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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
SEDE DEL LITORAL
Ciclo de Iniciación Universitaria (C.I.U)
Matemática III
Abril-Julio 2014
Presentación
La guía práctica de matemáticas III del CIU (Ciclo de Iniciación Universitaria),
aspira a contribuir a la enseñanza- aprendizaje de esta asignatura, con un enfoque
didáctico.
“La matemática es el lenguaje en el que Dios ha escrito el universo.”
Galileo
Autores:
José Viloria
Andrés Hernández
Contenido
1
2
Funciones
1.1
La existencia de funciones..………………………………1
1.2
Definición de Función ……………………………………. 2
1.3
Evaluación de Función…………………………………… 3
1.4
Obtención del dominio de una función ………………….4
1.5
El rango o recorrido de una función…………………….. 6
1.6
La gráfica o curva de una función….………………….. ..7
1.7
Definición de la gráfica de una función real …………… 7
1.8
Criterio geométrico para la gráfica de una función real .9
1.9
Problemas que inducen una función …………………..10
Ángulos
2.1
Definición…………………………………...................... 13
2.2
Medida de un ángulo.………………………………….. 14
2.3
Clasificación de los ángulos …………………………….16
2.4
Relaciones entre ángulos ……………………………….18
2.5
Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos
correspondientes……………………………………….. 19
2.6
Ejemplos de aplicación……………………................... 20
3 Vectores en R3
3.1 Definición………………………………………………… 24
3.2 Vectores equipolentes..……………………................
26
3.3 Operaciones con vectores..…………………………..... 27
3.4 Combinación lineal……………………………………… 33
3.5 Vectores linealmente independientes y linealmente dependiente
……………..……………………………………………
34
3.6 Base………………….……………………….................
35
4
Triángulos
4.1
Definición……………………………………................ 36
4.2
Suma de los ángulos internos de un triángulo……… 36
4.3
Clasificación de los triángulos según sus lados.…….. 37
4.4
Clasificación
de
los
triángulos
según
sus
ángulos
……………………………………………………………..38
4.5
Aplicación del Teorema de Pitágoras ………………….42
4.6
Ejercicios ………………………………………………….44
4.7
Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo… 45
4.8
Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un
triángulo…………………………………………………
46
4.9
Congruencia entre triángulos…………………………
47
4.10
Criterios de congruencia de triángulos………………
49
4.11
Ejercicios………………………………………………..
50
5 Trigonometría
5.1
Definición…………………………………….. …………. 52
5.2
Razones trigonométricas de un ángulo agudo ………..52
5.3
Razones trigonométricas inversas ……………………..54
5.4
Razones trigonométricas para ángulos notables ……. 55
5.5
Identidades trigonométricas …………………………… 58
5.6
Fórmulas de razones trigonométricas ………………… 62
5.7
Razones trigonométricas para ángulos negativos …...68
5.8
Ejercicios …………………………………………………72
5.9
Ley de los cósenos...…………………………………….. 72
5.10
Teorema del Seno ……………………………………….. 74
internos
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA
SEDE DEL LITORAL
MATEMÁTICA III
1. DATOS GENERALES
Asignatura:
Código
Matemáticas III
FC-3001
Departamento:
Unidades crédito: 3
Formación General y Ciencias Básicas
Horas semanales: 4
Trimestre: Abril-Julio 2011
Autores: Andrés Hernández y José Viloria
2. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN
El propósito del CIU, es ofrecer un programa de formación para el ingreso a
las carreras universitarias que se dictan en la Universidad Simón Bolívar, con el fin
de facilitar, enriquecer y consolidar los conocimientos y la formación integral de los
aspirantes a estas carreras.
El plan de estudio presenta una secuencia de contenidos orientados al
desarrollo y consolidación de estrategias para resolver problemas geométricos y
sobre trigonometría. En tal sentido, el curso de Matemáticas III cierra este ciclo de
formación.
Se trata de una asignatura teórico-práctica, orientada a consolidar los
contenidos programáticos, no estudiados o no consolidados en el bachillerato. En
esta etapa se espera afianzar esos contenidos para que el estudiante desarrolle
un pensamiento lógico formal en la resolución de problemas de estos tópicos.
3. PROPÓSITO
Consolidar en los estudiantes conocimientos básicos, destrezas y
habilidades matemáticas para el éxito en las carreras universitarias seleccionadas
y desarrollar en ellos una actitud positiva hacia el estudio y hacia su persona que
contribuya al fortalecimiento de un profesional integral con un alto compromiso
con el desarrollo del país.
4. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar el razonamiento abstracto y concreto de los estudiantes
garantizando la comprensión de los problemas referente a geometría y a
trigonometría, así como el planteamiento de sus soluciones.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Definir conceptos necesarios para resolver los diferentes tipos de ejercicios.
2. Definición de funciones, dominio y rango.
3. Identificar los puntos de corte de una función.
4. Identificar los tipos de funciones.
5. Identificar y resolver problemas aplicando la definición de ángulos.
6. Realizar operaciones con vectores en el plano y en el espacio.
7. Resolver problemas en los cuales se utilicen relaciones entre los elementos
de un triángulo.
8. Reconocer y calcular diferentes formas de ecuaciones utilizadas en la
trigonometría.
9. Propiciar la participación en clases de los estudiantes para la resolución de
problemas.
5. CONTENIDO PROGRAMÁTICO
Capítulo 1
 Existencia de función
 Definición de función
 Evaluación de función.
 Obtención de dominio de una función.
 El rango o recorrido de una función.
 La gráfica o curva de una función.
 Definición de la gráfica de una función.
 Criterio geométrico para la gráfica de una función real.
 Problemas que inducen a una función
Capítulo 2
 Definición de ángulo.
 Medida de un ángulo.
 Clasificación de los ángulos.
 Relaciones entre ángulos.
 Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos
correspondientes
Capítulo 3
 Definición de vectores.
 Vectores equipolentes.
 Operaciones con vectores.
 Combinación lineal.
 Vectores linealmente independiente y linealmente dependiente.
 Base.
Capítulo 4
 Definición de triángulo.
 Suma de los ángulos de un triangulo.
 Clasificación de los triángulos según sus lados.
 Clasificación de los triángulos según sus ángulos internos
 Aplicación del Teorema de Pitágoras.
 Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo.
 Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un triángulo
 Congruencias entre triángulos.
 Criterios de congruencias
Capítulo 5
 Definición de trigonométria.
 Razones trigonométricas
 Identidades trigonométricas.
 Fórmulas para las razones trigonométricas.
 Ley del coseno.
 Teorema del Seno.
6. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
Por parte del profesor:
 Iniciar el desarrollo de la clase dando definiciones, y posteriormente
ejemplos que van desde lo más simple hasta lo más complejo.
 Por medio de lluvias de ideas los estudiantes realizaran un resumen de la
clase anterior.
 Consignarles a los estudiantes distintos tipos de ejercicios para resolver en
sus casas y después corregir esos ejercicios en el pizarrón, en la siguiente
clase.
 Por parte de los alumnos:
 Poner atención a la exposición dada por el docente sobre los contenidos
programáticos.
 Participar activamente en clase a fin de aclarar cualquier duda que se le
presente.
 Resolver ejercicios variados, aplicando la teoría vista en el aula de clases.
 Prepararse para los exámenes parciales, resolviendo diversos ejercicios
dados por el profesor.
7. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN
El plan de Evaluación se organizara en la escala de 1 a 100 puntos. Se realizaran
tres evaluaciones departamentales durante el trimestre, en las semanas 4,8 y 11
con una ponderación de 30, 30 y 25 puntos, respectivamente y 15 puntos para
intervenciones y asistencia
Actividades
Puntuación
1ª evaluación
30
2ª evaluación
30
3ª evaluación
30
Examen final
10
Total actividades
100
8. BIBLIOGRAFIA BÁSICA
Buron Orejas, Javier (1993). Enseñar a aprender: Introducción a la metacognición.
Bilbao: Ediciones mensajero
Hoffmann, Jorge G. (1998). Matemática. Caracas: Editorial Sphinx
Mendiola, Esteban. (1998). Matemática 7º. Caracas: Editorial Biosfera
Suárez Bracho, Estrella. (2002). Matemática 7º. Caracas: Editorial Santillana
Capítulo 1
Funciones
1.1 La existencia de funciones.
En nuestro entorno existen innumerables situaciones en las que un hecho
depende de otro o de otros; esto conduce a un estado de “dependencia de”.
También se interpreta como que un hecho está dado en función de otro(s). En
aquellas situaciones en que una cantidad dependa de otra se les llama función.
Así como ejemplo de situaciones que representan una función tenemos:
El costo de un pasaje en función de los kilómetros recorridos.
El recorrido de un vehiculo en función del tiempo.
El nivel de peligrosidad de una enfermedad en función del número de
pacientes.
El cubo de un número real.
En vista de lo arraigado que está la noción de función a nuestra vida cotidiana
tiene gran importancia su estudio, para así comprender las diferentes situaciones
en las que esta se presenta. Comencemos por establecer la asignación de una
letra que represente la regla que describe la función, por lo general se usan:
f , g , h, etc . Así por ejemplo diremos que la función f es la regla que asigna a
cada número real x el cubo de éste y lo expresaremos como:
f ( x)
x3
Esta expresión algebraica se le conoce como la generalización de la regla y se
lee; “efe de equis es igual al cubo de equis”. De manera que, por ejemplo, para los
números reales: 3, 1 2 y 5 se tiene que.
f ( 3)
( 3) 3
f ( 1 2)
( 1 2) 3
f ( 5)
3. 3. 3
13
23
( 5)3
1
8
5. 5. 5
Y se interpreta que f relaciona a:
-3
con
f ( 3)
27 .
27
125
1
2
5
con
f ( 1 2)
con
f ( 5)
1
8
125
1.2 Definición de función.
Una función f es toda regla que asigna a cada elemento x A exactamente un
único elemento f ( x) B . Los conjuntos A y B son llamados partida y llegada,
respectivamente.
Cada elemento x en el conjunto de partida A de una función f se le llama
preimagen (es considerado un valor independiente) y su correspondiente elemento
f (x) en el conjunto de llegada B será la imagen y es considerado un valor
dependiente y se escribe y f (x) . El dominio de la función f , representado
como Dom( f ) , será el conjunto formado por todas las preimagenes (un
subconjunto de A ) y el rango de la función f , que representamos como Rgo( f ) ,
será el conjunto formado por todas las imágenes (un subconjunto de B ).
Ejemplo
Se tiene la relación entre los conjuntos; el de unas personas (partida) y el de las
edades (llegada)
Basándonos en ella nos preguntamos ¿Es ésta una función?. Argumente su
respuesta.
La relación dada en esta gráfica asigna a cada persona su edad, y se sabe que no
existe persona alguna que tenga dos edades. Lo que nos dice que cada elemento
en el conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento en el conjunto de
llegada y por tanto dicha relación si representa una función.
Estamos interesados en el estudio de funciones donde los conjuntos de partida y
llegada son los números reales, las cuales llamamos funciones reales. Cuando
decimos que f es una función real lo expresamos.
f :R
R
f
R
ó
R
1.3 Evaluación de función.
Al presentarse la necesidad de conocer, para una función real f, el valor de la
correspondiente imagen de una preimagen dada a, se procede a sustituir el valor
de la variable independiente x por ese valor a. y luego de efectuar las diferentes
operaciones obtenemos el valor de la imagen buscada f (a ) .
x 2 entonces para esta función se tiene que:
Ejemplo 1. Para f ( x)
i)
El dominio es:
Dom( x 2 )
Dom( f )
Al evaluar f ( 4) , f (3 5 ) y f ( 32
ii)
f ( 4)
f (3 5 )
f(
iii)
3
2
2
4
3 5
3
2
)
R
)
16
2
2
3 . 5
2
3 2
2
2
9.5
45
2
3
2
2. .
9
4
3
2
La preimagen de 3 (en esta parte argumente lo que sucede).
Este ejercicio plantea el problema de encontrar la preimagen x para que la
correspondiente imagen sea 3, es decir que:
f ( x) 3
Ya que x
resultados.
2
3
x2
3
x
3
es una ecuación de segundo grado y por tanto tiene dos
En el caso en que la preimagen sea un valor no numérico (alguna letra) o alfa
numérico se procede a sustituir de igual manera como se plantea en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2. Para la función g ( x)
g ( m h) .
Evaluando tenemos que:
5 2 x 3 evalúe o determine: g (m) , g ( m) y
g (m) 5 2.(m) 3
5 2.m 3
g ( m) 5 2.( m) 3
5 2m 3 .
5 2. m 3
5 2m 3 . Ya que; ( m) 3
( m).( m).( m)
m3
g (m h) 5 2.(m h) 3 .
En consecuencia de todo esto nos preguntamos ¿usando la evaluación podremos
determinar el dominio de una función real? La respuesta es no ya que el dominio
es un subconjunto de los números reales y por lo general éste contiene infinitas
preimagenes. Para ello, como vemos a continuación, se estudia la regla dada por
f (x) .
1.4 Obtención del dominio de una función.
Como una preimagen de una función real f se ha definido cada valor real
x Dom( f ) tal que esté relacionada con un solo valor real f (x) llamado imagen
de x. Esto quiere decir que el dominio de una función f está conformado por todo
número real tal que f ( x) R . Caso contrario que f (m) no sea un número real
decimos que el número real m no es preimagen y por tanto no pertenece al
dominio de f.
Ejemplo. Determine el dominio de las funciones:
g ( x)
i)
f ( x)
x 2 , h( x )
x y
x 2
.
3x x 2
La función cuadrática es la que asigna a cada número real el cuadrado
f ( x) x 2 , ella tiene dominio;
de éste y su regla es
Dom( f )
Dom( x 2 )
R , ya que todo número real se puede elevar al
cuadrado.
ii)
x . Esto nos
La función raíz cuadrada viene dada por la regla h( x)
dice que la imagen de cada preimagen a será el número real no
negativo a , pero esto será posible siempre que a no sea un número
real negativo es decir que el dominio de esta función está formado por
todos los números reales positivos y por el cero.
Dom( f )
iii)
Para la función g ( x)
Dom( x ) R
0
x 2
se tiene que, por estar definido como un
3x x 2
cociente, g (x ) será un valor real siempre que su denominador no se
haga cero, es decir;
Dom( g )
Dom
x 2
3x x 2
x
R / 3x x 2
0
R
0,3
Ya que 3x x 2
0
0 siempre que x no sea 3 ni 0.
x. 3 x
Por lo general una función viene dada mediante una regla muy complicada y es
por ello que para obtener el dominio de una función se requiere de un
conocimiento mas profundo sobre funciones reales que en cursos mas avanzados
veremos.
Ejercicios.
1-. Para la función f ( x)
2-. Sabiendo que h( x)
i) h(a) 1
iv) h(a)
;
0
x2
x
x
. Determine f ( 32 ) , f (1 m) y f ( 3) .
2 x 3 , encuentre en cada caso el valor de
ii) h(a)
;
5
2
2
v) h( a 2 3 )
;
iii) h(1 a)
2
;
a tal que:
0
vi) h(1 a)
1
3-. En cada gráfica indique si la relación f representa una función, de no serlo
justifique por qué y de serlo determine para cada preimagen su correspondiente
imagen.
i)
iii)
ii)
iv)
4-. Plantee una situación de su vida cotidiana que represente una función y otra
que no.
5-. Determine el dominio de las funciones definidas por las fórmulas siguientes:
a) f ( x)
2x 1
e) h( x)
x2
b) g (u )
u2 1
2
f) f ( x)
x 3
c) T ( x)
d) f ( x)
x
x
4
3x
1
9
i) T ( y )
y
y 3
x
j) L( x)
x
g) g (t )
h) U ( x)
1
5t
k) h( x)
2
1
x 1
9
2 x2
x a
bx c
1.5 El rango o recorrido de una función
Como hemos visto, al evaluar un valor en una función real no sólo determinamos
si éste es preimagen sino que en el caso que lo sea, el valor real que se obtiene
es su correspondiente imagen.
Definición. Lamamos rango (o recorrido) de una función real f al subconjunto de
R formado por todas las imágenes. Este conjunto está representado como Rgo(f).
El rango de una función real no es tan fácil de obtener. Más aún, no a cualquier
función real se le puede determinar su rango.
1.6 La gráfica ó curva de una función.
Una función puede visualizarse mediante la gráfica que ésta tiene. La gráfica de
una función f siempre será la representación geométrica (lugar geométrico) de
todos los puntos en el Plano Cartesiano dado por cada par ordenado P x, y donde
x es cada preimagen y el valor y f (x) es la correspondiente única imagen.
Cuando el dominio de la función f es un conjunto que puede numerarse (pueda
que tenga infinitos elementos) la gráfica será un conjunto de puntos separados y si
f es una función real (su dominio no puede numerarse) la gráfica asociada es una
curva.
▪
f
▪
▪
▪
a1
f
▪
a2
a3
a4
a5
a6
a
b
▪
Gráfica de función f con dominio no
numerable dado por el intervalo a, b
Gráfica de función f con dominio
numerable a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6
Con todo esto decimos que todo punto P que pertenezca a la curva de una función
f es el par ordenado dado por:
P preimagen , imagen
1.7 Definición de la gráfica de una función real.
R su gráfica o curva es el lugar geométrico en el plano
Para una función f : R
formado por todos los puntos x, f ( x) , es decir la representación geométrica del
conjunto.
x, y
Si en particular
R2 / y
f ( x)
f (x) es un polinomio de primer grado, es decir que
f ( x) m.x b entonces la gráfica de f es una recta ya que su curva es
y m.x b y se le llama función lineal. Y la gráfica será una parábola si la
función está dada por un polinomio de segundo grado.
Ejemplo 1. Para la función f ( x)
2 x 1 su gráfica es la recta formada por todos
los puntos x, y donde y 2x 1 . Y en vista de que para representar una recta
sólo necesitamos dos puntos de ella, entonces para:
y
2x 1
Si x 1
Evaluando.
y
3
P1
f (1) 2.(1) 1 2 1 3
Y el punto es
Si x
2
Evaluando.
y
P1 1,3
-2 -1
f ( 2) 2.( 2) 1
Y el punto es
P2
4 1
3
1
-3
2, 3
P2
Ejemplo 2. La gráfica de la función g ( x)
3x x 2 es la parábola formada por
2
todos los puntos x, y donde y 3x x . Para representarla necesitamos mas de
dos puntos de ella (se suelen representar almenos 5 puntos de ésta) entonces
para:
y
x
-1
y
g ( x) 3 x x 2
3( 1) ( 1)
2
(x,y)
3 1
4
y 3x x 2
2
1, 4
-1
0
y
3(0) (0) 2
0 0
0
0,0
3
y
3(3) (3) 2
9 9
0
3,0
1
y
3(1) (1) 2
3 1 2
1,2
2
y
3(2) (2) 2
6 4
2,2
2
1
-4
2
3
Otras funciones cuya gráfica tiene curva predeterminada son entre otras:
k
Cúbica y x 3
Constante y k
Raíz Cuadrada y
x
Es importante establecer la importancia de conocer la gráfica de una función ya
que visualmente podemos analizar el comportamiento de la situación que ésta
describe. Por otra parte es responsabilidad de los autores informar que existen
funciones reales mucho más “complejas” y por ende su gráfica no es fácil de
determinar, es por ello que se requieren nociones y técnicas más avanzadas que
se verán en cursos posteriores.
1.8 Criterio geométrico para la gráfica de una función real.
Observe que la curva de una función real f JAMÁS podría ser cortada
(intersectada) en mas de un punto por recta vertical alguna. Es por ello que
afirmamos que
A
B
Usando el anterior criterio geométrico la de la izquierda no es la curva de una
función pero la ubicada en la derecha si es la curva de una función. En efecto, en
la curva de la izquierda el 0 le corresponderían dos valores; tanto A como B y esto
no ocurre en ninguna función ya que por definición una función es aquella que
siempre hace corresponder una preimagen con una sóla imagen.
En virtud de este criterio visual aseguramos por ejemplo que una circunferencia no
es la curva de una función. Tampoco una elipse.
1.9 Problemas que inducen una función.
En todas las actividades del hombre se presentan situaciones en que se registran
valores y éstas modelan una función. Llamamos esto problemas relativos a
funciones y le aplicamos los diferentes términos y estudio que acá hemos dado;
como lo es: el domino, el rango, la gráfica y las evaluaciones. En esta parte se
pretende plantear algunos de estos problemas.
Problema 1. En un laboratorio se cultivan bacterias y se cuenta el número de ellas
que diariamente se genera. Se quiere analizar los registros de una semana
tomada al azar donde se obtuvo:
Día
Nº de Bacterias(mil)
Lunes
103
Martes
206
Miércoles
812
Jueves
824
Viernes
348
Sábado
996
Domingo
592
Esta actividad representa una función (representémosla como f) ya que no existen
dos o más registros para un mismo día. Llamando los conjuntos de partida y
llegada por D y NB respectivamente, entonces tenemos.
f :D
NB
Es claro que el dominio es el mismo conjunto de partida y el de llegada es
NB
103, 206, 348, 592, 812, 824, 996
La gráfica de esta función es:
▪
996
824
812
▪
▪
▪
592
348
▪
206
103
▪
▪
Lun Mar Mier Jue Vie
Sáb Dom
La altura mayor es 996 y se alcanza en la preimagen “Sábado” es decir que;
f Sábado
996
Lo que nos dice visualmente que la mayor producción de bacterias se obtuvo el
sábado y el lunes la menor (103).
Ejercicios de problemas.
1. En una competencia atlética se lanza un disco cuya altura alcanzada está
determinada en metros por la función: f t
5t 2
alcanza el disco a los 3 segundos de ser lanzado.
24t
3
2
. Calcule la altura que
2. En una empresa de publicidad se estima que el numero h de personas
informadas, después de t semanas de haber lanzado un comercial por televisión,
esta dado por h(t )
25
3 2
5
t
2
a. ¿Cuántas personas se habrán informado después de 3 semanas?
b. Si se informó a 520.000 personas, ¿Cuántas semanas transcurrieron
después del lanzamiento del comercial?
3. Una sola bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos
bacterias íntegras del cólera. Si empezamos con una colonia de 5000 bacterias,
al cabo de t horas tendremos C t
5000 .2 2t bacterias. ¿Cuánto tiempo se
necesitará para que C sea 1.000.000?
4. Suponga que el costo total de fabricar n unidades de un mismo producto está
dado por C n
5n 2
n 32 . Determine:
i) El costo de fabricar 12 productos.
ii) El costo de fabricar el décimo producto.
Capítulo 2
ÁNGULOS
2.1 Definición
Un ángulo es la porción del plano encontrada entre dos segmentos de rectas (ó
semi-rectas) que se cortan en un punto llamado vértice del ángulo.
ángulo
vértice
Donde una semi-recta es la parte de una recta formada por el conjunto de todos
los puntos de la recta que se ubican hacia un lado de un punto fijo perteneciente a
la misma recta (que denominaremos origen).
Una semi-recta.
A
Sentido de un ángulo.
Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera
positivo al ángulo, y si la rotación es en el sentido de las manecillas, se considera
que el ángulo es negativo.
Sentido negativo
Sentido positivo
2.2 Medida de un ángulo.
Los ángulos se miden en:
Grados sexagesimales.
Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales llamamos un grado sexagesimal
a cada una de estas partes. En consecuencia decimos que recorrer una
circunferencia equivale a girar 360º sexagesimales.
Radianes.
Al considerar la fórmula de longitud de cualquier una circunferencia, ésta es:
Lc
Donde r es el radio.
2. .r
Como el ángulo es el mismo, independientemente del radio, podemos considerar
la circunferencia de radio 1 y por tanto se tiene que ésta tiene longitud Lc
2. .
Luego se tiene que al girar en sentido positivo toda una circunferencia se ha
recorrido una longitud de
2.
y equivalentemente se ha girado 360º
sexagesimales, lo que nos plantea una relación entre estas dos medidas.
2.
360 º
180 º
La medida del ángulo a lo largo de su arco la llamamos radianes.
Radianes
Gdos Sexag
Es por ello que afirmamos que; “ 1 rad equivale (a menudo se dice que es igual) a
180º ”.
Ejemplos. a) Los ángulos: 30º y 125º medidos en radianes equivalen a:
Para 30º.
180 º
x
30 º
30º.
180 º
x
30.
180
2.3.5.
2.2.3.3.5
6
Para 125º.
180 º
x
b) Los ángulos:
Para
3
y
125 º
125 º.
180 º
x
5.5.5.
2.2.3.3.5
25
36
5
medidos en grados sexagesimal equivalen a:
4
3
180
x
Para
x
3
.180
60 .
60
3
5
4
180
x
5
4
x
5
.180
4
225 .
225
2.3
Clasificación de los ángulos.
Según la medida de un ángulo éste puede clasificarse en:
Un ángulo llano es el que mide la mitad de un giro completo; es decir, 180 º ó
radianes.( Ver figura)
Figura. Representación gráfica de un ángulo llano.
La mitad de un ángulo llano es un ángulo recto y mide 90º ó
2 radianes. (Ver
figura)
Figura. Representación gráfica de un ángulo recto.
Un ángulo de medida menor que la del ángulo recto (90º), se llama ángulo agudo;
es decir, si
es el ángulo, entonces 0
90 .(Ver figura)
Figura. Representación gráfica de un ángulo agudo.
Un ángulo cuya medida está comprendida entre 90º y 180º se llama ángulo
obtuso; es decir, si
es un ángulo obtuso entonces 90
180 .(Ver figura).
Figura. Representación gráfica de un ángulo obtuso.
2.4 Relaciones entre ángulos
Dos ángulos son adyacentes si el lado final de uno es el lado inicial del otro.
Los ángulos a0̂b y b0̂c son adyacentes. El lado final de a0̂b es la semi-recta Ob y
coincide con el lado inicial de b0̂c .
Dos ángulos adyacentes cuya suma es 180º ó
suplementarios.
radianes, se les llama ángulos
Dos ángulos adyacentes cuya suma es 90º ó
2
radianes se les llaman ángulos
complementarios.
Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice si los lados de uno son
prolongación de los lados del otro.
a0̂b y a`0̂b`son opuestos por el
vértice.
b`0̂a y a`0̂b también son ángulos
opuestos por el vértice.
Como a0̂b + b0̂a` = 180º y b0̂a` + a`0̂b`= 180º tenemos que:
a0̂b + b0̂a` = b0̂a` + a`0̂b`.
Por lo tanto: a0̂b = a`0̂b`, entonces los ángulos opuestos por el vértice tienen
iguale medida. Para decir que dos ángulos
usa la expresión
y
son opuestos por el vértice se
OPV .
2.5 Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos
correspondientes.
Dadas dos rectas paralelas, l1 y l2, cortadas por una recta secante “d", se forman
ocho ángulos indicados en la siguiente figura:
2.6 Ejemplos de aplicación
Ejercicios
1. Dadas las siguientes medidas de ángulos en grados sexagesimal, hallar
sus equivalentes en radianes:
a) 30º
e) 120º
b) 60º
f ) 180º
c) 45º
g) 270º
d) 90º
h) 390º
2. Dadas las siguientes medidas en radianes, halle sus equivalentes en grados
sexagesimales:
a)
b) 1 radián
d)
c) 3 /2 radianes
e) 2 radianes
d)
f) ½ radianes
/6 radianes
/12 radianes
3. Encuentre, en cada caso, el ángulo complementario al ángulo dado:
a) 27º
b)
/3
c) 80º
d)
/4
4. Encuentre, en cada caso, el ángulo suplementario al ángulo dado:
a) 32º
b)
/6
c) 120º
d) 3/4
5. Dada la figura, encuentre los valores de los ángulos:
6. Dada la figura:
Encuentre los valores de los ángulos.
7. En la figura:
AB = AC, x =?
8. Dada la figura:
Donde
= 60º ¿Cuánto mide cada ángulo? (Justifique su respuesta)
9. En la siguiente figura las rectas m y n son paralelas (m||n) y el ángulo 1 = 65º.
¿Cuánto miden los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ?
Considerando esta misma figura, ¿Podríamos afirmar que los pares de ángulos 3
y 8, 2 y 7 son suplementarios? Argumente su respuesta.
Capítulo 3
Vectores
3.1 Definición.

n
Un vector v
es n -upla n números reales, es decir el vector se puede escribir

de la siguiente manera: v a1 , a2 , a3 ,..., an , donde cada ai
con i 1,2,3,..., n
Cada a i con i 1,2,3,..., n , se llaman componente del vector.
Para este curso se va a trabajar con los espacios
3
(Tridimensional), es decir; cuando n 2 ó n 3
Para n
2
(Bidimensional) y
2

2
Un vector v
,es un par ordenado xa , y a , con xa , y a
, donde x a representa
la componente x e y a representa la componente y del vector. (Ver figura 1)
Eje y
ya

v
Eje x
xa
Figura 1.Representación gráfica de un vector en
Para n
2
3

Un vector v
3
, es una terna xa , y a , z a , con xa , y a , z a
, donde x a representa
la componente x , y a representa la componente y y z a representa la componente
z del vector (Ver figura 2).
Figura 2. Representación gráfica de un vector en
3
Vector fijo.
Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al
punto B (extremo), en el que hay que distinguir tres características:
dirección: la de la recta que lo contiene
sentido: el que va de su origen a su extremo, marcado por una punta de
flecha
módulo: la longitud del segmento
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas AB , que
indica su origen y extremo respectivamente se hallan de la siguiente manera:
Para n
2 sean los puntos A xa , y a y B xb , yb , entonces las componentes de
AB
Para n
de
xb 2
xa , yb
yb
3 sean los puntos A xa , y a , z a y B xb , yb , z b , entonces las componentes
AB
xb
xa , yb
ya , zb
za
Ejemplos. Hallar las componentes de los vectores fijos en los siguientes puntos
a) P 2,3 y A 4, 1
PA
4 ( 2), 1 3
4 2, 1 3
6, 4
b) Q 1,3, 1 y R 4, 1,3
2
QR
4 ( 1), 1 3,3
1
2
1
2
4 1, 1 3,3
5, 4,
7
2
Vector libre se caracteriza porque su punto origen es el 0,0 (para n=2) ó 0,0,0
(para n=3) y el extremo tiene como coordenadas las mismas componentes de
éste. Un vector libre no se altera al trasladarlo paralelamente a sí mismo, o de otra
manera, puede representarse por cualquier vector equipolente. Denotamos

cualquier vector libre mediante una letra minúscula, como: v , u , w , etc.
3.2 Vectores equipolentes.
Dos o más vectores son equipolentes si siendo paralelos, tienen el mismo sentido
y la misma longitud o módulo. Todos los vectores que son equipolentes tienen las
mismas componentes, o de otra manera, dadas las componentes de un vector,
dichas componentes son las componentes de todos los vectores paralelos del
mismo sentido y longitud que el vector dado.

 
Geométricamente si dos vectores a y b equipolentes se expresa a
L1
A
F
BA
B
EF

w
L2
E
D
CD
C
Figura 3. Vectores Equipolentes.

b.

Son equipolentes los vectores fijos: BA, CD y EF y el vector libre w .
Un vector es nulo cuando el punto de origen A , coinciden con el punto de
extremo B , es decir, que las componentes del vector fijo son nulas (0).
Para n
2

El vector nulo es: 0
Para n
0,0
3

El vector nulo es: 0
0,0,0
3.3) Operaciones con vectores
 
n
1) Adición: Dados dos vectores a , b
, cuyas componentes son




a a1 , a2 , a3 ,..., an y b b1 , b2 , b3 ,..., bn , se define la adición a con b y se
 
anota a b al vector cuyas componentes son las sumas de las
componentes de dichos vectores
 
a b
 
a b
Para n
a1 , a 2 , a3 ,..., a n
a1 b1 , a 2
b1 , b2 , b3 ,..., bn
b2 , a 3
b3 ,..., a n
b2 , a3
b3 ,..., a n
bn
bn
2

Dados los vectores a
 
a b xa , y a
xb , y b
Para n 3

Dados los vectores a
 
a b xa , y a , z a
xb , y b , z b

xa , y a y b
xa
 
ii) c d
4, 1,2
 
a d
2, 3
3,1, 5
xb , y b , entonces:
 
yb
a b x a xb , y a
xb , y a
yb

xa , y a , z a y b
xa

Ejemplos. Dados los vectores a
 
5,1 2
i) a b 2, 3
iii)
a1 b1 , a 2
xb , y a
xb , y b , z b , entonces:
 
yb , z a z b
a b x a xb , y a

2, 3 , b

5,1 , c
5, 3 1
3, 2
4 3, 1 1,2
5

4, 1,2 y d
yb , z a
3,1, 5
7,0, 3
3,1, 5 (No se puede resolver ya que para que se
cumpla la adición los vectores deben pertenecer al mismo espacio)
zb
Propiedades de la adición de vectores
 
 
n
a) Conmutativa. Si a , b
entonces a b
  
b) Asociativa. Si a , b , c
n

c) Elemento Neutro. Si a ,0
 
b c

entonces a
n
 
b a
 
entonces a 0
 
a b
 
0 a

c

a


a
a1 , a2 , a3 ,..., an
d) Elemento opuesto. Si a a1 , a2 , a3 ,..., an y



 

a
a a 0 , al vector a se denomina vector opuesto
entonces a

de a .
Figura 4. Representación geométrica de la adición de dos vectores

Ahora la diferencia entre dos vectores se puede ver como la adición de a con

el opuesto de b (teniendo en cuenta que las componentes de un vector
opuesto tiene sus mismas componentes pero con signo contrario), entonces:

  
a b a
b (Ver figura 5 )

b

a

b

a

a

b

Figura 5. Representación gráfica de a

b


Ejemplos. Dados los vectores a 2, 3 , b
  

b a b
a
5,1
2,3
i)
 
b a
8,4
 
c d
 
c d
ii)
4, 1,2
3, 1,5
4

4, 1,2 y d

5,1 , c
5
3 ,1 3
3, 1
1 ,2 5
3,1, 5
8,4
1, 2,7
1, 2,7

n
2) Producto de un número real por un vector. Dado un vector a
y un

número real k denominamos producto de dicho número por el vector a a otro
vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las componentes del
vector dado por el número real.

k.a
k. a1 , a2 , a3 ,..., an
Ejemplos.



7, 3,2 y c
Dados los vectores a 2, 3 , b

i)
2.a 2 2, 3
2. 2 ,2 3
4, 6
ii)
iii)

3.b
3 
.d
2
3.
3
2
7, 3,2
4,0,2, 1
3.
3
.
2
k.a1 , k.a2 , k.a3 ,..., k.an
4,0,2, 1
7 , 3. 3 , 3. 2
3
3
3
4, .0, .2, . 1
2
2
2
21,9, 6
6,0,3,
3
2


Geométricamente el vector k.a es un vector paralelo al vector a ; de mayor

1,1 el vector k.a
tamaño que éste si k 1 ó k
1 y en el caso en que k

tiene menor tamaño que a .
Para k 1 .
Figura 6. Representación gráfica del producto de un número real por un
vector.
Propiedades del Producto de un número por un vector.
 
n
Para todo k, p
y a, b
se cumple.




a) k . a b k .a k .b



b) Los vectores a y k.a son paralelos si a
c)

p k .a

d) p. k.a
0 y k
0.


p.a k.a

p.k .a
3) Magnitud o Norma de un vector



n
Sea v
, y v a1 , a2 , a3 ,..., an se define la magnitud o norma de un vector ( v ),
como un número real no negativo que se obtiene calculando la raíz cuadrada de la
suma de las componentes al cuadrado, es decir;

2
2
2
2
v
a1 a 2 a3 ... a n
Para n
2

Sea a

x a , y a , entonces a
Para n
3

Sea a

xa , y a , z a , entonces a
xa
2
ya
xa
2
2
ya
2
za
2
Ejemplos. Hallar las normas de los siguientes vectores

a) a 2, 3

b) h

a
2
2
3
2
4 9

a
13
13
1, 4,2

h
1
2
4
2
2
2
1 16 4
21

h
21
Propiedades
a) La norma de un vector siempre es un número no negativo. Cuando el vector
es nulo su norma es cero.

Si a
n

, entonces a

0 y cuando a

0

a
0
b) La norma de un vector que está multiplicado por un número real es igual al
valor absoluto del número real por la norma de éste.


y k
, entonces k .a k . a
c) La norma de una suma de vectores es menor ó igual que la suma de las
normas de cada sumando.

Si a
n
 
Si a , b
n
 
, entonces a b

a

b

Un vector se llama unitario cuando su norma es igual a 1; es decir, sea v


2
2
2
2
a1 a 2 a3 ... a n
1 , entonces v es unitario.
que; v
En
2
, tal
existen infinitos vectores unitarios y entre ellos están los llamados vectores
iˆ
canónicos;
1,0
y
3
Análogamente para
ˆj
0,1
.
se tiene que:
iˆ
1,0,0
;
ˆj
0,1,0
Ejemplos. Para cada vector diga si es unitario.




1
1
,
1,4, 2 , m
Sea a
, b 1, 3 , j
2
2

a

b

j

m
n
2
1
2
2
1
1
0
2
2
1
1
2
2
3
2
4
2
2
1
2
1 9
2
0
2
2
1
2
2
2
kˆ
y
0,0,1
0, 1,0

1 1 , entonces a es unitario

10 , entonces b no es unitario

1 16 4
21 , entonces j no es unitario

0 1 0
1 1 , entonces m es unitario.

 
4) Producto escalar de dos vectores ( a.b ). Dados los vectores a , b
n
, se
define el producto escalar de estos vectores como el número real que se
obtiene de la siguiente manera

a.b
Para n
a1 , a2 , a3 ,..., an . b1 , b2 , b3 ,..., bn
a1.b1 a2 .b2
a3 .b3 ... an .bn
2

Sean a

xa , y a y b

xb , y b , entonces a.b
x a .xb
y a . yb
Para n
3

xa , y a , z a y b

Sean a

xb , y b , z b , entonces a.b
x a .xb
y a . yb
z a .z b
Ejemplos. Calcular el producto escalar de cada uno de los siguientes pares de
vectores:


1, 23
a) a 2, 3 y b

a.b
2
3
2, 3 . 1,

2,1, 3 y h

b) d

d .h
2,1, 3 .
4,2,
2. 1

a.b
1
4,2,
3
1
3
2.
2
3
3.
2
2
0
0
4 1. 2

d .h 9
1
3
3.
8 2
1
9
Propiedades del producto escalar
 
 
n
a) Si a , b
, entonces a.b b .a
  
b) Si a , b , c
  
,entonces a. b c
 
y a, b
c) Si p

d) Si a
n
n
n

, entonces p. a.b

, entonces a.a
También, si se conoce el ángulo
puede definir como:
Cuando los vectores
90 , entonces
2

a.b 0 , es decir, que

( a.b 0 ) es nulo.
 
a.b a.c
 
p.a .b
 
a. p.b
2
a
0


entre los vectores a y b el producto escalar se

a.b
 
a . b . cos


a y b son perpendiculares (ortogonales) se tiene que
cos( ) cos(90º ) 0 , lo que trae como consecuencia que
 
n
a, b
son ortogonales si y solo si su producto escalar

a.b
0

 
a , b son ortogonales ( a

En el ejemplo anterior (a) son ortogonales los vectores a

b)

2, 3 y b
1,
2
3
.
3.4 Combinación lineal
Definición: Un vector
n
v1 , v2 , v3 ,..., vr
n
se dice combinación lineal de r vectores
, si existen r escalares k1 , k 2 , k 3 ,..., k r
k1.v1 k 2 .v2

v

w


Ejemplos. Sean los vectores a 1,2, 1 , b
componentes de los siguientes vectores:
1,2, 1

b) e
3 
a b
4
1,0, 2 . Calcular las
2 0,2,1
1,0, 2
1,2, 1
0, 4, 2
1,0, 2
1 0 1,2 4 0, 1 2 2
2, 2, 5
3
1,2, 1
4
3
4

e

0,2,1 y c
 

a 2b c

d

d

e
k3 .v3 ... k r .vr

Figura 7. Representación gráfica del vector w ,



donde w 3v 2u

u

a) d
tales que:

c
2
0,2,1
1
1,0, 2
2
3 3 3
, ,
4 2 4
0, 2, 1
1
,0, 1
2
1 3
3
,
2 o,
1 1
2 2
4
5 1 11
, ,
4 2 4
0


En estos dos ejemplos se evidencia que los vectores d y e están expresados



como combinación lineal de los vectores a , b y c

Ejemplos. ¿El vector z 2,1 , puede expresarse como combinación lineal de los


vectores w 3, 2 y y 1,4 ?

Esto es cierto en la medida que existan escalares a y b tales que: z
En efecto;
a.w b. y .
2,1
2,1
a 3, 2 b 1,4
3a, 2a
b,4b
2,1
3a b, 2a 4b
2
Entonces de aquí se plantea el siguiente sistema:
solución única; a
1
y b
2
1
3a b
2a 4b
, que tiene
1
.
2
3.5) Vectores linealmente independientes.
n
En
un conjunto de r n vectores (distintos del nulo) se dicen que son
linealmente independientes si al expresar el vector nulo como combinación lineal
de éstos, la única solución de los escalares es la trivial. Es decir que para;



 
k1 .v1 k 2 .v2 k 3 .v3 ... k r .vr 0 , tenemos que sólo; k1 k 2 ... k r 0

Ejemplo: Los siguientes vectores son linealmente independientes; w

y 1,4 .
En efecto;
Para, .w
0 3
0
2
.y
4
3, 2
y

0 se tiene que:
2 0 3
3 0
2
0 6
0
6
4
2
12
0
14
0
Y como;

Luego w

3, 2 y y
0 3
0 3
0
1,4 son dos vectores linealmente independientes.
En caso que no todos éstos escalares sean cero decimos que los r vectores son
linealmente dependientes.
Una propiedad para vectores del plano es que dos vectores son linealmente

dependientes si y sólo si sus componentes son proporcionales; es decir para a 0


y k
con k 0 , si b k.a entonces tenemos que






0
.a
.b
.a
. k .a
.a
.k .a
.k .a
Y se cumple que;
.k
0
.k
3.6) Base
n
Definición: En
una base es un conjunto de n vectores linealmente
independientes.
En n existen muchas bases. Así por ejemplo se tiene para 2 que dos bases B1
y B2 son:
B1
v1
1
2
, 1 ; v2
3,1
y
B2
iˆ
1,0 ; ˆj
0,1
Capítulo 4
TRIÁNGULOS
4.1 Definición
Tres puntos no alineados de un plano, A;B y C determinan el triángulo
ABC .
Todo triángulo tiene:
* 3 vértices, los puntos A, B y C.
____
____
* 3 lados, los segmentos AB , BC
____
y AC .
* 3 ángulos interiores ó internos:
4.2 Suma de los ángulos internos de un triángulo
Un resultado importante sobre los tres ángulos internos de un triángulo cualquiera
es el siguiente.
Proposición: La suma de los
ángulos interiores de un
triángulo es un ángulo llano, 180º.
Demostración: Prolongamos el segmento BC y trazamos por C una paralela al
segmento BA
Entonces se tiene que el ángulo:
BCˆ A y x 180 º
A
x
y
x
x
C
B

Y como miden igual los ángulos x y ABC
por ser correspondientes.

También miden igual los ángulos y y BAC
por ser alternos internos. Lo que nos dice
que:


180 º BCˆ A y x BCˆ A BAC ABC
4.3 Clasificación de los triángulos según sus lados
Según la medida de sus lados:
Un triángulo es isósceles si tiene
dos lados iguales, AB = AC. Los
ángulos
y
opuestos a los
lados iguales, son iguales
Un triángulo es equilátero si
tiene sus tres lados iguales. En
este caso sus tres ángulos son
iguales.
Un triángulo es escaleno si
tiene sus tres lados distintos.
4.4 Clasificación de los triángulos según sus
ángulos internos.
Según la medida de sus ángulos internos:
Un triángulo es acutángulo si sus tres ángulos son agudos, es decir que cada uno
mide menos de 90 º
2
.
Un triángulo es obtusángulo si uno de sus tres ángulos es obtuso, es decir que
tiene un ángulo interno que mide más de 90 º
2
.
A
C
B
El triángulo
ABC es obtusángulo ya que
Un triángulo es rectángulo si uno de
sus ángulos internos es recto, es
decir que mide igual a 90 º
2
.

ABC
180 º .
Pitágoras, sabio griego que vivió 500 años antes de Cristo, observó que si tres
cuadrados de lado a, b y c se pueden colocar de forma que estos lados formen un
triángulo rectángulo entonces hay uno de ellos cuya área resulta la suma de las
áreas de los otros dos.
Además se tiene que dado el triángulo rectángulo
ABC .
El lado mayor se conoce como hipotenusa ( c ) y los otros dos lados como
catetos ( a y b ). Y se tiene el siguiente resultado conocido como el teorema de
Pitágoras.
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos".
Y en el anterior triángulo se cumple que:
c2
a2
b2
Nota: Observe que esta expresión cambia en la medida que llamemos distinto los
lados del triángulo rectángulo.
De la anterior igualdad se desprende que:
Así por ejemplo se tienen los cuadrados de lados 3, 4 y 5 unidades de longitud:
Donde la hipotenusa es b
5 (el
lado más largo) y los catetos son
c
3y a
4.
Entonces se cumple que:
b2
c2
a2
52
32
42
En efecto
25 9 16
Ejemplo 1. En el siguiente triangulo rectángulo halle el valor de a .
a
4 3
Acá se tiene que:
La hipotenusa es 4 3 y los catetos
son a y 5.
Entonces
4 3
a
5
a
2
a2
52
2
52
4 3
16.3 25
48 25
a
23
Ejemplo 2. En el siguiente triangulo rectángulo halle el valor de m .
4
5 m
Acá se tiene que:
La hipotenusa es 5 m 0 y los
catetos son 4 y 1.
Entonces
2
5 m
4 2 12
5
2
2. 5 . m
m
2
1
25 10m m
m 2 10m 8
2
16 1
17
0
En vista de que se ha llegado a una ecuación de 2do grado se tiene aplicando
resolvente que:
m
b
2
a
2
b
4. a . c
2. a
donde b
c
1
10
8
Luego
10
m
10
2. 1
2
4. 1 . 8
10
100 32
2
Luego de estos dos resultados sólo m
cumple que 5 m
5
10
68
2
68
2
5
68
2
5 4,1
5 4,1 0,9 . Ya que éste valor
0.
Ejemplo 3. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo en base a los
siguientes datos:
Los catetos miden a = 20cm y b = 15cm.
La hipotenusa del triángulo mide 25cm.
Ejemplo 4. Calcula los catetos (a ò b) en los siguientes triángulos rectángulos:
i) c = 15cm; a = 12cm; b =?
ii)c = 169cm; b = 65cm; a = ?
Solución:
i )b
c2
b= 9cm
a2
15
2
12
2
225 144
81
9
ii)
c2
b2
169
2
65
2
24336
156
a= 156cm
4.5 Aplicación del Teorema de Pitágoras
Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la medida del lado de un triángulo
rectángulo o calcular el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia.
Ejemplo 1: Calculemos el valor de x aplicando el teorema de Pitágoras:
(x + 2)2 = x 2 + (x + 1)2
x2 + 4x + 4 = x2 + x2 + 2x + 1
X2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x +1) = 0
a) x – 3 = 0
x=3
b) x + 1 = 0
x=-1
Tomamos el valor positivo x = 3 para determinar las medidas de los lados.
a=x+2
a=3+2=5
a=5
b = x +1
b=3+1=4
b=4
c=x
c=3
Ejemplo 2: Calcular el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia de
radio r
5 2cm
Como el radio r es la medida de
los catetos, formamos el triángulo
AOB. La hipotenusa del triángulo
AOB coincide con la longitud del
lado AB del cuadrado.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
AB
AB
AB
AB
2
r2
2
2r 2
2
100 cm 2
r2
AB
2
2 5 2
2
100 cm 2
AB 10cm
Luego, el perímetro es el siguiente:
P = 4 AB = 4(10cm)
P = 40cm
4.6 Ejercicios
1. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 7 cm.
2. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
3. Una persona camina 10 Km hacia el Norte, luego 2 Km hacia el Oeste y
después 2 Km hacia el Sur, ¿a qué distancia está el punto de partida?
4. En un triángulo rectángulo, un cateto es igual a 3/4 del otro cateto y la suma de
ambos es 14 cm. Calcula la longitud de cada uno de los catetos y de la
hipotenusa.
5. En un triángulo isósceles la base mide 24 cm y el perímetro 50 cm. Calcula el
área del triángulo.
6. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado que tiene la misma área que un
rectángulo de lados 9 cm y 4 cm?
7. Un poste de 2 m da una sombra de 3 m. ¿Cuál será la altura de otro poste que
en el mismo instante da una sombra de 4,5 m ?
8. Halla la medida de la hipotenusa AB en el siguiente triángulo rectángulo:
4.7 Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo
____
Dado un segmento XY , llamamos
Mediatriz a la recta m perpendicular al
segmento en su punto medio M.
Se prueba que para todo punto P perteneciente a m, se cumple PX = PY. Además
si un punto Z del plano es tal que ZX = ZY, entonces Z debe estar sobre la
mediatriz del segmento XY.
4.8 Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un
Triángulo
Llamamos mediatriz de un triángulo a
la mediatriz de un lado. Un triángulo
tiene tres mediatrices. Se prueba que las
tres mediatrices son concurrentes en
un punto 0, que puede ser interior,
exterior o estar sobre un lado del
triángulo.
Llamamos bisectrices de un triángulo
a las 3 bisectrices de cada uno de sus
ángulos. Las tres bisectrices son
Concurrentes en un punto I, que
siempre es interior al triángulo.
Llamamos mediana de un triángulo al
Segmento que une un vértice al punto
medio del lado opuesto. Se demuestra
que las tres medianas de un triángulo
concurren en un punto interior al
triángulo, G, llamado baricentro.
El segmento perpendicular trazado
desde un vértice al lado opuesto se
llama altura del triángulo. Si el
triángulo es acutángulo, como el de
la figura, las tres alturas se cortan en
un punto interior al triángulo, H,
llamado ortocentro.
Si el triángulo ABC es rectángulo en A el ortocentro coincide con A.
Si el triángulo ABC tiene un ángulo
obtuso
, H es exterior al triángulo.
4.9 Congruencia entre triángulos
Triángulos congruentes:
Puede ocurrir que dos triángulos tengan igual “tamaño” o área, pero no
necesariamente la misma forma, como lo muestra la siguiente figura:
También puede ocurrir que los triángulos tengan la misma forma pero no el
mismo tamaño. Por ejemplo:
Estos triángulos son rectángulos isósceles pero tienen tamaño o área diferente.
Los triángulos de la siguiente figura tienen el mismo tamaño y la misma
forma:
Si se calca uno de estos triángulos y se superpone sobre el otro, coincidirían
exactamente. Se dice que los triángulos ABC y A´ B´C´ son congruentes. Puede
ocurrir también que
A
C
B
C´
B´
A´
4.10 Criterios de congruencia de triángulos
a) Primer criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si sus tres
lados homólogos son congruentes.
Ejemplo: En el cuadrilátero que veremos a continuación, los triángulos ∆abc y
∆adc son congruentes porque sus lados homólogos también lo son:
En este caso, el lado ac es común para ambos triángulos.
b) Segundo criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si tienen
dos de sus lados homólogos congruentes y el ángulo comprendido entre los
mismos.
c) Tercer criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si tienen uno
de sus lados homólogos congruente y los dos ángulos adyacentes a dicho lado.
4.11 Ejercicios
1. ¿Consideras que todo triángulo isósceles es también un triángulo equilátero?
Justifica tu respuesta.
2. ¿Cuántas losas se necesitan para pavimentar una sala de 36m2 de área, con
losas triangulares de 20 cm de base y 12 cm de altura?
3. Sabiendo que el perímetro de un triángulo no es más que la suma de sus lados,
¿cuál sería el perímetro de un triángulo isósceles si uno de sus lados iguales mide
6cm y el otro lado mide 8cm?
4. Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 21m, ¿cuánto miden los lados
del triángulo?
5. Calcula las coordenadas del vértice A, sabiendo que ∆ABC es isósceles de área
12cm2.
6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
7. Demostrar, usando los criterios de congruencia de triángulos, que ∆abd y ∆bcd
son congruentes.
8. Según cuál de los criterios de congruencia de triángulos afirmarías que los
triángulos ∆abc y ∆cda, de la siguiente figura son congruentes:
Capítulo 5
TRIGONOMETRÍA
5.1 Definición
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es
"la medición ó estudio de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο
<trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida. Este estudio está basado en las
relaciones que existen entre los ángulos internos y los lados de un triángulo, y
aplica dichas relaciones al cálculo de valores o medidas encontrados en éste.
5.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
En un triángulo rectángulo, si
es uno de sus ángulos agudos diferenciamos sus
catetos como adyacente si éste es uno de los lados de
y opuesto si no. En
función de esto definimos para cualquiera de los dos ángulos agudos de un
triángulo rectángulo las siguientes tres razones trigonométricas:
El seno del ángulo:
sen( )
Cat.Opuesto
Hipotenusa
El coseno del ángulo:
cos( )
Cat. Adyacente
Hipotenusa
La tangente del ángulo:
tg ( )
Cat.Opuesto
Cat. Adyacente
Es importante destacar el hecho que las razones sen( ) y cos( ) son dos valores
reales positivos menores que 1 ya que la hipotenusa siempre es mayor que
cualquiera de los catetos.
Así tenemos que para el siguiente triángulo rectángulo que:
Las razones trigonométricas son:
Cat.Opuesto a
sen( )
Hipotenusa c
Cat. Adyacente b
cos( )
Hipotenusa
c
Cat.Opuesto
a
tg ( )
Cat. Adyacente b
Proposición 1: La tangente puede expresarse como el cociente;
Demostración: como para cualquier ángulo interno agudo
sen( )
.
cos( )
de un triángulo
rectángulo se define
tg ( )
Cat.Op
Cat. Ady
Entonces al dividir, tanto el numerador como el denominador, entre el valor de la
hipotenusa se tiene que
tg ( )
Cat.Op
Hipotenusa
Cat. Ady
Hipotenusa
sen( )
cos( )
Que era lo que quería demostrar.
Proposición 2: El valor de las razones trigonométricas son números reales que
sólo dependen del ángulo interno agudo
lados del triángulo.
y no de las longitudes a; b; c de los
Demostración: Si tenemos dos triángulos rectángulos donde
es comúnmente
uno de sus ángulos internos agudo, es decir:
Entonces:
sen( )
a
c
a
;
c
b
c
cos( )
b
c
y
tg ( )
a
b
a
b
5.3 Razones trigonométricas inversas.
Para cada una de las tres razones trigonométricas se define su razón
trigonométrica inversa.
La cosecante: es la inversa del seno y se define como.
cosec( )
1
sen( )
Hipotenusa
Cat.Op
La secante: es la inversa del seno y se define como.
sec( )
1
cos( )
Hipotenusa
Cat. Ady
La cotangente: es la inversa del seno y se define como.
ctg( )
1
tg ( )
cos( )
sen( )
Cat. Ady
Cat.Op
Por lo antes dicho podemos asegurar que al conocer, para un ángulo agudo, el
valor del seno y coseno entonces se pueden deducir el valor de las otras cuatro
razones trigonométricas.
5.4) Razones trigonométricas para ángulos notables.
Llamamos ángulos notables a aquellos que el valor de las razones
trigonométricas seno y coseno están predeterminadas. Estos ángulos son:
0
0
; 30
6
; 45
4
; 60
3
; 90
2
Donde se tiene que el valor de las razones seno y coseno estan dados en la
siguiente tabla.
0
seno
0
cos eno 1
30
45
60
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
90
1
0
Ejemplo 1: calcule; sec(30 ) , ctg( 4 ) y sec(90 ) .
i) sec(30 )
1
cos(30 )
ii) ctg( 4 )
cos(4 )
1
sen( 4 )
iii) sec(90 )
1
cos(90 )
2
3
2. 3
3. 3
2 3
3
(Ya que para
" No existe"
4
45 el seno y coseno son iguales)
(Ya que cos(90 )
0)
Ejemplo 2: para el siguiente triángulo rectángulo halle el valor de las 6 razones
trigonométricas.
a 4
b 5
Como se trata de un triangulo rectángulo y conocemos dos de sus lados usamos
el teorema de Pitágoras para hallar el otro (la hipotenusa).
c
2
a
2
2
c2
4
c
41
b
5
2
2
Ahora calculemos el valor del seno y coseno.
sen( )
cos( )
Cat.Opuesto
Hipotenusa
a
c
4
41
Cat. Adyacente b
Hipotenusa
c
5
41
4. 41
41. 41
5. 41
41. 41
4 41
41
4 41
41
2
5 41
41
2
5 41
41
Luego
tg ( )
sec( )
sen( )
cos( )
4 41
41
5 41
41
1
cos( )
4
5
1
5
41
cos ec( )
41
5
ctg( )
1
sen( )
1
tg ( )
1
4
5
1
4
41
41
4
5
4
Ejemplo 3: para el siguiente triángulo rectángulo halle el valor de los elementos
que le faltan.
c
3 2
30
Como se trata de un triangulo rectángulo y conocemos sólo uno de sus lados (la
hipotenusa) y uno de sus ángulos internos agudo usamos el seno ó el coseno para
hallar el cateto opuesto ó adyacente, respectivamente.
sen( )
b
c
sen(30 )
b
b 3 2.
3 2
1
2
b
3 2
2
Ahora usamos el coseno para hallar el cateto adyacente.
cos( )
a
c
cos(30 )
a
a
3 2
Para hallar el ángulo que falta
3 2.
3
2
a
3 6
2
usamos el hecho que la suma de los tres ángulos
internos de un triangulo es 180°. Entonces.
90
180
180
90
30
60
5.5 Identidades trigonométricas.
Definición
Se entiende por identidad trigonométrica una igualdad algebraica entre razones
de un mismo ángulo, la cual se cumple para todo valor que se atribuya a dicho
ángulo. Así por ejemplo, las siguientes son dos identidades trigonométricas:
i)
sen( ). cosec( ) 1
ii) cos( ).tg( ) sen( ) 0
Ya que se sabe que c sec( )
Ya que se sabe que tg ( )
1
sen( )
sen( )
cos( )
Existe un gran número de identidades trigonométricas. Daremos y estudiaremos
algunas de éstas. Para ello construyamos el siguiente círculo unitario
Círculo Trigonométrico.
El círculo trigonométrico, es la circunferencia con centro en el origen y cuyo radio
es la unidad.
y
(0,1)
90°
r=1
P (x,y)
y
α
(1,0) 180°
0
x
(1,0)
0°
x
270°
(0,- 1)
Observe que en este círculo, para los ángulos: 0 , 90 , 180 , 270 y 360 se tiene
que:
sen(0 )
0 y cos(0 ) 1
sen(90 ) 1 y cos(90 ) 0
sen(180 ) 0 y cos(180 )
sen(270 )
1
1 y cos(270 ) 0
Y para 360 se cumple lo mismo que para 0 ya que son ángulos equivalentes, es
decir que al girar 360 se llega a la misma posición de 0 .
Para el punto P x, y
que está en círculo trigonométrico se tiene el triangulo
rectángulo de vértices: 0,0 , x,0 y x, y se sabe que:
es uno de sus ángulos
agudos internos, la hipotenusa es 1, el cateto opuesto es y y el adyacente es x,
Luego se tiene que:
sen( )
cos( )
Cat.Op y
y
Hip
1
Cat. Ady x
x
Hip
1
Y como esto se cumple para cualquiera sea ese punto P entonces se tiene, por el
teorema de Pitágoras que:
sen 2 ( ) cos2 ( ) 1
(I)
Esta identidad se conoce como la identidad trigonométrica fundamental. A
partir de esta identidad y de la definición de las razones trigonométricas se
obtienen otras identidades trigonométricas de gran utilidad.
Al dividir la anterior identidad entre
sen 2
cos2
sen( )
cos( )
2
cos2 ( )
obtenemos:
cos2
cos2
1
cos2
2
cos( )
cos( )
1
cos( )
2
Obteniéndose
tg 2 ( ) 1 sec2 ( )
De manera análoga, pero al dividir (I) entre
ctg 2 ( ) 1 c sec2 ( )
sec2 ( ) tg 2 ( ) 1
sen 2 ( ) , encontramos que:
c sec2 ( ) ctg 2 ( ) 1
Signos de las razones trigonométricas.
Los ángulos positivos son medidos a partir del semi-eje positivo “ x ” y según su
medida se dicen que pertenecen ó encuentran en uno de los 4 cuadrantes del
plano (I, II, III ó IV). De acuerdo a la ubicación del ángulo (en qué cuadrante se
encuentra), el signo de cada razón trigonométrica variará. Así se tiene que para:
I Cuad
i)
90 (agudo) y se tiene que.
Las 6 razones trigonométricas son positivas ya que lo son el seno y coseno.
II - Cuad
ii)
90
180
(obtuso) y se tiene que.
De las 6 razones trigonométricas sólo son positivas el seno y su inversa.
III - Cuad
iii)
180
270
y se tiene que.
De las 6 razones trigonométricas sólo la tangente y su inversa son positivas.
IV - Cuad
iv)
270
360
y se tiene que.
De las 6 razones trigonométricas sólo el coseno y su inversa son positivas.
Cuando el ángulo es mayor de 360 (más de una vuelta) éste vuelve a caer en
alguno de los cuadrantes. Si el ángulo
360
se determina el cuadrante
donde cae el ángulo considerando el residuo (resto) al dividir
éste es un ángulo que equivale a
360
ya que
, siendo el cociente el número de vueltas que
dá.
Ejemplo: Determine el cuadrante donde se encuentran los siguientes ángulos:
840 ,
9
y 2130 .
4
Para 840 .
840
360
120
2
Por lo que se tiene 840° equivalen a 2
vueltas y 120°. Por tanto
840
120
II - Cuad
Para
9
4
405 .
Por lo que se tiene
405
360
45
1
9
equivalen a 1 vuelta y 45°.
4
Por tanto
9
4
405
45
I - Cuad
Para 2130 .
2130
330
Por lo que se tiene 2130° equivalen a 5
vueltas y 330°. Por tanto
360
2130
5
330
IV - Cuad
5.6 Fórmulas de razones trigonométricas.
Unas herramientas de gran importancia en el cálculo del valor de una razón
trigonométrica la representan las siguientes fórmulas trigonométricas.
Razones trigonométrica de la suma de dos ángulos.
Para las razones trigonométricas seno y coseno.
a) sen
sen
. cos
cos
.sen
b) cos
cos
. cos
sen
.sen
Ejemplo 1. Calcule cos 150
y sen 75
i) Como 150 º 90º 60º entonces cos 150
cos 150
cos 90 . cos 60
sen 90 .sen 60
ii) Como 75º 30º 45º entonces sen 75
sen 75
sen 45 . cos 30
cos 45 .sen 30
cos 90
0.
1
2
sen 45
2
3
.
2
2
60 , luego:
1.
3
2
0
3
2
3
2
30 , luego:
2 1
.
2
2
6
4
2
4
6
2
4
Razones trigonométrica de la diferencia de dos ángulos.
Para las razones trigonométricas seno y coseno.
c) cos
cos
. cos
sen
.sen
d) sen
sen
. cos
cos
.sen
y cos 15
Ejemplo 2. Calcule sen 15
i) Como 15º 60º 45º entonces sen 15
sen 15
sen 60 . cos 45
3
2
.
2
2
cos 60 .sen 45
ii) Como 15º 45º 30º entonces cos 15
cos 15
cos 45 . cos 30
45 , luego:
sen 60
1
2
.
2
2
2
4
6
6
4
2
4
6
2
3
.
2
2
2 1
.
2
2
Para la razón trigonométrica tangente para la suma y diferencia de dos ángulos.
tg
1 tg
tg
tg
.tg
Ejemplo 3. Hallar tg 75
Tenemos que tg 75
tg 75
tg 75
3
3
9 3
2
Tenemos que tg 15
tg
.tg
y tg 15
30 , entonces:
tg 45
tg 45
tg 30
1 tg 45 .tg 30
tg
1 tg
tg
3
3
1
1
9 6 3
6
tg 45
1.
3
3
3 12
1
1
6 3
6
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
62
3
6
30 , entonces:
2
4
30 , luego:
cos 45
sen 45 .sen 30
6
4
2
3
.
3
3
3
3
2
4
tg 15
tg 45
3
tg 15
30
3
9 3
2
9 6 3 3
6
3
3
1
tg 45
tg 30
1 tg 45 .tg 30
3
3
1 1.
12 6 3
6
3
3
3
3
1
62
1
3
2
6
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Razones trigonométricas del ángulo doble.
Cuando el ángulo es el doble de otro se tiene.
a)
cos2
cos 2
sen 2
Ejemplo 4. Hallar cos 120
cos 120
cos 2.60
sen 2
b)
2
cos 60
2 cos
1
2
2
sen 60
2
2
3
2
1
4
3
4
.sen
Ejemplo 5. Hallar sen 120
sen 120
c)
sen 2.60
tg 2
2 cos 60 .sen 60
2.
1
3
.
2
2
2 3
4
3
2
2tg
1 tg 2
Ejemplo 6. Hallar tg 120
tg 120
tg 2.60
2.tg 60
1 tg 2 60
2. 3
1
3
2
2 3
1 3
2 3
2
3
2
4
1
2
3 3
.
3 3
3
3
Razones trigonométricas de mitad de ángulo
a)
cos
b)
sen
c) tg
2
1 cos
2
2
1 cos
2
2
1 cos
1 cos
Reducción de ángulos al primer cuadrante
Dado un ángulo
situado en alguno de los cuadrantes II, III ó IV queremos ver si
existe una relación entre éste y algún ángulo encontrado en el primer cuadrante.
-. Para
II - Cuad . Se tiene que:
y
α
180º-α
Donde el ángulo
ángulos y :
sen( )
cos( )
sen( )
cos( )
180
x
90º . Luego se tiene la siguiente relación entre los
sen(180 º
cos(180 º
)
Ya que el seno en el II-Cuad es positivo.
) Ya que el coseno en el II-Cuad es negativo.
-. Para
III - Cuad . Se tiene que:
y
α
x
α-180º
Donde el ángulo
ángulos y :
90º . Luego se tiene la siguiente relación entre los
180
sen( )
sen( )
sen(
180 º )
cos( )
cos( )
-. Para
IV - Cuad . Se tiene que:
cos(180 º
Ya que el seno en el III-Cuad es negativo.
) Ya que el coseno en el III-Cuad es negativo.
y
α
x
360º-α
Donde el ángulo
ángulos y :
360 º
sen( )
sen(360 º
sen( )
90º . Luego se tiene la siguiente relación entre los
)
Ya que el seno en el IV-Cuad es negativo.
cos( ) cos( ) cos(360 º
) Ya que el coseno en el IV-Cuad es positivo.
En general, si se quiere calcular el valor de una razón trigonométrica para un
ángulo en los cuadrantes II, III ó IV se procede a preguntar:
i)
¿En qué cuadrante se encuentra éste ángulo?
ii) ¿Cuál es el signo de esa razón en ese cuadrante?
Ejemplo 1. Hallar cos 150 .
Como 150 º II - Cuad y el coseno en este cuadrante es negativo entonces:
cos 150 º
cos 180 º 150
cos(30 º )
3
2
3
2
cos 150
Ejemplo 2. Hallar sen 225 .
Como 225º III - Cuad y el seno en este cuadrante es negativo entonces:
sen 225 º
sen 225 º 180 º
sen(45º )
2
2
2
2
sen 225
Ejemplo 3. Hallar sec 300 .
Como 300
IV - Cuad y la secante en ese cuadrante es positiva entonces
sec 300 º
sec 360 º 300
sec(60 º )
1
cos(60 º )
Ejemplo 4. Calcular el valor de la siguiente expresión:
x
cos2 120
cos 225
cos 45
cos2 330
Como se tiene que:
cos 120
cos 180
120
cos 60
1
2
1
1
2
2
cos 225
cos 225
cos 330
cos 360
180
330
2
2
cos 45
3
2
cos 30
Entonces,
x
1
2
cos2 120
cos 225
cos 45
cos2 330
2
2
2
1
4
2
2
2 3
2 4
2
2
2
3
2
1 2 2
4
2 2 3
4
1 2 2
2 2 3
Y al racionalizar este resultado
x
1 2 2
2 2
3
.
2 2
3
2 2
3
2 2
3 8 6 2
8 9
4 2 5
1
x
5 4 2
.
5.7 Razones trigonométricas para ángulos negativos.
Se sabe que un ángulo es negativo si es medido (desde el semi-eje positivo “ x ”)
en sentido contrario a como giran las agujas del reloj. En esta parte queremos
expresar razones trigonométricas de ángulo negativo en función de la misma
razón trigonométrica pero para ese mismo ángulo positivo.
Como se sabe que las razones: secante, cosecante, tangente y cotangente
pueden expresarse en función del seno y/o coseno, es por ello que estudiamos el
seno y coseno de un ángulo negativo. Consideremos dos puntos P y P el círculo
trigonométrico de manera que ellos determinen dos ángulos opuestos
respectivamente.
y
P cos( ), sen( )
α
-α
x
P cos(
), sen(
)
y
,
De la gráfica deducimos que:
cos(
) cos( )
sen(
)
sen( )
A partir de estos dos resultados se cumple que:
sec(
) sec( )
csc(
)
tg(
)
ctg(
csc( )
tg( )
)
ctg( )
Ejemplo: Calcule: csc( 60 ) y sec
4
.
Como se trata de razones trigonométricas de ángulos negativos aplicamos la
correspondiente fórmula dada anteriormente.
csc( 60 )
sec(
4
)
1
sen(60 )
csc(60 )
sec( 45 )
sec(45 )
a)
cos2 300
cos 210
b) sec 240 . cos2 150
c)
sec 225
cos2 270
sec 300
3
2
1
cos(45 )
Ejercicios. Efectúe.
2 cos 150
cos2 135
1
sec 360
cos 45
sec 150
2
3
1
2
2
2. 3
3. 3
2
2
2. 2
2. 2
2 3
3
2 2
2
2
d)
2sen 2 135
sen 2 240
e)
2tg 225
tg 330
f)
sen3 180
2sen 330
tg 2 150
tg 3 60
tg 2 45
tg 210
3.tg 300
tg 3 120
cot 2 300
tg 150
g)
sen 120
cos 240
h)
cos2 30 .sen 1230
tg 2 45
sec 135
i) 1 sen 2 870
1 sen 30
1 cot 60
j)
sen 45
sec 840
1 cos 30 .ctg 225
k)
tg 1740
sen 60
2
5.8 Ejercicios
1. Teniendo como referencia el siguiente triángulo rectángulo:
Sabiendo que;
a) b = 14; c = 18. Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.
b) c = 90; β = 60º. Halle el valor de los elementos que faltan.
c) b = 22;
= 45º. Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.
d)
30 y
e)
45 y c
f)
c
45 . Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.
2 . Halle el valor de los elementos que faltan.
5 y a
2 . Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.
2. Calcule.
a) tg (210 )
2
3
b) sec(960 )
d)
ctg(
)
g)
cos(75 )
e)
h)
c) cos( 105 )
csc(116 )
sec2 ( 390 )
f)
i)
sen(15 )
cos2 ( 59 ) sen2 (100 )
3. Dado la razón y el cuadrante donde se encuentra el ángulo calcule el valor
de las otras 5 razones trigonométricas.
a) tg ( )
b)
sen( )
c) sec( )
d) cos( )
e) ctg( )
f) csc( )
3
2
5
y
y
2 3
II - Cuad .
y
3
y
2
7 y
5
3
y
III - Cuad .
IV - Cuad .
III - Cuad .
II - Cuad .
I - Cuad .
5.9 Ley de los cosenos.
Es una generalización del Teorema de Pitágoras para los triángulos no
rectángulos que se utilizan, normalmente en trigonometría.
La ley dice lo siguiente: “En todo triangulo, el cuadrado de un lado es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el
coseno del ángulo que forman”.
Dado un triangulo ABC , siendo , , los ángulos internos y a, b, c los lados
respectivamente opuestos a estos ángulos (ver figura), entonces:
c2
a2
b2
2ab. cos
2
b
2
c
2
2bc. cos
a
2
c
2
2ac. cos
a
b
2
Ejemplo 1. Dos lados de un triangulo ABC miden 6cm y 10cm, y el ángulo entre
ellos es 120 . Hallar el tercer lado.
Por la Ley de Cosenos tenemos que:
c2
c2
6
2
a2
10
b2
2
2ab cos C
2 6 10 cos 120
c2
36 100 2 6 10
c2
136 60 196
1
2
c
196
c 14
Ejemplo 2. Un triangulo ABC tiene lados
Determine las medidas de sus ángulos.
3 cm,1 cm y 2cm respectivamente.
3 cm, a 1 cm y b 2cm los lados del triangulo. Entonces aplicando la
Sean c
Ley de Cosenos obtenemos:
c2
a2
3
2
b2
1
2
2ab cos C
2
2
3 1 4 4 cos C
2 1 2 . cos C
1
cos C
2
C
60
Por otra parte tenemos:
a2
1
b2
2
2
c2
2
2bc cos A
3
2
22
1 4 3 4 3 cos A
3 . cos A
cos A
6
3
4 3
2 3
.
3
3
3 3
2.3
3
2
A
30
Ahora utilizando la propiedad de que la suma de los ángulos internos de cualquier
triángulo es 180° entonces:
A B C 180
B 180 30 60
B 90
Luego, el triángulo tiene ángulos de 30°, 60° y 90°.
5.10 Teorema del seno
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre
las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos
respectivamente opuestos.
Teorema:
Si en un triángulo ABC , las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C
son respectivamente a, b y c , (ver figura).
Entonces se cumple.
a
sen A
b
sen B
c
sen C
Con este teorema; conocidos dos lados de un triangulo y el ángulo entre ellos se
pueden obtener los otros elementos del triangulo. También si conocemos dos
ángulos internos y un lado.
Ejemplo 1. Sea triángulo ABC definido por: A 34 , B 52 y el lado c 12cm .
Hallar el ángulo y los lados restantes.
Como la suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es 180°, tenemos
que:
A B C 180
C 180 52 34
C 94
Aplicando el teorema del seno obtenemos:
Observe que los ángulos que acá aparecen no son notables, es por ello que
necesariamente se requiere del uso de la calculadora.
a
sen 34
b
sen 52
12cm
sen 94
Entonces:
a
sen 34
12cm
sen 94
a
12cm.sen 34
sen 94
a
6,72cm
b
sen 52
12cm
sen 94
b
12cm.sen 52
sen 94
b
9,47 cm
Ejercicios sobre Teorema del coseno.
1) En los siguientes ejercicios a, b, c son las medidas de los lados de un
triángulo, mientras que
, ,
son las medidas de los ángulos opuestos a
esos lados respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:
a) a 10cm b 12cm
b) a
7m b
35
6m c
c) c 10cm
4m
40
70
d) a 12cm b 16cm
43
e)
53
75
c
30,5cm
f)
48
68
c
47,2mm
Ejercicios sobre Teorema del seno.
1) En los siguientes ejercicios a, b, c son las medidas de los lados de un
triángulo, mientras que A, B, C son las medidas de los ángulos de los
vértices del triángulo. Resuelve el triángulo en cada caso:
a) a
20cm B 110
b) a 15m B
60
c) b
24cm B
d) c
9m A 110
e) a 10cm B
f)
51
30
a 12cm A 64
C
40
A 40
C
C
62
60
b 18cm
c
5cm
Funciones
1. Dadas las siguientes funciones:
1
x3
,
f ( x) =
, g ( x) =
3
(4 − x)
x +3
h(32). f (− 2)
1.1)
1.2)
h( x) = 3 2 x , determine
f (− 1) ÷ g (22)
1.3)
f (2) + g (− 2) + h(54)
2. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones
2.1)
3. Si
3.1)
f ( x) = 4 − 16 x
2.2) g ( x) =
f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 11
, hallar
f ( 3) + f (− 3)
3.2)
f ( 3 2)
1
12 x − 9
2
3.3)
f (m 3 )
2.3) h( x) =
3.4)
(
5x
2x −π
f 1+ 2
)
4. Dada la función
−2
g ( x) =
x − 2,
π
4.1) Determine
g (− 2π ), g (− π ), g (0), g (π ), g (2π )
4.2) Indique los puntos de corte con los ejes X e Y respectivamente.
4.3) Grafique la función.
f ( x) = x 2 + 2 x − 15
5. Si
5.1)
, hallar
f (− 3), f (− 1), f (0), f (1), f (2)
5.2) Indique los puntos de corte con los ejes X e Y respectivamente.
5.3) Grafique la función.
6. Una posada tiene 40 habitaciones. El gerente sabe que cuando el precio por habitación es de Bs. 30.000
todas las habitaciones son alquiladas, pero por cada 5000 Bs. de aumento una habitación se desocupa.
6.1) Exprese el ingreso del hotel como función del número de habitaciones alquiladas.
6.2) Determine el ingreso si se alquilan 30 habitacione s.
Ángulos
1. Un ángulo mide la tercera parte de un ángulo recto. Otro mide cinco sextos de la medida de un ángulo recto.
1.1) ¿Cuánto mide cada ángulo?
1.2) ¿Cuál es el suplemento de la suma de los 2 ángulos?
2. Determine el menor de los ángulos si se sabe que la suma de sus medidas es 55 y la diferencia de sus
complementos es 11.
3. El complemento de un ángulo mide dos tercios del ángulo. Halle la medida del ángulo.
Vectores
→
→
1. Dados los siguientes vectores: u = (1,3) , v = (−2,4) . Determine:
→
→
1.1) u + v
→
1.2) 3 u
→
→
→
1.3) u + v − 3 u
→
→
→
2. Dados los siguientes vectores: a = (−2,3) , b = ( 4,−5) , c = ( 2,−3) . Determine:
→
→
2.1) a + c
→
→
2.2) a − b
→
→
2.3) 2a + c
→ →
2.4) a ⋅ b
1 → → 1 → →
2.5) ( a + b)− ( a + c )
2
3
→
, halle el valor de k para que:
u = ( 3,2k ) →
3.1) u sea ortogonal a v = ( −8,−3)
3. Dado el vector
→
3.2) La longitud del vector
→
u valga
→
11
→
4. Dados los vectores: u = (−4,3) , v = ( −4,−8) halle
4.1) La longitud de cada uno de los vectores.
→
→
4.2) El producto escalar de u y v
k
4.3) El valor de
→
→
→
5. Dados los vectores: u = ( −1,2n) , v = (1,−1) halle el valor de
5.1)
→
→
→
para que los vectores w y v sean ortogonales si w = (5, k )
n
para que:
→
u y v sean ortogonales
→
→
5.2) Los vectores u y v tengan la misma longitud.
Trigonometría
1. Dado los valores de la hipotenusa
(h) , cateto opuesto (co) o cateto adyacente (ca) , dibuje el triángulo
rectángulo correspondiente y calcule todas las razones trigonométricas. Además halle área y perímetro.
1.1)
h = 7 , co = 1
1.2)
ca = 1 , co = 2 2
1.3)
h = 6 2 , co = 3 7
1.4)
h = 5 2 , co = 2 5
1.5)
h = 4 2 , co = 7
2. Calcule
π 
2π 
 + tg  
3
4
2
2.1) tg 
2.2)
π 
π 
ctg   + ctg  
6
4
π 
ctg  
3
π 
ctg   − csc 2 225
2.3)
4
tg 315 − cos 2 315
2.4)
 7π
sen 2 
 4

2  7π 
 + cos 


 4 
π 
tg 3 225  − tg  
6
 7π 
2  7π 
tg 3 
 + sec 

2.5)
 4 
 6 
cos 225 − sen330