de la espira. El sentido del campo viene dado por la
"regla de la mano derecha": al seguir el sentido de la corriente con los dedos de la
mano derecha, el dedo pulgar apunta en el sentido del campo.
En este caso, al no ser contante el campo magnético a lo largo de ninguna posible línea
cerrada, no es posible aplicar la ley de Ampère para calcular su valor.
Se puede demostrar que el módulo del campo magnético en el centro de la espira viene dado por:
R
c) Corrientes helicoidales: Una corriente helicoidal (bobina o solenoide) crea un campo
magnético en su centro perpendicular al plano de sus espiras. El sentido del campo
viene dado por la "regla de la mano derecha": al seguir el sentido de la corriente con
los dedos de la mano derecha, el dedo pulgar apunta en el sentido del campo.
L
La circulación a lo largo de la línea discontinua solo es distinta
de cero en el segmento de longitud L que atraviesa el interior del
solenoide; dicho rectángulo está atravesado N veces por la corriente I. Por tanto, aplicando la ley de Ampére, se obtiene:
B·L = μoNI →
B=
μoNI
L
Si se introduce en el núcleo del solenoide un material con una permeabilidad magnética elevada, como un cilindro de hierro, se obtiene un electroimán, que da lugar
a un campo magnético muy intenso.
3. Inducción electromagnética
La inducción electromagnética es el fenómeno mediante el cual se produce una corriente eléctrica como consecuencia de la variación de un campo magnético. Fue descubierto por Michael Faraday en 1831, después de realizar diversas experiencias con
imanes e hilos conductores.
N
N
S
S
Faraday observó que al acercar o alejar un imán a una espira se detectaba el paso de
corriente eléctrica por esta, cambiando el sentido de la corriente al invertir el sentido del
movimiento. También comprobó que se producía el mismo efecto si se sustituía el imán
por una bobina por la que circulaba una corriente; por último, dejando fija la bobina y
accionando un interruptor en esta, también detecto el paso de corriente en la espira. Por
su parte, Joseph Henry observó un efecto análogo al desplazar un hilo conductor cerca
de un imán. Mediante estas experiencias se estableció que las variaciones de los campos magnéticos daban lugar a corrientes eléctricas, sentando las bases de la generación
de corriente alterna. La intensidad de corriente obtenida depende de la variación de una
magnitud denominada flujo magnético.
45
Flujo magnético
El flujo magnético es el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie. Matemáticamente, si el campo magnético es constante en toda la superficie, viene dado
por el producto escalar del campo magnético por el vector superficie:

Φ = B·S = B·S·cos α
El flujo es máximo cuando el campo magnético es perpendicular a la superficie (el vector
campo magnético forma un ángulo de 0º con el vector normal a la superficie) y es nulo
cuando el campo es paralelo a la superficie (α = 90º).
Si el campo magnético atraviesa una bobina formada por N espiras, el flujo total será la
suma de los flujos individuales en cada una de las espiras:
Φ = N·B·S·cos α
Unidad: weber (Wb)
Ejemplo: Una bobina de 200 vueltas y de sección circular de diámetro 8 cm está situado
en un campo magnético uniforme de valor 0,5 T cuya dirección forma un ángulo de 60°
con el eje de la bobina. Determinar el flujo magnético que atraviesa la bobina.
S = π·(0,04)2 = 5·10-3 m2; Φ = 200·0,5·5·10-3·cos 60 = 0,25 Wb
Leyes de Faraday y Lenz
Se puede demostrar que las corrientes inducidas se producen como consecuencia de
una variación del flujo magnético (experiencias de Faraday y Henry). Las leyes de Faraday y Lenz permiten determinar el valor y el sentido de la corriente inducida.
- Ley de Faraday: "La fuerza electromotriz inducida es igual a la variación de flujo
magnético por unidad de tiempo". Esto nos permite determinar la fuerza electromotriz
media (en un intervalo de tiempo) e instantánea (en un instante determinado).
La fuerza electromotriz media es el cociente entre la variación de flujo y el tiempo
transcurrido:
εm = -
ΔΦ
Δt
Unidad: voltio (V)
Si el flujo varía linealmente, la fuerza electromotriz se calcula siempre de este modo,
ya que su valor es constante.
La intensidad de corriente se calcula aplicando la ley de Ohm:
I
ε
R
I = intensidad. Unidad: amperio (A)
R = resistencia. Unidad: ohmio (Ω)
Ejemplo: Un solenoide de 200 vueltas, 5 Ω de resistencia y sección circular de diámetro
8 cm está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,5 T cuya dirección forma
un ángulo de 60° con el eje del solenoide. Si en un tiempo de 100 ms disminuye el valor
del campo magnético uniformemente a cero, determinar la fuerza electromotriz inducida
en dicho solenoide.
ΔΦ 0 _ 0,25
2
-3
2
ε
=
=
-= 2,5 V
S = π·(0,04) = 5·10 m
0,1
Δt
-3
Φo = 200·0,5·5·10 ·cos 60 = 0,25 Wb
ε 2,5
Φf = 200·0·5·10-3·cos 60 = 0 Wb
I= 
=0,5 A
R
5
46
27. a) Definir la magnitud flujo magnético. ¿Cuál es su unidad en el S.I.?
b) Una espira conductora plana se sitúa en el seno de un campo magnético uniforme
de inducción magnética B ¿Para qué orientación de la espira el flujo magnético a
través de ella es máximo? ¿Para qué orientación es cero el flujo? Razonar la
respuesta.
28. Una espira circular de 0,2 m de radio se sitúa en un campo magnético uniforme de
0,2 T con su eje paralelo a la dirección del campo. Determinar la fuerza electromotriz
inducida en la espira si en 0,1 s y de manera uniforme:
a) Se duplica el valor del campo.
b) Se reduce el valor del campo a cero.
c) Se invierte el sentido del campo.
d) Se gira la espira un ángulo de 90º en torno a un eje diametral perpendicular a
la dirección del campo magnético.
Solución: a) -0,25 V; b) 0,25 V; c) 0,5 V; d) 0,25 V
29. Un solenoide de 20  de resistencia está formado por 500 espiras circulares de 2,5
cm de diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor
0,3 T, siendo el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo. Si el campo
magnético disminuye uniformemente hasta anularse en 0,1 s, determinar:
a) El flujo inicial que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida.
b) La intensidad que recorre el solenoide y la carga transportada en ese intervalo
de tiempo.
Solución: a) 0,0736 Wb; 0,736 V; b) 0,0368 A; 3,68·10-3 C
La fuerza electromotriz instantánea es el límite de la fuerza electromotriz media
cuando el tiempo transcurrido tiende a cero. Por tanto, es igual a la derivada del flujo
magnético respecto al tiempo.
ε=-
dΦ
dt
Ejemplo: Una bobina circular de 200 vueltas,100 cm2 de superficie y 2 Ω de resistencia
se coloca en un campo magnético perpendicular al plano de la bobina cuyo módulo varía
con el tiempo según la expresión B = t3 + 3t2 -4t. Calcular la fuerza electromotriz inducida
en la bobina y la intensidad para t = 1 s.
Φ = 200·0,01· (t3 + 3t2 -4t)·cos 0 = 2t3 + 6t2 -8t (Wb)
dΦ
ε== -(6t2 +12t -8) = -6t2 -12t + 8 (V)
dt
 10
I=
5 A
t = 1 s  ε = -6 -12 + 8 = -10 V
2
Ejemplo: Sobre un hilo conductor se desliza una varilla MN en presencia de un campo
magnético uniforme de 50 T, perpendicular al plano del circuito. La varilla oscila en la
dirección del eje X de acuerdo con la expresión x = xo+ Asen ωt, siendo xo = 10 cm,
A = 5 cm, y el periodo de oscilación 10 s.
M
a) Calcular, en función del tiempo, el flujo magnético que atraviesa el circuito.
b) Calcular, en función del tiempo, la fuerza electromotriz inducida en el circuito.
2 cm
x
N
47
a) ω = 2π/10 = 0,2π rad/s; x = 0,1 + 0,05·sen(0,2πt);
S = 0,02·( 0,1 + 0,05·sen(0,2πt)) = 0,002 + 0,01·sen(0,2πt);
Φ = 50·(0,002 + 0,01 sen(0,2πt)) = 0,1 + 0,05·sen(0,2πt);
b) ε = -
dΦ
= -(0,05· cos(0,2πt))·(0,2π) = -0,01π·cos(0,2πt)
dt
30. Una bobina circular de 30 vueltas y radio 4 cm se coloca en un campo magnético
dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. El módulo del campo magnético
varía con el tiempo de acuerdo con la expresión B = 0,01 t + 0,04 t2. Calcular:
a) El flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo.
b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 5 s.
Solución: b) -0,0615 V
31. Un campo magnético uniforme y constante de 0,01 T está dirigido a lo largo del eje
Z. Una espira circular se encuentra situada en el plano XY, centrada en el origen, y
tiene un radio que varía en el tiempo según la función: r = 0,1-10 t. Determinar:
a) La expresión del flujo magnético a través de la espira.
b) En qué instante de tiempo la fuerza electromotriz inducida es 0,01 V.
Solución: b) 0,0084 s
π
32. Un campo magnético variable en el tiempo de módulo B = 2 cos (3π- 4 ) (T), forma
un ángulo de 30º con la normal al plano de una bobina formada por 10 espiras de
radio r = 5 cm. La resistencia total de la bobina es R = 100 Ω. Determinar:
a) El flujo del campo magnético a través de la bobina en función del tiempo.
b) La fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducidas en la bobina en el
instante t = 2 s.
Solución: b) -0,161 V; 1,61·10-3 A
33. Se tiene el circuito de la figura en forma de triángulo
rectángulo, formado por una barra conductora vertical que se desliza horizontalmente hacia la derecha
con velocidad constante v = 2,3 m/s sobre dos barras conductoras fijas que forman un ángulo α = 45º.
Perpendicular al plano del circuito hay un campo
magnético uniforme y constante B = 0,5 T cuyo sentido es entrante en el plano del papel. Si en el instante inicial t = 0 la barra se encuentra en el vértice
izquierdo del circuito:
a) Calcular la fuerza electromotriz inducida en el
circuito en el instante de tiempo t = 15 s.
b) Calcular la corriente eléctrica que circula por el circuito en el instante t = 15 s, si
la resistencia eléctrica total del circuito es 5 Ω.
Solución: a) -39,7 V; b) 7,94 A
48
-
Ley de Lenz: "La corriente inducida genera un campo magnético cuyo sentido se
opone a la variación de flujo original". Es decir, si se produce un aumento de flujo, la
corriente inducida genera un campo magnético con sentido opuesto al del campo
magnético original. Sin embargo, si se produce una disminución de flujo, la corriente
inducida genera un campo magnético cuyo sentido coincide con el del campo magnético original.
Ejemplo: Una espira circular está situada en un campo magnético uniforme con sentido
hacia fuera del papel. Determinar el sentido de la corriente inducida si:
a) El valor del campo magnético aumenta con el tiempo.
b) El valor del campo magnético disminuye con el tiempo.
a) Si el campo magnético aumenta con el tiempo, se
produce un aumento de flujo, por lo que la corriente inducida genera un campo magnético hacia
dentro, opuesto al campo magnético original: Por
tanto (aplicando la regla de la mano derecha) la
corriente inducida tiene sentido horario.
b) Si el campo magnético disminuye con el tiempo, se
produce una disminución de flujo, por lo que la corriente inducida genera un campo magnético hacia
fuera, con el mismo sentido que el campo magnético original: Por tanto, la corriente inducida tiene
sentido antihorario.
_____________________________________________________________________
34. Considerar, tal y como se indica en la figura, una espira circular, contenida en el
plano XY, con centro en el origen de
coordenadas. Un imán se mueve a lo
largo del eje Z, tal y como también se
ilustra en la figura. Justificar razonadamente el sentido que llevará la corriente
inducida en la espira si:
a) El imán se acerca a la espira, como
se indica en la parte a) de la figura.
b) El imán se aleja de la espira, como
se indica en la parte b) de la figura.
35. Una varilla conductora desliza sin rozamiento con
una velocidad de 0,2 m·s-1 sobre unos raíles también conductores separados 2 cm, tal y como se
indica en la figura. El sistema se encuentra en el
seno de un campo magnético constante de 5 mT,
perpendicular y entrante al plano definido por la varilla y los raíles. Sabiendo que la resistencia del sistema es de 4  determinar:
49
a)
El flujo magnético en función del tiempo a través del circuito formado por la varilla
y los raíles, y el valor de la fuerza electromotriz inducida en la varilla.
b) La intensidad y el sentido de la corriente eléctrica inducida.
Solución: a) -2·10-5 V; b) 5·10-6 A
36. Sea un campo magnético uniforme dirigido en el sentido positivo del eje Z. El campo
sólo es distinto de cero en una región cilíndrica de radio 10 cm cuyo eje es el eje Z
y aumenta en los puntos de esta región a un ritmo de 10-3 T/s. Calcular la fuerza
electromotriz inducida en una espira situada en el plano XY y efectuar un esquema
gráfico indicando el sentido de la corriente inducida en los siguientes casos:
a) Espira circular de 5 cm de radio centrada en el origen de coordenadas.
b) Espira cuadrada de 30 cm de lado centrada en el origen de coordenadas.
Solución: a) -7,85·10-6 V; b) -3,14·10-5 V
_____________________________________________________________________
Corriente alterna
Suponemos una espira de superficie S girando con velocidad angular constante ω, en
un campo magnético uniforme B.
El ángulo que forma el vector campo magnético con el vector normal a la superficie varía
con el tiempo según la ecuación del M.C.U.:
φ = ω·t + φo
Por tanto el flujo magnético varía con el tiempo según la expresión:
Φ = B·S·cos α = B·S·cos (ω·t + φo)
La fuerza electromotriz instantánea se calcula mediante la derivada del flujo:
dΦ
ε== -( B·S·(-sen (ω·t + φo))·ω) = B·S·ω· sen (ω·t + φo)
dt
Se produce una corriente alterna que cambia de sentido cada medio ciclo:
ε
BSω
Fuerza electromotriz máxima:
εmax = B·S·ω
t
-BSω
50
Si tenemos una bobina de N espiras:
Φ = N·B·S·cos (ω·t + φo);
ε = N·B·S·ω· sen (ω·t + φo) → εmax = N·B·S·ω
Ejemplo: Una bobina circular de 200 vueltas y 100 cm2 de superficie se coloca en un
campo magnético inicialmente perpendicular al plano de la bobina cuyo módulo es
B = 5 T. La bobina comienza a girar con un periodo de 4 s. Calcular la fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 1 s.
π
π
Φ = 200·5·0,01·cos ( ·t + 0) = 10·cos ( ·t)
2
2
ε = -(10·(-sen (
π
π
π
π
π
π
·t))·
= 10· · sen ( ·t); t = 1 s  ε = 10· · sen
= 15,7 V
2
2
2
2
2
2
37. Una espira circular de radio r = 5 cm y resistencia 0,5
 Ω se encuentra en reposo en

una región del espacio con campo magnético B = B0 k , siendo B0 = 2 T. El eje normal
a la espira en su centro forma 0° con el eje Z. A partir de un instante t = 0 la espira
comienza a girar con velocidad angular constante ω = π (rad/s) en torno a un eje
diametral. Se pide:
a) La expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo t.
b) La expresión de la corriente inducida en la espira en función de t.
Solución: a) 0,0157·cos (π·t); b) 0,098·sen (π·t)
38. Una espira circular de 10 cm de radio, situada inicialmente en el plano XY, gira a
50
 rpm en torno a uno de sus diámetros bajo la presencia de un campo magnético
B  0,3 k T. Determinar:
a) El flujo magnético que atraviesa la espira en el instante t = 2 s.
b) La expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo.
5π
Solución: a) -4,71·10-3 Wb; b) 0,049·sen
t
3
39. Una espira circular de 4 cm de radio y 0,5 Ω de resistencia está situada en el plano
XY. La espira se encuentra sometida a la acción de un campo magnético en el sentido positivo del eje Z.
a) Si el campo magnético aumenta a razón de 0,6 T/s, determinar la fuerza electromotriz y la intensidad de la corriente inducida en la espira, indicando el sentido
de la misma.
b) Si el campo magnético se estabiliza en un valor constante de 0,8 T, y la espira
gira en torno a uno de sus diámetros con una velocidad angular de 10π rad/s,
determinar el valor máximo de la fuerza electromotriz.
Solución: a) -3·10-3 V; 6·10-3 A; b) 0,125 V
40. Una espira circular de 2 cm de radio se encuentra en el seno de un campo magnético
uniforme B = 3,6 T paralelo al eje Z. Inicialmente la espira se encuentra contenida
en el plano XY. En el instante t = 0 la espira empieza a rotar en torno a un eje diametral con una velocidad angular constante ω = 6 rad·s-1.
a) Si la resistencia total de la espira es de 3 Ω, determinar la máxima corriente eléctrica inducida en la espira e indicar para qué orientación de la espira se alcanza.
b) Obtener el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira en el instante
t = 3 s.
Solución: a) 0,009 A; π/2 rad; b) – 0,02 V
51
41. Una bobina circular de 20 cm de radio y 10 espiras se encuentra, en el instante
inicial, en el interior de un campo magnético uniforme de 0,04 T, que es perpendicular al plano de su superficie. Si la bobina comienza a girar alrededor de uno de sus
diámetros, determinar:
a) El flujo magnético máximo que atraviesa la bobina.
b) La fuerza electromotriz inducida (fem) en la bobina en el instante t = 0,1 s, si gira
con una velocidad angular constante de 120 rpm.
Solución: a) 0,05 Wb; b) 0,6 V
42. Se hace girar una espira conductora circular de 5 cm de radio respecto a uno de sus
diámetros en una región con un campo magnético uniforme de módulo B y dirección
perpendicular a dicho diámetro. La fuerza electromotriz inducida () en la espira depende del tiempo (t) como se muestra en la figura. Teniendo en cuenta los datos de
esta figura, determinar:
a) La frecuencia de giro de la espira y el valor de B.
b) La expresión del flujo de campo magnético a través de la espira en función del tiempo.
Solución: a) 50 Hz; 0,2 T; b) 1,57·10-3·cos(100πt)
43. Una espira cuadrada de 1,5 Ω de resistencia está inmersa en un campo magnético
B = 0,03 T en el sentido positivo del eje X. La espira tiene 2 cm de lado y forma un
ángulo α variable con el plano YZ.
a) Si se hace girar la espira alrededor del eje Y con una frecuencia de rotación de 60 Hz, siendo α= π/2 en el instante t=0, obtener la expresión de la fuerza electromotriz
inducida en la espira en función del tiempo.
b) ¿Cuál debe ser la velocidad angular de la espira para que
la corriente máxima que circule por ella sea de 2 mA?
Solución: a) 4,5·10-3·sen(120πt + π/2); b) 250 rad/s
52
TEMA 4: ONDAS
1. Concepto de onda. Clasificación y magnitudes que las caracterizan
Una onda es la transmisión de energía que se produce por la propagación de una
vibración o perturbación sin transporte de materia.
En toda onda hay una perturbación inicial que se produce en un punto llamado foco
que, generalmente, vibra con un movimiento armónico simple (onda armónica). Esta
perturbación se transmite a los puntos que rodean al foco alcanzando sucesivamente
puntos más alejados que reciben la energía procedente del foco. Un ejemplo fácil de
observar son las ondas producidas en la superficie del agua al dejar caer un objeto en
ella.
Clasificación de las ondas
Según la dirección de vibración, las ondas pueden ser:
-
Transversales, cuando la dirección de vibración es perpendicular a la dirección de
propagación. Ejemplos: ondas producidas en la superficie del agua, ondas producidas al agitar una cuerda, ondas luminosas...
-
Longitudinales, cuando la dirección de vibración coincide con la dirección de propagación. Ejemplos: ondas producidas en un muelle, ondas sonoras...
Según las dimensiones en las que se propagan, las ondas pueden ser:
-
Unidimensionales, cuando se propagan en una sola dirección.
-
Bidimensionales o planas, cuando se propagan en dos dimensiones.
-
Tridimensionales o esféricas, cuando se propagan en las tres dimensiones.
Dependiendo de si precisan un medio material para propagarse, las ondas pueden ser:
-
Mecánicas, cuando se producen por la propagación de la vibración de las partículas
de un medio material elástico. Ejemplos: las ondas producidas en el agua o al agitar
una cuerda, las ondas sonoras, las ondas sísmicas…
-
Las ondas electromagnéticas (luz, ondas de radio, rayos X, microondas...) y las
gravitacionales (predichas por Einstein y detectadas por primera vez en 2016 a
partir de la colisión de dos agujeros negros) consisten en la propagación de campos
de fuerzas, por lo que no requieren de un medio material y se pueden propagar en
el vacío.
Se llaman ondas estacionarias a la que no se desplazan, sino que permanecen confinadas en una región del espacio, como las ondas producidas en una cuerda fija por sus
extremos; surgen por la superposición de las ondas sucesivas que se producen en dicha
región.
Magnitudes características de las ondas
- Amplitud (A): elongación máxima de un punto. Unidad: m
- Longitud de onda (λ): distancia entre dos puntos consecutivos con el mismo estado
de vibración (unidad: m).
λ
A
λ
53
- Periodo (T): tiempo que tarda un punto en realizar una vibración; coincide con el
tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a su longitud de onda. Unidad: s.
- Frecuencia (f): número de vibraciones realizadas por un punto en la unidad de
tiempo. Unidad: s-1 o Hercios (Hz).
1
f=
T
- Fase inicial (φo): ángulo que indica el estado de vibración del foco (x = 0) en el instante inicial (t = 0), teniendo en cuenta que una vibración completa equivale a
2π
rad. Unidad: rad.
- Frecuencia angular o pulsación (ω): número de vibraciones realizadas por un
punto en un tiempo de 2π segundos. Unidad: rad/s;
En función del periodo:
ω=
En función de la frecuencia:
2π
T
ω = 2πf
- Número de onda (k): número de longitudes de onda contenidas en una distancia de
2π metros. Unidad: rad/m.
2π
k
λ
- Velocidad de propagación (v): distancia recorrida por la onda por unidad de tiempo
al propagarse con movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Es característica de cada
onda, variando sólo al cambiar el medio de propagación. No debe confundirse con la
velocidad de vibración de los puntos de la onda, que corresponde con un movimiento
armónico simple. Unidad: m/s
Al propagarse con MRU: x = v·t. Como en cada vibración, x = λ y t = T  v 
En función de la frecuencia :
λ
T
v=λ·f
2π
Si se expresa en función de ω y k : v =
2π
k 
ω
v=
ω
k
2. Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales
La ecuación de una onda permite conocer en cada instante el estado de vibración de
cada uno de los puntos de la onda. Para ello relaciona el estado de vibración o elongación, y, con la posición de cada punto en el eje de abscisas, x, y el tiempo, t.
Suponemos una cuerda, fija por un extremo, en la que se produce una onda.
O
P
54
El punto O describe un movimiento armónico simple: y = A sen (ωt + φo)
Un punto cualquiera de la cuerda (P), describe el mismo movimiento con un desfase
respecto a O, ya que la onda tarda un tiempo to en alcanzar dicho punto:
x
x k·x
y = A sen (ω(t - to) + φo) = A sen (ωt- ωto) + φo) ; siendo to = =
=
v ω
ω
k
k·x
y = A sen (ωt - kx + φo)
Por tanto: y = A sen (ωt- ω
) + φo) 
(Sentido X+)
ω
Si la onda se propagara de derecha a izquierda, el punto O tendría un desfase respecto
a P; por tanto, se obtendría la ecuación:
y = A sen (ωt + kx + φo)
(Sentido X-)
También es posible expresar la ecuación de una onda por medio de la función coseno,
corrigiendo el valor de la fase inicial. Para ello, hay que tener en cuenta la relación entre
ambas funciones, sen (α + π/2) = cos α.
y = A cos (ωt  kx + φo’)
φo’ = fase inicial corregida = φo -
π
2
Las ondas armónicas tienen una doble periodicidad: temporal (en un punto dado, se
repite el mismo movimiento cada T segundos) y espacial (en un tiempo dado, se repite
el mismo movimiento cada λ metros). Si suponemos la ecuación y= A sen (ωt – kx):
y
Para x = 0:
y
A
Para t = 0:
A
t
0
T/4
T/2
3T/4
x
T
0
-A
λ/4
λ/2
3λ/4
λ
-A
Ejemplo: La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga
por una cuerda tensa coincidente con el eje X, es: y = 0,2 sen (100πt - 200 πx), en
unidades Sl. Determinar los valores del período, la amplitud, la longitud de onda y la
velocidad de propagación de la onda.
ω  100π rad / s 
v=
2π
2π
 T = 0,02 s; A = 0,2 m; k  200π rad / m 
; λ = 0,01 m
T
λ
λ 0,01
=
= 0,5 m/s
T 0,02
Ejemplo: Una onda armónica transversal que se propaga en el sentido negativo del eje
de las X, tiene una amplitud de 10 cm, una longitud de onda de 60 cm y una velocidad
de propagación de 3 m/s. Sabiendo que en el instante inicial la elongación de la partícula
en x = 0 es -10 cm, determinar la ecuación que representa la onda.
0,6
2π
2π
 3,33 π rad/m; 3 =
 10 π rad/s
 T = 0,2 s; ω 
0,6
0,2
T
Para t = 0 y x = 0: -0,1 = 0,1·sen (10 π·0 +3,33 π·0 + φo); sen φo= -1; φo = 3π/2 rad
k
Por tanto: y = 0,1·sen (10 πt +3,33 πx + 3π/2)
En función del coseno: y = 0,1·cos (10 πt +3,33 πx + π)
55
1. Dada la expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga
en una cuerda tensa de gran longitud: y = 0,03 sen (2πt − πx), donde x e y están
expresados en metros y t en segundos.
a) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda?
b) Para t = 0, ¿cuál es el valor del desplazamiento de los puntos de la cuerda
cuando x = 0,5 m y x = 1 m?
c) Para x = 1 m, ¿cuál es el desplazamiento cuando t = 0,5 s?
Solución: a) 2 m/s; b) -0,03 m, 0; c) 0
2. Una onda armónica transversal de longitud de onda λ = 1 m se desplaza en el sentido
positivo del eje X. En la gráfica se muestra la elongación (y) del punto de coordenada
x = 0 en función del tiempo. Determinar:
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) La expresión matemática que describe la onda.
Solución: a) 0,33 m/s; b) y = 0,8 sen (2π/3 t -2πx)
3. Una onda armónica transversal se propaga en el sentido de las x positivas. A partir
de la información contenida en las figuras y justificando las respuestas:
a) Determinar el periodo, la frecuencia, el número de onda y la longitud de onda.
b) Escribir la expresión de la función de onda.
Solución: b) y = 0,05 sen (πt - 20πx + π)
4. Una onda armónica transversal que se propaga a lo largo de la dirección positiva del
eje de las X, tiene las siguientes características: amplitud, A = 5 cm, longitud de onda,
λ = 8π cm, velocidad de propagación, v = 40 cm/s. Sabiendo que la elongación de la
partícula de abscisa x = 0, en el instante t = 0, es de 5 cm, determinar:
a) La ecuación que representa el movimiento armónico simple de la partícula de abscisa x = 0.
b) La ecuación que representa la onda armónica transversal indicada.
Solución: a) y = 0,05 sen (10t + π/2); b) y = 0,05 sen (10t - 25x + π/2)
5. Una onda sinusoidal con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 100 Hz viaja con
una velocidad de propagación v = 200 m/s en la dirección positiva del eje X y oscila
en la dirección del eje Y. En el instante t = 0 la elongación es máxima y positiva en el
punto x = +3 m.
a) Calcular la longitud de onda, λ, y el número de onda, k, de la onda.
b) Determinar la expresión matemática que representa la onda.
Solución: a) 2 m; π rad/m; b) y = 1,5·sen (200πt – πx + 7π/2)
56
Velocidad y aceleración de vibración
El movimiento de vibración en una onda armónica es un M.A.S. Por tanto la velocidad y
la aceleración de vibración se corresponden con las de dicho movimiento y se obtienen
derivando las ecuaciones correspondientes.
dy
→ v = A·ω·cos (ω·t  kx + φo)
dt
Si suponemos una onda cuya velocidad es v = A·ω·cos (ω·t - kx), se obtienen las siguientes gráficas:
Velocidad de vibración: v =
v
v
Aω
Para x = 0
Aω
Para t = 0
t
0
T/4 T/2
3T/4
x
T
0
-Aω
λ/4
λ/2
3λ/4
λ
-Aω
Por tanto, la velocidad máxima de vibración de un punto es, en valor absoluto:
v máx = A·ω
= A·ω
Comparando la ecuación de la velocidad con la ecuación de la onda y teniendo en
cuenta que sen2α + cos2α = 1, se puede deducir que la velocidad de vibración está relacionada con la elongación mediante la ecuación:
Si y = 0 → v = Aω = vmáx
v = ω√A2 -y2
Aceleración de vibración: a =
dv
→
dt
Si y = A → v = 0
a = - A·ω2·sen (ω·t  kx + φo)
Si suponemos una onda cuya aceleración es a = -A·ω2·cos (ω·t - kx), se obtienen las
siguientes gráficas:
a
Aω2
Para x = 0
a
Aω2
Para t = 0
t
0
T/4 T/2
x
3T/4 T
0
λ/4
λ/2
3λ/4
λ
-Aω2
-Aω2
Por tanto, la aceleración máxima de vibración de un punto es, en valor absoluto:
amáx = A·ω2
= A·ω
Comparando la ecuación de la aceleración con la ecuación de la onda, se puede deducir
que la aceleración está relacionada con la elongación mediante la ecuación:
a = -ω2·y
Por tanto, cada punto de la onda tendrá, en cada instante, una elongación, una velocidad
y una aceleración características que se repetirán periódicamente en el espacio y el
tiempo.
57
Se dice que dos puntos están en fase cuando se encuentran en el mismo estado de
vibración, es decir, cuando su elongación, velocidad y aceleración de vibración son iguales en el mismo instante. La distancia entre dichos puntos es un número entero de longitudes de onda.
Se dice que dos puntos están en oposición de fase cuando su elongación, velocidad y
aceleración de vibración son opuestas en el mismo instante. La distancia entre dichos
puntos es un número impar de semilongitudes de onda.
A
λ
λ
B
Los puntos A, B y C están
en fase entre sí.
C
Los puntos D y E se encuentran en oposición de
fase respecto a A, B y C.
λ/2
D
λ/2
λ/2
E
λ/2
Ejemplo: Una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje
de las X, tiene una amplitud de 20 cm, una longitud de onda de 40 cm y un periodo de
2 s. Sabiendo que en el instante inicial la elongación del punto x = 0 es 20 cm, determinar
la velocidad y la aceleración un punto de la onda situado en x = 1 m para t = 1 s.
2π
2π
 π rad/s; k 
 5π rad/m
ω
0,4
2
0,2 = 0,2·sen (π·0 -5π·0 + φo); sen φo= 1; φo = π/2 rad
v = 0,2·π·cos (π·1 - 5π·1 + π/2) = 0; a = - 0,2·π2·sen (π·1 - 5π·1 + π/2) = -1,97 m/s2
_____________________________________________________________________
6. Por una cuerda muy larga se propaga una onda armónica transversal.
a) Explicar la diferencia entre la velocidad de un punto de la cuerda y la velocidad
de la onda.
b) Si se duplica la frecuencia de dicha onda ¿Cómo variará la velocidad máxima de
los puntos de la cuerda? ¿Y la velocidad de la onda?
7. Una onda transversal se propaga por un medio elástico con una velocidad v, una
amplitud Ao y oscila con una frecuencia fo. Contestar razonadamente a las siguientes
cuestiones:
a) Determinar en qué proporción cambiarían la longitud de onda, la velocidad de
propagación, el periodo y la amplitud, si se actúa sobre el foco emisor de ondas
reduciendo a la mitad la frecuencia de oscilación.
b) Sin alterar su frecuencia fo, se modifica la amplitud de la onda haciendo que
aumente al doble. ¿En qué proporción cambiarían la velocidad de la onda, la
velocidad máxima de las partículas del medio y la longitud de onda?
8. Una onda armónica transversal se propaga por un medio elástico a lo largo del eje X
(sentido positivo) produciendo un desplazamiento en las partículas del medio a lo
largo del eje Y. La velocidad de propagación de la onda es de 30 m·s-1 siendo su
longitud de onda igual a 3 m. En el instante t = 0 s el desplazamiento inducido por la
onda en el origen de coordenadas es nulo, siendo la velocidad de vibración positiva.
Si el desplazamiento máximo inducido por la onda es igual a 0,2 cm:
a) Escribir la expresión matemática que describe la onda.
b) Determinar la máxima velocidad y aceleración de una partícula del medio.
Solución: a) y = 0,002. sen (20πt + 2π x); b) 0,126 m/s; 7,9 m/s2
3
58
9. Una onda armónica transversal de amplitud 8 cm y longitud de onda 140 cm se propaga en una cuerda tensa, orientada en el sentido positivo del eje X, con una velocidad de 70 cm/s. El punto de la cuerda de coordenada x = 0 (origen de la perturbación)
oscila en la dirección del eje Y y tiene en el instante t = 0 una elongación de 4 cm y
una velocidad de oscilación positiva. Determinar:
a) Los valores de la frecuencia angular y del número de onda.
b) La expresión matemática de la onda.
c) La expresión matemática del movimiento del punto situado a 70 cm del origen.
Solución: a) π rad/s;
5π 

10π
10π
π

rad/m; b) y=0,08sen  πt 
x   ; c) y=0,08sen  πt 
6 
7

7
6

10. Una onda armónica transversal de frecuencia angular 4π rad/s se propaga a lo largo
de una cuerda con una velocidad de 40 cm/s, en la dirección positiva del eje X. En
el instante inicial t = 0, en el extremo de la cuerda x = 0, su elongación es de 2,3 cm
y su velocidad de oscilación es de 27 cm/s. Determinar:
a) La expresión matemática que representa la onda.
b) El primer instante en el que la elongación es máxima en x = 0.
Solución: a) y = 0,0315·sen (4πt - 10πx + 0,82); b) 0,06 s
11. Una onda elástica transversal de amplitud 3 cm se propaga en la dirección X, sentido negativo, a una velocidad de 5 cm·s-1. La velocidad máxima de vibración es de
6,28 cm· s-1 y se sabe que, en el origen y en el instante t = 0, la elongación es
positiva y máxima. Determinar:
a) La expresión de la función de onda.
b) El tiempo mínimo requerido para que en el origen se vuelva a alcanzar la elongación positiva máxima.
Solución: y = 0,03 sen(2π/3 t + 40π/3 x + π/2); b) 3 s
12. Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda tensa. En un cierto instante se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos es de 1 m. Además, se comprueba que un punto de la cuerda pasa de una elongación máxima a
nula en 0,125 s y que la velocidad máxima de un punto de la cuerda es de
0,24π
m·s-1. Si la onda se desplaza en el sentido positivo del eje X, y en t = 0 la velocidad
del punto x = 0 es máxima y positiva, determinar:
a) La función de onda.
b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración transversal máxima de
cualquier punto de la cuerda.
Solución: a) y = 0,06 sen(4πt - 2πx + π/2); b) 2 m/s, 9,47 m/s2
Diferencia de fase
El término (ωt - kx + φo) recibe el nombre de fase de la onda (φ) e informa del estado de
vibración de cada punto de la onda en un instante determinado. Se mide en rad.
Para conocer la posición relativa de dos puntos en un instante determinado, se emplea
la diferencia de fase espacial:
 = (ωt – kx1 + φo)- (ωt – kx2 + φo)= k x1-x2 = k x 
Cuando dos puntos están en fase, la diferencia de fase es un múltiplo entero de 2π; si
están en oposición de fase, la diferencia de fase es un múltiplo impar de π.
Para conocer la posición relativa de un mismo punto en dos momentos distintos, se
emplea la diferencia de fase temporal:
 = (ωt1 – kx + φo)- (ωt2 – kx + φo)= ω t1-t2 = ω t 
59
Ejemplo: Una onda armónica que se propaga por un medio unidimensional tiene una
frecuencia 500 Hz y una velocidad de propagación de 350 m/s.
a) ¿Qué distancia mínima hay, en un cierto instante, entre dos puntos del medio que
oscilan con una diferencia de fase de 60°?
b) ¿Cuál es la diferencia de fase de oscilación, en un cierto punto, para un intervalo de
tiempo de 10-3 s?
2π
a) 350 = λ·500; λ = 0,7 m; k =
= 2,86π m-1
0,7
2π rad π
π
= rad ;
= 2,86π· x  x = 0,117 m
360º
3
3
b) ω = 2π·500 = 1000π rad/s;  =1000π·10-3 = π rad
60º
13. Una onda armónica cuya frecuencia es de 50 Hz, se propaga en la dirección positiva
del eje X. Sabiendo que la diferencia de fase, en un instante dado, para dos puntos
separados 20 cm es de π/2 radianes, determinar:
a) La velocidad de propagación de la onda
b) En un punto dado ¿qué diferencia de fase existe entre los desplazamientos que
tienen lugar en dos instantes separados por un intervalo de 0,01 s?
Solución: a) 40 m/s; b) π rad
14. Una onda transversal, que se propaga en el sentido positivo del eje X, tiene una
velocidad de propagación de 600 m·s-1 y una frecuencia de 500 Hz. Determinar:
a) La mínima separación entre dos puntos del eje X que tengan un desfase de 60º,
en el mismo instante.
b) El desfase entre dos elongaciones, en la misma coordenada x, separadas por un
intervalo de tiempo de dos milésimas de segundo.
Solución: a) 0,2 m; b) 2π rad
15. La función matemática que representa una onda transversal que avanza por una
cuerda es y = 0,3 sen (100πt - 0,4πx + φo), donde todas las magnitudes están expresadas en unidades del SI. Calcular:
a) La separación entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es de π/5 radianes.
b) La diferencia de fase entre dos vibraciones de un mismo punto del espacio separadas por un intervalo de tiempo de 5 ms.
Solución: a) 0,5 m; b) π/2 rad
16. Una onda armónica transversal se desplaza en la dirección del eje X en sentido
positivo y tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia
de 8 Hz. Determinar:
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) La fase inicial, sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongación es y = -2 cm.
c) La expresión matemática que representa la onda.
d) La distancia entre dos partículas del eje X que oscilan separadas π/3 rad.
Solución: a) 0,32 m/s; b) 3π/2 rad; d) 6,67·10-3 m
17. Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje
Y, según la expresión:
Y = 5 sen 
π
π
t+
3
4
 (y en cm; t en s)
originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del
eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase
de π rad están separados una distancia mínima de 30 cm, determinar:
60
a)
b)
c)
d)
La amplitud y la frecuencia de la onda armónica.
La longitud de la onda y la velocidad de propagación de la onda.
La expresión matemática que representa la onda armónica.
La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto
x = 80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s.
Solución: a) 0,05 m; 0,167 Hz; b) 0,6 m; 0,1 m/s; c) y = 0,05 sen 
d) v = 0,052 cos 
π
π
10π
tx+
3
3
4
;
29π
π
t); 0,037 m/s
3
12
18. Una onda armónica transversal, de periodo 2 s, se propaga con una velocidad de
60 cm/s en una cuerda tensa orientada según el eje X, y en sentido positivo. Sabiendo que el punto de la cuerda de abscisa x = 30 cm oscila en la dirección del eje
Y, de forma que en el instante t = 1 s la elongación es nula y la velocidad con la que
oscila positiva y en el instante t = 1,5 s su elongación es 5 cm y su velocidad de
oscilación nula, determinar:
a) La frecuencia y la longitud de onda.
b) La fase inicial y la amplitud de la onda armónica.
c) La expresión matemática de la onda armónica.
d) La diferencia de fase de oscilación de dos puntos de la cuerda separados un
cuarto de longitud de onda.
Solución: a) 0,5 Hz; 1,2 m; b)
3π
π
5π
3π 

x
rad; 0,05 m; c) y=0,05sen  πt 
rad
 ; d)
3
2 
2
2

3. Energía e intensidad de una onda
Toda onda transporta energía en la dirección y sentido en que avanza. Para una onda
armónica esta energía corresponde a un movimiento armónico simple, y viene dada por:
E = energía transportada por la onda (J)
1
2
K = constante elástica del medio (N/m)
E = KA
2
A= amplitud de la onda (m)
La constante elástica de un medio material está relacionada con la masa total de las
partículas que oscilan y la frecuencia angular:
m = masa de las partículas (kg)
ω = frecuencia angular (rad/s)
K = constante elástica del medio (N/m)
Ejemplo: Una partícula de 5 g de masa oscila con una frecuencia de 8 Hz y una amplitud
de 4 cm dando lugar a una onda. Calcular la energía transportada por la onda.
K = m ω2
K = m ω2 = 0,005·(2π·8)2 = 12,6 N/m
E=
1
2
K A2 =
1
2
12,6· 0,042 = 0,01 J
La intensidad de una onda en un punto representa la energía transmitida por unidad de
tiempo a través de la unidad de superficie, es decir, la potencia (P = E/t) transmitida por
unidad de superficie.
I
E P

t·S S
Para ondas tridimensionales o esféricas, S = 4πr2; por tanto:
P
I 
4πr 2
I = intensidad de la onda (W/m2)
P= potencia transmitida (W)
r = distancia del punto al foco emisor (m)
61
Si no hay rozamiento, la energía, y por tanto la potencia, de una onda se conservan. Sin
embargo, su intensidad disminuye al aumentar la distancia, ya que la potencia transmitida debe distribuirse en superficies esféricas cada vez mayores.
Ejemplo: Determinar cómo variará la intensidad de una onda si: a) la amplitud se duplica; b) la distancia al foco se duplica.
1
KA 12
P2
E2 / t
2
=
2 ; I2 =
2 =
t·4πr
4πr 2
4πr
P
E /t
a) I1 = 1 2 = 1 2 =
4πr
4πr
I1
I2
=
A1 2
A2
b) I1 =
I1
I2
=
2
=
A1 2
(2A1
)2
=
1
4
1
KA 2 2
2
t·4 πr 2
→ I2 = 4I1 (la intensidad se cuadruplicará)
P
P
2 ; I2 =
4πr1
4πr2 2
r2 2
r1 2
=
(2r1 )2
r1 2
= 4 → I2 = I1 /4 (la intensidad se dividirá por cuatro)
_____________________________________________________________________
19. Una partícula de 5 g de masa oscila dando lugar a una onda cuya ecuación es
y = 0,04 sen (3πt – 0,5πx). Calcular:
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) La energía transmitida por la onda.
Solución: a) 6 m/s; b) 0,222 J
20. La intensidad de una onda es de 10-3 W/m2 a 10 m de distancia del foco. Determinar:
a) La potencia de la onda.
b) La intensidad a 100 m de distancia del foco.
Solución: a) 1,256 W; b) 10-5 W
21. La intensidad de una onda en un punto es de 0,05 W/m2 y su amplitud es 20 cm.
Determinar:
a) La intensidad de la onda si la amplitud se redujera a 10 cm.
b) La amplitud de la onda si la intensidad aumentará hasta 0,8 W/m2.
Solución: a) 0,0125 W/m2; b) 0,8 m
_____________________________________________________________________
4. Fenómenos ondulatorios: Reflexión, refracción, difracción e interferencias
La propagación de las ondas bidimensionales o tridimensionales puede explicarse mediante el principio de Huygens (1678), según el cual, "todo punto de un frente de onda,
es centro emisor de nuevas ondas elementales cuya envolvente es el nuevo frente de
onda".
Los puntos A, B, C y D forman parte de un
A’
frente de onda (circunferencia o superficie
esférica que contiene puntos que están en
A
fase entre sí y con el foco emisor) y describen
un M.A.S., con lo que se convierten en centros emisores de nuevas ondas secundarias.
B’
B
O
C
C'
Al cabo de un tiempo, todas estas ondas habrán recorrido una misma distancia, alcanzando los puntos A', B', C' y D' respectivamente, que estarán en fase entre sí formando
D
un nuevo frente de onda.
La formación sucesiva de frentes de onda
hace posible la propagación de las ondas.
D'
62
Las ondas bidimensionales dan lugar frentes de onda circulares, mientras que las tridimensionales forman frentes de onda esféricos. En puntos muy alejados del foco emisor,
el frente de ondas de una onda tridimensional puede considerarse plano.
Al estudiar los fenómenos relacionados con la propagación de las ondas, los frentes de
onda se suelen representar mediante líneas perpendiculares a dichos frentes que indican la dirección de propagación de la onda y que reciben el nombre de rayos.
Frente de ondas circular o esférico
Frente de ondas plano
rayos
rayos
El principio de Huygens permite explicar los fenómenos de reflexión, refracción y difracción de las ondas.
- Reflexión: Es el cambio en la dirección y el sentido de propagación que experimenta
una onda al alcanzar la superficie de separación entre dos medios, siendo devuelta al
primer medio.
Al no variar la velocidad de propagación, los puntos de la superficie de separación
alcanzados por el frente de ondas se convierten en focos emisores de nuevas ondas,
de forma que los rayos reflejados forman el mismo ángulo que los rayos incidentes
respecto a la recta normal a dicha superficie.
Leyes de la reflexión
rayo incidente
normal
rayo reflejado
1ª. El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal están en el
mismo plano.
superficie
de separación
2ª. El ángulo de incidencia ( î ) es
igual al ángulo de reflexión ( r̂ ).
- Refracción: Es el cambio en la dirección de propagación que
experimenta una onda al traspasar la superficie de separación
entre dos medios, y transmitirse en el segundo medio con distinta velocidad de propagación.
Al variar la velocidad de propagación, los puntos de la superficie de separación que
son alcanzados por el frente de onda comienzan a emitir nuevas ondas por el segundo
medio que se retrasan o adelantan respecto las ondas incidentes, produciéndose un
cambio en la dirección de los rayos.
Leyes de la refracción
normal
rayo incidente
1ª. El rayo incidente, el rayo reflejado y
la normal están en el mismo plano.
2ª. El cociente entre los senos de los ánsuperficie
gulos de incidencia ( î ) y refracción (
de separación
r̂ ) es igual al cociente de las velocidades de propagación de la luz en
ambos medios (ley de Snell).
rayo refractado
63
sen î v 1

sen r̂ v 2
- Difracción: es el fenómeno que se produce cuando un obstáculo impide el avance de
una parte del frente de onda. Los puntos del frente de onda que no están tapados por
el obstáculo, se convierten en focos emisores de nuevas ondas, permitiendo que la
onda bordee el obstáculo y se propague detrás del mismo.
Interferencias
Una interferencia es el fenómeno que se produce cuando dos ondas se superponen en
un mismo punto.
Si dos ondas iguales interfieren en fase, tiene lugar una interferencia constructiva y la
amplitud de la onda resultante es el doble de la amplitud de dichas ondas. Para ello es
necesario que la diferencia entre las distancias recorridas por ambas ondas sea un múltiplo entero de la longitud de onda (Δx =nλ → A’ = 2A).
Si dos ondas iguales interfieren en oposición de fase, tiene lugar una interferencia destructiva y en dicho punto las ondas se anulan mutuamente. Para ello es necesario que
la diferencia entre las distancias recorridas por ambas ondas sea un número impar de
semilongitudes de onda (Δx =(2n-1)λ/2 → A’ = 0).
Si se produce la difracción de una onda a través de una doble rendija, al interferir las
ondas que se generan al otro lado del obstáculo se origina una sucesión de zonas de
interferencia constructiva y destructiva que puede recogerse en una pantalla y recibe el
nombre de figura de difracción, permitiendo identificar un fenómeno ondulatorio. Por
ejemplo, cuando un haz de electrones atraviesa una doble rendija se obtiene una figura
de difracción que demuestra que, en determinadas circunstancias, los electrones pueden comportarse como ondas.
Ejemplo: Dos ondas iguales cuya ecuación es y = 0,04 sen (3πt – 4πx) inciden sobre
un punto situado a 25 cm del foco emisor de la primera onda. Determinar a qué distancia
mínima debe situarse foco emisor de la segunda onda para que se produzca:
a) interferencia constructiva; b) interferencia destructiva.
2π
k = λ = 4π rad/m → λ = 0,5 m
Interferencia constructiva: x2 – x1 = n λ; para n = 1: x2 – 0,25 = 0,5 → x2 = 0,75 m
λ
Interferencia destructiva: x2 – x1 = (2n-1) 2; para n = 1: x2 – 0,25 = 0,25 → x2 = 0,5 m
_____________________________________________________________________
22. Una superficie plana separa dos medios en los que las velocidades de propagación
de una onda son v1 y v2. La onda incide desde el medio de velocidad v1, experimentando reflexión y refracción. Razonar si son verdaderas o falsas las afirmaciones
siguientes:
a) El ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de reflexión.
b) Los ángulos de incidencia y de refracción son siempre iguales.
c) El rayo incidente, el reflejado y el refractado están en el mismo plano.
d) Si v1 < v2 el ángulo de refracción es menor que el ángulo de incidencia.
64
23. Dos ondas iguales cuya ecuación es y = 0,04 sen (3πt –πx) inciden sobre un punto.
Determinar la amplitud de la onda resultante si:
a) Las distancias del punto a los focos emisores son 3 m y 9 m respectivamente.
b) Las distancias del punto a los focos emisores son 2 m y 5 m respectivamente.
_____________________________________________________________________
5. Ondas sonoras
El sonido es una onda que se produce por la vibración de un objeto y se propaga por
sucesivas compresiones y descompresiones de un medio material elástico. Las ondas
sonoras son ondas mecánicas, longitudinales y esféricas.
El oído humano sólo puede percibir sonidos con frecuencias comprendidas entre 20 y
20000 Hz. Los sonidos cuya frecuencia es inferior a 20 Hz reciben el nombre de infrasonidos; cuando la frecuencia es superior a 20000 Hz se llaman ultrasonidos.
La velocidad del sonido depende de las características del medio y, en general en los
sólidos es mayor que en los líquidos y en éstos mayor que en los gases. La velocidad
del sonido en el aire a 20º C es de 340 m/s.
La reflexión de un sonido o eco se puede percibir siempre que el obstáculo con el que
choca se encuentre a más de 17 m de distancia, ya que el oído humano sólo distingue
sonidos separados más de 0,1 s, y en ese tiempo el sonido recorre 34 m (17 m de ida y
17 de vuelta). A menor distancia se percibe una ligera permanencia del sonido denominada reverberación. La reflexión del sonido tiene importantes aplicaciones como:
- Ecografías: permiten la visualización del feto y de distintos órganos vitales mediante
ultrasonidos que penetran a través de los tejidos sin exponerlos a radiaciones electromagnéticas de elevada energía, como los rayos X. Las ondas reflejadas se registran
en un monitor que forma una imagen del feto u órgano observado.
- Sonar: Los barcos suelen llevar un dispositivo que utiliza la técnica SONAR (Sound
Navigation and Ranging) para detectar la distancia al fondo marino, a un banco de
peces… mediante la reflexión de ultrasonidos.
El sonido presenta tres cualidades que permite distinguir unos sonidos de otros:
- Intensidad: permite distinguir un sonido fuerte de uno débil. Como ya se ha visto,
matemáticamente representa la energía transmitida por unidad de tiempo (potencia)
a través de la unidad de superficie.
I =
I = intensidad de la onda (W/m2)
P= potencia transmitida (W)
r = distancia del punto al foco emisor (m)
P
4πr 2
El umbral de audición para el oído humano (Io) se establece en 10-12 W/m2.
La sensación sonora que se percibe está relacionada con el nivel de intensidad sonora, que utiliza una escala logarítmica en la que se asigna el nivel de 0 dB (decibelios)
al umbral de audición.
β = 10 log
I
Io
β = nivel de intensidad sonora
Unidad: decibelios (dB)
Por ejemplo, una conversación normal tiene un nivel de intensidad en torno a 50 dB,
mientras que una discoteca puede superar los 100 dB. Los sonidos de más de 120 dB
causan dolor en el oído, por lo que este valor se conoce como umbral de dolor. Por
encima de 140 dB se puede romper el tímpano y producirse sordera permanente. La
OMS (Organización Mundial de la Salud) establece 70 dB como el valor máximo de ruido
ambiental admisible de forma prolongada; por encima de este nivel de intensidad se
65
produce un empeoramiento significativo de la calidad de vida y se considera contaminación acústica.
Ejemplo: Una fuente sonora emite un sonido de 10-3 W de potencia. Determinar el nivel
de intensidad sonora a 50 m de distancia.
_
10 3
P
I= =
=
= 3,18·10-8 W/m2
4π·50 2
4πr 2
3,18·10 8
I
=10 log
= 45 dB
Io
10 12
β = 10 log
Ejemplo: Una fuente sonora emite un sonido de 10-3 W de potencia. ¿A qué distancia
el nivel de intensidad sonora será de 20 dB?
I
20 = 10 log 12 ; 2 = log I + 12; log I = -10; I = 10-10 W/m2
10
_
-10
10
10 3
=
 r = 892 m
4π·r 2
Ejemplo: La diferencia entre los niveles intensidad de dos sonidos es de 40 dB. Determinar la relación entre sus intensidades.
I1 – I2 = 10 log
I1
Io
- 10 log
I2
Io
= 40; 4 = log
I1
Io
- log
I2
Io
= log
I1
I2
→
I1
I2
= 104
- Tono: es la cualidad que permite distinguir un sonido grave de uno agudo. Depende
de la frecuencia del sonido, cuanto mayor es la frecuencia, más agudo es el sonido.
I
Sonido grave
I
t
Sonido agudo
t
- Timbre: es la cualidad que permite distinguir dos sonidos de la misma intensidad y
tono producidos por dos fuentes sonoras distintas. Depende de la forma de la onda,
ya que la mayoría de los sonidos no son puros, formados por una onda sinusoidal,
sino que son la consecuencia de la superposición de varias ondas sinusoidales, dando
lugar a una onda más compleja cuya forma es característica de cada foco emisor.
Sonido puro
Sonido compuesto
66
24. La potencia sonora del ladrido de un perro es aproximadamente 1 mW y dicha potencia se distribuye uniformemente en todas las direcciones. Calcular:
a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora a una distancia de 10 m del lugar
donde se produce el ladrido.
b) El nivel de intensidad sonora generada por el ladrido de 5 perros a 20 m de
distancia de los mismos. Suponer que todos los perros emiten sus ladridos en el
mismo punto del espacio.
Dato: Io
Solucion: a) 7,96·10-7 W/m2; 59 dB; b) 60 dB
25. El nivel de intensidad sonora producido por un foco emisor puntual es de 60 dB a
10 m de distancia. Determinar:
a) El nivel de intensidad sonora a 1 km de distancia.
b) La distancia a la que el sonido deja de ser audible.
Dato: Io
Solución: a) 20 dB; b) 104 m
26. Un espectador que se encuentra a 20 m de un coro formado por 15 personas percibe
el sonido con un nivel de intensidad sonora de 54 dB.
a) Calcular el nivel de intensidad sonora con que percibiría a un solo miembro del
coro cantando a la misma distancia.
b) Si el espectador sólo percibe sonidos por encima de 10 dB, calcular la distancia
a la que debe situarse del coro para no percibir a éste.
Suponer que el coro emite ondas esféricas, como un foco puntual y todos los miembros del coro emiten con la misma intensidad.
Dato: Io
Solución: a) 42,2 dB; b) 3165 m
27. Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de
un foco sonoro puntual, siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco y la
segunda de 80 dB al alejarse en la misma dirección 100 m más.
a) Obtener las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones.
b) Determinar la potencia sonora del foco.
Dato: Io
Solución: a) 11,1 m; 111,1 m; b) 15,5 W
28. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) La intensidad de la onda sonora emitida por una fuente puntual es directamente
proporcional a la distancia a la fuente.
b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumento de la intensidad del
sonido en un factor 1000.
29. En un punto situado a igual distancia entre dos fábricas, que emiten como focos
puntuales, se percibe un nivel de intensidad sonora de 40 dB proveniente de la primera y de 60 dB de la segunda. Determinar:
a) El valor del cociente entre las potencias de emisión de ambas fábricas.
b) La distancia a la que habría que situarse respecto de la primera fábrica para que
su nivel de intensidad sonora fuese de 60 dB. Suponer en este caso que solo
existe esta primera fábrica y que el nivel de intensidad sonora de 40 dB se percibe
a una distancia de 100 m.
Solución: a) 100; b) 10 m
67
30. Un altavoz emite sonido como un foco puntual. A una distancia d, el sonido se percibe con un nivel de intensidad sonora de 30 dB. Determinar:
a) El factor en el que debe incrementarse la distancia al altavoz para que el sonido
se perciba con un nivel de intensidad sonora de 20 dB.
b) El factor en el que debe incrementarse la potencia del altavoz para que a la distancia d el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 70 dB.
Solución: a) 3,16; b) 10000
_____________________________________________________________________
Efecto Doppler
El efecto Doppler es el cambio de frecuencia que experimenta un sonido cuando el foco
emisor se desplaza respecto al observador. Se debe a la variación que se produce en
la velocidad relativa de las ondas sonoras, de forma que, si el foco se acerca al observador, dicha velocidad aumenta y, al ser directamente proporcional a la frecuencia, la
frecuencia también aumenta y el sonido se vuelve más agudo. Del mismo modo, si el
foco se aleja del observador, la velocidad disminuye y la frecuencia también, con lo que
el sonido se vuelve más grave.
La frecuencia percibida por el observador viene dada por:
f’ = frecuencia percibida por el observador (Hz)
f = frecuencia emitida (Hz)
v  vo
v = velocidad del sonido (m/s) = 340 m/s (en el aire a 20 ºC)
f’ = f·
v  vf
vo = velocidad del observador (m/s)
vf = velocidad del foco emisor (m/s)
Hay que tener en cuenta el siguiente criterio de signos:
- Si el foco se acerca al observador, la frecuencia aumenta; por tanto, el numerador
aumenta (signo +) y el denominador disminuye (signo -).
- Si el foco se aleja del observador, la frecuencia disminuye; por tanto, el numerador
disminuye (signo -) y el denominador aumenta (signo +).
Ejemplo: Una ambulancia que circula a 90 km/h emite un sonido de 300 Hz de frecuencia. Calcular la frecuencia percibida por los ocupantes de un coche que circula a 54 km/h
cuando: a) la ambulancia se acerca; b) la ambulancia se aleja.
a) Cuando la ambulancia se acerca, la frecuencia aumenta. Por tanto: f’ = f·
f’ = 300·
340 + 15
340 - 25
f’ = 300·
340 + 25
v - vf
= 338 Hz
b) Cuando la ambulancia se acerca, la frecuencia aumenta. Por tanto: f’ = f·
340 - 15
v + vo
v - vo
v + vf
= 267 Hz
El efecto Doppler tiene importantes aplicaciones tecnológicas.
- El sonar de los barcos permite, por efecto Doppler, determinar la velocidad a la que
se desplaza un objeto sumergido.
- Los radares utilizados en tráfico emiten ondas que se reflejan en los vehículos y permiten medir la velocidad de estos.
- En el estudio del universo, la velocidad de acercamiento o alejamiento de las estrellas
puede determinarse midiendo la alteración de la frecuencia de la luz que emiten.
También permite detectar la presencia de exoplanetas por el ligero movimiento periódico que producen en su estrella.
68
31. El sonar de un barco pesquero que se encuentra en reposo emite ondas sonoras de
30 KHz de frecuencia que son reflejadas por un banco de peces que se aleja del
barco a 10 m/s. Sabiendo que la señal emitida tarda 0,5 s en regresar y que la
velocidad del sonido en el agua de mar es de 1400 m/s. Determinar:
a) La profundidad a la que se encuentra el banco de peces.
b) La frecuencia de la señal recibida.
Solución: a) 350 m; b) 29787 Hz
32. El sonido del motor de un coche se percibe con una frecuencia de 500 Hz cuando
el coche se acerca y de 400 Hz cuando se aleja.
a) Determinar la velocidad del coche en km/h.
b) La frecuencia del sonido emitido.
Dato: vsonido = 340 m/s
Solución: a) 136 km/h; b) 426,7 Hz
_____________________________________________________________________
6. Ondas electromagnéticas
Las ondas electromagnéticas consisten en la propagación de un campo eléctrico y un
campo magnético que varían periódicamente y son perpendiculares entre sí.
Toda carga acelerada emite energía en forma de ondas electromagnéticas. La carga
produce un campo eléctrico variable que da lugar a su vez a un campo magnético cuyas
oscilaciones provocan continuos cambios en el campo eléctrico, generándose dos ondas perpendiculares que propagan la energía de ambos campos a través del espacio.
Con un generador, un condensador y una bobina pueden fabricarse un circuito oscilante que genera ondas electromagnéticas.
1º. Al conectar el generador al condensador, la corriente
circula hasta que las placas del condensador se cargan
y se crea un campo eléctrico entre ellas.
+
-
2º. Al cambiar la posición del conmutador, el condensador
se va descargando con una corriente que va disminuyendo y genera un campo magnético variable. Para
compensar la disminución de flujo, la bobina genera una
fuerza electromotriz que vuelve a cargar el condensador,
pero invirtiendo el signo de las cargas en sus placas.
3º. El condensador vuelve a descargarse con una corriente
en sentido inverso, iniciándose de nuevo el proceso.
+
Si se separan las láminas del condensador, la energía se
irradiará al exterior en forma de ondas electromagnéticas.
Las principales características de las ondas electromagnéticas son:
- Son ondas transversales, ya que la dirección de propagación es perpendicular a la
oscilación de ambos campos.
- No son ondas mecánicas, ya que no precisan de un medio material para propagarse.
69
- En el vacío todas las ondas electromagnéticas se propagan a la misma velocidad, c,
que viene determinada por la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética del
vacío:
c=
1
√εo μo
= 3·108 m/s
- En los medios materiales la velocidad de las ondas electromagnéticas disminuye,
disminuyendo también su longitud de onda, mientras que su frecuencia permanece
constante (v = λ’ ·f < 3·108 m/s). Se llama índice de refracción de un medio al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (c) y la velocidad de ésta en dicho
medio.
n = índice de refracción del medio
c = velocidad de la luz en el vacío  3·108 m/s
v = velocidad de la luz en el medio (m/s)
La secuencia de todas las ondas electromagnéticas ordenadas según su frecuencia recibe el nombre de espectro electromagnético:
Tipo de onda
Frecuencia
Origen
Aplicaciones
Ondas
de radio
f  1010 Hz
Dispositivos electrónicos
y objetos astronómicos
Radiodifusión (radio y
televisión)
Microondas
1010 Hz  f  1012 Hz
Vibraciones de moléculas
Radares,
hornos eléctricos…
Infrarrojo
1012 Hz  f  1014 Hz
Vibraciones de átomos en
cuerpos calientes
Fotografía infrarroja,
cocina vitrocerámica…
Luz visible
1014 Hz  f  1015 Hz
Saltos electrónicos en
átomos y moléculas
Iluminación,
fibra óptica…
Ultravioleta
1015 Hz  f  1017 Hz
Saltos electrónicos en
átomos y moléculas
Esterilización,
bronceado…
Rayos X
1017 Hz  f  1019 Hz
Oscilación de electrones
próximos al núcleo
Radiografías,
cristalografía…
Rayos gamma
f >1019 Hz
Desintegraciones
nucleares
Radioterapia,
diagnóstico médico…
Las radiaciones electromagnéticas, desde un punto de vista corpuscular (física cuántica), pueden considerarse formadas por partículas denominadas fotones, siendo la
energía de cada fotón directamente proporcional a su frecuencia. La energía total de
una radiación electromagnética es igual al número de fotones de la radiación multiplicado por la energía de sus fotones.
Efotón = energía de un fotón (J)
h = constante de Planck = 6,63·10-34 J·s
Eradiación = n·h·f
Efotón = h·f → →
f = frecuencia de la onda luminosa (Hz)
n = número de fotones
Los rayos gamma, los rayos X y las radiaciones ultravioleta de alta frecuencia son radiaciones ionizantes, ya que la energía de sus fotones es suficiente para arrancar
electrones de los átomos produciendo su ionización, por lo causan graves daños en la
salud (quemaduras, cáncer…) pudiendo llegar a provocar la muerte dependiendo de la
frecuencia de la radiación y el tiempo de exposición.
El color de la luz visible depende de la frecuencia y la longitud de onda de la radiación
correspondiente (frojo < fnaranja < famarillo < fverde < fazul < fañil < fvioleta). El color que observamos
en un objeto que no tiene luz propia corresponde a la superposición de las radiaciones
70
que refleja. Si un objeto refleja todas las radiaciones visibles se ve de color blanco,
mientras que si absorbe todas las radiaciones se ve de color negro.
Las ondas electromagnéticas vibran habitualmente en todas las posibles direcciones
perpendiculares a la dirección de propagación. Se dice que una onda electromagnética
está polarizada cuando el campo eléctrico solo vibra en un plano perpendicular a la
dirección de propagación denominado plano de polarización.
La polarización de la luz se realiza mediante filtros que
fuerzan a las ondas a vibrar en un solo plano definido por la
vibración del campo eléctrico. Los polarizadores permiten
disminuir la intensidad de la luz y eliminar reflejos; se utilizan
en gafas de sol, parabrisas y diversos instrumentos ópticos.
También se emplean en análisis químico para la separación
de isómeros ópticos.
_____________________________________________________________________
33. Discutir la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) Un fotón de luz roja tiene mayor longitud de onda que un fotón de luz azul.
b) Un fotón de luz amarilla tiene mayor frecuencia que un fotón de luz azul.
c) Un fotón de luz verde tiene menor velocidad de propagación en el vacío que un
fotón de luz amarilla.
d) Un fotón de luz naranja es más energético que un fotón de luz roja.
34. Una fuente luminosa emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío
λ = 6·10-7 m (luz roja) que se propaga en el agua de índice de refracción n = 1,34.
Determinar:
a) La velocidad de propagación de la luz en el agua.
b) La frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua.
Dato: c
Solución: a) 2,24·108 m/s; b) 5·1014 Hz; 4,48·10-7 m
35. Un electrón de un átomo salta de un nivel de energía de 5 eV a otro inferior de 3 eV,
emitiéndose un fotón en el proceso. Calcular la frecuencia y la longitud de onda de
la radiación emitida, si ésta se propaga en el agua.
Datos: h, c, e, nagua = 1,33.
Solución: 4,83·1014 Hz; 4,67·10-7 m
71
TEMA 5: ÓPTICA GEOMÉTRICA
1. Reflexión y refracción de la luz
La óptica es la parte de la física que estudia los fenómenos característicos de las ondas
luminosas. La óptica geométrica es la parte de la óptica que se ocupa, a partir de representaciones geométricas, de los cambios de dirección que experimentan los rayos luminosos en la reflexión y la refracción.
Al igual que el resto de las ondas, cuando un rayo de luz incide en la superficie de
separación entre dos medios, se producen dos fenómenos:
- Reflexión: es el fenómeno por el cual el rayo luminoso es devuelto el primer medio,
cambiando su dirección de propagación.
- Refracción: es el fenómeno por el cual el rayo luminoso pasa a propagarse en el
segundo medio, cambiando su dirección de propagación debido a la diferencia entre
la velocidad de propagación de la luz en ambos medios.
rayo incidente
rayo reflejado
rayo refractado
En el caso de la luz, la ley de Snell suele expresarse en función de los índices de refracción de ambos medios:
sen î v 1 c n1 n 2



sen r̂ v 2 c n 2 n1
sen î n 2

sen r̂ n1
n1 = índice de refracción del primer medio =
c
v1
n2 = índice de refracción del segundo medio =
Ejemplo: Un rayo de luz monocromática incide desde el aire sobre el agua (n = 1,33)
con un ángulo de incidencia de 30º. Calcular el ángulo de refracción.
sen 30 1,33

1
sen r̂
sen r̂ = 0,375;
r̂ = 22º
Si el rayo de luz atraviesa una lámina de caras planas y paralelas, experimenta una
doble refracción.
Ejemplo: Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas de índice de refracción
1,5, situada en el vacío, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de 30°
normal a la cara. Calcular el ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la
lámina.
sen 30 1,5
=
 r̂1 = 19,5º = î2
1
sen r̂1

1
sen 19,5
=
 r2 = 30º
1,5
sen r2
72
c
v2
1. Un rayo de luz monocromática cuya longitud de onda en el vacío es 656,3 nm incide
desde el aire sobre un líquido de índice de refracción n =1,42 con un ángulo de
incidencia de 30º.
a) Determinar velocidad de propagación, longitud de onda y frecuencia de dicho
rayo en el líquido.
b) Dibujar un esquema de los rayos incidente, reflejado y refractado y calcular el
ángulo de refracción.
Dato: c
Solución: a) 2,11·108 m/s; 4,62·10-7 m; 4,57·1014 Hz; b) 20,6 º
2. Considérese un haz de luz monocromática, cuya longitud de onda en el vacío es
λo = 600 nm. Este haz incide, desde el aire, sobre la pared plana de vidrio de un
acuario con un ángulo de incidencia de 30º. Determinar:
a) El ángulo de refracción en el vidrio, sabiendo que su índice de refracción es
n1 = 1,5.
b) La longitud de onda de dicho haz en el agua, sabiendo que su índice de refracción es n2 = 1,33.
Solución: a) 19,5º; b) 451 nm
3. Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas de 3 cm de espesor y situada
en el aire incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de incidencia de 35º.
2
Sabiendo que la velocidad de propagación del rayo en la lámina es 3 c:
a) Determinar el índice de refracción de la lámina.
b) Comprobar que el rayo emergerá de la lámina y determinar el ángulo de emergencia.
Solución: a) 1,5; b) 35º
4. Se tienen tres medios transparentes de índices de refracción n1, n2 y n3 separados
entre sí por superficies planas y paralelas. Un rayo de luz de frecuencia 6·1014 Hz
incide desde el primer medio (n1 = 1,5) sobre el segundo formando un ángulo de 30º
con la normal.
a) Sabiendo que el ángulo de refracción en el segundo medio es 23,5, ¿cuál será
la longitud de onda de la luz en este segundo medio?
b) Si el índice de refracción del tercer medio es n3 = 1,3 ¿cuál será el ángulo de
emergencia del rayo?
Dato: c
Solución: a) 2,66·10-7 m; b) 35,6º
5. Una lámina de vidrio (índice de refracción n = 1,52) de caras planas y paralelas y se
encuentra entre el aire y el agua. Un rayo de luz monocromática de frecuencia 5·1014
Hz incide desde el agua en la lámina. Determinar:
a) Las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio.
b) El ángulo de incidencia en la primera cara de la lámina a partir del cual se produce reflexión total interna en la segunda cara.
Datos: c; índice de refracción de agua nagua = 1,33
Solución: a) 4,5·10-7 m; 3,95·10-7 m; b) 48,75º
Reflexión total
Cuando el índice de refracción del primer medio es mayor que el del segundo (n1n2),
el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia (sen r̂  sen î ; r̂  î ); en este caso,
existe un ángulo de incidencia llamado ángulo límite ( L̂ ) para el cual el ángulo de refracción vale 90º. Para ángulos de incidencia mayores que el ángulo límite no se produce refracción y aparece el fenómeno de reflexión total.
73
sen
=
= arcsen
Ejemplo: Un rayo de luz monocromática pasa al aire desde un líquido de índice de
refracción n =1,43. Determinar el ángulo límite.
sen L̂
1

→ sen L̂ = 0,7 → L̂ = 44,4º
sen 90 1,43
La reflexión total permite la transmisión de la luz sin pérdidas de energía, ya que, a
diferencia de lo que ocurre en la reflexión ordinaria, el rayo reflejado tiene la misma
intensidad que el rayo incidente. Por ello, en muchos instrumentos ópticos se emplean
prismas de reflexión total en vez de espejos. Del mismo modo, la fibra óptica, que
consiste en un hilo muy fino de material transparente, se utiliza como medio de transmisión en telecomunicaciones gracias a que la señal se transforma en un haz de luz se
propaga por el interior de la fibra con un ángulo de reflexión por encima del ángulo límite.
Ejemplo: Se tiene un prisma óptico de índice de refracción 1,5 inmerso en el aire. La
sección del prisma es un triángulo rectángulo isósceles y un rayo luminoso incide perpendicularmente sobre la cara vertical como muestra la figura. ¿Cuál será la dirección
del rayo emergente?
En la cara vertical, el ángulo de incidencia es 0º, por lo que el
rayo no se desvía. En la cara diagonal:
sen 45
1
=
→ sen r > 1 → Se produce reflexión total
1
,5
sen r
El rayo se refleja con un ángulo de 45º. En la cara horizontal,
el ángulo de incidencia es 0º, por lo que el rayo no se desvía
y emerge verticalmente.
6. Un rayo de luz pasa de un medio de índice de refracción n1 a otro de índice de
refracción n2. Determinar:
a) La relación entre n1 y n2 para que el ángulo de refracción sea menor que el de
incidencia.
b) La relación entre n1 y n2 para que pueda darse reflexión total.
7. Un buceador enciende una linterna debajo del agua (índice de refracción 1,33) y
dirige el haz luminoso hacia arriba formando un ángulo de 40º con la vertical.
a) ¿Con qué ángulo emergerá la luz del agua?
b) ¿Cuál es el ángulo de incidencia a partir del cual la luz no saldrá del agua?
Efectuar esquemas gráficos en la explicación de ambos apartados.
Solución: a) 58,7º; b) 48,8º
8. Un haz de luz de frecuencia f = 1015 Hz incide desde cada uno de los materiales de
la tabla sobre la superficie de separación de éstos con el aire, con un ángulo de
incidencia de 20º, produciéndose reflexión y refracción.
74
Material
Índice de refracción
Diamante
2,42
Cuarzo
1,46
Agua
1,33
a) ¿Depende el ángulo de reflexión del material? Justificar la respuesta.
b) ¿En qué material la velocidad de propagación de la luz es menor? Determinar
en este caso el ángulo de refracción.
c) ¿En qué material la longitud de onda del haz de luz es mayor? Determinar en
este caso el ángulo de refracción.
d) Si el ángulo de incidencia es de 30º, ¿se producirá el fenómeno de reflexión total
en alguno(s) de los materiales?
Solución: b) 55,9º; c) 27,1º
9. Un rayo de luz roja que se propaga en el aire tiene una longitud de onda de 650 nm.
Al incidir sobre la superficie de separación de un medio transparente y penetrar en
él, la longitud de onda del rayo pasa a ser de 500 nm.
a) Calcular la frecuencia de la luz roja.
b) Calcular el índice de refracción del medio transparente para la luz roja.
c) Si el rayo incide desde el aire con un ángulo de 30º respecto a la normal, ¿cuál
será el ángulo de refracción en el medio transparente?
d) Si el rayo se propagara por el medio transparente en dirección hacia el aire,
¿cuál sería el ángulo de incidencia a partir del cual no se produce refracción?
Dato: c
Solución: a) 4,62·1014 Hz; b) 1,3; c) 22,6º; d) 50,3º
10. Un vidrio de índice de refracción n = 1,5 tiene depositada encima una capa de aceite
82
cuyo índice de refracción varía con la longitud de onda según n = 1,3 + λ (con λ
medida en nm). Al hacer incidir un haz de luz procedente del vidrio sobre la interfase
vidrio-aceite, se observa que el ángulo crítico para la reflexión total es de 75º.
a) ¿Cuánto vale la longitud de onda de dicha luz?
b) ¿Cuál sería el máximo valor de λ para que ocurra la reflexión total si el haz de luz
procede del aceite?
11. Una superficie plana separa dos medios transparentes de índices de refracción
n1 = 2 y n2 = 1,4 respectivamente. Un rayo luminoso incide desde el medio de índice
de refracción n1 = 2 sobre la superficie de separación de los dos medios observándose que el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares entre sí. Calcular:
a) Los valores de los ángulos de incidencia y de refracción.
b) Entre qué valores tiene que estar comprendido el ángulo de incidencia para que
se produzca rayo refractado.
Solución: a) 35º; 55º; b) i  44,4º
12. Un rayo de luz incide desde un medio A de índice de refracción nA a otro B de índice
de refracción nB. Los índices de refracción de ambos medios cumplen la relación
nA + nB = 3. Cuando el ángulo de incidencia desde el medio A hacia el medio B es
superior o igual a 49,88º tiene lugar reflexión total.
a) Calcular los valores de los índices de refracción nA y nB.
b) Razonar en cuál de los dos medios la luz se propaga a mayor velocidad.
Solución: a) 1,7; 1,3
75
13. Un rayo de luz de longitud de onda en el vacío λo = 650 nm incide desde el aire sobre
el extremo de una fibra óptica formando un ángulo  con el eje de la fibra (ver figura),
siendo el índice de refracción n1 dentro de la fibra 1,48.
a) ¿Cuál es la longitud de onda de la
n2
luz dentro de la fibra?
b) La fibra está revestida de un mateP
rial de índice de refracción n2 =
n1
1,44. ¿Cuál es el valor máximo del
ángulo θ para que se produzca re- θ
flexión total interna en P?
Solución: a) 439 nm; b) 20º
14. Se tiene un prisma rectangular de vidrio de índice de refracción 1,48. Del centro de
su cara A se emite un rayo que forma un ángulo α con el eje vertical del prisma,
como muestra la figura. La anchura del prisma es 20 cm y la altura 30 cm.
a) Si el medio exterior es aire, ¿cuál es el máximo valor de α para que el rayo no salga por la cara B? Justificar la respuesta.
b) Si el medio exterior es agua, ¿cuál es el máximo
valor de α para que el rayo no salga por la cara B?
Para este valor de α, ¿cuál es el ángulo con el que
emerge de la cara C?
Dato: nagua = 1,33
Solución: a) 47,5º; b) 26 º; 29,2º
2. Formación de imágenes en espejos
Un espejo es una superficie lisa y pulimentada capaz de reflejar los rayos luminosos.
Dependiendo de su forma, pueden ser planos o esféricos.
Espejos planos
Para construir la imagen de un objeto en un espejo se suele representar el objeto mediante una flecha situada a la izquierda del espejo sobre una línea perpendicular a este
denominada eje óptico (normal). El punto de corte entre el espejo y el eje óptico recibe
el nombre de centro óptico o vértice del espejo, y se toma como origen de coordenadas para medir las posiciones de objeto e imagen. Los rayos incidentes se trazan partiendo del extremo superior del objeto. La imagen se forma en el punto de corte de los
rayos reflejados o de sus prolongaciones.
s'
s
objeto
y
O
- Si el rayo incidente es paralelo al eje óptico
(î = 0º), el rayo reflejado no se desvía.
imagen
- Si el rayo incidente forma un ángulo ̂i con el
y'
eje, el rayo reflejado forma el mismo ángulo.
eje óptico
espejo
Por semejanza de triángulos, se puede deducir que:
y = tamaño del objeto
y = y’
y’ = tamaño de la imagen
s = posición del objeto
s = -s’
s’ = posición de la imagen
La imagen formada por un espejo plano es siempre derecha, del mismo tamaño que el
objeto y virtual (se forma a partir de las prolongaciones de los rayos reflejados, pero no
tiene existencia real, por lo que no puede proyectarse sobre una pantalla).
76
15. Un objeto luminoso en posición vertical se sitúa
delante de un espejo plano que forma un ángulo
de 45º con la horizontal como indica la figura.
Efectuar, mediante un diagrama de rayos, la
construcción geométrica de la imagen.
_____________________________________________________________________
Espejos esféricos
Los espejos esféricos pueden ser:
- Cóncavos: cuando la superficie reflectante se encuentra en el interior.
- Convexos: cuando la superficie reflectante se encuentra en el exterior
En todo espejo esférico se pueden distinguir los siguientes elementos:
- Centro de curvatura (C): centro geométrico de la superficie esférica.
- Vértice (O): punto de corte del eje óptico con el espejo.
- Foco (F): punto medio entre el centro de curvatura y el vértice.
Espejo cóncavo
C
F
O
= distancia focal  0
f=
r = radio de curvatura  0
f
r
Espejo convexo
O
F
C
f
f=
= distancia focal  0
r = radio de curvatura  0
r
Para obtener la imagen de un objeto se deben trazar al menos dos de los siguientes
rayos:
- Rayo paralelo: cuando un rayo incide paralelamente el eje óptico, el rayo reflejado (o
su prolongación) pasa por el foco.
C
F
O
O
C C
F
C
- Rayo focal: cuando un rayo (o su prolongación) incide pasando por el foco, el rayo
reflejado es paralelo al eje óptico.
O
F
C
C
77
F
O
- Rayo central: cuando un rayo (o su prolongación) incide pasando por el centro de
curvatura, el rayo reflejado sigue la misma trayectoria.
C
O
F
O
O
C
F
C
El tamaño, la naturaleza (real o virtual) y la orientación de la imagen formada por un
espejo cóncavo dependen de la posición del objeto. Existen tres posibilidades:
a) Objeto situado entre - y C
C
F
O
Imagen real (formada por los rayos reflejados, puede recogerse en una pantalla), invertida y
menor que el objeto.
b) Objeto situado entre C y F
C
F
O
Imagen real, invertida y mayor que el objeto
c) Objeto situado entre F y O
C
F
Imagen virtual, derecha y mayor que el objeto.
78
O
La imagen formada por un espejo convexo tiene siempre las mismas características
independientemente de la posición del objeto:
O
F
C
Imagen virtual, derecha y menor que el objeto
Para determinar la posición de la imagen y el aumento producido por el espejo, se utilizan las siguientes ecuaciones:
s = posición del objeto respecto a O (s  0)
s’ = posición de la imagen respecto a O
f = distancia focal
y = tamaño del objeto (y  0)
y’ = tamaño de la imagen
aumento lateral del espejo
Los espejos cóncavos se utilizan como espejos de aumento, en los faros de los coches
y farolas, en hornos solares y en telescopios reflectores. Los espejos convexos permiten
ampliar el campo de visión en los retrovisores de los coches y para vigilancia.
Ejemplo: Un objeto de 1,5 cm de altura se encuentra delante de un espejo esférico de
14 cm de radio, a 20 cm del vértice del espejo. Determinar la posición y el tamaño de la
imagen y efectuar su construcción geométrica si:
a) El espejo es cóncavo.
b) El espejo es convexo.
 14
1
1
1
 
a) f =
= -7 cm
 s’= -10,8 cm
2
 20 s'  7
y'
 10,8

 y’= -0,81 cm
1,5
 20
C
F
79
O
b) f =
14
= 7 cm
2
1
1 1
   s’= 5,2 cm
 20 s' 7
y'
5,2
 y’= 0,39 cm

1,5
 20
O
C
F
C
16. Un objeto de 4 cm de altura se sitúa a 6 cm por delante de la superficie cóncava de
un espejo esférico. Si la imagen obtenida tiene 10 cm de altura, es positiva y virtual:
a) ¿Cuál es la distancia focal del espejo?
b) Realizar un diagrama de rayos del sistema descrito.
Solución: a) 10 cm
17. La distancia focal de un espejo esférico es de 20 cm en valor absoluto. Si se coloca
un objeto delante del espejo a una distancia de 10 cm de él, determinar la posición y
la naturaleza de la imagen formada en los dos casos siguientes:
a) El espejo es cóncavo.
b) El espejo es convexo.
Efectuar la construcción geométrica de la imagen en ambos casos.
Solución: a) 20 cm; b) 6,67 cm
18. Se tiene un espejo cóncavo de 20 cm de distancia focal.
a) ¿Dónde se tiene que situar un objeto para que su imagen sea real y doble que
el objeto?
b) ¿Dónde se tiene que situar el objeto para que la imagen sea doble pero tenga
carácter virtual?
Efectuar la construcción geométrica en ambos casos.
Solución: a) -30 cm; b) -10 cm
19. Delante de un espejo cóncavo de 1 m de radio y a una distancia de 0,75 m se coloca
un objeto luminoso de tamaño 10 cm.
a) Determinar la posición, la naturaleza y el tamaño de la imagen formada por el
espejo.
b) Si desde la posición anterior el objeto se acerca 0,5 m hacia el espejo, calcular
la posición, la naturaleza y el tamaño de la imagen formada por el espejo en este
caso.
Solución: a) -1,5 m, -20 cm; b) 0,5 m, 20 cm
20. La imagen de un objeto reflejada por un espejo convexo de radio de curvatura 15 cm
es virtual, derecha, tiene una altura de 1 cm y está situada a 5 cm del espejo.
a) Determinar la posición y la altura del objeto.
b) Dibujar el diagrama de rayos correspondiente.
Solución: a) -15 cm; 3 cm
80
3. Formación de imágenes en lentes
Una lente es un medio transparente limitado por dos caras, al menos una de las cuales
es curva. Las lentes pueden ser de dos tipos:
- Convergentes: más gruesas en el centro que en los extremos (biconvexa, planoconvexa...). Al pasar los rayos a través de ellas, los rayos refractados se juntan (convergen) en un punto.
- Divergentes: más gruesas en los extremos que en el centro (bicóncava, plano-cóncava...). Al pasar los rayos a través de ellas, los rayos refractados se separan (divergen).
Esquemáticamente, se representan por:
Lente convergente
Lente divergente
En toda lente pueden distinguirse los siguientes elementos:
- Foco objeto (F): punto por el que deben pasar los rayos incidentes (o sus prolongaciones) para que los rayos refractados sean paralelos al eje óptico (→ imagen formada
en el infinito).
f
F
F
f
f= distancia focal objeto
- Foco imagen (F’): punto por el que pasan los rayos refractados (o sus prolongaciones) cuando los rayos incidentes son paralelos al eje óptico (→ objeto en el infinito).
F’
F’
f’
f’
f’= distancia focal imagen
Las distancias focales objeto e imagen son siempre iguales en valor absoluto (f = -f’) y
dependen de la curvatura de las caras de la lente, de modo que cuanto mayores son los
radios de curvatura (caras más planas), mayor es la distancia focal.
81
- Centro óptico (O): cuando el rayo incidente pasa por el centro óptico, el rayo refractado sigue la misma trayectoria.
O
Las características de la imagen formada por una lente convergente depende de la posición del objeto. Existen tres posibilidades:
a) Objeto situado entre - y 2F
2F
F
O
F’
Imagen real, invertida y menor que el objeto
b) Objeto situado entre 2F y F
F
O
F’
Imagen real, invertida y mayor que el objeto
c) Objeto situado entre F y O (lupa)
2F
F
O
Imagen virtual, derecha y mayor que el objeto
82
F’
La imagen formada por una lente divergente tiene siempre las mismas características
independientemente de la posición del objeto:
F’
O
F
Imagen virtual, derecha y menor que el objeto
Para determinar la posición de la imagen y el aumento producido por la lente, se utilizan
las siguientes ecuaciones:
s = posición del objeto respecto a O (s  0)
s’ = posición de la imagen respecto a O
f = distancia focal objeto
y = tamaño del objeto (y  0)
y’ = tamaño de la imagen
aumento lateral de la lente
Se llama potencia de una lente a la inversa de su distancia focal (en valor absoluto)
expresada en metros. Se mide en dioptrías (m-1)
P = potencia de la lente (dioptrías)
f' = distancia focal imagen (m)
Las lentes convergentes se utilizan para corregir la hipermetropía y la presbicia y en
todos los instrumentos ópticos de aumento (lupas, proyectores, cámaras fotográficas,
microscopios, telescopios…). Las lentes divergentes se utilizan en la corrección de la
miopía.
Ejemplo: La potencia de una lente convergente es de 5 dioptrías. Calcular la posición y
aumento de la imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra delante
de ella a las siguientes distancias:
a) 50 cm
b) 15 cm
Realizar el trazado de rayos en ambos casos.
1
a) 5 = ; f’ = 0,2 m = 20 cm; f = -20 cm
f'
1
1
1
y' 33,3
2
 
 s’ = 33,3 cm;


 50 s'  20
y  50
3
83
O
b)
1
1
1
 
 s’ = -60 cm;
 15 s'  20
y'  60

4
y  15
O
21. Explicar dónde debe estar situado un objeto respecto a una lente delgada para obtener una imagen virtual y derecha:
a) Si la lente es convergente.
b) Si la lente es divergente.
Realizar en ambos casos las construcciones geométricas e indicar si la imagen es
mayor o menor que el objeto.
22. La lente de un proyector tiene una distancia focal de 0,5 cm. Se sitúa a una distancia
de 0,51 cm de la lente un objeto de 5 cm de altura. Calcular:
a) La distancia a la que hay que situar la pantalla para observar nítida la imagen
del objeto.
b) El tamaño mínimo de la pantalla para que se proyecte entera la imagen del objeto.
Solución: a) 25,5 cm; b) 250 cm
23. Un objeto luminoso de 3 cm de altura está situado a 20 cm de una lente divergente
de potencia 10 dioptrías. Determinar:
a) La distancia focal de la lente.
b) La posición de la imagen.
c) La naturaleza y el tamaño de la imagen.
d) La construcción geométrica de la imagen.
Solución: a) 10 cm; b) –6,67 cm; c) 1 cm
24. Cierta lente delgada de distancia focal 6 cm genera, de un objeto real, una imagen
derecha y menor, de 1 cm de altura y situada 4 cm a la izquierda del centro óptico.
Determinar:
a) La posición y el tamaño del objeto.
b) El tipo de lente (convergente/divergente) y realizar su diagrama de rayos.
Solución: a) -12 cm; 3 cm
84
25. Una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para obtener
una imagen de tamaño doble que el objeto. Determinar a qué distancia se encuentra
el objeto y su imagen de la lente si:
a) La imagen es derecha.
b) La imagen es invertida.
Realizar en cada caso el diagrama de rayos.
Solución: a) -5 cm; -10 cm; b) -15 cm, 30 cm
26. Determinar el tipo de imagen y el aumento lateral que se obtiene al situar un objeto
delante de una lente divergente en los siguientes casos:
a) El objeto se sitúa a una distancia igual al doble de la distancia focal.
b) El objeto se sitúa a una distancia igual a la mitad de la distancia focal.
Solución: a) 1/3; b) 2/3
27. Delante de una lente convergente de distancia focal f se coloca un objeto perpendicularmente a su eje óptico.
a) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de igual
tamaño que el objeto e invertida? ¿Cuál es la naturaleza de esta imagen?
b) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de doble
tamaño y derecha? ¿Cuál es la naturaleza de esta imagen?
Efectuar la construcción geométrica en ambos apartados.
Solución: a) 2f; b) f/2
28. Un objeto luminoso de 2 cm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla.
Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esférica delgada, de distancia focal
desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el
objeto. Determinar:
a) La posición del objeto respecto a la lente y la clase de lente necesaria.
b) La distancia focal de la lente y efectuar la construcción geométrica de la imagen.
Solución: a) –1 m; b) 0,75 m
29. Un objeto luminoso está situado a 6 m de una pantalla. Una lente, cuya distancia
focal es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro
veces mayor que el objeto.
a) ¿Cuál es la naturaleza y la posición de la lente? ¿Cuál es el valor de la distancia
focal de la lente?
b) Si se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una
imagen nítida, pero de tamaño diferente al obtenido anteriormente ¿cuál es la
nueva posición de la lente y el nuevo valor del aumento?
Solución: a) -1,2 m; 0,96 m; b) –4,8 m; -0,25
_____________________________________________________________________
4. El ojo humano. Defectos visuales
Desde un punto de vista físico, el ojo humano está formado por una lente convergente
de curvatura variable, el cristalino, y una membrana que recubre la superficie interna
del globo ocular actuando como pantalla, la retina. Un objeto se ve con nitidez cuando
su imagen se proyecta en la retina; si las imágenes se forman por detrás o por delante
de la retina, los objetos se ven borrosos.
Se llama punto remoto al punto más alejado del ojo que puede observarse con nitidez
y para un ojo con visión normal se encuentra en el infinito, ya que el foco imagen del
cristalino se sitúa en la retina. Para ver objetos cercanos, se produce la acomodación
del cristalino aumentando su convergencia, de forma que la imagen se forme también
en la retina; el punto próximo es el punto más cercano al ojo que puede verse con
nitidez una vez acomodado el cristalino y su distancia va aumentando con la edad.
85
Visión de objetos lejanos en un ojo normal
Visión de objetos cercanos en un ojo normal
F’
Los principales defectos visuales son:
- Miopía: la visión lejana es defectuosa, debido a que la imagen de los objetos lejanos
se forma por delante de la retina, de modo que el punto remoto se sitúa a una distancia
finita. Se corrige mediante lentes divergentes que permiten que la imagen de los objetos lejanos se forme en la retina.
Visión de objetos lejanos en un ojo miope
F’
Con corrección
Sin corrección
- Hipermetropía: la visión cercana es defectuosa, debido a que la imagen de los objetos
cercanos (con acomodación del cristalino) se forma por detrás la retina, de modo que
el punto próximo se sitúa a mayor distancia de lo habitual. Se corrige mediante lentes
convergentes que permiten que la imagen de los objetos cercanos se forme en la retina.
Visión de objetos lejanos en un ojo hipermétrope
Sin corrección
Con corrección
- Presbicia: la visión cercana es defectuosa, ya que la capacidad de acomodación del
cristalino va disminuyendo con los años (“vista cansada”), por lo que la imagen de los
objetos cercanos se forma por detrás la retina. Se considera que una persona padece
presbicia cuando su punto próximo está a más de 25 cm. Se corrige empleando para
la visión cercana lentes convergentes que permiten que la imagen de los objetos cercanos se forme en la retina.
- Astigmatismo: la visión es borrosa, debido a diferencias en la curvatura de la córnea
que hacen que la imagen de los objetos se forme en más de un punto. Se corrige
mediante lentes que combinan diferentes curvaturas.
86
Ejemplo: Un ojo miope tiene el punto remoto a 20 cm y el punto próximo a 10 cm.
Calcular: a) la potencia de la lente que necesitará para ver con nitidez los objetos lejanos; b) la posición del punto próximo cuando use dicha lente.
a) La lente correctora debe formar la imagen de un objeto lejano (s = -) en el punto
próximo (s = -20 cm). Por tanto:
1 1 1
1
1
1
1
1
- = →
= -5 m-1
- _ = → f = 0,2 m → f’ = -0,2 m → P = = _
f'
- 0,2
s s' f
0,2
∞ f
Necesitará una lente divergente de 5 dioptrías
b) Usando dicha lente, la imagen del objeto más cercano debe formarse en el punto
próximo original (s’ = -10 cm). Por tanto:
1
1
1
→ s’ = -20 cm → El punto próximo estará a 20 cm del ojo
- _
=
s
10 20
_____________________________________________________________________
30. Una persona con presbicia tiene su punto próximo a 1,5 m. Determinar:
a) La posición de su punto próximo si utiliza lentes de 2 dioptrías.
b) La potencia de las lentes que necesitará para poder ver con nitidez a 25 cm de
distancia. Razonar si dichas lentes deben ser convergentes o divergentes.
Solución: a) 0,375 m; b) 3,3 m-1
31. Una persona miope tiene 3 dioptrías en el ojo derecho y 2,5 dioptrías en el izquierdo.
Calcular a que distancia podrá ver nítidamente sin gafas con cada ojo.
Solución: 0,333 m y 0,4 m
_____________________________________________________________________
5. Instrumentos ópticos
Los instrumentos ópticos son una aplicación de los espejos y lentes a la formación de
imágenes de las características deseadas.
Los principales instrumentos ópticos son:
- Lupa: consiste en una lente convergente que se emplea para formar una imagen aumentada, virtual y derecha. Para ello, el objeto debe situarse entre el foco y la lente,
aumentando el tamaño de la imagen a medida que el objeto se aproxima al foco. El
máximo aumento de la lupa se percibe cuando el objeto se sitúa en el foco; en este
caso, los rayos refractados salen paralelos (la imagen se formaría en el infinito) pero
el cristalino del ojo, sin necesidad de acomodación, concentra esos rayos y proyecta
la imagen en la retina.
F
O
F’
F
O
F’
Objeto situado en el foco
Objeto situado por delante del foco
- Cámara fotográfica: está constituida por una lente convergente u objetivo, alojada en
una caja opaca a la luz, que forma una imagen real e invertida en la película sensible
a la luz situada detrás de la lente. Su funcionamiento es análogo al del ojo humano,
desempeñando el objetivo el papel del cristalino y la película el de la retina. En las
cámaras digitales la película se sustituye por un sensor electrónico que captura la
imagen y la almacena en una memoria digital.
87
- Microscopio: consiste en dos lentes convergentes; la que se sitúa cerca del objeto es
el objetivo y la que se sitúa junto al ojo es el ocular. El objeto se sitúa ligeramente
por detrás del foco del objetivo, que forma una imagen intermedia real, invertida y de
mayor tamaño, ligeramente por delante del foco del ocular. El ocular actúa como una
lupa dando lugar a una imagen final virtual, invertida y muy aumentada; si la imagen
intermedia se sitúa en el foco del ocular, los rayos refractados salen paralelos y el ojo
percibe la imagen con el mayor aumento posible.
Imagen
intermedia
Objeto F1
F1’
Objetivo
F2’
F2
Ocular
Imagen
final
- Telescopio: permite observar objetos muy lejanos mediante un sistema óptico análogo al del microscopio. Un telescopio refractor o anteojo astronómico está compuesto por dos lentes convergentes: un objetivo con distancia focal muy elevada y un
ocular. Los rayos procedentes del infinito atraviesan el objetivo, que forma una imagen
intermedia real, invertida y aumentada sobre su foco imagen, muy próximo (o coincidente) al foco objeto del ocular; el ocular actúa como lupa dando lugar a una imagen
final virtual, invertida y muy aumentada.
F2 F1 ’
F1
Imagen
final
Imagen
intermedia
F2’
Ocular
Objetivo
Para la observación de objetos astronómicos del exterior del sistema solar es necesario
captar una gran cantidad de luz, para lo que se precisa aumentar el diámetro del objetivo, pero las lentes muy grandes provocan distorsiones en las imágenes formadas (aberraciones), por lo que los telescopios refractores suelen emplearse solo para la observación planetaria y lunar. Para la observación de objetos astronómicos muy alejados se
utilizan telescopios reflectores, en los que el objetivo es un espejo cóncavo muy
grande que capta una gran cantidad de luz, consiguiendo imágenes muy precisas y aumentos muy elevados.
_____________________________________________________________________
32. Un microscopio consta de dos lentes convergentes (objetivo y ocular).
a) Explicar el papel que desempeña cada lente.
b) Realizar un diagrama de rayos que describa el funcionamiento del microscopio.
88
33. Un objeto de 1 cm de altura se sitúa 15 cm por delante de una lente convergente de
10 cm de distancia focal.
a) Determinar la posición, naturaleza y tamaño de la imagen formada, efectuando
su construcción geométrica.
b) ¿A qué distancia de la lente anterior habría que colocar una lente convergente
de 20 cm de distancia focal para que la imagen final se formara en el infinito?
Solución: a) 30 cm; -2 cm; b) 50 cm
34. Un sistema óptico está formado por dos lentes convergentes. La primera lente tiene
una distancia focal de 10 cm y la segunda, una distancia focal de 20 cm. La distancia
entre ambas lentes es de 40 cm. Se sitúa un objeto de 2 cm de altura a 15 cm de la
primera lente
a) Determinar la posición y el tamaño de la imagen final.
b) Efectuar su construcción geométrica.
c) Explicar qué tipo de instrumento óptico constituye este sistema, indicando el
nombre de cada lente y las características de la imagen final.
Solución: a) -20 cm; -8 cm
35. Un microscopio está formado por dos lentes convergentes, la primera de potencia
5 dioptrías y la segunda de 4 dioptrías, ambas están separadas 85 cm y tienen el
mismo eje óptico. Se sitúa un objeto de tamaño 2 cm delante de la primera lente
perpendicular al eje óptico, de manera que la imagen formada por ella es real, invertida y de doble tamaño que el objeto.
a) Determinar las distancias focales de cada una de las lentes.
b) Determinar la distancia del objeto a la primera de las lentes.
c) ¿Dónde se formará la imagen final?
d) Efectuar un esquema gráfico, indicando el trazado de los rayos.
Solución: a) 20 cm, 25 cm; b) -30 cm; c) 
89
TEMA 6: FÍSICA DEL SIGLO XX
A finales del siglo XIX se pensaba que la física había conseguido la explicación de todos
los fenómenos naturales. Sin embargo, a principios del siglo XX se producen una serie
de descubrimientos que ponen de manifiesto la insuficiencia de las leyes de la física
clásica cuando se aplican al mundo de lo muy pequeño (el átomo) o de lo muy grande
(el universo). Se comienzan a desarrollar la física cuántica, que se aplica fundamentalmente al estudio de los átomos, y la física relativista, para el estudio de partículas
que se mueven a velocidades próximas a la de la luz (partículas relativistas, v  0,1·c).
También empieza a desarrollarse la física nuclear, que explica los fenómenos relacionados con los núcleos atómicos.
1. Física cuántica
A principios del siglo XX surge la teoría cuántica, que permite interpretar una serie de
fenómenos que no eran explicables por la física clásica:
- Radiación del cuerpo negro: Al calentar un cuerpo
que absorbe todas las longitudes de onda (cuerpo negro), la intensidad de la radiación emitida adquiere un
valor máximo a una longitud de onda determinada,
que depende de la temperatura. Por ejemplo, una barra de hierro incandescente emite sobre todo luz roja,
pero si se sigue elevando su temperatura la luz emitida se vuelve amarilla, blanca… Según la física clásica, la intensidad de la radiación a cualquier temperatura debería tender a infinito cuando la longitud de
onda tiende a cero, ya que es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia.
- Efecto fotoeléctrico: Cuando se ilumina la superficie de un metal con una luz de
frecuencia adecuada, el metal emite electrones; este fenómeno recibe el nombre de
efecto fotoeléctrico. Según la física clásica el efecto fotoeléctrico debería producirse
con luz de cualquier frecuencia siempre que fuera suficientemente intensa; sin embargo, sólo tiene lugar cuando la frecuencia de la radiación supera una frecuencia
mínima, propia de cada metal, llamada frecuencia umbral.
- Espectros atómicos: Cuando a un elemento químico en estado gaseoso se le comunica suficiente energía, este emite radiaciones de determinadas longitudes de
onda que constituyen el espectro atómico de dicho elemento. Según la física clásica,
la radiación debería ser continua, es decir, de todas las longitudes de onda.
La física cuántica proporciona una explicación adecuada a estos y otros fenómenos. Se
basa fundamentalmente en la hipótesis de Planck, que lleva a reconocer la naturaleza
dual de la luz, y el principio de De Broglie que reconoce la naturaleza dual de la materia.
Hipótesis de Planck
Según Planck la energía de las radiaciones luminosas no puede tomar cualquier valor,
sino que está cuantizada; es decir, existe una unidad mínima de energía, el cuanto,
cuyo valor depende de la frecuencia de la radiación. Cada radiación está constituida por
un número entero de cuantos.
Ecuanto= h·f
h = constante de Planck = 6,63·10-34 J·s
f = frecuencia de la radiación (Hz o s-1)
Eradiación = n·h·f
n = nº entero positivo (nº de cuantos emitidos)
90
- Explicación de la radiación emitida por un cuerpo negro: la hipótesis de Planck
explica que la intensidad de la radiación del cuerpo negro a bajas longitudes de onda
(elevadas frecuencias) disminuya en vez de aumentar; este hecho se debe a que,
cuando las longitudes de onda son muy bajas, se emiten cuantos con mucha energía,
pero muy pocos átomos pueden alcanzar energías tan altas, por lo que, al disminuir
el número de cuantos emitidos, disminuye la intensidad de la radiación.
- Explicación del efecto fotoeléctrico: Einstein se basó en la hipótesis de Planck
para afirmar que la luz está formada por unos corpúsculos llamados fotones, de
modo que a cada fotón le correspondería un cuanto de energía (Efotón = Ecuanto). Esto
implica que la luz tiene naturaleza corpuscular, pero por otro lado manifiesta un
comportamiento ondulatorio; por ello se dice que la luz tiene naturaleza dual. Según Einstein, cuando un fotón incide en la superficie de un metal, le transmite toda
su energía a un electrón del metal. Si la energía del fotón es suficiente para extraer
el electrón del metal (ionización), éste sale del metal con una energía cinética igual a
la diferencia entre la energía del fotón y el trabajo de extracción o función de trabajo del metal. Aumentando la intensidad de la luz, lo que aumenta es el número de
fotones de la radiación y con ello el número de electrones emitidos.
Efotón = W o + Ec
fotón
Siendo:
Efotón = h·f
Wo = h·fo
Ec = ½·m·v2
e-
Efotón = energía de un fotón (J)
Wo = trabajo de extracción (J)
Ec = energía cinética del electrón (J)
f = frecuencia de la radiación (Hz)
fo = frecuencia umbral (Hz)
m = masa del electrón = 9,1·10-31 kg
v = velocidad del electrón (m/s)
La condición para que se produzca efecto fotoeléctrico es: Efotón › W o  f › fo
Se llama potencial de frenado a la diferencia de potencial que hay que aplicar para
detener a los electrones emitidos a la salida del metal
- q·ΔV = ΔEc; e·ΔV = 0 – Ec →ΔV =-
Ec
e
Aunque la diferencia de potencial para frenar a un electrón a la salida de un metal
tiene que ser negativa, el potencial de frenado suele indicarse en valor absoluto.
Vfrenado =
Ec
e
Ejemplo: Un metal tiene una frecuencia umbral de 4,5·1014 Hz para el efecto fotoeléctrico. Si el metal se ilumina con una radiación de 4·10-7 m de longitud de onda,
calcular: a) la velocidad de los electrones emitidos, b) el potencial de frenado que
habrá que aplicar para detener a dichos electrones a la salida del metal.
a) W o = h·fo = 6,63·10-34·4,5·1014 = 2,98·10-19 J
3·108
c
Efotón = h·f = h· = 6,63·10-34·
= 4,97·10-19 J
_
7
λ
4·10
1
Efotón = W o + Ec; 4,97·10-19 = 2,98·10-19 + · 9,1·10-31·v2; v = 6,61·105 m/s
2
1,99·10-19
1
-31
5 2
-19
b) Ec = mv = 2·9,1·10 ·(6,61·10 ) = 1,99·10 J; Vfrenado =
= 1,24 V
2
1,6·10-19
1
2
91
- Explicación de los espectros atómicos: Bohr aplicó la hipótesis de Planck a su
modelo atómico para explicar los espectros atómicos y afirmó que, cuando un electrón salta de una órbita superior (estado excitado) a otra inferior, se emite un fotón
cuya energía es igual a la diferencia de energía entre dichas órbitas (ΔE = Efotón).
Ejemplo: En un átomo, un electrón pasa de un nivel cuya energía es -4·10-18 J a
otro nivel inferior cuya energía es -6·10-18 J. Determinar la frecuencia y la longitud
de onda de la radiación emitida.
Efotón = -4·10-18 – (-6·10-18) = 2·10-18 J
Efotón = h·f → 2·10-18 = 6,63·10-34 · f; f = 3,02·1015 Hz
c = λ·f → 3·108 = λ · 3,02·1015 ; λ = 9,95·10-8 m
1. a) ¿Cuál es la hipótesis cuántica de Planck?
b) Para la explicación del efecto fotoeléctrico, Einstein tuvo en cuenta las ideas
cuánticas de Planck ¿En qué consiste el efecto fotoeléctrico? ¿Qué explicación
del mismo efectuó Einstein?
2. Se ilumina un metal con luz correspondiente a la región del amarillo, observando que
se produce efecto fotoeléctrico. Explicar si se modifica o no la energía cinética máxima de los electrones emitidos:
a) Si iluminando el metal con la misma luz amarilla se duplica su intensidad.
b) Si se ilumina el metal con luz correspondiente a la región del ultravioleta.
3. La energía mínima necesaria para extraer un electrón del sodio es de 2,3 eV. Explicar si se producirá el efecto fotoeléctrico cuando se ilumina una lámina de sodio con
las siguientes radiaciones:
a) Luz roja de longitud de onda 680 nm.
b) Luz azul de longitud de onda 360 nm.
Datos: h, c, e
4. Un haz de luz monocromática de longitud de onda en el vacío 450 nm incide sobre
un metal cuya longitud de onda umbral, para el efecto fotoeléctrico es de 612 nm.
Determinar:
a) La energía de extracción de los electrones del metal.
b) La energía cinética máxima de los electrones que se arrancan del metal.
Datos: h, c, e
Solución: a) 3,25·10-19 J; b) 1,17·10-19 J
5. Una radiación monocromática de longitud de onda de 600 nm incide sobre un metal
cuyo trabajo de extracción es de 2 eV. Determinar:
a) La longitud de onda umbral para el efecto fotoeléctrico.
b) La energía cinética máxima de los electrones emitidos expresada en eV.
Datos: h, c, e
Solución: a) 621,6 nm; b) 0,0719 eV
6. Los fotoelectrones expulsados de la superficie de un metal por una luz de 400 nm
de longitud de onda son frenados por una diferencia de potencial de 0,8 V.
a) Determinar la función de trabajo del metal.
b) ¿Qué diferencia de potencial se requiere para frenar los electrones expulsados
de dicho metal por una luz de 300 nm de longitud de onda?
Datos: h, c, e
Solución: a) 3,69·10-19 J; b) 1,84 V
92
7. Los electrones emitidos por una superficie metálica tienen una energía cinética máxima de 2,5 eV para una radiación incidente de 350 nm de longitud de onda. Calcular:
a) El trabajo de extracción de un mol de electrones en julios.
b) La diferencia de potencial mínima (potencial de frenado) requerida para frenar
los electrones emitidos.
Datos: h, c, e, NA
Solución: a) 1,011·105 J; b) 2,5 V
8. Sobre un metal, cuyo trabajo de extracción es de 1,6 eV, incide un rayo láser de
30 mW de potencia cuyos fotones tienen una longitud de onda de 633 nm. Determinar:
a) La energía de los fotones incidentes y la energía cinética máxima de los electrones emitidos en eV.
b) El número de fotones que inciden sobre la muestra metálica por segundo.
Datos: h, c, e
Solución: a) 1,96 eV; 0,36 eV; b) 9,55·1016 fotones/s
9. Al iluminar un metal con luz de frecuencia 2,5·1015 Hz se observa que emite electrones que pueden detenerse al aplicar un potencial de frenado de 7,2 V. Si la luz que
se emplea con el mismo fin es de longitud de onda en el vacío 1,78·10-7 m, dicho
potencial pasa a ser de 3,8 V. Determinar:
a) El valor de la constante de Planck.
b) La función de trabajo (o trabajo de extracción) del metal.
Datos: c, e
Solución: a) 6,63·10-34 J s; b) 5,2·10-19 J
_____________________________________________________________________
Hipótesis de De Broglie
De Broglie extendió el carácter dual de la luz a las partículas materiales. Según la hipótesis de De Broglie, cada partícula en movimiento lleva asociada una onda, cuya longitud
de onda viene dada por:
h
λ =
m·v
λ = longitud de onda asociada a una partícula (m)
h = constante de Planck
m = masa de la partícula (kg)
v = velocidad de la partícula (m/s)
Cuanto mayor es la masa de la partícula, menor es la longitud de onda. Por ello, fuera
del mundo subatómico, la longitud de onda es tan pequeña que no se observa el comportamiento ondulatorio de la materia. Sin embargo, las ondas asociadas a los electrones han podido detectarse experimentalmente comprobándose la validez de esta hipótesis. Además, el comportamiento ondulatorio de los electrones constituye uno de los
puntos esenciales del modelo mecanocuántico del átomo.
Ejemplo: Calcular la longitud de onda asociada a: a) un electrón cuya velocidad es
107 m/s; b) una bola de billar de 60 g de masa que se mueve con una velocidad de
1 m/s.
h
6,63·10-34
a) λ =
=
= 4,33·10-9 m
mv
9,1·10 -31 ·107
b) λ =
h
mv
=
6,63·10 -34
= 1,1·10-32 m (no puede detectarse)
0,06 ·1
93
10. Sobre un cierto metal cuya función de trabajo (trabajo de extracción) es 1,3 eV incide
un haz de luz de cuya longitud de onda es 662 nm. Calcular:
a) La energía cinética máxima de los electrones emitidos.
b) La longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos con la máxima
energía cinética posible.
Datos: h, e, me, c
Solución: a) 9,2·10-20 J; b) λ = 1,6.10-9 m
11. Un electrón partiendo del reposo es acelerado por una diferencia de potencial de
50 V. Calcular:
a) El cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad alcanzada por
el electrón.
b) La longitud de onda de De Broglie asociada a dicho electrón.
Datos: me, h, c
Solución: a) 71,6; b) 1,74·10-10 m
12. Calcular en los dos casos siguientes la diferencia de potencial con que debe ser
acelerado un protón que parte del reposo para que después de atravesar dicho potencial:
a) El momento lineal del protón sea 10-21 kg m s -1
b) La longitud de onda de De Broglie asociada al protón sea 5·10-13 m.
Datos: mp, h, e
Solución: a) -1836 V; b) -3232 V
13. Determinar la longitud de onda de De Broglie y la energía cinética, expresada en eV,
de:
a) Un electrón cuya longitud de onda de De Broglie es igual a la longitud de onda
en el vacío de un fotón de energía 104 eV;
b) Una piedra de masa 80 g que se mueve con una velocidad de 2 m/s.
Datos: mp, h, c, e
Solución: a) 1,24·10-10 m; 98,2 eV; b) 4,14·10-33 m; 1018 eV
14. Dos núcleos de deuterio (2H) y tritio (3H) reaccionan para producir un núcleo de helio
(4He) y un neutrón, liberando 17,55 MeV durante el proceso.
a) Suponiendo que el núcleo de helio se lleva en forma de energía cinética el 25%
de la energía liberada y que se comporta como una partícula no relativista, determine su velocidad y su longitud de onda de De Broglie.
b) Determinar la longitud de onda de un fotón cuya energía fuese el 75% de la
energía liberada en la reacción anterior.
Datos: Masa del núcleo de Helio, mHe = 6,62·10-27 kg; c, e, h
Solución: a) 1,46·107 m/s; 6,86·10-15 m; b) 9,44·10-14 m
15. Dos partículas poseen la misma energía cinética. Determinar en los dos casos siguientes:
a) La relación entre las longitudes de onda de De Broglie correspondientes a las
dos partículas, si la relación entre sus masas es m1 = 50 m2.
b) La relación que existe entre las velocidades, si la relación entre sus longitudes
de onda de De Broglie es λ1=500 λ2.
Solución: λ2 = 50 λ1; b) v1 = 500 v2
16. a) ¿Qué velocidad ha de tener un electrón para que su longitud de onda de De
Broglie sea 200 veces la de un neutrón de energía cinética 6 eV?
b) ¿Se puede considerar que el electrón a esta velocidad es no relativista?
Datos: me, mn, h, c, e
Solución: a) 3,14·105 m/s
94
Principio de incertidumbre de Heisenberg
La doble naturaleza (ondulatoria y corpuscular) de la materia implica la imposibilidad de
conocer con exactitud el estado de una partícula cuántica. Según el principio de incertidumbre o indeterminación, no se pueden determinar simultáneamente y con total exactitud la posición y el momento lineal de una partícula. El producto de los errores cometidos viene dado por:
x·p 
h
2π
Δx = error en la determinación de la posición
Δp = error en la determinación del momento lineal = m·Δv
Este principio supone que la posición y la velocidad de una partícula solo se pueden
determinar en términos probabilísticos. Aunque esto es aplicable a cualquier partícula,
los errores en la posición y el momento lineal solo son significativos para partículas elementales como el electrón. La aplicación de este principio al movimiento de los electrones en torno al núcleo implica la introducción del concepto de orbital como la región del
átomo en la que la probabilidad de encontrar un electrón es máxima.
Ejemplo: Un electrón se mueve con una velocidad de 4·106 m/s, siendo el error asociado la determinación de dicha velocidad de un 3%. ¿Cuál será el mínimo error posible
en la determinación de su posición?
Δv = 0,03·4·106 = 1,2·105 m/s; Δp = m·Δv = 9,1·10-31·1,2·105 = 1,1·10-25 kg·m/s
x·p 
6,63·10 -34
h
; x 
; x  9,6·10-10 m
2,1·10 - 25·2π
2π
La indeterminación obtenida para la posición es muy significativa, comparable al
radio atómico.
Aplicaciones de la física cuántica: el láser
La física cuántica tiene numerosas aplicaciones tecnológicas, entre las que destacan la
célula fotoeléctrica (basada en el efecto fotoeléctrico) y el láser.
Un láser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation o amplificación de luz
por emisión estimulada de radiación) es un dispositivo que produce un haz de luz muy
intenso formado por ondas en fase de la misma frecuencia mediante emisión estimulada
de fotones. Los principales elementos que lo constituyen son:
- Un medio activo formado por una sustancia (sólido, líquido o gas) cuyos átomos se
puedan excitar con un mínimo de pérdidas energéticas. Dependiendo del medio utilizado (rubí, neodimio, gases nobles, CO2, semiconductores…) cambiará la longitud
de onda de la luz emitida.
- Un sistema de bombeo óptico que utiliza una fuente externa de luz para excitar los
átomos a un nivel energético superior y lograr que el número de átomos excitados
supere al número de átomos sin excitar (inversión de población). Cuando uno de
los átomos excitados emite un fotón, provoca una reacción en cadena en el resto
de los átomos del medio, que emitirán fotones de la misma frecuencia generando un
pulso láser.
- Una cavidad óptica resonante o cavidad láser con dos espejos en sus extremos
para mantener la luz circulando a través del medio activo el mayor número de veces
posible; la distancia entre los espejos debe ser un múltiplo entero de la semilongitud
de onda para que, al reflejarse la luz, se forme una onda estacionaria. El espejo de
salida debe ser translúcido para que parte de la luz pueda salir.
Las aplicaciones de la tecnología láser son innumerables: cirugía, industria, telecomunicaciones, holografías, reproductores de CDs y DVDs…
95
2. Física nuclear
Es la parte de la física que estudia el comportamiento de los núcleos atómicos.
Composición y estabilidad de los núcleos
En el núcleo atómico hay dos tipos de partículas o nucleones: los protones (p+) y los
neutrones (n). El número de protones recibe el nombre de número atómico (Z) y el
número total de nucleones se llama número másico (A).
Los nucleones están unidos entre sí por una fuerza de gran intensidad pero muy corto
alcance llamada interacción nuclear fuerte.
La masa del núcleo es siempre inferior a la suma de la masa de los nucleones. La diferencia recibe el nombre de defecto másico (m):
mp = masa del protón = 1,00728 u
Δm = (Z·mp+ (A-Z)·mn) - mnúcleo
mn = masa del neutrón =1,00867 u
(1 u = 1,66·10-27kg)
Este defecto de masa se transforma en energía (energía de enlace) según la ecuación
de Einstein:
E = m·c2
La energía de enlace por nucleón (E/A) mide la estabilidad del núcleo.
17. a) Calcular el defecto de masa y la energía total de enlace del isótopo
atómica 15,00011 u.
b) Calcular la energía de enlace por nucleón.
Datos: mp = 1,00728 u; mn = 1,00867 u; u = 1,66·10-27kg; c
Solución: a) 1,994·10-28 kg; 1,795·10-11 J; b) 1,197·10-12 J
15
7
N de masa
18. El tritio es un isótopo del hidrógeno de masa atómica igual a 3,016 u. Su núcleo está
formado por un protón y dos neutrones.
a) Definir el concepto de defecto de masa y calcúlelo para el núcleo de tritio.
b) Definir el concepto de energía media de enlace por nucleón y calcularlo para el
caso del tritio, expresando el resultado en unidades de MeV.
Datos: mp, mn, e, u, c
Solución: a) 1,45·10-29 kg; b) 2,72 MeV
Radiactividad
Es el fenómeno, natural o artificial, mediante el cual algunos núcleos inestables se desintegran espontáneamente dando lugar a la emisión de partículas y/o radiaciones electromagnéticas. Existen tres tipos de emisiones radiactivas:
- Radiación α (alfa), formada por núcleos de helio ( 42 He, partículas α). Su poder de
penetración es bajo y no pueden atravesar la piel. Cuando se emite una partícula α,
se obtiene un núcleo cuyo número atómico es 2 unidades menor y cuyo número másico es 4 unidades menor.
A
Z
X
A 4
Z 2 Y
 42 He
- Radiación β (beta), formada por electrones procedentes de la desintegración de los
neutrones ( -10e, partículas β); dicha desintegración se debe a la acción de una fuerza
de repulsión denominada interacción nuclear débil. El poder de penetración de las
partículas β es mayor que el de las partículas α, y pueden atravesar la piel. Cuando
96
se emite una partícula β, se obtiene un núcleo cuyo número atómico es una unidad
mayor y cuyo número másico no varía.
A
Z
X
A
Z 1Y

0
1 e
- Radiación γ (gamma), formada por radiaciones electromagnéticas con frecuencias
muy elevadas emitidas cuando un núcleo excitado vuelve a su estado fundamental.
Su poder de penetración es muy elevado y sólo son detenidas con planchas de plomo
o muros de hormigón. Cuando se emite radiación gamma, la composición del núcleo
no varía.
La radiactividad se produce de forma natural en materiales que forman parte de la corteza terrestre, como los minerales de uranio, en la atmósfera (especialmente por la presencia de radón) y en todo el universo (rayos cósmicos). Los efectos de las radiaciones
solo son perjudiciales para los seres vivos en dosis elevadas, pudiendo producir cáncer
y mutaciones cromosómicas.
Algunos isótopos radiactivos se utilizan en el diagnóstico y tratamiento del cáncer (cobalto-60); también se usan en datación arqueológica (carbono-14), en control de plagas,
esterilización, como marcadores biológicos y químicos, etc.
Ejemplo: En la desintegración del 226
88 Ra se emiten 4 partículas α y 2 partículas β. Deducir, escribiendo la ecuación correspondiente, el número atómico y el número másico
del núcleo resultante.
226
88 Ra

A'
Z'
X +4 42 α + 2 _01 β ; 226 = A’ + 4·4  A’ = 210; 88 = Z’ + 4·2 + 2·(-1)  Z’ = 82
Estudio de la desintegración radiactiva
El número de núcleos radiactivos presentes en una muestra disminuye exponencialmente según la ley de desintegración radiactiva:
-λ·t
N = No·e
N = número de núcleos radiactivos en un instante t
No = número inicial de núcleos radiactivos
λ = constante de desintegración (s-1)
Como el número de núcleos radiactivos es directamente proporcional a la masa de sustancia radiactiva, la ley de desintegración puede expresarse en función de las masas
correspondientes:
m = masa de sustancia radiactiva en un instante t
m = mo·e-λ·t
mo = masa inicial de sustancia radiactiva
Se define el periodo de semidesintegración como el tiempo necesario para que el
número de núcleos radiactivos se reduzca a la mitad. Si representamos el número de
núcleos radiactivos respecto al tiempo se obtiene:
N
Si t = T1/2  N = No/2
= No·e
No
Ln
= Ln(No·e
)
-Ln 2 = -λ·T1/2
No/2
T1/2 =
T1/2
t
97
T1/2 = periodo de semidesintegración. Unidad: s
La vida media de una muestra radiactiva, , representa el tiempo que, por término medio, tarda un núcleo en desintegrarse y es la inversa de su constante de desintegración.

1
λ
vida media de una muestra radiactiva (s)
λ = constante de desintegración (s-1)

Se llama actividad (A)
 de una muestra radiactiva o velocidad de desintegración al número de desintegraciones
que se producen por unidad de tiempo. Su unidad es el Bec
querel, Bq (1 Bq = 1 desintegración/s)
A = actividad de la muestra (Bq)
dN
λ = constante de desintegración (s-1)
A = λ· N
A=
= λ· No·e-λ·t 
dt
N = número de núcleos radiactivos
Como A y N son proporcionales, la variación de la actividad con el tiempo viene dada
por:
A = actividad de la muestra en un instante t
A = Ao·e-λ·t
Ao = actividad inicial de la muestra
Ejemplo: Sabiendo que el período de semidesintegración del radio-226 es de 1600
años, determinar el tiempo que tiene que transcurrir para que una muestra de 3 mg de
radio-226 se reduzca a 1 mg y las actividades inicial y final de la muestra.
1 mol Ra 6,022·10 23 átomos
0,003 g·
·
= 8·1018 átomos
226 g
1 mol
0,001 g·
1 mol Ra 6,022·10 23 átomos
·
= 2,66·1018 átomos
226 g
1 mol
1600 años·
Ln 2
365 días 24 h 3600 s
= 5,05·1010 s; λ =
= 1,37·10-11 s-1
·
·
1 año 1 día 1 h
5,05·1010
-11
2,66·1018 = 8·1018 · e-1,37·10
·t
; t = 8·1010 s = 2537 años
Ao = 1,37·10-11 ·8·1018 = 1,096·108 Bq
A = 1,37·10-11 ·2,66·1018 = 3,65·107 Bq
19. Se dispone de 20 g de una muestra radiactiva y transcurridos 2 días se han desintegrado 15 g de la misma. Calcular:
a) La constante de desintegración radiactiva de dicha muestra.
b) El tiempo que debe transcurrir para que se desintegre el 90% de la muestra.
Solución: a) 8,02·10-6 s-1; b) 3,32 días
20. La ley de desintegración de una sustancia radiactiva es N = N0 e-0,003t, donde N representa el número de núcleos presentes en la muestra en el instante t. Sabiendo
que t está expresado en días, determinar:
a) El periodo de semidesintegración de la sustancia, T1/2.
b) La fracción de núcleos radiactivos sin desintegrar en el instante t = 5T1/2.
Solución: a) 231 días; b) 0,03125
21. De los 120 g iniciales de una muestra radiactiva se han desintegrado, en 1 hora, el
10% de los núcleos. Determinar:
a) La constante de desintegración radiactiva y el periodo de semidesintegración de
la muestra.
b) La masa que quedará de la sustancia radiactiva transcurridas 5 horas.
98
Solución: a) 2,93·10-5 s-1; 6,57 h; b) 70,86 g
22. a) ¿Cómo se define la actividad de una muestra radiactiva? ¿Cuál es su unidad en
el Sistema Internacional?
b) El curio es la actividad definida como la actividad de una muestra de un gramo
de radio-226. ¿Cuál es la relación entre esta unidad y la del Sistema Internacional?
Datos: NA; constante de desintegración del Ra λ=1,4·10-11 s-1
Solución: b) 3,73·1010 Bq
23. Una muestra de 2 mg de 210
84 Po se reduce a 0,5 mg en 276 días. Hallar:
a) Su periodo de semidesintegración.
b) Su actividad inicial y final.
Dato: NA
Solución: a) 138 días; b) 3,334·1011 Bq; 8,335·1010 Bq
24. Una muestra contiene inicialmente 1020 átomos, de los cuales un 20% corresponden
a material radiactivo con un periodo de semidesintegración de 13 años. Calcular:
a) La constante de desintegración del material radiactivo.
b) El número de átomos radiactivos iniciales y la actividad inicial de la muestra.
c) El número de átomos radiactivos al cabo 50 años.
d) La actividad de la muestra al cabo de 50 años.
Solución: a) 1,69·10-9 s-1; b) 2·1019 átomos; 3,38·1010 Bq; c) 1,39·1018 átomos;
d) 2,35·109 Bq
25. Una muestra de un material radiactivo posee una actividad de 115 Bq inmediatamente después de ser extraída del reactor donde se formó. Su actividad 2 horas
después es de 85,2 Bq.
a) Calcular el periodo de semidesintegración de la muestra.
b) ¿Cuántos núcleos radiactivos existían inicialmente en la muestra?
Solución: a) 1,66·104 s; b) 2,76·106 núcleos
26. En una muestra de azúcar hay 2,1·1024 átomos de carbono. De éstos, uno de cada
1012 átomos corresponden al isótopo radiactivo 14C. Como consecuencia de la presencia de dicho isótopo la actividad de la muestra de azúcar es de 8,1 Bq.
a) Calcular el número de átomos radiactivos iniciales de la muestra y la constante
de desintegración radiactiva (λ) del 14C.
b) ¿Cuántos años han de pasar para que la actividad sea inferior a 0,01Bq?
Solución: a) 2,1·1012 átomos; 3,86·10-12 s-1; b) 55016 años
27. El periodo de semidesintegración de un isótopo radiactivo es de 1840 años. Si inicialmente se tiene una muestra de 30 g de material radiactivo:
a) Determinar qué masa quedará sin desintegrar después de 500 años.
b) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que queden sin desintegrar 3 g de la muestra?
Solución: a) 24,85 g; b) 6,1·103 años
28. Cuando se encuentra fuera del núcleo atómico, el neutrón es una partícula inestable
con una vida media de 885,7 s. Determine:
a) El periodo de semidesintegración del neutrón y su constante de desintegración.
b) Una fuente de neutrones emite 1010 neutrones por segundo con una velocidad
constante de 100 km s-1. ¿Cuántos neutrones por segundo recorren una distancia de 3,7·105 km sin desintegrarse?
Solución: a) 613,9 s; 1,13·10-3 s-1; b) 1,53·108 neutrones/s
99
29. Una cierta muestra contiene inicialmente 87000 núcleos radioactivos. Tras 22 días,
el número de núcleos radiactivos se ha reducido a la quinta parte. Calcular:
a) La vida media y el periodo de semidesintegración de la especie radioactiva que
constituye la muestra.
b) La actividad radioactiva en el instante inicial y a los 22 días.
Solución: a) 13,7 días; 9,5 días; b) 0’074 Bq; 0’015 Bq
30. La vida media de un elemento radioactivo es de 25 años. Calcular:
a) El tiempo que tiene que transcurrir para que una muestra del elemento radioactivo reduzca su actividad al 70%.
b) Los procesos de desintegración que se producen cada minuto en una muestra
que contiene 109 núcleos radioactivos.
Solución: a) 8,97 años; b) 75,6 desinteg./min
31. En un tiempo determinado, una fuente radiactiva A tiene una actividad de 1,6·1011
Bq y un periodo de semidesintegración de 8,983·105 s y una segunda fuente B tiene
una actividad de 8,5·1011 Bq. Las fuentes A y B tienen la misma actividad 45,0 días
más tarde. Determinar:
a) La constante de desintegración radiactiva de la fuente A.
b) El número de núcleos iniciales de la fuente A.
c) El valor de la actividad común a los 45 días.
d) La constante de desintegración radiactiva de la fuente B.
Solución: a) 7,72·10-7 s-1; b) 2,07·1017 núcleos; c) 7,95·109 Bq; d) 1,2·10-6 s-1
32. Una muestra de un organismo vivo presenta en el momento de morir una actividad
radiactiva por cada gramo de carbono, de 0,25 Bq correspondiente al isótopo 14C.
Sabiendo que su periodo de semidesintegración es de 5730 años, determinar:
a) La constante radiactiva del isótopo 14C.
b) La edad de una momia que en la actualidad presenta una actividad radiactiva
correspondiente al isótopo 14C de 0,163 Bq, por cada gramo de carbono.
Solución: a) 3,84·10-12 s-1; b) 3538 años
_______________________________________________________________________________________________
Reacciones nucleares
Las reacciones nucleares son todas aquellas es las que intervienen núcleos atómicos.
Su utilidad reside en la gran cantidad de energía que se libera en dichos procesos a
partir del defecto de masa, constituyendo el fundamento de las centrales nucleares.
Existen dos tipos de reacciones nucleares:
- Reacciones de fisión, consistentes en la división de un núcleo pesado en dos núcleos
más ligeros y estables mediante el bombardeo con un neutrón. En el proceso se libera
gran cantidad de energía junto con varios neutrones que hacen posible la fisión de
nuevos núcleos iniciando una reacción en cadena. En las centrales nucleares se produce la fisión controlada del uranio-235 según la siguiente reacción:
235
92U
92
1
+ 10n → 141
56Ba + 36Kr + 3 0n + energía
Para evitar que la reacción se produzca de forma explosiva, se introduce un material
que absorbe el exceso de neutrones. Las reacciones de fisión tienen un elevado rendimiento energético, de forma que la energía producida por 1 kg de uranio equivale a
la producida en la combustión de 2000 toneladas de petróleo. Sin embargo, se producen residuos radiactivos que siguen activos durante mucho tiempo y, a pesar de las
estrictas medidas de seguridad, existe siempre el riesgo de que puedan producirse
accidentes nucleares cuyas consecuencias serían catastróficas.
100
- Reacciones de fusión, en las que se unen núcleos ligeros para formar núcleos más
pesados y estables liberando gran cantidad de energía. En la bomba de hidrógeno
se produce la fusión de dos isótopos del hidrógeno, el deuterio y el tritio, según la
siguiente reacción:
3
2
4
1
1H + 1H → 2He + 0n
+ energía
Para que se produzca una reacción de fusión hay que vencer las fuerzas eléctricas
de repulsión entre los núcleos atómicos, lo que requiere temperaturas elevadísimas.
Por ello, aunque la fusión nuclear constituiría una fuente de energía inagotable y limpia, actualmente los ensayos para producirla de forma controlada requieren proporcionar más energía de la que se produce. En el interior de todas las estrellas, las
elevadas presiones y temperaturas posibilitan continuas reacciones de fusión que dan
lugar a la formación de los distintos elementos químicos.
Ejemplo: Determinar la energía liberada (en MeV) en la formación de un núcleo de
helio (m = 4,0039 u) mediante la fusión de deuterio (m = 2,0147 u) y tritio (m = 3,0170
u), liberándose un neutrón (m = 1,0087 u).
Δm = 2,0147 + 3,0170 – (4,0039 + 1,0087) = 0,0191 u = 3,17·10-29 kg
E = Δm·c2 = 3,17·10-29 ·(3·108)2 = 2,85·10-12 J = 17,8 MeV
_____________________________________________________________________
33. El uranio-235 (m = 235,0439 u) se fisiona al colisionar con un neutrón (m = 1,0087
u), dando lugar a kriptón-92 (m = 91,9251 u), bario-141 (m = 140,9140 u) y tres
neutrones.
a) Determinar la energía liberada (en MeV) en la fisión de un núcleo de uranio-235.
b) Determinar la energía liberada (en kWh) en la fisión de 1 kg de uranio-235.
Datos: c, u, e, NA
Solución: a) 175 MeV; b) 1,99·107 kWh
_____________________________________________________________________
Partículas elementales e interacciones fundamentales
Una partícula elemental es aquella que no puede dividirse en otras más simples. Según
el modelo estándar de la física de partículas, la materia está constituida por dos tipos
de partículas elementales: los leptones y los quarks.
- Leptones: partículas que interaccionan por medio de la interacción nuclear débil. Existen seis tipos de leptones: electrón, muón, tauón y sus correspondientes neutrinos
(sin carga ni masa).
- Quarks: partículas que interaccionan por medio de la interacción nuclear fuerte. Existen seis tipos de quarks: up (u, con carga +2e/3), down (d, con carga -e/3), strange
(s), charm (c), bottom (b) y top (t), que se combinan entre sí en grupos de dos o tres
para formar hadrones. Los dos primeros quarks son los únicos presentes en la materia ordinaria y forman los protones (2 u + 1 d) y los neutrones (1 u + 2 d). El resto
solo se han detectado a partir de colisiones en los aceleradores de partículas.
Además, existen una serie de partículas mediadoras relacionadas con cada una de las
interacciones fundamentales:
Interacción
Intensidad
relativa
Alcance
Tipo
Partículas
afectadas
Partículas mediadoras
Nuclear fuerte
1
~10-15 m
Atracción
Quarks
Fotones
Electromagnética
~10-2
Infinito
Atracción/Repulsión
Con carga
Gluones
Nuclear débil
~10-13
~10-17 m
Atracción/Repulsión
Leptones
Bosones W y Z
Gravitatoria
~10-39
Infinito
Atracción
Con masa
¿Gravitones?
101
Además de los leptones, los quarks y las partículas mediadoras existe una partícula,
detectada recientemente, que se denomina bosón de Higgs y hace que las partículas
elementales que interactúan con él adquieran masa. Por otro lado, el modelo estándar
afirma que toda partícula tiene una antipartícula y, al chocar entre sí, ambas se aniquilan mutuamente. El conjunto de todas las antipartículas se denomina antimateria.
Se cree que las cuatro fuerzas fundamentales son manifestaciones de una interacción
única que rige el comportamiento de todo el universo. Por ello, uno de los principales
campos de investigación de la física teórica está encaminado a desarrollar una teoría
de unificación que englobe las cuatro interacciones. Actualmente existen diversas teorías de unificación:
- Teoría de campo unificado: en los años 60 se propuso una teoría unificadora del
electromagnetismo y la fuerza nuclear débil. En los años 80 se demostró experimentalmente que ambos campos tienen una estructura idéntica, por lo que puede hablarse
de una única fuerza electrodébil.
- Gran Teoría Unificada: el descubrimiento de los gluones en los años 70 llevó a proponer la primera gran teoría unificada que englobaría la fuerza electrodébil y la interacción nuclear fuerte. Según esta teoría, cuando las partículas afectadas se encuentran a energías suficientemente elevadas, las tres fuerzas (electromagnética, nuclear
débil y fuerte) confluyen en una sola; sin embargo, las enormes energías que requieren
las pruebas experimentales están fuera del alcance de los aceleradores de partículas
actuales, por lo que todavía no ha sido demostrada experimentalmente.
- Teorías del todo: pretenden unificar la fuerza gravitatoria con las otras tres, aunque
la fuerza gravitatoria tiene características que dificultan especialmente dicha unificación. Dentro de este grupo, destacan dos teorías: la teoría M, que unifica las cinco
teorías de supercuerdas en un universo con 11 dimensiones y la teoría cuántica de
bucles, que trata de unificar la teoría cuántica con la relatividad.
Según la teoría del Big Bang, hace 13700 millones de años el universo estaba concentrado en un punto de densidad infinita o singularidad espacio-temporal, en el que se
concentraban la energía, el espacio y el tiempo. Tras la explosión, el universo se fue
expandiendo y enfriando paulatinamente y las cuatro interacciones fueron separándose
unas de otras. La evolución del universo suele resumirse en las siguientes eras:
Era de Planck (1032 K)
Era de la
Gran Unificación
(1025 K)
Era electrodébil
(1016 K)
Era de las partículas
(1013 K)
Era de la nucleosíntesis
(1010 K)
Era de los átomos
(3000 K)
Era de las galaxias
(3 K)





Se rompe la singularidad espacio-temporal.
La gravedad se separa de las otras fuerzas.
La interacción nuclear fuerte se separa de la fuerza electrodébil.
El universo se expande muy rápidamente.
Se forman partículas elementales de materia y antimateria.




La interacción nuclear débil se separa de la electromagnética.
Las partículas elementales adquieren masa (bosones de Higgs).
La materia predomina sobre la antimateria, que es aniquilada.
Se forman protones y neutrones al agruparse los quarks.
 Comienzan a formarse núcleos atómicos de H y He.






Los fotones pierden energía y se desligan de la materia.
Los electrones se unen a los núcleos formando átomos neutros.
Se forman las primeras estrellas, donde se sintetizan C, O, N, Fe...
Las explosiones estelares dan lugar a nuevos elementos.
Se agrupan materia oscura, estrellas y gas formando las galaxias.
Se forman los cúmulos de galaxias.
La teoría del Big Bang ha sido corroborada por evidencias experimentales como la captación de la radiación de fondo (procedente del desligamiento de los fotones al comienzo de la era de los átomos) y el corrimiento hacia el rojo (por efecto Doppler) de
la luz procedente de las galaxias, que pone de manifiesto la expansión del universo.
102
3. Física relativista
La teoría especial de la relatividad, enunciada por Einstein en 1905, se basa en la
interpretación de un experimento realizado por Michelson y Morley en 1887.
Experimento de Michelson y Morley
Espejo 2
Espejo
semiplateado
Luz del Sol
(velocidad = c)
Espejo 1
Telescopio
Interferómetro
(velocidad = vTierra)
Hasta finales del siglo XIX se pensaba que el espacio estaba ocupado por una sustancia, el éter, que
permitía la propagación de la luz. Michelson y Morley, con el fin de medir la velocidad de la Tierra a
través del éter, construyeron un aparato (interferómetro) formado por dos espejos perpendiculares entre sí y un espejo semiplateado, oblicuo respecto a
ellos, que dejaba pasar parte de la luz. Esperaban
que la diferencia entre las velocidades de los dos
haces de luz perpendiculares (que daría lugar a interferencias en la luz observada por el telescopio)
les permitiera calcular la velocidad de la Tierra respecto al éter. Sin embargo, observaron que el
tiempo que tardaba la luz era siempre el mismo independientemente de la posición de los espejos.
Einstein, a partir de los resultados de este experimento, desecha la existencia del éter y
enuncia dos postulados:
1º. Las leyes de la física son siempre las mismas en todos los sistemas de referencia
inerciales (no acelerados).
2º. La velocidad de la luz es siempre la misma en todos los sistemas inerciales independientemente del movimiento del foco y el observador.
Einstein diseñó un experimento mental en el que aplicaba la constancia en la velocidad
de la luz a un foco emisor desplazándose a una velocidad próxima a la de esta. De este
modo, llegó a la conclusión de que una serie de magnitudes que se consideraban absolutas (tiempo, longitud, masa...) dependían del movimiento del observador.
Dilatación relativista del tiempo
Suponemos un foco emisor de luz instalado en el techo de un vehículo que se desplaza
a una velocidad próxima a la de la luz; en la parte inferior, un dispositivo detecta la
llegada del rayo luminoso. Desde el punto de vista de un observador en el interior del
vehículo la luz tiene una trayectoria vertical, mientras que, desde el punto de vista de un
observador exterior, la luz describe una trayectoria oblicua.
y
Desde el punto de vista de un observador interior, la luz tarda un
tiempo t' en recorrer la distancia y.
El tiempo transcurrido entre dos
sucesos que ocurren en el mismo
lugar recibe el nombre de tiempo
propio.
Por tanto: y = c·t'.
103
x
d
Desde el punto de vista de
un observador exterior, la
luz tarda un tiempo t en recorrer la distancia d.
y
v
Por tanto: d = c·t.
Al mismo tiempo el vehículo
se desplaza una distancia x.
Se cumple que: x = v·t
d2 = x2 + y2  (c·t)2 = (v·t)2 + (c·t')2 
El factor
1
t' = t · 1 _
v2
c2
t = tiempo medido por un
observador en reposo
t' = tiempo medido por un
observador en movimiento
(tiempo propio)
v2
es menor que 1, por lo que t’ es siempre menor que t.
c2
Por tanto, el tiempo transcurre más lentamente para el observador en movimiento o,
dicho de otro modo, el tiempo se dilata respecto al tiempo propio. Para velocidades no
relativistas (v 0,1c), el valor de dicho factor se aproxima mucho a 1, por lo que t  t'.
Ejemplo: Si el tiempo medido en reposo es 10 s ¿cuál será el tiempo medido por un
observador que se desplaza a una velocidad de 1,8·108 m/s?
v2
(1,8·10 8 ) 2
t' = t · 1 2 = 10· 1 
=8s
c
(3·10 8 ) 2
_
La dilatación relativista del tiempo lleva a una aparente paradoja conocida como “paradoja de los gemelos”. Se supone una pareja de gemelos en la que uno de ellos emprende un viaje por el espacio a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, mientras
que el otro gemelo se queda en la Tierra; a su regreso, el gemelo viajero sería más joven
que el gemelo terrestre. Sin embargo, desde la perspectiva del gemelo que va dentro
de la nave, es su hermano el que se mueve respecto de él a velocidades cercanas a la
de la luz, por lo que el gemelo terrestre sería el que envejecería menos. Para solucionar
esta paradoja es necesario aplicar la teoría general de la relatividad, enunciada por
Einstein en 1916, ya que el viaje espacial del gemelo es de ida y vuelta, por lo que se
tratará de un movimiento acelerado (sistema no inercial) y la relatividad especial solo se
puede aplicar a sistemas inerciales. Einstein demostró que la situación de ambos gemelos no es simétrica y que sería el gemelo de la nave el que menos envejecería.
Contracción relativista de la longitud
Por consideraciones similares, Einstein dedujo que, para velocidades relativistas, las
longitudes (medidas en la misma dirección del movimiento) se contraen para un observador en movimiento respecto a un observador en reposo.
l'
l = longitud medida por un observador
en reposo (longitud propia)
2
l' = l · 1 _
v
c2
l' = longitud medida por un observador
en movimiento
l
104
Ejemplo: ¿A qué velocidad debe moverse una varilla para que su longitud se reduzca
a la tercera parte de la que tiene en reposo?
l'
=
l
2
v2  1 
v2
1 2 ;    1  2 → v = 0,942c = 2,83·108 m/s
c
c
3
_
Dilatación relativista de la masa
A partir del principio de conservación de la cantidad de movimiento, Einstein dedujo que
la masa de un cuerpo aumenta al aumentar su velocidad según la ecuación:
m
mo
m = masa relativista
v2
1 2
c
mo = masa en reposo
Cuando la velocidad se aproxima mucho a la velocidad de la luz, la masa relativista
tiende a infinito, por lo que la fuerza necesaria para acelerar el cuerpo también sería
infinita. Esto implica que ningún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz.
Ejemplo: Calcular la masa de un electrón que se desplaza al 99% de la velocidad de la
luz.
9,1·10 31
 4,57·10-29 kg
m=
2
0,99c 
1c2
Equivalencia entre masa y energía
Einstein demostró que existe una energía asociada a la masa, esté o no el cuerpo en
movimiento.
Energía en reposo:
Eo = mo·c2
Si el cuerpo se desplaza con una velocidad v, tendrá una energía total relativista directamente proporcional a su masa relativista, m:
E = m·c2
La energía cinética relativista es la diferencia entre la energía total relativista y la energía
en reposo.
Ec = E - Eo
Como ya se ha visto, la equivalencia entre masa y energía constituye el fundamento de
la energía nuclear.
Ejemplo: Determinar la energía en reposo, la energía total relativista y la energía cinética relativista del electrón considerado en el ejemplo anterior.
Eo = 9,1·10-31·(3·108)2 = 8,19·10-14 J
E = 4,57·10-29·(3·108)2 = 4,11·10-12 J
Ec = E - Eo = 4,11·10-12 - 8,19·10-14 = 4,03·10-12 J
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Comprobación experimental de la teoría especial de la relatividad
La teoría de la relatividad especial fue verificada por primera vez estudiando unas partículas elementales, los muones, que se forman en la alta atmósfera. Los muones tienen
una vida media de 2 μs, por lo que no tendrían tiempo de atravesar toda la atmósfera
sin desintegrarse. Sin embargo, se comprobó que, al atravesar la atmósfera a velocidades próximas a la de la luz, la vida media de los muones se prolongaba hasta 20 μs, por
lo que muchos de ellos llegaban a alcanzar la superficie terrestre. Actualmente, se pueden comprobar los efectos relativistas en todos los experimentos realizados en los aceleradores de partículas.
34. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, según la teoría de
la relatividad especial:
a) La masa de un cuerpo con velocidad v respecto de un observador es menor que
su masa en reposo.
b) La energía de enlace del núcleo atómico es proporcional al defecto de masa
nuclear Δm.
35. a) Determinar la masa y la cantidad de movimiento de un protón cuando se mueve
con una velocidad de 2,70·108 m·s-1.
b) Calcular el aumento de energía necesario para que el protón del apartado anterior
cambie su velocidad de v1 = 2,70·108 m·s-1 a v2 = 2,85·108 m·s-1.
Datos: mp; c
Solución: a) 3,83·10-27 kg; 1,03·10-18 kgm/s; b) 1,37·10-10 J
36. a) Calcular la longitud de onda de un fotón que posea la misma energía que un
electrón en reposo.
b) Calcular la frecuencia de dicho fotón y, a la vista de la tabla, indicar a qué tipo de
radiación correspondería.
Ultravioleta
Rayos-X
Rayos gamma
Entre 7,5·1014 Hz y 3·1017 Hz
Entre 3·1017 Hz y 3·1019 Hz
Más de 3·1019 Hz
Datos: me, h, c
Solución: a) 2,42.10–12 m; b) 1,24.1020 Hz
37. Una partícula de 1 mg de masa en reposo es acelerada desde el reposo hasta que
alcanza una velocidad v = 0,6c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío. Determinar:
a) La masa de la partícula cuando se mueve a la velocidad v.
b) La energía que ha sido necesario suministrar a la partícula para que ésta alcance
dicha velocidad.
Dato: c
Solución: a) 1,25 mg; b) 2,25·1010 J
38. La energía en reposo de un electrón es 0,511 MeV. Si el electrón se mueve con una
velocidad v=0,8 c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío:
a) ¿Cuál es la masa relativista del electrón para esta velocidad?
b) ¿Cuál es la energía relativista total?
Datos: e, c
Solución: a) 1,51·10-30 kg; b) 0,85 MeV
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Constantes físicas utilizadas
Umbral de intensidad sonora
Io = 10-12 W/m2
Velocidad de la luz en el vacío
c = 3·108 m/s
Constante de la gravitación universal
G = 6,67·10-11 N·m2/kg2
Masa de la Tierra
MT = 5,98·1024 kg
Radio medio de la Tierra
RT = 6,37·106 m
Aceleración de la gravedad en la Tierra
g = 9,8 m/s2
Constante de la ley de Coulomb en el vacío
K = 9·109 N·m2/C2
Constante dieléctrica del vacío
εo = 8,85·10-12 C2/N·m2
Permeabilidad magnética del vacío
μo = 4π·10-7 T·m/A
Valor absoluto de la carga del electrón
e = 1,6·10-19 C
Masa del electrón
me = 9,1·10-31 kg
Masa del protón y del neutrón
mp = mn = 1,66·10-27 kg ≈ 1 u
Constante de Planck
h = 6,63·10-34 J·s
Número de Avogadro
NA = 6,022·1023 mol-1
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