Download La recta

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
3
LA LÍNEA RECTA
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A = (4,2 ) y
B = (− 5,7 ) .
Solución:
Sea
‹ la recta buscada.
Dado que se conocen dos puntos de la recta,
se puede conocer su pendiente.
 A = (4,2)
‹ : 

ˆ ‹:
B = (− 5,7 )
y−2 = −
! m‹ = m
5
(x − 4 ) "!
9
AB
=
7−2
5
=−
−5−4
9
‹ : 5x + 9 y − 38 = 0
19
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Calcular el área del triángulo que forma la recta 3 x − 4 y − 12 = 0 con los
ejes coordenados.
Solución:
!
‹ : 3 x − 4 y − 12 = 0
Luego :
!
‹ : 3 x − 4 y = 12
Dividiendo × 2 :
!
‹:
x
y
+
=1 !
4 −3
ˆ A∆ =
4 × (− 3 )
2
=
12
2



a=4
b = −3
A ∆ = 6u2
"!
Los vértices de un triángulo son A = (0,0 ) , B = (4,2 ) y C = (− 2,6 ) . Obtener
las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo.
Solución:
! Ecuación de AB :
AB :



A = (0,0 )
B = (4,2)
! m
AB
=−
ˆ y − 0 = − (x − 0) "!
1
2
1
2
x − 2y = 0
! Ecuación de BC :
BC :



B = (4,2)
C = (− 2,6 )
! m
ˆ y − 2 = − (x − 4 ) "!
20
2
3
BC
=−
2
3
2x + 3 y − 14 = 0
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
! Ecuación de AC :



AC :
A = (0,0 )
B = (− 2,6)
! m
ˆ y − 0 = −3(x − 0 ) "!
AC
= −3
3x + y = 0
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A = (4, 8 3 ) y por la
intersección de las rectas 3 x − 4 y − 2 = 0 , 9 x − 11y − 6 = 0
Solución:
‹:







A = (4, 8 3 )
Un punto de la recta
‹1: 3x − 4y − 2 = 0
‹2 : 9 x − 11y − 6 = 0


 !

‹1 ∩ ‹2 = B = (2 3 ,0 )
Luego :
‹ : y − y1 = m(x − x1 )
Donde : m ‹ = m
AB
=
0−8 3 4
=
2 3−4 5
Finalmente :
‹: y−
8 4
= (x − 4 ) "!
3 5
Si la recta ax + by + c = 0
‹ : 12x − 15 y − 8 = 0
pasa por el punto P = (p, q) , escribir una
ecuación en forma de:
a) pendiente y ordenada en el origen.
b) punto - pendiente.
c) simétrica.
Solución:
a)
‹ : ax+ by + c = 0 !
a
c
y =− x−
b
b
21
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
a
b ) ‹ : ax + by + c = 0; Donde
: m ‹ = − ; P = (p, q)
d
b
‹ : y − q = − (x − p )
a
b
!
c ) ‹ : ax + by + c = 0 !
!
‹:
‹ : ax + by = −c
x
y
+
=1
c
c
−
−
a
b
Encontrar la ecuación de una recta que tiene intercepciones iguales y que
pasa por el punto A = (8,−6 )
Solución:
‹:
Sea :
x y
+ = 1 Pero :
a a
A = (8,−6 ) ∈ ‹
8 −6
+
=1 ! a = 2
a
a
Luego :
x y
+ = 1 "!
2 2
ˆ ‹:
‹ : x+y−2 = 0
Desde el punto M0 = (− 2,3 ) se ha dirigido hacia el eje OX un rayo de luz
con una inclinación de un ángulo α , se sabe que tg α = 3 . El rayo se ha
reflejado del eje OX. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están
los rayos incidente y reflejado.
Solución:
! Ecuación del rayo incidente :
pendiente : m = tgα = 3
!
22
y − 3 = 3 (x + 2) "!
3x − y + 9 = 0
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
! Ecuación del rayo reflejado :
Si
y=0 !
x = −3 ; P0 = (− 3,0 )
pendiente : m = tg ( 180 º −α ) = −tgα = −3
!
y − 0 = −3 (x + 3 ) "!
3x + y + 9 = 0
Dados los puntos M = (2,2 ) y N = (5,−2) . Hallar en el eje de abscisas un
punto P de modo que en el ángulo MP̂N sea recto.
Solución:
Dado que :
MP ⊥ NP
!
"! m
MP
⋅m
NP
= −1
 −2   2 
 = −1
⋅

 x −2  x −5
Efectuando operacione s :
x 2 − 7x + 6 = 0 !
ˆ



x1 = 6
x2 = 1
P1 = ( 6,0 ) ; P2 = (1,0 )
23
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Los puntos A = (3,−2) , B = (4,1) y C = (− 3,5 ) son los vértices de un
triángulo. Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de los
lados AB y CD es paralelo a la base BC del triángulo.
Solución:
! Cálculo de M1 = (x1, y1 )
!





x A + xB 7
=
2
2
y A + yB
1
=−
y1 =
2
2
x1 =
 7 1
! M1 =  ,− 
2 2
! Cálculo de M2 = (x 2 , y 2 )
!
24





x A + xC
=0
2
y + yC 3
=
y2 = A
2
2
x2 =
 3
! M2 =  0, 
 2
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
BC * M1 M2
Sabemos que :
"! m
BC * M1 M2
Luego efectivamente :
BC
=m
M1 M2
"!
−
4
4
=−
7
7
LQQD
Calcular la distancia entre las rectas paralelas:
x + 2y + 4 = 0 y
2x + 4 y − 5 = 0
Solución:
Dado que :
‹ 1 : x + 2y + 4 = 0 ∧ ‹ 2 : 2x + 4 y − 5 = 0
Hallamos un punto cualesquie ra P , de la recta
x=0 !
Para
y = −2
ˆ
‹1 .
P = (0, − 2)
Luego :
ˆ
d=
(2)(0) + (4)(− 2) − 5
2
2 +4
2
=
−8−5
20
"!
d=
13
≈ 2.90
20
25