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EJERCICIOS SOBRE : TRIGONOMETRÍA
I.E.S. Torre Almirante
Dpto. Matemáticas
1)Un montículo es observado por una persona desde el suelo bajo un ángulo de 55º. Otra persona, situada a
150 metros de la primera y al otro lado del montículo, lo observa con un ángulo de 75º. Calcula la altura del
montículo y las distancias que hay entre el montículo y cada persona.
2)Estoy (punto A) contemplando cómo anochece junto al río Moldava. De pronto veo al otro lado a un amigo
(punto B). Quiero saber a qué distancia se encuentra, pero sin cruzar el río. Me desplazo 150 m a la derecha, al
punto C. Si el ángulo A vale 110º y el C vale 42º, ¿ a qué distancia estamos uno de otro?
3)Un deportista corre 200 m en línea recta; a continuación gira y corre otra recta de 150 m; vuelve a girar y
llega al punto de partida tras recorrer una recta de 300 m. Calcula el área del triángulo que ha formado.
4)Calcula las diagonales y el área de un paralelogramo cuyos lados miden 12 y 8 m y forman un ángulo de 60º.
5)Un ladrón corre 100 m en línea recta, gira 45º y recorre 60m. ¿Qué ángulo debe girar para volver al punto
del que partió?
6)Dos barcos salen de un puerto manteniendo como trayectorias líneas rectas que forman un ángulo de 55º.
Calcula a qué distancia se encontrarán tras tres horas de travesía si sus velocidades son de 50 km/hora y 62
km/hora.
7)Calcula el ancho de un río AB si situado en un punto C a 360 m de A y a 250 m de B se tiene que el ángulo
C es de 53º.
8)Tenemos una tienda de campaña sujeta al suelo por dos estacas. Las cuerdas forman con el suelo un ángulo
de 50º.Calcula la distancia a la que estoy de una estaca si veo el punto más alto de la tienda bajo un ángulo de
30º , y sabiendo que la cuerda mide 4 m.
−1
9)
a) Sabiendo que tg α=
y que α pertenece al cuarto cuadrante, calcula sen α y cos α
3
−1
b) Sabiendo que cos α=
y que α está en el segundo cuadrante, calcula sen α y tg α
5
10)Calcula, a partir de las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º:
sen 135º, cos (-60º), tg 150º, tg 390º, sen 225º, sen 210º
11)Simplifica las siguientes expresiones:
sen 3 αsenα⋅cos 2 α
cosα
a)
b)
1−tg α 1tg α
−
1tg α 1−tg α
12)Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:
a)
b)



2
tg α−

1
1
=12⋅tg α⋅ tg α−
cosα
cos α

1
cos α⋅tg α
cos α
1sen 4 α
−
1=
sen α
tg α
sen2 α
sen α
 

c)

1tg α
sen 2 α−cos 2 α
sen α⋅cos α−cos 2 α

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Dpto. Matemáticas
13) Si la tangente de un ángulo vale
1
3
, ¿se puede afirmar que el seno vale 1 y el coseno vale 3?
Razona la respuesta.
14)Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a)

tg α

1
⋅senα⋅cos α
tg α
c) tg 2α ⋅ cos α +
sen 2α
tg 2α
 1
1 

+
e) senα ⋅ 
 tgα senα 
b)
d)
sen αcos α2sen α−cosα2
cos 2 α − sen 2α
cos α + senα
cos 2 α − 3
f)
cos α − tg 60º
15)Demuestra las siguientes igualdades:
1
NOTA: Esta igualdad es muy interesante para casos en que se conozca la tangente de
cos 2 α
un ángulo y se pida calcular las otras razones.
a) tg 2α + 1 =
b) sen 2α − sen 4α = sen 2α ⋅ cos 2 α
c)
1 + tgα cos α + senα
=
1 − tgα cos α − senα
1
− cosα
cos
α
= tg 3α
d)
1
− senα
senα
2
4 ⋅ senα ⋅ cos α
 senα + cos α 
e) 
 = 1+
1 − 2 ⋅ senα ⋅ cos α
 senα − cos α 
16)Resuelve:
a) sen x + sen 3x =cos x
c) cos x + tg
b) sen 2x = tg x
x
x
senx
= 1 [ANTES DE RESOLVER, DEMUESTRA QUE tg =
, Y UTILIZA ESTA
2
2 1 + cos x
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EXPRESIÓN]
d) cos 2x – cos 6x =0
e) sen 3x +sen 5x = 0
f) 3cos x +sen2 x = 3
g) 4 sen2 x = 1
h) sen x + cos x = 0’2
i) cos x + cos 5x – cos 3x = 0 [PISTA: EMPIEZA
TRANSFORMANDO cos x + cos 5x EN UN PRODUCTO]
[SOLUCIONES: a) 90º+k180º, 15º+k180º, 75º+k180º ;b) 0º+k180º, 45º+k90º;
c) 0º+k180º, 90º+k360º; d) 0º+k45º; i) 30º+k60º]
17)Demuestra:
a)
sen( α + β ) ⋅ sen( α − β )
= tg 2α − tg 2 β
2
2
cos α ⋅ cos β
b) tgα =
1 − cos 2α
sen 2α
18)Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando “trucos” para hacer pocas operaciones:
a) sen x cos x =
1
2
b) sen x + cos x = 0
19)Simplifica:
a) sen (60º+ x) + sen ( 60º-x)
sen6 x + sen 2 x
cos 6 x + cos 2 x
EN UN PRODUCTO]
c)
b) cos (45º+x) – cos ( 45º-x)
d) cos 140º+ cos 100º + cos 20º [TRANSFOR-MA cos 140º + cos 100º