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Divisibilidad y números primos
Divisibilidad
En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede
hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos dividido entre el número de grupos sería una
división entera con resto o sin resto. Caso de que al dividir un número entero n entre otro número entero
d, la división sea exacta sin resto, diremos que n es múltiplo de d, que n es divisible entre d, que d es
divisor de n, o que d divide a n. En este caso, existe un tercer entero (cociente) c, tal que n=c×d. En
general, aplicamos la divisibilidad a números enteros, pudiendo ser positivos o negativos. Por ejemplo,
45 es divisible entre 15, y −33 divide a 198, siendo los cocientes respectivos 3 y −6. La divisibilidad
tiene las siguientes propiedades:
• Reflexiva: para todo entero n, n divide a n (con cociente 1).
• Transitiva: si a divide a b, y b divide a c, entonces a divide a c.
• Valor absoluto: a divide a b si y sólo si |a| divide a |b|.
• Si a divide a b, entonces |a|≤|b|.
• Si a divide a b y b divide a a, entonces a=b o a=−b (en cualquier caso |a|=|b|).
Los enteros positivos p tales que sólo son divisibles por 1, −1, p y −p se llaman números primos, y son
especialmente interesantes como veremos más adelante. Los números primos en orden creciente son 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17,... (el 1 es un caso especial que no se suele considerar primo).
Algunas reglas sencillas sobre divisibilidad
El que un número sea divisible entre 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 u 11 es relativamente sencillo de comprobar. Un
número entero cualquiera n:
• es divisible entre 2 si y sólo si su última cifra es par,
• es divisible entre 3 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 3,
• es divisible entre 4 si y sólo si su última cifra es par pero no múltiplo de 4, y su penúltima cifra es
impar, o si su última cifra es múltiplo de 4 y su penúltima cifra es par (o equivalentemente, si el
número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4),
• es divisible entre 5 si y sólo si su última cifra es 0 o 5,
• es divisible entre 8 si y sólo si sus el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8,
• es divisible entre 9 si y sólo si la suma de las cifras de n es múltiplo de 9,
• es divisible entre 10 si y sólo si su última cifra es 0,
• es divisible entre 11 si y sólo si la suma de sus cifras en posición par, menos la suma de sus cifras
en posición impar, es múltiplo de 11 (incluido el 0).
Ilustramos el último caso con un ejemplo: el número 164151324116 no es múltiplo de 11, porque
sumando las cifras de posición impar (1+4+5+3+4+1=18), y las cifras de posición impar
(6+1+1+2+1+6=17), la diferencia es 1, que no es múltiplo de 11. Sin embargo, el número 164151324161
sí sería múltiplo de 11 (1+4+5+3+4+6=23, 6+1+1+2+1+1=12, y 23−12=11, que sí es múltiplo de 11).
Cuando las reglas anteriores no valen
Si nos toca dividir un entero entre uno de los números anteriores, no es complicado ver a priori si la
división tendrá resto 0 o no, pero nos puede tocar dividir entre un número “sin regla simple”, como 7, 13,
47, o 2010. ¿Qué hacemos en un caso como éste? En el caso de los números 7, 13 o 47, poco podemos
hacer en general, salvo realizar la división y ver si da resultado exacto. En el caso del 2010, podemos
aplicar el siguiente razonamiento: como 2010=2×3×5×67, podemos ver que si el número es divisible entre
10 (mirando su última cifra) y también es divisible entre 3 (sumando sus cifras y viendo si esta suma es
divisible entre 3). Caso de que el número no sea divisible por 3 o por 10, hemos acabado: el número no
será divisible por 2010. Caso de que sí sea divisible por 3 y por 10, nos bastaría entonces comprobar si es
divisible por 67, y en caso afirmativo, el número sería divisible por 2010.
¿Por qué funciona el método anterior? Los números 2, 3, 5 y 67 tienen en común que son primos, es
decir, que no tienen más divisores positivos que 1 y ellos mismos. Es conocido que todo número entero
se puede expresar de una única manera como producto de primos (salvo la forma de ordenarlos), por
ejemplo, 2010=2×3×5×67, y no podemos escribirlo de otra forma salvo si cambiamos el orden de los
cuatro factores. A esta forma de escribir un número lo llamamos descomposición en producto de factores
primos, descomposición en factores primos, o factorización del número. Una vez que hemos expresado
un número n como producto de factores primos, si dicho factor primo aparece en la expresión, entonces
divide al número n, y si no aparece, no lo divide. Entonces, dados un número d y otro número n, si
expresamos tanto d como n, como producto de factores primos de la única forma en la que puede hacerse,
entonces d divide a n (o n es múltiplo de d) si y sólo si, todos los primos que aparecen en la
descomposición de d, aparecen también, y por lo menos el mismo número de veces, en la descomposición
de n. Así, 64=26 es divisible por 16=24, pero no por 12=22×3, porque 3 no aparece en la descomposición
en factores primos de 64.
Divisibilidad de sumas y productos
Se demuestra fácilmente (¡inténtalo!) que si dados dos enteros m y n, se tiene que m+n es divisible entre
d, entonces o m y n son ambos divisibles entre d, o no lo es ninguno. Si la suma contiene más de dos
enteros, en general sólo podemos decir que, si todos los sumandos son divisibles entre d, entonces la
suma también lo es, y que si todos los sumandos menos uno son divisibles entre d y el restante no lo es,
entonces la suma tampoco lo es (¡intenta demostrarlo!).
Supongamos ahora que tenemos varios números enteros n1, n2, n3,..., y queremos ver si su producto es
divisible entre d. Si podemos escribir d=d1×d2×d3×..., de forma que d1 divide a n1, d2 divide a n2,...,
entonces d dividirá a n=n1×n2×n3×.... Por ejemplo, 2010 divide al 67×50×12, ya que 67 divide a 67, 10
divide a 50, y 3 divide a 12, siendo como ya hemos visto 2010=67×10×3. Esto se debe a que, al
multiplicar enteros n1, n2, n3,..., expresados como producto de factores primos, la descomposición de
n=n1×n2×n3×... se puede obtener sin más que tomar todos los primos que aparecen en la descomposición
de n1, n2, n3,..., sumando los exponentes que tienen en cada uno (sumando 0 si el factor primo no aparece
en la descomposición), es decir, como 50=2×52, y 12=22×3, entonces 67×50×12=23×3×52×67. Al
expresar d como producto d1×d2×d3×..., y comprobar si d1 divide a n1, d2 divide a n2,..., lo que estamos
haciendo en realidad es ver si los factores primos que aparecen en la descomposición de d, aparecen
también, por lo menos el mismo número de veces, en el producto n1×n2×n3×..., pero lo hacemos “a
trozos”, cosa que puede ser mucho más sencilla, y nos puede servir para utilizar las reglas sencillas de
divisibilidad que citábamos al principio. Además, el cociente de n1×n2×n3×... entre d es igual al producto
de los cocientes de n1 entre d1, n2 entre d2,... (propiedad asociativa del producto – en este caso de su
operación inversa, la división). Es también muy útil considerar la siguiente propiedad: si el producto de
varios enteros es divisible entre un número primo p, entonces al menos uno de los enteros es divisible por
dicho primo p.
Ejemplo: comprobar si 2002 divide al producto 39×56×6868, o al producto 39×56×6798, y en caso
afirmativo hallar el cociente.
Como 2002=2×7×11×13, siendo además 39 divisible entre 13, y 56 entre 2 y entre 7, nos basta con ver si
alguno de los tres factores es múltiplo de 11. Claramente vemos que ni 39 ni 56 lo son, porque de
acuerdo a la regla antes mencionada, un número de 2 cifras es múltiplo de 11 si y sólo si ambas cifras son
iguales. Como en 6868 las sumas de las cifras en posición impar, 6+6=12, y en posición par, 8+8=16,
difieren en 4 que no es múltiplo de 11, entonces 2002 no divide al primer producto porque 11 no divide a
dicho producto; sin embargo, sí divide al segundo producto, pues 6+9=7+8=15. Además, el cociente de la
división en el segundo caso es 3×4×618, pues 39=13×3, 56=14×4 y 6798=11×618.
Cuando uno de los enteros es una expresión algebráica
Los anteriores resultados pueden ser especialmente útiles cuando nos piden comprobar si una expresión
algebraica (es decir, con variables o con incógnitas) es divisible entre un número dado; por ejemplo, si
nos piden comprobar si 2n3+3n2+n es divisible entre 6 para todo entero positivo n. En este tipo de
situaciones, puede ser útil escribir la expresión algebraica como producto de expresiones más pequeñas, y
ver si alguna de ellas es divisible por alguno de los factores del divisor.
En este caso, vemos que podemos escribir 2n3+3n2+n=n(n+1)(2n+1). Ahora bien, n y n+1 son dos enteros
consecutivos, con lo que uno de ellos tiene que ser par (no hay dos enteros impares consecutivos), luego
2n3+3n2+n es siempre divisible entre 2. Además, n−1, n y n+1 son tres enteros consecutivos, con lo que
uno de ellos es divisible entre 3; si n+1 no lo es, entonces dará resto 1 o 2 al dividir por 3, y entonces n o
n−1 respectivamente, serán múltiplos de 3. Si n y n+1 no son ninguno múltiplo de 3, n−1 sí lo es, y como
(n−1)+(2n+1)=3n es múltiplo de 3 siempre, como ya hemos visto antes 2n+1 tiene que ser múltiplo de 3.
Luego en cualquier caso 2n3+3n2+n será múltiplo de 6 para cualquier entero positivo n, porque o n o n+1
(uno, pero no los dos) será divisible entre 2, y o n, o n+1, o 2n+1 (siempre uno de los tres, pero sólo uno
de los tres) será divisible entre 3.
También puede ser especialmente útil descomponer una expresión algebraica en factores cuando sabemos
que dicha expresión algebraica es igual a un entero, o divide a un entero dado. Ejemplo: hallar todos los
enteros positivos x e y tales que x2−y4=2009.
Podemos escribir
x − y 2 x + y 2 = x 2 − y 4 = 2009 = 7 2 × 41 .
Como x+y2 es positivo, también lo será x−y2, siendo además el primero mayor que el segundo. Se tiene
entonces que puede ser x+y2=72, o x+y2=7×41, o x+y2=72×41 (ya que x+y2 tiene que ser un número que
divida a 72×41, y cualquier otro divisor de 72×41 haría que x−y2 fuera mayor), siendo respectivamente
x−y2=41, x−y2=7, x−y2=1. Deducimos entonces que y2 debería valer, en cada uno de los tres casos, 4, 140,
1004, y no nos cuesta mucho comprobar que el segundo y tercer caso no pueden ser cuadrados de un
entero, con lo que se ha de dar el primer caso (los otros dos no resultan en un valor entero de y), y por lo
tanto y=2, y x=45.
(
)(
)
Factorización en primos
La descomposición en factores primos de un entero n, también llamada factorización en primos o
simplemente factorización, consiste en expresar n como producto de números primos; como ya hemos
dicho, esta forma de expresarlo es única salvo el orden de los factores primos. Para números
relativamente pequeños, esta factorización suele ser sencilla, por ejemplo 12=22×3, 56=23×7, o 51=3×17.
Para números más grandes, como 123761232, la tarea empieza a ser más complicada, de entrada porque,
¿cómo sabemos qué factores primos tiene 123761232? ¿Y si 123761232 fuera él mismo un número
primo?
Yendo por partes, vemos en primer lugar que 123761232 no puede ser primo; de hecho, aplicando las
reglas de la división vemos que es divisible por 2 y por 9, pero ni por 5 ni por 11. Podemos en primer
lugar simplificar el problema, “sacando” todos los factores de 2 que podamos, dividiendo sucesivamente
por 2 mientras se pueda, añadiendo 1 al exponente de 2 en la factorización del número por cada división
que podemos hacer; otro tanto haríamos con el 3. Obtenemos así que 123761232=24×32×859453, y ahora
las reglas de divisibilidad nos dicen que 859453 no es divisible por 2, 3, 5 u 11. Si intentamos dividir
entre 7, vemos que la división da exacta (¡pero ya “sólo” hemos tenido que dividir entre 7 un número de 6
cifras, no uno de 9 cifras!). El resultado de la división, 122779, ya no es divisible entre 7. Tenemos que
probar ahora los números primos mayores que 11, es decir, 13, 17, 19, 23,.... Tras varios intentos
infructuosos, llegamos a que 122779=59×2081, luego 123761232=24×32×7×59×2081, y ya hemos
acabado la factorización.
La criba de Eratóstenes
¿Cómo sabemos en el anterior caso que ya hemos acabado? ¿Y cómo sabemos por qué números intentar
dividir? Claramente, 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos, pero ¿cómo sé que he dividido por todos los primos y
no me he dejado ninguno? ¿Puedo en algún momento dejar de dividir y decir que 122779 es primo (si lo
fuera)? Las respuestas a estas dos preguntas las da el procedimiento conocido como “criba de
Eratóstenes”. Escribimos primero todos los enteros del 1 al 100, y luego tachamos todos los múltiplos de
2 (menos el 2). Después tachamos los múltiplos de 3 (menos el 3). Cuando llegamos al 4, vemos que ya
está tachado por ser múltiplo de 2, así como todos los múltiplos de 4, que también son múltiplos de 2. El
menor entero sin tachar es el 5, y tachamos todos los múltiplos de 5 (menos el 5). El siguiente entero sin
tachar es el 7, así que tachamos todos los múltiplos de 7 (menos el 7). Si haces esto, comprobarás que
todos los números que te quedan sin tachar entre el 2 y el 100 son primos.
¿Por qué con este procedimiento no nos dejamos ningún primo entre 2 y 100 sin tachar? 100 no es primo,
y si un número n menor que 100 no es primo, entonces lo podemos escribir como el producto de dos
enteros a y b mayores que 1, n=a×b (a y b pueden ser ambos primos, o no). Claramente, uno de estos dos
números es menor que 10, porque si fueran ambos mayores o iguales que 10, entonces n sería mayor o
igual que 100. Tenemos entonces que, o a, o b, es menor que 10, y como ya hemos visto, los únicos
números sin tachar menores que 10 son 2, 3, 5 y 7 (los demás son múltiplos de alguno de ellos). Luego a
tiene un factor primo que es 2, 3, 5 o 7, y por lo tanto n también lo tendría. ¡Entonces, si n está sin tachar
y es menor que 100, es primo! De la criba de Eratóstenes, obtenemos dos conclusiones:
• si intento dividir a un número n por todos los primos menores o iguales que su raíz cuadrada (que
puede no ser entera), y en ningún caso obtengo una división exacta, entonces n es primo, y
• puedo obtener todos los números primos menores que N, sin más que repetir la criba de
Eratóstenes, hasta llegar a la raíz cuadrada de N (que nuevamente, no tiene por qué ser entera).
Por ejemplo, queremos saber si 122779 es primo: si hallo su raíz cuadrada por el método tradicional, veo
que será 350 y decimales, luego me basta con dividir hasta el mayor primo menor o igual que 350, y
como la raíz cuadrada de 350 es 18 y decimales, me basta con realizar la criba de Eratóstenes, tachando
todos los múltiplos de los primos hasta 17 inclusive, es decir, de 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. El mayor primo
menor o igual que 350 resulta ser 349. ¡Menos mal que 122779 resulta ser divisible por 59!
Ahora bien, una vez que hemos encontrado que 122779=59×2081, paramos. ¿Por qué? Bueno, según lo
anterior, si 2081 no es primo, entonces es divisible por algún primo menor que su raíz cuadrada, que es 45
y decimales, es decir, si 2081 no es primo, entonces es divisible por algún primo menor o igual que 43.
¡Pero esos ya los hemos probado todos, cuando intentábamos hallar un factor primo de 122779! Luego
2081 es primo, y hemos acabado la factorización.
Ejercicios propuestos
Factoriza el año de tu nacimiento y el de tus familiares. Si quieres un desafío más grande, ¡factoriza los
DNIs de tu familia o vuestros números de teléfono fijo y móvil!
Escribo en la pizarra 14 números enteros, no necesariamente distintos, que verifican la propiedad de que
al borrar cualquiera de ellos, puedo agrupar los trece restantes en tres montones de igual suma.
a) Demuestra que cada uno de los 14 números es múltiplo de 3.
b) ¿Es posible que alguno de los 14 números sea distinto de 0?
Encontrar todos los números enteros positivos n tales que 3n+5n es múltiplo de 3n−1+5n−1.
Encontrar, razonadamente, dos números enteros positivos a y b, tales que
b2 sea múltiplo de a,
a3 sea múltiplo de b2,
b4 sea múltiplo de a3,
5
4
6
a sea múltiplo de b ,
pero b no sea múltiplo de a5.
Encontrar todas las soluciones enteras posibles, x e y, de la ecuación
p(x+y)=xy,
siendo p un cierto número primo.
Probar que para cualquier primo p distinto de 2 y 5 existe un múltiplo de p cuyas cifras son todas nueves.
Por ejemplo, si p=13, 999999=13×76923.
Dado un entero k≥1, definimos ak como el número entero que en base diez se escribe
k veces
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ak = 111...1 ,
es decir, un 1 repetido k veces. Demostrar que ak divide a al si y sólo si k divide a l. Demostrar también
que para cada primo p distintos de 2 y 5 existen infinitos múltiplos de p de la forma 111…11 (escrito sólo
con unos).