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Manual de Geometría y Trigonometría para alumnos del CETis 63 Ameca I n g . G e r a r d o S a r m i e n t o D í a z d e L e ó n Antecedentes Históricos Geometría go
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La geometría proyectiva que tiene su origen en los pintores del Renacimiento, aunque la base matemática inicial la elaboro el arquitecto Filippo Brunelleschi (1377–1446). Piero della Francesca, Leone Battista Alberti y Alberto Durero reflexionaron sobre las nociones de proyección y sección en su afán de entender el problema de la representación plana de un objeto real tridimensional, pero fue el arquitecto e ingeniero militar Gérard Desargues (1591–1661), el primer matemático que expuso estas ideas al publicar en Paris en el año 1639 Paris el libro: “Brouillon project d’une atteinte aux ëvénements des rencontres d’un cone avec un plan” (“Primer borrador sobre los resultados de intersecar un cono con un plano”). Los métodos proyectivos permiten a Desargues un tratamiento general y unificado de las cónicas, en contraposición con los métodos clásicos de Apolonio. viñeta La geometría analítica que fue inventada por René Descartes (1596 -­‐ 1650), trabaja problemas geométricos a base de un sistema de coordenadas y su transformación a problemas algebraicos. Se subdivide en geometría analítica plana, para ecuaciones con dos variables, y geometría analítica sólida, para ecuaciones con tres variables. viñeta La geometría diferencial que tiene su origen siglo XVIII, cuando los matemáticos siguiendo los descubrimientos de Descartes, añadieron cálculo diferencial e integral a curvas, superficies y otras entidades geométricas. viñeta ht DS
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La geometría (del griego geo, tierra y metrein, medir), es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban por problemas como la medida del tamaño de las tierras o del trazado de edificaciones. Para llegar a la geometría fractal hay que hacer un recorrido de miles de años pasando por el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, Grecia, Europa y los Estados Unidos de Norteamérica. Para comenzar, podríamos establecer una primera clasificación determinando dos tipos principales de geometría: euclidiana y no-­‐euclidiana. En el primer grupo se encuentran la geometría plana, la geometría sólida, la trigonometría, la geometría descriptiva, la geometría de proyección, la geometría analítica y la geometría diferencial; en el segundo, la geometría hiperbólica, la geometría elíptica y la geometría fractal. Planos diédricos de proyección y esfera cuyo eje es la línea de tierra. Psudoesfera. La geometría euclidiana se basa en las definiciones y axiomas descritos por Euclides (c.325 -­‐ c.265 a.C.) en su tratado Elementos, que es un compendio de todo el conocimiento sobre geometría de su tiempo. Principalmente comprende puntos, líneas, círculos, polígonos, poliedros y secciones cónicas, que en secundaria se estudian en Matemáticas y en Educación Plástica y Visual. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del universo. Dentro de las geometrías euclidianas se encuadran: ◊ La geometría sólida que fue desarrollada por Arquímedes (287 -­‐ 212 a.C.) y que comprende, principalmente, esferas, cilindros y conos. Las secciones cónicas fueron el tema de los estudios de Apolonio en la misma época (c.260 -­‐ 200 a.C.). viñeta ◊ La trigonometría que es la geometría de los triángulos. Fue desarrollada por Hiparco de Nicea (c. 190 -­‐ 120 a.C.). Puede dividirse en trigonometría plana, para triángulos en un plano, y trigonometría esférica, para triángulos en la superficie una esfera. ◊
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El análisis vectorial que estudia las cantidades que poseen magnitud y dirección. Conocida desde los tiempos de Aristóteles, y más aún por Simon Stevin en las últimas décadas del siglo XVI, la teoría moderna data de principios del siglo XIX. Las geometrías no euclidianas dentro de las que se encuadra la geometría fractal surgen en el siglo XIX, cuando algunos matemáticos comenzaron a desarrollar otros tipos de geometría, para los cuales, al menos uno de los axiomas de Euclides no se sostiene. Sin embargo el origen de la geometría fractal y de los fractales, habría que establecerlo hacia 1875–1925, cuando se produce una crisis en la definición de dimensión. Algunos de los “hitos” en la historia de las matemáticas no lineales y de la geometría fractal se presentan en este cuadro resumen. Punto, Línea, Plano ht DS
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El punto sólo tiene posición. No posee ni longitud, ni anchura ni espesor. No obstante, es necesario tener presente que el punto gráfico representa el punto geométrico pero no es el punto geométrico, en la misma forma que en un mapa un . puede representar una localidad sin ser la localidad misma. A diferencia del punto geométrico, el punto gráfico tiene tamaño. La línea posee longitud, pero carece de anchura y de espesor. Se puede representar por medio del trazo que deja la tiza en el tablero o mediante una cinta de caucho estirada. Un plano es una superficie tal que si una recta tiene común con ella dos de sus puntos, los tiene comunes todos, es decir, la recta descansará completamente sobre el plano. Un plano se puede representar por medio de la superficie de un espejo llano o una pared lisa, o por la tapa de un pupitre. ra
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Proposiciones verdaderas Proposición Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los términos verdadero o falso. Las proposiciones más comunes que se utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios. Axiomas Es una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento. Postulados Es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se han constituido al azar, sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometría Teorema Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas y postulados. Un teorema consta de: hipótesis y tesis: Hipótesis: son las condiciones o datos del problema Tesis: es la propiedad a demostrarse. Corolario Es la consecuencia de un teorema demostrado. Razonamiento Lógico D
Cuando una persona se empeña en una "reflexión clara" o en una reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del razonamiento lógico. Demostraciones Es un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad de la proposición junto con axiomas y postulados. Una demostración bien elaborada solo puede basarse en proposiciones antes demostradas, la demostración también es necesaria para fundamentar la generalidad de la proposición que se demuestra. Por medio de las proposiciones, las verdades geométricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos científicos. Nomenclatura y Notación de la Recta Recta Desde un punto de vista geométrico, el concepto de recta es sumamente difícil de construir. Puede decirse que una recta es el elemento geométrico unidimensional (su única dimensión es la longitud), el cual esta formado por varios segmentos. Un segmento de recta es la línea más corta que une dos puntos y el lugar geométrico de los puntos del plano (o el espacio) en una misma dirección. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos primitivos ya que no es posible su definición a partir de otros elementos conocidos. Sin embargo, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Algunas de las definiciones de la recta son las siguientes: La recta es la línea más corta entre dos puntos. La recta es un conjunto de puntos en el cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la mínima distancia a estos; se prolonga al infinito en ambas direcciones, en contraposición con el segmento y la semirrecta. La recta es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que tomados dos puntos cualquiera de ella, la pendiente m calculada mediante la fórmula , resulta siempre constante. La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos. go
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Posiciones de dos rectas en el plano. Llamaremos plano al espacio geométrico que queda delimitado por tres puntos no alineados. Posee dos dimensiones y contiene infinitos puntos y rectas. Lo representamos como un paralelogramo o con una figura de bordes irregulares. Una recta y un punto no perteneciente a ella también determinan un plano. Debemos destacar que: • un punto no tiene dimensión. • una recta tiene una sola dimensión. • un plano tiene dos dimensiones. 1.9. Posiciones de la recta en el plano. 1.10. Definición, notación y clasificación de ángulos 1.11. Unidades de m edidas de ángulos 1.12. Conversiones 1.13. Medición de ángulos 1.14. Teoremas ht DS
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Unidades de Medida MEDIDAS de VOLUMEN El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un metro de lado. MEDIDAS de SUPERFICIE Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado. MEDIDAS de LONGITUD Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos viendo cuantas veces entra una unidad de medida en el largo del objeto. Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad de medida. Para ello se creó una unidad principal de longitud llamada metro que es fija, universal el sistema de unidades de medida que incluye al metro junto a sus múltiplos y submúltiplos se llama Sistema Métrico Decimal. Divisiones de la línea recta (semirrecta, segmento) Semirecta Un punto sobre una línea recta, la separa en dos líneas continuas llamadas semirrectas, el punto es el extremo de ambas semirrectas y no pertenece a ninguna. Si B está en una de las semirrectas entonces, ésta se denota por Segmento de recta a la porción de una recta que está limitada por dos puntos. A estos puntos se le llama extremos. Puntos, rectas y axiomas de la geometría euclidiana Los puntos contenidos en un mismo plano se llaman coplanares y los que se encuentran sobre una misma línea recta, colineales Punto Colineales Puntos Coplanares A X I O M A 2 . Por cada punto de un plano pasa una infinidad de rectas contenidas en ese plano.
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Si al punto A le corresponden varias rectas, decimos que
estas rectas se cortan (se intersecan o concurren) en el punto A, o bien que las rectas tienen el punto común A
A A X I O M A 3 . Dos puntos distintos A / B determinan una y D
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sólo una recta que pasa por ellos. Otra forma equivalente de expresar el Axioma 3 es la siguiente: Por dos puntos distintos AjB pasa una y sólo una recta. La recta que pasa por los puntos AyB (véase la figura 1.14) se llama "recta AB" y su notación es AB, o sea, señalamos los dos puntos que la determinan y colocamos el símbolo <—> sobre las literales que indican los dos puntos. A B Es importante entender que una línea recta no termina donde su figura lo hace, sino que se extiende indefinidamente en ambas direcciones. De la misma manera, un plano se extiende indefinidamente en todas las direcciones. En consecuencia, una hoja de papel no es un plano, forma parte de un plano, y una parte muy pequeña de él. Analiza cada cuestión e ilústrela con un dibujo adecuado. Argumenta tu respuesta, es decir, cita el axioma correspondiente o la definición según sea el caso. a) Cuantos puntos como mínimo son necesarios para especificar la posición de una recta en un plano. b) Cuantas rectas determinan 3 puntos a) colineales, b) no colineales c) Los puntos M, N y P son diferentes y colineales, señala todas las posibles maneras de simbolizar la recta que pasa por los puntos M, N, y P utilizando dos de tres puntos M, N, y P M N p d) Que figuras forman todas las rectas que pasan por un plano Concepto de semirecta Como ya dijimos, una línea recta contiene una infinidad de puntos. Para interpretar la disposición de los puntos en una línea recta hay dos posibles órdenes, siendo uno opuesto al otro. Al escoger uno de estos órdenes, decimos que asignamos un sobre la recta. El siguiente axioma especifica la interpretación de la disposición de los puntos en una línea recta Axioma 4 (de Orden) de tres puntos cualesquiera de una recta, uno de ellos se encuentra entre los dos. A O B go
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D E F I N I C I Ó N 1.7. Un segmento es la porción de recta comprendida entre dos puntos, incluyendo estos puntos. En las figuras 1.22a y 1.22b puedes identificar varios segmentos. ¿Cuántos segmentos hay en total? ¿Cuáles son? ht DS
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Considera los tres puntos colineales A, O y B de la figura. Uno de estos puntos entre los otros dos. Si el punto 0 está
entre los puntos AyB, decimos que A precede a O y B sigue
a 0, en el sentido de A hacia B. De igual manera, decimos que B precede a O y A sigue a 0 en el sentido de B al punto A. En otras palabras, el pun to O divide a todos los puntos de esta recta en puntos que lo preceden y en puntos que lo siguen. A O O B Lo expuesto en el axioma sobre el orden de los puntos en una línea recta nos permite definir el concepto de semirrecta que necesitaremos para el establecimiento de los demás hechos geométricos. Resulta que cada punto 0 de una recta divide a todos los demás puntos de ésta en dos partes que llamamos semirrectas o rayos con punto inicial 0, cuya definición formal es la siguiente. D E F I N I C I Ó N 1 . 6 . Semirrecta o rayo es cada una de las partes en las cuales queda divida una recta por cualquiera de sus puntos. Para indicar una de las semirrectas en que un punto 0 divide a una recta, en la parte de la recta de nuestro interés señalamos un punto cualquiera A y simbolizamos la semirrecta por OA (véase la figura 1.20a). De igual manera, el símbolo OB denota la parte de la recta formada por el punto O y todos los puntos que siguen a 0 en el sentido de 0 a B (véase la figura 1.20b). Concepto de segmento y su medida Si sobre una recta consideramos dos puntos distintos AyB, éstos junto con todos los puntos de la recta que se encuentran entre ellos forman el segmento AB. Dicho segmento lo representamos con el símbolo AB o BA. Los puntos A y B son los extremos del segmento. • En la figura 1.22a (izquierda) hay tres segmentos: KL, LM y KM. • En la figura 1.22b (derecha) hay diez segmentos: AB, BC, CD, AD, AC, BD, AJE, EC,MyED. En la figura 1.23 se ilustra un procedimiento para comparar los segmentos CD, EF y GH con el segmento AB. La abertura del compás es la misma en todos los casos. Es de especial interés, en el estudio de la geometría, el caso en que los segmentos son iguales. Cuando comparamos figuras geométricas, en lugar de decir "es igual" acostumbramos decir "es congruente" y lo anotamos con el símbolo =. De esta manera, decimos que el segmento AB es congruente con el segmento EF y escribimos AB-­‐EF. La relación de congruencia de segmentos tiene tres propiedades básicas que están descritas en el siguiente axioma de congruencia. A X I O M A 5 (D E C O N G R U E N C I A) . Dados tres segmentos A B, C D y E F cualesquiera, la relación de congruencia entre ellos posee las siguientes propiedades: aproximadamente objetos de magnitudes medianas en caso de que no tengas disponible una cinta métrica. Observa la siguiente figura. Por cada dos de los puntos marcados traza una recta. ¿Cuántas rectas en total puedes trazar? ht DS
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Propiedad reflexiva: AB ~ BA. Propiedad simétrica: Si AB = CD entonces CD = AB. Propiedad transitiva: S¿AB = CDjCD = EF entonces AB = EF. La propiedad reflexiva establece que todo segmento es congruente consigo mismo y el orden en la anotación de los extremos no tiene importancia: AB también lo representamos como BA y se trata del mismo segmento. C O N S T R U C C I Ó N 1.1. Constrúyase un segmento C D congruente con un segmento dado AB. 1. El segmento PQ mide 2m y PR, 54 cm. ¿Cuántos centímetros mide el segmento QR si los puntos P, Q y R son colineales y el punto P está entre Q y R? Elabora un esquema de lo descrito. 2. Sobre una recta situamos tres puntos A, R y C de tal manera que AB = 1 + 5x, BC = 3 — 2x y AC = 4 + 3x ¿Para qué valor de x el punto B se encuentra entre A y C? Elabora un dibujo de la situación descrita y establece la relación que satisfaga las condiciones del problema. D
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Paso 1 Trazamos con la regla una recta € cualquiera y marcamos un punto C de ella (véase la figura 1.28). Paso 2 Con la punta de un compás en C y su abertura igual a la longitud del segmento AB, trazamos un arco que corte a la recta en D. a) Traza un segmento AB. Sobre éste coloca dos puntos distintos CyD. Señala todos los segmentos posibles. ¿Cuántos son? b) Traza una recta y sobre ella señala un punto K. Localiza y señala sobre la misma recta los puntos situados a 3.7 cm de distancia del punto K. ¿Cuántos c) son? d) Determina la longitud de tu paso medio. Para esto, mide con una cinta métrica una distancia de 20 m en un terreno plano. Recorre esta distancia en línea recta andando normalmente y cuenta el número de pasos e) que das. Dividiendo la longitud total, 20 m, entre el numero de pasos obtienes la longitud media de un paso tuyo. Memonza esta longitud para que, en caso necesario, puedas emplearla en las mediciones. f) Mide los elementos de tu propia mano y memoriza los resultados de estas mediciones. Utilizando estas medidas podrás medir 3. Sobre una recta situamos los puntos A, B, C y D de tal manera que AB = 48 mm, AC — 12 mm y DB = 19 mm. Elabora el dibujo y calcula la longitud de CB. 4. El Un segmento mide 12.5 cm. ¿Cuántos milímetros mide su quinta parte? 5. Menciona las características de un segmento que lo diferencian de una recta y de una semirrecta. 6. Si el segmento a = 7 cm y el segmento b = 2 ¾ cm, ¿cuántos centímetros exactamente mide el segmento 2b 1/3 a? Operaciones con Segmentos Suma de segmentos La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento ht DS
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La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman Diferencia de segmentos La diferencia de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por final el final del segmento mayor La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos Producto de un número por un segmento El producto de un número con un segmento es otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica ra
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La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial División de un segmento por un número La división de un segmento por un número es otro segmento tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original D
La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número ANGULOS D E F I N I C I Ó N 1 . 8 . Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas con un origen común y una de las regiones en que dichas semirrectas separan el plano. ra
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Siendo OA y OB dos semirrectas distintas que tienen un origen común O, el ángulo que forman se indica por cualquiera de las notaciones 2^AOB o A^BOA, donde el símbolo 4. significa ángulo (véase la figura 1.34a). Debes tener cuidado en que la letra de en medio sea la que indica el vértice. Las semirrectas OA y OB se llaman lados del ángulo y el origen común, el punto 0, se denomina vértice del ángulo (véase la figura 1.34b). A veces nombramos un ángulo con una sola letra para simplificar el lenguaje y la notación. Por ejemplo, al hablar del %.AOB, decimos simplemente "el ángulo O" y escribimos 4-­‐0, es decir, nada más señalamos el vértice del ángulo. Otra forma de nombrar un ángulo es utilizar las letras del alfabeto griego, por ejemplo, 4_a ("ángulo alfa"), 4-­‐P ("ángulo beta"), etc. Observa las notaciones de ángulos en la figura 1.35. D
corresponda al vértice del ángulo, como 3) Mediante una letra minúscula del alfabeto griego como α, β, etcétera. En ocasiones también conviene denotar los ht DS
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Definición de ángulo y su notación Dos semirrectas con origen común separan el plano en dos regiones infinitas. Cada una de las regiones del plano, junto con las semirrectas, forma una figura geométrica llamada ángulo (véase la figura 1.33). Observa que dos semirrectas con origen común forman no uno, sino dos ángulos. Por comodidad, para señalar la región del plano correspondiente a un ángulo trazamos un arco o la llamada "marca de ángulo". resumiendo lo antes expuesto, recuerda que dispones de tres formas comunes para nombrar un ángulo: 1) Mediante tres letras mayúsculas, de modo que la de en medio corresponda al vértice y las otras dos a puntos sobre los lados del ángulo, como ^AOC o 2^PQR, etcétera. 2) Por medio de una sola letra mayúscula que Es importante señalar que los lados de un ángulo no terminan en donde su figura lo hace, sino que se extienden indefinidamente. Eso se debe a que los lados de un ángulo son semirrectas, no segmentos. Además, ángulos con números, como etc., poniendo el número entre los lados del ángulo, sobre la curva trazada entre ellos, o con letras minúsculas de nuestro alfabeto, usadas de la misma manera que la notación con números: etcétera. Para familiarizarte con el lenguaje matemático, su interpretación y el manejo de la regla y el compás, te invitamos a explorar las siguientes construcciones. C O N S T R U C C I Ó N 1 . 4 . Constrúyase un ángulo congruente con un ángulo dado. Paso 1 Trazamos con la regla una recta t. Paso 2 Con una abertura conveniente del compás, apoyando su punta en el vértice A del ángulo dado, trazamos un arco que corte a sus lados en los puntos P y Q respectivamente. Paso 3 Con la misma abertura del compás, apoyando su punta en un punto E de la recta € antes trazada, marcamos un arco que corte a la recta en el punto Q'. Paso 4 Con centro en Q' y la abertura de compás igual a la longitud del segmento PQ, trazamos un arco que corte al arco anterior en el punto P. Paso 5 Con la regla trazamos la semirrecta EP'. El ángulo P'EQ' es un ángulo congruente con el ángulo dado. C O N S T R U C C I Ó N 1 . 5 . Constrúyase un ángulo igual a la suma de dos ángulos dados. ht DS
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Paso 1 Se traza una semirrecta con extremo en un punto 0. Paso 2 Con una abertura conveniente del compás, apoyando su punta en el vértice A de uno de los ángulos dados, y después en el vértice B del otro ángulo dado, se marcan arcos de radios iguales. Denótense con P y Q los puntos de intersección del arco y los lados del y con R y S los puntos de intersección del otro arco y los lados del . Paso 3 Con la misma abertura del compás, apoyando su punta en el punto 0, se traza un arco. Denótese con P' el punto de intersección de este arco y la semirrecta trazada. Paso 4 Sobre la semirrecta OP' se construye el congruente con el , y sobre la semirrecta OQ' el congruente con el El nombre de minuto. El minuto lo designamos con un apóstrofo así, medio grado son 30 minutos y se escribe 30'. El minuto también se divide en 60 partes iguales, cada una de las cuales se llama segundo y su símbolo es "; así, para indicar un cuarto de minuto, o sea 15 segundos, anotamos 15". Utilizando estas subdivisiones y símbolos, expresamos la medida de los ángulos con el número de grados, minutos y segundos que contienen. Por ejemplo, la medida 42° 22'30" la leemos: "42 grados, 22 minutos, 30 segundos". De igual forma, un ángulo de 7 grados, 56 minutos, 49 segundos lo denotamos como 7 o 56'49". En la mayoría de los cálculos es conveniente representar las fracciones de los grados con decimales. Las calculadoras científicas, por lo general, tienen una tecla para convertir un ángulo dado en grados decimales a grados, minutos y segundos, y viceversa. También puedes transformar grados, minutos y segundos a decimales, y viceversa, utilizando el procedimiento que describimos en los dos ejemplos siguientes. Ejemplo 1.3 Expresa 7° 56'49" como decimal hasta diezmilésimos de grado. es igual a la suma de los ángulos dados Medida sexagesimal de los ángulos D
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Las unidades más conocidas para la medida de ángulos son los grados y los radianes. La primera está basada en la asignación de 360 grados al ángulo completo (sus lados coinciden). La utilización de este sistema data de los antiguos babilonios, quienes dividieron el ángulo completo en 360 partes iguales porque en su época consideraban que la duración del año era de 360 días. D E F I N I C I Ó N 1 . 9 . La unidad de medida de ángulos es —parte de un ángulo completo y se llama grado. En la notación de la medida de un ángulo, la palabra grado se sustituye por el símbolo un pequeño círculo colocado justamente arriba y a la derecha del número. Así, para indicar siete grados escribimos 7 o ; un ángulo de 90 grados lo apuntamos como 90°; la décima parte de un ángulo completo lo indicamos como 36°. Para medir fracciones de grado, dividimos el grado en 60 partes iguales, cada una de las cuales recibe el Suma de ángulos Gráfica La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales. ht DS
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Numérica 1º Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman. 2º Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 3º Se hace lo mismo para los minutos. ra
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Resta de ángulos Gráfica La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor. D
2º Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos. 3º Hacemos lo mismo con los minutos. Multiplicación de ángulos Gráfica La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número. Numérica 1º Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos. Numérica 1º Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número. 2º Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 3º Se hace lo mismo para los minutos. División de ángulos Gráfica La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original. Realizar las siguientes operaciones a. 56º 20' 40" -­‐ 37º 42' 15" b. 125º 15' 30" -­‐ 24º 50' 40" c. 33º 33' 33" -­‐ 17º 43' 34" Operaciones con medidas de ángulos =
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:4 Numérica Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1º Se dividen los grados entre el número. 2º El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. 3º Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos. D
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4º Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos. ht DS
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Tipos de Ángulos según su posición Á n g u l o s c o n s e c u t i v o s ht DS
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Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común Ángulos adyacentes Clasificación de Ángulos Recto = 90°
Convexo < 180°
Llano = 180°
Nulo = 0º
Completo = 360°
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Agudo < 90°
Negativo < 0º
Mayor de 360°
Obtuso>90°
Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro Ángulos opuestos por el vértice Cóncavo > 180°
Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales Los ángulos 2 y 4 son iguales Clases de ángulos según su suma Ángulos complementarios Ángulos en la circunferencia Ángulo central Dos ángulos son suplementarios si suman 180° Ángulos entre paralelas y una recta transversal Ángulos correspondientes El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente ht DS
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Dos ángulos son complementarios si suman 90° Ángulos suplementarios Ángulo inscrito Los ángulos 1 y 2 son iguales Ángulos alternos internos El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella Mide la mitad del arco que abarca Ángulo semiinscrito D
ra
go
Los ángulos 2 y 3 son iguales Ángulos alternos externos El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella Mide la mitad del arco que abarca Ángulo interior Los ángulos 1 y 4 son iguales Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados Sistemas de medidas angulares
# Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de
medida es el grado sexagesimal que corresponde a
1/360 que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60
partes iguales y 1°/60 corresponde a un minuto
sexagesimal que se abrevia 1´; éste a su vez se divide
en 60 partes iguales y 1´/60 corresponde a un segundo
sexagesimal que se abrevia 1".
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Ángulo exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella: Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 72º Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia Ángulos de un polígono regular # Sistema Circular: en éste sistema la unidad de
medida es el radian.
D
ra
go
Ángulo central de un polígono regular Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360° : n Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior =180° − Ángulo central Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º Ángulo exterior de un polígono regular Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. ¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que
tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo
arco es igual al radio de la circunferencia al cual
pertenece.
1 radián = 360º/2.π.R = 360º/6,283185307 =
57,29577951º = 57º 17´ 44,8"
Siendo;
π = 3,141592654
R=1
Las unidades de medida que pasaré a estudiar
pertenecen al sistema sexagesimal y circular.
4- Expresar en grados, minutos y segundos.
a)
38,466° =
Respuesta: 38° 27´ 57,6"
b)
126,03334° =
Respuesta: 126° 02´
c)
136,44´ =
Respuesta: 2° 16´ 26,4"
d)
362,62´ =
Respuesta: 6° 02´ 37,2"
e)
40436" =
Respuesta: 11° 13´ 56"
f)
68367" =
Respuesta: 18° 59´ 27"
Equivalencia entre los sistemas
α°/360° = αrad/2.π ht DS
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Ejercicios propuestos 1- Expresar en grados.
a)
53° 16´ 50" =
Respuesta: 53,28055556°
b)
170° 36´ 50" =
Respuesta: 170,6138889°
c)
28° 10´ =
Respuesta: 28,16666667°
d)
45° 36" =
e)
276° 09´ 07" =
Respuesta: 45,01°
Respuesta: 276,1519444°
5- Reducir al sistema circular. Para π = 3,14.
a)
42° 29´ 36" =
Respuesta: 0,74 rad
b)
150° =
Respuesta: 2,61 rad = (5/6).π
rad
c)
36° 18´ =
Respuesta: 0,63 rad
d)
146° 36" =
Respuesta: 2,54 rad
e)
184,68´ =
Respuesta: 0,05 rad
f)
58348" =
Respuesta: 0,28 rad
g)
270° =
Respuesta: 4,71 rad = (3/2).π
rad
2- Expresar en minutos.
a)
16° 29´ 32" =
148° 19´ 37" =
c)
45° 10´ =
d)
82° 18" =
D
ra
go
b)
Respuesta: 989,5´
Respuesta: 8899,6´
Respuesta: 2710´
Respuesta: 4920,3´
6- Reducir al sistema sexagesimal.
3- Expresar en segundos.
a)
1,36 rad =
Respuesta: 77° 57´ 42,42"
b)
0,28 rad =
Respuesta: 16° 03´ 03,44"
a)
35° 19´ 43" =
Respuesta: 127183"
c)
(3/2).π rad =
Respuesta: 270°
b)
72° 40´ =
Respuesta: 261600"
d)
(3/4).π rad =
Respuesta: 42° 59´ 37,07"
c)
180° 19" =
Respuesta: 496819"
e)
(2/5).π rad =
Respuesta: 72°
d)
342° 18´ 56" =
Respuesta: 1232336"
f)
(3/7).π rad =
Respuesta: 77° 08´ 34,29"
g)
(5/9).π rad =
Respuesta: 100°
a)
(1/12).π rad =
Respuesta: 15°
h)
(11/12).π rad =
Respuesta: 165°
b)
(1/8).π rad =
Respuesta: 22° 30´
c)
(1/5).π rad =
Respuesta: 36°
d)
1 rad =
Respuesta: 57° 19´ 29,43"
e)
(3/5).π rad =
Respuesta: 108°
f)
(2/3).π rad =
Respuesta: 120°
Ejercicios de aplicación
Se considera para π = 3,14.
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1- Expresar en el sistema circular un ángulo de:
18° =
b)
30° =
c)
36° =
d)
43° =
e)
45° =
f)
60° =
g)
72° =
h)
75° =
i)
80° =
j)
120° =
k)
161° =
l)
540° =
ll)
35° 40´ =
m)
42° 27´ 32" =
Respuesta: 0,74 rad
n)
42° 59´ 37" =
Respuesta: 0,75 rad
ra
D
ñ)
go
a)
Respuesta: (1/10).π rad
Respuesta: (1/6).π rad
g)
(3/4).π rad =
Respuesta: 135°
h)
2,5 rad =
Respuesta: 143° 18´ 43,5"
i)
(4/5).π rad =
Respuesta: 144°
j)
2,7 rad =
Respuesta: 154° 46´ 37,4"
k)
3,6 rad =
Respuesta: 206° 22´ 09,94"
l)
(4/3).π rad =
Respuesta: 240°
ll)
4,18888 rad =
Respuesta: 240° 07´ 36,76"
m)
(7/5).π rad =
Respuesta: 252°
n)
(5/3).π rad =
Respuesta: 300°
ñ)
(7/4).π rad =
Respuesta: 315°
o)
5,55555 rad =
Respuesta: 318° 28´ 15,6"
p)
6 rad =
Respuesta: 343° 56´ 56,5"
q)
6,17222 rad =
Respuesta: 353° 49´ 17,5"
r)
(7/3).π rad =
Respuesta: 420°
Respuesta: (1/5).π rad
Respuesta: 0,75 rad
Respuesta: (1/4).π rad
Respuesta: (1/3).π rad
Respuesta: (2/5).π rad
Respuesta: (5/12).π rad
Respuesta: (4/9).π rad
Respuesta: (2/3).π rad
Respuesta: 2,81 rad
Respuesta: 3.π rad
Respuesta: 0,62 rad
46° 20´ 30" =
Respuesta: 0,81 rad
o)
55° 84´ =
Respuesta: 0,98 rad
p)
97° 25´ =
Respuesta: 1,70 rad
q)
150° 03´ 24" =
Respuesta: 2,61 rad
2- Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de:
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1. Determina el complemento de 72º.
2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?
3. ¿Cuál es el suplemento de (a -­‐ 12)º
4. Determina el complemento del suplemento de 143º.
5. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?
6. ¿Cuál es el suplemento del complemento de (a -­‐ 10)º.
7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento de 93º.
8. Determina la diferencia entre el suplemento de (a -­‐ 15)º y el complemento de (a -­‐ 45)º
9. Un ángulo y su suplemento están en razón 7:2. ¿Cuánto mide el ángulo menor?
go
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27. El doble de un ángulo es la cuarta parte de su complemento. ¿Cuánto mide el ángulo?
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10. Un ángulo y su complemento están en razón 2:1. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo mayor?
11. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.
12. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.
13. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor?
14. Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x?
15. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos ángulos?
16. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3. ¿En qué razón están los complementos respectivos de estos ángulos?
17. El complemento y el suplemento de un ángulo son entre sí como 1:5. ¿Cuánto mide el ángulo?
18. Determina el complemento de 42º18'.
19. Determina el suplemento de 154º27'42''.
20. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo.
21. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?
22. Un ángulo recto se divide en razón 1:2:3. ¿Cuál es la diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor de esta división?
23.Dos ángulos opuestos por el vértice miden (20 -­‐ a)º y (a + 74)º. ¿Cuánto vale a?
24. El complemento de un ángulo de 47º es (ß -­‐ 30)º. ¿Cuánto vale ß?
25. Si la diferencia entre dos ángulos complementarios es 22º. ¿Cuál es la diferencia entre sus complementos respectivos?
26. A la cuarta parte de un ángulo se le suma su tercera parte resultando 7º. ¿Cuánto mide el ángulo?
TRIANGULOS Convención de escritura ra
1 Convención de escritura 2 Clasificación de los triángulos 2.1 Por la longitud de sus lados 2.2 Por la amplitud de sus ángulos OP y OQ que comparten el extremo O es También podemos utilizar una letra minúscula, griega lo más a menudo, coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el 2.3 Otras denominaciones 3 Congruencia de triángulos 3.1 Postulados de congruencia 4 Semejanza de triángulos 4.1 Semejanzas de triángulos rectángulos 5 Propiedades de los triángulos 6 Centros del triángulo 7 Cálculo de elementos en un triángulo 8 Elementos notables de un triángulo 8.1 Medianas y centro de gravedad 8.2 Mediatrices y círculo circunscrito go
Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C, ... Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. El orden de citación de los vértices es irrelevante, porque todos los segmentos de los que estos vértices son los extremos, son los lados del triángulo. Los lados del triángulo, son llamados, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en nuestro ejemplo. Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB. La notación general para el ángulo entre dos segmentos D
Contenido ht DS
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Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados (Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana. Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico 8.3 Bisectriz y círculo inscrito 8.4 Alturas y ortocentro 8.5 Recta y círculo de Euler ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ángulos: 2. Clasificación de los triángulos ht DS
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Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de sus lados o por la amplitud de sus ángulos. 2.1 Por la longitud de sus lados Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en: Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó Se llama triángulo oblicuángulo cuando no tiene un ángulo interior recto (90°). Los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. 3. Otras denominaciones Además, tienen estas denominaciones y características: Los triángulos acutángulos pueden ser: Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente. Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría. Los triángulos rectángulos pueden ser: Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa. Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes. Los triángulos obtusángulos son: Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos. Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes. radianes.) Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida. equilátero isósceles escaleno acutángulo Triángul
o obtusángulo D
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rectángulo 2.2 Por la amplitud de sus ángulos Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en: Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°). Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo. 3. Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen sean congruentes con los del otro triángulo. Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen sean congruentes con los del otro triángulo. 3.1 Postulados de congruencia Triángulo Postulado Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos, en un triángulo, tienen la misma medida y longitud, respectivamente con los del otro triángulo. (El lado comprendido para un par de ángulos es el lado que es común a ellos). Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que un lado correspondiente del otro triángulo. Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres Postulado AAL (Ángulo, Ángulo, Lado) Dos ángulos y un lado correspondiente no comprendido entre los ángulos, en un triángulo, tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que las del otro triángulo. vértices. Después del punto y el segmento, el triángulo es el polígono más simple. Es el único que no tiene diagonal. En el espacio, tres puntos definen un triángulo (y un plano). Por el contrario, si cuatro puntos de un mismo plano forman un cuadrilátero, cuatro puntos que no estén en el mismo plano no definen un polígono, sino un tetraedro Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos que se forman con una triangulación del polígono. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n − 2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° lo que equivale a π radianes, en geometría euclidiana.1 D
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5.0 Propiedades de los triángulos ht DS
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Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos lados en un triángulo tienen la misma longitud que dos lados en el otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tengan también la misma medida. Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes: Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro. Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro. Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro. 4.0 Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si sus ángulos tienen la misma amplitud y los lados opuestos de estos ángulos son proporcionales. Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales. Semejanzas de triángulos rectángulos La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-­‐32) de la siguiente manera: trazamos la paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de al lado (ángulos alternos-­‐internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y El teorema de Pitágoras gráficamente. Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»: go
Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras: ra
7. Centros del triángulo Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo: Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto. D
Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos. Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas. Exincentros: son los centros de las circunferencias exinscritas, aquellas que son tangentes a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos. El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero. Cálculo de elementos en un triángulo Para resolver triángulos utilizamos generalmente el Teorema de Pitágoras cuando son triángulos rectángulos, o los Teoremas del seno y del coseno. 8.1 Medianas y centro de gravedad ht DS
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del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). La suma de los ángulos de un triángulo es 180 °. Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana. La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado. El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo. Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»: Medianas y centro de gravedad de un triángulo Se lama mediana de un triángulo cada una de las tres líneas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto al vértice. Cada una de las tres medianas dividen el triángulo en dos triángulos de áreas iguales. Las tres medianas de un triángulo son concurrentes. Su punto de intersección G es llamado centro de gravedad del triángulo 8.2 Mediatrices y círculo circunscrito ra
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Bisectrices y círculo inscrito de un triángulo. Las bisectrices de un triángulo son las tres bisectrices de sus ángulos internos. Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes en un punto O. El círculo inscrito del triángulo es el único círculo tangente a los tres lados del triángulo y está totalmente incluido en el triángulo. Tiene por punto central O, que es pues el centro del círculo inscrito en el triángulo. 8.4 Alturas y ortocentro D
Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres líneas que pasan por un vértice del triángulo y son perpendiculares a la cara opuesta al vértice. La intersección de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la altura. Estas 3 alturas se cortan en un punto único H llamado ortocentro del triángulo. Notas: Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es uno de los vértices del triángulo Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo Recta y círculo de Euler ht DS
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Mediatrices y círculo circunscrito de un triángulo. Se llama mediatriz de un triángulo a cada una de las mediatrices de sus lados [AB], [AC] et [BC]. Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto Ω equidistante de los tres vértices. El círculo de centro Ω y radio ΩA que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es el círculo circunscrito al triángulo. Notas: Un triángulo es obtusángulo si y sólo si las bisectrices se cortan fuera del triángulo. Un triángulo es acutángulo si y sólo si las bisectrices se cortan dentro del triángulo. Propiedad: ABC es un triángulo rectángulo en A si y sólo si el centro de su círculo circunscrito es el centro de [BC]. 8.3 Bisectriz y círculo inscrito Alturas y ortocentro de un triángulo Recta y círculo de Euler de un triángulo Los tres puntos H, G y Ω están alineados en una línea recta llamada recta de Euler del triángulo y verifica la relación de Euler: Por otra parte, los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos [AH], [BH] y [CH] están en un mismo círculo llamado círculo de Euler o círculo de los nueve puntos del triángulo Ejercicios. 1. Traza 3 triángulos uno acutángulo, uno rectángulo y otro obtusángulo, del tamaño que puedas manejar con facilidad. Recorta los triángulos trazados y suma sus ángulos interiores. 2. Prepara 4 palillos de madera con las siguientes medidas. 6, 10, 12 y 14 cm. Forma todos los triángulos posibles empleando tres palillos ¿Cuántos triángulos puedes formar? ¿Qué clase de triángulo es cada uno de ellos? Anota tus resultados en una tabla. go
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D
8. Traza un triángulo isósceles con los elementos proporcionados ¿Cuántos triángulos isósceles puedes trazar en cada caso? a) El segmento AB es la base y un ángulo adyacente a ella mide 45ᵒ 45 A B b) El ángulo opuesto a la base mide 110ᵒ y uno de los lados congruentes es el segmento PR ht DS
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3. Calcula la medida de os {angulos interiores de los siguientes triángulos. 54 147.7 90 108 4. Completa correctamente los siguientes enunciados. a) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son __________ b) Si en un triángulo dos de sus ángulos interiores miden 34ᵒ y 75ᵒ r4espectivamente el tercer ángulo mide _________ y el triángulo es ________________ c) Si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 29ᵒ 48’ 56” el otro ángulo agudo debe de medir ___________________ 5. Deduce las medidas faltantes de los ángulos interiores de todos los triángulos del esquema siguiente y clasifícalos según las amplitudes de sus ángulos y las longitudes de sus lados. Presenta los resultados en una tabla. D
E 55 33 45
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G
F 27 65 45 33 A B C 6. Traza un triángulo rectángulo uno de cuyos catetos mida 3 cm y uno de sus ángulos agudos mida 50ᵒ. Con los elementos dados ¿cuántos triángulos rectángulos puedes trazar? 7. Traza un triángulo isósceles con los siguientes datos. ¿Cuántos triángulos isósceles puedes trazar en cada caso? a) Un ángulo adyacente al lado desigual mide 45ᵒ b) El ángulo comprendido entre los lados congruentes mide 45ᵒ 110 A B 9. Analiza los datos en cada inciso y responde: ¿es posible construir un triángulo con estas medidas? Utiliza la notación de la siguiente figura. a C a) a=12 cm b=7 cm c=4 cm B b) a=10 cm b=3 cm A=30ᵒ B=40ᵒ b c A 10. Dos de los ángulos interiores de un triangulo miden 23ᵒ y 34ᵒ respectivamente ¿Qué clase de triángulos es? a) Acutángulo b) Rectángulo c) Obtusángulo d) Equiángulo 11. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 39ᵒ 30’. ¿Cuánto mide el otro ángulo? a) 51ᵒ30’ b) 140ᵒ30’ c) 50ᵒ30’ d) 89ᵒ30’ 12. Es la suma de las medidas de los ángulos interiores K y M del triángulo KLM de la siguiente figura M 117 a) 63ᵒ L b) 117ᵒ c) 90ᵒ K d) 27ᵒ D
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2 Observadores separados 250 m ven un globo estático situado entre ellos bajo ángulos de 72ᵒ y 85ᵒ ¿a que altura se encuentra el globo? ¿a que distancia se encuentra cada observador del glolbo? La base de un triángulo isóceles mide 58 cm y los lados iguales 39 cm, calcular los ángulos POLIGONOS Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos. Cada uno de los segmentos se denomina lado. El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo. El número de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser mayor o igual a tres. ht DS
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Los polígonos suelen nombrarse por el número de lados: triángulo, cuadrilátero, pentágono,... SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO. Ya vimos en los temas anteriores la suma de los ángulos de un triángulo (180º) y de un cuadrilátero (360º). DIAGONALES DE UN POLÍGONO. Diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos ¿Cuántas diagonales tienen un polígono de n lados? ra
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POLÍGONO n SUMA ÁNGULOS Triángulo 3 180 Cuadrilátero 4 180·∙2 = 360 Pentágono 5 180·∙3=540 Polígono n 180·∙(n-­‐2) La suma de los ángulos de un polígono de n lados es 180·∙(n-­‐2) D
¿Cuánto suman los ángulos
interiores de un este
polígono? Un pentágono puede descomponerse en tres triángulos. Bien desde el punto que se ha marcado o desde otro. Por tanto la suma de sus ángulos interiores es 3·∙180º = 540º. Polígono Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Polígono Nº Lados Nº Diagonales 3 d3= 0 4 d4=2 5 d5= 2+3=5 6 d6= 2+3+4=9 7 d7 = 2+3+4+5=14 n 2+3+4+5+....+(n-­‐2) Aplicando esta expresión calcula el número de diagonales de
un decágono. Veamos un razonamiento más sencillo para determinar el número de diagonales de un polígono cualquiera. Imagina un polígono de n lados (n vértices). De cada vértice salen n-­‐3 diagonales, ya que a él mismo y Cuadrado ht DS
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a los dos contiguos no hay diagonal. Tenemos por tanto, n vértices ·∙ (n-­‐3) diagonales de cada vértice. Con esta cuenta cada diagonal la contamos dos veces, hay por tanto que dividir entre dos. Por tanto un polígono de n lados tiene dn= n·∙ (n-­‐3)/2 diagonales. Dibuja un octógono y sus diagonales. ¿Cuántas tiene? cuéntalas, y después haz el cálculo con la expresión que se ha deducido. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 20 lados? Pentágono regular POLÍGONOS CONVEXOS Hexágono regular ra
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Un polígono es convexo si todos los ángulos interiores son menores de 180º. En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360º. Heptágono regular D
Es muy sencillo de ver, entre todos los ángulos dan una vuelta completa. Un polígono es regular, si todos sus lados son iguales y sus ángulos también son iguales Polígono regular es el que tiene lados iguales y ángulos iguales. Un polígono es regular si es equilátero y equiángulo Triángulo equilátero Octógono regular D
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2.-­‐ Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 centímetros. ¿Cómo es el triángulo según sus lados y según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos notables. ¿Dónde están situados los puntos notables? El triángulo es escaleno porque los tres lados son distintos y rectángulo porque tiene un ángulo recto. El circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa. El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. El baricentro y el incentro están en el interior. 3.-­‐ Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 12 centímetros. ¿Cómo es el triángulo Según sus lados y según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos notables. ¿Dónde están situados los puntos notables? El triángulo es escaleno porque los tres lados son distintos y obtusángulo porque tiene un ángulo obtuso. El circuncentro y el ortocentro quedan fuera del triángulo. El baricentro y el incentro están en el interior. 4.-­‐ Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 6 y 6 centímetros. ¿Cómo es el triángulo según sus lados y según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos notables. ¿Qué ocurre con las rectas y los puntos notables? El triángulo es equilátero y acutángulo, todos los ángulos miden 60º. Las rectas y los puntos notables coinciden. La siguiente figura muestra polígonos regulares de hasta 36 lados, observa que al aumentar el número de lados la forma del polígono se aproxima a una circunferencia. ht DS
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EJERCICIOS 1.-­‐ Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 7 y 8 centímetros. ¿Cómo es el triángulo según sus lados y según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos notables. ¿Dónde están situados los puntos notables? El triángulo es escaleno porque los tres lados son distintos y acutángulo porque todos sus ángulos son agudos. Todos los puntos notables están en el interior. La amplitud del ángulo central es ht DS
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Los elementos más importantes de un polígono regular son: centro, radio, lado y apotema Centro, el punto que equidista de los vértices. Radio R, es el segmento que une el centro con un vértice. Apotema a, segmento que une el centro con el punto medio de un lado. En todo polígono regular se puede construir un triángulo rectángulo que tiene por lados la mitad del lado, el apotema y el radio. Aplicando el teorema de Pitágoras, ra
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Comprueba en la figura que el ángulo central de un octógono es 45º. ¿Cuánto mide el ángulo central de un decágono regular? (10 lados)? Ángulo central de un polígono regular. La figura representa el ángulo central de un polígono regular de N lados. No todos los polígonos regulares pueden construirse de forma exacta con regla y compás. EL ÁNGULO CENTRAL ES IGUAL A 360 DIVIDIDO
ENTRE EL NÚMERO DE LADOS
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES En primer lugar debes saber que no todos los polígonos regulares pueden construirse de forma exacta utilizando únicamente regla y compás. Desde los tiempos Euclides (300 A.C) se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y los que de éstos se deducen: Si un polígono regular de n lados es construible, también lo son los de número de lados 2n, 4n, 8n,... basta para ello trazar la circunferencia circunscrita al polígono y hacer las mediatrices de sus lados. Si un polígono regular de n lados puede construirse también son construibles los polígonos cuyo número de lados sea divisor de n. Basta unir los vértices de m en m. Ej. Si construimos el polígono regular de 12 lados, uniendo A veces interesa construir un polígono regular partiendo de la circunferencia circunscrita CUADRADO ht DS
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de 3 en 3 se obtiene un cuadrado. Si unimos de dos en dos, hexágono. Veamos en primer lugar algunas construcciones de polígonos regulares conocido el lado TRIÁNGULO EQUILÁTERO HEXÁGONO REGULAR CUADRADO ra
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OCTÓGONO REGULAR go
HEXÁGONO REGULAR Utiliza los controles de la parte inferior de cada una de las construcciones para su observación detallada. Para construir el cuadrado se han trazado una recta cualquiera que pase por el centro de la circunferencia, a continuación una recta perpendicular a ella. ht DS
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Observa que el octógono se ha construido haciendo la bisectriz de las rectas que definen el cuadrado. ¿Como harías para construir un dodecágono regular? Dodecágono = 12 lados. A finales del Siglo XVIII, uno de los grandes matemáticos de la historia, Gauss, con tan solo 19 años demostró la construcción del polígono regular de 17 lados. Gauss, conocido como el Príncipe de las Matemáticas, también demostró que es imposible construir utilizando únicamente regla y compás los polígonos regulares de 7,9 y 13 lados. A modo de curiosidad, observa la construcción del genial Gauss D
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ACTIVIDADES 4.-­‐Varía el número de lados del polígono de la figura, y completa la tabla siguiente. Polígono Regular Número de Divisor Ángulo Interior lados de 180 -­‐ 360/n 360 n Triángulo Equilátero 3 60º SI Cuadrado 4 Pentágono Reg. 5 Hexágono Reg. 6 Heptágono Reg. Octógono Reg. Eneágono Reg. Decágono Reg. Undecágono Reg. Dodecágono Reg. ht DS
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Indica si el ángulo interior es divisor de 360º. D
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Escribe los polígonos regulares cuyo ángulo interior es divisor de 360º. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). ht DS
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Cuerda, segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia Círculo es la superficie plana limitada por una circunferencia Semicircunferencia: cada una de las partes que un diámetro divide a la circunferencia El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo. ra
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Diámetro es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Pi = Π = 3,14159.... Otros objetos geométricos ligados circunferencia y circulo: CIRCUNFERENCIA Arco, parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos. CÍRCULO Sector circular, región del círculo comprendida entre dos radios y el arco correspondiente. POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA Distancia de un punto a una recta. La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento que une el punto con la recta formando ángulo recto. Si el punto P está en la recta r, d (P,r) = 0 ht DS
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Segmento circular, región del círculo comprendido entre un arco y su cuerda Semicírculo, región limitada por un diámetro y su arco. Mitad del círculo En dos circunferencias con el mismo centro (concéntricas), se llama corona circular a la región del plano comprendida entre ellas. Exteriores. La distancia de O a r es mayor que R. La recta y la circunferencia no tienen puntos comunes. go
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Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, tangentes y secantes en función de como sea la distancia d del centro de la circunferencia a la recta con respecto al radio R de la circunferencia. Tangentes. La distancia del centro de la circunferencia a la recta es igual al radio de ésta. La recta y la circunferencia tienen un punto en común. Secantes. La distancia del centro O de la circunferencia a la recta es menor que el radio r. Hay dos puntos comunes a recta y circunferencia CIRCUNFERENCIA Y CIÍRCULO ESTÁN DEFINIDOS
POR EL VALOR DEL RADIO
CONSTRUCCIÓN DE RECTA TANGENTE CIRCUNFERENCIA. a.-­‐ Por un punto P de la circunferencia. A UNA POSICIÓN RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS La posición relativa entre dos circunferencias viene determinada por la distancia entre sus centros (d) y el valor de sus radios R y R'. Se tienen los casos siguientes ht DS
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Exteriores
La distancia entre los centros, d, es mayor que la suma de
los radios.
Las circunferencias no tienen puntos en común.
Dada la circunferencia c y un punto P de la circunferencia, para trazar la tangente por P: 1.-­‐ Se traza el radio OP. 2.-­‐ Se traza la recta perpendicular al radio por P. 3.-­‐ La perpendicular trazada es tangente a la circunferencia. b.-­‐ Por un punto P exterior a la circunferencia. Secantes
La distancia d es menor que la suma de los radios y mayor
que su diferencia.
Tienen dos puntos en común
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Interiores
La distancia entre los centros es mayor que cero y menor
que la diferencia entre los radios.
Una circunferencia está dentro de la otra, y por tanto no
tienen puntos en común.
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Sea c la circunferencia con centro O y P un punto exterior. D
1.-­‐ Se calcula el punto medio M de OP. 2.-­‐Se traza la circunferencia de centro M y radio MP. esta circunferencia corta a la inicial en dos puntos, T1 y T2. Estos son los puntos de tangencia. 3.-­‐ Las rectas PT1 y PT2 son las rectas tangentes a la circunferencia LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA ES PERPENDICUALR AL RADIO EN EL PUNTO DE TANGENCIA Tangentes
Exteriores
Tangentes
Interiores
La distancia entre los centros es igual a la diferencia entre los radios. El centro de una de las circunferencias está dentro de la otra. Tienen un punto en común. Tienen el mismo centro. La distancia d=0. No tienen puntos en común, salvo que R=R', en este caso son la misma circunferencia. La situación más interesante es la de circunferencias tangentes, que pueden ser exteriores e interiores. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES. La figura de la derecha representa dos circunferencias tangentes. Mueve los centros y la circunferencias azul, y comprueba que siempre es así. En la figura puedes observar la condición que verifican dos circunferencias tangentes: go
El punto de tangencia está sobre la recta que une los centros de las circunferencias D
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CONSTRUCCIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES. Sea c una circunferencia con centro en O. Sea P un punto cualquiera distinto de O. Construir una circunferencia con centro en P tangente a la circunferencia inicial. 1.-­‐ Se traza la recta que pasa por O y por P. Sea T el punto en que el segmento OP ( o su prolongación) corta a la circunferencia c. 2.-­‐ Con centro en P se traza la circunferencia de radio PT. ht DS
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La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. El centro de cada circunferencia es exterior a la otra y tienen un punto en común, punto de tangencia. Concéntricas
La circunferencia trazada es tangente a la primera EL PUNTO DE TANGENCIA DE DOS
CIRCUNFERENCIAS ESTÁ SOBRE EL SEGMENTO
QUE UNE SUS CENTROS
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Vamos a estudiar en este apartado algunos
ángulos que pueden definirse sobre una
circunferencia y las relaciones que existen entre
ellos.
ÁNGULO CENTRAL
Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. En la figura está representado el ángulo AOB y su arco correspondiente AB. La medida angular del arco AB es la de su ángulo central AOB La medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente. ÁNGULO INSCRITO QUE ABARCA UNA SEMICIRCUNFERENCIA. ht DS
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Este caso particular es muy importante. Sea AB un diámetro de la circunferencia. AOB = 180º El ángulo inscrito AVB ha de medir 180/2 = 90. El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto ÁNGULO INSCRITO Ángulo inscrito en una circunferencia es que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados cortan a la circunferencia. go
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UN TRIÁNGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA ES RECTO ACTIVIDADES ¿Cuánto vale AOB? Haz ahora AVB = 90º. ¿Qué es AOB en esta situación? 3.-­‐Sitúa los segmentos sobre la circunferencia Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. ht DS
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4.-­‐La figura representa un octógono inscrito. ¿Cuánto valen los ángulos marcados? D
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5.-­‐Determina la medida de los ángulos que se indican en el hexágono regular de la imagen. Explica por qué es ángulo recto el que aparece marcado con un cuadradito.