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EJERCICIOS DE 1º BACHILLERATO CIENCIAS DE LA SALUD TRIGONOMETRÍA I 1- Sin utilizar la calculadora, halla el valor de la siguientes expresiones: 2 3π 5 2π 7π 4π 11π π π a ) sen . − 4 sen + 3 sen π − sen b) sen − cos + tg + tg 3 2 2 3 2 3 6 3 6 2- Comprueba: ( a ) sec 2 a + cos ec 2 a = sen 2 a ⋅ cos 2 a ) −1 b) (sena + cos a ) = 1 + 2tga cos 2 a 2 c) cos 2 x ⋅ tg 2 x + sen 2 x =1 tg 2 x 3- Hallar las restantes razones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos: 2 3 23 a ) cos α = b) tg α = y α > 90º 5 3 ⎛ 7π ⎞ 4- Sin utilizar calculadora halla: sen 225º , sen 1230º , tg (-45º) , sen ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ 5- Calcular cot g 5π − sec(−150º ) + sen( 240º ) + cos(−30) 4 6- Simplifica la siguiente expresión: ⎛π ⎞ sen 2 (π + α ) ⋅ cos⎜ − α ⎟ ⋅ tg(π + α ) ⎝2 ⎠ 2 sen α ⋅ ⋅(1 − cos α ) ⋅ sen( −α ) 7- Simplifica la siguiente expresión: sec a sen 2 a ⋅ cos eca ⋅ tga 1 − cos a 8- Calcular las restantes razones trigonométricas: 12 a) α ∈ II cuadrante cos α = − 13 b) α ∈ IV cuadrante, cos ec(2π − α ) = 2 2 c) α ∈ II cuadrante, sec(π − α ) = 2 4 calcular 5 cos(90 − a ), sen(180 + a ), cos ec (180 − a ), sec( − a ) 9- Sea a un ángulo del cuarto cuadrante y cos a = 10- El coseno de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale hipotenusa mide 15 cm. Calcular cuánto miden los otros lados. 3 y su 5 11- Resolver el triángulo rectángulo en A del que sabemos a = 312 m y 12- B 1 = . C 2 Demostrar que en un triángulo rectángulo ABC (A = 90º) se verifica: a) senB + cos C = tgB cos B + senC b) sen2 B = 2bc a2 c) sen 2 B + sen 2 C = 1 (Solución: Recuerda B + C = 90º, C = 90 – B) 13- Tres puntos A,B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a B es 6 km, la distancia de B a C es 9 km y el ángulo de AB con BC es 120º ¿Cuál es la distancia de A a C? π π 14- De un triángulo conocemos A = , B = y a = 100 cm. Calcular el resto de los lados y 6 4 el ángulo. 15- Dos coches que van a 60 km/h y 50 km/h toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de 70º ¿Qué distancia habrá entre ellos a los 10 minutos de viaje? 16- Desde un avión se divisan dos poblaciones A y B. Las visuales desde el avión dirigidas a A y a B forman un ángulo de 135º. Gracias al radar, sabemos que la distancia del avión a A es de 150 km. y la distancia a B es de 300 km. ¿Qué distancia hay entre A y B? ¿Qué ángulo forma la línea que une A y B con la visual de A? 17- Dos individuos A y B tratan de localizar una emisora. El individuo A sabe que dicha emisora está a 10 Km. de él, y el individuo B sabe que el ángulo que forman las líneas que le unen a la emisora y a A es de 30 º. Si ellos se encuentran a una distancia de 8 km. ¿A qué distancia de B se encuentra la emisora? 18- Hallar los ángulos de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 5 m y el desigual 75 m. 19- En el triángulo ABC, AD es la altura correspondiente al lado BC. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos B̂ y Ĉ y halla la medida de los ángulos ABC sabiendo que AB = 3 cm , AD = 2 cm y CD = 4,2 cm. 20- Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y el ángulo comprendido mide 60º. Halla los otros ángulos. 21- Resuelve el triángulo dados los siguientes datos: Aˆ = 55º , Bˆ = 98º , a = 7,5 cm. 22- En un triángulo se conocen: Aˆ = 35º , b = 20 cm, c = 14 cm. Resuelve el triángulo. 23- Resuelve un triángulo del que se conocen a = 37 cm, b = 42 cm , c = 68 cm. 24- En un campo de fútbol, se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve la portería desde dicho punto? 25- Sabiendo que en un triángulo se verifica sen B = 3 sen C , sen A = 2 sen C y b = 28 cm. Hallar los otros dos lados y el ángulo C. SOLUCIONES HOJA TRIGONOMETRÍA I 1- (Solución: a) 3 2- (Solución: a) senα = − 13 / 5, tgα = − 13 / 2 3 3- (Solución: a) − 4- (Solución: 1 + 56- (Solución: − b) 5 3 /3 ) 2 2 2 3 1 2 b) c) -1 d) − b) senα = - 1 ) 2 ) 1 ) cos α (Solución: 1 + cos α ) 7 5 5 , tgα = − b) senα = 8 13 12 3 5 5 3 b) c) d) ) 8- (Solución: a) 5 5 3 4 9- (Solución: b = 9 cm, c = 12 cm) 7- 23 3 cosα = ) 32 32 (Solución: a) senα = 10- (Solución: B = 30º , C = 60º, b = 156m tgα = − 7 c) senα = c = 156 3 m) 11- (Solución: d ( A, C ) = 171 km) 12- (Solución: C = 105º, b = 100 2 c = 200 sen105º ) 13- (Solución: 10,6038 km) 14- (Solución: a) d = 419,69 A = 30,36º) 15- (Solución: 16,093354 km) 16- (Solución: A = 120º, B = C = 30º) 17- (Solución: senC = 0,429 cos C = 0,9028 cos B = 5 / 3 senB = 2 / 3 ) 18- (Solución: A = 30º, C = 90º) 19- (Solución: b = 9,0667057, C = 27º, c = 4,1566505) 20- a = 11,716435 , C = 43,2645º, B = 101,7355 21- A = 28,517, B = 32,815, C = 118,668 ó A = 28,517, B = 90,151, C = 61,332 22- (Solución: A = 60º) 23- (Solución: c = 28 / 3 , a = 56 / 3 , A = 90º , C = 30º , B = 60º ) 3 2 tgα = − 3 ) TRIGONOMETRÍA II 1. Comprueba las siguientes igualdades: cos(a − b) − cos(a + b) = tg b sen(a + b) + sen(a − b) 2 tg a b) sen 2a = 1 + tg 2 a a) 2. Demuestra que a ) tg( 45º +α ) − tg( 45º −α ) = 2 tg 2α b) cos x + sen x ⋅ cos 2 x = 1 + sen 2 x cos x − sen x 3. Sabiendo que tg(a + b) = 4 y que tg a = -2. Calcular tg 2b y tg(a-b). (Solución: tg 2b = − 8 84 , tg (a − b) = − ) 19 13 4. Si a y b son dos ángulos tales que tg a = Calcular sen(a-b), cos 2b , sen (Solución: sen(a − b) = − 12 − 5 40 a y 2 4 3 π π y cos b = − , a < y <b <π . 5 7 2 2 tg (a + b). , cos 2b = − 7 41 31 , 49 sen a = 2 41 − 5 2 41 , tg (a + b) = 12 − 5 40 15 + 4 40 5. Resuelve las siguientes las siguientes ecuaciones: x a) 4sen + 2cos x = 3 (Solución: 60º + 360k, 300º + 360k) 2 b) cos2x = 5 − 6cos2 x (Solución: 30º, 150º, 210º, 330º + 360k) c) 4sen(x − 30º ) cos(x − 30º ) = 3 d) 3sen x + cos x + cos x = 0 2 2 (Solución: 60 + 180k, 90 + 180k) (Solución: 180º) e) tgx = 2 cos x (Solución: 45º , 135º) f) sen2x + 3 cos x = 0 (Solución: 240º + 360k, 300º + 360k, 90+180k) 6. Demostrar que en un triángulo cualquiera: A+C B cos( A − B ) − cos C = Cotg c) = cos B 2 2 2 cos A d ) cos A + cos( B + C ) = 0 e) senA = sen( B + C ) (Solución: Recuerda A + B + C = 180º) a ) tg ( A + B ) + tgC = 0 7. Comprueba que b) Tg sen b. cos( a − b) + cos b. sen( a − b) = sen a 8. Siendo tgα = −3, cos α < 0 , calcular sin utilizar calculadora: α a ) senα b) sen(30º +α ) c) sen 2 (Solución: a) 3 10 b) 3 3 −1 c) 2 10 10 + 1 ) 2 10 9. Resuelve el triángulo del que se conocen los siguientes datos: a = 3 , b = 1, Aˆ = 2 Bˆ . (Solución: Aˆ = 60º , Bˆ = 30º , Cˆ = 90º , c = 2) )