Download Geometría - Facultad de Ciencias Exactas Físico

Ingreso de la Facultad de Ciencias Exactas,
Físico-Químicas y Naturales
Módulo de Geometría
Universidad Nacional de Río Cuarto
Facultad de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales
w w w. e x a . u n r c . e d u . a r
Ingreso de la Facultad de Ciencias Exactas,
Físico-Químicas
Naturales
Integración
a la yvida
universitaria
Módulo
de
Geometría
a través de las TIC
Autora:
Andrea Maero
Universidad Nacional de Río Cuarto
Facultad de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales
Ingreso de la Facultad de Ciencias Exactas,
Físico-Químicas
Naturales
Integración
a la yvida
universitaria
Módulo
de
Geometría
a través de las TIC
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Este material ha sido elaborado en forma conjunta con los docentes y el Centro de Planificación, Evaluación e Investigación de Procesos
Educativos en Red (CEPEIPER), dependiente de la Secretaría Académica de la UNRC en el marco del Proyecto de Ingreso,
Orientaciones para el Diseño, Implementación y Evaluación de Proyectos para la Integración a la Cultura Universitaria 2016-2019.
UNRC- Secretaría Académica - CEPEIPER
Ingreso de Profesoradojjjhaha
y Licenciatura en Matemática / Geometría
Contenido
La Geometría, su origen y naturaleza.......................................................................2
¿En qué consiste el método axiomático-deductivo? ....................................2
Acerca de su historia.................................................................................................2
¿De qué se ocupa la Geometría? ...........................................................................3
La geometría en el mundo real .............................................................................4
Componentes elementales de las figuras geométricas en el plano..............5
Puntos y rectas ............................................................................................................5
Propiedades fundamentales de la pertenencia de los puntos y las
rectas en el plano .................................................................................................6
Semirrectas y Segmentos ........................................................................................7
Rectas paralelas y secantes ....................................................................................8
Propiedades fundamentales de las paralelas ...........................................8
Actividad 1 ..............................................................................................................8
Ángulos ...........................................................................................................................9
Actividad 2 ........................................................................................................... 10
Relaciones entre ángulos ............................................................................... 10
Actividad 3 ........................................................................................................... 12
Algunas figuras geométricas ..................................................................................... 13
Triángulo .................................................................................................................... 13
Circunferencia .......................................................................................................... 14
Actividades ....................................................................................................................... 15
Bibliografía....................................................................................................................... 17
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Facultad de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales
Ingreso de Profesoradojjjhaha
y Licenciatura en Matemática / Geometría
La Geometría, su origen y naturaleza
El material que se presenta a continuación ha sido elaborado
con el fin de dar a los estudiantes la posibilidad de revisar conceptos y
habilidades en geometría, que se suponen adquiridos en el nivel medio.
Se pretende también que sea un primer paso hacia la formalidad
matemática, más precisamente, un acercamiento al método axiomáticodeductivo por medio del cual se obtienen los resultados geométricos.
¿En qué consiste el método axiomático-deductivo?
Pitágoras de Samos (580 a. C –
495 a. C), fue un filósofo y
matemático griego considerado
el primer matemático puro.
Contribuyó de forma importante
al avance de la matemática
La validez de una afirmación sobre la propiedad de una u otra
figura geométrica se establece por medio de un razonamiento lógico que
es llamado demostración. La proposición que enuncia alguna propiedad
de una figura geométrica se llama teorema.
griega, así como al de la
Por ejemplo, un teorema que seguramente conoces, es el
Teorema de Pitágoras que enuncia una propiedad respecto de
los lados de un triángulo rectángulo: “En los triángulos
rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la
suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto”
religiosa, se interesaba también
En geometría, los nuevos conceptos y teoremas se deducen a
partir de otros ya establecidos y demostrados, y esto plantea la
necesidad de señalar cuáles son los primeros conceptos y proposiciones
a partir de los cuáles se desarrolla toda la teoría. Estas proposiciones o
premisas primitivas se llaman axiomas y se aceptan sin requerir
demostración previa ya que se consideran “evidentes”. Un conjunto de
éstas premisas se denomina sistema axiomático.
Una condición que debe cumplir tal sistema es la de ser
compatible, es decir, que no haya ninguna contradicción entre ellos.
También se debe exigir que los axiomas sean independientes, es decir
que ninguno de ellos, ni su negación, pueda deducirse a partir de los
demás, como así también, que no se pueda formular ningún otro axioma
independiente de los ya establecidos.
geometría y la aritmética.
Fundó la Escuela Pitagórica, una
sociedad que, si bien era de
naturaleza predominantemente
en medicina, cosmología,
filosofía, ética y política, entre
otras disciplinas. El pitagorismo
formuló principios que influyeron
en el posterior desarrollo de la
matemática y en la filosofía
racional en Occidente.
Thales de Mileto (625/624 a.
C- 547/546 a. C.) fue un filósofo,
matemático, geómetra, físico y
legislador griego.
Vivió y murió en Mileto, polis
griega de la costa jonia (hoy en
Turquía). En la antigüedad se le
consideraba uno de los Siete
Sabios de Grecia. No se conserva
ningún texto suyo y es probable
que no dejara ningún escrito a su
muerte. Se suele aceptar que
Tales comenzó a usar
Acerca de su historia
el pensamiento deductivo
El significado etimológico de la palabra geometría, “medida de
la tierra”, nos indica su origen de tipo práctico, que se remonta al antiguo
Egipto. Las inundaciones anuales provocadas por la crecida del río Nilo
borraban los límites de los terrenos que se cultivaban y cuando las aguas
bajaban eran necesarias las actividades de reconstrucción de los
mismos.
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aplicado a la geometría, y se le
atribuye la enunciación de dos
teoremas geométricos que llevan
su nombre.
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Ingreso de Profesoradojjjhaha
y Licenciatura en Matemática / Geometría
Con los griegos la geometría se interesó por el mundo de las
formas, la identificación de sus componentes más elementales y de las
relaciones y combinaciones entre dichos componentes. Entre los siglos
VI y III a. C, en dicha sociedad, la geometría evolucionó de un carácter
empírico a uno científico. Thales fue el primero que introdujo la
Geometría en Grecia y a él se unirían, junto con sus respectivas escuelas,
Pitágoras, Heráclito de Efeso, Hipócrates de Quío, Eudoxo, Euclides,
Apolonio, Arquímides, etcétera. En este período aparecen los libros
denominados Los Elementos de Euclides, usados por sus discípulos en
su escuela de Alejandría. En estos textos Euclides reúne gran parte de
los conocimientos geométricos de la época; pero no se limitan a una
recopilación, sino que en ellos estructura todo el saber de la época en
forma lógico-deductiva: nociones comunes, postulados, axiomas,
teoremas…, adquiriendo así, la Geometría, un carácter universal. Los
Elementos se consolidan como el texto “definitivo”, cuyo prestigio y uso
se prodigará por dos milenios.
¿De qué se ocupa la Geometría?
Euclides fue un matemático y un
geómetra griego
(325 a. C.- 265 a. C.). Se le conoce
como "El Padre de la Geometría".
Vivió en Alejandría (ciudad
situada al norte de Egipto)
durante el reinado de Ptolomeo I.
Una de las hipótesis que se
barajan sobre él es que fue el
líder de un equipo de
matemáticos que trabajaba en
Alejandría. Todos ellos
contribuyeron a escribir las obras
completas de Euclides, incluso
firmando los libros con el nombre
de Euclides después de su
muerte.
La Geometría es una parte de la Matemática que se ocupa de la
idealización de ciertos objetos materiales que pertenecen al espacio en
que vivimos. Tales objetos abstractos se identifican con palabras como
punto, recta, ángulo, plano, polígonos, poliedros, etcétera. Por lo tanto, es
necesario diferenciar entre la naturaleza del ente geométrico y la del
objeto perceptible o tangible que está representando.
Cuando “dibujamos” un punto, una recta, etc., se dibuja un
objeto perceptible que simboliza el ente abstracto correspondiente. Por
ejemplo, la recta como entidad matemática, es ilimitada y carece de
espesor, no así los dibujos que se hacen de ella.
El “lenguaje geométrico” tiene su origen en la necesidad de
describir el mundo de las formas que tienen los cuerpos que nos rodean,
su tamaño y posición en el espacio. Representa ideas por medio de
imágenes.
Debemos tener claro que cuando hablamos de “figuras o formas
geométricas” no nos referimos a ninguna clase de objetos perceptibles,
sin embargo, una imagen o un dibujo, apelan directamente a nuestra
intuición, y abren la posibilidad de explorar las relaciones entre los entes
geométricos y sus propiedades.
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La geometría en el mundo real
En la vida cotidiana encontramos muchas y diversas
aplicaciones de la Geometría, solo basta con dirigir nuestra observación
y atención a las formas que tienen los objetos físicos con los cuáles
convivimos. Una de las principales fuentes de estos objetos físicos, que
evoca figuras y cuerpos geométricos está en la Naturaleza.
El ser humano, en su quehacer diario, refleja en sus
construcciones arquitectónicas, obras de arte, artesanías, etcétera, esas
imágenes ideales que obtiene de la naturaleza: expresa su creación en
diferentes y muy variadas obras proyectando en ellas las figuras
geométricas perfeccionadas en su mente.
Mosca Dragón
Calzada del Gigante
(Irlanda)
Edificio Urbano
Gran Victoria Amazónica
Fábrica de Horta del
Ebro. 1909. Pablo
Picasso
Fig. 1. La geometría en el mundo real
Documental Códigos Secretos:
Las Formas, de Michael
Lachmann disponible en:
https://www.youtube.com/watch
?v=-fUYGRoM9EY
Te invitamos a ver el documental Códigos Secretos: Las
Formas, producido y dirigido por Michael Lachmann, en donde exalta la
geometría en el mundo real.
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Componentes elementales
geométricas en el plano
de
las
figuras
Puntos y rectas
En el campo de la geometría plana existen conceptos primitivos,
que no tienen definición, tales como: punto y recta.
Los puntos se representan con una marca pequeña redondeada y se
designan con letras mayúsculas: A, B, C, D,… como se muestra en la
figura 2. El punto no tiene dimensiones y se usa para indicar una
posición en el plano.
Fig. 2. Representación de puntos
Las rectas se designan con letras minúsculas.
No tienen ningún espesor y son ilimitadas. Esta característica se
suele indicar marcando flechas en cada extremo.
Fig. 3. Representación de una recta
En la figura 3 se ha representado la recta r con los puntos A, B y
C sobre ella.
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¿Alguna vez te imaginaste un mundo en dos
dimensiones?
El creador de la serie animada Futurama, Matt Groening si lo
imaginó. Te invitamos a ver a un divertido capítulo de esta serie en donde
los personajes, después de correr una carrera sobre una cinta de
Moebius, ingresan a un mundo bidimensional.
Capítulo de la serie Futurama:
Aventura en dos dimensiones. de
Matt Groening disponible en:
https://www.youtube.com/watch
?v=6Er0WMLlF4w
Propiedades fundamentales de la pertenencia de los puntos y las
rectas en el plano
En la figura 4 se han representado las rectas f y g y los puntos
A, B, C, E, F y G.
Fig. 4. Representación de dos rectas
Los puntos A y B se hallan en la recta f. Podemos decir también
que A y B pertenecen a la recta f o que ella pasa por los puntos A y B. El
punto C pertenece a la recta g pero no pertenece a la recta f. El punto F
pertenece a ambas rectas y es el punto de intersección -o de corte- entre
ambas. El punto G no pertenece a ninguna de las rectas.
Las propiedades fundamentales de la pertenencia de los puntos
y las rectas en el plano son las siguientes:

Cualquiera sea la recta, existen puntos que pertenecen a ella y
puntos que no le pertenecen.

Dos puntos determinan una y sólo una recta que contiene a
dichos puntos
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De la segunda propiedad podemos deducir que dos rectas
distintas no se cortan o bien lo hacen en un único punto.
¿Cuál es el razonamiento lógico que nos permite arribar a dicha
deducción?
Por dos puntos se puede trazar solamente una recta. Si hubiese
dos puntos de intersección entre estas dos rectas resultaría que por
estos puntos pasan dos rectas diferentes. Pero esto es imposible. Así se
obtiene la propiedad:
Dos rectas diferentes, no se cortan o se cortan en un solo punto.
Semirrectas y Segmentos
Si observamos la figura 5, el punto B está entre los puntos A y
C. Los puntos A y C están en distintos lados respecto del punto B; los
puntos A y B se hallan a un mismo lado respecto del punto C.
Un punto de una recta divide a la misma en dos partes llamadas
semirrecta (o rayo). El punto B divide a r en dos semirrectas y el
punto C se llama punto de origen de las semirrectas. Estas
semirrectas se llaman opuestas o complementarias.
Fig. 5. Representación de semirrectas
Una manera de notar una semirrecta es con el punto de origen
y otro punto suyo cualquiera, con la particularidad que el punto de origen
se coloca siempre en primer lugar. Por ejemplo, el punto B divide a la
⃗⃗⃗⃗⃗ ) y la
recta dada en las semirrecta BA (una notación usada es 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ es la parte de la recta cuyos puntos
semirrecta BC. De esta manera 𝐵𝐴
son B y todos los puntos situados del mismo lado que A respecto a B.
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Se llama segmento AB a la parte de la recta r cuyos puntos son todos
los de la recta r situados entre A y B. Los puntos A y B se denominan
extremos del segmento.
Rectas paralelas y secantes
Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningún punto en
común se dice que son paralelas. Si tienen un punto en común se
dice que son secantes (o concurrentes). Una recta que corta a otras
dos se dice que es una transversal.
Propiedades fundamentales de las paralelas
La propiedad fundamental de las paralelas consiste en lo
siguiente:
Por todo punto B que no pertenezca a la recta r, se puede trazar en
el plano no más de una paralela a la recta r.
Sitio
con
construcciones
Actividad 1
animadas
Mediante el uso de regla no graduada y compás:
perpendiculares que pueden ser
a) Traza una recta r y un punto P que no le pertenezca y
construye una recta paralela a r que pase por P.
b) Describe detalladamente los pasos seguidos para las
construcciones realizadas.
de
y
de ayuda para resolver las
actividades.
http://www.curriculumenlineamin
educ.cl/605/w3multipropertyvalues-4940058188.html
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paralelas
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Ángulos
Se llama ángulo a una figura formada por dos semirrectas con un
punto de origen común. Este punto se denomina vértice del ángulo
y las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo.
Fig. 6. Representación de un ángulo
La figura 6 representa el ángulo de origen O, formado por las
semirrectas OA y OB. Se suele designar como ∠BOA, ∠AOB o bien 𝐴𝑂̂ 𝐵.
La semirrecta OC se llama bisectriz del ángulo 𝐴𝑂̂𝐵 si pasa entre los
lados OA y OB del ángulo y lo divide en dos ángulos de igual medida.
En la figura 7 se ha representado el ángulo 𝐴𝑂̂ 𝐵 cuya bisectriz
es la semirrecta OC.
Fig. 7. Representación de la bisectriz
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Actividad 2
Utilizando regla no graduada y compás:
a) Dibuja un ángulo cualquiera de medida positiva y traza
la bisectriz del mismo.
b) Describe detalladamente los pasos seguidos para las
construcciones realizadas.
Sitio
con
construcciones
animadas de la bisectriz de un
ángulo que puede ser de ayuda
para resolver las actividades.
http://www.curriculumenlineamin
educ.cl/605/w3multipropertyvalues-4940058188.html
Relaciones entre ángulos

Dos ángulos se dicen complementarios si la suma de sus
medidas es 90º.

Dos ángulos se dicen suplementarios si la suma de sus medidas
es 180º.

Dos ángulos que tienen un lado en común y los otros lados son
semirrectas opuestas, se dicen adyacentes.
Un ángulo cuyos lados son
coincidentes se denomina ángulo
nulo y su medida es 0°.
Un ángulo cuyos lados son
semirrectas opuestas se
denomina ángulo llano y su
medida es 180°.
<α y <β son adyacentes
suplementarios
<α y <β son adyacentes
complementarios
Fig. 8. Representación de ángulos adyacentes
Un ángulo cuyos lados están
contenidos en rectas
perpendiculares se denomina
ángulo recto y su medida es 90°.
Si dos rectas secantes se cortan
en ángulo recto se denominan
perpendiculares.
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
Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice cuándo tienen el
vértice en común y sus lados son semirrectas opuestas.

Cuando dos rectas l y m se cortan en dos puntos por otra recta
transversal t se forman cuatro pares de ángulos que se llaman
ángulos correspondientes.
Ángulos opuestos por el
vértice: <α y <γ; <β y <δ
Ángulos correspondientes:
<1 y <5; <4 y <8; <2 y <6; <3
y <7
Fig. 9. Representación de ángulos opuestos y correspondientes
Las siguientes son algunas propiedades importantes que serán
demostradas en la materia:

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

La suma de las medidas de dos ángulos adyacentes es igual a
180°.

Si dos rectas paralelas r y s, son cortadas por una transversal t,
cada par de ángulos correspondientes que ellas determinan son
iguales.
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Actividad 3
1) Utilizando regla no graduada y compás:
a) Dibuja una recta r y un punto P que no le pertenezca y
otro Q sobre r y construye dos rectas perpendiculares a
r, una que pase por P y otra que pase por Q.
b) Describe detalladamente los pasos seguidos para las
construcciones realizadas.
c) ¿Existirá alguna relación entre las rectas construidas en
a)? En caso afirmativo establece una conjetura.
2) El ángulo 𝐴𝑂̂𝐵 es igual a 120° y el ángulo 𝐴𝑂̂𝐶 es igual a
150°.
Sitio con construcciones que
puede ser de ayuda para resolver
las actividades.
http://www.curriculumenlineamin
educ.cl/605/w3multipropertyvalues-4940058188.html
a) ¿Cuánto mide el ángulo 𝐵𝑂̂𝐶 si los rayos OB y OC se
hallan en el mismo semiplano respecto a la recta que
contiene al rayo OA?
b) ¿Cuánto mide el ángulo 𝐵𝑂̂𝐶 si los rayos OB y OC se
hallan en diferentes semiplanos respecto a la recta que
contiene al rayo OA?
3) ¿A qué son iguales dos ángulos adyacentes si uno de ellos
es dos veces mayor que el otro?
4) Demuestra que las bisectrices de dos ángulos
suplementarios adyacentes forman un ángulo recto.
5) Uno de los ángulos formados por la intersección de dos
rectas es igual a 60°. Calcula la medida de los demás
ángulos.
6) Si dos rectas se cortan en un único punto y uno de los
ángulos que forman, mide el triple de su adyacente, ¿cuánto
miden cada uno de los cuatro ángulos que determinan las
rectas?
7) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal y
un par de ángulos correspondientes mide cada uno 50°,
¿cuánto miden los restantes seis ángulos?
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8) Si ABCD es el paralelogramo dado en la figura y <BAC= 35º
Fig. 10. Representación de un paralelogramo
¿Cuál es la medida de los ángulos restantes? Argumenta la
validez de tus afirmaciones.
¿Es posible generalizar lo observado en torno a las
medidas de los ángulos interiores a cualquier
paralelogramo? ¿Cómo lo enunciarías? ¿Cómo demostrarías su
validez?
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Algunas figuras geométricas
Triángulo
 Un triángulo es una figura formada por tres puntos no alineados y
tres segmentos que unen estos puntos de dos en dos.
 Un triángulo se dice isósceles si dos de sus lados son iguales.
Fig. 11.Representación de un triángulo
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Una manera de notar los triángulos es, utilizando las letras que
designan a sus vértices.
Una notación usada para
representado en la figura 11, es ∆ABC.
designar
al
triángulo
ABC
Las siguientes son propiedades que serán demostradas en la
materia:

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180°.

En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a ángulos iguales
son iguales.
Circunferencia
La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan
de un punto fijo en el mismo plano, llamado centro de la
circunferencia. Al segmento que tiene como extremos el centro de la
circunferencia y un punto sobre ella se lo denomina radio.
Fig. 12. Representación de una circunferencia
En la figura 12 se ha representado la circunferencia de centro O
y radio r. Una forma usual de notarla es: C(O,r).
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Actividades
1) Sabiendo que, en la siguiente figura, las medidas de los
segmentos OA y AP miden 6 cm y 4 cm respectivamente calcula
la medida de la diagonal del rectángulo OBCA.
2) A partir de la medida del ángulo indicado en el dibujo, calcula
las medidas de los ángulos interiores del triángulo POR.
3) La siguiente circunferencia tiene centro en O. ¿Cuánto mide el
ángulo AOC?
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4) El triángulo ABC, cuyos vértices se encuentran sobre la
circunferencia de centro O, es isósceles con 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Sabiendo
que el ángulo AOC mide 150° ¿es posible determinar la medida
del ángulo OBC? Justifica tu respuesta.
5) Sobre la circunferencia de centro O y radio OA que se muestra a
continuación, se marcan los puntos P, Q y R en uno de los arcos
determinados por el diámetro AB.
a) Determina las medidas de los ángulos APB, AQB y ARB.
b) A partir de lo realizado, enuncia una conjetura que
involucre un punto S cualquiera sobre el arco
determinado por el diámetro AB que contiene a los
puntos P, Q y R.
c) Demuestra dicha conjetura.
¿Qué tienen en común las actividades anteriores?
¿Qué estrategias usaron para llegar a las respuestas?
¿Habrá otras posibles? Si las hay, ¿Resultan equivalentes?
¿Cuáles son los conocimientos mínimos necesarios para dar
respuesta a cada situación?
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6) Si dos ángulos α y β son iguales ¿Es cierto que sus ángulos
adyacentes también son iguales? Fundamenta la respuesta.
7) Si el triángulo ABC es isósceles, con AB = AC y AD es la bisectriz
del ángulo BAC, demuestra que <BDA = <CDA = 90°.
8) Sabiendo que AB // CF, DE // BC, α = 120° y β = 20°, calcula la
medida de los ángulos ABC y ACB justificando las respuestas.
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Bibliografía
GODINO, J. 2004. Matemática para Maestros. Proyecto EdumatMaestros.
POGORÉLOV, A. 1974. Geometría Elemental.
https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_geometr%C3%ADa
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