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ANGULOS
1 – ANGULO
Fíjate en el siguiente dibujo formado por dos semirrectas de origen el punto O.
A
B
O
Todo ángulo está formado por 2 lados que son las semirrectas que lo forman y un vértice que es el punto
común de los dos lados. En nuestro dibujo los lados serían OA y OB y el vértice el punto O.
La unidad fundamental de medida de ángulos es el grado sexagesimal, pero para dar mayor precisión se
utilizan otras unidades más pequeñas que son el minuto y el segundo, se representan así:
1 grado = 1º
1 minuto = 1'
1 segundo = 1"
La equivalencia entre estas unidades es que 1º esta formado por 60' y 1' está formado por 60", para pasar
de unas unidades a otras podemos utilizar el siguiente esquema:
x 3600
x 60
Grados
x 60
Minutos
: 60
Segundos
: 60
: 3600
Ejemplos :
¿Cuántos minutos son 6º? 6º x 60 = 360'
¿Cuántos grados son 10800"? 10800" : 3600 = 3º
ACTIVIDADES
1)
Expresa en minutos: a) 72º
b) 90º
c) 360"
2)
Expresa en segundos: a) 3'
b) 88'
c) 3º
d) 480"
d) 90º
2 – PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO Y VICEVERSA
Fíjate como expresamos en grados minutos y segundos 55428"
55428" 60
142
923' 60
228 323 15º
48"
Luego 55428" son 15º 23' 48"
Fíjate como expresamos 12º 30' 42"
12º = 12 x 3600 = 43200"
30' = 30 x 60 = 1800'
42" =
42"
45042"
Ángulos - 1
Luego 12º 30' 42" son 45042"
Manuel Balcázar Elvira
ACTIVIDADES
3)
Expresa en grados, minutos y segundos: a) 88215"
4)
Expresa en segundos: a) 10º 34' 13"
b) 32º 41"
b) 46538"
c) 15785"
c) 21º 45'
3 – TIPOS FUNDAMENTALES DE ANGULOS
Según su abertura los ángulos se pueden clasificar en:
Agudos – Son los ángulos que miden menos de 90º.
Rectos – Son los ángulos que miden 90º.
Obtusos – Son los ángulos que miden más de 90º.
Llanos – Son los ángulos que miden 180º.
Completos – Son los ángulos que miden 360º.
Recto
Agudo
Obtuso
Llano
Completo
Consecutivos – Son dos ángulos que tienen en común un vértice y un lado.
Adyacentes – Son dos ángulos consecutivos que juntos forman uno llano.
Consecutivos
Consecutivos
Adyacentes
Adyacentes
Complementarios – Son los ángulos que suman 90º.
Suplementarios – Son los ángulos que suman 180º.
ACTIVIDADES
5)
Clasifica en agudo, recto, obtuso, llano o completo los siguientes ángulos:
a) 145º
b) 16º
c) 180º
d) 162000"
e) 7500'
f) 3600'
g) 331200"
h) 10800'
6)
Si tenemos dos ángulos y uno de ellos mide 52º. ¿Cuánto tiene que medir el otro para que sean
suplementarios?
7)
Si tenemos dos ángulos y uno de ellos mide 37º. ¿Cuánto tiene que medir el otro para que sean
complementarios?
8)
¿Cuántos grados le faltan a un ángulo de 148º para que sea completo?
Ángulos - 2
Manuel Balcázar Elvira
4 – SUMA DE ÁNGULOS
Para sumar dos o más ángulos se suman grados con grados, minutos con minutos y segundos con
segundos; después por cada 60" aumentamos 1' y por cada 60' aumentamos 1º
Ejemplo :
Si  = 14º 45' 32" y B̂ = 23º 34' 40" calcula  + B̂
 = 14º 45' 32"
B̂ = 23º 34' 40"
 + B̂ = 37º 79' 72"
37º = 37º
79' = 1º 19'
72" =
1' 12"
 + B̂ = 38º 20' 12"
ACTIVIDADES
9)
Si  = 12º 35' 14", B̂ = 16º 15' 3",
Ĉ = 15º 50' 48” y D̂ = 23º 56’ 49". Calcula:
a) Â + B̂
d) B̂ + Ĉ
b) Â + Ĉ
c) Â + D̂
e) B̂ + D̂
5 – RESTA DE ANGULOS
Para restar dos ángulos, se restan grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos; si
hay alguna cantidad que no se pude restar se convierte 1º en 60' o 1' en 60" según convenga.
Ejemplo :
Si  = 32º 22' 36" y B̂ = 14º 36' 42" calcula  - B̂
 = 31º 81' 96"
32º = 31º 60'
Ejemplo :
22' =
21' 60"
B̂ = 14º 36' 42"
36" =
36"
31º 81' 96"
 - B̂ = 17º 45' 54"
Si  = 57º y B̂ = 20º 15' 30"
57º = 56º 60' = 56º 59' 60"
calcula  - B̂
 = 56º 59' 60"
B̂ = 20º 15' 30"
 - B̂ = 36º 44' 30"
ACTIVIDADES
10) Si  = 31º, B̂ = 15º 12',
a) Â - B̂
b) B̂ - Ĉ
Ĉ = 9º 14" y D̂ = 7º 21' 5". Calcula:
c) Â - Ĉ
d) B̂ - D̂
11) Si dos ángulos son suplementarios y uno de ellos mide 25º 12' ¿Cuánto medirá el otro ángulo?
12) Si dos ángulos son complementarios y uno de ellos mide 40º 35" ¿Cuánto medirá el otro ángulo?
6 – PRODUCTO DE UN ANGULO POR UN NUMERO
Para multiplicar un ángulo por un número se multiplican los grados minutos y segundos por el número;
después por cada 60' formamos 1º y por cada 60" formamos 1'.
Ejemplo :
Ángulos - 3
Si  = 12º 45' 13" calcula  x 6
Manuel Balcázar Elvira
 = 12º 45' 14"
x6
72º 270' 84"
72º = 72º
270' = 4º 30'
84" =
1' 24"
 x 6 = 76º 31' 24"
ACTIVIDADES
13) Si  = 5º 48' 12" Calcula: a)  x 3
b) Â x 5
c) Â x 7
d) Â x 9
7- DIVISIÓN DE UN ÁNGULO ENTRE UN NÚMERO
Para dividir un ángulo entre un número, se dividen primero los grados y si la división no es exacta el resto
se convierte en minutos y se suman con los minutos del ángulo, después se dividen los minutos y si la
división no es exacta se convierte el resto en segundos y se suman con los segundos del ángulo y por
último se dividen los segundos.
Ejemplo :
Si = 23º 34' 21"
calcula  : 3
23º 3
2º 7º 2º x 60 = 120' 120' + 34' = 154'
154' 3
04 51' 1' x 60 = 60" 60" + 21" = 81"
1'
Luego  : 3 = 7º 51' 27"
81" 3
21" 27"
0
ACTIVIDADES
14) Si  = 23º 13' 40" Calcula: a)  : 2
Ángulos - 4
b) Â : 4
c) Â : 5
d) Â : 8
Manuel Balcázar Elvira
Ángulos - 5
Manuel Balcázar Elvira