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Jorge Garza, NUMEROS COMPLEJOS
Álgebra y geometría de números complejos : una
introducción.
En este capítulo se utilizan comandos de Mathematica para calcular números complejos y graficarlos como puntos y líneas en el
plano cartesiano. Para realizar esta práctica usaremos los comandos ListPlot, ListLinePlot y Table.
El comando ListPlot nos prmite graficar una lista de datos. A continución las variable datos contiene una lista de pares de números
datos = 881, 3<, 82, 4<, 83, 5<, 84, 6<<
Estos datos los podemos ver en forma de tabla de la siguiente manera
MatrixForm@datosD
de aquí es claro que tenemos una tabla con 4 renglones y dos columnas. Para tomar la pareja del tercer renglón podemos hacer lo
siguiente
datos@@3DD
o si queremos obtener el valor de la columna 1 de este renglón se debe especificar así
datos@@3, 1DD
y para la segunda columna
datos@@3, 2DD
La gráfica de datos la podemos obtener con ListPlot
ListPlot@datosD
Si deseamos modificar el tamaño de los puntos lo podemos hacer con PoinSize
ListPlot@datos, PlotStyle ® [email protected]
y si queremos cambiar el color usamos RGBColor
ListPlot@datos, PlotStyle ® [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<D
Otra forma de generar una lista de datos es con el comando Table. El arreglo datos puede obtenerse de la siguiente manera
datos2 = Table@8i, i + 2<, 8i, 1, 4<D
de esta manera datos y datos2 son idénticas.
El comando ListLinePlot nos permite generar líneas rectas. Por ejemplo, la recta que va del origen al punto (1, 3) se puede obtener
de
ListLinePlot@880, 0<, 81, 3<<D
o si queremos obtener varios segmentos de recta se tendría lo siguiente
ListLinePlot@880, 0<, 81, 3<, 82, 0<, 83, 3<<D
Ÿ Operaciones con números complejos
Primero vamos a definir un conjunto de funciones que nos permitirán graficar líneas y puntos de diferentes colores
Jorge Garza, NUMEROS COMPLEJOS
linearoja@z_D := ListLinePlot@880, 0<, 8Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® RGBColor@1, 0, 0DD;
lineaverde@z_D := ListLinePlot@880, 0<, 8Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® RGBColor@0, 1, 0DD;
lineaazul@z_D := ListLinePlot@880, 0<, 8Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® RGBColor@0, 0, 1DD;
puntorojo@z_D := ListPlot@88Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<D;
puntoverde@z_D := ListPlot@88Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® [email protected], RGBColor@0, 1, 0D<D;
puntoazul@z_D := ListPlot@88Re@zD, Im@zD<<, PlotStyle ® [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<D;
En todas estas funciones la variable que utilizan es un número complejo con nombre z. En Mathematica un número complejo
puede ser definido de la siguiente manera
z = 3 + 7 * I;
Hay que notar que el número imaginario i debe de ser escrito en Mathematica como I mayúscula. Podemos graficar este número
como un punto rojo
puntorojo@zD
como una línea azul
lineaazul@zD
o como ambos
Show@lineaverde@zD, puntoazul@zDD
El número complejo 0.5 − 5 i puede ser graficado también como
[email protected] - 5 * ID
Si se tienen dos números complejos las operaciones resultantes pueden también ser graficadas
z1 = 1 + 6 * I; z2 = 6 - 4 * I;
Ÿ Suma
z1 + z2
linearoja@z1 + z2D
Ÿ Multiplicación
z1 * z2
lineaverde@z1 * z2D
Ÿ División
z1  z2
linearoja@z1  z2D
Ÿ Módulo o norma de un número complejo
z = 3 + 7 * I;
N@Sqrt@Re@zD ^ 2 + Im@zD ^ 2DD
o también
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N@Abs@zDD
Ÿ Argumento de un número complejo
N@Arg@zDD
Confimemos esto con el uso del inverso de la tangente
N@ArcTan@Im@zD  Re@zDDD
Ÿ Complejo conjugado
El complejo conjugado de un número complejo se obtiene con
Conjugate@zD
linearoja@Conjugate@zDD
Ÿ Raíces n − ésimas de un número complejo
Obtengamos las raíces del número 1
n = 3;
sol = Solve@x ^ n == 1D
z = x . sol  N
lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D;
ListPlot@lista, PlotStyle -> [email protected], RGBColor@0, 1, 0D<, AspectRatio ® 1.2D
n = 10;
sol = Solve@x ^ n == 1D;
z = x . sol  N;
lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D;
ListPlot@lista, PlotStyle -> [email protected], RGBColor@0, 1, 0D<, AspectRatio ® 1.2D
n = 30;
sol = Solve@x ^ n == 1D;
z = x . sol  N;
lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D;
ListPlot@lista, PlotStyle -> [email protected], RGBColor@0, 1, 0D<, AspectRatio ® 1.2D
A continuación obtendremos las raíces de un número complejo arbitrario
n = 3;
a = 1  20 + 2  300 I;
sol = Solve@x ^ n Š aD;
z = x . sol  N;
lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D;
graf1 = ListPlot@lista, PlotStyle -> [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<, AspectRatio ® 1.2D
Ahora auméntese el valor de n, y obsérvense los resultados.
n = 15;
a = 1  20 + 2  300 I;
sol = Solve@x ^ n Š aD;
z = x . sol  N;
lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D;
graf2 = ListPlot@lista, PlotStyle -> [email protected], RGBColor@0, 1, 0D<, AspectRatio ® 1.2D
Jorge Garza, NUMEROS COMPLEJOS
n = 50;
a = 1  20 + 2  300 I;
sol = Solve@x ^ n Š aD;
z = x . sol  N;
lista = Table@8Re@z@@iDDD, Im@z@@iDDD<, 8i, 1, n<D;
graf3 = ListPlot@lista, PlotStyle -> [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<, AspectRatio ® 1.2D
Show@graf3, graf2, graf1D
Compara los módulos de las raíces cúbicas, las raíces décimoquintas y las raíces quincuagésimas de este número complejo a.
Referencias
[1] Louis L. Scharf and Richard T. Behrens, A First Course in Electrical and Computer Engineering, Addison − Wesley Publish−
ing Company, 1991.
[2] J. V. Uspenski, Theory of Equations, McGraw − Hill, 1948.
[3] Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw − Hill, 1979.
[4] Ruelle V. Churchill, James W. Brown and Roger F. Verhey, Complex Variables and Applications. 3 rd edition. McGraw −
Hill, 1974.