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UNIDAD II
GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO
TEMA 1. La Recta
Objetivo N° 1:
Resolver problemas geométricos, utilizando expresiones analíticas y graficando en un sistema
de coordenadas bidimensional
I.
Generalidades.
1. Sistema de Coordenadas.
Si en un plano se trazan rectas perpendiculares, este quedará dividido en cuatro regiones
llamadas cuadrantes, que por convención se numeran en I, II, III, IV, tal como se muestra
en la figura N° 1. Las rectas son llamadas ejes coordenados y su intersección origen
denotado con O.
Y
I
II
O
III
IV
X
Figura N° 1
Por lo general, los ejes coordenados, se trazan uno horizontal (eje x o de las abscisas) y
otro vertical (eje y o de las ordenadas), como cada punto de la recta está asociado a un
número real, estos serán tomados desde el origen de la siguiente manera:
a) hacia la derecha R+
b) hacia la izquierda Rc) hacia arriba R+
d) hacia abajo RCualquier punto del plano puede ser representado por proyección ortogonal, si se
conocen sus coordenadas, todo punto será representado por P(x,y).
2. Distancia entre dos puntos
Y
P2(x2,y2)
y2 D

mCD
y1 C
0

P1(x1,y1)
A
x1
B
x2
mAB
Figura N° 2
X
Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos cualesquiera
del plano, se quiere determinar la distancia existente
entre ambos. Si se observa en la figura N° 2, la
proyección ortogonal de los puntos sobre los ejes
coordenados y sus prolongaciones, han formado un
triángulo rectángulo, en el cual la hipotenusa es la
distancia buscada, y sus catetos son mAB y mCD, las
cuales son determinables:
mAB = |x2 – x1| y mCD = |y2 – y1|
aplicando el Teorema de Pitágoras:
d(P1P2)2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
d(P1P2) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
Ejercicios de aplicación:
2.1.
Determinar si los puntos A(1,-4), B(4,5), C(1,6) y D(-2,-3) son vértices de un
rectángulo.
Encontrar el valor de x para A(x,2), si B(1,5) y d(AB)= 5.
Probar que el triángulo cuyos vértices son A(2,5), B(4,-1) y C(6,5) es isósceles.
Probar que el cuadrilátero cuyos vértices son A(2,5), B(6,5), C(-2,3) y D(0,-5) es un
cuadrado.
Demostrar que los puntos A(-1,-2), B(0,1), C(-3,2) y D(-4,-1) son vértices de un
paralelogramo.
Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho que el punto (x,y) equidista
de los puntos (-3,5) y (7,-9).
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
3. División de un segmento en una razón dada.
Dados tres puntos P1(x1,y1), P(x,y) y P2(x2,y2)
colineales, se trazan las proyecciones ortogonales a
los ejes coordenados, encontrando tres segmentos
paralelos P1A1, PA, P2A2 que están interceptando
tanto al eje X como a la recta que contiene los
puntos, por tanto es posible aplicar el Teorema de
Tales, donde se obtienen segmentos proporcionales:
P1P A1A
=
=r
PP2 AA2
Y
y 2 B2
P2(x2,y2)
y B
y 1 B1
0
P(x,y)
P1(x1,y1)
A1
x1
A
x
A2
x2
X
Figura N° 3
de estas cantidades, son conocidas:
A1A = |x – x1| y AA2 = |x1 – x|, por tanto
sustituyendo:
x – x1
=r
x1 – x
despejando se obtiene las ecuaciones para coordenada de las abscisas y de las ordenadas:
x=
x1 + rx2
1+r
, r  -1
y=
y1 + ry2
1+r
, r  -1
Ejercicios de aplicación:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
Encuentra las coordenadas de P tal que AP:AB = r para A(3,4), B(7,0) y r = ¼.
Encontrar el punto medio del segmento AB donde A(4,-1) y B(3,3)
Si A(3,5), P(6,12) y AB:AP = 1/3, encontrar las coordenadas de B.
Hallar las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son A(5,7), B(1,3) y
C(-5,1) Sol: (1/3, 5/3).
En el triángulo rectángulo de vértices A(2,-2), B(-8,4) y C(5,3), demuestre que el
punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.
Demostrar que el vértice y los puntos medios de los tres lados del triángulo isósceles
son vértices de un rombo.
Demostrar que la suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo esd
igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales.
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
4. Pendiente de una recta.
- Angulo de Inclinación de una recta.
Y
l1
l2
2
1
0
X
Se llama ángulo de inclinación de una recta, al
ángulo medido desde eje X cuando se dirige hacia
R+ y la recta dirigida hacia arriba, tomando siempre
el giro de medición en sentido contrahorario.
Según esta definición, las rectas l 1 y l2 mostradas
en la figura N° 4, tendrán ángulos de inclinación 1 y
2 respectivamente.
Además el rango de medición estará comprendido
entre 0° y 180°.
Figura N° 4
Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente del ángulo de
inclinación, de tal manera que en la figura N° 4, la recta l 1 tiene pendiente m= tg 1 y la
recta l2 tendrá pendiente m= tg 2.
La pendiente puede entonces tomar valor de todos los números reales en las siguientes
condiciones.
a) Si m=0, la recta es paralela o coincide con el eje X.
b) Si m>0, la recta forma un ángulo agudo con el eje X.
c) Si m<0, la recta forma un ángulo obtuso con el eje X.
d) Si es indeterminada cuando la recta es perpendicular al eje X.
- Determinación de la pendiente de una recta conocidas las coordenadas de dos puntos.
Y
y1
Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos cualesquiera de
la recta l.
Si trazamos las proyecciones ortogonales de los
puntos a los ejes de coordenadas, se determina el
triángulo rectángulo P1BP2, donde el ángulo P2P1B es
igual al ángulo de inclinación  de la recta l,
resultando por trigonometría:
P2(x2,y2)
y2

 
B
P1(x1,y1)
0

x1
x2
Figura N° 5
X
m= tg  =
cateto opuesto
cateto adyacente
=
y 2 – y1
x 2 – x1
, x1  x2
Ejercicios de aplicación:
4.1.
4.2.
4.3.
Determinar la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos:
a) (2,3), (5,8)
b) (-1,4),(4,2)
c) (-2,-2), (4,2)
d) (a,a), (b,b)
e) (a,a), (-a,2a)
Aplicando el concepto de pendiente, demostrar que los puntos (3,2), (5,-4) y (1,-2)
son vértices de un triángulo rectángulo.
Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x, y) que pertenezca a
la recta que pasa por los dos puntos (2,-1), (7,3).
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
5. Angulo de dos rectas.
Cuando dos rectas se interceptan, forman
cuatro ángulos, siendo la expresión de ángulo
entre dos rectas muy vaga, ya que podría tratarse
de cualquiera de los cuatro ángulos formados, es
por ello que se toma la convención de dirigir las
rectas hacia arriba, definiendo ángulo entre dos
rectas dirigidas el formado por los dos lados que
se alejan del vértice.
n
m

A
Figura N° 4
- Medida de un ángulo entre rectas.
Y
l2
l1
2
1
C
2
1
0
A
B
X
En el punto anterior, se planteó una definición de
ángulo de dos rectas, pero ¿cómo medirlo?.
Sean dos rectas l1 y l2 en un sistema ejes de
coordenadas, siendo 1 y 2 sus respectivos ángulos
de inclinación, 1 el ángulo buscado y 2 el
suplementario.
Las rectas interceptan el eje X en los puntos A y B,
y ellas a su vez se interceptan en el punto C,
formando el Triángulo ABC.
a) 2 es un ángulo exterior al triángulo ABC, cuya medida es igual a la suma de los ángulos
interiores no adyacentes a él:
2 = 1 + 1
despejando:
1 = 2 - 1
tomando tangente de ambos miembros:
tg 1 = tg (2 - 1)
b) aplicamos la resolución trigonométrica de la tangente de suma o diferencia de ángulos:
tg 2 – tg 1
tg 1 =
1+tg 2. 1
c) como la definición de la pendiente es m= tg , entonces:
tg 1 =
m2 – m 1
1 + m1.m2
, m1.m2  -1
d) Dos rectas serán paralelas si tienen igual pendiente:
CONDICION DE PARALELISMO: m1 = m2
e) Dos rectas son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es –1:
CONDICION DE PERPENDICULARIDAD: m1.m2= -1
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
Ejercicios de aplicación:
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
Hallar el ángulo entre las rectas l 1 y l2 si m1= -2 y m2= 3.
Determinar el ángulo entre las rectas l 1 y l2 si contienen los puntos l 1: (4,5),(1,1) y
l2: (3,-3),(0,4)
Determinar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A(1,5), B(3,-1) y
C(-1,-1).
Encontrar la pendiente de la recta l 1 tal que el ángulo entre l 1 y l2es arctg(2/3) y l2
contiene a (2,1) y (-4,-5).
Determina la pendiente de la recta l 1, si el ángulo entre l 1 y l2 es 45° y la pendiente
de l2 es –2.
Determinar las pendientes de las rectas que pasan por dos pares de puntos y
establecer si son paralelas, perpendiculares u oblicuas:
a) (1,-2), (-2,11); (2,8),(0,2)
b) (1,5),(-1,-1); (0,3),(2,7)
c) (1,1),(4,-1); (-2,3),(7,-3)
d) (1,2),(3,2); (4,1),(4,-2)
Si la recta pasa por (x,5) y (4,3) es paralela a una cuya pendiente es 3, calcular x.
Si la recta pasa por (-2,4) y (1,y) es perpendicular a la que pasa por (-2,4) y (x,2),
encuentra la relación entre x e y.
Demostrar que los puntos (2,4), (7,3), (6,-2) y (1,-1) son vértices de un cuadrado y
que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente e partes iguales
EJERCICIOS PROPUESTOS













Los vértices de un triángulo son A(3,8), B(2,-1) y C(6,-1). Si D es el punto medio del
lado BC, calcular la longitud de la mediana AD.
Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los
puntos (-2,3) y (6,-3).
Los puntos extremos de un segmento son P1(2,4) y P2(8,-4). Hallar el punto P(x,y)
que divide a este segmento en dos partes tales que P2P:PP1= -2.
Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es
(4,3). Hallar el otro extremo.
Los extremos de un segmento son los puntos P1(7,4) y P2(-1,-4). Hallar la razón
P1P:PP2 en que el punto P(1,-2) divide al segmento.
Los puntos medios de los lados de un triángulo son: (2,5), (4,2) y (1,1). Hallar las
coordenadas de los vértices.
Los vértices de un triángulo son A(-1,3), B(3,5) y C(7,-1). Si D es el punto medio del
lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento
DE es la mitad de la longitud del lado AC.
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos
(-3,2) y (7,-3).
Los vértices de un triángulo son los puntos (2,-2), (-1,4) y (4,5). Calcular la
pendiente de cada uno de sus lados.
Demostrar por medio de las pendientes, que los puntos (9,2), (11,6), (3,5) y (1,1)
son los vértices de un paralelogramo.
Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1,4), (1,-1) y (6,1). Si la ordenada del
cuarto vértice es 6, ¿cuál es su abscisa?
Demostrar que los puntos (1,1), (5,3), (8,0) y (4,-2) son vértices de un
paralelogramo y hallar su ángulo obtuso.
Demostrar que los puntos (1,1), (5,3) y (6,-4) son vértices de un triángulo isósceles
y hallar uno de sus ángulos iguales.
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
Objetivo N° 2:
Demostrar las propiedades de triángulos y polígonos en general, utilizando la ecuación de la
recta, graficando en un sistema de coordenadas bidimensional..
II.
Ecuación de la Recta.
Definición de Recta.
Llamaremos recta, al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos
diferentes cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2) del lugar, el valor de la pendiente m, calculado
mediante la expresión:
y2 – y1
m=
, x1  x2
x2 – x1
es siempre constante.
1.
Ecuación de la Recta. Forma ordinaria
Punto – Pendiente.
Se desea conocer la ecuación de una recta que pasa por el punto P 1(x1,y1) y de
pendiente m, de ello se conoce que debe satisfacer la ecuación:
y – y1 = m (x – x1)
Pendiente y Ordenada en el origen.
Y
Dada una recta l cuya pendiente m es conocida, y el
punto P(0,b) su ordenada en el origen (intersección
de la recta con el eje Y) es dado, se obtiene la
ecuación de la recta sustituyendo en la expresión del
punto 2 y simplificando:
y = mx + b
P(0,b)
l
0
X
Cartesiana.
Geométricamente, una recta queda definida si se
conocen dos de sus puntos, lo cual se cumple
analíticamente, conocidos dos puntos P1(x1,y1) y
P2(x2,y2), utilizando la ecuación del apartado 2:
y – y1 = m (x – x1)
y sustituyendo en ella la ecuación de la pendiente:
Y
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
0
X
y – y1
x – x1
=
y2 – y1
x2 – x1
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
Forma simétrica.
Y
P2(0,b)
0
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
P1(a,0)
X
Sean a0 y b0, los segmentos que una recta
determina sobre los ejes X e Y, es decir, sus
intersecciones. Los puntos P1(a,0) y P2(0,b) son
puntos sobre la recta, por lo que puede obtenerse su
ecuación aplicando la expresión del apartado 4 y
simplificando:
x
y
+
= 1
a
b
Ejercicios de aplicación:
Los vértices de un triángulo son (-5,3), (1,3) y (-1,6), graficar y hallar las ecuaciones
de los lados.
Con los vértices de triángulo en 1.1., hallar las ecuaciones de las medianas y
coordenadas del baricentro.
Con los vértices de triángulo en 1.1., hallar las ecuaciones de las alturas y las
coordenadas del ortocentro.
Con los vértices de triángulo en 1.1., hallar las ecuaciones de las mediatrices y las
coordenadas del incentro.
Con los vértices de triángulo en 1.1., hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a
los lados del triángulo que pasan por los vértices opuestos, y los vértices del
triángulo que forman.
2.
Ecuación de la Recta. Forma General
Una recta puede representarse en su forma general: Ax + By + C = 0, donde A ó B
deben ser distintos de 0 y C puede o no ser igual a 0.
Con esta ecuación, examinándola podemos discernir características de la recta:
a) Si B = 0 y A  0, entonces la ecuación queda: Ax + C = 0 ó x = -C/A, por tanto la
recta es paralela al eje Y.
b) Si B  0 y A  0, dividiendo la forma general entre B: (A/B )x + y + C/B = 0 y
despejando: y = (-A/B)x – C/B, semejante a la forma y = mx + b, por tanto,
m
= -C/B y b = -C/B.
- Posiciones relativas de dos rectas.
a) Rectas Paralelas: la condición para que dos rectas sean paralelas, es que tengan igual
pendiente.
Ej:
Recta 1: A1x + B1y + C1 = 0
Recta 2: A2x + B2y + C2 = 0
para que ambas sean paralelas, m1 = - A1/B1 y m2 = - A2/B2, deben ser iguales.
b) Rectas perpendiculares: la condición para que dos rectas sean perpendiculares, es que
el producto de las pendientes sea igual a –1, en las rectas anteriores: m1.m2 = -1.
c) Rectas Coincidentes: la condición para que dos rectas coincidan, es que tengan un punto
común y la misma pendiente, analíticamente, sus coeficientes son proporcionales:
Recta 1: A1x + B1y + C1 = 0
Recta 2: A2x + B2y + C2 = 0,
donde A2 = K A1; B2 = KB1; C2= KC1
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
Ejercicios de aplicación:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
Demostrar que la recta que pasa por los punto (4,-1) y (7,2), biseca al segmento
cuyos extremos son los puntos (8,-3) y (-4,-3).
Demostrar que las rectas 2x – y – 1 = 0; x – 8y + 37 = 0; 2x – y – 16 = 0;
x – 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo, hallar las ecuaciones de sus diagonales.
Demostrar que las rectas 5x – y – 6 = 0; x + 5y – 22 = 0; 5x – y – 32 = 0;
x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado.
Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0 y 3x + 2y – 7 = 0.
Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2,-1) y que forman cada
una un ángulo de 45° con la recta 2x – 3y + 7 = 0.
Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 e intersección con el eje Y es –2.
Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(2,4), C(6,7), D(8,0). Hallar las
ecuaciones de sus lados.
Una recta pasa por el punto A(7.8) y es paralela a la recta C(-2,2) y D(3,-4). Hallar
su ecuación.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,4) y determina sobre el eje
X el segmento –9.
Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan
en la recta 5x + 3y – 15 = 0
Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que
es perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1,-3).
Hallar el valor de k para que la recta kx + (k – 1)y – 18 = 0 sea paralela a la recta
4x + 3y + 7 = 0.
Hallar el valor de k para que la recta k 2x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la
recta
3x – 2y – 11 = 0.
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
Objetivo N° 3:
Aplicar la ecuación normal de la recta en la solución de problemas geométricos.
3.
Ecuación de la Recta. Forma Normal
La ecuación normal de la recta tiene la forma: x cos  + y sen  – p = 0, donde p es
un número positivo, numéricamente igual a la longitud del segmento perpendicular (normal)
trazada desde el origen a la recta de estudio, y  es el ángulo positivo < 360°, medido a
partir de la parte positiva del eje X a la normal, en sentido contra horario.
Y
Y
p

P1(X1,Y1)
P1(X1,Y1)

0
X
Y

0
p

0

X
Y
0
X


p

X
p
P1(X1,Y1)
P1(X1,Y1)
- Reducción de la Forma General de la Recta a la Forma Normal.
La forma general de la recta puede reducirse la su forma normal:
Ax + By + C = 0  x cos  + y sen  – p = 0
dividiendo cada término de la ecuación general por el radical:
en
a)
b)
c)
r =   A 2 + B2
donde el signo que precede al radical r se escoge como sigue:
Si C  0, r tiene signo contrario a C.
Si C = 0 y B  0, r y B tienen el mismo signo.
Si C = B = 0, r y A tienen el mismo signo.
- Determinación de la distancia de una recta a un punto dado.
La distancia d de una recta Ax + By + C = 0 a un punto dado P1(x1,y1), puede
obtenerse sustituyendo las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal
de la recta, quedando el valor de la distancia determinado por la expresión:
d=
|Ax1 + By1 + C|
 A2 + B2
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
La distancia dirigida d de la recta dada Ax + By + C = 0 a un punto dado P1(x1,y1), se
obtiene por la expresión:
Ax1 + By1 + C
d=
  A2 + B 2
donde el signo se elige según lo planteado en el apartado 2, y el signo del valor de la
distancia, significa:
Si la recta no pasa por el origen:
a) d es positiva: el origen y P1 están en lados opuestos de la recta.
b) d es negativa: el origen y P1 están en el mismo lado de la recta.
Si la recta pasa por el origen:
c) d es positiva, P1 está por encima de la recta.
d) d es negativa, P1 está por debajo de la recta.
- Determinación de las ecuaciones de las bisectrices
Se tienen dos rectas que se interceptan: Ax + By + C = 0 y A’x + B’y + C’ = 0, las
ecuaciones de la bisectrices serán:
Ax + By + C

 A2 + B 2
Ax + By + C

 A2 + B 2
=
=
A’x + B’y + C’

A’2 + B’2
A’x + B’y + C’

A’2 + B’2
Ejercicios de aplicación:
3.1.
3.2.
Hallar la ecuación de la recta en la forma normal, siendo  = 60° y p = 6.
Una recta es tangente a una circunferencia de centro en el origen y radio 3. Si el
punto de tangencia es (2,-5), hallar la ecuación de la tangente en su forma normal.
3.3.
Reducir la ecuación 12x – 5y – 52 = 0 a la forma normal y hallar los valores de  y p.
3.4.
Hallar la distancia del origen a la recta 2x – 3y + 9 = 0
3.5.
Reducir la ecuación y = mx + b a la forma normal y hallar los valores de  y p.
3.6.
Hallar la ecuación de la recta cuya distancia del origen es 5 y que pasa por el punto
(1,7).
3.7
Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la que tiene por ecuación
3x + 2y – 9 = 0 y cuya distancia del origen es 8.
3.8.
Hallar la forma normal de la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta
2x – 3y + 7 =0.
3.9.
Los vértices de un triángulo son A(-4,1), B(-3,3) y C(3,-3). Hallar la longitud de la
altura del vértice A sobre el lado BC y el área del triángulo.
3.10. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x – 4y + 8 = 0.
3.11. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas
x + y – 1 = 0 y 2x – y + 1 = 0, y demostrar que son perpendiculares.
UNIDAD II. Geometría Analítica en el Plano
TEMA 1. La Recta
4. Ecuación de la recta. Aplicaciones.
- Área de un Triángulo.
El área de un triángulo de vértices (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) es:
x1 y 1 1
A = ½ x2 y2 1
x3 y3 1
debiendo tomarse el valor absoluto del determinante.
- Puntos colineales
Una condición necesaria y suficiente para que tres puntos distintos de coordenadas
(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) sean colineales es:
x1 y 1 1
x2 y2 1 = 0
x3 y3 1
- Familia de rectas.
La totalidad de rectas que satisfacen una única condición geométrica, se llama familia o
haz de rectas.
Procedimiento:
a) Se escribe la ecuación de la familia de rectas de tal manera que satisfaga la condición
dada.
b) Se determina el valor del parámetro de la familia aplicando la otra condición dada.
4.1
4.2
4.3
Ejercicios de aplicación:
Escribir la ecuación de familia de rectas que son paralelas a la recta 2x – 7y + 2 = 0.
Trazar tres elementos de la familia, especificando en cada caso el valor del
parámetro.
Determinar el valor del parámetro k de manera que la recta de la familia
kx – y + 8 = 0 que le corresponda pase por el punto (-2,4). Hallar la ecuación de la
recta.
Una recta pasa por el punto A(-6,7) y forma con los ejes coordenados un triángulo de
área igual a 10½. Hallar su ecuación.