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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y
60°
Del triángulo rectángulo de la siguiente figura
hipotenusa
(c)
cateto opuesto
(a)
θ
cateto adyacente
(b)
Figura 1. Triángulo rectángulo
se tiene que:
sen θ =
cateto opuesto a
=
hipotenusa
c
cos θ =
cateto adyacente b
=
hipotenusa
c
tan θ =
cateto opuesto
a
=
cateto adyacente b
Para la obtención de los valores de las funciones trigonométricas para los
ángulos de 30° y 60°, se puede considerar el triángulo equilátero que se
muestra a continuación
60°
2
2
60°
60°
2
Figura 2. Triángulo equilátero
Abril de 2011
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
Utilizando la mitad del triángulo anterior para obtener un triángulo rectángulo
se tiene
30°
2
3
60°
1
Figura 3. Triángulo rectángulo
Del triángulo de la figura 3 , se tiene
3
2
sen 30° =
1
2
sen 60° =
cos 30° =
3
2
cos 60° =
tan 30° =
3
3
tan 60° = 3
1
2
Para la obtención de los valores de las funciones trigonométricas para el
ángulo de 45°, se puede considerar el triángulo isósceles que se muestra a
continuación
2
2
2
Figura 4. Triángulo isósceles
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
Utilizando la mitad del triángulo anterior para obtener un triángulo rectángulo
se tiene
45°
2
1
45°
1
Figura 5. Triángulo rectángulo
Del triángulo de la figura 5, se obtiene
sen 45° =
2
2
cos 45° =
2
2
tan 45° = 1
Valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 0°, 90°,
180°, 270° y 360°
Considerando la tabla siguiente
Grados
Radianes
0°
0π
90°
π
2
180°
π
270°
3
π
2
360°
2π
Tabla 1. Equivalencia entre grados y radianes
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y de la gráfica de la función
f (θ )
cos θ
π
θ
3
π
2
π
2
Figura 5. Gráfica de la función
2π
cos θ
se tiene que
θ
0
π
cos θ
1
0
π
2
Tabla 2. Valor de la función
De la gráfica de la función
f (θ )
2π
0
1
−1
cos θ
para diferentes valores de
θ
sen θ
π
π
2
Figura 6. Gráfica de la función
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3
π
2
3
π
2
2π
θ
sen θ
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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
se tiene
θ
0
π
sen θ
0
1
3
π
2
2π
0
−1
0
2
Tabla 3. Valor de la función
De la gráfica de la función
π
sen θ
para diferentes valores de
θ
tan θ
f (θ )
π
θ
3
π
2
2
Figura 7. Gráfica de la función
tan θ
se tiene
θ
0
π
tan θ
0
∃
Tabla 4. Valor de la función
Abril de 2011
π
3
π
2
2π
0
∃
0
2
tan θ
para diferentes valores de
θ
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